Aplicación del método estadístico multivariado análisis de componentes principales al mercado de renta fija colombiano

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(1)UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL. PROYECTO DE GRADO. APLICACIÓN DEL MÉTODO ESTADÍSTICO MULTIVARIADO ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES AL MERCADO DE RENTA FIJA COLOMBIANO. ESTUDIANTE: JUAN PABLO MONTOYA FONSECA CÓDIGO: 200621177. ASESOR: ANDRÉS JOSÉ VILLAQUIRÁN LACOUTURE, Ph.D. CO-ASESOR: MARÍA ELSA CORREAL NÚÑEZ, Ph.D.. Diciembre, 2009 1.

(2) RESUMEN Con el objetivo de entender el mercado de renta fija colombiano se aplica Análisis de Componentes Principales a la curva cero derivada de los TES B de tasa fija en pesos, y a la curva swap COP vs. LIBOR. Se encuentra que el 94% de los cambios en la curva cero, y el 97% de los cambios en la curva swap se explican mediante cambios de nivel, cambios de pendiente y cambios de curvatura. Igualmente, al separar el mercado de corto plazo del de largo plazo se encuentra que cada uno de estos dos mercados tiene su propia dinámica. Adicionalmente, se propone una metodología para cubrir el riesgo de activos de renta fija teniendo en cuenta los tres tipos de cambios detectados.. 2.

(3) TABLA DE CONTENIDOS 1. Introducción……………………………………………………………………………………………………………………...6 2. Marco teórico…………………………………………………………………………………………………………………...7 2.1 Títulos de renta fija……………………………………………………………………………………………………...7 2.1.1 Componentes…………………………………………………………………………………….…………7 2.1.2 Precio…………..………………………………………………………………………………………….……8 2.1.3 Riesgos y medidas de riesgo …………………………………………………………………………8 2.1.4 Tasa de interés……………………………………………………………………………………..…….10 2.1.5 Estimación curva cero…………………………………………………………………………………11 2.3 Swaps…………………………………………………………………………………………………………………………12 2.4 Análisis de Componentes Principales………………………………………………………………………...14 3. Trabajos relacionados………………………………………………………………………………………………………16 4. Entorno colombiano…………………………………………………………………………………………………..……19 5. Procedimiento …………………………………………………………………………………………………………..……21 5.1 Curva cero…………………………………………………………………………………………………………….……21 5.1.1 Base de datos…………………………………………………………………………………………..…21 5.1.2 Primera aplicación de Componentes Principales………………………………………..21 5.1.3 Segunda aplicación de Componentes Principales: Separando el mercado de corto plazo del de largo plazo……………………………………………………………………………...23 5.2 Swaps…………………………………………………………………………………………………………………………26 5.2.1 Base de datos……………………………………………………………………………………………..26 5.2.2 Primera aplicación de Componentes Principales………………………………………..27 5.2.3 Segunda aplicación de Componentes Principales……………………………………….28 6. Aplicación: Inmunización de activos de renta fija…………………………………………………………….30 6.1 Procedimiento……………………………………………………………………………………………………………30 6.2 Resultados………………………………………………………………………………………………………………….32 7. Conclusiones……………………………………………………………………………………………………………………34 8. Referencias Bibliográficas…………………………………………………………………………………………….....35 9. Anexo A: conceptos relevantes de algebra lineal……………………………………………………………..37 10. Anexo B: derivación del uso de vectores propios para la metodología componentes principales……………………………………………………………………………………………………………….………39. 3.

(4) ÍNDICE DE TABLAS Tabla 5-1: Resultados Componentes Principales a toda la curva cero…………………………………………..22 Tabla 5-2: Resultados Componentes Principales a la primera parte de la curva cero…………………….24 Tabla 5-3: Resultados Componentes Principales a la segunda parte de la curva cero……………………25 Tabla 5-4: Resultados de la primera aplicación de Componentes Principales a la curva swap……….27 Tabla 5-5: Resultados de la segunda aplicación de Componentes Principales a la curva swap………28 Tabla 6-1: Precios de TES en diferentes escenarios……………………………………………………………………….31 Tabla 6-2: Cambios del precio de TES ante los diferentes escenarios……………………………………………31 Tabla 6-3: Unidades de los TES líquidos para conformar el portafolio de cobertura……………………..32. 4.

(5) ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1-1: perfil de pago de un bono……………………………………………………………………………………….……7 Figura 1-2: perfil de pago de un swap…………………………………………………………………………………………..13 Figura 3-1: Ejemplo de un movimiento de nivel sobre la curva cero……………………………………………..16 Figura 3-2: Ejemplo de un movimiento de pendiente sobre la curva cero…………………………………….16 Figura 3-3: Ejemplo de un movimiento de curvatura sobre la curva cero……………………………………..17 Figura 5-1: Ejemplos de la curva cero……………………………………………………………………………………………21 Figura 5-2: Diagrama de barras de los coeficientes de los tres primeros vectores propios resultantes de la aplicación de componentes principales a toda la curva cero……………………………..22 Figura 5-3: Diagrama de barras de los coeficientes de los tres primeros vectores propios resultantes de la aplicación de componentes principales a la primera parte de la curva cero………24 Figura 5-4: Diagrama de barras de los coeficientes de los tres primeros vectores propios resultantes de la aplicación de componentes principales a la segunda parte de la curva cero……..25 Figura 5-5: Ejemplos de la curva swap…………..……………………………………………………………………………..26 Figura 5-6: Diagrama de barras de los coeficientes de los tres primeros vectores propios resultantes de la primera aplicación de componentes principales a la curva swap……………………….27 Figura 5-7: Diagrama de barras de los coeficientes de los tres primeros vectores propios resultantes de la segunda aplicación de componentes principales a la curva swap………………………28 Figura 6-1: Histogramas de los cambios diarios de un portafolio consistente en el TES ilíquido y el portafolio replicador, usando las distintas estrategias de cobertura…………………………………………….33. 5.

(6) 1. INTRODUCCIÓN La estructura de tasas de interés de un país es la columna vertebral de su mercado financiero; por ende, es pertinente adquirir toda la información disponible sobre ella para un entendimiento del mercado financiero más profundo. En el presente documento se usa un método estadístico multivariado, llamado Análisis de Componentes Principales, para poder entender la naturaleza de los cambios de la estructura de las tasas de interés del mercado financiero colombiano; específicamente se aplica la metodología a los cambios de la curva cero y la curva swap COP vs. LIBOR. Es interesante aplicar este análisis al caso colombiano porque investigaciones anteriores sobre países desarrollados han encontrado que existen principalmente tres tipos de cambios específicos en la estructura de tasas de interés. Adicionalmente, se desea diseñar una estrategia de cubrimiento del riesgo de activos de renta fija que tenga en cuenta los resultados encontrados por Análisis de Componentes Principales.. 6.

(7) 2. MARCO TEÓRICO Para entender el campo de acción del presente pr proyecto oyecto es necesario comprender los siguientes conceptos. En primera instancia se detallarán los conceptos financieros ncieros que competen al proyecto, descritos por Bodie, Kane y Marcus (2002), Fabozzi (2000), y Brealey, Myers y Allen (2006); (2006) específicamente se abordará una descripción de los títulos de renta fija, un método para encontrar la curva cero, y una introducción a los títulos swaps. Por último, se ilustrará el método estadístico multivariado Análisis de Componentes Principales. 2.1 TÍTULOS DE RENTA FIJA Un título de renta fija es una obligación de deuda de una entidad que promete el pago de unas determinadas cifras de dinero en unos días futuros establecidos. Dicha entidad emisora vende los lo títulos a los inversionistas para financiarse, y en el futuro el poseedor del título recibe los determinados flujos de dinero. Las entidades emisoras pueden ser gobiernos nacionales, entidades gubernamentales, entidades internacionales y empresas del sec sector tor privado. Los títulos de renta fija incluyen bonos, préstamos bancarios, hipotecas, entre otros. 2.1.1 Componentes Estas obligaciones de deuda tienen diferentes componentes componentes,, los cuales se establecen en su respectivo contrato.. La madurez indica la fec fecha en la que el deudor tiene la obligación con el acreedor de pagarle lo convenido. El valor par (o principal) es la cantidad de dinero que el emisor le debe pagar al prestamista en la fecha de madurez. La tasa cupón es la tasa de interés que el emisor se compromete a pagar cada año, y el cupón es la cantidad de dinero que el emisor le paga anualmente al poseedor del título y corresponde a la siguiente ecuación: ó ó. . (2-1). Denotando la madurez con T, los cupones con C, el tiempo de pago de los cupones con ti, el principal con A, y el precio de compra con B, el perfil rfil de pago de un inversionista que adquiere un título de deuda es el siguiente:. Figura 1-1: perfil de pago de un bono. Adicionalmente hay que mencionar la existencia de numerosas variaciones a los títulos de renta fija. Algunas de las variaciones de los cupones son las siguientes: variar la tasa cupón en el tiempo, algunas veces estableciendo una tasa máxima y otra mínima; fijar un periodo de gracia en donde no hay pagos de cupones; establecer una dependencia de la tasa cupón hacia otra tasa en el 7.

(8) mercado. Igualmente, los participantes del contrato pueden tener ciertas provisiones; por ejemplo, la provisión call hace referencia a la posibilidad de que el emisor pueda retirar la obligación financiera antes de su madurez a un cierto precio. Todas estas variaciones se establecen en el contrato asociado al título. 2.1.2 Precio Los bonos se pueden comprar directamente a los emisores (mercado primario) o se pueden comprar a un actual poseedor del título (mercado secundario). En ambos casos, es necesario un precio. De manera general, el precio de cualquier activo financiero es determinado – si el mercado es eficiente – por el valor presente de los flujos que genera (los cupones y el pago del principal en caso de un bono), descontados a una tasa de interés particular. Es pertinente mencionar que esta tasa de interés particular se puede separar en dos componentes: una tasa libre de riesgo (determinada principalmente por la inflación e implícita en los bonos del gobierno) y una prima por riesgo. Así las cosas, el valor presente de un flujo en con una tasa de interés se calcula de la siguiente manera: . (). (2-2). Es interesante comentar que esta forma de hallar el precio de un activo financiero supone que el mercado es eficiente: los precios contienen toda la información disponible y por ende no es posible arbitrar. Arbitraje es una técnica en la cual un inversionista obtiene una ganancia libre de riesgo, debida por ejemplo a ver dos precios de un mismo activo en el mercado. Después de mencionar el principal supuesto detrás de la obtención de precios, en el caso específico de un bono sencillo con madurez y una tasa de interés constante , su precio será:. ! " # $ ∑*+, () + ()) &. (. (2-3). Es importante diferenciar el precio hallado anteriormente, llamado precio sucio (ó precio completo), de uno llamado precio limpio (ó simplemente precio). Cuando hay una transacción de un bono entre fechas de pagos de cupones, el comprador del bono va a recibir el cupón del periodo completo. Por ende, en muchos países – incluyendo Colombia y Estados Unidos – el comprador debe “pagarle” un porcentaje del cupón correspondiente a la fracción del periodo entre cupones que el vendedor fue dueño del título. El “pago” de estos intereses causados – llamados accrued interests – se hace al momento de la compra del bono, donde el comprador paga un precio menor al precio sucio, al cual se le llama precio limpio. Matemáticamente: - − ó. + /01/0 0 ú+34 567 /0 85ó9 :61+6 6 08:6 /0 ;09+6 + 09+0 85901. (2-4). 2.1.3 Riesgos y medidas de riesgo Aunque el nombre “títulos de renta fija” sugiere que su renta no es riesgosa al no ser variable, de hecho estos títulos tienen asociados diferentes riesgos, algunos de los cuales se describen a continuación. El riesgo tasa de interés se refiere a la posibilidad de que el precio del bono cambie ante modificaciones en las tasas de interés, elementos inversamente relacionados de acuerdo a la. 8.

(9) ecuación (2-3). Por ejemplo, si las expectativas de inflación aumentan, el componente “tasa libre de riesgo” aumenta, y el precio del bono disminuye. Por otro lado, el riesgo crediticio consiste en la posibilidad de que el deudor incumpla con sus obligaciones de pago y depende de cada emisor de bonos. El riesgo liquidez corresponde a la posibilidad de que el precio que pediría el inversionista en una posible venta del título sea diferente al precio que ofrecerían los interesados en comprar el título; generalmente se debe a la ausencia de una frecuente negociación del determinado bono en el mercado de valores. Dichos riesgos recaen en los rendimientos de los activos; así, entre más riesgo tiene un activo, mayor será su rendimiento. Una medida del riesgo tasa de interés de los bonos es modified duration, que indica la sensibilidad del precio del bono ante pequeños cambios paralelos en la tasa de interés. Los precios de los bonos a largo plazo son más sensibles a cambios en la tasa de interés que los precios de los bonos a corto plazo. Esto sucede debido a que el valor presente de un flujo de dinero muy alejado en el tiempo es más sensible a cambios en su tasa de interés que un flujo cercano en el tiempo. Se podría pensar entonces que la madurez permite analizar dicha sensibilidad (riesgo tasa de interés); pero se estaría dejando a un lado el hecho de que los bonos tienen cupones, y por ende el plazo medio de los flujos de un bono no sería igual a su madurez (a excepción de los bonos sin cupones). Matemáticamente, denotando modified duration con <: <−. =(∆)?=() =()∗∆. (2-5). O en términos diferenciales: <−. /=// =. (2-6). Si se grafica el precio de un bono en términos de la tasa de interés, la modified duration es la primera derivada (pendiente) de la curva. Otra medida que complementa a la modified duration es convexity. Convexity mide el cambio de la sensibilidad del precio del bono ante cambios paralelos en las tasas de interés; en la gráfica precio versus tasa de interés, convexity es la segunda derivada (curvatura) de la curva. Matemáticamente, siendo BC la convexity: D=(∆)?=()E?D=()?=(?∆)E (∆)F. BC =(). (2-7). En términos diferenciales: /F=. BC = /F. (2-8). Usando estas dos medidas, se puede predecir el cambio en el precio de un bono de la siguiente manera: ∆= =. . ≈ −<∆ + H BC (∆)H. (2-9). 9.

(10) Estas dos medidas son usadas comúnmente para cubrir el riesgo de activos de renta fija. Si se iguala el modified duration y el convexity de una obligación con un portafolio de cobertura, los cambios en los precios de la obligación quedarán cubiertos por los cambios en los precios del portafolio de cobertura. La desventaja de esta estrategia es que supone que las tasas de interés de diferentes periodos se mueven en la misma magnitud y dirección. Este supuesto es muy fuerte dado que las tasas de interés tienen otros movimientos, los cuales se presentarán posteriormente en el presente documento. 2.1.4 Tasas de interés Después de haber introducido lo correspondiente a los riesgos de los títulos de renta fija, se va a hablar sobre las diferentes tasas de interés. Para negociar los bonos, los inversionistas tienen en cuenta diferentes tasas de retorno o de rentabilidad (yields). La primera se llama tasa interna de retorno (TIR, o retorno hasta la madurez o yield to maturity) y se define como la tasa de interés que hace que el valor presente del bono sea igual al precio observable en el mercado. Para encontrarlo, se despeja de la ecuación (2-3). Como los bonos son los activos financieros que implican menor riesgo, en especial los respaldados por un gobierno confiable, sus tasas de retorno son muy útiles para tener referencia de una tasa “libre” de riesgo (uno de los componentes de la tasa de descuento ). Para calcular las tasas de interés apropiadas para descontar los flujos de otros activos financieros y proyectos de inversión simplemente se le sumaría una respectiva prima por riesgo a la tasa libre de riesgo observada. Sin embargo, un bono representa el pago de dinero en diferentes periodos (mismo problema de no usar la madurez como una medida de riesgo tasa de interés), por lo que es preferible usar una tasa de retorno virtual – llamada tasa cero o tasa spot – implícita en los bonos para poder descontar apropiadamente cualquier flujo de caja futuro a su valor presente. Así, la tasa cero para descontar un flujo libre de riesgo en a valor presente sería la tasa interna de retorno de un bono virtual que no paga cupones (bono cero cupón) con madurez . Si el flujo tiene asociado un riesgo, se le suma una prima correspondiente. Otra forma de pasar a valor presente un flujo en es simplemente multiplicar el flujo por un factor de descuento (0, ), que viene siendo el precio del bono cero cupón como proporción de su valor par. Matemáticamente, usando la ecuación (2-2), siendo K+ la tasa cero para el tiempo t: (. (L ). (2-10). . Y reescribiéndola se obtiene M. . (0, ) " ( (L ) . (2-11). Hay que aclarar que la tasa cero no es constante en el tiempo como se asumió en la ecuación (2-3): para pasar un flujo en 1 año a valor presente se debe usar una tasa de interés distinta que para pasar un flujo de 2 años. Para ilustrar mejor el concepto: como la inflación es uno de los determinantes de la tasa libre de riesgo, y ella varía de mes a mes, de año a año, sería erróneo usar siempre la misma tasa de interés. Por ende, se grafican las tasas cero de diferentes periodos y se obtiene una curva llamada curva cero (o yield curve o zero curve). La forma de esta curva obedece a las expectativas de inflación; por ejemplo, si se espera que haya inflación, la curva será 10.

(11) ascendente, con tendencia a estabilizarse debido al aumento de la incertidumbre de predecir la inflación en periodos alejados en el tiempo. Posteriormente se detallará el procedimiento para hallarla. Así las cosas, la fórmula correcta para encontrar el precio de un bono es: $ ∑*+, (L ) + (L )) &. (. . . (2-12). Y en otros términos, usando los factores de descuento: $ ∑*+, B ∗ (0, ) + N ∗ (0, ). (2-13). Adicionalmente, las tasas spot tienen información implícita de las tasas para traducir un flujo de dinero de un periodo futuro a uno anterior (no necesariamente al periodo presente) – llamadas tasas forward o FRA (Forward Rate Agreement). Por ejemplo, para pasar un flujo del año 4 al año 3 se usaría una tasa forward. Estas tasas se pueden encontrar despejando de la siguiente ecuación que ilustra la consistencia del valor del dinero en el tiempo, donde "+,+H es la tasa forward asociada al periodo entre 2 y 1 (donde 2 > 1). (1 + K+H )+H (1 + K+ )+ (1 + "+,+H )+H?+. (2-14). Cuando el periodo comprendido entre 2 y 1 tiende a cero, se habla de la tasa forward instantánea ( "() ). Al promediar las tasas forward instantáneas se obtiene la tasa cero, matemáticamente: . +. K+ + RT "(S) S. (2-15). De manera análoga, el factor de descuento se puede expresar también en términos de la tasa forward instantánea: +. (0, ) U− RT "(S) SV. (2-16). Por último, la tasa par es la tasa cupón que hace que el precio de un bono sea igual al principal. Matemáticamente, siendo W 5 la tasa par, desplazando C de (2-13) y suponiendo un principal y precio de 1: ?M(T,*) XY M(T,+). B ∑). (2-17). 2.1.5 Estimación curva cero Existen diferentes maneras de encontrar la tasa cero. La primera corresponde a usar directamente el yield to maturity de bonos que no pagan cupones (cero cupón), calculados a partir de sus respectivos precios de mercado. En EE.UU. el Tesoro americano separa los cupones de los bonos en cada uno de los flujos de caja, formando títulos llamados STRIPS (Separate Trading of Registered Interest and Principal of Securities). A diferencia de Estados Unidos, en Colombia no se crean títulos análogos a las STRIPS, por ende se debe usar otros métodos para encontrar la curva cero. Existen maneras de encontrar la curva cero 11.

(12) basadas en encontrar los precios teóricos de los bonos de cero cupón a través de modelos paramétricos (Lai & Xing, 2008), usando la información de bonos (indexados con #) que implican el menor riesgo del país - en el caso colombiano serían los Títulos de Tesorería TES, de los cuales se hablará posteriormente. Recordando la ecuación (2-13) del precio de un bono se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: *. Z B (0, 3 ) + N [0, \ $ ∑3,. ∀1≤# ≤. (2-18). A partir de esas ecuaciones se encuentran unos parámetros que determinan un estimador _(0, 3 ) de (0, 3 ), y que minimizan a` )H ∑9,($ − $. (2-19). a` se define por (2-11), sustituyendo (0, 3 ) por _(0, 3 ) . Nelson y Siegel (1987) Donde $ propusieron que (0, )se podía definir a través del siguiente modelo paramétrico: . . (0, ) b−cT − (c + cH )S d1 − ?e f + cH ?e g. (2-20). Dicho modelo parte de la ecuación (2-16), y que la tasa forward instantánea con maduración en t se puede expresar de la siguiente manera: . . +. "() cT + c ?e + cH h ?e. (2-21). Teniendo en cuenta la ecuación (2-15), y la ecuación (2-21), la tasa cero es entonces: K+ cT + (c + cH ) i. . j ?0 e e. . k − cH ?e. (2-22). cT , c , cH , y S son los parámetros desconocidos que se quieren estimar con la regresión de cuadrados mínimos (2-19), y tienen la siguiente interpretación económica: cT es la mayor tasa forward para un periodo muy alejado en el tiempo, S una constante de tiempo que mide cuán rápido la tasa forward tiende a cambiar con la madurez, y c y cH son coeficientes usados para acomodar la forma de (0, ). Este modelo se planteó para poder describir las formas más comunes de la yield curve que se habían presentado hasta el momento – creciente, decreciente, y plana. Posteriormente, en 1994 Svensson (Lai & Xing, 2008) generalizó el modelo de Nelson y Siegel, añadiendo dos parámetros más para darle la posibilidad a la yield curve de tener dos formas adicionales (forma de U y jorobada), de la siguiente manera: (0, ) b−cT − (c + cH )S l1 − . eY. ?. m + cH . eY. ?. − cn SH l1 − . ?. eF. m + cn . eF. ?. g. (2-23). 2.2 SWAPS Un swap (permuta financiera) es un derivado (activo financiero que sus pagos son función de los pagos de otros activos financieros) en el cual dos entidades se comprometen a intercambiar una serie de flujos de dinero. En la práctica existe un intermediario entre las dos entidades, 12.

(13) generalmente una entidad financiera. La utilidad de llos swaps recae en la oportunidad de cubrir los flujos de dinero ante diversos riesgos como se explicará a continuación. Por ejemplo, si un inversionista piensa que la tasa de interés aumentará, los bonos en su posesión se devaluarán, haciendo que quiera vender sus bonos y comprar otros con mejor tasa de retorno. Sin embargo, mbargo, estas transacciones tienen asociados unos costos, los cuales se pueden evitar si simplemente el inversionista hace un contrato swap con el objetivo de intercambiar los flujos que generarían los bonos en su posesión por unos flujos atados a una tasa de interés de referencia. A este tipo de swap se le llama swap de tasas de interés (Interest Rate Swap,, IRS). Usualmente se usa la tasa LIBOR (London Interbank Offered Rate Rate)) como la tasa de referencia, la cual es la tasa a la que los bancos se prestan entre re ellos y varía en el tiempo. Así, entidades pueden intercambiar entre tasas fijas y tasas variables a un menor costo de transacción, de acuerdo a las necesidades y propósitos de cada organización. Un swap de tasa de interés entonces se puede interpretar como dos bonos que intercambian flujos cada cierto periodo de tiempo fijado en el contrato contrato.. Uno de los bonos paga un cupón fijo y el otro paga un cupón variable. Bajo esta interpretación, y suponiendo que el mercado es eficiente, es entendible que un análisis a los cambios de la tasas de retorno del bono que paga cupón fijo que conforma a los swaps sería una aproximación a un análisis de la estructura de tasas de interés de un país. En este tipo de swap no hay pago de principal ni tampoco flujos en t=0; también hay que aclarar que en cada periodo sólo hay intercambio del diferencial entre los dos flujos. Gráficamente el perfil de pago de la persona que paga a tasa fija y recibe a tasa variable (LIBOR) es:. Figura 1-2: perfil de pago de un swap. Otro tipo de swap consiste en intercambiar flujos de dinero en una moneda por flujos de dinero en otra moneda. A este tipo de swap se le conoce como swap de monedas (Cross Cross Currency Swap, Swap CCS).. El resultado sería la protección contra el riesgo de que la tasa de cambio de las monedas varíe.. Por ejemplo, un swap de pesos vs. USD-LIBOR LIBOR se refiere a que una parte del contrato le paga flujos de dinero en dólares con una tasa igual a la USD-LIBOR, LIBOR, y la otra le paga flujos de dinero en pesos con una tasa fija. Para ara poder tener un nominal equivalente, la conversión de una moneda a otra se hace de acuerdo a la spot spot,, la cual en este contexto se refiere a la tasa de cambio de monedas en el momento en que se accede al contrato. Si se piensa en una compañía que exporta, exporta sería de gran utilidad cubrirse contra las variaciones de tasa de cambio para poder saber con certeza cuánto recibirá en el futuro en términos de su moneda local y no en términos de la moneda extranjera. Existen otros tipos de swaps para protegerse contraa otros tipos de riesgos, pero los dos anteriores son los más comunes.. 13.

(14) 2.3 ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES Una vez vistos los conceptos financieros más importantes, se puede pasar entonces a hablar del método estadístico multivariado Análisis de Componentes Principales. Este método tiene como objetivo explicar la variación de un grupo de variables mediante pocas combinaciones lineales – cada una forma un componente principal – de estas variables. Su idea fue concebida por K. Pearson en 1901 y desarrollada independientemente por H. Hotelling en 1933. Es usado para reducir el número de variables, obtener relaciones y patrones importantes entre las variables, y para solucionar problemas de multicolinealidad. En el presente documento se usa Análisis de Componentes Principales para encontrar patrones en las variaciones de las tasas de interés halladas en los títulos de renta fija en Colombia. Si se desean repasar los conceptos de algebra lineal relevantes en el método se puede remitir al anexo A. Los conceptos usados fueron tomados de Judge, Hill, Griffiths, Lütkepohl, y Lee (1988); de Johnson y Wichern (2002); de Hair, Anderson, Tatham y Black (1995); y de Dunteman (1989). Aunque para explicar completamente la variación del sistema se necesitan todas las p variables que lo constituyen, algunas veces la misma información la puede proporcionar k (k<p) componentes principales – generalmente no más de tres – los cuales son ortogonales. Así, n datos de k componentes principales reemplazan las n observaciones de p variables. Algebraicamente, los componentes principales son combinaciones lineales de variables. Geométricamente, estas combinaciones lineales representan la transformación de un sistema de coordenadas a un sistema de k coordenadas, donde cada eje representa las direcciones de máxima variabilidad y provee una descripción más simple de la estructura de la covarianza de los datos. Para hallar los componentes principales se deben encontrar entonces combinaciones lineales de las p variables que maximicen su varianza (la de la combinación lineal) y que sean ortogonales a las otras. Si se establece que las p variables son estocásticas y se organizan en una matriz o con dimensiones , donde cada fila representa una observación y cada columna representa una de las p variables, Σ es la matriz de varianza-covarianza de las p variables (de dimensión ), y 3 es un vector de p constantes; entonces, el primer componente principal será la combinación lineal q o que maximice. (q o ) q Σ. sujeto a. q 1. (2-24) (2-25). El segundo componente principal será la combinación lineal Hq o que maximice (Hq o ) Hq ΣH. Hq H 1. sujeto a. B (q o , Hq o ) q ΣH 0. (2-26) (2-27) (2-28). La restricción (2-28) verifica que se cumpla la ortogonalidad de los componentes principales. Los siguientes componentes principales se calculan análogamente. La restricción (2-27) 14.

(15) generalizada es necesaria para evitar que la varianza de la combinación lineal aumente artificialmente por la multiplicación de 3 por una constante.. Se puede demostrar que los vectores 3 adecuados son los vectores propios 3 de la matriz Σ, y así que los componentes principales no están correlacionados y sus varianzas son iguales a los valores propios r3 de Σ. Para ver la demonstración favor remitirse al anexo B. Por otro lado, es útil demostrar que la suma de las varianzas de las variables en X es igual a la suma de las varianzas de los componentes principales. Teniendo en cuenta (A-5) (ecuación 5 del anexo A), (A-6), (A-8) y que los elementos de la diagonal principal de la matriz de varianzacovarianza Σ son las varianzas de cada una de las variables o3 , se tiene ∑53, (o3 ) (Σ) (CΛC q ) (ΛCC q ) (Λ). (2-29). Y de acuerdo a (B-14) y (B-15) ∑53, (u3 ) ∑53, r3 (Λ) donde W B′. (2-30) (2-31). Y así, ∑3, (o3 ) ∑3, (u3 ) 5. 5. (2-32). Consecuentemente, la proporción de la varianza total explicada por el w − é - componente principal es z. . . w − é - -. ∑} {. |XY z|. (2-33). Del Análisis de Componentes Principales se puede obtener una información que puede ser relevante: la influencia de una variable en un componente #. Esto en otras palabras es hallar la covarianza entre dichas variables, la cual es: [~3 , o \ r3 B3. (2-34). En otras palabras, la influencia de una variable en una componente # es proporcional al elemento del vector propio correspondiente al componente #. Así, es interesante detallar los componentes de los vectores propios, los cuales se pueden graficar para tener mejor visualización. Por último, es importante anotar que existen algunas variaciones al método expuesto anteriormente, donde los componentes principales resultantes cambian. Para análisis con variables de escalas con rangos muy diferentes se estandarizan las variables y por ende se trabaja con la matriz de correlaciones en vez de la matriz de varianzas-covarianzas.. 15.

(16) 3. TRABAJOS RELACIONADOS En mercados de capitales desarrollados, como el americano, se ha usado el método componentes principales para analizar los cambios de los retornos de títulos de renta fija. Falkenstein y Hanweck (1997) plantearon que los tres factores (componentes principales) que determinan los cambios en los retornos de títulos de renta fija son el nivel (altura), la pendiente y la curvatura de la curva cero (curva de tasa de interés). Litterman y Scheinkman (1991), y Knez, Litterman, y Scheinkman (1994) hallaron que estos tres factores explican hasta el 98% de la variación de los bonos. El efecto de cada uno de los tres tipos de movimientos se puede ver gráficamente de la siguiente manera, donde la línea punteada representa la curva cero después del determinado cambio (nivel, pendiente o curvatura) en ella: Movimiento de nivel 16. 15. Tasa %. 14. 13. 12. 11. 10. 9 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. Mes. Figura 3-1: Ejemplo de un movimiento de nivel sobre la curva cero Movimiento de pendiente 14.5 14 13.5 13. Tasa %. 12.5 12 11.5 11 10.5 10 9.5. 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. Mes. Figura 3-2: Ejemplo de un movimiento de pendiente sobre la curva cero. 16.

(17) Movimiento de curvatura 15 14 13. Tasa %. 12 11 10 9 8 7. 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. Mes. Figura 3-3: Ejemplo de un movimiento de curvatura sobre la curva cero. Wu (2003) encontró que dichos movimientos en la curva cero en Estados Unidos se deben a factores macroeconómicos. Halló que 2/3 de los movimientos de nivel se explican por cambios en las expectativas de inflación; esto tiene sentido si se recuerda la relación entre las expectativas de inflación y las tasas de interés expuesta en la fórmula de Fisher: + 0. (3-1). Donde es la tasa de interés nominal encontrada en el mercado (curva cero), es la tasa de interés real, y 0 representa las expectativas de inflación. Así, si las expectativas de inflación aumentan, se espera que las tasas de interés aumenten. Es interesante entender que en Colombia las metas de inflación del Banco de la República pueden cambiar las expectativas de inflación y así desplazar la curva de interés. De acuerdo a la ecuación (3-1) y los estudios de Wu (2003), las tasas de interés real también pueden ejercer cambios en la curva cero; éstas se modifican ante cambios estructurales en la economía, como por ejemplo, ante innovaciones tecnológicas. Adicionalmente, Wu (2003) concluye que los cambios de pendiente son producidos por variables macroeconómicas de corto plazo, y los cambios de curvatura son producidos por variables que afectan el mediano plazo. Los cambios de pendiente pueden ser originados por sorpresas en la política monetaria del Banco Central – El Banco de la República en el caso Colombiano – que inciden en las tasas de interés de corto plazo; un ejemplo de estas sorpresas lo constituyen cambios en la tasa de intervención bancaria. Las variables macroeconómicas que afectan estos cambios varían de país en país. Por ejemplo, Vargas (2004) encontró que en Filipinas el déficit fiscal incide en las tasas de interés de corto plazo (cambios de pendiente), la tasa de cambio de la moneda local con respecto al USD influye en las tasas de largo plazo (cambios de nivel). Para detectar dichas variables económicas en un país en particular es necesario hacer regresiones estadísticas, tema que no compete los objetivos del presente documento; sin embargo, el efecto de la inflación en los cambios de nivel es un elemento común en todos los países. Con los trabajos anteriores en mente, es interesante ver qué pasa en Colombia porque su mercado de capitales no es eficiente. El Grupo de Investigación Columbus, Universidad de los Andes (2009) 17.

(18) comprobó estadísticamente que el mercado de capitales colombiano tan sólo cumple con la hipótesis del mercado eficiente en su forma débil. Este nivel de eficiencia no es suficiente para eliminar la posibilidad de arbitraje. Por otro lado, Bautista y Rodriguez (2007) analizaron si en Colombia el mercado de renta fija en particular es eficiente o no por medio de un método estadístico, concluyendo que no lo es. Para explicar este fenómeno los autores plantearon posibles hipótesis: los agentes no actúan de forma competitiva, sino que forman grupos de clientelas; no existen suficientes agentes especuladores; el mercado está completamente dominado por preocupaciones de liquidez; y no existe un mercado de derivados bien desarrollado.. 18.

(19) 4. ENTORNO COLOMBIANO En Colombia el mercado de renta fija lo constituyen principalmente los Títulos de Tesorería (TES) emitidos por el gobierno colombiano (Ministerio de Hacienda y Crédito Público, República de Colombia, 2008). De hecho, de los 599.4 billones de pesos en activos locales negociados en sistemas transaccionales en el 2008, los TES representaron 477.59 billones. Dichos títulos fueron introducidos como mecanismo de financiación interna del gobierno colombiano mediante la Ley 51 de 1990. Esta Ley constituyó dos tipos de TES: TES clase A y TES clase B. Los primeros fueron emitidos con el propósito de cubrir la deuda que tenía el gobierno nacional con el Banco de la República, y para sustituir a su vencimiento la deuda contraída en Operaciones de Mercado Abierto (OMAS). Por otro lado, los TES clase B se crearon para financiar a la Nación y sustituir a su vencimiento los Títulos de Ahorro Nacional (TAN); su primera subasta fue el 23 de abril de 1993. Estos últimos títulos son los importantes para el presente proyecto dado que son los negociados como títulos financieros en la actualidad. Los TES clase B se pueden separar entre los de tasa fija y los de tasa variable. Los de tasa fija están en términos de pesos colombianos y existen de 1, 2, 3, 5, 7 y 10 años. Mientras que los de tasa variable se encuentra para 5, 7, y 10 años; y están en términos de dólares (permite protección contra la variabilidad de la tasa de cambio) o UVR (Unidad de Valor Real, permite protección contra la inflación). En dólares se empezaron a subastar en 1998 y en UVR en 1999. Adicionalmente, existen TES clase B mixtos a 10 años; en sus primeros 2 años son de tasa fija y en los últimos 8 son de tasa variable. Estos títulos constan de un principal y de cupones de intereses anuales, a los cuales se le aplica retención en la fuente. Son libremente negociados en el mercado secundario – en la Bolsa de Valores de Colombia – y sus transacciones son reportadas al Depósito Centralizado de Valores (DCV), sistema financiado por el Gobierno Nacional. El valor mínimo del principal es de 500 mil pesos, y se expiden en múltiplos de 100 mil. La Nación es el garante de estos títulos. Para la emisión se requiere la aprobación de la Junta Directiva del Banco de la República; dicha emisión es administrada en parte por esta entidad y en parte por el Ministerio de Hacienda y Crédito Público. El Ministerio de Hacienda y Crédito Público recibe todas las ofertas de compra en términos del rendimiento a vencimiento de los títulos; esta entidad asigna una tasa de corte y adjudica total o parcialmente todas las ofertas que sean menores o iguales a la tasa de corte. Todas las ofertas aprobadas compran los títulos a un mismo precio, correspondiente a la tasa de corte. Este sistema de colocación se llama subasta de tipo Holandés. El apoyo informático para las negociaciones es el SEN (Sistema Electrónico de Negociación), el cual es parte del SEBRA (Servicio Electrónico del Banco de la República). Adicionalmente puede existir una segunda vuelta debido a que posiblemente la demanda de títulos supere la oferta; en ésta sólo podrán participar los acreedores a una adjudicación en la subasta, y la asignación de títulos se hará en forma proporcional al monto demandado. En este mercado primario sólo pueden participar lo Creadores de Mercado y los Aspirantes a Creadores de Mercado. Estos títulos los otorga el Ministerio de Hacienda y Crédito Público, y los tienen corporaciones financieras que participan activamente en el mercado de deuda pública que cumplen requisitos de capital y riesgo. En febrero de 2009 había 10 Creadores de Mercado y 4 Aspirantes (Ministerio de Hacienda y Crédito Público, República de Colombia, 2008).. 19.

(20) Por otro lado, el mercado secundario de TES se desarrolla por medio de sistemas centralizados que cuentan con la autorización de la Superintendencia de Valores e Intermediarios Financieros: específicamente la Bolsa de Valores de Colombia a través del SEN. Para facilitar las transacciones hay corredores de valores especializados en TES. Existen TES más líquidos (tienen mayor volumen de transacciones) que otros; generalmente los que hacen parte del programa Creadores de Mercado son los más líquidos. En cuanto a los swaps, sus transacciones son hechas sobre el mostrador (over the counter). Esto quiere decir que no son cotizadas en un mercado bursátil centralizado. Generalmente las entidades financieras – como bancos comerciales – facilitan estas negociaciones actuando como intermediarios (brokers) entre las dos entidades que entran en el swap; o también ellas mismas pueden ser las entidades que entran en el contrato. Existen numerosas entidades dispuestas a entrar en un swap, desde inversionistas que desean proteger sus inversiones de riesgos hasta empresas que exportar y desean protegerse contra el riesgo tasa de cambio. Los IRS se hacen generalmente sobre la DTF (Depósitos a Tiempo Fijo), la cual es la tasa promedio de los intereses que las entidades financieras colombianas – bancos, corporaciones financieras, corporaciones de ahorro y vivienda, compañías de financiamiento comercial – ofrecen en sus CDT (Certificados de Depósito a Término) a 90 días a sus clientes, ponderando por el valor nominal que tiene cada entidad. La DTF la calcula el Banco de la República semanalmente. Por otro lado, los CCS se hacen generalmente sobre la LIBOR en dólares.. 20.

(21) 5. PROCEDIMIENTO El procedimiento se divide en dos partes: el análisis sobre la curva cero, y el análisis sobre la curva swap. 5.1 CURVA CERO Se podría pensar en que la serie de tiempo de las tasas internas de retorno de los TES, encontrada directamente en Bloomberg, sirve para aplicar componentes principales al mercado de renta fija colombiano. Pero dicha idea es desechada porque cuando pasa un día, el TES que tenía madurez T ahora va a tener madurez T – 1 día y no va a haber otro TES que ahora tenga madurez T, y así no se pueden consolidar los datos en una matriz organizada para aplicarle componentes principales. Por ende, se aplica componentes principales a la curva cero; así, para cada día de la serie de tiempo se van a tener datos para cualquier punto de referencia t en la curva. 5.1.1 Base de datos Consta de 1693 observaciones históricas de los cuatro parámetros de la metodología Nelson y Siegel (explicada en el marco teórico), encontrados a partir de los bonos TES en tasa fija denominados en pesos. Dichas observaciones corresponden a los días bursátiles desde el 15 de noviembre de 2002 hasta el 16 de octubre de 2009. Esta base de datos fue entregada por el Banco de Bogotá, de acuerdo a las publicaciones de la Bolsa de Valores de Colombia. De acuerdo a los cuatro parámetros de Nelson y Siegel, y teniendo en cuenta la ecuación (2-22), se construye una curva cero para cada día de la serie de tiempo. Para la construcción de la curva de cada día se toma cada mes, hasta 144 meses (12 años), como puntos de referencia. Dos ejemplos de curva cero se muestran a continuación: Ejemplos curva cero 9. 8. Tasa %. 7. 6. 5. 4. 3. 2 0. 50. 100. 150. Mes. Figura 5-1: Ejemplos de la curva cero. 5.1.2 Primera aplicación de Componentes Principales Con las distintas curvas cero y puntos de referencia se forma una matriz de datos 1692x144 de los cambios diarios en la curva, donde las filas corresponden a cada uno de los días de la serie de 21.

(22) tiempo (observaciones) y las columnas a cada punto de referencia de la curva (variables originales). Al aplicar componentes principales a dicha matriz de cambios en la curva cero, se obtuvieron los siguientes resultados: Componente. Valor propio. % Explicación explicación acumulada. 1. 1.5423. 62.23%. 62.23%. 2. 0.4388. 17.71%. 79.94%. 3. 0.3473. 14.02%. 93.96%. Tabla 5-1: Resultados Componentes Principales a toda la curva cero. De acuerdo a los porcentajes de explicación, el 93.96% de la variabilidad de los cambios en la curva cero se puede explicar mediante tres nuevas variables (componentes), siendo la primera la más importante dado que explica el 62.23%. Esto ilustra el potencial de Análisis de Componentes Principales para reducir las dimensiones de un problema; y específicamente para el presente proyecto, permite detectar que los cambios diarios en la curva se pueden descomponer en tan sólo tres categorías. Los vectores propios graficados se muestran a continuación, mostrando en el eje x cada mes de la curva cero y en el eje y el coeficiente del vector propio asociado a dicho mes.. coeficiente. coeficiente. Primer componente 0.1 0 -0.1. 0. 50. 0. 50. 100 mes Segundo componente. 150. 100. 150. 100. 150. 0.5 0 -0.5. coeficiente. mes Tercer componente 0.2 0 -0.2. 0. 50 mes. Figura 5-2: Diagrama de barras de los coeficientes de los tres primeros vectores propios resultantes de la aplicación de componentes principales a toda la curva cero.. 22.

(23) Para interpretar los vectores propios (graficados) hay que recordar que la covarianza entre un componente principal y una variable original (punto de referencia en la curva) es directamente proporcional al componente – correspondiente a la variable original – del vector propio correspondiente (ver ecuación (2-34)). Para el presente análisis se puede interpretar entonces que dicho coeficiente es la influencia de una componente principal en una variable original. Teniendo en cuenta los coeficientes de los vectores propios graficados anteriormente, la forma de interpretarlos, y considerando las investigaciones anteriores sobre la aplicación de este método en otros países, se pueden interpretar los vectores propios. El primer componente es similar a un cambio de nivel en la curva dado que en la mayoría de los puntos de referencia en la curva es el mismo, ejerciendo un cambio similar al presentado en la figura 3-1. El segundo componente se puede interpretar como un cambio de la pendiente, dado que los efectos son mayores en los primeros meses, ejerciendo un cambio similar al presentado en la figura 3-2. Por último, el tercer componente se puede interpretar como un cambio de curvatura dado que los mayores efectos se presentan en los meses intermedios, ejerciendo un cambio similar al presentado en la figura 3-3. Aunque los resultados son similares a los hallados en otros países, existe una particularidad: en los primeros meses (corto plazo) existen comportamientos inesperados. En el componente de nivel se esperaría que el efecto (el componente) fuera casi igual en todos los meses; sin embargo, en los primeros meses el efecto es menor al resto, e inclusive en los primeros tres meses el efecto es inverso. Por otro lado, en el componente de pendiente la mayoría de la variación capturada pertenece al corto plazo. Por último, con el componente de curvatura se esperaba que el efecto en el corto plazo fuera inverso al efecto de mediano plazo; pero se aprecia en la gráfica que el efecto, aunque menor, no es inverso. En resumen, se nota un comportamiento diferente en el corto plazo del de largo plazo. Estas particularidades sugieren la idea de dividir las variables (los puntos en la curva cero) en dos matrices: - Corto plazo: Desde 1 a 18 meses (matriz de 18 variables y 1692 observaciones) - Largo plazo: desde 19 a 144 meses (matriz de 125 variables y 1692 observaciones). Conceptualmente esta división es válida dado que el mercado colombiano de renta fija a corto plazo es diferente al de largo plazo. Dicha separación en el mercado de renta fija es común, los actores en un mercado son diferentes a los del otro mercado. Esto se puede explicar si se tiene en cuenta que los actores del mercado a corto plazo tienen el objetivo principal de administrar la liquidez; mientras que los actores del mercado a largo plazo tienen otros objetivos (e.g. inversión). A continuación entonces se aplica Componentes Principales a los dos conjuntos de datos. 5.1.3 Segunda aplicación de Componentes Principales: Separando el mercado de corto plazo del de largo plazo Al aplicar Análisis de Componentes Principales en la parte de corto plazo de la curva cero se llega a los siguientes resultados.. 23.

(24) Componente. Valor propio. % Explicación acumulada explicación. 1. 0.4230. 85.44%. 85.44%. 2. 0.0702. 14.18%. 99.62%. 3. 0.0019. 0.37%. 100.00%. Tabla 5-2: Resultados Componentes Principales a la primera parte de la curva cero. Los porcentajes de explicación de la variabilidad de los cambios en la curva cero ilustran que con tan sólo 3 componentes se explica la totalidad de la variación, donde el 85.44% se explica con sólo el primero. Al comparar estos porcentajes de explicación con los resultantes de aplicar la metodología a toda la curva cero, se puede ver una mejoría en el poder explicativo. Esta es la primera sugerencia de que efectivamente el mercado de renta fija colombiano tiene un comportamiento distinto dependiendo del plazo. A continuación se muestran los vectores propios graficados.. coeficiente. coeficiente. coeficiente. Primer componente 0.5. 0. 0. 2. 4. 6. 0. 2. 4. 6. 0. 2. 4. 6. 8. 10 12 mes Segundo componente. 14. 16. 18. 20. 8. 14. 16. 18. 20. 14. 16. 18. 20. 0.5 0 -0.5. 10 12 mes Tercer componente. 0.5 0 -0.5. 8. 10 mes. 12. Figura 5-3: Diagrama de barras de los coeficientes de los tres primeros vectores propios resultantes de la aplicación de componentes principales a la primera parte de la curva cero.. Estos gráficos muestran que, al igual que con la metodología aplicada a la curva entera, el primer componente se puede interpretar como cambio en nivel, el segundo como cambio en pendiente, y el tercero como cambio en curvatura. Dichas gráficas se acercan más a los resultados de los trabajos anteriores: El efecto de nivel es en la misma dirección para todos los meses, el efecto de pendiente deja de incluir solamente los efectos del corto plazo, y el efecto de curvatura en la. 24.

(25) mitad de la curva es inverso al del principio de la curva. Hay que observar que en el efecto de nivel surge otra particularidad: entre mayor el plazo, el efecto es menor. A continuación se muestran los resultados de la aplicación de la metodología a las meses de largo plazo (mayores a 19 meses). Componente. Valor propio. % Explicación acumulada explicación. 1. 1.5269. 76.58%. 76.58%. 2. 0.3476. 17.43%. 94.01%. 3. 0.1059. 5.31%. 99.32%. Tabla 5-3: Resultados Componentes Principales a la segunda parte de la curva cero. Al igual que en los dos análisis anteriores, la variabilidad de los datos se puede explicar en gran medida por tres componentes principales. De manera similar a los resultados del análisis sobre el corto plazo, el porcentaje de explicación de estos componentes es mayor que en el caso del análisis sobre la curva completa. A continuación se grafican los vectores propios correspondientes (tener en cuenta que el mes 1 en las gráficas hace referencia al primer mes del largo plazo, i.e. al mes 19 de la curva completa, el 2 al 20, y así sucesivamente).. coeficiente. coeficiente. coeficiente. Primer componente 0.1 0.05 0. 0. 20. 40. 0. 20. 40. 0. 20. 40. 60. 80 mes Segundo componente. 100. 120. 140. 60. 100. 120. 140. 100. 120. 140. 0.2 0 -0.2. 80 mes Tercer componente. 0.5 0 -0.5. 60. 80 mes. Figura 5-4: Diagrama de barras de los coeficientes de los tres primeros vectores propios resultantes de la aplicación de componentes principales a la segunda parte de la curva cero.. Al igual que las dos aplicaciones de componente principales anteriores, el primer componente se puede interpretar como cambio en nivel, el segundo como cambio en pendiente, y el tercero 25.

(26) como cambio en curvatura. Es necesario notar que las estructuras de dichos cambios se acercan más a las esperadas de acuerdo a las investigaciones anteriores. Es preciso señalar que dividir la línea de tiempo en dos permitió capturar una dinámica más clara de las tasas de interés. De igual manera, es interesante ver la similitud de los resultados entre las tres aplicaciones de Componentes Principales. En los tres casos la mayoría de la variación se explica con sólo tres componentes, y además, esos componentes se pueden interpretar de la misma manera. Estos resultados permiten decir que el mercado de renta fija a corto plazo tiene una dinámica diferente al de largo plazo, pero guardan una relación entre ellos. 5.2 SWAPS En el presente trabajo se tienen en cuenta a los swaps dado que vislumbran las estructuras de tasa de interés. Es intuitivo pensar que si las tasas de interés aumentan (en este caso la USD-LIBOR), la tasa fija del swap COP (tasa fija en COP) vs. USD-LIBOR (tasa LIBOR en USD) debe aumentar para poder hacer del swap un contrato con precio “justo” para ambas entidades que participan de él. Dada la relación entre la tasa swap y la estructura de tasas de interés, la aplicación de Componentes Principales sobre la curva swap es interesante para analizar otra estructura de tasas de interés relaciona con Colombia. 5.2.1 Base de datos Consta de 504 observaciones históricas de los cambios diarios de la tasa fija de los swaps COP (Pesos Colombianos) vs. LIBOR (en USD) con plazo de 1,2,3,5,7 y 10 años. Dichas observaciones corresponden a cambios de los días bursátiles entre el 30 de mayo de 2007 y el 7 de mayo de 2009. Esta base de datos fue tomada de Bloomberg. Dos ejemplos de la curva swap se muestran a continuación. Ejemplos curva swap 0.092 0.09 0.088. Tasa %. 0.086 0.084 0.082 0.08 0.078 0.076. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. años. Figura 5-5: Ejemplos de la curva swap. 26.

(27) 5.2.2 Primera aplicación de Componentes Principales Se aplica Componentes Principales a la matriz de datos de 504 observaciones y 6 variables (las tasas swap de los diferentes plazos), obteniendo los siguientes resultados. Componente. Valor propio. % explicación. Explicación acumulada. 1. 9.41E-06. 61.07%. 61.07%. 2. 3.99E-06. 25.94%. 87.01%. 3. 1.21E-06. 78.45%. 94.86%. Tabla 5-4: Resultados de la primera aplicación de Componentes Principales a la curva swap. Es interesante ver que al igual que el análisis sobre la curva cero, los cambios en las tasas swap se pueden representar mediante tres componentes principales. Igualmente, los porcentajes de explicación son muy parecidos: en ambos casos el primer componente explica alrededor del 61% y los tres primeros componentes explican alrededor del 94%. A continuación se grafican los tres primeros componentes principales (en el eje x los swaps organizados de menor a mayor madurez, y en el eje y los coeficientes del vector propio).. coeficiente. coeficiente. Primer componente 1 0.5 0. 1. 2. 1. 2. 3. 4 swap Segundo componente. 5. 6. 5. 6. 5. 6. 1 0 -1. 3. 4. coeficiente. swap Tercer componente 1 0 -1. 1. 2. 3. 4 swap. Figura 5-6: Diagrama de barras de los coeficientes de los tres primeros vectores propios resultantes de la primera aplicación de componentes principales a la curva swap.. Los vectores propios tienen una estructura similar al del análisis sobre la totalidad de la curva cero: el primer componente es de nivel, pero el efecto en el swap de más corto plazo es menor; el. 27.

(28) segundo componente es de pendiente, pero sólo afecta al swap de un año de madurez; y el tercer componente se asemeja a un efecto de curvatura. Al igual que el análisis sobre la curva cero, se hace evidente la separación del corto plazo y del largo plazo para detectar lo inusual de los coeficientes de los vectores propios asociados al swap a un año. Como los de corto plazo es sólo el primer swap, entonces sólo se aplica la metodología a los demás (representan el largo plazo). 5.2.2 Segunda aplicación de Componentes Principales Al aplicar componentes principales a los datos, eliminando la variable que representa el swap con madurez de un año, se obtienen los siguientes resultados. Componente. Valor propio. % explicación. Explicación acumulada. 1. 9.23E-06. 82.07%. 82.07%. 2. 1.22E-06. 10.86%. 92.93%. 3. 4.49E-07. 3.99%. 96.92%. Tabla 5-5: Resultados de la segunda aplicación de Componentes Principales a la curva swap. Se observa que el poder explicativo de los primeros componentes principales aumenta, sugiriendo que efectivamente hay una separación del mercado de corto plazo y el de largo plazo.. coeficiente. coeficiente. coeficiente. Primer componente 1 0.5 0. 1. 2. 3 swap Segundo componente. 4. 5. 1. 2. 3 swap Tercer componente. 4. 5. 1. 2. 3 swap. 4. 5. 1 0 -1. 1 0 -1. Figura 5-7: Diagrama de barras de los coeficientes de los tres primeros vectores propios resultantes de la segunda aplicación de componentes principales a la curva swap.. 28.

(29) Al ver los vectores propios se evidencia una buena representación de lo que los efectos de nivel, pendiente, y curvatura son. Inclusive, el efecto de nivel se aprecia mejor que en los resultados de la curva cero, dado que la relación de dicho efecto sobre cada uno de los swaps es casi la misma. La mejoría en los resultados por tomar en cuenta sólo el mercado de largo plazo vuelve a evidenciar que el mercado de renta fija colombiano tiene una separación entre el largo plazo y el corto plazo.. 29.

(30) 6. APLICACIÓN: INMUNIZACIÓN DE ACTIVOS DE RENTA FIJA Una posible aplicación de componentes principales es la protección contra el riesgo de activos de renta fija. Los interesados en esto son las organizaciones que desean tener el mínimo riesgo posible al comprar activos financieros, y que a su vez necesitan que el dinero recibido tenga cierto rendimiento en el tiempo. Dichas entidades son principalmente los fondos de pensiones, que prometen flujos de dinero fijos a sus clientes cuando terminan su vida laboral, y las compañías de seguros, que deben responder con determinados flujos en caso de que sus clientes tengan un accidente. (Bodie et al., 2002) Actualmente dichas entidades usan una estrategia de gestión del riesgo basada en configurar un portafolio de títulos de renta fija que tenga un valor, un duration y una convexity igual al plazo del flujo de dinero que debe hacer, a este método se conoce como “matching duration and convexity” (Bodie et al., 2002). Lamentablemente esta estrategia resulta efectiva sólo cuando los movimientos en la curva cero son de nivel. Por ende, de acuerdo a los resultados del presente documento, sólo van a cubrir el 62.23%. Otro problema de esta estrategia es que se debe modificar el portafolio de cobertura cada cierto tiempo, dado que el duration y el convexity dependen del precio del bono, el cual cambia continuamente. Con estos problemas en mente se desea proponer una estrategia más efectiva, al saber cuáles son los demás efectos que influyen en los cambios de la curva cero. Para ello, se va a tomar un TES ilíquido y se tratará de cubrir el riesgo de que cambie de precio por movimientos en las tasas de interés. Tomar un TES ilíquido para el análisis permite pensar en poder obtener el siguiente beneficio del mercado: los TES ilíquidos tienen un riesgo liquidez mayor, lo cual hace que su tasa interna de retorno sea mayor; así, se puede tomar posiciones en este tipo de TES para obtener beneficios extras dado que se sabe cómo cubrir su riesgo. A continuación se explica el procedimiento planteado. 6.1 Procedimiento El objetivo del procedimiento es entonces cubrir el riesgo de un bono TES ilíquido con un portafolio de bonos TES líquidos, usando los resultados del primer análisis de componentes principales de la curva cero (no se pudo tomar en cuenta el segundo análisis porque dividía la curva en dos). En otras palabras, se deseaba encontrar el número de bonos de cada referencia líquida que conforman el portafolio que cubre el riesgo de tener (estar largo) un TES ilíquido. De acuerdo a los reportes de la Bolsa de Valores de Colombia (2009) sobre los volúmenes de negociación de los TES, se tomó al TES con madurez en octubre de 2015 como el TES ilíquido (TES 4); los que se tomaron como líquidos fueron: el de madurez en julio del 2020 (TES 1), el de madurez en mayo del 2014 (TES 2), y el de madurez en mayo del 2011 (TES 3). Se deseaba evaluar cuatro diferentes estrategias para ello: 1. Considerando los tres posibles movimientos de la curva cero (los tres componentes principales). 2. Cubriendo el movimiento de pendiente y el de curvatura, dejando descubierto los efectos por el movimiento de nivel.. 30.

(31) 3. Cubriendo el movimiento de nivel y el de curvatura, dejando descubierto los efectos por el movimiento de pendiente. 4. Cubriendo el movimiento de nivel y el de pendiente, dejando descubierto los efectos por el movimiento de curvatura. Teniendo en cuenta el objetivo del análisis, se empezó el procedimiento considerando un día de la serie de tiempo arbitrariamente (el 16 de octubre de 2009) y hallando el precio de los cuatro bonos TES mencionados anteriormente, usando la ecuación (2-10). Después se volvió a hallar el precio de los cuatro TES en otros tres escenarios: cada uno es conformado por la curva cero del 16 de octubre de 2009 sumada con uno de los tres vectores propios (escalándolo al multiplicarlo por cinco para observar mejor el cambio en los precios). Los precios de los TES en cada uno de los cuatro escenarios son los siguientes:. Escenario\TES Actual Mov. Nivel Mov. Pendiente Mov. Curvatura. may-14 may-11 jul-20 119.865402 109.811226 113.2642215 127.170134 113.0700161 113.9992482 120.883207 108.7180792 114.3761502 124.641633 106.368128 112.0316134. oct-15 (ilíquido) 99.38117175 103.5317407 98.27753005 96.76722726. Tabla 6-1: Precios de TES en diferentes escenarios.. A continuación se halló el diferencial de cada cambio:. Escenario\TES jul-20 may-14 may-11 Mov. Nivel 7.30473244 3.25879011 0.73502667 Mov. Pendiente 1.01780491 -1.09314678 1.11192862 Mov. Curvatura 4.77623088 -3.44309800 -1.23260817. oct-15 (ilíquido) 4.15056893 -1.10364170 -2.61394449. Tabla 6-2: Cambios del precio de TES ante los diferentes escenarios.. Con estos datos en mente, se construyen sistemas de ecuaciones de acuerdo a cada una de las estrategias de cubrimiento del riesgo para hallar el número de bonos líquidos de cada referencia que conforman el portafolio que cubre el riesgo de un TES ilíquido. Teniendo en cuenta la primera estrategia, se forma el siguiente sistema de ecuaciones, siendo la primera ecuación correspondiente a los cambios en nivel, la segunda a los cambios en pendiente y la tercera a los cambios en curvatura: H n. + H + HH + nH. . + n H + Hn H + nn. H. n H n n. n. (6-1) (6-2) (6-3). Donde 3 es el diferencial del cambio en el precio de un TES j ante el cambio i en la curva, siendo es el número de bonos del TES j que conforman al portafolio que cubre el riesgo del TES 4. Para la estrategia 2 se elimina la ecuación (6-1) del sistema y se fija n 0; para la estrategia 3 se 31.

(32) elimina la ecuación (6-2) del sistema y se fija (6-3) del sistema y se fija n 0.. n. 0; y para la estrategia 4 se elimina la ecuación. Las unidades de cada bono líquido de acuerdo a la estrategia son entonces: Estrategia\TES 1 2 3 4. jul-20 0.13678608 0.54902481 0.14177644 0.08322845. may-14 0.99788047 1.52078556 0.95585473 1.08709283. may-11 -0.13672948 0 0 0. Tabla 6-3: Unidades de los TES líquidos para conformar el portafolio de cobertura.. 6.2 Resultados Es interesante ver que a diferencia del procedimiento de cobertura usado actualmente por los fondos de pensiones, este método propuesto no requiere rebalancear continuamente el portafolio de cobertura. Para comprobar la eficacia de dichas estrategias de cobertura se analiza cómo hubiera cambiado, desde el 15 de noviembre de 2002 hasta el 16 de octubre de 2009, el valor diario de un portafolio formado por una posición larga en el bono ilíquido y una posición corta en el portafolio encontrado de acuerdo a cada una de las cuatro estrategias. Una buena cobertura de los movimientos de la curva cero entonces hará que los cambios diarios sean cero. Con esto en mente, los histogramas de acuerdo a cada estrategia son los siguientes:. 32.