1. Introducci´on 5
2. Preliminares 11
2.1. Espacios Topol´ogicos y M´etricos . . . 11
2.2. An´alisis Funcional. . . 16
2.3. Teor´ıa de Medida e Integraci´on . . . 23
2.3.1. Medidas Complejas . . . 30
2.3.2. Medidas en espacios topol´ogicos . . . 33
3. Medidas invariantes para transformaciones continuas 41 3.1. El espacioM(X) . . . 41
3.2. Medidas invariantes para transformaciones continuas . . . 51
4. Espacios Polacos 55 5. Existencia de medidas invariantes 63 5.1. Medidas invariantes en un espacio m´etrico compacto . . . 63
5.2. Medidas invariantes en un espacio de Hilbert . . . 74
Introducci´
on
((Habe nun, ach! Philosophie, Juristerei und Medizin, Und leider auch Theologie Durchaus studiert, mit heißem Bem¨uhn. Da steh ich nun, ich armer Tor! Und bin so klug als wie zuvor;))1
Faust: Der Trag¨odie erster Teil, Goethe.
En su invocaci´on inicial, Fausto reclama con un profundo dolor y gran an-gustia que, aquello que ´el entiende por conocimiento es un contenido que realmente no lo ha hecho mucho m´as sabio. Ahora bien, en una ´epoca co-mo la que estaco-mos viviendo, en la cual el conocimiento suele apartarse cada vez m´as de la praxis vital humana, siempre es prudente preguntarse si el conocimiento nos est´a aportando algo. Pues, del mismo modo que Fausto, nosotros estamos acumulando conocimientos, conocimientos que, en efecto, son verdaderos. Pero que si no son interiorizados de una manera adecuada, entonces podr´ıan pasar inadvertidos. ¡Cu´an tentador ser´ıa para nosotros re-cibir la oferta de Mefist´ofeles! cu´an afortunados ser´ıamos al poder recibir la oferta de una comprensi´on dionisiaca del Universo, tal s´olo por un momento, como para contemplar y aceptar que los contenidos racionales que adquirimos
1((I’ve studied now Philosophy
And Jurisprudence , Medicine,−
And even, alas! Theology,−
From end to end, with labor keen; And here poor fool! with all my lore I stand no wiser than before;)) [4], 17.
6
en realidad no son un algo lejano a la comprensi´on afectiva que tenemos del mundo. Que, realmente, el conocimiento te´orico no est´a alejado de nuestra pr´actica vital, de nuestra relaci´on con el otro, de nuestro ser en el mundo. As´ı lo entendieron los griegos en su momento, ¡y no s´olo ellos!, los Fil´osofos Modernos no comprend´ıan la Ciencia Natural, la Matem´atica, la Filosof´ıa y la Teolog´ıa como disciplinas disjuntas, sino que, por el contrario, hab´ıa una comprensi´on total del conocimiento. Los distintos momentos de la abstrac-ci´on, a final de cuentas, eran s´olo eso, distintos momentos de un todo que requer´ıa de cada una de sus partes para ser comprendido en plenitud. Cuando Kant habla de la importancia de cierto conocimiento que((abandona incluso el campo de toda experiencia posible y posea la apariencia de exten-der nuestros juicios m´as all´a de todos los l´ımites de la misma por medio de conceptos a los que ning´un objeto emp´ırico puede corresponder)) ( [7], A3), se refer´ıa precisamente a la importancia que tiene unificar la Raz´on. La preo-cupaci´on de Kant estaba enfocada en dos frentes, por un lado, bien quer´ıa justificar la ciencia moderna y hablar de la posibilidad de un conocimiento a priori posible, m´as sin embargo, su objetivo final no era hacer exclusivamente una Metaf´ısica de la Naturaleza, sino una Filosof´ıa capaz de abarcar todos los aspectos de la vida humana: tanto el te´orico como el pr´actico. M´as a´un, yo comparto una de las convicciones de Kant y es la posibilidad de construir un sistema capaz de unificar estos dos polos, tan aparentemente disjuntos, de la raz´on: el te´orico y el pr´actico.
Y aunque est´e lejos de lograr corroborar si tal idea es viable o no, al menos trato de mi estancia en la Universidad de los Andes trat´e de hacer acorde a tal convicci´on. Por este motivo, considero que esta introducci´on no s´olo es
pertinente, sino necesaria. La exposici´on de la necesidad de la comprensi´on del conocimiento como una pr´actica vital llevar´a al lector a ver, espero, que la presente monograf´ıa no es tan s´olo la exposici´on discursiva de algunos con-ceptos y su desarrollo, sino que ella es un reflejo de lo que fue mi trayectoria en el pregrado en matem´aticas. El presente trabajo es, si se me permite la expresi´on, el despliegue org´anico de los cursos en An´alisis que vi durante el pregrado: An´alisis Real, Teor´ıa de Medida e Integraci´on, An´alisis Funcional y Teor´ıa Erg´odica. Por este motivo, lo que ac´a se muestra es la s´ıntesis de un proceso que empez´o con el curso de An´alisis Real −y espero, sinceramente, que sea una s´ıntesis que no se agote, pues aspiro a que el proceso de aprendi-zaje en estos temas avance− y culmina con lo que se expone a continuaci´on. Por este motivo, ruego al lector que lo lea con esa actitud: no como una mera exposici´on, sino como un proceso. M´as a´un, este proceso no es solo un
avanzar l´ogico de un concepto a otro, que es lo que se puede apreciar en las demostraciones y definiciones, sino como un proceso vital. Para m´ı hacer matem´aticas es un estilo de vida. El An´alisis nos dice algo del mundo que de otra manera no podr´ıa manifestarse y con esa convicci´on escribo el presente trabajo. M´as a´un, con esa convicci´on continuar´e estudiando matem´aticas.
Sobre la estructura del presente trabajo
El presente texto tiene como objetivo mostrar que dados un espacio m´etrico compacto (X, d) y una funci´on continua T : X → X, siempre existe una medida de probabilidad µ sobreB(X) −la σ-´algebra de Borel sobre X− tal que para cada A ∈ B(X), µ(T−1(A)) = µ(A). Vale la pena se˜nalar que, en principio, este no es un problema trivial. Considere como X el espacio de probabilidad estandar ([0,1],B([0,1]), λ) y sobre este espacio considere, para
n ∈ N, n ≥ 2 la funci´on Tn(x) := xn. Esta funci´on es claramente continua
en X, espacio m´etrico compacto. Ahora, sea A ∈ B([0,1]). Sin p´erdida de generalidad, por el primer principio de Littlewood, A = (a, b) ⊂ [0,1] es un intervalo. Entonces, Tn−1(A) = (√na,√nb). Note que, en general, λ(A) =
b−a 6= √n
b− √na =λ(T−1
n (A)). Por consiguiente, podemos concluir que los
polinomios de grado mayor o igual dos no preservan la medida de Lebesgue. Ahora, asuma que se tiene el resultado para espacios m´etricos compactos. Quisi´eramos en principio saber si un resultado an´alogo vale para el caso de
R. Es decir, si dada una funci´on continua f : R → R, existe una medida
de probabilidad µ sobre B(R) tal que para todo conjunto Borel medible A,
µ(f−1(A)) = µ(A). A diferencia del caso en el cual nuestro espacio es m´etrico
compacto, en esta situaci´on tendremos que en general el resultado es falso. Ser´a necesario restringirse a una clase de funciones mucho m´as peque˜na, para poder encontrar la medida que necesitamos. Sin embargo, la posible general-zaci´on que pudo hacerse para R nos permiti´o expandir el resultado a un espacio de Hilbert H. Este ´ultimo resultado es especialmente interesante, en mi opini´on, no s´olo por mi gran aprecio por la Teor´ıa de Medida, sino porque en general el problema de medidas en espacios de Banach es un problema no trivial. Para poder resolver estas cuestiones, se dividi´o el presente tra-bajo en cuatro cap´ıtulos. En el cap´ıtulo 2 se exponen de manera breve los preliminares que el lector va a requerir para comprender las definiciones, de-mostraciones y observaciones de los dos cap´ıtulos posteriores. Este, a su ves, est´a dividido en tres subsecciones: Espacios M´etricos y Topolog´ıa, An´alisis
8
Funcional y Teor´ıa de Medida e Integraci´on. Se trat´o de hacer referencia a los resultados m´as importantes y probar algunos resultados cl´asicos. Adem´as de la bibliograf´ıa citada expl´ıcitamente a lo largo del cap´ıtulo, es importante se˜nalar que la secci´on de Teor´ıa de Medida fue fuertemente nutrida por [5] y las notas de clase del curso de Teor´ıa de Medida e Integraci´on dictado por Monika Winklmeier en el segundo semestre del a˜no 2014.
En el cap´ıtulo 3 se desarrollan las herramientas conceptuales necesarias para abordar el problema de existencia de medidas invariantes para transforma-ciones continuas cuando el espacio sobre el que trabajamos es un espacio m´etrico compacto. Aqu´ı, adem´as, se habla de las propiedades topol´ogicas del espacio dual de C(X). Este cap´ıtulo fue producto de un trabajo ex´egetico que se realiz´o con la ayuda de Alexander Berenstein para comprender de ma-nera adecuada las pruebas y argumentos dados por [12]. Sin embargo, al ser una parte importante de la bibliograf´ıa principal del curso Teor´ıa Erg´odica, aunque lo se le cite expl´ıcitamente en el cap´ıtulo, [6] est´a muy presente a lo largo de todo el cap´ıtulo.
En el cap´ıtulo 4 tratamos de abordar con m´as generalidad los resultados explorados en el cap´ıtulo 3. Por este motivo, empezamos a trabajar con es-pacios polacos en general. El primer resultado es, en mi opini´on, uno de los resultados m´as interesantes de las medidas topol´ogicas en un espacio polaco: toda medida de Borel localmente finita es una medida regular, si la conside-ramos sobre los conjuntos de Borel de un espacio polaco. Vale la pena se˜nalar parte de la importancia de este resultado, pues una de las propiedades m´as importantes de la medida de Lebesgue en R es justamente su regularidad (ver Primer Principio de Littlewood, 2.124). El resto del cap´ıtulo se centra en estudiar las propiedades topol´ogicas del espacio dual de C0(X), cuando
X es un espacio polaco localmente compacto. Finalmente, en el cap´ıtulo 5 se prueba el resultado principal del presente trabajo: la existencia de medi-das invariantes para transformaciones continuas. El primer resultado que se muestra es para el caso en el cual el espacio X sea m´etrico compacto. Acto seguido, se analizan dos ejemplos adicionales, uno cuando nuestro espacio es
Rn ´o Cn En este caso se muestra que el tipo de funciones para las cuales
es posible es mucho m´as limitado, se ver´a que es un subespacio del espacio
C0(Kn), pero el resultado es igualmente interesante. Por ´ultimo, se trabaja el
caso de operadores lineales autoadjuntos acotados en un espacio de Hilbert. Se ver´a, que gracias al Teorema Espectral, es posible encontrar tambi´en una medida invariante bajo estos operadores.
agradecer a mis padres, por su apoyo incondicional a lo largo del pregrado. A Catalina Gonz´alez, por su compa˜n´ıa, ayuda y consejo durante mi estad´ıa en la Universidad. A Monika Winklmeier y a Alexander Berenstein, qui´enes me acompa˜naron durante todos los cursos importantes que vi en el pregrado y me formaron como matem´atico. A mi director de tesis, Alexander Berenstein, de nuevo un agradecimiento sincero por decidir acompa˜narme en el proceso de la elaboraci´on de este trabajo. A´un cuando no fue f´acil encontrar un tema para trabajar, dentro del horizonte de posibilidades que hab´ıa, gracias a la asesor´ıa de Alexander y su ayuda logr´e encontrar un tema que se ajustaba de manera perfecta a mis intereses y, creo, se concluye de una manera muy buena. Muchas gracias.
Preliminares
2.1.
Espacios Topol´
ogicos y M´
etricos
Definici´on 2.1. Sea X 6=∅. Una funci´ond:X×X →R es una m´etrica si
∀x, y, z ∈X se tiene lo siguiente: (i) d(x, y) = 0 ⇐⇒x=y. (ii) d(x, y) = d(y, x).
(iii) d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z). El par (X, d) es un espacio m´etrico.
Definici´on 2.2. Sean (X, d) un espacio m´etric y A ⊂ X, X, A 6= ∅. Para
x∈X, definimos la distancia de x aA de la siguiente manera,
d(x, A) := ´ınf{d(x, a) :a ∈A}. (2.1)
Observaci´on 2.3. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Es f´acil ver que la funci´on
d :X×X →R es continua. M´as a´un, es uniformemente continua.
Definici´on 2.4. Sea (X, d) un espacio m´etrico. El espacioXse dicecompleto
si toda sucesi´on de Cauchy en X converge en X.
Ejemplos 2.5. • Los conjuntos N,Z, Q,Rson espacios m´etricos con la m´etrica d(x, y) :=|x−y|.
12 2.1. Espacios Topol´ogicos y M´etricos
• Sea (X, d) un espacio m´etrico yA⊂X,A6=∅. Entonces (A, dA), donde
dAes la restricci´on de la funci´ondal subconjunto A×A, es un espacio
m´etrico.
• El espacio m´etrico (Q,| · |) no es un espacio m´etrico completo.
• El espacio m´etrico (R,| · |) es completo.
Teorema 2.6. Sean (X, dX),(Y, dY) espacios m´etricos, Y completo, S ⊂X
denso y f :X →Y una funci´on. Si f :S → Y es uniformemente continua, entonces existe una extensi´on continua ´unica de f a todo X. M´as a´un, la extensi´on tambi´en es uniformemente continua.
Demostraci´on. Sea fe:X =S →Y definida de la siguiente manera:
e
f =
f(x) si x∈S,
l´ımn→∞f(xn) si x∈X\S y (xn)n →x.
Veamos quefeest´a bien definida. Para esto, debemos ver que l´ımn→∞f(xn)
existe y que no depende de la sucesi´on que se tome. Como f es uniforme-mente continua,f manda sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy. Sea
x ∈ X \S. Como S es denso en X, existe una sucesi´on (xn)n ⊂ S tal que
(xn)n → x. Como (xn)n converge y X es un espacio m´etrico, (xn)n es una
sucesi´on de Cauchy. Ahora bien, comof es uniformemente continua en S, la sucesi´on (f(xn))n es de Cauchy en Y. Como Y es completo, (f(xn))n
con-verge a, digamos, y ∈ Y. Sea fe(x) :=y. Ahora, sea (yn)n ⊂ S tal que (yn)n
tambi´en converge a x. Queremos ver que l´ımn→∞f(xn) = l´ımn→∞f(yn).
Considere la sucesi´on concatenada (zn)n := (x1, y1, x2, y2, x3, y3, ...). Es
cla-ro que (zn)n → x y entonces es una sucesi´on de Cauchy en S. Como f
es uniformemente continua, (f(zn))n es una sucesi´on de Cauchy en Y. M´as
a´un, note que (f(xn))n ⊂ (f(zn))n, pues (xn)n es una subsucesi´on de (zn)n.
Como (f(zn))n es una sucesi´on de Cauchy en un espacio m´etrico que
tie-ne una subsucesi´on convergente a y ∈ Y, entonces (f(zn))n → y. Ahora
bien, como (f(yn))n tambi´en es una sucesi´on de Cauchy y Y es completo,
converge. Note que (f(yn))n ⊂ (f(zn))n y como (f(zn))n → y, entonces la
subsucesi´on (f(yn))n tambi´en converge a y y tenemos que feest´a bien
defi-nida. Veamos ahora que fees uniformemente continua. Sean x, y ∈ X \S,
>0 y (xn)n, (yn)n sucesiones en S que convergen a x y y respectivamente.
todos x0, y0 ∈ S, si dX(x0, y0) < δ, entonces dY(f(x0), f(y0)) < /3. Como
(xn)n →x y (f(xn))n → fe(x), existe un N1 ∈N tal que para todo n ≥N1,
dX(x, xn) < δ/3 y dY(f(xn),fe(x)) < /3. De manera an´aloga, para (yn)n,
existeN2 ∈Ntal que para todon ≥N2,dX(yn, y)< δ/3 ydY(f(yn),fe(y))<
/3. Sea N = m´ax{N1, N2} y sean i, j > N y suponga que dX(x, y) < δ/3,
entonces dX(xi, yj)≤dX(xi, x) +dX(x, y) +dX(y, yi)< δ/3 +δ/3 +δ/3 = δ.
Lo anterior implica quedY(fe(x),fe(y))≤dY(fe(x), f(xi)) +dY(f(xi), f(yi)) +
dY(f(yi),fe(y)). Como i, j > N, dY(fe(x), f(xi)) < /3 y dY(fe(y), f(yj)) <
/3. Como dX(xi, yj) < δ, entonces dY(f(xi), f(yj)) < /3 y entonces
te-nemos que dY(fe(x),fe(y)) < /3 + /3 +/3 = . Por consiguiente, fees
uniformemente continua en X, como quer´ıamos probar.
La unicidad de fese sigue de lo siguiente: seag otra extensi´on continua de f.
Entonces fe|S =g|S =f. Como fey g son funciones continuas que coinciden
en un denso y X, Y son espacios m´etricos, entonces fey g deben ser iguales
en todas partes.
Observaci´on 2.7. En un espacio m´etrico, las bolas abiertas −es decir, los conjuntos de la forma Br(x0) := {x ∈ X : d(x, x0) < r}− forman una base
para una topolog´ıaτ sobreX. Un espacio topol´ogico (X, τ) se dicemetrizable
si existe una m´etrica d que induce la topolog´ıaτ.
Definici´on 2.8. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico. X es separable si existe
A ⊂X, tal que A es denso enumerable.
Definici´on 2.9. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico.A⊂X es unGδ si existen
(Un)n∈N abiertos tal que
A:= ∞
\
n=1
Un. (2.2)
B ⊂X es un Fσ si existen (Cn)n∈N cerrados tal que
C := ∞
[
n=1
Cn. (2.3)
Lema 2.10. Sean (X, d) un espacio m´etrico y A6=∅ ⊂X. Si A es cerrado, entonces A es un Gδ. Si A es abierto, entonces A es un Fσ.
14 2.1. Espacios Topol´ogicos y M´etricos
Demostraci´on. Sea A ⊂ X cerrado. Para n ∈ N+, defina U
n := {x ∈ X :
d(A, x) <1/2n}. Como d es continua, para A fijo, ∀n ∈
N, Un es abierto y
por construcci´on...⊂Un⊂...⊂U3 ⊂U2 ⊂U1,
T∞
n=1Un =A. Es decir, A es
unGδ. SiAes abierto, por las leyes de DeMorgan y la construcci´on anterior,
se sigue el resultado.
Definici´on 2.11. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico. Decimos que X es nor-mal si para cada par de conjuntos cerrados A, B ⊂ X disjuntos, existen abiertos disjuntos que contienen aA y a B respectivamente.
Observaci´on 2.12. Todo espacio m´etrico es normal.
Teorema 2.13 (Lema de Urysohn). Sean(X, τ)un espacio normal,A, B
subconjuntos disjuntos de X y a, b∈R, a < b. Entonces, existe una funci´on continua f : X → [a, b], tal que f(x) =a para cada x ∈A y f(x) =b, para cada x∈B
Demostraci´on. Ver [9], Teorema 33.1.
Definici´on 2.14. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico. Decimos que X es local-mente compacto si ∀x∈X, existe una vecindad abierta V de xtal que V es compacto.
Definici´on 2.15. Sea (X, τ) un espacio de Hausdorff localmente compacto. La compactificaci´on de Alexandroff de X (compactificaci´on por un punto),
e
X, se construye de la siguiente manera: si X es compacto, X = Xe. De lo
contrario, sean∞∈/ X ,Xe =X∪ {∞}y dote aXe con la siguiente topolog´ıa:
U es abierto en Xe si y s´olo si U es abierto en X o U es de la forma Xe\K,
para K compacto.
Definici´on 2.16. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico. Decimos que X es σ -compacto si existen (Kn)n∈N⊂X compactos tal que X =
S∞
n=1Kn.
Definici´on 2.17. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico. Decimos que X es un
espacio polaco si es metrizable, separable y existe una m´etrica completa d
Observaci´on 2.18. Todo espacio polaco es segundo enumerable.
Teorema 2.19. Sea (X, τ) un espacio de Hausdorff localmente compacto. Entonces son equivalentes:
(i) X es segundo enumerable.
(ii) X es metrizable y σ-compacto.
(iii) Xe es m´etrico compacto.
(iv) X es un espacio polaco.
(v) X es homeomorfo a un subconjunto abierto de un espacio m´etrico com-pacto.
Demostraci´on. Ver [8], Teorema 5.3.
Teorema 2.20 (Teorema de Alexandroff ). Sea(X, d)un espacio polaco. Si A6=∅ ⊂X es un Gδ, entonces (A, dA) es un espacio polaco.
Demostraci´on. Ver [8], Teorema 3.11.
Definici´on 2.21. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Decimos queX es precom-pacto si ∀ > 0, X se puede cubrir con un n´umero finito de bolas de radio
.
Teorema 2.22. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Entonces X es compacto si y s´olo si X es precompacto y completo.
Demostraci´on. Ver [8], Proposici´on 4.2.
Ahora, unas definiciones importantes.
16 2.2. An´alisis Funcional
los siguientes espacios de funciones:
C(X,K) :={f :X →K:f es continua},
Cc(X,K) :={f ∈C(X,K) :f tiene soporte compacto},
Cb(X,K) :={f ∈C(X,K) :f es acotada},
C0(X,K) :={f ∈Cb(X,K) :∀ >0, ∃K compacto,|f Kc (x)|< ,∀x∈Kc}.
Ahora, si adem´as X es compacto, paraf ∈C(X,K) definimos
kfk∞ := sup
x∈X
|f(x)|. (2.4)
Note que k · k∞ est´a bien definida, pues sobre un compacto una funci´on continua siempre alcanza un m´aximo y un m´ınimo. Finalmente, si K = X, abreviamosC(X, X) :=C(X). Lo mismo para los otros espacios de funciones.
Observaci´on 2.24. Sea X un espacio localmente compacto de Hausdorff. Entonces es claro que:
Cc(X)⊂C0(X)⊂Cb(X)⊂C(X).
M´as a´un, es f´acil ver que:
Cc(X)
k k∞
=C0(X). (2.5)
Es decir,Cc(X) es denso enC0(X). Lo anterior implica queCc(X), en general,
no es un espacio de Banach (ver definici´on 2.28).
2.2.
An´
alisis Funcional
Notaci´on 2.25. Estamos interesados en campos completos. Por consiguien-te, de aqu´ı en adelante diremos queK=R ´oC.
Definici´on 2.26. Sea X un espacio vectorial sobreK. Una norma sobre X
es una funci´on k · k: X →R tal que para todo x, y ∈ X, λ ∈ K se tiene lo siguiente:
(i) kxk= 0 si y s´olo si x= 0. (ii) kλxk=|λ|kxk.
(iii) kx+yk ≤ kxk+kyk.
El par (X,k k) es un espacio normado. Si s´olo se satisfacen (2) y (3), el espacio se dice semi-normado.
Observaci´on 2.27. Sea (X,k k) un espacio normado. Entonces la norma induce una m´etrica sobre X dada por d(x, y) :=kx−yk.
Definici´on 2.28. Sea (X,k k) un espacio normado. Decimos que X es un
espacio de Banach si es completo con respecto a la m´etrica inducida pork · k.
Ejemplo 2.29. SeaXun compacto de Hausdorff, el espacio (C(X),k k∞) es un espacio de Banach. SiX es un espacio m´etrico, los espacios (C0(X),k k∞) y (Cb(X),k k∞) son espacios de Banach.
Definici´on 2.30. SeaXunKespacio vectorial. Una funci´onh·,·i:X×X →
K es una forma sesquilineal si,∀x, y, z ∈X, ∀λ∈K,
(i) hλx+y, zi=λhx, zi+hy, zi.
(ii) hx, λy+zi=λhx, yi+hx, zi. Una forma sesquilineal se dice, (a) Hermitiana: si ∀x, y ∈X, hx, yi=hy, xi.
(b) Semidefinida positiva: si ∀x∈X,hx, xi ≥0. (c) Definida positiva: si∀x∈X\ {0}, hx, xi>0.
Un producto interno sobre X es una forma sesquilienal hermitiana definida positiva.
Definici´on 2.31. Sea X unK espacio vectorial y h·,·i un producto interno sobre X. El par (X,h·,·i) es un espacio pre Hilbert.
Observaci´on 2.32. Sea (X,h·,·i) un espacio pre Hilbert. El espacioX siem-pre puede dotarse con una norma, de la siguiente manera, ∀x∈X,
kxk2 :=hx, xi.
Definici´on 2.33. SeaH un espacio pre Hilbert. El espacio H es un espacio de Hilbert si es completo con respecto a la norma inducida por el producto interno.
18 2.2. An´alisis Funcional
Definici´on 2.34. Sean X, Y espacios normados. Una funci´on lineal T :
X →Y es acotada si
sup kxk=1
kT xk<∞. (2.6)
En este caso, definimos kTk := supkxk=1kT xk. Ahora bien, definimos el
es-pacio:
L(X, Y) :={T →Y :T es lineal y acotado}. (2.7)
Teorema 2.35. Sean X, Y espacios normados y T :X →Y lineal. Enton-ces son equivalentes:
(i) T es uniformemente continuo.
(ii) T es continuo.
(iii) T es continuo en 0.
(iv) T es acotado.
Demostraci´on. Ver [14], Teorema II.1.4.
Teorema 2.36. Sean X, Y espacios normados, Y un espacio de Banach,
A ⊂ X un subespacio lineal denso y T : A → Y lineal. Si T es acotado en
A, entonces existe una ´unica extensi´on acotada Te a todo X.
Demostraci´on. ComoT es acotado enA,T es uniformemente continuo. Como
A es denso, por el teorema 2.6 existe una ´unica extensi´on uniformemente continua deT a todo X. Es f´acil ver que la extensi´on es lineal y por lo tanto acotada.
Teorema 2.37. Sean X,Y espacios normados. Entonces:
(i) (L(X, Y),k k), con la norma definida en (2.6), es un espacio normado.
(ii) SiY es un espacio de Banach, entonces L(X, Y)tambi´en es un espacio de Banach.
Demostraci´on. Ver [14], 47.
Ahora vamos a hablar de una familia de operadores especial: los operadores compactos.
Definici´on 2.38. SeanX, Y espacios normados yB1X(0) :={x∈X :kxk ≤
1}. Un operador lineal T : X → Y se dice compacto si T(BX
1 (0)) es
relati-vamente compacto. Es decir, si T(BX
1 (0)) es compacto en Y. Denotamos el
conjunto de operadores compactos como K(X, Y).
Teorema 2.39. Sean X, Y espacios de Banach. Entonces K(X, Y) es un subespacio cerrado de L(X, Y). En particular, se tiene que K(X, Y) es un espacio de Banach.
Demostraci´on. Ver [14], Teorema II.3.2.
Definici´on 2.40. Sea X es un espacio normado. Definimos el dual de X,
X0, como el espacio X0 :=L(X,K). Es decir, el dual de un espacio normado es el espacio de funciones lineales acotadas en el campo.
Definici´on 2.41. Sean X, Λ conjuntos y λ∈Λ. Sean Yλ espacios topol´
ogi-cos, fλ : X → Yλ, F := {fλ : λ ∈ Λ}. La topolog´ıa inicial sobre X con
respecto a F es la topolog´ıa m´as peque˜na sobre X tal que todas las fλ son
continuas.
Notaci´on 2.42. Denotamos esta topolog´ıa por σ(X,F).
Definici´on 2.43. Sea X un espacio normado.
(i) La topolog´ıa d´ebil sobre X es σ(X, X0). Es decir, es la topolog´ıa m´as peque˜na tal que los elementos de X0 sean continuos.
(ii) La topolog´ıa d´ebil* sobre X esσ(X0, X). Note queX es un subespacio lineal deX00. Con esto en mente,σ(X0, X) es la topolog´ıa m´as peque˜na tal que los elementos de X sean continuos.
Teorema 2.44 (Banach-Alaoglu). Sean X un espacio normado y
K :={x0 ∈X0 :|x0(x)| ≤1, para todo x∈B1(0)}. (2.8)
Entonces K es compacto en la topolog´ıa d´ebil*.
20 2.2. An´alisis Funcional
Teorema 2.45. Sean X un espacio normado separable y K ⊂X0 compacto en la topolog´ıa d´ebil*. Entonces K es metrizable en la topolog´ıa d´ebil*.
Demostraci´on. Ver [11], Teorema 3.16.
Para concluir esta secci´on, vamos a hablar delTeorema espectral para opera-dores autoadjuntos.
Definici´on 2.46. SeaXun espacio normado. Unaproyecci´ones un operador
P :X →X tal que P2 =P.
Definici´on 2.47. Sea H un espacio de Hilbert
(i) Dos elementos x, y ∈H se dicenortogonales si hx, yi= 0.
(ii) Dos subconjuntos AyB deH se dicenortogonales y se escribeA⊥B, si para todo x∈A y para todoy∈B,hx, yi= 0.
(iii) Si A⊂H es un subconjunto, defininimos el complemento ortogonal de
A como,
A⊥ :={x∈H :x⊥A} (2.9)
Teorema 2.48 (Proyecci´on Ortogonal). Sean H un espacio de Hilbert y U un subespacio cerrado no trivial de H. Entonces, existe una proyecci´on lineal PU : H → U tal que kPUk = 1 y kerPU = U⊥. Id − PU es una
proyecci´on sobre U⊥ tal que kId−PUk = 1 y H = U ⊕U⊥. La proyecci´on
PU se denomina proyecci´on ortogonal sobre U.
Demostraci´on. Ver [14], Teorema V.3.4.
Teorema 2.49. Sea H un espacio de Hilbert. Entonces, la funci´on Φ :
H →H, y 7→ h·, yi es una isometr´ıa biyectiva antilineal −es decir, Φ(λy) =
λΦ(y)−. En otras palabras, para cada x0 ∈ H0, existe y∈ H tal que x0(x) =
hx, yi, para x∈H. M´as a´un, kx0k=kyk. Demostraci´on. Ver [14], Teorema V.3.6.
Definici´on 2.50. Sean X, Y espacios normados, T ∈ L(X, Y). El operador adjunto de T, es el operador T0 : Y0 → X0, (T0y0)(x) = y0(T x), para cada
x∈X, y∈Y0.
Definici´on 2.51. Sean H1, H2 espacios de Hilbert, T ∈ L(H1, H2) y sean,
para i = 1,2, Φi : Hi → Hi0 como en 2.49. El operador adjunto de T es
T∗ := Φ−11T0Φ2. En otras palabras, el adjunto de T es el operador tal que,
para cada x∈H1, y ∈H2,
hT x, yiH2 =hx, T
∗
yiH1.
Denotamos a T∗ como el operador adjunto de un espacio de Hilbert.
Definici´on 2.52. Sean H un espacio de Hilbert, T ∈L(H). El operador T
se dice autoadjunto siT∗ =T.
Definici´on 2.53. Sea H un espacio de Hilbert y sean T, S ∈L(H) autoad-juntos. Definimos T ≤S si ∀x∈H,hT x, xi ≤ hSx, xi.
Teorema 2.54. Sean H un espacio de Hilbert y P ∈L(H) una proyecci´on tal que P 6= 0. Entonces son equivalentes:
(i) P es una proyecci´on ortogonal.
(ii) kPk= 1.
(iii) P es autoadjunta.
(iv) hP x, xi ≥0, ∀x∈H.
Demostraci´on. Ver [14], Teorema V.5.9.
Con esto en mente, pasemos a hablar del espectro de un operador acotado.
Definici´on 2.55. SeanX un espacio de Banach yT ∈L(X). Definimos los siguientes conjuntos:
(i) El conjunto resolvente deT es
22 2.2. An´alisis Funcional
(ii) El espectro deT es
σ(T) :=K\ρ(T). (2.11)
Teorema 2.56. Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H) autoadjunto. Entonces, σ(T) ⊂ R. M´as a´un, σ(T) ⊂ [m, M], donde m := ´ınf{hT x, xi :
kxk= 1} y M := sup{hT x, xi:kxk= 1}. Demostraci´on. Ver [14], Corolario VII.1.2.
Teorema 2.57 (Teorema espectral para operadores compactos au-toadjuntos). Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ K(H) autoadjunto. Si
{λ1, λ2, λ3, ...}son los valores propios distintos de cero deT y{Pλ1, Pλ2, Pλ3, ...}
son las proyecciones (de rango finito) en los espacios propios correspondien-tes, entonces
T =X
n
λnPλn. (2.12)
Esta serie converge en la norma de L(H).
Demostraci´on. Ver [13], Teorema 7.1.
Ahora vamos a ver el teorema espectral para operadores acotados autoad-juntos.
Definici´on 2.58. SeanX un espacio de Banach, (Tn)n⊂L(X) una sucesi´on
de operaodres lineales acotados yx∈X. Decimos queTn→T en latopolog´ıa
fuerte de operadores (SOT) si, ∀x∈X, se tiene que, cuando n → ∞
kTnx−T xk →0. (2.13)
Definici´on 2.59. SeaH un espacio de Hilbert. Unaresoluci´on de la identi-dad es una funci´onE :R→L(H), tal que,
(i) E(λ) es una proyecci´on ortogonal, para todo λ∈R. (ii) E(µ)≤E(λ), paraµ≤λ.
(iii) E(λ+)→E(λ) (en la SOT), para todo λ∈Rsi→0+ (continuidad fuerte por derecha).
(iv) E(µ)E(λ) =E(λ)E(µ) =E(λ), para λ≤µ.
(v) E(λ)x→0 si λ → −∞y E(λ)x→x si λ→ ∞, para todo x∈H.
Notaci´on 2.60. Para cadaλ ∈R,E(λ) =: Eλ.
Teorema 2.61 (Teorema espectral para operadores autoadjuntos acotados). Sean H un espacio de Hilbert y T ∈L(H) autoadjunto. Enton-ces, existe exactamente una resoluci´on de la identidad (Eλ)λ tal que,
T =
Z
[m−,M]
λ dEλ (2.14)
La resoluci´on de la identidad (Eλ)λ, en este caso, se denomina resoluci´on
espectral de T.
Demostraci´on. Ver [13], Teorema 7.17.
2.3.
Teor´ıa de Medida e Integraci´
on
Definici´on 2.62. Sea X 6=∅.
• H ⊂P(X) es un semi-anillo si: (i) ∅ ∈H.
(ii) ∀A, B ∈H, A∩B ∈H.
(iii) ∀A, B ∈H,∃C1, ..., Cn∈H pardisjuntos, tal queA\B =
Sn
i=1Ci.
• R⊂P(X) es unanillo si: (i) ∅ ∈R.
(ii) ∀A, B ∈R, A∪B, A\B ∈R.
• R⊂P(X) es unσ-anillo si: (i) R es un anillo.
(ii) ∀(An)n ⊂R, se tiene que S
∞
n=1An ∈R.
24 2.3. Teor´ıa de Medida e Integraci´on
(i) ∅ ∈A.
(ii) ∀A∈A, X\A:=Ac∈A. (iii) ∀(An)n∈N⊂A, S∞n=1An ∈A.
Definici´on 2.63. SiA⊂P(X) es unaσ-´algebra, el par (X,A) es unespacio medible.
Definici´on 2.64. Sea X 6=∅yH ⊂P(X) un semi-anillo. Unapremedida es una funci´on µ:H →R∪ {∞} que satisface lo siguiente:
(i) µ(∅) = 0.
(ii) ∀A∈H,µ(A)≥0.
(iii) ∀(An)n∈N⊂H pardisjuntos, µ(
S∞
n=1An) =
P∞
n=1µ(An).
SiH =Aes una σ-´algebra, entonces µes una medida.
Notaci´on 2.65. SiAes unaσ-´algebra y µes una medida sobre A, la tripla (X,A, µ) es unespacio de medida. Siµ(X)<∞, decimos queXes un espacio de medidafinito. Si µ(X) = 1, decimos queX es unespacio de probabilidad.
Definici´on 2.66. Sean X 6= ∅, R ⊂ P(X) un anillo y µ : R → [0,∞] una premedida. Decimos que µ es σ-finita si ∃(An)n ⊂ R tal que ∀n ∈ N,
µ(An)<∞ y X =
S∞
n=1An.
Notaci´on 2.67. Sea R ⊂ P(X) un semi-anillo. Denotamos a la σ-´algebra generada porR como σ(R).
Teorema 2.68 (Teorema de extensi´on de Hahn). Sean X 6= ∅, R ⊂
P(X) un anillo y µ: R → [0,∞] una premedida. Si µ es σ-finita, entonces
existe una ´unica extensi´on de µ a σ(R) y esta extensi´on es una medida.
Demostraci´on. Ver [1], Teorema 5.6.
El Teorema de extensi´on de Hahn es especialmente ´util para la construcci´on de la medida de Lebesgue.
Definici´on 2.69. Sea I :={[a, b) :a, b∈R}. Es f´acil ver que I es un semi-anillo. Sobre I definimos la funci´on λ : I → R, λ([a, b)) := b−a. λ es una premedida sobre I, es la premedida de Lebesgue.
Definici´on 2.70. Sea (R,B(R). Si N := {N ⊂ R : ∃M ∈ B(R), µ(M) = 0 y N ⊂M}, la σ-´algebra de Lebesgue,L, se define como:
L :={A∪N :A∈B(R), N ∈N}. (2.15)
Definici´on 2.71 (La medida de Lebesgue enR). Sea λla premedida de Lebesgue, por el Teorema de extensi´on de Hahn (teorema 2.68), λ tiene dos extensiones ´unicas, como medidas, a las siguientesσ-´algebras:
(i) A B(R) y en este caso es la medida deBorel.
(ii) A L y en este caso es la medida de Lebesgue.
Teorema 2.72. Sea (X,A, µ) un espacio de medida. Entonces:
(a) Si (An)n ⊂A yA1 ⊂A2 ⊂A3 ⊂...,
l´ım
n→∞µ(An) = µ ∞ [ n=1 An ! . (2.16)
(b) Si (An)n ⊂A, A1 ⊃A2 ⊃A3 ⊃...y µ(A1)<∞,
l´ım
n→∞µ(An) = µ ∞ \ n=1 An ! (2.17)
Demostraci´on. (i) Sea (An)n⊂ R creciente. Note que
S∞
n=1An∈ R,
por-que R es un σ-anillo. Sea A0 :=∅, entonces
µ ∞ [ n=1 An ! =µ ∞ [ n=1
An\ n
[
k=1
Ak−1
!!
=µ
∞
[
n=1
An\An−1
!
= ∞
X
n=1
26 2.3. Teor´ıa de Medida e Integraci´on
Siµ(An) =∞ para alg´un n, entonces el resultado es trivial.
Suponga-mos queµ(An)<∞, ∀n∈N. Entonces
µ ∞ [ n=1 An ! = ∞ X n=1
µ(An)−µ(An−1) = l´ım
k→∞
k
X
n=1
µ(An)−µ(An−1)
= l´ım
k→∞µ(Ak)−µ(A0). Es decir, se tiene (2.16), como quer´ıamos.
(ii) Como µ(A1) <∞, por la σ-subaditividad de las medidas se tiene que
∀n∈N, µ(An)<∞. Sea Bn:=A1 \An, entonces B1 ⊂B2 ⊂B3 ⊂...
y S∞
n=1Bn=
S∞
n=1A1\An=A1 \
T∞
n=1An. Por laσ-subaditividad de
las medidas, tenemos que
µ ∞ [ n=1 Bn ! = l´ım
n→∞µ(Bn) = l´ımn→∞µ(A1\An) = l´ımn→∞(µ(A1)−µ(An)), (2.18)
donde el ´ultimo paso se tiene porque µ(A1) <∞. Nuevamente, como
µ(A1)<∞y µ(T
∞
n=1An)≤µ(A1)<∞, entonces se tiene que
µ ∞ [ n=1 Bn !
=µ A1\
∞
\
n=1
An
!
=µ(A1)−µ
∞ \ n=1 An ! . (2.19)
Igualando2.18 y2.19, restandoµ(A1) y multiplicando por −1, se tiene
el resultado (2.17).
Observaci´on 2.73. Las ecuaciones (2.16) y (2.17) son conocidas como las propiedades de continuidad de las medidas.
Definici´on 2.74. Sean (X,A), (Y,E) espacios medibles. Una funci´on f :
X →Y es (A,C)-medible si ∀A∈ E, f−1(A)∈ A. Es decir, si preimagen de
un conjunto medible es medible.
Notaci´on 2.75. Denotamos B(K) a la σ-´algebra generada por los abiertos deK.
Definici´on 2.76. La σ-´algebra de Borel sobre K es la σ-´algebra generada por los abiertos de K.
Observaci´on 2.77. A menos que se diga lo contrario, K se considera como un espacio medible con la σ-´algebra de Borel sobre K. Denotamos a este espacio como (K,B(K)).
Teorema 2.78. Sean (X,A) un espacio de medida y f : X →R. Entonces son equivalentes:
(i) f es (A, B(R)) medible.
(ii) ∀α ∈R, {f > α} ∈A.
(iii) ∀α ∈R, {f ≥α} ∈A.
(iv) ∀α ∈R, {f < α} ∈A.
(v) ∀α ∈R, {f ≤α} ∈A.
Demostraci´on. Ver [3] Teorema 4.2.
Definici´on 2.79. Sea (X,A, µ) un espacio de medida. Una funci´onf :X →
R es simple si existen A1, ...An ∈A pardisjuntos y a1, ..., an∈R tal que
f :=
n
X
i=1
aiχAi. (2.20)
Denotamos el conjunto de funciones simples positivas como E+(X,A).
Teorema 2.80 (Aproximaci´on simple). Sea (X,A) un espacio medible,
f :X → [0,∞] medible. Entonces existe (ϕn)n∈N ⊂E
+(A) tal que 0≤ϕ 1 ≤
... ≤ ϕn ≤ f y ϕn → f puntualmente. Si f es acotada, la convergencia es
uniforme.
Demostraci´on. Ver [3], Teorema 4.13.
Definici´on 2.81. Sea (X,A, µ) un espacio de medida y f ∈ E+(A), f =
Pn
i=1aiχAi. Definimos la integral de Lebesgue de f como
Z
X
f dµ:=
n
X
i=1
28 2.3. Teor´ıa de Medida e Integraci´on
Sif ≥0 es medible, entonces
Z
X
f dµ:= sup
Z
X
ϕdµ:ϕ∈E+(A) y ϕ≤f
. (2.22)
Teorema 2.82 (Teorema de convergencia mon´otona). Sean (X,A, µ)
un espacio de medida y (fn)n una sucesi´on de funciones (A,R) medibles
positivas tal que 0 ≤ f1 ≤ ... ≤ fn ≤ .... Si f := supn∈Nfn, entonces f es medible y
l´ım
n→∞
Z
X
fn dµ=
Z
X
f dµ. (2.23)
Demostraci´on. Ver [3], Teorema 2.7.
Observaci´on 2.83. Sean (X,A, µ) un espacio de medida y f (A,B(R)) medible. Definimosf+ := m´ax{f,0}yf− :=−m´ın{f,0}. Entoncesf+,f− ≥
0, f = f+ −f− y f+, f− son medibles. Defina |f| := f++f−. La funci´on
f se dice integrable si RX|f| dµ <∞. Es decir, si y s´olo si RX f+ dµ <∞ y
R
Xf
− dµ <∞. En este caso se define
Z
X
f dµ=
Z
X
f+ dµ−
Z
X
f− dµ. (2.24)
Definici´on 2.84. Sea (X,A, µ) un espacio de medida. Un conjunto A ∈ A
se dice nulo si µ(A) = 0. Sea P una propiedad, se dice que P vale µ-casi siempre enX si el conjunto de puntos para el cual P no vale es un conjunto nulo.
Teorema 2.85 (Teorema de Lebesgue). Sean (X,A, µ) un espacio de medida, (fn)n una sucesi´on de funciones (A,R)-medibles tal que fn →f µ
-casi siempre. Suponga que existeg ≥0tal que RX g dµ <∞y|fn| ≤g, ∀n ∈
N. Entonces RXf dµ <∞,
Z
X
f dµ= l´ım
n→∞
Z
X
fn dµ (2.25)
y
Z
X
Demostraci´on. Ver [3] 145-146.
Observaci´on 2.86. Sean (X,A, µ) un espacio de medida y f (A,B(C)) medible. De acuerdo con la descomposi´on de f enf+ y f− se tiene que
f = (Ref)+−(Ref)−+ i((Imf)+−(Imf)−) En este caso, definimos la integral de f como
Z
X
f dµ:=
Z
X
(Ref)+ dµ−
Z
X
(Ref)− dµ+ i
Z
X
(Imf)+ dµ− i
Z
X
(Imf)− dµ.
La teor´ıa de integraci´on de Lebesgue nos da una herramienta ´util para cons-truir medidas nuevas a partir de una medida ya dada. Eso puede verse en el siguiente teorema.
Teorema 2.87. Sean (X,A, µ) un espacio de medida y f ≥ 0 una funci´on medible. Entonces, la funci´on ν :A→[0,∞],
ν(A) =
Z
A
f dµ,
es una medida sobre A.
Demostraci´on. Ver [3], Teorema 2.10.
Para concluir esta secci´on, definiremos algunos espacios de funciones.
Definici´on 2.88. Sean (X,A, µ) un espacio de medida y 1≤ p <∞. Defi-nimos los espacios
L0(A,B(K)) :={f :X →K:f es medible} (2.27)
Lp(µ) :=
f ∈L0(A) :
Z
X
|f|p dµ <∞
. (2.28)
Ahora, ∀f ∈Lp(µ), definimos
kfkp :=
Z
X
|f|p dµ
1p
. (2.29)
Observaci´on 2.89. Para p ≥ 1, los espacios (Lp(µ),k kp) son espacios
30 2.3. Teor´ıa de Medida e Integraci´on
2.3.1.
Medidas Complejas
El objetivo de la presente secci´on ser´a construir el espacio vectorial de me-didas sobre un conjuntoX dado.
Definici´on 2.90. Sean (X,A) un espacio medible y A ∈ A. Decimos que (An)n∈N⊂Aes una partici´on deA, siAi∩Aj =∅, parai6=j, yA=
S∞
n=1An. Definici´on 2.91. Sean (X,A) un espacio medible y A ∈ A. La funci´on
µ:A→Ces una medida compleja si para todoA ∈A y para toda partici´on disjunta deA =S∞
n=1An
µ(A) = ∞
X
n=1
µ(An). (2.30)
Observaci´on 2.92. Note que, a diferencia que las medidas positivas, la convergencia de la serie en (2.30) ahora es parte de la definici´on. Esto se sigue del hecho que la medida de un conjunto sea independiente de la partici´on escogida. En particular, tenemos convergencia para cualquier rearreglo de la sucesi´on. Por consiguiente, de la definici´on tenemos convergencia absoluta.
Definici´on 2.93. Sean (A,A) un espacio medible, A ∈ A, (An)n ⊂ A una
partici´on de A y µ : A → C una medida compleja. Definimos la funci´on
|µ|:A→C como
|µ|(A) := sup
( ∞ X
n=1
|µ(An)|: (An)n es una partici´on deA
)
. (2.31)
La funci´onµ se denomina comola variaci´on total deµ.
Observaci´on 2.94. Sea (X,A, µ) un espacio de medida, donde µ es una medida positiva. Entonces|µ|=µ.
Teorema 2.95. Sean (X,A) un espacio medible y µ una medida compleja sobre A. Entonces la variaci´on total de µ es una medida positiva sobre A.
Teorema 2.96. Sean (X,A) un espacio medible y µ una medida compleja sobre A. Entonces, |µ|(X)<∞.
Demostraci´on. Ver [10], Teorema 6.4.
Definici´on 2.97. Sean (X,A) un espacio medible, µ, ν medidas complejas sobre Cyk ∈C. Definimos las operacionesµ+ν,kµde la siguiente manera:
(µ+ν)(A) :=µ(A) +ν(A),
(kµ)(A) :=kµ(A),
para todoA∈A. DefinaMC(X) := {µ:µes una medida compleja sobre A}. Con las operaciones anteriores, MC(X) es un espacio vectorial sobre C. Aho-ra, sobre MC(X) defina la siguiente funci´on:
kµk:=|µ|(X). (2.32)
Por el teorema 2.96, k k est´a bien definida.
Observaci´on 2.98. El espacio (MC(X),k k) es un espacio normado.
Definici´on 2.99. Sean (X,A) un espacio medible yµuna medida compleja que s´olo toma valores sobre el eje real. Es decir, µ:A→R−algunos autores llaman a µmedida con signo−. Definimos las funciones
µ+:= 1
2(|µ|+µ), (2.33)
µ−:= 1
2(|µ| −µ). (2.34)
Note que µ+, µ− son medidas finitas positivas sobre A. Adem´as, se tiene que
µ=µ+−µ−, (2.35)
|µ|=µ++µ−. (2.36)
Observaci´on 2.100. Sea (X,A) un espacio medible y definaM[0,∞](X)
co-mo el conjunto de medidas reales positivas sobre A. Note que con las defi-niciones de suma y producto escalar dadas en la definici´on 2.97, M[0,∞](X)
32 2.3. Teor´ıa de Medida e Integraci´on
meta es construir el espacio dual de C(X), es necesario introducir el espa-cio de medidas complejas, para que el espaespa-cio vectorial de medidas fuese un espacio normado.
Observaci´on 2.101. Sea (X,A) un espacio medible y definaMR(X) como el conjunto de medidas con signo sobre A. Entonces, con las definiciones anteriores, (MR(X),k k) es un espacio normado. M´as a´un, MR(X) es un subespacio lineal deMC(X).
Observaci´on 2.102. Toda medida de probabilidad sobre A est´a en la bola unitaria enMC(X).
Vamos a conclu´ır esta secci´on con el Teorema de Radon-Nikodym.
Definici´on 2.103. Sean (X,A) un espacio medible y µ, ν medidas sobre
A. Decimos queν es absolutamente continua con respecto a µ, en f´ormulas,
νµ, si para cadaA∈A tal que µ(A) = 0, se tiene que ν(A) = 0.
Teorema 2.104 (Radon-Nikodym). Sean (X,A) un espacio medible y
µ, ν medidas con signo σ-finitas sobre A. Entonces, ν µsi y s´olo si existe una funci´on medible f ≥0 tal que, ∀A ∈A
ν(A) =
Z
A
f dµ. (2.37)
Demostraci´on. Ver [3], Teorema 2.3.
Definici´on 2.105. Sea (X,A, µ) un espacio de probabilidad yf ∈L0(A,R).
Se dice que f tiene una densidad de probabilidad ϕ ∈ L0(A,R), ϕ ≥ 0, si
∀A∈B(R),
µ({x∈X :f(x)∈A}) =
Z
f−1(A)
dµ=
Z
A
ϕdλ. (2.38)
Dondeλ es la medida de Lebesgue en R.
Ejemplo 2.106. Sea (R,B(R), λ). Por el teorema de Radon-Nikodym, como
λ es σ-finita, cada densidad de probabilidad f en R induce una medida de probabilidad sobre R. M´as a´un, el teorema de Radon-Nikodym implica que
la nueva medida es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue.
Ejemplo 2.107. Sean (X,A, µ) un espacio de medida y f ≥0 una funci´on medible. Por el teorema 2.87, la funci´on ν :A→[0,∞],
ν(A) =
Z
A
f dµ,
es una medida sobreA. Veamos queνes absolutamente continua con respecto a µ. Sea A∈A, tal que µ(A) = 0, entonces:
ν(A) =
Z
A
f dµ= 0,
pues por la integraci´on sobre subespacios sabemos que la integral de una funci´on medible sobre un conjunto de medida 0 es igual a 0.
2.3.2.
Medidas en espacios topol´
ogicos
En la presente secci´on todos los espacios topol´ogicos son de Hausdorff.
Definici´on 2.108. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico. La σ-´algebra de Borel
es la σ-´algebra generada por los abiertos de X. La denotamos porB(X). Es decir:
B(X) :=σ(τ). (2.39)
Observaci´on 2.109. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico. Entonces la σ-´ alge-bra generada por los abiertos de X es la misma σ-´algebra que generan los conjuntos cerrados deX. Esto es claro de la definici´on, ya que lasσ-´algebras son estables bajo complementos y en un espacio topol´ogico A es abierto si y s´olo si Ac es cerrado. Para una explicaci´on m´as detallada ver [10] Definici´on
1.11 ´o [1] Definici´on 25.1.
Notaci´on 2.110. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico. DenotamosCal sistema de conjuntos cerrados de X. Del mismo modo, denotamos O al sistema de abiertos de X. Finalmente, K es el sistema de compactos deX.
34 2.3. Teor´ıa de Medida e Integraci´on
Definici´on 2.112. Sean (X, τ) un espacio topol´ogico, A ⊂ B(X) una σ -´
algebra yµ:A→[0,∞] una medida.
(i) µse dice localmente finita si ∀x ∈X, existe U vecindad abierta de x, tal que µ(U)<∞.
(ii) Un conjunto A∈Ase dice µ-interiormente regular si
µ(A) = sup{µ(K) :K ⊂A, K ∈K}. (2.40) Si ∀A ∈ A, A es µ-interiormente regular, entonces µ es interiormente regular.
(iii) Un conjunto A∈Ase dice µ-exteriormente regular si
µ(A) = ´ınf{µ(U) :A ⊂U, U ∈O}. (2.41) Si∀A ∈ A, A es µ-exteriormente regular, entonces µ es exteriormente regular.
(iv) Un conjunto A ∈ A se dice µ-regular si es exteriormente regular e interiormente regular. Si ∀A∈A,A es µ-regular, µes regular.
(v) Una medida que es interiormente regular y localmente finita es una
medida de Radon.
Definici´on 2.113. Sean (X, τ) un espacio topol´ogico y µ: B(X) →[0,∞] una medida. Decimos que µes una medida de Borel si∀K ∈K, µ(K)<∞.
Observaci´on 2.114. Algunos autores, como Bauer, definen medida de Bo-rel como en la definici´on2.113, otros autores, como Elstrodt, la definen como localmente finita. Note que en general no se tiene que esas definiciones son equivalentes (ver lema 2.119). En el presente trabajo utilizaremos la defi-nici´on de Bauer (definici´on 2.113). Sin embargo, como varios teoremas se consultaron en el Elstrodt, algunos tendr´an como hip´otesis adicional el he-cho de que la medida sea localmente finita. En general, en espacios de medida localmente finitos, estas dos definiciones coinciden.
Definici´on 2.115. Sean (X, τ) un espacio topol´ogico y µ: B(X) →[0,∞] una medida localmente finita. Decimos que µ es moderada si X es la uni´on de una sucesi´on de conjuntos abiertos de medida finita.
Ejemplo 2.116. Considere (R,B(R), λ), dondeλ es la medida de Lebesgue en R. Entoncesλ es moderada.
Demostraci´on. Note que R=S∞
n=1(−n, n) y ∀n∈N, λ((−n, n)) = 2n <∞.
Es decir, λ es moderada.
Observaci´on 2.117. Cada medida localmente finita en un espacio topol´ ogi-co de Hausdorff ogi-con base enumerable es moderada.
Demostraci´on. Sea V una base enumerable de X. Queremos probar que el conjunto Vµ :={V ∈V:µ(V)<∞}es una base de la topolog´ıa deX. Sean
U ∈Vy x∈U. Comoµes localmente finita, existe una vecindad abierta de
x,W, tal que µ(W)<∞y entoncesx∈U∩W. ComoVes una base, existe
V ∈V tal quex∈V ⊂U ∩W, entonces µ(V)<∞y V ∈Vµ. Es decir,Vµ
es una base deX (note que es claro que los elementos de Vµcubren aX por hip´otesis, ya que ∀x ∈ X,∃V ∈ Vµ). Como Vµ es enumerable, se tiene que
µ es moderada.
Lema 2.118. Sean (X, τ) un espacio topol´ogico, A ⊂ B(X) una σ-´algebra y µ:A→[0,∞] una medida.
(i) Si (An)n ⊂ A es una sucesi´on de conjuntos exteriormente
(interior-mente) regulares, entonces S∞
n=1An es exteriormente (interiormente)
regular.
(ii) Si (An)n ⊂ A es una sucesi´on de conjuntos exteriormente
(interior-mente) regulares y µ(An) < ∞ (∀n ∈ N), entonces
T∞
n=1An es
exte-riormente (inteexte-riormente) regular.
Demostraci´on. (i) Sean (An)n⊂Aexteriormente regulares,A:=S
∞
n=1An
y >0, entonces, ∀n ∈N+, existe U
n ∈O, tal que µ(Un\An)< 2n y
An ⊂Un. Sea U :=
S∞
n=1Un, entonces A⊂U, U ∈O y
µ(U\A) =µ
∞
[
n=1
(Un\An)
!
≤
∞
X
n=1
µ(Un\An)<
∞
X
n=1
2n =.
Es decir,Aes exteriormente regular. Ahora, si losAn son interiormente
36 2.3. Teor´ıa de Medida e Integraci´on
• Caso 1, µ(A) = ∞: Sea n ∈ N+ y defina A0
n :=
Sn
i=1An. Note
que la sucesi´on de los A0n es una sucesi´on creciente de conjuntos y A=S∞
n=1A
0
n. Ahora, por las propiedades de continuidad de las
medidas, sabemos que l´ımn→∞µ(A0n) = µ(
S∞
n=1A
0
n) = µ(A) = ∞.
Es decir, µ(A0n) es una sucesi´on mon´otona creciente que diverge a infinito en R. Entonces, por el teorema de convergencia mon´ oto-na en R, la sucesi´on no es acotada −note que si lo fuera, ser´ıa convergente por este mismo criterio, pues la monoton´ıa de la su-cesi´on se tiene por construcci´on−. Ahora, sea (Kn) ⊂ K una
su-cesi´on de compactos con Kn ⊂ An y µ(An\Kn)< /2n y defina
Kn0 =Sn
i=1Ki ∈K. Comoµ(
Sn i=1Ai\
Sn
i=1Ki)< ,µ(K
0
n) es una
sucesi´on mon´otona creciente enR. Ahora bien, note que no puede ser acotada, puesµ(A0n) no es acotada por hip´otesis. Entonces, por el teorema de convergencia mon´otona en R, µ(Kn0)→ ∞=µ(A). Es decir, A es interiormente regular.
• Caso 2, µ(A)<∞: Sea > 0. Entonces, exsisten (Kn)n ⊂ K tal
que Kn ⊂An, ∀n ∈N y µ(An\Kn)< /3n. Sean Ke := S∞
n=1Kn
y N ∈N tal que µ(Ke \ SN
n=1Kn)< /2. Sea K =
SN
n=1Kn ∈ K,
entonces K ⊂Ke ⊂A y
µ(A\K)≤µ(A\Ke) +µ(Ke \K)≤
∞
X
n=1
µ(An\Kn) +µ(Ke \K)
≤
∞
X
n=1
3n +
2 =.
Es decir, A es interiormente regular.
(ii) Sean (An)n ⊂ A tal que ∀n ∈ N µ(An) < ∞, A := T
∞
n=1An y > 0.
Sin p´erdida de generalidad, suponga que los An est´an encajados y son
decrecientes. Si no se tiene esto, construya una nueva sucesi´on (Bn)n
as´ı: B1 :=A1, B2 :=A1∩A2, ..., Bn :=Tni=1An, ... . De esta manera,
T∞
n=1Bn=A y ahora s´ı tenemos una sucesi´on encajada y decreciente.
Suponga que los An son exteriormente regulares, entonces ∀n ∈ N,
existeUn ∈Otal queAn ⊂Un yµ(Un\An)< /3n. Note que∀n ∈N,
µ(Un) < ∞. Si no, tome k ∈ N tal que µ(Uk) = ∞, entonces µ(Uk \
Ak) =∞, pues ∞=µ(Uk) =µ(Ak) +µ(Uk\Ak) −ya que Ak ⊂Uk−.
imposible, pues por hip´otesis es menor que /3k < ∞. Ahora, defina
e
U := T∞
n=1Un. Como los An son encajados y decrecientes, entonces
tenemos que losUntambi´en son encajados y decrecientes. Entonces, por
continuidad de las medidas, existeN ∈Ntal queµ(TN
n=1Un\Ue)< /2.
Sea U :=TN
n=1Un ∈O, entonces A⊂Ue ⊂U,Ue\A⊂ S∞
n=1Un\An y
µ(U \A)≤µ(Ue \A) +µ(U\Ue)≤µ
∞
[
n=1
Un\An
!
+µ(U\Ue)
<
∞
X
n=1
µ(Un\An) +
2 < ∞ X n=1
3n +
2 ≤
2 +
2 =.
Es decir, A es exteriormente regular. Ahora, si los (An)n son
inte-riormente regulares, ∀n ∈ N, existe Kn ∈ K tal que Kn ⊂ An y
µ(An\Kn) < /2n. Sea K := T
∞
n=1Kn ∈ K, entonces, como A\K =
T∞
n=1An\
T∞
n=1Kn⊂
S∞
n=1An\Kn, entonces
µ(A\K)≤µ
∞
[
n=1
An\Kn
!
≤
∞
X
n=1
µ(An\Kn)<
∞
X
n=1
2n =.
Es decir, A es interiormente regular.
Lema 2.119. Sea(X, τ)un espacio topol´ogico localmente compacto. Enton-ces µ:B(X)→[0,∞] es de Borel si y s´olo si µ es localmente finita.
Demostraci´on. “⇒” : Sea x∈X. Como X es localmente compacto, existe
V ⊂ X abierto tal que x ∈ V y V es compacto. Como µ es de Borel,
µ(V) < ∞. M´as a´un, como µ es una medida, por σ-subaditividad se tiene que µ(V)≤µ(V)<∞. Es decir, µes localmente finita.
“ ⇐ ” : Sea K ∈ K . Como µ es localmente finita, ∀x ∈ K, existe Ux ∈ O
tal que µ(Ux) < ∞. Note que la familia {Ux : x ∈ K} es un recubrimiento
abierto de K. ComoK es compacto, ∃x1, ..., xn∈K tal que
K ⊆
n
[
i=1
Uxi.
Ahora, nuevamente, por subaditividad de las medidas, se tiene que
µ(K)≤µ
n
[
i=1
Uxi
!
≤
n
X
i=1
38 2.3. Teor´ıa de Medida e Integraci´on
Es decir,µ es una medida de Borel.
Observaci´on 2.120. Note que la direcci´on ⇐ siempre se tiene. Es decir, en un espacio de Hausdorff, toda medida localmente finita es una medida de Borel.
Ahora, digamos cu´ando una medida compleja µsobre B(X) es regular.
Definici´on 2.121. Sean (X, τ) un espacio topol´ogico y µuna medida com-pleja sobreB(X). Decimos que µes regular si|µ| es regular.
En la secci´on anterior, cuando hablamos de medidas complejas, mencionamos cu´ando dos medidas son absolutamente continuas. Vale la pena preguntarse si la regularidad de una medida implica la regularidad de las medidas que son absolutamente continuas con respecto a ellas.
Lema 2.122. Sean(X, τ)un espacio topol´ogico,B(X)la σ-´algebra de Borel sobreX yµ una medida regular,σ-finita sobreB(X). Si ν :B(X)→[0,∞)
es una medida finita tal que ν µ, entonces ν es regular.
Demostraci´on. En primer lugar, note que comoν µy ambas medidas son
σ-finitas −como ν es finita, en particular es σ-finita−, por el Teorema de Radon-Nikodym (teorema2.104) existe f ∈L0(X),f ≥0, tal que para todo
A∈B(X), se tiene que,
ν(A) =
Z
A
f dµ.
Ahora bien, sea A∈B(X). Como µ es regular, existen (Un)n ⊂O, (Kn)n ⊂ K tal que K1 ⊂ K2 ⊂ ... ⊂ A, U1 ⊃ U2 ⊃ ... ⊃ A y µ(Un) & µ(A),
µ(Kn) % µ(A). Como ν es una medida finita, en particular ν(U1) < ∞,
entonces, como m´odulo conjuntos de medida 0, A = S∞
n=1Kn =
T∞
n=1Un,
por las propiedades de continuidad de las medidas, teorema 2.72, tenemos que:
l´ım
n→∞ν(Un) =ν ∞
\
n=1
Un
!
=
Z
T∞ n=1Un
f dµ=
Z
A
y
l´ım
n→∞ν(Kn) = ν ∞
[
n=1
Kn
!
=
Z
S∞ n=1Kn
f dµ=
Z
A
f dµ=ν(A).
Entonces, ν es regular, como quer´ıamos probar.
Finalmente, para concluir nuestra incursi´on en las medidas topol´ogicas, ha-blemos de la regularidad de la medida de Lebesgue y el teorema de aproxi-maci´on de los conjuntos Lebesgue medibles.
Teorema 2.123. Seaλ :B(R)→[0,∞] la medida de Lebesgue. Entonces λ
es regular.
Demostraci´on. Ver [3], Teorema 7.1, Corolario 7.2.
Teorema 2.124 (Primer Principio de Littlewood). Para cada A ⊂ R
medible tal que λ(A) < ∞ y para cada > 0, existe una familia finita de intervalos (Ii)ni=1, conI :=
Sn
i=1Ii, tal que λ(A4I := ((A\I∪I\A))< .
Demostraci´on. Sean A ⊂ R medible tal que λ(A) < ∞ y > 0. Por el teorema 2.123, existe U ⊂ R abierto tal que A ⊂ U y λ(U \A) < /2. Como U es la uni´on enumerable de intervalos y λ(U)<∞, existe una uni´on finita de intervalos I tal que I ⊂U y λ(U \I)< /2. Entonces,λ(A4I)< /2 +/2 =.
Medidas invariantes para
transformaciones continuas,
caso espacio de probabilidad
En el presente cap´ıtulo veremos que si (X, d) es un espacio m´etrico compacto y f ∈ C(X), existe una medida de probabilidad µ sobre B(X) tal que f
preserva la medida con respecto a µ.
3.1.
El espacio
M
(X
)
Definici´on 3.1. Sea (X1,A1, µ1), (X2,A2, µ2) espacios de medida y seaf :
X1 →X2medible. Decimos quefpreserva la medida si∀A∈A2,µ1(f−1(A)) =
µ2(A).
Ejemplo 3.2. Sean ([0,1],B([0,1]), λ) y T : X → X, T(x) = 2x (mod 1) (ver figura3.1). Veamos queT preserva la medida. Por el teorema2.124, basta probarlo para intervalos. Sea (a, b) ⊂ [0,1], entonces T−1((a, b)) = (a
2,
b
2)∪
(1+2a,1+2b). Note queλ(T−1((a, b))) =λ (a
2,
b
2)∪( 1+a
2 , 1+b
2 )
= b−2a+ b−2a =
b − a = λ((a, b)). Entonces, por la observaci´on inicial, ∀A ∈ B([0,1]), T
preserva la medida de A.
Definici´on 3.3. Sea (X, d) un espacio topol´ogico. Definimos
M(X) :={µ:µ es una medida real de probabilidad sobre (X,B(X))}.
42 3.1. El espacioM(X)
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.
0,2 0,4 0,6 0,8
0
Figura 3.1: Gr´afica de T(x) = 2xmod 1
Observaci´on 3.4. De acuerdo con la definici´on2.113, toda medida de pro-babilidad sobre B(X) es una medida de Borel.
Observaci´on 3.5. Existe una inmersi´on de X en M(X) dada por x7→ δx,
dondeδx es la medida de Dir´ac concentrada en x.
Lema 3.6. (Lema de regularidad) Sean (X, τ) un espacio de Hausdorff y
A⊂B(X)una σ-´algebra. Entonces, para cada medida finita µ:A→[0,∞), el conjunto
Rµ:={A∈A:A es µ−regular} (3.1)
es un σ-anillo.
Demostraci´on. Vamos a revisar las propiedades de la definici´on 2.62.
(a) ∅ ∈ R : Como ∅ es abierto, cerrado, compacto y µ es una medida es claro que µ(∅) = 0 = sup{µ(K) : K ⊂ ∅, K ∈ K} = ´ınf{µ(U) : ∅ ⊂
U, U ∈O}.
(b) ∀A, B ∈ Rµ, A∪B, A∩B, A\B ∈ Rµ : Sean A, B ∈ Rµ, > 0 y
K, L ∈ K, U, V ∈ O tal que K ⊂ A ⊂ U, L ⊂ B ⊂ V y µ(U \K) +
µ(V \L)< . Ahora bien, como K∪L∈K yU ∪V ∈O, tenemos que
K∪L ⊂ A∪B ⊂ U ∪V y (U ∪V)\(K ∪L) ⊂ (U \K)∪(V \L) y entonces µ((U ∪V)\(K ∪L))< , lo que implica la regularidad de
Ahora, comoA\B =A\(A∩B), sin p´erdida de generalidadB ⊂A,L⊂
K yV ⊂U . Entonces, tenemos queL⊂K∪L∈KyU ⊃V ∩U ∈Oy adem´as, tenemos queK\V ⊂A\B ⊂U\L. Note queK\V =K∩Vc∈
K, puesVc∈C,U\L=U∩Lc∈O, pues comoL∈K,L∈Cya que los compactos en un espacio de Hausdorff son cerrados y entoncesLc ∈O.
Es decir, (U\L)\(K\V) = (U\L)\K)∪((U\L)∩V= (U\K)∪(V\L). Por lo cual, µ((U \L)\(K\V))< y A\B ∈Rµ.
(c) ∀(An)n ⊂ Rµ,S
∞
n=1An ∈ Rµ : Sean (An)n ⊂ Rµ y > 0. Sin p´
erdi-da de generalierdi-dad, los An son pardisjuntos. Entonces, ∀n ∈ N, existe
Kn ∈ K, Un ∈ O tal que Kn ⊂ An ⊂ Un y µ(Un \Kn) < 2n.
Co-mo P∞
n=1µ(An) = µ(
S∞
n=1An) ≤ µ(X) < ∞ y µ(Un) ≤ µ(An) +
2n,
∀n ∈N, entoncesµ(S∞
n=1Un)<∞. Esto implica que existeN ∈N, tal
que P∞
n=N+1µ(Un)< . Sean K :=
SN
n=1Kn ∈ K, U :=
S∞
n=1Un ∈ O,
entonces K ⊂ S∞
n=1An ⊂ U y µ(U \ K) ≤
PN
n=1µ(Un \ Kn) +
P∞
n=N+1µ(Un)<2. Es decir,
S∞
n=1An ∈Rµ.
Teorema 3.7 (Teorema de regularidad). Sean (X, τ) un espacio de Hausdorff y µ : B(X) → [0,∞) una medida finita. Si ∀U ∈ O, U es in-teriormente regular, entonces µ es regular.
Demostraci´on. Note que por hip´otesis O⊂Rµ, puesU es autom´aticamente
exteriormente regular y por hip´otesis, todo abierto es interiormente regular. Como µ es finita, en particular es σ-finita, entonces por el teorema de ex-tensi´on de Hahn (teorema2.68), se extiende de manera ´unica a una medida sobre σ(Rµ). Ahora bien, como
O⊆Rµ⊆B(X) =⇒σ(O)⊆σ(Rµ)⊆B(X).
Como, por la observaci´on 2.111, σ(O) = B(X), el teorema de extensi´on de Hahn (teorema 2.68) garantiza la extensi´on de µ a σ(Rµ) = B(X). Lo
que implica la regularidad de µ, pues todos los conjuntos de Borel son µ -regulares.
Teorema 3.8. Sea (X, d) un espacio m´etrico σ-compacto. Entonces ∀µ ∈
44 3.1. El espacioM(X)
Demostraci´on. Por el teorema de regularidad (teorema3.7), basta ver que los abiertos de X son interiormente regular. Sea (Kn)n ⊂ K tal que
S∞
n=1Kn =
X. Estos Kn existen, pues X es σ-compacto. Sea U ∈O, como U es un Fσ
(lema2.10), existe (Cn)n ⊂Ctal que U =S
∞
n=1Cn. Note que∀n ∈N, Cn ⊂
U, adem´as, sin p´erdida de generalidad, los Cn son una sucesi´on creciente, si
no, tome Ck0 :=Sk
n=1Cn. Ahora bien, defina la nueva sucesi´on de conjuntos:
e
Kn :=Cn∩Kn ∈K.
Por construcci´on tenemos que,∀n ∈N,Ken⊂Cny S∞
n=1Ken = S∞
n=1Cn=U.
Es decir, los Ken forman una sucesi´on encajada y creciente de compactos
contenidos enU. Por el teorema 2.72 tenemos que
µ(U) = µ
∞ [ n=1 Cn ! =µ ∞ [ n=1 e Kn ! = l´ım
n→∞µ(Ken).
Lo que implica queU esµ-interiormente regular.
Observaci´on 3.9. El teorema 3.8 junto con el teorema 2.19 implica que toda medida finita sobre un espacio polaco localmente compacto es regular, pues sabemos que todo espacio polaco localmente compacto es σ-compacto. Sin embargo, en el siguiente cap´ıtulo, con el teorema4.2, vamos a probar un resultado m´as fuerte y general: que toda medida localmente finita sobre un espacio polaco es regular.
Ejemplo 3.10. Sean (N,B(N)) yλ >0. Defina sobre este espacioµλ({n}) := λne−λ
n! , ∀n ∈ N, la distribuci´on de Poisson con par´ametro λ. Claramente N0
es un espacio m´etrico con la m´etrica del valor absoluto. Ahora bien, por un lado, note que los compactos en Nson subconjuntos finitos, entonces tienen medida finita. Es decir∀K ∈K,µλ(K)<∞, entonces, µλ es Borel. Es claro
queN es σ-compacto. Adem´as,
µλ(N) = µλ
∞
[
n=0
{n}
!
= ∞
X
n=0
µλ({n}) =
∞
X
n=0
λne−λ
n! = 1.
Esto implica que µλ es una medida de probabilidad. Por el teorema 3.8, µλ
Ejemplo 3.11. En (N,B(N)), considere la siguiente medida:
µ({n}) := 1
2n,∀n∈N.
Como µ(N) = P∞
n=1 1
2n = 1, por el mismo argumento de antes, µ ∈ M(N).
En general, se tiene que toda medida de probabilidad sobre B(X) = B(N) es regular.
El resultado anterior nos permite concluir que todos los elementos de M(X) son regulares. El siguiente resultado nos permitir´a identificar puntos en este espacio de funciones.
Definici´on 3.12. Sea (X,A, µ) un espacio de medida. Para cada par de conjuntos A, B ∈A, decimos que A y B son igualesµ-casi siempre (µ a.e) si
µ(A4B) = 0. Recuerde que para A, B ∈P(X), A4B :=A\B∪B\A.
Teorema 3.13. Sean (X, τ) un espacio de Hausdorff localmente compacto y
µ, ν medidas regulares sobre B(X). Si ∀f ∈Cc(X),
Z
X
f dµ=
Z
X
f dν, (3.2)
entonces µ=ν.
Demostraci´on. (i) SeaK ∈K. Comoµyνson regulares, existen (Uµ
n)n,(Unν)n ⊂ O tal que µ(U1µ), ν(U1ν)<∞ −lo anterior se tiene por continuidad de las medidas y regularidad−, K ⊂Uµ
n, K ⊂Unν y
l´ım
n→∞µ(U
µ
n) = µ(K), l´ım n→∞ν(U
ν
n) =ν(K).
En particular, note queK =T∞
n=1U
µ
n µ a.eyK =
T∞
n=1U
ν
n ν a.e.
Aho-ra, para cada n ∈ N, defina Un :=
Tn i=1(U
µ
i ∩Uiν), entonces por
cons-trucci´on cadaUnes abierto yU1 ⊇U2 ⊇...Un ⊇...yµ(U1), ν(U1)<∞.
Entonces, K = T∞
n=1Un µ, ν a.e y por continuidad de las medidas, se
tiene que:
µ(K) = l´ım
n→∞µ(Un), ν(K) = l´ımn→∞ν(Un).
Por el lema de Urysohn (teorema2.13), para cadan, existe una funci´on continua no negativa fn tal que suppfn = Un, f K= 1 y fn(x) ≤ 1
46 3.1. El espacioM(X)
para todo x ∈ X. Ahora, defina la siguiente sucesi´on mon´otona de funciones, gn := m´ın{f1, ..., fn}. Note que gn → χK puntualmente µ
a.e. Por Teorema de Convergencia Mon´otona (2.82)y las hip´otesis sobre
µy ν se tiene que:
µ(K) =
Z
X
χK dµ= l´ım n→∞
Z
X
fn dµ= l´ım n→∞
Z
X
fn dν
=
Z
X
χK dν =ν(K).
(ii) Como µy ν son regulares y tenemos que µ(K) = ν(K),∀K ∈K, de la regularidad de µ y ν se sigue que tambi´en vale la igualdad para todo abiertoU ∈O. Como tenemos la igualdad para abiertos y compactos, de nuevo por regularidad, vale para todo conjunto Borel en B(X).
Ahora vamos a ver las diferentes formulaciones del Teorema de Representa-ci´on de Riesz y sus aplicaciones en An´alisis Funcional. Debido a la extensi´on y complejidad de estas pruebas, se deja la referencia para que el lector in-teresado las revise. Ac´a s´olo las mencionaremos.
Definici´on 3.14. Sea (X,≤) un espacio vectorial ordenado. Un funcional linealϕ:X →Kse dice positivo si:
(i) K=R: Para todo x∈X, tal que x≥0, ϕ(x)≥0. (ii) K=C: Para todo x∈X, tal que x≥0, ϕ(x)∈R.
Teorema 3.15. (Teorema de Representaci´on de Riesz) Sean (X, τ) un es-pacio de Hausdorff localmente compacto eI :Cc(X)→Kun funcional lineal
positivo. Entonces existe una medida de Radon µ:B(X)→[0,∞] tal que
I(f) =
Z
X
f dµ, ∀f ∈Cc(X) (3.3)
y
µ(K) = ´ınf{I(f) :f ∈Cc(X), f ≥χK} (K ∈K), (3.4)