UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL Y AMBIENTAL
EFECTO DE LA CARGA VIVA EN LA RESPUESTA SÍSMICA DE ESTRUCTURAS (FASE 1)
AUTOR
Sergio de los Ríos Fegali
ASESOR
Juan Carlos Reyes Ortiz, PhD
Bogotá, Colombia Junio 2013
i
Tabla de contenido
1 Introducción ... 1
1.1 Antecedentes y justificación ... 1
1.2 Objetivo ... 4
1.3 Organización ... 4
2 Ensayo De Rigidez Lateral Sobre El Modelo ... 5
2.1 Marco teórico ... 5
2.2 Metodología ... 5
2.3 Resultados ... 6
3 Barrido De Frecuencias ... 9
3.1 Marco teórico ... 9
3.2 Metodología ... 9
3.3 Resultados ... 12
4 Ensayo De Vibración Libre... 14
4.1 Marco teórico ... 14
4.2 Metodología ... 15
4.3 Resultados ... 17
5 Ensayo De Tambaleo Libre... 20
5.1 Marco Teórico ... 20
ii 5.3 Resultados ... 26 6 Conclusiones ... 28
1
1
INTRODUCCIÓN
1.1
Antecedentes y justificación
En el diseño y análisis sísmico de estructuras, las fuerzas dinámicas tienden a ser sustituidas por fuerzas estáticas equivalentes determinadas multiplicando el peso de la estructura por un coeficiente sísmico. Aunque la investigación sobre cómo determinar dicho coeficiente es numerosa, la información sobre la determinación del peso efectivo de estructuras es más limitada. En la literatura, se hace claro que los efectos de la carga viva pueden ser significativos en el diseño y análisis sísmico de las estructuras. En la mayoría de los casos, el diseño se hace tomando un porcentaje de la carga viva debido a que se ha establecido que no toda la carga viva aporta a la inercia de la estructura. La norma ASCE 7-10 establece que la porción de carga viva que debe ser incluida como inercia en análisis sísmicos puede llegar hasta el 25% en estructuras utilizadas como depósitos. Este valor se reduce a un 10% para estructuras marítimas (Ospina & Smith). Para el caso particular de puertos de contenedores la carga viva es permanente y puede llegar a exceder la carga muerta hasta por un factor de 2.0, motivo por el cual la selección de la masa sísmica es sumamente importante.
Al realizar una revisión de la literatura se encuentra que hay una serie de trabajos en los que se estudian los factores que influyen sobre la carga viva efectiva de las estructuras, entre los cuales se incluyen: la relación entre la carga viva y la carga muerta, el amortiguamiento, el método de análisis y el método de aplicación de la carga (Chandrasekaran & Saini, 1969). Para el caso particular de este proyecto, también es necesario tener en cuenta efectos como el desplazamiento, impacto y tambaleo de los cuerpos que se encuentren sobre la estructura puesto que modifican su respuesta al alterar la carga viva efectiva (Kirkayak, Aguiar de Souza, Suzuki, Ando, & Sueoka, 2011). Hay más información e investigación realizada para los efectos de carga viva en el análisis sísmico y diseño para el caso de puentes que de muelles. Para puentes, algunos países ya indican que se puede usar un porcentaje dado de la carga viva como carga de diseño dependiendo del entorno y las condiciones en que se encuentre, por ejemplo, zonas rurales o urbanas (Wibowo, Smith, Buckle, & Sanders, 2011). Sin embargo, estas recomendaciones se hacen para efectos gravitacionales (carga vertical) y no para efectos inerciales.
2 Actualmente se está desarrollando una investigación para determinar la porción de carga viva que debe incluirse como inercia en el análisis dinámico de estructuras que soportan cargas permanentes o cargas vivas significativas. La carga viva es simulada como un bloque rígido colocado sobre la estructura. La investigación está dividida en dos fases. La primera fase es de carácter experimental, en la cual se utiliza un modelo físico sujeto a movimientos en la base. La segunda fase de la investigación es una modelación numérica en ANSYS utilizando elementos finitos. Los resultados de la primera fase serán utilizados para la calibración de la modelación de la segunda fase.
El espécimen utilizado en la fase experimental es un modelo de escala 1:15 de un muelle idealizado como una estructura de un grado de libertad, escalado bajo las leyes de escalamiento de Froude (Kirkayak, Aguiar de Souza, Suzuki, Ando, & Sueoka, 2011). El modelo está compuesto por cuatro columnas de acero de 1100 mm de altura y 42 mm de diámetro y una placa compuesta de concreto y acero de dimensiones 1000 mm x 1000 mm x 13 mm. Sobre la estructura se colocarán bloques rígidos de distintas relaciones de aspecto conformados por láminas de acero y madera.
1000 mm 1000 mm
1100
m
m
100
mm
3
4
1.2
Objetivo
La primera fase del proyecto tiene como objetivo principal caracterizar el modelo físico utilizado en una fase experimental. Mediante una serie de ensayos se busca medir la rigidez lateral, el periodo natural, el amortiguamiento del espécimen. Adicionalmente se determinará el coeficiente de restitución que relaciona los bloques rígidos con la placa de concreto del modelo. Los resultados de esta fase serán utilizados para calibrar modelos de elementos finitos desarrollados en fases posteriores del proyecto.
1.3
Organización
Este documento incluye el marco teórico, la metodología y los resultados de cada uno de los siguientes ensayos, en el siguiente orden:
Rigidez del modelo.
Barrido de frecuencias sobre el modelo. Vibración libre del modelo.
5
2
ENSAYO DE RIGIDEZ LATERAL SOBRE EL MODELO
2.1
Marco teórico
Al considerar un sistema de un grado de libertad sujeto a una fuerza estática externa fS en
dirección del grado de libertad, se tiene una fuerza interna opuesta de igual magnitud que resiste el desplazamiento generado u. La relación fuerza-desplazamiento es lineal para desplazamientos pequeños y no lineal para desplazamientos grandes.
Para un sistema lineal elástico la relación entre la fuerza fS y el desplazamiento u está dada
por la siguiente ecuación (Chopra, 2000):
(1) donde k representa la rigidez lateral del sistema. Esta relación lineal sugiere las curvas de carga y descarga son idénticas. Por otro lado, en un sistema inelástico la curva de carga es no lineal para los valores más grandes de deformación y las curvas de descarga y recarga difieren de la curva de carga inicial. En estos casos la relación entre fS y u depende de la historia de deformaciones y de la
tasa de cambio de las deformaciones de tal forma que la fuerza resistente se expresa como una función de u y su primera derivada respecto al tiempo como .
2.2
Metodología
Para determinar la rigidez lateral del modelo se le aplicó una fuerza lateral a velocidad constante en dirección del grado de libertad existente usando el actuador hidráulico, siguiendo el modelo idealizado presentado en la Figura 3. El desplazamiento del modelo fue medido con un hilo Waycon SX50. En este procedimiento se registró la fuerza aplicada por el actuador y el desplazamiento total del modelo con una frecuencia de 10 datos por segundo usando el software LabView 8.2. Al alcanzar un valor de desplazamiento determinado se removió la fuerza aplicada por el actuador para permitir que el modelo volviera a su posición de equilibrio.
6
Actuador hidráulico Especimen Hilo Waycon
Figura 3. Montaje idealizado de ensayos de rigidez lateral
El procedimiento fue realizado 34 veces para una serie de valores de desplazamiento diferentes. Mediante un análisis previo, se determinó que la estructura fluye a un desplazamiento de 28 mm. Por este motivo, los valores de desplazamiento objetivo se encontraban en el rango entre 2 y 10 mm. Para estos desplazamientos se supuso que la rigidez está regida por la ecuación (1).
2.3
Resultados
Debido a que el proceso de descarga de la estructura se desarrolla muy rápidamente y el software utilizado no permitió registrar la fuerza aplicada y el desplazamiento a una mayor frecuencia de toma de datos, no fue posible obtener una curva de descarga satisfactoria. Por este motivo sólo se utilizaron los datos registrados durante el proceso de carga para determinar la rigidez lateral del modelo. En la Tabla 1 se presentan los valores de desplazamiento u y rigidez lateral k
para cada uno de los ensayos realizados y en la Tabla 2 se incluyen el valor mínimo, máximo y la mediana de los valores de rigidez lateral calculados. En la Figura 4 se muestra gráficamente la variación que se presenta en la rigidez lateral del modelo para los ensayos realizados. Se hace evidente que hay una variación muy pequeña en la rigidez lateral, con una mediana de 93.787 N/mm. Las variaciones que se presentan se deben a la fricción presente en los rodamientos de la conexión entre las columnas y el tablero del modelo.
7
Tabla 1. Resultados de ensayo de rigidez lateral
Prueba u k
(mm) (N/mm)
1 2.060 94.536
2 2.005 95.178
3 2.042 99.435
4 2.017 90.882
5 2.051 100.175
6 2.020 100.393
7 2.019 99.427
8 3.799 98.110
9 3.524 98.279
10 4.286 93.683
11 4.148 93.863
12 4.244 96.384
13 4.083 96.153
14 4.197 96.339
15 4.145 96.301
16 6.099 95.160
17 6.483 90.314
18 6.064 92.475
19 6.028 91.687
20 6.210 94.779
21 6.129 94.006
22 6.215 91.488
23 7.889 93.095
24 8.102 93.712
25 8.077 93.549
26 8.159 93.660
27 7.830 91.696
28 8.308 92.115
29 9.764 93.513
30 9.818 92.403
31 9.963 92.753
32 9.797 92.692
33 10.112 92.121
8
Tabla 2. Valores extremos y mediana de rigidez lateral
k
(N/mm)
Mínimo 90.314 Máximo 100.393 Mediana 93.787
Figura 4. Variación de rigidez lateral en función del desplazamiento
Amortiguamiento ζ
0.499% 0.681% 0.846% 1.081% 1.539%
Periodo Tn
0.1663 s 0.1666 s 0.1671 s 0.1676 s 0.1679 s
90.314 92.475 93.787 96.301 100.392
Unidades: N/mm Rigidez lateral k
0.9193 0.9261 0.9421 0.9453 0.9564
Coeficiente de restitución μ
9
3
BARRIDO DE FRECUENCIAS
3.1
Marco teórico
La ecuación de movimiento que gobierna el desplazamiento de una estructura con rigidez k, masa m y amortiguamiento c sometida a una aceleración en la base üg(t) es:
(2) donde y son la velocidad y aceleración de la masa, respectivamente. Si la aceleración es igual a , la ecuación (2) se puede expresar como:
(3) donde y ω es la frecuencia de excitación. La relación existente entre la aceleración
total de la masa y la amplitud de la aceleración en la base üg0 se conoce como transmisibilidad TR y
puede calcularse en función del amortiguamiento y la razón entre la frecuencia de excitación ω y la frecuencia natural ωnusando la siguiente ecuación:
(4) Note que el máximo valor de TR se obtiene cuando .
3.2
Metodología
Para el desarrollo del barrido de frecuencias se ubicó el modelo sobre la mesa vibratoria de manera que el desplazamiento generado en la mesa vibratoria se produjera en sentido del grado de libertad del modelo. Se conectó un acelerómetro con capacidad de registro de 5g en la placa del modelo para registrar la aceleración transmitida al modelo en dirección del grado de libertad existente. Otro acelerómetro fue conectado en el centro de la mesa vibratoria para registrar la aceleración en la base del sistema. El montaje idealizado del ensayo se presenta en la Figura 6.
10
Acelerómetro
Mesa vibratoria
Figura 6. Montaje idealizado de ensayo de barrido de frecuencias
11 Las fuerzas de excitación aplicadas debían ser de tal magnitud que la aceleración transmitida al modelo no excediera la capacidad de registro de los equipos utilizados, para lo cual se realizó una serie de ensayos preliminares. Los parámetros de las aceleraciones en la base utilizadas para el barrido de frecuencias sobre el modelo se presentan en la Tabla 3.
Tabla 3. Parámetros de fuerza de excitación utilizados para ensayos de barrido de frecuencias
fg ug0
(Hz) (mm)
5.60 2.85
5.65 2.63
5.70 2.41
5.75 2.20
5.80 1.00
5.85 0.90
5.90 0.80
5.95 0.71
6.00 0.62
6.05 0.53
6.10 0.90
6.15 0.75
6.20 0.99
Los resultados registrados para en los ensayos preliminares fueron utilizados para elaborar gráficas de vs t para ver el comportamiento de la mesa vibratoria bajo las fuerzas de excitación proporcionadas. Estas gráficas mostraron la presencia de un ruido en la señal registrada producido por el propio funcionamiento del actuador hidráulico al aplicar desplazamientos de amplitudes tan pequeñas. Para eliminar el ruido fue necesario filtrar la señal de respuesta utilizando el software Degtra NET2007. Mediante un análisis de Fourier se determinó que las frecuencias del ruido se encontraban por encima de los 20 Hz. Puesto que en el barrido de frecuencias no se iban a utilizar frecuencias superiores a los 10 Hz, se aplicó un filtro pasa-baja con frecuencia máxima de 10 Hz para limpiar las señales.
Una vez realizados los ensayos para las frecuencias y amplitudes presentadas en la Tabla 3, se utilizaron las aceleraciones máximas registradas en la placa del modelo y en la base para calcular la transmisibilidad usando la primera expresión de la ecuación (4). Estos valores permiten la
12 elaboración de la curva de transmisibilidad del modelo. La frecuencia natural fn y el
amortiguamiento ζ del modelo se obtienen resolviendo el siguiente problema de minimización:
(5)
3.3
Resultados
Los valores registrados de máxima aceleración en el modelo y en la base están presentados para cada ensayo en la Tabla 4 junto con el valor de TR correspondiente. Al llevar realizar el proceso de minimización de errores expresado en la ecuación (5), se obtuvieron los valores presentados en la Tabla 5 y representados gráficamente en la Figura 8. Los valores obtenidos para
fn, Tn y ζ están presentados en la Tabla 6.
Tabla 4. Resultados de ensayo de barrido de frecuencias
fg TR
(Hz) (g) (g)
5.60 1.687 0.185 9.117
5.65 1.879 0.178 10.555
5.70 2.275 0.168 13.539
5.75 3.306 0.157 21.060
5.85 2.717 0.069 39.434
5.90 2.601 0.058 44.764
5.95 2.018 0.049 40.848
6.00 1.442 0.044 32.687
6.05 0.946 0.037 25.435
6.10 0.657 0.034 19.152
6.15 0.787 0.054 14.567
13
Tabla 5. Minimización del error en barrido de frecuencias
f
(Hz) TRexp TRteo ||TRteo - TRexp||
5.60 9.12 9.425 0.094
5.65 10.56 11.062 0.257
5.70 13.54 13.387 0.023
5.75 21.06 16.907 17.243
5.85 39.43 32.997 41.434
5.90 44.76 47.194 5.902
5.95 40.85 42.812 3.855
6.00 32.69 28.598 16.724
6.05 25.44 20.020 29.330
6.10 19.15 15.115 16.297
6.15 14.57 12.052 6.321
6.20 12.05 9.985 4.276
Suma 141.756
Tabla 6. Resultados de fn, Tn y ζ para barrido de frecuencias
fn Tn
(Hz) (s)
5.9172 0.1690 1.022%
14
4
ENSAYO DE VIBRACIÓN LIBRE
4.1
Marco teórico
Un cuerpo se encuentra bajo un estado de vibración libre cuando se desplaza de su posición de reposo y se deja vibrar sin ningún tipo de excitaciones dinámicas. La vibración libre de una estructura con masa m, amortiguamiento c y frecuencia natural ωn está regida por la ecuación
, donde la razón de amortiguamiento ζ se expresa como una fracción del amortiguamiento crítico ccr.
Para casos en que c = ccr el sistema vuelve a la posición de equilibrio sin presentar
oscilaciones. Lo mismo ocurre en casos en que c > ccr, pero sucede a una tasa menor. En estos casos
se dice que el sistema está críticamente amortiguado y sobreamortiguado, respectivamente. Cuando
c < ccr se dice que el sistema se encuentra subamortiguado, el cual es el caso de las estructuras de
obras civiles.
La solución a la ecuación diferencial de movimiento para un sistema subamortiguado en vibración libre es:
(6)
(7)
donde ωD es la frecuencia amortiguada del sistema, y el periodo TD que le corresponde es el
periodo amortiguado del sistema. El logaritmo natural del cociente entre dos picos sucesivos de vibración libre amortiguada se conoce con el nombre de decaimiento logarítmico δ y puede ser calculado mediante la siguiente ecuación.
De otro lado, la relación entre dos picos separados n ciclos se calcula usando la siguiente ecuación (García, 1998):
15 Para sistemas con amortiguamiento bajo se tiene que δ 2πζ, sin importar el número de ciclos con los que se calcule δ. Esta relación permite determinar el amortiguamiento ζ de una estructura a partir de resultados experimentales utilizando la ecuación (9). El periodo amortiguado
TD se puede determinar de registros experimentales al medir el tiempo requerido para completar un
ciclo de vibración.
(9)
ü
t üi
üi+1
üi+2
TD TD
Figura 9. Cálculo de decremento logarítmico
4.2
Metodología
El montaje de los ensayos de vibración libre se muestra en la Figura 10. Para realizar los ensayos se aplicó una fuerza armónica, con frecuencia fg y amplitud ug0 conocidas en la base del
sistema para desplazar la estructura de su posición de equilibrio. La fuerza de excitación se aplicó por el tiempo necesario para obtener una respuesta estable del modelo. Al detener la aplicación de la fuerza de excitación la estructura entró en un estado de vibración libre. Se registró la aceleración de la estructura a lo largo de todo el procedimiento utilizando acelerómetros con capacidad de registro de 5g. Este procedimiento se realizó para las 13 fuerzas de excitación utilizadas en el barrido de frecuencias.
16
Actuador hidráulico Acelerómetro
Mesa vibratoria
Figura 10. Montaje idealizado de ensayo de vibración libre
Los registros de la respuesta de aceleración durante todo el periodo del ensayo pueden ser divididos en dos partes: una zona de vibración forzada y otra zona de vibración libre. La Figura 11 presenta estas zonas para un ensayo con fg = 5.60 Hz y ug0 = 2.85 mm. Al inicio se tiene la porción
de la respuesta correspondiente al sistema bajo fuerzas de excitación en la base, donde se presenta una aceleración registrada constante. La segunda parte de la respuesta registrada corresponde al estado de vibración libre de la estructura, en la que la aceleración registrada forma una especie de cono alrededor del eje horizontal de la gráfica.
Figura 11. Ejemplo de respuesta de aceleración registrada
Dado que la porción de los registros que interesan en este ensayo corresponden solamente a la segunda parte de la gráfica, para cada registro se determinó el instante de tiempo en que iniciaba el estado de vibración libre de la estructura y se definió ese tiempo como t = 0 s. Para determinar los valores de ζ y Tn de la estructura se elaboraron las gráficas de ü vs t para cada ensayo, a partir de
17 valores se empleó la ecuación (9) para determinar el valor de ζ. Utilizando los valores de t1 y tn
correspondientes al instante de tiempo en que se presentan los picos ü1 y ün, respectivamente, se
determinó TD.
4.3
Resultados
Los resultados obtenidos de los ensayos se presentan en la Tabla 7. El valor del amortiguamiento de la estructura se calcula como la mediana de los amortiguamientos calculados para cada uno de los ensayos realizados; de la misma manera se calcula el periodo amortiguado de la estructura. El periodo natural Tn se calcula a partir de la ecuación (7). Los valores extremos y la
mediana de ζ y TD para el modelo se presentan en la Tabla 8.
Tabla 7. Resultados de ensayo de vibración libre
Ensayo fg
Número de
ciclos, n ü1 ün t1 tn ζ TD
(Hz) (g) (g) (s) (s) (s)
VL01 5.60 40 0.698 0.137 4.630 11.125 0.663% 0.1665
VL02 5.65 40 0.658 0.096 5.275 11.770 0.785% 0.1665
VL03 5.70 30 0.631 0.182 4.170 9.015 0.682% 0.1671
VL04 5.75 30 1.186 0.478 1.870 6.740 0.499% 0.1679
VL05 5.80 30 0.520 0.076 3.815 8.645 1.056% 0.1666
VL06 5.85 30 0.718 0.196 2.915 7.780 0.714% 0.1678
VL07 5.90 30 0.791 0.229 2.850 7.715 0.679% 0.1678
VL08 5.95 30 0.562 0.092 2.500 7.350 0.996% 0.1672
VL09 6.00 25 0.458 0.090 2.815 6.820 1.078% 0.1669
VL10 6.05 20 0.517 0.188 2.010 5.195 0.846% 0.1676
VL11 6.10 20 0.407 0.111 0.435 3.610 1.091% 0.1671
VL12 6.15 25 0.474 0.092 0.635 4.650 1.090% 0.1673
VL13 6.20 20 0.324 0.052 0.840 4.000 1.539% 0.1663
Tabla 8. Resultados de ζ, Tn para ensayos de vibración libre
ζ TD Tn
(s) (s)
Mínimo 0.499% 0.1663 0.1663
Máximo 1.539% 0.1679 0.1679
18 Amortiguamiento ζ
0.499% 0.681% 0.846% 1.081% 1.539%
Periodo Tn
0.1663 s 0.1666 s 0.1671 s 0.1676 s 0.1679 s
Figura 12. Diagrama de caja de resultados de amortiguamiento y periodo para ensayos de vibración libre
En la Tabla 7 se ve una gran variabilidad en los valores de ζ obtenidos en cada ensayo que parece tener una tendencia a aumentar a medida que se aumenta la frecuencia de excitación utilizada para desplazar la estructura de su posición de equilibrio. Esta tendencia se muestra gráficamente en la Figura 13. Sin embargo, el valor de ζ no parece relacionarse con otras variables de los ensayos como el número n de ciclos utilizados para realizar los cálculos.
19 La diferencia entre el valor de la mediana de ζ mediante este ensayo y el valor obtenido mediante el barrido de frecuencias es de 0.237%. Esta diferencia está relacionada principalmente con la fricción que se genera en los rodamientos de la conexión columna-tablero. Este también es el motivo de las diferencias del valor de ζ cuando se aplican distintas frecuencias de excitación. Al momento de obtener un valor final para el amortiguamiento de la estructura, podría optarse por utilizar un valor que se encuentre entre los dos resultados obtenidos para este parámetro. Por este motivo, se elige el valor de amortiguamiento de 1.00%,
Los valores obtenidos de TD tienen una variabilidad menor que la de ζ, y el valor calculado
de Tn es muy similar al valor obtenido mediante el barrido de frecuencias. Se optará por utilizar un
periodo natural de 0.168 s, valor intermedio entre los resultados obtenidos mediante los dos ensayos previamente expuestos.
20
5
ENSAYO DE TAMBALEO LIBRE
5.1
Marco Teórico
Un bloque apoyado sin ningún tipo de restricción sobre una superficie es vulnerable a desplazamiento respecto a su posición inicial cuando la base se ve sujeta a una carga de excitación que la desplace de su posición de equilibrio. Uno de los tipos de movimiento que puede sufrir el bloque es el tambaleo (“`Rocking Motion”, RM), definido como una oscilación caracterizada por un cambio instantáneo de centros de rotación al alcanzar una determinada posición (Peña F. , Prieto, Lourenço, & Campos-Costa, 2006). En este punto se produce una fuerza impulsiva que genera una pérdida de energía. Al producirse la excitación en la base, si la fricción entre el bloque y la superficie es suficientemente alta, el bloque presentará un tambaleo libre RM.
Las primeras investigaciones sistemáticas del fenómeno de RM se realizaron en la década de 1960 (Housner, 1963). Estas investigaciones han sido tomadas como base en el desarrollo de la
teoría y formulaciónclásica. La teoría clásica lleva a que el comportamiento dinámico del bloque puede describirse utilizando únicamente propiedades geométricas del bloque y el sentido en el cual éste tambalea. De acuerdo con esta formulación, el amortiguamiento del sistema se tiene en cuenta mediante un coeficiente de restitución, μ, que relaciona el bloque rígido con la superficie sobre la cual está apoyado.. A partir de estos valores se puede establecer la ecuación que gobierna el comportamiento de RM para un bloque sujeto a una aceleración en la base üg(t).
Según la formulación clásica, el problema de comportamiento de RM de un bloque en el plano puede determinarse a partir de tres parámetros principales que dependen de la geometría del bloque, suponiendo que tanto el bloque como la superficie son perfectamente rígidas, que la superficie es totalmente horizontal y que no se presenta deslizamiento del bloque (Peña F. , Prieto, Lourenço, Campos Costa, & Lemos, 2007). Esta formulación no tiene en cuenta efectos tridimensionales, y supone que el impacto en el proceso de tambaleo no es elástico de manera que siempre se tiene por lo menos un punto de contacto entre el bloque y la base.
En la Figura 14 se muestra un bloque de base b y altura h que oscilará alrededor de los puntos O y O´. El ángulo crítico α corresponde a la inclinación necesaria para que se genere un volcamiento del bloque debido a fuerzas estáticas. La distancia radial entre el punto O y el centro de gravedad del bloque se define como r, y el ángulo de tambaleo se define como θ. Adicionalmente,
21 se define p como un parámetro ligado a la frecuencia lateral del sistema y que depende de las propiedades del bloque. Estos parámetros se calculan a partir de las siguientes ecuaciones.
(10)
(11)
(12)
donde m es la masa del bloque completo, g la aceleración gravitacional e I es el momento de inercia del bloque respecto al punto de tambaleo, O u O’ calculado como para bloques rectangulares. De este modo el cálculo del parámetro p se simplifica como p2 = 3g / 4r. Al considerar que hay una conservación del momento angular antes y después del impacto en el proceso de tambaleo, el coeficiente de restitución μ puede determinarse con la siguiente ecuación (Housner, 1963); (Peña F. , Prieto, Lourenço, Campos Costa, & Lemos, 2007).
(13)
Una vez se tienen resultados experimentales, es necesario ajustar los parámetros α y p para minimizar la diferencia de errores en el cálculo de μ. A partir de los registros experimentales se elaboran gráficas mostrando la variación de θ respecto al tiempo. Los puntos de máxima amplitud de θ se definen como rn, donde n representa el número del impacto inmediatamente anterior y son
utilizados para determinar el tiempo experimental entre dos picos sucesivos de θ antes y después del impacto n. También se calcula el tiempo teórico con la siguiente ecuación (Peña F. , Prieto, Lourenço, Campos Costa, & Lemos, 2007) :
θ
r α b
h
O O´
C.G.
22
(14)
Los parámetros α y p son ajustados mediante un proceso de minimización de errores en el que se determinan los valores de αn y pn que minimizaran el error . Los valores finales
ajustados de estos parámetros se calculan como la mediana de los valores obtenidos. Usando los valores ajustados, se calcula el valor del coeficiente de restitución después del impacto n como (Peña F. , Prieto, Lourenço, Campos Costa, & Lemos, 2007):
(15) donde r0 representa el primer pico en la gráfica de θ vs tiempo. El valor final de μ se calculó como
la mediana de los valores de μn determinados previamente (Peña F. , Prieto, Lourenço, Campos
Costa, & Lemos, 2007).
5.2
Metodología
Para determinar el coeficiente de restitución μ del sistema se realizaron ensayos de tambaleo libre (“Free Rocking”) utilizando un bloque conformado por nueve platinas de acero y 18 bloques de madera juntados con dos varillas roscadas. Para tener una distribución uniforme del peso, las platinas fueron ubicadas en una secuencia de una platina de acero seguida por dos bloques de madera, repitiendo la secuencia nueve veces. Las propiedades de las láminas individuales de acero y madera se presentan en la
Tabla 9 y las propiedades del bloque completo se presentan en Tabla 10.
l b t l b h
Figura 15. Dimensiones de láminas individuales y bloque completo
Tabla 9. Características de láminas individuales
Material b l t ρ mi
(m) (m) (m) (kg/m3) (kg)
Acero 0.163 0.406 0.01905 7850 9.90 Madera 0.163 0.406 0.01905 600 0.76
23
Tabla 10. Propiedades de bloque rígido
Platinas Acero
Platinas
Madera h b/h m
(m) (kg)
9 18 0.520 0.162 105
El bloque se ubicó sobre el modelo y se inclinó un ángulo determinado. En esta posición inclinada, el bloque fue sujetado desde una de las platinas de acero superiores a un elemento fijo mediante una cinta de amarre para fijar su posición inicial. Adicionalmente, se colocó una estructura de soporte en madera en la base del modelo para restringir cualquier tipo de movimiento que pudiera generarse debido al impacto del bloque durante el proceso de tambaleo. Para iniciar el proceso de tambaleo, se cortó la cinta de amarre. Este procedimiento se realizó para dos ángulos de inclinación iniciales (aproximadamente 1.50° y 3.00°) localizando el bloque en tres sitios diferentes de la losa. El procedimiento se repitió tres veces en cada sitio de la losa de manera que se realizaron 18 ensayos en total.
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Figura 17. Montaje de ensayos de tambaleo libre
En el ensayo se utilizaron dos sensores laser de distancia Waycon LAM con precisión de ± 50μm ubicados a una distancia L0, medida respecto al bloque sin inclinar, que registraron las
distancias L1 y L2 hasta el bloque en dos puntos h1 y h2, como se muestra en la Figura 18.
Conociendo L1 y L2 se determinó el ángulo de inclinación θ, la posibilidad que el bloque presentara
un deslizamiento y las coordenadas en el plano las cuatro esquinas del bloque para cada instante de tiempo usando las siguientes ecuaciones:
Para
25
Para
donde Eixy Eiy corresponden a las coordenadas x y y de la esquina i, numeradas según la Figura 18.
Para asegurar una mejor lectura de los equipos, se colocó un trozo de cartón paja cubriendo la cara del bloque sobre la cual se iban a tomar los registros. De esta forma, se presenta menor variación en los registros de los equipos puesto que miden la distancia hasta una superficie con menos rugosidad que la de los materiales que conforman el bloque.
h
2h
1Laser
2Laser
1L
0L
2L
1
E
1E
2E
3E
4
26
5.3
Resultados
Dado que todos los ensayos fueron realizados con el mismo bloque, el valor inicial de α es el mismo en todos los resultados. Este corresponde a 0.3055 radianes. En la Tabla 11 se muestran los valores ajustados de α y p para cada ensayo y en la Tabla 12 se muestran los valores extremos y mediana de los mismos parámetros. Se utilizó el valor de la mediana de α para calcular el valor de μ para cada uno de los ensayos. Estos resultados también se presentan en la Tabla 11.
Tabla 11. Ajuste de parámetros α, p y μ
Ensayo θ0 αteo αexp pteo pexp μ
(°) (rad) (rad) (1/s) (1/s)
1 2.84 0.3055 0.3072 5.1950 2.6112 0.9414
2 2.88 0.3055 0.3071 5.1950 2.5968 0.9406
3 2.87 0.3055 0.3075 5.1950 2.6268 0.9390
4 1.36 0.3055 0.3070 5.1950 2.3158 0.9439
5 1.37 0.3055 0.3071 5.1950 2.3417 0.9443
6 1.37 0.3055 0.3071 5.1950 2.3557 0.9429
7 2.88 0.3055 0.3136 5.1950 2.7375 0.9216
8 2.91 0.3055 0.3071 5.1950 2.7631 0.9219
9 2.91 0.3055 0.3072 5.1950 2.7647 0.9261
10 1.39 0.3055 0.3075 5.1950 2.5602 0.9193
11 1.32 0.3055 0.3074 5.1950 2.5331 0.9210
12 1.31 0.3055 0.3074 5.1950 2.5260 0.9285
13 2.79 0.3055 0.3061 5.1950 2.9312 0.9485
14 2.74 0.3055 0.3062 5.1950 2.8982 0.9453
15 2.77 0.3055 0.3062 5.1950 2.8646 0.9450
16 1.27 0.3055 0.3065 5.1950 2.8729 0.9536
17 1.3 0.3055 0.3064 5.1950 2.8879 0.9545
18 1.3 0.3055 0.3065 5.1950 2.8723 0.9564
Tabla 12. Valores extremos y mediana de ajuste de α, p y μ
α p μ
Mínimo 0.3061 2.3158 0.9193
Máximo 0.3136 2.9312 0.9564
27 Parámetro α
Parámetro p
0.3061 0.3065 0.3071 0.3073 0.3075
Unidades: radianes
2.316 2.533 2.682 2.872 2.931
Unidades: 1/s
0.9193 0.9261 0.9421 0.9453 0.9564
Coeficiente de restitución μ
Figura 19. Diagrama de caja para valores ajustados de α, p y μ
El valor experimental de μ se tomó como la mediana de los valores calculados para cada ensayo. Esto resulta en un valor de 0.9421, mientras que el valor teórico calculado con la ecuación (13) es de 0.8643, lo que lleva a un error porcentual del 9.01%. La diferencia entre el valor teórico y el experimental de μ se debe principalmente a que en los ensayos el bloque no estuvo sujeto exclusivamente a movimientos de tambaleo; también se presentó un deslizamiento notable del bloque durante el proceso, notable mediante una modelación realizada en MATLAB. Adicionalmente, se debe tener en cuenta que no se cumple la suposición de conservación del momento angular realizada en la teoría clásica para determinar el valor teórico de μ, que la metodología utilizada no tiene en cuenta posibles efectos de tambaleo en una tercera dimensión y que el bloque no es totalmente rígido. Esto último hace que no tambalee alrededor de un punto exacto sino sobre una superficie finita.
28
6
CONCLUSIONES
Con base en los ensayos desarrollados, se puede concluir lo siguiente respecto al desarrollo de los ensayos y los resultados de los parámetros evaluados:
La rigidez lateral del modelo es de 93.778 N/mm, valor obtenido a partir de una serie de ensayos realizados para distintos valores de desplazamiento del modelo que varían entre los 2 y 10 mm. Para este rango de desplazamientos, la rigidez se encuentra en el rango lineal, de manera que depende sólo del desplazamiento total del modelo u y no de su velocidad . El periodo natural Tn de la estructura es aproximadamente 0.168 segundos. Este valor se
obtuvo a partir de los ensayos de vibración libre y un barrido frecuencial realizados sobre el modelo.
El valor del amortiguamiento ζ de la estructura tiene un valor de aproximadamente 1.00%. Los resultados obtenidos mediante los ensayos de vibración libre y el barrido de frecuencias presentan una diferencia de 0.236%. El valor final del amortiguamiento se tomó como un punto medio entre los resultados obtenidos entre los dos ensayos.
Las variaciones en los valores de k en los diferentes ensayos se deben principalmente a la fricción que se presenta en los rodamientos que hacen parte de la conexión entre la columna y el tablero del modelo. Este también es el motivo de la diferencia entre los valores obtenidos de ζ mediante los ensayos de vibración libre y el barrido frecuencial.
El coeficiente de restitución μ que relaciona el tambaleo entre los bloques rígidos y la superficie del modelo tiene un valor de 0.9421. Se presenta una diferencia del 9.01% respecto al valor teórico. Esta diferencia se debe a que la teoría clásica utilizada a lo largo del proceso de cálculo tiene una serie de suposiciones que no se cumplen en el desarrollo del proceso experimental, tales como la conservación del momento angular, la suposición de que el bloque es infinitamente rígido, que el bloque está sujeto únicamente a acciones de tambaleo, y que sólo hay efectos de tambaleo en el plano.
La variación de k, ζ, Tn y μ se puede ver en los siguientes diagramas de caja, en los que la
29 Amortiguamiento ζ *
0.499% 0.681% 0.846% 1.081% 1.539%
Periodo Tn **
0.1663 s 0.1666 s 0.1671 s 0.1676 s 0.1679 s
90.314 92.475 93.787 96.301 100.392
Unidades: N/mm Rigidez lateral k
0.9193 0.9261 0.9421 0.9453 0.9564
Coeficiente de restitución μ
* Resultado de barrido de frecuencias fue de 1.022 % ** Resultado de barrido de frecuencias fue de 0.1690 s
Figura 20. Diagrama de caja de resultados de rigidez lateral, amortiguamiento y periodo para ensayos de vibración libre y coeficiente de restitución
30
7
REFERENCIAS
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