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Sistemas suavemente variantes

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Academic year: 2020

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(1)SISTEMAS SUAVEMENTE VARIANTES. ADRIANA MERCEDES LÓPEZ DE LA CRUZ. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA BOGOTÁ D.C 2.003.

(2) SISTEMAS SUAVEMENTE VARIANTES. ADRIANA MERCEDES LÓPEZ DE LA CRUZ. Proyecto de Grado para optar al título de Ingeniera Eléctrica. Asesor Alfredo Restrepo, Ph.D. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA BOGOTA D.C 2.003.

(3) A mis padres, Edgar y Amelia, por enseñarme a luchar por mis sueños y a mi hermana Juliana, por ser un ejemplo a seguir..

(4) Agradecimientos A Alfredo Restrepo, Ph.D por su asesoría y colaboración en el desarrollo de este trabajo.. A Fredy Enrique Segura Quijano, Msc. por su colaboración.. A Christian Sanabria, Por su apoyo incondicional..

(5) IEL1-I-2003-15. 1. Tabla de Contenido 1. Introducción......................................................................................3. 2. Definición ..........................................................................................5. 3. Respuesta de los Sistemas Suavemente Variantes ...................7 3.1. Entrada Exponencial: ..................................................................7. 3.2. Entrada sinusoidal .....................................................................10. 3.2.1. Otros Resultados a entradas sinusoidales ........................13. 4. Filtro pasa bajas RC y Sistemas Variantes................................16. 5. Solución a la ecuación diferencial del filtro RC ........................19. 6. Conclusiones y Trabajo Futuro ...................................................24. 7. Bibliografía......................................................................................25.

(6) IEL1-I-2003-15. 2. Tabla de Ilustraciones Ilustración 1: f(t) y g(t).......................................................................................................... 6 Ilustración 2: |H0 ( )|............................................................................................................... 8 Ilustración 3: |H1 ( )|............................................................................................................... 9 Ilustración 4: Magnitud de H0 y H1..................................................................................... 9 Ilustración 5: Salida correspondiente a una entrada sinusoidal................................. 10 Ilustración 6: Respuesta a un sistema de convolución con entrada sinusoidal....... 11 Ilustración 7: Respuesta escalón de h0(t) y h1(t)........................................................... 11 Ilustración 8: |H0 ( ) | y |H1 ( )| ........................................................................................... 12 Ilustración 9: Respuesta del sistema s(t) a una entrada sinusoidal........................... 12 Ilustración 10: Ejemplo 1, magnitud de las funciones de transferencia ............................... 13 Ilustración 11: Solución a una entrada sin(2 t) ................................................................... 14 Ilustración 12: Ejemplo 2, magnitud de las funciones de transferencia ............................... 14 Ilustración 13: Solución a una entrada sen(10t).................................................................... 15 Ilustración 14: Solución a una entrada sen(0.1t)................................................................... 15 Ilustración 15: Filtro RC..................................................................................................... 16 Ilustración 16: Respuesta escalón para h0(t) y h1(t) ..................................................... 17 Ilustración 17: Magnitud de las funciones de transferencia H0 ( ) H1( ).................. 17 Ilustración 18: Resultado s(t) a una entrada sinusoidal y con función característica H( ,t)............................................................................................................................ 18 Ilustración 19: Filtro RC..................................................................................................... 19 Ilustración 20: Variación lineal de R(t) ............................................................................ 20 Ilustración 21: Voltaje del condensador en el filtro RC debido a un entrada exponencial ................................................................................................................. 21 Ilustración 22: Magnitud de las funciones de transferencia H0( ) H1( ) para el RC 22 Ilustración 23: Respuesta del sistema con función característica H( ,t).................. 23 Ilustración 24: Comparación de los resultados ............................................................. 23.

(7) IEL1-I-2003-15. 3. 1 Introducción Normalmente los sistemas lentamente variantes se modelan como sistemas invariantes a trozos. Por ejemplo en síntesis de voz, el cambio en la forma del tracto vocal al pasar de decir a o decir e se modela con dos sistemas invariantes. La excitación se asume aproximadamente constante y proviene de los pliegues vocales. Con los sistemas variantes, modelamos con un sistema variante que hace una transición explícita y suave del “sistema. a”. al “sistema. e”;. así, se. espera que el paso de fonema a fonema sea lo mas suave posible teniendo mejor calidad al sintetizar voz.. En este trabajo se presenta la caracterización de los sistemas que denominamos aquí suavemente variantes. Se basa principalmente en encontrar modelos matemáticos que simulen los cambios de un sistema en forma lineal y suave en el tiempo cuando pasa lentamente de una “función característica inicial” en el tiempo 0 a otra “función característica” en el tiempo 1. Con esto en mente, se dan algunas ecuaciones generales para casos específicos y se presentan los resultados obtenidos para dos tipos de entradas; señales exponenciales y sinusoidales.. También se pretende modelar el filtro pasa-bajas RC con alguno de los elementos R o C dependientes del tiempo como un sistema suavemente variante, de tal manera que su comportamiento corresponda las ecuaciones propuestas. Se procura verificar matemáticamente que el filtro RC efectivamente es un sistema suavemente variante y se plantea una hipótesis que básicamente intenta amoldar.

(8) IEL1-I-2003-15. 4. la definición dada a los sistemas suavemente variantes en este caso, para que modele. el. filtro. RC..

(9) IEL1-I-2003-15. 5. 2 Definición Se considera un sistema bastante general. lineal aunque no necesariamente invariante (en cuyo caso seria de convolución) con una “función característica” que evoluciona lentamente en el tiempo t. En general, asumimos que para una entrada e(t ) la salida de un sistema lineal es de la forma ∞. s(t ) = ∫ h(t ,τ )e (t − τ )dτ −∞. En nuestro caso asumiremos que h (t ,τ ) es una combinación convexa de la forma. h (t ,τ ) = f (t ) h0 (τ ) + g (t ) h1 (τ ) donde f (t ) = 1 − t y g ( t ) = t , de tal manera que h (t ,τ ) pase linealmente de la función característica h0 (τ ) en t = 0 a la función característica h1 (τ) en t = 1 ( u otro tiempo que escojamos Ej. t=10 ). Por ejemplo,.

(10) IEL1-I-2003-15. 6. Ilustración 1: f(t) y g(t). La “función característica” h (t ,τ ) se conforma de esta manera para simular el cambio lineal de una función h0 (τ ) especifica a otra función h1 (τ) así:. h(t, τ ) = (1 − t )h0 (τ ) + (t )h1 (τ ) t =0 h(t, τ ) = h0 (τ ) t =1 h(t, τ ) = h1 (τ ).

(11) IEL1-I-2003-15. 7. 3 Respuesta de los Sistemas Suavemente Variantes Si hacemos esta caracterización especial para los sistemas variantes, para ciertos tipos de entradas, se puede proponer y evaluar de manera general el comportamiento de estos sistemas, llegando a formulas matemáticas que predigan su comportamiento, a entradas específicas. En este caso, sólo se van a tratar entradas de tipo exponencial y sinusoidal.. 3.1 Entrada Exponencial: Si se asume una entrada exponencial de la forma. e (t ) = e jΩat y se aplica al sistema, la salida será: ∞. s (t ) = ∫ h(t ,τ )e(t − τ )dτ −∞. s (t ) =. ∞. ∫ [(1 − t )h (τ ) + th (τ )]e 0. jΩ a ( t −τ ). 1. dτ. −∞. s (t ) = e. jΩ a t. ∞. ∫ [(1 − t )h (τ ) + th (τ )]e 0. −∞. 1. − jΩ aτ. dτ.

(12) IEL1-I-2003-15. 8. que se puede expresar en términos de las transformadas de fourier de h0 ( ) y de h1( ). Así, s(t) queda. s (t ) = e jΩ t [(1 − t )H 0 (Ω a ) + tH1 (Ω a )] a. Podemos definir la “función. de transferencia variante” del sistema como. H (Ω, t ) = [(1 − t ) H 0 (Ω a ) + tH1 (Ω a ) ] donde H 0 (Ω a ) es la transformada de fourier de. h0 (τ ) y H1 ( Ω a ) es la transformada de fourier de h1 (τ) .. Se implementa esta fórmula en MATHEMATICA 4.1 asumiendo una función de entrada exponencial y un sistema con H 0 (Ω, t ) =. t 1 + jΩ. Ilustración 2: |H0 ( )|. y H 1 ( Ω, t ) =. 10 − t Ω 1+ j 5.

(13) IEL1-I-2003-15. 9. Ilustración 3: |H1 ( )|. De tal manera que la “función de transferencia” H( ,t) queda como sigue. H (Ω , t ) =. t 1 + jΩ. +. 10 − t Ω 1+ j 5. Ilustración 4: Magnitud de H0 y H1.

(14) IEL1-I-2003-15. 10. Así podemos ver que en el tiempo 0 se pasa de un sistema con mayor ancho de banda a un sistema con menor ancho de banda. Si se expresa el cos(5t) como una exponencial compleja entonces el comportamiento de esta entrada aplicado al sistema con “función característica” H (Ω, t ) =. 10 − t es el siguiente en 1 + jΩ 1 + j Ω 5 t. +. el tiempo:. Ilustración 5: Salida correspondiente a una entrada sinusoidal. 3.2 Entrada sinusoidal Si se asume una entrada sinusoidal de la forma. e(t ) = cos(Ω a t ) y teniendo en cuenta que la respuesta a un sistema de convolución con función característica real, debida a una entrada sinusoidal, es de la forma 1:. 1. Fundamentos de la Teoría de Señales y Sistemas, Alfredo Restrepo, Enero del 2000, Capitulo 4, Pág. 148.

(15) IEL1-I-2003-15. 11. Ilustración 6: Respuesta a un sistema de convolución con entrada sinusoidal. Teniendo en cuenta que la “función de transferencia” esta compuesta por H0 y H1 se puede utilizar la propiedad distributiva y obtener el siguiente resultado para el sistema variante definido:. s (t ) = tH1 (Ω a ) cos(Ω a t + ∠tH1 (Ω a )) + (1− t ) H 0 (Ω a ) cos(Ωa t + ∠(1 − t )H1 (Ωa )) Para una entrada sinusoidal a un sistema con funciones características inicial h0(t)= e-tU-1(t) y final h1(t)= e-0.1t U-1(t) con respuesta escalón correspondientes como se muestra,. Ilustración 7: Respuesta escalón de h0(t) y h1(t).

(16) IEL1-I-2003-15. 12. Se tiene que las transformadas de fourier correspondientes a h0 (t) y h1 (t) son H 0 (Ω ) =. t 1 + jΩ y. H1 ( Ω) =. 10 − t 1 + 0.1 j Ω , si se conforma la “función de transferencia”. tenemos lo siguiente:. Ilustración 8: |H0 ( ) | y |H1 ( )|. Por lo tanto la salida del sistema a una entrada sinusoidal de la forma cos(5t) pasando de una función de transferencia con menor ancho de banda a una con mayor ancho de banda es la siguiente:. Ilustración 9: Respuesta del sistema s(t) a una entrada sinusoidal.

(17) IEL1-I-2003-15. 13. 3.2.1 Otros Resultados a entradas sinusoidales. A continuación se presentan algunos resultados correspondientes a entradas sinusoidales:. Para una “función de transferencia” como la que se muestra a continuación. H ( Ω, t ) =. t 10 − t + 1 + 0.25 jΩ 1 + j Ω. Ilustración 10: Ejemplo 1, magnitud de las funciones de transferencia. Si la entrada al sistema es un seno(2 t) tenemos la siguiente respuesta:.

(18) IEL1-I-2003-15. 14. Ilustración 11: Solución a una entrada sin(2 t). Para una función de transferencia. H (Ω, t ) =. t 10 − t + 1 + 3 jΩ 1 + 0.02 jΩ. Ilustración 12: Ejemplo 2, magnitud de las funciones de transferencia. Para una entrada seno (10t) tenemos la siguiente respuesta:.

(19) IEL1-I-2003-15. 15. Ilustración 13: Solución a una entrada sen(10t). Para la misma función de transferencia pero con entrada seno(0.1t). Ilustración 14: Solución a una entrada sen(0.1t).

(20) IEL1-I-2003-15. 16. 4 Filtro pasa bajas RC y Sistemas Variantes Para un filtro pasa bajas RC,. Ilustración 15: Filtro RC. se tiene que la respuesta escalón del sistema es g ( t ) = (1 − e. −t. RC. )U −1 (t ) , si se. deriva esta expresión se puede encontrar la respuesta impulso del sistema, h (t ) =. 1 −t RC e U −1 (t ) . RC. Si se asume h0 (t ) = e −t haciendo RC=1 y h1 ( t ) =. 1 − t 10 e haciendo RC = 10, 10. entonces se puede encontrar la respuesta escalón de estas dos funciones,.

(21) IEL1-I-2003-15. 17. Ilustración 16: Respuesta escalón para h0(t) y h1(t). Si se encuentra la transformada de fourier de h0 (t ) y de h1 (t ) , tenemos H 0 (Ω ) =. 1 1 H1 ( Ω) = 1 + jΩ y 1 + 10 jΩ que conforman la función de transferencia del. sistema de la siguiente manera. H (Ω, t ) =. 10 − t 1 + jΩ 1 + j10Ω t. +. Ilustración 17: Magnitud de las funciones de transferencia H0( ) H1( ).

(22) IEL1-I-2003-15. 18. El resultado de aplicar la función de transferencia a una entrada sinusoidal con frecuencia 1/5 se muestra en la siguiente ilustración:. Ilustración 18: Resultado s(t) a una entrada sinusoidal y con función característica H( ,t). Como se puede ver, la anterior respuesta corresponde al cambio en el tiempo de pasar de un sistema con menor ancho de banda en el tiempo 0, como es H0, a pasar a un sistema con mayor ancho de banda como es H1 en el tiempo 1..

(23) IEL1-I-2003-15. 19. 5 Solución a la ecuación diferencial del filtro RC La ecuación de malla de un filtro RC como el que se muestra. Ilustración 19: Filtro RC. e(t ) = i(t ) R + V0 +. 1 i(τ )dτ C∫. se puede resolver como una ecuación diferencial de primer orden si se plantea de la siguiente manera. e ' (t ) ' 1 = i (t ) + i (t ) R RC La solución general de una ecuación de primer orden es la siguiente 2:. 2. Ecuaciones Diferenciales, con aplicaciones y notas históricas. George F. Simmons. Segunda Edición. Pág.: 62-63..

(24) IEL1-I-2003-15. 20. 1. 1. ' dt e (t ) ∫ dt ∫ CR CR dt i( t ) = e e ∫ R −. Si se plantea una hipótesis donde asumimos que los sistemas suavemente variantes modelan el filtro RC dado que la resistencia R es variable en forma lineal, podemos solucionar la ecuación diferencial de primer orden de la siguiente manera:. ∫ CR ( t ) dt e ' (t ) ∫ CR ( t ) dt i (t ) = e dt ∫ R (t )e 1. −. 1. Siendo en este caso R(t)=1+t. Ilustración 20: Variación lineal de R(t). De esta manera tenemos que en el tiempo 0 R(t)=1 y en el tiempo 1 R(t)=2. Si se escribe la ecuación reemplazando R(t) y e(t)= e 5jt tenemos. i (t ) = e. −. 1. ∫ C (1+t ) dt. 1. e j 5t ∫ C (1+t ) dt dt ∫ 5 j 1 + te.

(25) IEL1-I-2003-15. 21. Y se toma u =1+ t de tal manera de hacer un cambio de variable, se tiene:. i(t ) = −(1 + t ) C 5 je− j 5 ∫ e j 5 u u C −1 du Si se asume que el condensador C=3 , se puede aplicar la siguiente solución general:. e ax 2 2 ∫ x e dx = a 3 (a x − 2 ax + 2) + C 2 ax. Tomando a = 5j podemos encontrar la solución a la integral:. i( t ) = −(1 + t ) e 3. − j5. e5 j (1+ t ) ( ( −5(1 + t ) 2 − 10 j (1 + t ) + 2)) −5. La anterior corresponde a la solución particular de C=3 y a=5j, si se grafica este resultado en MATHEMATICA 4.1 tenemos:. Ilustración 21: Voltaje del condensador en el filtro RC debido a un entrada exponencial.

(26) IEL1-I-2003-15. 22. La gráfica anterior corresponde a el valor del voltaje s(t) en el filtro pasa bajas. Sin embargo es necesario disminuir el resultado en un factor de 10000000 para poder ver el comportamiento entre 0 y 10.. Si se compara lo anterior con un sistema lentamente variante con una entrada exponencial, donde H (Ω, t ) corresponde a. H (Ω , t ) =. t 10 − t + 1 + 3 jΩ 1 + j 6 Ω. Ilustración 22: Magnitud de las funciones de transferencia H0( ) H1 ( ) para el RC. Lo que significa que para un condensador de valor 3 y una resistencia variante de manera lineal R(t)=1+t, se tiene que en el tiempo 0 Ω 0 = R(t)=1 y en el tiempo 1 Ω1 =. 1 que corresponde a R(t)=2. 6. 1 que corresponde a 3.

(27) IEL1-I-2003-15. 23. Ilustración 23: Respuesta del sistema con función característica H( ,t). Si se grafican las dos respuestas como se muestra a continuación, podemos ver que el comportamiento de la respuesta del filtro RC es efectivamente variante en el caso de R(t)=1+t.. Ilustración 24: Comparación de los resultados. Como se puede ver el comportamiento del sistema es similar, es decir si se comporta como un sistema suavemente variante pero la solución de su ecuación diferencial no corresponde a la solución general de un sistema variante con entrada exponencial. Es decir no corresponde al comportamiento esperado de los sistemas variantes definidos en este trabajo..

(28) IEL1-I-2003-15. 24. 6 Conclusiones y Trabajo Futuro En este trabajo se desarrollan los sistemas suavemente variantes basándose en la definición dada en el capítulo 2. Se encontraron ecuaciones generales que modelan los sistemas suavemente variantes a dos tipos de entradas específicos, con el fin de llegar a modelos matemáticos claros sobre estos tipos de sistemas. El trabajo se centró principalmente en el desarrollo matemático y en la validación de estos resultados por medio de herramientas computacionales, con el fin de analizar el comportamiento de los sistemas suavemente variantes.. Para un trabajo futuro se propone continuar con la caracterización del sistema analizando su comportamiento con diferentes entradas. También se propone buscar un sistema que caracterice el filtro RC de manera más específica, es decir se puede intentar buscar una nueva definición de sistemas suavemente variantes con la cual trabajar y mirar si coincide con el comportamiento del RC con mayor precisión. También se pueden buscar nuevas variaciones para los elementos del filtro, por ejemplo no variar R en forma lineal si no como r (t ) =. 1 para analizar 1+ t 2. que pasa con el filtro y cual es el cambio en su comportamiento. Por último también se pueden realizar aplicaciones concretas de los sistemas suavemente variantes, por ejemplo en voz..

(29) IEL1-I-2003-15. 25. 7 Bibliografía [1]Alfredo Restrepo. “Fundamentos de la Teoría de Señales y Sistemas”. Cáp.4 Pág. 148.Corcas, Bogotá Enero 2000.. [2] George F. Simmons “Ecuaciones Diferenciales, on aplicaciones y notas históricas”. Pág. 62,63. Segunda Edición. Mc Graw Hill. Madrid. 1998. [3] Software, Matemática 4.1 Edición Profesional.. [4] L. A. Zadeh “Time Varying Networks” Proceedings of the IRE. Pags. 14881503. Octubre 1961..

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