El homomorfismo de Manin para la curva elíptica

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(1)EL HOMOMORFISMO DE MANIN PARA LA CURVA ELÍPTICA. ELIANA MILENA ZOQUE LÓPEZ ASESOR: LUIS JAIME CORREDOR. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS BOGOTÁ, D.C., ENERO DE 2003.

(2) HOJA 1. Índice de contenido 1 Introducción. 2. 2 Preliminares. 4. 2.1. 2.2. Algunos conceptos algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 2.1.1. Anillos Noetherianos y de valuación discreta . . . . . . . . . . . .. 4. 2.1.2. Derivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.2.1. Variedades anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.2.2. Variedades proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.3. Formas diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.4. La curva elíptica. 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 2.4.1. Grupos algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 2.4.2. Divisores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.4.3. La operación de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 3 El homomorsmo de Manin para la curva elíptica. 16. 3.1. Formas diferenciales sobre la curva elíptica . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 3.2. Ecuaciones de Picard-Fuchs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 3.3. La función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 3.4. El cálculo explícito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 3.4.1. 27. . El homomorsmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 El kernel de Manin en general 4.1 Rango de Morley en grupos ! -estables. 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 4.2. El caso de la curva elíptica.. 4.3. El caso general. A Apéndice: La conjetura de Mordell-Lang A.1. 34. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. A.1.1. Indecomponibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. A.1.2. Campos diferencialmente cerrados. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. A.2. La versión reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. A.3. Un caso sencillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. Bibliografía. 41.

(3) HOJA 2. 1. Introducción En 1966 Manin publicó su artículo Rational points of algebraic varieties over function elds ([Man]) donde demostraba la conjetura de Mordell para curvas algebraicas sobre campos de funciones.. La idea fundamental de este artículo es un homomorsmo que. desde entonces se conoce como el homomorsmo de Manin. El siguiente paso es estudiar el kernel de este homomorsmo, que se conoce como el kernel de Manin. El kernel de Manin juega un papel importante en la demostración de la conjetura de Mordell, incluso en las demostraciones posteriores por Buium y Hrushovski. El artículo de Manin comienza ilustrando la idea fundamental mediante el ejemplo de la curva elíptica. E : y2 = x(x. 1)(x. t); t = 6 0; 1. que es una variedad abeliana.. Básicamente, el razonamiento que aparece es el siguiente:. Z. dx Sea un ciclo de dimensión 1 en C y sea ! = . El período  (t) = !, considerado y como función de t, es una función innitamente valuada. Estas funciones son soluciones de la ecuación diferencial lineal de Gauss:. 2t(1 t). d d2  + 2(1 2t) dt2 dt. 1  = 0: 2. El espacio de soluciones de esta Z Z ecuación tiene dimensión 2 y tiene como base a dos períodos. 1 (t) =. ! y 2 (t) = ! donde 1 y 2 son ciclos linealmente independientes 2 C: P ! está bien denida módulo combinaciones lineales del tipo m1 1 (t)+. 1 que generan la homología de. Z. La integral. 1. m2 2 (t): Para eliminar la indeterminación se aplica el operador de Gauss a ambos lados, ya que este elimina a 1 (t) y 2 (t): Así se obtiene la función . d2 d (P ) = 2t(1 t) 2 + 2(1 2t) dt dt Además se tiene que. Z P. 1. !+. Z Q. 1. !=. Z P Q. 1. 1 2. Z P. 1. !:. !.  es la operación de grupo en C , tomando a 1 como la identidad. Por esto y la linealidad del operador de Gauss se obtiene que (P ) + (Q) = (P  Q) así que  es. donde. un homomorsmo de grupos. Para hallar. (P ) de forma explícita se observa que . @2 @ 2t(1 t) 2 + 2(1 2t) @t @t. donde. @t. . 1 dx 1 y = d 2 y 4 (x t)2. denota la derivada parcial con respecto a. diferencial manteniendo a. t jo.. t. manteniendo a. x. jo y. d. es el.

(4) HOJA 3. . d2 d (P ) = 2t(1 t) 2 + 2(1 2t) dt dt pero hay que tener en cuenta que P depende de t.. 1 2. Z P. dx 1 y. Manin obtiene la siguiente fórmula, que es ligeramente incorrecta:. 0. (P ) =. 1 y(t) 2 (x(t) t)2. 1 d   x ( t ) dB d d 1 C dt 2t(t 1) 2t(t 1) x(t) : dt @ y ( t) A dt dt y(t). En [Po], Pong corrige la fórmula de Manin y da una demostración de la validez de dicha fórmula, utilizando herramientas analíticas similares a las que utiliza Manin en la introducción de su artículo. La fórmula a la que llega Pong es. M (P (t)) = donde. 0. y. (x t)2. . + 2t(t 1). denota la derivada con respecto a.  x0 0 t(t 1)x0 + y (x t)y. t:. El objetivo de este trabajo es dar de manera formal una prueba algebraica de la validez de la fórmula del homomorsmo de Manin. En el segundo capítulo se dan preliminares de geometría algebraica necesarios para plantear y resolver el problema. En el tercer capítulo se halla la fórmula explícita para el homomorsmo de Manin. Para lograr esto se utilizarán las herramientas que Manin desarrolla en su artículo sobre ecuaciones de Picard-Fuchs y sistemas de cuasiparámetros.. En el capítulo cuatro se muestra el. enfoque estándar del homomorsmo de Manin usando teoría de modelos. Finalmente, en el apéndice se muestra la relevancia del kernel de Manin en la demostracion de la conjetura de Mordell-Lang..

(5) HOJA 4. 2 2.1. 2.1.1. Preliminares Algunos conceptos algebraicos. Anillos Noetherianos y de valuación discreta Denición 2.1. quivalentemente,. Un anillo. R. R. es Noetheriano si todo ideal es nitamente generado. E-. es Noetheriano si toda cadena ascendente de ideales de. R. es even-. tualmente estacionaria.. Teorema 2.2 (Teorema de la base de Hilbert).. Si. R es noetheriano, R[x] también. lo es. La demostración se encuentra en [K]. Por inducción se demuestra que si theriano. R[x1 ;    ; xn ] es Noetheriano.. R es Noe-. Denición 2.3. Un anillo R es de valuación discreta si existe un elemento irreducible T 2 R tal que cada z 2 R no nulo se puede escribir de manera única en la forma z = uT n , donde u es unidad y n un entero no negativo. Un T 2 R que satisfaga estas condiciones es un parámetro local de R: Lema 2.4. Sea R un dominio noetheriano con un único ideal maximal que es principal. Entonces R es de valuación discreta. Demostración. Sea. T. un generador del ideal maximal. M. de. R.. Se mostrará que. T. satiface las condiciones de la denición.. uT n = vT m , con u; v unidades y n  m: n m = v . n = m pues de lo contrario v 2 M , contradiciendo que v es Entonces uT n n unitario. Así que uT = vT y como R es un dominio, u = v: n Ahora se mostrará que todo z 2 R no nulo puede ser expresado como vT . Si z es unidad se toma v = z; n = 0: En caso contrario el ideal generado por z es propio y está contenido en el maximal, luego z 2 M . Por esto z se puede expresar de la forma z = z1 T . Si z1 es unidad, ya se tiene la expresión deseada. Si no, se toma z1 = z2 T y se prosigue de este modo, tomando en cada paso zi = zi+1 T si zi no es Para vericar la unicidad supóngase que. unidad. Supongamos que este proceso no acaba eventualmente. Por otro lado la cadena. (z1 )  (z2 )     se estabiliza, porque R es noetheriano. Sea (zn ) = (zn+1 ): Existe v 2 R tal que zn+1 = zn v = z y por esto zn = zn+1 T = zn T v , luego T v = 1, pero T no es unitario.. de ideales.

(6) HOJA 5. 2.1.2. Derivaciones Denición 2.5.. Sean. R  S anillos.. Una derivación sobre. que satisface las siguientes condiciones para todo 1.. Æ(x + y) = Æ(x) + Æ(y):. 2.. Æ(xy) = xÆ(y) + yÆ(x):. x; y 2 R:. R es una función Æ : R ! S. Un anillo diferencial es un anillo dotado de una derivación. Un campo diferencial es un anillo diferencial que además es un campo.. Denición 2.6. Dado un campo diferencial K , el campo de constantes de K es el campo fa 2 K j Æ(a) = 0g: Es fácil vericar que el campo de constantes es en efecto un campo y que si. K. es algebraicamente cerrado de característica cero, su campo de constantes también es algebraicamente cerrado. Se mostrará una herramienta que es muy útil para mostrar que una función es una derivación. Dado un anillo modo:. donde. S,. se dene el anillo de números duales de. S. del siguiente. S [] = S [x]=(x2 ) = fa + b j a; b 2 S g  = x mod x2 : Sea  : S [] ! S. Lema 2.7.. Toda derivación. denida por. Æ:R!S. (a + b) = b.. dene un homomorsmo. tÆ : R ! S []; tÆ (a) = a + (Æa) , es decir  Æ tÆ = Æ: Además, homomorsmo si y sólo si Æ es una derivación.. el cual levanta a. para toda función. Æ : R ! S , tÆ. es un. tÆ (a + b) = tÆ (a) + tÆ (b) si y sólo si Æ(a + b) = Æ(a) + Æ(b): tÆ (ab) = ab + Æ(ab): Por otro lado. Demostración.. tÆ (a)tÆ (b) = (a + (Æa))(b + (Æb)) = ab + ((Æa)b + a(Æb)) + (Æa)(Æb)2 = ab + ((Æa)b + a(Æb)) Luego. tÆ. es homomorsmo si y sólo si. Æ es una derivación.. Æ : R ! S una derivación y sean s1 ;    ; sn 2 S: Entonces 0 0 única derivación Æ : R[x1 ;    ; xn ] ! S que extiende a Æ tal que Æ (xi ) = si :. Lema 2.8.. Sea. existe una.

(7) HOJA 6. Demostración. Se extiende. tÆ : R ! S [] a tÆ0 : R[x1 ;    ; xn ] ! S. mediante. tÆ0 (xi ) = xi + si : tÆ 0. es un homomorsmo, luego. Æ0 =  Æ tÆ0. es una derivación. La unicidad es clara.. Lema 2.9. Sean S un campo, R un subanillo de S y R el campo de cocientes de R. Æ : R ! S una derivación. Entonces existe una única extensión Æ : R ! S: Demostración. Se quiere extender. tÆ. a. R. con la regla usual de derivación.. Sea. Pero todo. tÆ (r) es unidad en S [], y si Ær = s se tiene que 1 s  1 (r + s) 1 = 1+  r r  1 s = 1  r r 1 s = : r r2   1 1   Luego tÆ se extiende de manera única a R, por Æ = 2 Ær: r r 2.2. 2.2.1. Variedades. Variedades anes A continuación se darán algunos conceptos básicos de la geometría algebraica.. Estos. conceptos pueden encontrarse en [Hu],[K],[Sh2], [Sp]. Frecuentemente ésto se hace con campos algebraicamente cerrados, pero en este trabajo un subcampo de. K.. K. sera un campo arbitrario y. k. V  K n es una variedad afín denida sobre k si existen polinomios f1 ;    ; fm 2 k [x] = k [x1 ;    ; xn ] tales que V es el conjunto solución n en K del sistema de ecuaciones fi (x) = 0; i = 1;    ; m: Un subconjunto de V que es una variedad se llama una subvariedad de V:. Denición 2.10.. Un subconjunto. Denición 2.11. Dado un subconjunto X 2 K n el conjunto de polinomios que se anulan en X forman un ideal de K [x1 ;    ; xn ] que se llama el ideal de X y se denota por I (X ): Lema 2.12.. Intersección arbitraria de variedades anes es igual a una subintersección. nita. Esto se sigue facilmente del Teorema 2.2, ya que. Denición 2.13.. Para una variedad afín. V. K. al ser un campo es Noetheriano.. se dene su topología de Zariski como aque-. lla que tiene como cerrados a las subvariedades de. V:.

(8) HOJA 7. Se verica que en efecto es una topología utilizando el Lema anterior.. Denición 2.14. Una variedad V es irreducible si no existen subvariedades propias y no vacías V1 ; V2 de V tales que V = V1 [ V2 : Equivalentemente, V es irreducible si no se puede expresar como la unión de dos cerrados de Zariski propios. La demostración del siguiente Lema se encuentra en [K].. Lema 2.15. V. es irreducible si y solo si. I (V ) es primo.. Denición 2.16. Sea V una variedad afín. Se dene el anillo coordenado K [V ] de V como K [x1    ; xn ]=I (V ). Si V es irreducible K [V ] es un dominio y se puede formar su campo de cocientes K (V ) que se llama el campo de funciones racionales de V: Denición 2.17.. V es el dencia del campo de funciones K (V ) sobre K y se denota por dim V: La dimensión de una variedad irreducible. grado de trascen-. Denición 2.18. Sean V  K n; W  K m variedades anes. Un morsmo W es una función f = (f1 ;    ; fn ) : V ! W tal que fi 2 K [V ] para todo i. Denición 2.19.. de. V. en. Una variedad cuasi-afín es un subconjunto abierto de una variedad. afín. Toda variedad cuasi-afín está dotada de la topología de subespacio.. Denición 2.20.. Sea. V.  K n una variedad afín.. K es regular en a 2 V si existen un abierto de U de V con a 2 U y polinomios P; Q 2 K [x1    ; xn ] tales que Q no se anula en P ningún punto de U y además sobre U vale que f = : Dos funciones regulares se Q. 1. Una función parcial. f. de. V. en. identican si coinciden en su dominio común.. a es el anillo formado por las funciones regulares en a y se denota por Oa : Este anillo tiene un único ideal maximal Ma = fr 2 Oa jr (a) = 0g.. 2. El anillo local en. 3. Sea. U. un subconjunto abierto de. regular en cada punto de 4. Sean. U1. y. U2. U.. V.. variedades cuasi-anes.. componentes son regulares en. Una función. f : U1. f :U. !K. es regular si es. !U. 2 es morsmo si sus funciones. U1 : Un isomorsmo es un morsmo inyectivo cuyo. inverso también es morsmo.. Denición 2.21. V1 ;    ; Vm ; y por. Una variedad (abstracta) es un conjunto cada. i. tal que para cualesquiera 1.. V con un Ui es una. fi : Vi ! Ui , donde i; j , con 1  i; j  m se tiene lo siguiente: una biyección. Uij = fi (Vi \ Vj ) es abierto en Ui .. recubrimiento variedad afín,.

(9) HOJA 8. 2.. fj Æ fi. 1. es un isomorsmo entre las variedades cuasi-anes. Uij. y. Uji .. Una variedad tiene su propia topología de Zariski denida del siguiente modo: es abierto si, para cada. K. i, fi(U. U. V. \ Vi) es abierto en Ui: Una función racional de V. es un morsmo de un subconjunto abierto de. V. en. K:. Se identican dos funciones. racionales si coinciden en su dominio común. El conjunto de funciones racionales de forma un campo. 2.2.2. en. K (V ):. V. Variedades proyectivas Denición 2.22.. El espacio proyectivo. conjunto de rectas de. K n+1. n-dimensional. Pn (K ). sobre el campo. K. es el. que pasan por el origen.. (a0 ;    ; an ) 6= 0 determina una sola de estas rectas, que es f(a0 ;    ; an ) j  2 K g: Además todo elemento de Pn(K ) puede ser representado de esta forma. Dos puntos (a0 ;    ; an ) y (b0 ;    ; bn ) determinan la misma recta si y solo si existe  2 K no nulo tal que ai = bi para todo i = 0;    ; n: Una (n + 1)-tupla que n representa un elemento a 2 P se llama un sistema de coordenadas homogéneas para a y se escribe a = (a0 :    : an ): Todo punto. V  Pn es una variedad proyectiva si existen polinomios homogéneos F1 ;    ; Fm 2 K [x0    ; xn ] tales que V es el conjunto solución del sistema de ecuaciones Fi (x) = 0; i = 1;    ; m:. Denición 2.23.. Un subconjunto. Las deniciones de funciones regulares y anillos locales pueden extenderse al caso proyectivo, pero en este caso los polinomios con los cuales se hacen los cocientes deben ser homogéneos del mismo grado para garantizar la buena denición.. a 2 Ui posee un único sistema de coordenadas homogéneas de la forma (a0 ;    ; ai 1 ; 1; ai+1 ;    ; an ). Las coordenadas (a0 ;    ; ai 1 ; ai+1 ;    ; an ) son las coordenadas no homogéneas de a con resn pecto a Ui : Se dene fi : K ! Ui del siguiente modo: fi (a0 ;    ; ai 1 ; ai+1 ;    ; an ) = (a0 ;    ; ai 1 ; 1; ai+1 ;    ; an ). Esto hace de Pn (K ) una variedad según la Denición Sea. Ui = f(a0 :.    : an ) 2. j 6= 0g.. Pn (K ) ai. Cada. 2.21.. G 2 K [x1 ;    ; xn+1 ] se dene G= G(x1 ;    ; xn ; 1) . x x deg( g ) 1 n  Reciprocamente, para todo g 2 K [x1 ;    ; xn ] se dene g = xn+1 g ; ; . xn+1 xn+1 Para un polinomio homogéneo. Estos procesos se llaman homogenizar y deshomogenizar polinomios con respecto a. xn+1 , respectivamente. n n Por lo general P (K ) n Un = f(a0 :    : an ) 2 P (K ) j an = 0g se denomina el n hiperplano del innito. Mediante fn es posible identicar a K como un subconjunto n de P (K )..

(10) HOJA 9. 2.3. Formas diferenciales. f 2 K [x] = K [x1 ;    ; xn ]. Dx f representa su derivada parcial respecto a la variable xi : (Dx f )(a) es el vector en K n cuya i-ésima componente es (Dx f )(a):. Sea. i. i. Denición 2.24.. Sea. V.  K n una variedad afín denida por los polinomios f ;    ; fm. 1. Se dene el espacio tangente de una variedad afín como. T (V ) = f(a; u) j a 2 V; (Dx fj )(a)  u = 0 para j = 1;    ; mg : El espacio tangente en. K -espacio vectorial. Denición 2.25. V. a2V. es. Ta (V ) = fu j (a; u) 2 T (V )g: Claramente Ta (V ) es un. es una variedad suave en el punto. a si dim Ta (V ) = dim V:. Denición 2.26. Sean V  K n y W  K m variedades anes, y sea ' : V ! W una n función regular. ' = ('1 ;    ; 'm ) donde 'i : K ! K: Para cada a 2 V se dene la aplicación lineal d'a : Ta (V ) ! T'(a) (W ) del siguiente modo: d'a u = ((Dx '1 )(a)  u;    ; (Dx 'm )(a)  u) : La denición anterior se extiende a. K (V ). del modo natural. Es fácil ver que esta. denición es buena.. Denición 2.27. Una m-forma diferencial ! sobre V es una función que asigna a cada a 2 V un funcional multilineal y alternado !a : Ta (V )m ! K . Una función f : V ! K se considera una 0-forma. Por ejemplo, toda función regular donde. ':V. !K. induce una 1-forma diferencial. d'a es como se denió anteriormente, identicando T'(a)K con K .. d',. Para el presente. trabajo solo nos interesarán las 0-formas y las 1-formas. Dos operaciones importantes entre formas diferenciales son el producto exterior y la derivada exterior. Sus deniciones se encuentran en [Wa]. El producto exterior se denota por. ^. Para el caso de 0-formas,. la denición del producto exterior coincide con el producto usual. La demostración del siguiente Lema se encuentra en [Wa].. Lema 2.28.. El conjunto de formas diferenciales sobre. V. forma un álgebra, con la suma. denida del modo natural y el producto exterior. A continuación se describen algunas propiedades de las formas diferenciales que se siguen facilmente de la denición.. Lema 2.29. 1.. Sean. f; g : V. d(f + g) = df + dg:. ! K regulares y ! una m-forma..

(11) HOJA 10. 2.. d(fg) = f dg + g df:. 3.. d(f!) = f d! + df ^ !:. 4.. d(af ) = a df. 5.. df = Dx1 f dx1 +    + Dx f dxn , es decir,. si. a 2 K: n. dfa u = (Dx1 f )(a) dx1 (u) +    + (Dx f )(a) dxn (u) n. donde. xi. es la. 6. Toda 1-forma. i-ésima proyección. !. se puede expresar de la forma. ! = f1 dx1 +    + fn dxn donde 7.. fj : V. ! K; j = 1;    ; n.. d Æ d = 0.. Una forma diferencial es regular en Lema 2.29 son regulares en. P.. Denición 2.30. La derivada exterior d! = df1 ^ dx1 +    + dfn ^ dxn Denición 2.31. forma :. !. Una forma. P. si las funciones. de una 1-forma. es cerrada si. f1 ;    ; fn. de la parte 6. del. ! = f1 dx1 +    + fn dxn. d! = 0 y es exacta si ! = d. es. para alguna. W variedades algebráicas, f : V ! W regular y ! una  forma diferencial regular sobre W . Se dene la forma f ! sobre V , llamada el pull-back de ! , de la siguiente manera:. Denición 2.32.. Sean. V. y. f  !p(u) = !f (p) (dfpu): Lema 2.33. 1.. f (dg) = d(f  g) = d(g Æ f ):. 2.. f (!1 + !2 ) = f  (!1 ) + f  (!2 ).. 3.. f (g!) = (g Æ f )  f (!):. Demostración.. 1. En primer lugar es claro que. f  g = g Æ f: Además. d(g Æ f )p(u) = (Dx (g Æ f ))(p)  u; f (dg)p (u) = (dg)f (p) (dfp u) = (Dx g)(f (p)) ((Dx f1 )(p)  u;    ; (Dx f1 )(p)  u) y ambas expresiones coinciden por la regla de la cadena..

(12) HOJA 11. 2. Es evidente. 3.. 2.4. 2.4.1. f  (g!)p (u) = (g!)f (p) (dfpu) = g(f (p))!f (p) (dfpu) = (g Æ f )(p)f (!):. La curva elíptica. Grupos algebraicos Denición 2.34. Un grupo algebraico es una variedad G dotada de morsmos  : G  G ! G y  : G ! G tales que G es un grupo con multiplicación  e inverso : Lema 2.35.. Sea. G un grupo algebraico. 1. La clausura de Zariski de 2. Si. H. H. y sea. H. es subgrupo de. un subgrupo de. G:. G:. es construible(combinación booleana de cerrados) entonces es cerrado en. G.. La demostración se encuentra en [Pi2].. Teorema 2.36.. Un grupo algebráico es suave en todos sus puntos.. La demostración se encuentra en [Pi2]. La idea es mostrar que existe por lo menos un punto donde la variedad es suave, y por medio de el morsmo de multiplicación es posible mostrar que cualquier otro punto también lo es.. Denición 2.37. Sea G un grupo algebráico. Una forma diferencial sobre G es invarig  g ante si ( ) ! = ! para todo g 2 G, donde  es la multiplicación a izquierda por g. Teorema 2.38.. d-dimensional, las 1-formas invariantes sobre G forman un K -espacio vectorial d-dimensional. Si. G. es un grupo algebráico. diferenciales. Demostración. Se mostrará que el espacio de las formas diferenciales invariantes sobre. K d : Sea h un elemento jo de G y sea ! una forma invariante bajo traslaciones. !h : Th (G) ! K puede ser identicado con un elemento del d dual de K , ya que por el Teorema 2.25 Th (G) es un K -espacio vectorial de dimensión d. Ahora se mostrará que toda función lineal : Th (G) ! K determina de manera única una forma ! invariante bajo traslaciones tal que = !h: Esto se sigue del hecho de que si ! es invariante bajo traslaciones entonces. G. es isomorfo al espacio dual de. !g (u) = (hg ) !g (u) = !h (dhg g (u)) 1. 1.

(13) HOJA 12. El concepto de variedad abeliana es fundamental para todo lo que vamos a hacer. Para dar la denición se necesitan unos conceptos preliminares.. Denición 2.39. Una variedad X  : X  Y ! Y es cerrada.. es completa si para toda variedad. Y. la proyección. En [Sh1, I.5.] se muestra que toda variedad proyectiva es completa.. Lema 2.40. Sea X una variedad completa e irreducible. f : X ! K es constante.. Entonces toda función regular. Z = f(x; y) 2 X  K j f (x)y = 1g  X  K: Z es cerrado en X  K , luego la proyección (Z ) en K es cerrada, pero los únicos cerrados de Zariski K son K mismo y sus subconjuntos nitos. Como 0 2 = (Z ), entonces (Z ) es igual a un conjunto nito de puntos. Pero  (Z ) es irreducible, luego es un singleton. Así que f es. Demostración. Sea. constante. Como corolario del Lema anterior se tiene que todo morsmo de una variedad completa e irreducible en una variedad afín es constante.. Denición 2.41.. Un grupo algebraico es conexo si es irreducible; es decir, si su variedad. subyacente es irreducible.. Una variedad abeliana es un grupo algebráico conexo cuya. variedad subyacente es completa. En [Pi2] se muestra que toda variedad abeliana es un grupo abeliano.. 2.4.2. Divisores Sea. K. algebraicamente cerrado.. Un polinomio en. K [x]. está determinado de manera. única, excepto por un factor constante, por sus raíces con sus respectivas multiplicidades.. '(x) = f (x)=g(x), con f; g 2 K [x], está determinada, excepto por un factor constante, por las raíces de f y de g . Es decir, por los polos y los ceros de ', con sus respectivas multiplicidades. Para distinguir las multiplicidades de las raíces de f y las de g , a estas últimas se las considerará con signo negativo. Similarmente una función racional. Se desea hacer un análogo de esto para funciones racionales sobre curvas.. Un. tratamiento completo del tema, para variedades algebráicas arbitrarias, se encuentra en [Sh2].. Denición 2.42. Una curva algebraica plana es el conjunto de puntos del plano afín K 2 cuyas coordenadas x; y satisfacen una ecuación polinomial no constante f (x; y) = 0: Teorema 2.43. anillo local. OP. Para cada punto regular. es de valuación discreta.. P. de una curva algebráica irreducible plana el.

(14) HOJA 13. Demostración. probar que. OP. MP. es un anillo noetheriano ([F, 2.4]).. es principal.. Sea. f (x; y) = 0. Por el Lema 2.4 es suciente. la ecuación polinomial que dene a la. x0 = x a; y0 = y b se puede suponer sin perder generalidad que P = (0; 0). Como P es un punto regular, se puede suponer que Dy f (P ) 6= 0. Separando los términos que contienen sólo a x se escribe f (x; y ) de la forma x'(x) + y ( + h(x; y )) = 0, con constante no nula y h(0; 0) = 0: Sobre la curva f (x; y) = 0 se tiene que y( + h(x; y)) = x'(x), lo cual '(x) implica y = vx con v (x; y ) = : v es regular en P pues + h(P ) = 6= 0: Sea + h(x; y) p u = 2 MP ; p; q 2 K [x; y]: p(P ) = 0; q(P ) 6= 0: Entonces p(x; y) = p(x; vx) = xr para q una función regular r , pues p no tiene término independiente. Luego u = xu1 donde r u1 = es una función racional regular en P . Luego M(P ) está generado por x. q De la demostración del Teorema 2.43 se concluye que si D yf (P ) 6= 0 entonces n x P1 es un parámetro local. Si z = ux , a n se le denota por ordP (z ), el orden de z en P . La denición de ordP (z ) se puede extender de forma natural a K (V ) n 0 pues todo elemento de K (V ) es cociente de polinomios. Se verica facilmente que estas deniciones no dependen del parámetro local T ni de el representante de un elemento de K (V ): curva y sea. P = (a; b).. Denición 2.44.. Sea. Denición 2.45.. Sea. Haciendo el cambio de variables. A una curva irreducible. Div(A) es el grupo abeliano libre generado por los puntos de A. Sus elementos son llamados divisores de A: El grado de un divisor D es la suma de sus coecientes y se denota por deg (D ): u una función racional sobre A: Se dene el divisor de u como div(u) = Esta es en efecto una suma nita.. X. P 2A. ordP (u)P:. La demostración se encuentra en [Sh2, III.1.].. Estas deniciones pueden extenderse a curvas proyectivas tomando entornos anes y deshomogenizando los polinomios correspondientes.. Denición 2.46. Un divisor de la forma div(u) para u 2 K (A) es un divisor principal. El conjunto P (A) de divisores principales forma un subgrupo de Div (A): El grupo cociente Div (A)=P (A) es el grupo de clases de divisores de A y se denota por Cl (A): Teorema 2.47.. El grado de un divisor principal en una curva proyectiva no singular es. igual a cero. La demostración se encuentra en [Sh2, III.2]. El Teorema anterior muestra que se puede denir el homomorsmo. deg : Cl(A) ! Z del modo natural. Su kernel se denota por. Cl0 (A):. La demostración del siguiente teorema se encuentra en [F, 5.3] y [Sh2, III.2]..

(15) HOJA 14. Teorema 2.48 (Teorema de Bezout).. Sean. F. y. G curvas planas proyectivas que no. tienen componentes comunes. Entonces. F G = (deg F )(deg G) donde. deg X. representa el grado del polinomio que dene a la curva. número de intersección de. F. y. G que se dene como FG =. donde. 2.4.3. g. es el polinomio que dene a. X. P 2F. X. y. FG. es el. ordP (g):. G y ordP (g) se calcula sobre F:. La operación de grupo Denición 2.49. Sea K un campo algebráicamente cerrado y t 2 K; t 6= 0; 1. Se dene Et como la curva cuya ecuación en coordenadas proyectivas es Y 2 Z = X (X Z )(X tZ ): 2 2 Su parte afín es f(x; y ) 2 K jy = x(x 1)(x t)g y tiene un punto en el innito cuyas coordenadas proyectivas son (0 : 1 : 0) y que será denotado por 1: Teorema 2.50. Sea 0 2 Et . Se considera la aplicación Et ! Cl0 (Et ) que a cada 2 Et le asigna la clase de divisores C que contiene a 0 . Esta asignación es una 0 biyección entre Et y Cl (Et ). Demostración. Sea.  la relación de equivalencia entre los divisores inducida por P (A):. Es decir, dos divisores están relacionados si dieren por un divisor principal.. La de-. mostración de la inyectividad se encuentra en [Sh2, III.2, III.3]. Para la sobreyectividad se requiere la siguiente observación: Para cualesquiera. ;. 2. Et existe 2 Et tal que +  + 0 : Para comprobar la veracidad de esta armación, sea L la recta que pasa por los puntos y (si = se toma la tangente). Por el Teorema de Bézout divL = + + Æ para algun Æ 2 L: Sea L1 la recta que pasa por los puntos Æ y 0 (nuevamente se toma la tangente si Æ = 0 :). div (L1 ) = Æ + 0 + para algún : Como divL  divL1 se tiene que + + Æ  Æ + 0 + de donde se obtiene el resultado.. D un divisor con deg(D) = 0: Separando coecientes positivos y negativos D puede expresarse de la forma D1 D2 donde todos los coecientes en D1 y D2 son positivos. Aplicando la observación anterior sucesivamente 0 0 se concluye que D1  P + k 0 y D2  Q + k 0 : Pero deg (D1 ) = deg (D2 ), luego k = k : Por lo tanto D = D1 D2  P Q. Aplicando nuevamente la observación se obtiene tal que Q +  P + 0 lo cual implica Q  D. 0  P Para completar la demostración, sea. Cl0(Et ) a Et . Para un P  Q = R si y solo si CP + CQ = CR :. Este resultado permite transferir la estructura de grupo de 0 jo se dene la adición.  del siguiente modo:.

(16) HOJA 15. Claramente. 0 es la identidad. La operación se puede denir en términos geométricos:. S el tercer punto de intersección de Et con la recta que pasa por P y Q; y sea R el tercer punto de intersección de Et con la recta que pasa por los puntos 0 y S . Entonces. Sea. P +Q+S S+R+ P +QR+. 0. 0. CP + CQ = CR y por lo tanto P  Q = R. Durante el resto de este trabajo se tomará 0 = 1:. lo cual implica. Teorema 2.51. Et es una variedad abeliana, con la operación  : Et  Et ! Et denida del modo anteriormente descrito. Si (x1 ; y1 )  (x2 ; y2 ) = (x3 ; y3 ), la fórmula explícita para la operación es. x3 =. y3 =. (y1. (y1 (x1. y2 ) 2 + 1 + t x1 x2 )2. . (y1 y2 ) (x1. y2 )2 + 1 + t x1 x2 )2 x1 x2. Demostración. La ecuación de una recta que pasa por línea que pasa por los puntos. x2 :. (x1 ; y1 ) y (x2 ; y2 ) es. 2x2. . y2 :. 1 es x = c: La ecuación de la. . . y y y y1 = 2 1 (x x1 ): x2 x1. (2.1). Los tres puntos de intersección de la cúbica con esta recta están dados por. . . y2 y1 (x x1 ) + y1 x2 x1. Dos de las raíces de esta ecuación son. x3 = Finalmente,. (y1 (x1. 2. x1 y x2 .. = x(x 1)(x t):. La tercera raíz es. y2 ) 2 + 1 + t x1 x2 )2. x2 :. y3 = y donde y se obtiene reemplazando x = x3 en la ecuación 2.1.. Denición 2.52. Sea K un campo (no necesariamente algebraicamente cerrado) y t 2 K; t 6= 0; 1. Sea K la clausura algebráica de K . Sobre K se puede denir la curva elíptica como en la Denición 2.49. Sea E el conjunto de puntos de Et con coordenadas en K . De la denición de la operación se deduce que E es un subgrupo de Et . Et es uno de los ejemplos clásicos de variedades abelianas. Otros ejemplos son (K; +) y (K n 0; ); pero estos son muy simples ya que su estructura de grupo está explícita y directamente relacionada con (K; +; ). La curva elíptica.

(17) HOJA 16. 3. El homomorsmo de Manin para la curva elíptica K = C (t). K es un campo diferencial con la derivación usual @ , es decir, @t = 1 y @a = 0 para todo a 2 C . En realidad, es posible tomar K como un campo que contenga a k0 (t), si t es trascendente sobre k0 , donde k0 es un campo de característica cero. Como @ se puede tomar cualquier derivación de K que se anule en k0 y tal que @ (t) = 1: E denotará E o Et , según sea el caso. Sea L = K (E ), el campo de funciones racionales sobre E:. De ahora en adelante, sea. El objetivo de este capítulo es hallar de forma explicita un homomorsmo no trivial. M : (E; ) ! (K; +): Lema 3.1.. La extensión. L=K. tiene grado de trascendencia uno, y. x, la primera proyec-. ción, es base de trascendencia.. K está generado por x y y ; pero son algebraicamente dependientes pues y = x(x 1)(x t):. Demostración. Claramente. x. es trascendente sobre. K. L. como extensión de 2. 3.1. Formas diferenciales sobre la curva elíptica. Lema 3.2.. L=K y un  de L que extiende a Æ y tal que elemento arbitrario a 2 L, existe una única derivación Æ Æ(v) = a: Dada una derivación. Æ. de. K,. una base de trascendencia. Esto se sigue de los Lemas 2.8 y 2.9. Nótese que para denir resultado, pues se ha denido. @. para. C. y para. @. v. de. se ha utilizado este. t que es base de trascendencia de K=C :. Denición 3.3. Para v base de trascendencia de L=K sea Æv la derivación que es trivial en K y tal que Æv (v ) = 1. d En realidad, esta es la derivada con respecto a v en el sentido usual, es decir, Æv = . dv Lema 3.4. Sea s base de trascendencia de L=K y sea v 2 L. Entonces dv = Æs v ds: dv En la notación usual se tiene que dv = ds. ds Demostración. Se verica facilmente que Dx (Dx s)Æs : L ! L es una derivación que se anula en K y en s, luego Dx (Dx s)Æs = 0. En particular Dx v = (Dx s)Æs v . Similarmente Dy v = (Dy s)Æs v. Entonces, si a 2 E y u = (u1 ; u2 ) 2 Ta (E ), se tiene que dva (u) = (Dx v)(a)u1 + (Dy v)(a)u2 = (Dx s)(a)Æs v(a)u1 + (Dy s)(a)Æs v(a)u2 = (Æs v)(a) dsa (u):.

(18) HOJA 17. Esto concluye la demostración. Un caso importante del teorema anterior es. Æx. dy = Æx y dx: Para calcular Æx y se aplica. y2 = x(x 1)(x t) para obtener. a la igualdad. 2yÆx y = (x 1)(x t) + x(x t) + x(x 1) = 3x2 Luego. 2x(1 + t) + t:. 2x(1 + t) + t : 2y El conjunto de 1-formas diferenciales de L=K se denotará por . Este conjunto está formado por elementos de la forma ! = g1 dx + g2 dy = (g1 + g2 Æx y ) dx. Por esto todos los elementos de son de la forma ! = g dx: Se sigue que las formas de orden dos sobre la curva elíptica se anulan, ya que g dx ^ h dx = 0: Sean B y Z , respectivamente, los espacios de formas diferenciales exactas y cerradas. Æx y =. 3x2. sobre la curva elíptica.. Teorema 3.5. Excepto dx sobre E es ! = : y. por múltiplos escalares, la única forma diferencial invariante. Demostración. Por el Teorema 2.38, el espacio de formas invariantes es de dimensión. dx es invariante. En !=  y  dx = dF1 ; en efecto toda F = (F1 ; F2 ) : E ! E se tiene que F y F2 uno; así que es suciente demostrar que. . dx F. . . dx (u) = y P y. . F (P ). F. 1 (dF1 )P dx ((dF1 )P (u); (dF2 )P (u)) = (u): F2 (P ) F2 (P ). ! es invariante es suciente comprobar que para todo g 2 E. Luego para vericar que. = g. (dFP (u)) =. primer lugar, para. vale que. dx dF1 = : y F2. Pero por el Lema anterior. dF1 = Æx F1 dx F2 , en efecto, si g = (g1 ; g2 ) se tiene que Un cálculo directo muestra que Æx F1 = y F1 (x; y) =. (y g2 )2 + 1 + t x g1 : (x g1 )2. F2 (x; y) = Luego. F2 + y =. y g2 (F x g1 1. y g2 (F x g1 1. g1 ) g2 :. g1 ) g2 + y =. y g2 ( x F1 ) x g1. y.

(19) HOJA 18. F2 y g2 +1= ( x F1 ) y y(x g1 ) . . Por otro lado. . y g2 y g2 Æx Æx (F1 ) = 2 x g1 x g1. . 1:. Así que es suciente demostrar que. . . x F1 y g2 = 2Æx : y x g1. (3.1). Pero. x F1 =. (y g2 )2 (x g1 )2. 1 t + 2x + g1 =. y. Æx. . (y g2 )2 + (x g1 )2 ( 1 t + 2x + g1 ) (x g1 )2. . y g2 (x g1 )Æx (y) (y g2 ) = : x g1 (x g1 )2. Por lo que la ecuación (3.1) se convierte en. (y g2 )2 + (x g1 )2 ( 1 t + 2x + g1 ) = 2y((x g1 )Æx (y) (y. g2 )). o equivalentemente. 2y(x g1 )Æx (y) = 2y(y. g2 ) (y g2 )2 + (x g1 )2 ( 1 t + 2x + g1 ):. (3.2). El lado derecho es igual a. y2 = x3. g22 + (x g1 )2 ( 1 t + 2x + g1 ). (1 + t)x2 + tx g13 + (1 + t)g12. = (x g1 ) x2 + xg1 + g12. tg1 + (x g1 )2 ( 1 t + 2x + g1 ). (1 + t)(x + g1 ) + t + (x g1 )( 1 t + 2x + g1 ). = (x g1 ) x2 + xg1 + g12 = (x g1 ) x2 + xg1 + g12 = (x g1 ) 3x2. 2x(1 + t) + t + (x g1 )(2x + g1 ) 2x 2xt + t + 2x2 . xg1 g12. . . . 2x 2xt + t = 2y(x g1 )Æx (y):. Esto concluye la demostración.. 3.2. Ecuaciones de Picard-Fuchs. v de L=K se dene @v : L ! L como la derivación que extiende a @ y que satisface @v (v ) = 0: Esta derivación se puede extender al L-módulo de formas diferenciales de L=K del siguiente modo:. Denición 3.6.. Para toda base de trascendencia. @v (u dv) = @v (u) dv: Se verica fácilmente que en efecto es una derivación..

(20) HOJA 19. Lema 3.7.. Para toda forma diferencial. !. d(@v !) = @v (d!).. se tiene que. d Æ @v @v Æ d : L ! es cero. Claramente d Æ @v @v Æ d es una derivación sobre L que se anula en K y en v . El Lema 3.2 muestra que d Æ @v @v Æ d = 0:. Demostración. Se mostrará que. Lema 3.8. Sean v y s dos bases de trascendencia (@v @s )! = d' donde ' = u@v s: Demostración. Es fácil ver que. @v. de. L=K .. Sea. ! = u ds: Entonces. @s (@v s)Æs : L ! L es una derivación que se anula. K y en s. Utilizando un argumento similar al de la demostración anterior se concluye que @v @s = @v sÆs sobre L. Luego. en. (@v. @s )(u ds) = (@v u) ds + u@v (ds) (@s u) ds = (@v @s )u ds + u d(@v s) = @v s (Æs u) ds + u d(@v s) = @v s (du) + u d(@v s) = d(u@v s):. Denición 3.9. v 2 L es un cuasiparámetro en P 2 E si v v(P ) genera a MP , es decir, si v v (P ) es parámetro local de OP : Dicho cuasiparámetro es admisible si además Æ(v(P )) = 0 para toda derivación Æ sobre K . Lema 3.10.. Sea. v. un cuasiparámetro en. P. entonces. @v (OP )  OP. y. Æv (OP )  OP .. La demostración se encuentra en [Man].. Lema 3.11. parámetro en. Si. P.. !. e una forma diferencial regular y cerrada en. Entonces. Demostración. Que. @v !. es regular y cerrada en. @v (!) es regular en P. P.. P. y sea. v. un cuasi-. es inmediato por el Lema anterior; y que es. cerrada se sigue del Lema 3.7.. Lema 3.12. Sea v para todo u 2 OP :. la demostración.. v(P )) = @v v. @v (v(P )) = 0. P.. Entonces. @ (v(P )) @v (MP )  MP pues todo elemento de MP es de la forma g(v como u u(P ) 2 MP , @v (u u(P )) = @v u @v (u(P )) = @v u 0 = (@v u @ (u(P )))(P ) = (@v u)(P ) (@ (u(P )))(P ) = (@v u)(P ). Demostración.. @v (v. un cuasiparámetro admisible en. (@v u)(P ) = @ (u(P )). = 0: Esto implica que v(P )): En particular, @ (u(P )) 2 MP : Luego @ (u(P )): Esto concluye.

(21) HOJA 20. Denición 3.13. Un operador diferencial L : K ! K es un operador de la forma L = am @ m + am 1@ m 1 +    + a1@ + a0 , con a0    ; an 2 K: El conjunto de los operadores diferenciales es un K -espacio vectorial que se llama el espacio de operadores en K: Para toda v base de trascendencia de L=K se dene Lv : L ! L como el operador obtenido al reemplazar cada ocurrencia de @ en L por @v .. Lv se puede extender al módulo de las formas diferenciales como se hizo anteriormente. Por el Lema 3.7 Lv induce una acción sobre Z=B que es independiente de v por el Lema 3.8 Esta acción será denotada por L: El operador. Denición 3.14.. Una ecuación de Picard-Fuchs es una relación de la forma. L! = 0 donde. L es un operador diferencial y ! es la clase de ! en Z=B: Una representación de. la anterior ecuación de Picard-Fuchs es una relación de la forma. Lv ! = dzv donde. 3.3. v. es una base de trascendencia de. La función. Lema 3.15.. L=K. y. zv. es una 0-forma.. . Si existe un cuasiparámetro común para. P; Q. 2 E,. entonces existe un. cuasiparámetro admisible común para esos puntos. Demostración. Sea. v un cuasiparámetro en P y Q.. Si. v(P ) = v(Q) se toma v0 = v v(P ). que claramente es un cuasiparámetro admisible.. v v(P ) 0 0 0 . Claramente v (P ) = 0; v (Q) = 1. v v(Q) v(P ) cuasiparamertro admisible en P; Q: En efecto, es cuasiparámetro pues Si. v(P ) 6= v(Q),. sea. v0 =. v0 v0 (P ) =. v v(Q) v v (P ) ; v0 v0 (Q) = v(Q) v(P ) v(Q) v(P ). v0 v0 (P ) y v0 v0 (Q) generan a MP 0 0 pues v (P ) y v (Q) están en el campo primo.. por lo que. De ahora en adelante sea. es un. y. MQ, respectivamente. Y es admisible. L! = 0 una ecuación de Picard-Fuchs en E , donde ! = dxy. es la 1-forma invariante bajo traslaciones de. E.. v un cuasiparámetro admisible en los puntos P; Q 2 E: Supóngase que la ecuación de Picard-Fuchs L!  = 0 tiene una representación Lv ! = dzv . Se dene. Denición 3.16.. Sea. v (P; Q) = zv (Q) zv (P ):.

(22) HOJA 21. A continuación se demostrará que admisible. v:. es independiente del cuasiparámetro. P y Q y sea L cualquier operador diferencial. Sean v; s cuasiparámetros admisibles en P y Q. Sea z tal que (Lv Ls)! = dz: Entonces z 2 OP \ OQ y z (P ) = z (Q):. Lema 3.17.. Sea. !. Demostración. Sea Luego. z. 2Z. v (P; Q). una forma regular en. ! = u dx.. 2 OP \ OQ.. Por el Lema 3.11 se tiene que. dz. es regular en. P. y. Q,. Para la otra armación del Lema es suciente demostrarla para. monomios diferenciales, es decir, para. L = @ m . La prueba es por inducción en m. Para. m = 1 se tiene por el Lema 3.8 que (@v. @s )! = dz. donde. z = u@v s: Por el Lema 3.12. z (P ) = u(P ) ((@v s)(P )) = u(P ) (@ (s(P ))) = 0: Un argumento similar muestra que. z (Q) = 0:. Para el paso inductivo se considera el operador diferencial. @vm+1 !. es cerrada y regular en. @vm+1. P.. con. el Lema 3.11. Notese que. . @sm+1 = @v (@vm. Por hipótesis de inducción y por el caso. (@vm. @ m+1 : Por. @sm ) + (@v. @s ) @sm. m = 1 se tiene que. @sm ) ! = dz1 ; (@v. @s ) @sm ! = dz2. z1 (P ) = z1 (Q) y z2 (P ) = z2 (Q): Luego . dz = @vm+1 @sm+1 ! = @v (@vm. @sm ) !+(@v. @s ) @sm ! = @v (dz1 )+dz2 = d(@v (z1 )+z2 ):. Se sigue que. z (P ) = (@v (z1 )) (P ) + z2 (P ) = @ (z1 (P )) + z2 (P ) = @ (z1 (Q)) + z2 (Q) = z (Q): Esto concluye la prueba para monomios diferenciales.. Lema 3.18. v (P; Q) es independiente del cuasiparámetro. admisible. v:. v; s cuasiparámetros admisibles en P y Q: Sean zv ; zs tales que Lv ! = dzv y Ls! = dzs. Luego d(zv zs) = (Lv Ls) ! y por el Lema anterior (zv zs )(P ) = (zv zs )(Q), lo cual implica v (P; Q) = s(P; Q):. Demostración. Sean. El valor común de. v (P; Q) se denotará por (P; Q):. Teorema 3.19. Si P y Q tienen un cuasiparámetro (P; Q) = (P  R; Q  R) para cualquier R 2 E:. común entonces.

(23) HOJA 22. v un cuasiparámetro para P; Q. Por el Lema 3.15 se puede suponer R , es decir,  : E ! E; S 7! S R:  induce un que v es admisible. Sea  =  automorsmo de L mediante la composición, es decir, u 7! u Æ , el cual es la identidad en K . Por esto v Æ  es cuasiparámetro admisible en P  R y Q  R:. Demostración. Sea. A continuación se mostrará que. @vÆ (u Æ ) = (@v u) Æ : Se considera la aplicación. : L ! L; u 7! (@vÆ (u Æ )) Æ  1 : Se verica facilmente que. es una derivación. Además. (v) = (@vÆ (v Æ )) Æ . k2K. y para todo. 1. =0Æ. =0. 1. se tiene que. (k) = (@vÆ (k Æ )) Æ . 1. = (@ (k)) Æ . 1. = @ (k). @ (k) 2 K: Se concluye que = @v y por lo tanto @vÆ (u Æ ) = (@v u) Æ :  0  0 0 0 Ahora se mostrará que @v Æ ( ! ) =  (@v ! ) para toda 1-forma ! : Sea ! = u dv .. pues. Por las propiedades en 2.33 se tiene que. .  !0 =  (u dv) = (u Æ ) (dv) = (u Æ ) d(u Æ ): Luego. @vÆ ( !0 ) = @vÆ ((u Æ ) d(u Æ )) = @vÆ ((u Æ )) d(u Æ ):. Por otro lado. .  @v !0 =  (@v (u dv)) =  (@v u dv) = (@v u Æ )   (dv) = (@v u Æ ) d (v Æ ) y ambas expresiones coinciden pues. @vÆ (u Æ ) = (@v u) Æ :. Ahora, volviendo a la representación de la ecuacion de Picard-Fuchs. Lv ! = dzv ; L = am @ m + am @ m +    + a @ + a 1. y aplicando. 1. 1. 0.  se obtiene al lado izquierdo.  (Lv !) = . X. . ai @vi ! =. X. . ai  @vi ! =. X. . ai @vi Æ ! = LvÆ !.  (dzv ) = d( zv ) = d(zv Æ ): Por lo tanto d(zv Æ ) = Lv Æ ! = dzv Æ , así que se puede tomar zv Æ = zv Æ :. y al lado derecho, por 2.33,. Finalmente,. (P  R; Q  R) = zvÆ (Q  R) zvÆ (P  R) = (zv Æ )(Q  R) (zv Æ )(P  R) = zv (Q) zv (P ) = (P; Q):.

(24) HOJA 23. P; Q; R tienen un sistema común de cuasiparámetros, entonces se obtiene trivialmente de la denición de  que. Nótese que si. (P; Q) + (Q; R) = (P; R): En el artículo de Manin([Man]) una vez se ha denido. (P; Q) y se ha demostrado. la igualdad anterior para cualquier par de puntos, el homomorsmo de Manin se dene del siguiente modo:. (P ) = (O; P ) donde. O es la identidad del grupo.. Esto es en efecto homomorsmo pues. (P ) + (Q) = (O; P ) + (O; Q) = (O; P ) + (P; P  Q) = (O; P  Q) = (P  Q): 3.4. El cálculo explícito. Teorema 3.20. En E vale la ecuación de Picard-Fuchs L! = 0, donde L = 2t(1 t)@ 2 + 2(1 2t)@ 21 : Una representación de la ecuación anterior es Lx! = d (x y t)2 : Un desarrollo completo de esta ecuación de Picard-Fuchs se encuentra en [Po]. En este trabajo sólo se mostrará la validez de esta fórmula.. Demostración. Aplicando. @x a y2 = x(x 1)(x t) se obtiene. 2y@x y = (@x x)(x 1)(x t) + (@x (x 1))x(x t) + (@x (x t))x(x 1) = x(x 1): Luego. @x y = Se sigue que. @x. y x(x 1) = : 2y 2(x t)  . 1 1 = y 2(x t)y. y. @x 2.  . . . 1 1 @ (x t)y + (x t)@x y = @x = x y 2(x t)y 2(x t)2 y2 y y + (x t) 3y 3 2(x t) = = = 2 2 2 2 2(x t) y 4(x t) y 4(x t)2 y. Entonces. @ x (! ) =. 1. 2(x t)y. dx.

(25) HOJA 24. y. @x2 (!) =. 3 dx: 4(x t)2 y. Por otra parte,. d. . . y. . . Æx y(x t)2 yÆx ((x t)2 ) dx (x t)2 (x t)2 (x t)4 Æ y(x t) 2y yÆ y(x t) 2x(x 1)(x t) = x dx = x dx 3 (x t) y(x t)3 yÆ y 2x(x 1) (x 1)(x t) + x(x t) + x(x 1) 4x(x 1) dx = dx = x 2 y(x t) 2y(x t)2 (x 1)(x t) + x(x t) 3x(x 1) = dx: 2y(x t)2. Reemplazando. = Æx. y. dx =. x por (x t) + t donde sea necesario se obtiene. (x 1)(x t) + x(x t) 3x(x 1) = ((x t) + t 1)(x t) + ((x t) + t)(x t) 3((x t) + t)((x t) + t 1) = (x t)2 2(x t)(2t 1) 3t(t 1): Se sigue que. . . y. 2(x t)(2t 1) (x t) 2y(x t)2 2t 1 t(t 1) 1 dx dx 3 dx = = 2y y(x t) 2y(x t)2. d. 2. =. (x t)2. 3t(t 1). dx. 1 ! + 2(1 2t)@x (!) + 2t(1 t)@x2 (!) 2. A continuación se realizará el cálculo explícito del homomorsmo de Manin.. y. La. x(x 1)(x t) = 0 y la derivada parcial con respecto a y del lado izquierdo de esta igualdad es 2y: De la observación después del Teorema 2.43 se sigue que x es un cuasiparámetro para todos aquellos puntos anes de E para los cuales y 6= 0: De ahora en adelante sean P = (P1 ; P2 ); Q = (Q1 ; Q2 ) puntos de E distintos de 1; (0; 0); (1; 0); (t; 0): La primera proyección x es cuasiparámetro para P y Q. Como en 3.15, P x x(P ) x = 1 v= x(P ) x(Q) P1 Q1 es un cuasiparámetro admisible para P y Q: Se encontrará la representación de la ecuación de Picard-Fuchs para el cuasiparámetro v . Como v es un cuasiparámetro admisible ecuación que dene a la curva elíptica es. 2. (@v x)(P ) = @ (P1 ); (@v x)(Q) = @ (Q1 ).

(26) HOJA 25. y. (@v2 x)(P ) = @ 2 (P1 ); (@v2 x)(Q) = @ 2 (Q1 ): @x Por el Lema 3.8 se tiene que (@v @x ) ! = d' donde ' = v : Por otro lado, y . @v2. @x2 ! = @v (@v. @x ) ! + (@v. @x ) @x !:. Se analizarán por aparte ambos sumandos.. @v (@v. @x ) ! = @v (d') = d (@v '). por el Lema 3.7. Utilizando nuevamente el Lema 3.8 se obtiene. (@v. @x ) @x ! = (@v. @x ) @x. . . dx = (@v y. . @x ) @x.  . . .  . . .  . . 1 1 dx = d @x @x : y y v. Luego. @v. 2. . . @x ! = d (@v ') + d @x 2.  . . . . 1 @x 1 @v x = d @v v + @x @x : y y y v. Con estos resultados es posible hacer el cálculo. Sea. L el operador diferencial del enun-. ciado del Teorema 3.20.. (Lv. . . Lx)! = 2t(1 t) @v @x + 2(1 2t) (@v @x) ! 2. . . . 2.  . . . . 1 @x @x @ x + 2(1 2t)d v = 2t(1 t)d @v v + @x y y v y          @v x 1 @v x + @x @ x + 2(1 2t) = d 2t(1 t) @v y y v y          @v x 1 @v x Lv ! = Lx! + d 2t(1 t) @v y + @x y @v x + 2(1 2t) y          @v x 1 @v x y + 2t(1 t) @v + @x @ x + 2(1 2t) =d (x t)2 y y v y   1 1 Así que utilizando la identidad @x = , la cual se mostró al comienzo y 2(x t)y la demostración del Teorema 3.20, se obtiene que. zv =. y. (x t)2. y. . . . . + 2t(1 t) @v. .  . . . @v x 1 @x + @x @ x + 2(1 2t) v y y v y . . . . . @x @v x @x = + 2t(1 t) @v v + + 2(1 2t) v 2 (x t) y 2(x t)y y  2    y (@v x)y (@v x)(@v y) @v x @v x = + 2 t (1 t ) + + 2(1 2 t ) (x t)2 y2 2(x t)y y. de.

(27) HOJA 26. Se sigue que. zv (P ) =. P2. (P1. t)2. +2t(1 t). . (@ 2 P1 )P2. (@P1 )(@P2 ). P22. . . @P1 @P1 + +2(1 2t) 2(P1 t)P2 P2. . o equivalentemente. . zv (P ) =. . . . @P @P1 + 2@ t(1 t) 1 + t(1 t) : 2 t) P2 (P1 t)P2. P2. (P1. (3.3). Q, ni de v:. Nótese que esta expresión no depende de Con esto se puede calcular. v (P; Q) = zv (Q) zv (P ). (P; Q) = P2. (P1. Q2. (Q1. t)2. t)2. +2t(1 t). 2t(1 t). . . (@ 2 Q1 )Q2. (@ 2 P1 )P2. . . (@Q1 )(@Q2 ) @Q1 @Q1 + +2(1 2t) 2(Q1 t)Q2 Q2 Q22. (@P1 )(@P2 ). P22. @P1 + 2(P1 t)P2. . . . @P1 2(1 2t) : P2. Es conveniente expresar este resultado de otra forma para eliminar indeterminaciones. Aplicando. @. a la igualdad. P22 = P1 (P1. 2P2 @P2 = (@P1 )(3P12 Luego. @P1 =. 1)(P1. t) se obtiene. 2P1 (t + 1) t) P1 (P1. 1):. 2P2 @P2 + P1 (P1 1) 3P12 2P1 (t + 1) t. y. @P1 2P2 @P2 + P1 (P1 1) = P2 P2 (3P12 2P1 (t + 1) t) = Sea. 3P12. 2@P2 + 2P1 (t + 1) t (P1. (P ) igual a esta última expresión.. zv (P ) =. P2. (P1. t)2. t)(3P12. P2 : 2P1 (t + 1) t). Reemplazando en la ecuación 3.3 se obtiene. + 2@ (t(1 t) (P )) + t(1 t). . . (P ) : P1 t. (3.4). Luego. (P; Q) =. Q2. (Q1. . . (Q) + 2@ (t(1 t) (Q)) + t(1 t) t)2 Q1 t   (P ) P2 2@ (t(1 t) (P )) t(1 t) : (P1 t)2 P1 t. Esta fórmula es valida para. P; Q 2 E n f(t; 0); 1g:. .

(28) HOJA 27. 3.4.1. El homomorsmo P 2 E arbitrario. Por el Teorema 3.19 (R; R  P ) es independiente de R: Sea M (P ) este valor común. El dominio de M es E , ya que siempre es posible encontrar R de modo que R; R  P 6= (t; 0); 1:. Sea. Lema 3.21. M. es homomorsmo de grupos.. M es homomorsmo, sean P; Q 2 E trarios y sea R tal que R; R  P; R  P  Q 6= (t; 0); 1: Entonces. Demostración. Para mostrar que. elementos arbi-. M (P ) + M (Q) = (R; R  P ) + (R  P; R  P  Q) = zv (R  P ) zv (R) + zv (R  P  Q) zv (R  P ) = (R; R  P  Q) = M (P  Q):. Ahora solo falta hallar la fórmula explícita para el homomorsmo.. Lema 3.22.. P; Q 2 E n f(t; 0); 1g.. Sean. Entonces. M (P ) zv (P ) = M (Q) zv (Q):. P  Q 6= (t; 0); 1 entonces M (P ) = (Q; P  Q) = zv (P  Q) zv (Q) y M (P )+ zv (Q) = zv (P  Q). Analogamente M (Q)+ zv (P ) = zv (P  Q). Se concluye que M (P ) zv (P ) = M (Q) zv (Q): Si P  Q = (t; 0); 1 se escoge R tal que P  R; Q  R 6= (t; 0); 1. Por el razonamiento anterior se tiene que M (P ) zv (P ) = M (R) zv (R) = M (Q) zv (Q):. Demostración. Si. zv (0; 0) = zv (1; 0) = 0: De la fórmula para la operación de grupo se verica facilmente que (0; 0)  (0; 0) = 1, luego M (0; 0) = 0 pues la característica del campo es cero. Luego M (P ) zv (P ) = 0 para todo P 2 E nf(t; 0); 1g. Del hecho que (t; 0)  (t; 0) = 1 se sigue que M (t; 0) = 0. En conclusión Por la ecuación 3.4 se tiene que. M (P ) =. 8 > <0 > :. . (P ) P2 + 2@ (t(1 t) (P )) + t(1 t) (P1 t)2 P1 t. . P = (t; 0); 1. P= 6 (t; 0); 1. o equivalentemente. M (P ) =. 8 > 0 > > <. P2. (P1 t)2 > > > :. + 2t(1 t). . (@ 2 P1 )P2 (@P1 )(@P2 ) P22. 1 + 2(P@P 1 t)P2. +2(1 2t). . . @P1 P2. . P = (0; 0); (1; 0); (t; 0); 1 P= 6 (0; 0); (1; 0); (t; 0); 1.

(29) HOJA 28. 4. El kernel de Manin en general Este capítulo muestra la aproximación de Pillay al kernel de Manin, como se muestra en [Pi1]. Se asumen conceptos de teoría de modelos como denibilidad, rango de Morley, saturacion y estabilidad. Estos conceptos pueden encontrarse en [Z].. 4.1. Rango de Morley en grupos. Denición 4.1.. !-estables. !-estable es un grupo G, posiblemente con cional, tal que la teoría de G, con su estructura adicional, es ! -estable. Un grupo. En los grupos. estructura adi-. !-estables, el rango de Morley es una herramienta muy fuerte.. Es fácil probar el siguinte Lema utilizando las propiedades del rango y el grado de Morley.. Lema 4.2.. Sea. G un grupo !-estable, y sean H 0  H. subgrupos denibles de. G:. 1. Si. [H 0 : H ] es nito, MR(H ) = MR(H 0 ) y Md(H ) = Md(H 0 )  [H 0 : H ]:. 2. Si. [H 0 : H ] es innito, MR(H ) > MR(H 0 ).. De esto se sigue inmediatamente el siguiente Lema.. Lema 4.3. No existe una cadena decreciente innita de subgrupos denibles de un grupo !-estable. En particular la intersección de cualquier clase de subgrupos denibles es igual a una subintersección nita.. Lema 4.4.. Un grupo algebraico es conexo si no tiene subgrupos propios denibles de. índice nito Este Lema se demuestra utilizando el hecho de que todo grupo. !-estable. tiene un. único subgrupo de índice nito minimal y que las componente irreducibles son exactamente las clases laterales de este subgrupo minimal.. La demostración completa se. encuentra en [Pi2]. El Lema 4.2 prueba una implicación del siguiente Lema. La otra implicación requiere más trabajo y se encuentra en [Las]. Lema 4.5.. Sea. G !-estable. G es conexo si y sólo si Md(G) = 1:. De ahora en adelante. K. será un campo diferencial de característica cero, lo su-. K también representará la estructura (K; +; ; @ ) y K representará a la estructura (K; +; ): Además sean MR; MR el rango. cientemente saturado. Abusando de la notación,.

(30) HOJA 29. de Morley en en. K. , y. KyK. , respectivamente. La palabra denible se reservará para denible. @ -denible se utilizará para denible en K .. Del Lema anterior se deduce que el grado de Morley(en. K. ) de toda variedad. abeliana es igual a uno pues por denición una veriedad abeliana es un grupo conexo. Para calcular el rango de Morley se necesita el siguiente resultado.. Lema 4.6. 1. Sea. a 2 K n.. 2. Sea. V. Entonces. MR (a=K ) = tr:deg(K (a)=K ):. una variedad irreducible. Entonces. MR (V ) = tr:deg(K (V )=K ):. La demostración está en [Pi2]. De esto se deduce que el rango de Morley(en. K. ) de. una variedad abeliana es igual a su dimensión. Para encontrar el rango y el grado de Morley en. K. de una variedad abeliana, se. necesitan los siguientes Lemas. Lema 4.7.. Sea. X. Lema 4.8.. Un grupo denible y conexo es. un conjunto denible en. K : Entonces MR(X ) = !MR (X ): @ -conexo.. Las demostraciones de estos Lemas están en [Wo] y [Mar2], respectivamente.. 4.2. El caso de la curva elíptica. Por los resultados de la sección anterior se tiene que para una curva elíptica. MR (E ) = 1; Md (E ) = 1; MR(E ) = !; Md(E ) = 1:. E vale que. Lema 4.9. Sea K un campo algebraicamente cerrado y sea A una variedad abeliana sobre K: Entonces la torsión de A es innita, pero para cada entero positivo n la n-torsión de A es nita. En [Sh2, III.3] se muestra que el numero de soluciones de la ecuación curva elíptica es exactamente. Teorema 4.10.. Sea. E. n:. nx = 0 en la. 2. una curva elíptica denida sobre. k.. 1. El kernel del homomorsmo de Manin tiene rango de Morley nito.. @ -denible G de E de rango de Morley nito k y no contiene subgrupos propios innitos @ -. 2. Además existe un subgrupo innito. @ -conexo, @ -denible denibles sobre k .. que es. sobre.

(31) HOJA 30. ker(M ) es un subgrupo @ -denible sobre k propio de E , luego MR(ker(M )) es nito pues E es @ -conexo. Claramente ker(M ) contiene la torsión de E , que es innita. Sea B la intersección de todos los subgrupos @ -denibles sobre k de E que contienen la torsión de E . B es @ -denible sobre k , conexo y de rango de Morley nito. B tiene un subgrupo conexo innito G que es @ -denible sobre k y que no tiene subrupos innitos propios @ -denibles sobre k , pues de lo contrario habría una cadena descendente innita de subgrupos @ -denibles. Demostración.. 4.3. El caso general El propósito de esta sección es demostrar un análogo del Teorema anterior para variedades abelianas simples. La parte más difícil es encontrar un subgrupo rango de Morley nito que contenga la torsión de la variedad abeliana. encontrará un homomorsmo. @ -denible. de. Para esto se. @ -denible cuyo kernel será el subgrupo buscado.. Denición 4.11. Sea G un grupo conexo @ -denible sobre k  K . Para a = (a1 ;    ; an ) 0 0 0 se dene a = (a1 ;    ; an ). Para m  0 se dene em (G) como el grupo  f(a; a0 ;    ; a(m) )ja 2 Gg; (m) donde (a; a0 ;    ; a(m) ) (m) (b; b0 ;    ; b(m) ) = (a  b; (a  b)0 ;    ; (a  b)(m) ): Sea. em : G ! em (G); a 7! (a; a0 ;    ; a(m) ): em (G) es @ -deniblemente isomorfo a G: Lo interesante es ver qué operación  no sólo es @ -denible si no denible. Esto no implica que. Claramente cada pasa cuando la. em (G) sea denible, pero su operación de grupo si lo es. Es posible encontrar un grupo denible Gm  em (G) tal que la operación de grupo de G coincide con  sobre em (G): Además existen homomorsmos sobreyectivos m : Gm ! Gm 1 : La construcción de Gm y la demostración de los dos siguientes Lemas se encuentra en [Pi1].. Lema 4.12. 1.. RM (Gm ) = (m + 1)RM (G) para todo m: @ -denible de G entonces para algún m existe un subconjunto denible Y de Gm tal que em (X ) = Y  em (G):. 2. Si. X. es un subconjunto. H. es un subgrupo. @ -denible (conexo) de G, entonces para algún m subgrupo denible (conexo) Hm de Gm tal que em (H ) = Hm \ em (G):. 3. Si. Sea. m = 1 Æ    Æ m : Gm ! G:. existe un.

(32) HOJA 31. Lema 4.13. Sea G un grupo algebráico conmutativo de dimensión n(es decir, MR (G) = n). Entonces ker(r ) es un grupo vectorial de dimensión nr: Lema 4.14. Si G es un grupo algebráico conmutativo y B es un subgrupo algebráico @ -conexo, @ -denible y Zariski-denso de G, entonces G=B es @ -deniblemente isomorfo a un grupo vectorial. Demostración. Por el Lema 4.12 existe un entero. m. y un subgrupo conexo. B0. de. Gm. 0 tal que em (B ) = B \ em (G): Sea Jm = ker(m ) que es un grupo vectorial por el Lema 0 0 4.13. Como B es Zariski-denso en G, m (B ) = G y Gm = Jm  B : Se puede encontrar 0 un complemento J de Jm \ B en Jm : Entonces Gm es el producto directo de J y B 0 . Sea  : Gm ! J la proyección. Sea ' : G ! J el homomorsmo denido por '(a) = (a; a0 ;    ; a(m) ). Este homomorsmo tiene como kernel a B: Para acotar el rango de Morley de ciertos subgrupos se necesita el siguiente Teorema.. Teorema 4.15 (Teorema de Rosenlicht). Sean A una variedad abeliana, B un grupo vectorial y G una extensión de A por B ; es decir, se tiene la secuencia exacta de grupos 0!B!G!A!0. G es un grupo algebráico y B es un grupo vectorial, hay un subgrupo algebráico conexo G1 de G tal que G1 se proyecta sobreyectivamente en A y MR (G1 )  2MR (G):. donde. A es una variedad. abeliana,. Los siguientes Lemas técnicos se necesitarán para la demostración del teorema principal.. Lema 4.16. sobreyectivo. A y B un grupos conmutativos. Sea  : B ! A un homomorsmo y sea C subgrupo de B . Entonces A= (C ) ' B=(C + ker( )): Sean. Demostración. Por el primer Teorema del isomorsmo existe una biyección entre los. B que contienen a ker( ) y los subgrupos de A. En particular C + ker( ) se corresponde con  (C ): Entonces A= (C ) ' B=(C + ker( )):. subgrupos de. Lema 4.17. Sea A una variedad abeliana y B un grupo algebráico conmutativo. Sea  : B ! A un homomorsmo sobreyectivo tal que ker( ) es un grupo vectorial. Sea C subgrupo de B . Son equivalentes las siguientes armaciones: 1..  (C ) = A:. 2.. B=C. es isomorfo a un grupo vectorial..

(33) HOJA 32. Demostración.  1.. ) 2.. Si.  (C ) = A, por el Lema anterior B = C + ker( ): Luego. B=C = (C + ker( ))=C ' ker( )=(ker( ) \ C ) por el segundo Teorema del isomorsmo. grupo vectorial pues. ) 1.. ker( ) lo es.. Pero. ker( )=(ker( ) \ C ). es isomorfo a un. B=C es isomorfo a un grupo vectorial entonces B=(C +ker( )) también lo es pues por el tercer teorema del isomorsmo B=(C + ker( )) ' (B=C )=(C + ker( )=C ): n n Por el Lema anterior A= (C ) es isomorfo un grupo vectorial K : Sea f : A ! K denida como la composición de la proyección de A en A= (C ) y el isomorsmo entre A= (C ) y K n. f es sobreyectiva pues es composición de funciones sobreyectivas. Pero por el Lema 2.40 y la observación que se encuentra después, f es constante. Luego n = 0 y por lo tanto A =  (C ): `2.. Si. El siguiente Teorema proporciona el homomorsmo que se necesita.. Teorema 4.18. Sea A una variedad abeliana. Entonces existe un homomorsmo @ -denible de A a K n, para algún n, tal que su kernel es un grupo innito de rango de Morley nito.. Am y m como se denieron anteriormente. Sean B y B 0 subgrupos denibles de Am cuya imagen por m es todo A. Por el Lema 4.17 se concluye que Am =B 0 0 y Am =B son isomorfos a grupos vectoriales. Pero Am =(B \ B ) se sumerge en la suma 0 directa de Am =B y Am =B , así que también es isomorfo a un grupo vectorial. Utilizando 0 nuevamente el Lema 4.17 se concluye que la imagen de B \ B bajo m es todo A. Se sigue que hay un único subgrupo denible Bm minimal entre aquellos cuya imagen bajo m es A. Por unicidad m (Bm ) = Bm 1 : Como Am =Bm se sumerge en un grupo vectorial, Bm contiene los elementos de torsión de Am , pero A tiene innitos elementos de torsión, así que Bm debe contener las imágenes bajo em de estos elementos. Luego Bm es innito.. Demostración. Sean. Sea. B= B. \. m. fa 2 Aj(a; @a;    ; @ m a) 2 Bmg:. @ -denibles en A, luego es igual a una subintersección nita. Sea m tal que B = Bm . Para m sucientemente grande sea ' : A ! Am =Bm  K n . Entonces ' es @ -denible y su kernel es B . Sólo falta vericar que B tiene rango de Morley nito. Por el Teorema 4.15 se tiene que MR (Bm )  2MR (A) para todo m: Sea k un campo pequeño sobre el cual B 0 (m) está denido. Para todo b 2 B se tiene que tr:deg (k (b; b ;    ; b ;    )=k) es menor o igual que 2MR (A). Luego MR(b=k ) es nito para todo b 2 B y por lo tanto MR(B ) es intersección de subgrupos. es nito.. Denición 4.19. no trivial.. Una variedad abeliana es simple si no contiene una subvariedad abeliana.

(34) HOJA 33. Teorema 4.20. Si A es una variedad abeliana simple, A contiene un subgrupo H @ -conexo y @ -denible que es minimal entre todos los subgrupos innitos @ -denibles de A. Además H tiene rango de Morley nito y contiene a los puntos de torsión de A. B un subgrupo innito @ -conexo y @ -denible de A. La clausura de Zariski B de B es una subvariedad de A, luego B = A. Por el Lema 4.14 B contiene a la torsión de A, pues en caso contrario A=B contendría elementos de torsión. El kernel del homomorsmo del Teorema 4.18 es un subgrupo @ -denible innito y de rango de Morley nito. Sea H la intersección de todos los subgrupos innitos @ -conexos y @ -denibles de A. Esta intersección es igual a una subintersección nita y por lo tanto H es @ -conexo y @ -denible. Claramente H contiene a la torsión de A y tiene rango de Morley nito. Claramente H es minimal entre todos los subgrupos innitos @ -denibles de A. Demostración. Sea. Se naliza este capítulo con una consecuencia importante del Teorema 4.18. subgrupo (no necesariamente denible o un subgrupo nitamente generado. nx 2. 0. :. Teorema 4.21. y sea de. Sea. K. @ -denible). 0 tal que para. A tiene rango nito si contiene todo x 2 existe n  1 tal que de. A una variedad abeliana sobre K Entonces existe un subgrupo @ -denible H. diferencialmente cerrado. Sea. A de rango nito.  H y H tiene rango de Morley nito.. un subgrupo de. A tal que. Un. a1 ;    ; al los generadores de 0 . '( ) es un subconjunto de rango nito del un grupo vectorial K n y está contenido en el Q -espacio vectorial X generado por '(a1 );    ; '(al ): La imagen inversa H = ' 1 (X ) es un subgrupo de A que contiene a : Además es @ -denible de rango de Morley nito.. Demostración. Sea. ' como en el Teorema. 4.18. Sean. Este Teorema es fundamental para la demostración de la conjetrua de Mordell-Lang, que se presenta en forma reducida en el apéndice..

(35) HOJA 34. A. Apéndice: La conjetura de Mordell-Lang En este apéndice se presenta esquematicamente la demostración de Hrushovski de la conjetura de Mordell-Lang para campos de funciones, en la cual se utiliza el kernel de Manin. Más precisamente el Teorema 4.21. En la demostración de Hrushovski se utilizan herramientas complejas de teoría de modelos, las cuales se presentarán parcialmente en la sección A.1.. En algunos casos simplemente se hará referencia a [Bo].. texto que se usará como guía para esta presentación.. Este es el. El kernel de Manin juega un. papel importante en la primera demostración de la conjetura de Mordell-Lang, dada por Manin en 1966 en [Man], y en demostraciones posteriores, como por ejemplo las que se encuentran en [Bu] y [Hr].. Denición A.1. denida sobre k0 . sobre k0 :. k0  K campos de característica cero y sea V  K n una variedad n Se dene V (k0 ) = V \ k0 , el conjunto de los puntos racionales de V. Sean. Teorema A.2 (Conjetura de Mordell-Lang para campos de funciones). Sean k0  K campos algebraicamente cerrados y distintos. Sea A una variedad abeliana denida sobre K y sea X una subvariedad de A denida sobre K: Sea un subrupo de rango nito de A(K ): Si X \ es Zariski-denso en X y el estabilizador de X en A es nito, entonces hay una subvariedad abeliana B de A, una variedad abeliana S denida sobre k0 , una subvariedad X0 de S denida sobre k0 y un morsmo biyectivo h : B ! S 1 tal que X = a0 + h (X0 ) para algún a0 2 A: El estabilizador de. A.1. X. en. A es el subgrupo algebráico fa 2 Aja + X  X g:. Preliminares. Denición A.3.. Una clase es fuertemente minimal si es innita y todos sus subconjun-. tos denibles son nitos o conitos. Equivalentemente una clase es fuertemente minimal si su rango y su grado de Morley son iguales a 1. Una clase es casi fuertemente minimal si está contenida en la clausura algebraica de una clase fuertemente minimal.. Lema A.4. Sean k0  K campos algebraicamente cerrados de A  k0n . Entonces la clausura de Zariski de A es k0 -denible.. característica cero. Sea. Se necesitan algunas propiedades de las variadades abelianas, como las siguientes. Las demostraciones de esto se encuentran en [Hi].. Teorema A.5. Si una variedad abeliana A está denida sobre k  K y G es un subgrupo cerrado de A, entonces G está denido sobre la clausura algebraica de k ..

(36) HOJA 35. Teorema A.6 (Teorema de Chevalley). Sea G K . Entonces existe un subgrupo cerrado minimal M. un grupo algebráico denido sobre de. G denido sobre K tal que G=M. es una variedad abeliana.. Denición A.7. Una teoría !-estable T es uno-basada si para todo n 2 !, todo modelo M de T , todo tipo completo p 2 Sn (M ) y toda realización a de p, la base canónica de p es algebráica sobre a : En este trabajo no se entrará en detalles sobre las teorías o los grupos uno-basados. Sólo se necesitan los siguientes Teoremas:. Teorema A.8.. Sea. C fuertmente minimal. Entonces C es localmente modular si y sólo. si es uno-basado.. Teorema A.9. Sea G un grupo uno-basado. Entonces cualquier subconjunto denible n de G es combinación booleana de clases laterales de subgrupos denibles de G. Las demostración están en [Z] y [Las], respectivamente.. Denición A.10. Dos clases denibles D y E son ortogonales si para d 2 D y e 2 E se tiene que d y e son independientes sobre cualquier parámetros sobre el cual D y E pueden ser denidos.. cualesquiera conjunto de. Teorema A.11. Asumiendo eliminación de imaginarios, un grupo casi fuertemente minimal G es no ortogonal a la clase E si y solo si existe un grupo denible H contenido en la clausura denible de E y un homomorsmo denible sobreyectivo h : G ! H con kernel nito. La demostración se encuentra en [Z].. A.1.1. Indecomponibilidad Sea. G un grupo !-estable.. Denición A.12. todo subgrupo. X un subconjunto denible de G. X es indecomponible si para denible H de G, el conjunto X=H = fxH jx 2 X g es innito o de Sea. cardinalidad 1.. Lema A.13. Sea X fuertemente minimal. X0  X tal que X n X0 es nito.. Entonces existe un conjunto indecomponible. Demostración. Se considera la familia. K = fH jH es subgrupo denible de G y X=H es nitog. Sea. H0 =. \. H 2K. H:.

(37) HOJA 36. H0. X=H0 es nito. Como X es fuertemente minimal, uno y solo uno de los conjuntos xH0 \ X , para x 2 X , es innito, y su complemento en X es nito. Sea X0 este conjunto innito. Se mostrará que X0 es indecomponible. Sea H un subgrupo denible de G. Si X=H es innito, X0 =H también lo es pues X n X0 es nito. Si X=H es nito, H0  H y X0 =H tiene sólo un elemento pues X0 =H0 tiene sólo un elemento. es igual a una subintersección nita y por lo tanto. (Xi ji 2 I ) un conjunto de subconjuntos indecomponibles del grupo de rango de Morley nito G, tal que [ cada uno de ellos contiene a la identidad de G. Entonces el grupo H generado por Xi i2I. Teorema A.14 (Teorema de indecomponibilidad de Zilber).. Sea. es denible y conexo.. La demostración se encuentra en [Las].. A.1.2. Campos diferencialmente cerrados Denición A.15. Dado un anillo diferencial R, su anillo de polinomios diferenciales 2 es Rfy g = R[y; Æy; Æ y;    ]. Este es un anillo diferencial extendiendo Æ de la manera n natural. Para f 2 Rfy g no nulo se dene ord(f ) como el máximo n tal que Æ y aparece en f con coeciente no nulo. Para a 2 R se dene ord(a) = 1: Denición A.16. Un campo diferencial K es diferencialmete cerrado si para cualesquiera f; g 2 K fyg con ord(f ) > ord(g) existe a 2 K tal que f (a) = 0 y g(a) 6= 0: Es claro que todo campo diferencialmente cerrado es algebraicamente cerrado. La demostración de los siguientes teoremas se encuentra en [Wo].. Teorema A.17.. Todo campo diferencial. K. tiene clausura diferencial. módulo isomorsmo, y el campo de constantes de constantes de. K.. Teorema A.18.. L. que es única. es algebráico sobre el campo de. La teoría de campos diferencialmente cerrados admite eliminación de. cuanticadores, eliminación de imaginarios, es completa y. Lema A.19.. L,. El campo de constantes. k0. !-estable.. de un campo diferencialmente cerrado. K. no. tiene estructura adicional a la de un campo algebraicamente cerrado; es decir, para subconjuntos de. k0n. las nociones de. @ -denible sobre K. y denible sobre. k0. coinciden.. Lema A.20. Sea k0 el campo de constantes del campo diferencialmente cerrado K . Sea H un grupo @ -denible sobre K , H  k0n y sea g : H ! K m una función @ -denible. 1. Hay un grupo algebráico. G denido sobre k0. tal que. H = G(k0 ):.

(38) HOJA 37. K tal que g está denido sobre D: Entonces H se puede particionar de la forma E1 [    [ Er donde cada Ei es es un subconjunto n de k0 denible sobre k0 y para cada i g E es una función racional denida sobre 0 cierto D  D:. 2. Sea. D. un subconjunto nito de. i. Teorema A.21 (Teorema de Cassidy-Sokolovic). Un campo innito de rango de Morley nito que es @ -denible en un campo diferencialmente cerrado K es @ -deniblemente isomorfo al campo de constantes de K: A.2. La versión reducida Nótese que en el enunciado del Teorema A.2 algunas reducciones para cambiar a. no es denible. A continuación se harán. por un subgrupo. H. pequeño.. Para esto se. K con una derivación. Sea @ una derivación de K tal que k0 es su campo de constantes y sea L la clausura diferencial de K . Por ser algebraicamente cerrado k0 es el campo de constantes de L y por lo tanto es denible. Claremente se puede reemplazar a K por L en el enunciado del Teorema, así que se puede suponer que K es diferencialmente cerrado. Además se 0 0 puede suponer que K es ! -saturado: Sea L una extensión ! -saturada de K y sea k0 el 0 0 campo de constantes de L . Claramente k0  k0 . Supóngase que el resultado se tiene 0 0 para L y k0 . Entonces existe una subvariedad abeliana B de A, una variedad abeliana S 0 denida sobre k00 , una subvariedad X00 de S 0 denida sobre k00 y un morsmo biyectivo h0 : B ! S 0 tal que X = a00 + h0 1 (X00 ). Por el Teorema A.5, B está denido sobre K . Nótese que la armación. enriquecerá la estructura de. . h0 : B. ! S 0 es un morsmo biyectivo denido sobre K , X 0. siendo ambos denibles sobre. 0 es subvariedad de. k00 y X = a00 + h0 1 (X00 ). S0,. se puede expresar en primer orden. Para esto se utilizan explicitamente las fórmulas que. B y a h0 ; también se utilizan las fórmulas que denen a S y a X y se indica que 0 0 0 los parámetros que aparecen están en k0 que es denible sobre L : Como K 4 L , existe una variedad abeliana S denido sobre k0 , una subvariedad X0 de S denida sobre k0 y 1 un morsmo biyectivo h tal que X = a0 + h (X0 ) para algún a0 2 A(L): Entonces de ahora en adelante se asumirá que K es diferencialmente cerrado y que k0 denen a. es su campo de constantes. Además se usará el Teorema 4.21 con el n de reemplazar el subgrupo. del enunciado del Teorema A.2 por un subgrupo. de rango de Morley nito y que contiene a. :. H. de. A que es @ -denible,. La parte más difícil de la demostración del Teorema A.2, la cual no se hará en este trabajo, es mostrar que se puede reducir al caso en que denible casi fuertemente minimal y no uno-basado de. A.. H. es un subgrupo conexo. @-. El propósito de esta reducción.

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