Etiquetamiento de jets de radiación de estado inicial con redes neuronales

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Etiquetamiento de jets de radiaci´

on de

estado inicial con redes neuronales

Jes´

us Alberto Solano Gomez

Universidad de los Andes

Facultad de Ciencias, Departamento de F´ısica Bogot´a, Colombia

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Etiquetamiento de jets de radiaci´

on de

estado inicial con redes neuronales

Jes´

us Alberto Solano Gomez

Tesis presentada como requisito parcial para optar al t´ıtulo de: F´ısico

Director:

Ph.D. Carlos ´Avila Bernal

Grupo de Investigaci´on: Grupo de altas energ´ıas experimental

Universidad de los Andes

Facultad de Ciencias, Departamento de F´ısica Bogot´a, Colombia

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i

Resumen

Una de las preguntas más importantes en las investigaciones actuales de señales SUSY es si la escala de la f´ısica mas allá del modelo estándar está dentro del rango de las energ´ıas de colisión actuales del LHC. Hasta el momento las búsquedas experimentales de señales SUSY han sido infructuosas y una de las posibles alternativas en los experimentos actuales es estudiar el squark más liviano, es decir, el stop ˜t. La presente investigación se concentra en el estudio y etiquetamiento de jets de radiación de estado inicial(ISR) en la producción de pares de stops que decaen en dos cuerpos ˜t→tχ0

1. En especial se realizan an´alisis sobre

eventos enriquecidos con un jet de ISR donde se espera que el evento haya sido empujado por la emisión de un jet de ISR. Tal empuje provoca un incremento de la energ´ıa transversa faltante y podria facilitar la discriminación entre las señales de sTops con respecto a los

backgrounds provenientes del modelo estándar. Como resultado, se pretende desarrollar una herramienta computacional basada enmachine learning para la identificación de jets de ISR en un evento de producción de pares quark Top - AntiTop. Para ello se utiliza el método de circuitos neuronales en el paradigma de aprendizaje supervisado y se muestran resultados de clasificación de jets de ISR con la red neuronal para eventos de producción t¯ty ˜tt˜?_.

Abstract

The current searches for SUSY evidence have not been successful yet. One possibility is to search for the lightest squark, the stop ˜t. A common scenario is the analysis of events which have been boosted by the emission of an initial state radiation(ISR) jet. Particularly, we focus on the signal process in which a pair of stops are produced in association with an ISR jet. The boost generated by hard ISR jets could help in the search for SUSY because it increases the transverse missing energyE/T. In this project, we develop a computational tool that uses machine learning techniques to tag ISR jets in stop pair production (˜t˜t?_{). To achieve an efficient tag, we propose the use of neural} networks with supervised learning. Finally, we show results of tagging of ISR jets with the neural network tool for events fromt¯tand ˜t˜t?_.

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(7)

´Indice general

´_{Indice general} _III

´_{Indice de figuras} _V

´_{Indice de cuadros} _VIII

1 Introducci´on 1

2 B´usquedas de SUSY 5

2.1. Introducci´on . . . 5

2.2. B´usquedas de sTops en el LHC . . . 6

2.3. Espectros comprimidos . . . 8

3 Radiaci´on de estado Inicial 11 3.1. Producci´on de Jets . . . 11

3.2. Radiaci´on de Estado Inicial . . . 13

3.3. Evento empujado por jet de ISR . . . 15

3.4. Etiquetamiento de jets de ISR en la b´usqueda de sTops . . . 16

4 Redes Neuronales 19 4.1. Introducci´on . . . 19

Definici´on . . . 19

Partes de una red Neuronal . . . 19

Tipos de Arquitectura de la red neuronal . . . 21

Redes de propagaci´on hacia adelante . . . 21

Redes Recurrentes . . . 21

Procesos de aprendizaje . . . 22

Aprendizaje Supervisado . . . 22

Aprendizaje No Supervisado . . . 23

4.2. Redes Neuronales Monocapa . . . 23

Discriminadores Lineales . . . 23

T´ecnicas con M´ınimos Cuadrados . . . 24

Descenso de gradiente . . . 25

El Perceptron . . . 26

(8)

Descripci´on . . . 26

Teorema de Convergencia del perceptr´on . . . 27

Limitaciones . . . 27

4.3. Redes Multicapa - MultiLayer Perceptr´on . . . 27

Definici´on . . . 27

T´ecnicas de Aprendizaje . . . 29

Algoritmo de aprendizaje Back Propagation . . . 29

5 An´alisis Computacional 35 5.1. Implementaci´on de redes neuronales en ROOT . . . 35

5.2. Preparaci´on de datos . . . 36

Generaci´on de los datos . . . 36

MadGraph . . . 36

Pythia . . . 37

Delphes . . . 37

Etiquetamiento de ISR . . . 37

Ingreso de los datos a la red neuronal . . . 37

5.3. Variables de entrenamiento . . . 38

Pseudorapidezη . . . 38

´ Angulo azimutalφ . . . 38

Deltaη . . . 38

Deltaφ . . . 39

Momento Transversal . . . 40

CocienteRM i . . . 41

Deltaη promedio . . . 42

Deltaφpromedio . . . 42

DeltaPT promedio . . . 42

DeltaR promedio . . . 43

DeltaR−PT promedio . . . 44

B-Tag del jet . . . 44

5.4. Construcci´on Red Neuronal . . . 45

M´etodo de Entrenamiento . . . 46

Neuronas en las capas ocultas . . . 46

Estructura Final . . . 47

6 Resultados y Conclusiones 49 6.1. An´alisis del canal de modelo est´andar . . . 50

6.2. An´alisis del canal de SUSY . . . 55

Se˜nal SUSY m˜t= 400GeV ,mχ01 = 235GeV . . . 56

Se˜nal SUSY m˜_t= 200GeV ,mχ0 1 = 20GeV . . . 59

6.3. Comparaci´on con otras herramientas de clasificaci´on . . . 62

M´etodos probabilisticos de identificaci´on de jets de ISR . . . 62

6.4. Conclusiones . . . 64

(9)

´_{Indice de figuras} _v

Bibliograf´ıa 67

´Indice de figuras

2.1. Resumen de las búsquedas directas de la producción de pares de stop por parte de la colaboración ATLAS durante la corrida uno. Las lineas punteadas representan los limites de exclusión esperados mientras que las lineas solidas representan los limites observados. En la figura, se muestran resultados para posibles decaimientos del stop en dos,tres y cuatros cuerpos. Imagen tomada de [1] . . . 6 2.2. Diagrama con los posibles decaimientos del stop en el plano generado por la masa

del stop y del neutralino. Figura tomada de [1]. . . 7 2.3. Diagramas de Feynman para lo producci´on de pares t¯ty ˜t˜t∗. . . 9

3.1. Diagramas de Feynman para las interacciones fundamentales de QCD. Arriba Izquierda: Emisión de un gluón. Arriba Derecha: Emisión de un gluón. Abajo Izquierda:Acoplamiento de tres gluones. Abajo Derecha: Acoplamiento de cuatro gluones. Imagen tomada de [2]. . . 12 3.2. Esquema del proceso de hadronización de los quarks y gluones en hadrones con

carga de color neutra. Imagen tomada de [2]. . . 13 3.3. Dibujo esquem´atico de un evento t¯t con multiples jets. Imagen tomada de [2]. . 14 3.4. Diagramas representativos del empuje de los jets en el estado final debido a la

emisi´on de un jet de ISR. . . 15 3.5. Diagrama ilustrativo de la concentraci´on de energ´ıa transversa faltante cuando el

evento es empujado por un jet de ISR de alto momento. . . 16

4.1. Esquema de una neurona en un circuito neuronal. Imagen tomada de [3] . . . 20 4.2. Representación gráfica de algunas funciones de activación. De izquierda a derecha

se puede encontrar la función de activación umbral, la log´ıstica y la tangente hiperbólica. Imagen tomada de [4]. . . 21 4.3. Esquema de una red neuronal con propagación hacia adelante con una capa oculta.

Imagen tomada de [3]. . . 22 4.4. Esquema de una red neuronal recurrente con capas ocultas. Imagen tomada de [3]. 23 4.5. Representaci´on de multiples funciones discriminante linealesy~k en una red

neuro-nal con cneuronas de salida. Imagen tomada de [5] . . . 24 4.6. Representación gráfica de las fronteras de decisión para diferentes patrones de

datos. a) Separable linealmente. b) Linealmente Inseparable. c) Clasificaci´on se-parable no-linealmente en el espacio 2-dimensional.[4] . . . 25

(10)

vi ´Indice de figuras

4.7. Esquema del perceptrón básico con una sola neurona de salida. En ella xi son las entradas a la red neuronal, wi los pesos asociados a cada entrada;y la salida de la red neuronal. Imagen tomada de [3] . . . 26 4.8. Arquitectura gráfica de un perceptrón multicapa con dos capas ocultas. [3] . . . 28 4.9. Figura que muestra el flujo de señales dentro de la red neuronal. Propagación

hacia adelante de la señal de entrada y propagación hacia atrás de los errores. [3] 29

5.1. Histograma normalizado de la variable η para los jets del canal del background

p p → t¯tsemileptonico. En rojo la distribuci´on obtenida para los jets de ISR y en azul para otros jets. . . 39 5.2. Histograma normalizado de la variable φ para los jets del canal del background

p p → t¯tsemileptonico. En rojo la distribuci´on obtenida para los jets de ISR y en azul para otros jets. . . 39 5.3. Histograma normalizado de la variable ∆η para los jets del canal del background

p p → t¯tsemileptonico. En rojo la distribuci´on obtenida para los jets de ISR y en azul para otros jets. . . 40 5.4. Histograma normalizado de la variable ∆φ para los jets del canal el canal del

background p p → t¯t semileptonico. En rojo la distribuci´on obtenida para los jets de ISR y en azul para otros jets. . . 40 5.5. Histograma normalizado del momento transversal para los jets del canal del

back-ground p p → t¯tsemileptonico. En rojo la distribuci´on obtenida para los jets de ISR y en azul para otros jets. . . 41 5.6. Histograma normalizado de la variable E/T

P_ti para los jets del canal del background

p p → t¯tsemileptonico. En rojo la distribuci´on obtenida para los jets de ISR y en azul para otros jets. . . 41 5.7. Histograma de la variable ∆η para el canal del background p p → t¯t

semilep-tonico. En rojo la distribuci´on obtenida para los jets de ISR y en azul para otros jets. . . 42 5.8. Histograma normalizado de la variable ∆φpara los jets del canal del background

p p → t¯tsemileptonico. En rojo la distribuci´on obtenida para los jets de ISR y en azul para otros jets. . . 43 5.9. Histograma normalizado de la variable ∆PT para los jets del canal del background

p p → t¯tsemileptonico. En rojo la distribuci´on obtenida para los jets de ISR y en azul para otros jets. . . 43 5.10. Histograma de la variable ∆R para los jets del canal del background p p → t¯t

semileptonico. En rojo la distribuci´on obtenida para los jets de ISR y en azul para otros jets. . . 44 5.11. Histograma de la variable ∆RPt para los jets del canal del backgroundp p → t¯t

semileptonico. En rojo la distribuci´on obtenida para los jets de ISR y en azul para otros jets. . . 45 5.12. Histograma que representa la asociaci´on del jet a un quark b para los jets del

canal del background p p → t¯t semileptonico. En rojo la distribución obtenida para los jets de ISR y en azul para otros jets. . . 45 5.13. Representación gráfica de la estructura de red neuronal utilizada en el algoritmo

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6.1. Diagrama de Feynman para la producci´on de pares t¯t que corresponde al back-ground para la producci´on de pares ˜tt˜∗_{. . . .} ₅₀ 6.2. Histograma con los resultados obtenidos al evaluar un conjunto de jets

asocia-dos al canal semileptónico de producción de pares tt¯para la neurona de sali-da(Discriminador de ISR). Para observar la separación dada por la red neuronal se grafican en rojo los jets de ISR y en azul los otros jets. . . 51

6.3. Eficiencia de la red neuronal para como función del threshold m´ınimo exigido al discriminador de la red para el canal SM semileptónico. En la gráfica, se muestran el porcentaje de eventos en los que hubotags,misstags yrejected. . . 52

6.4. Eficiencia de la red neuronal para diferentesthreshold m´ınimos exigidos al discri-minador de la red cuando se analiza una muestra de datos que presenta un corte en HT >400GeV yPTLeading >200GeV. . . 53 6.5. Eficiencia de la red neuronal para diferentesthreshold m´ınimos exigidos al

discri-minador de la red cuando se analiza una muestra de datos que presenta un corte en HT >500GeV yPTLeading >300GeV. . . 54 6.6. Histograma con los resultados obtenidos al evaluar un conjunto de jets asociados

al canal semileptónico de producción de pares t¯t, con un corte de HT >500GeV y PTLeading > 300GeV, para la neurona de salida(Discriminador de ISR). Para observar la separación dada por la red neuronal se grafican en rojo los jets de ISR y en azul los otros jets. . . 55

6.7. Diagrama de Feynman para la producci´on de pares ˜t˜¯t. . . 56 6.8. Histograma con los resultados obtenidos al evaluar al evaluar un conjunto de jets

asociados al canal SUSY para la neurona de salida(Discriminador de ISR). Para observar la separaci´on dada por la red neuronal se grafican en rojo los jets de ISR y en azul los otros jets. . . 57

6.9. Eficiencia de la red neuronal para como funci´on del threshold m´ınimo exigido al discriminador de la red neuronal para el canal SUSY de mt˜= 400GeV , mχ0

1 = 235GeV. En la gr´afica, se muestran el porcentaje de eventos en los que hubotags, misstags yrejected. . . 57

6.10. Eficiencia de la red neuronal como funci´on del threshold m´ınimo exigido al discri-minador de la red neuronal para el canal SUSY dem˜t= 400GeV ,mχ0

1 = 235GeV con un corte en HT >400GeV yPTLeading >200GeV. En la gr´afica, se muestran el porcentaje de eventos en los que hubotags,misstags yrejected.. . . 58

6.11. Histograma con los resultados obtenidos al evaluar al evaluar un conjunto de jets asociados al canal SUSY para la neurona de salida(Discriminador de ISR). Para observar la separaci´on dada por la red neuronal se grafican en rojo los jets de ISR y en azul los otros jets. . . 60

6.12. Eficiencia de la red neuronal para diferentesthreshold m´ınimos exigidos al discri-minador de la red. En la gráfica, los clasificados con seguridad corresponden a los eventos donde el jet con máximo discriminador superoα; los clasificados correcta-mente es la porción de aquellos clasificados con seguridad que fueron clasificados correctamente por la red neuronal. . . 61

(12)

viii ´Indice de cuadros

6.13. Eficiencia de la red neuronal para como funci´on del threshold m´ınimo exigido al discriminador de la red neuronal para el canal SUSY de m_t˜= 200GeV , mχ0

1 = 20GeV. En la gr´afica, se muestran el porcentaje de eventos en los que hubotags, misstags yrejected. . . 62

´Indice de cuadros

5.1. Resultados numéricos de los criterios de evaluación para la elección del método de entrenamiento de la red neuronal. . . 46 5.2. Resultados numéricos de los criterios de evaluación asociados al número de

neu-ronas presentes en cada una de las capas ocultas de la red neuronal. . . 47

6.1. Resumen de porcentajes detags,misstags yrejected para tres cortes diferentes de

HT yPTLeading para el canal de SM semilept´onico. . . 54 6.2. Resumen de porcentajes detags,misstags yrejected para dos cortes diferentes de

HT yPTLead. para el canal de SUSY conm˜t= 400GeV ,mχ0

1 = 235GeV. . . 59 6.3. Resumen de porcentajes detags,misstags yrejected para dos cortes diferentes de

HT yPTLeading para el canal de SUSY con m˜t= 200GeV,mχ0

1 = 20GeV. . . 61 6.4. Comparaci´on de lostags ymisstags m´aximos y m´ınimos, para ambas

herramien-tas, cuando estas analizan el canal SM con un corte deP T >200GeV. . . 63 6.5. Comparaci´on de lostags ymisstags m´aximos y m´ınimos, para ambas

(13)

Introducci ´

on

1

Después del descubrimiento del bosón de Higgs, en el gran colisionador de hadrones (LHC), una de las preguntas de gran influencia en los experimentos actuales es si la es-cala de la f´ısica mas allá del modelo estándar está dentro del rango de energ´ıas de colisión actuales del LHC. Al referirse a f´ısica mas allá del modelo estándar, uno de los planteamientos mas sólidos y elaborados es la teoria de la supersimétria (SUSY). La Supersimetr´ıa(SUSY) es una teor´ıa de f´ısica mas allá del modelo estándar que resuelve naturalmente el problema de la jerarqu´ıa y establece un candidato para la materia oscura en el universo[6]. Desde hace algunos años varios experimentos han concentrado su investigación en la búsqueda de eviden-cia experimental de las part´ıculas supersimétricas. Sin embargo, durante la primera corrida del LHC las búsquedas fueron infructuosas y no fue posible hallar evidencia de señal SUSY en los canales buscados. Lo que s´ı se logro con los datos de la corrida uno fue determinar regiones de exclusión con cotas m´ınimas para las masas de los compañeros supersimétricos de los quarks del modelo estándar(SM). En estas cotas, se excluyen, por lo menos con la energ´ıa de centro de masa actual, la posibilidad de encontrar squarks en los experimentos del LHC a excepción de los squarks asociados a los quarks de tercera generación byt, que son los mas livianos.

Se espera que los squarks de tercera generación tengan una masa por debajo de 1 TeV por lo que es posible encontrar su evidencia en los experimentos realizados a 13 TeV en la segunda corrida del LHC. En el presente estudio se hace énfasis en la búsqueda de stops(˜t) en escenarios donde la masa del top(t), la masa del stop(˜t) y la masa del neutralinoχ1₀ estén cercanas a la linea de compresión del topm˜t−mχ˜0

1 =mt. En particular, se busca profundizar en estudios para escenarios en los cuales la masa del stop sea cercana la del stop, dando lugar a que los neutralinos tengan poca masa. Los modelos de SUSY que predicen que la masa de los neutralinos sea muy baja (unos pocos GeV) se conoce como espectros comprimidos. En estas circunstancias, la contribución a la energ´ıa transversa faltante( E/T) proveniente de la producción de pares ˜t˜t? es muy similar a la de la producción de pares t¯tpor lo que existe la posibilidad de que la señal experimental de SUSY se haya confundido con el background del modelo estándar.

La detección experimental de las part´ıculas supersimétricas está relacionada con la energ´ıa transversa faltante de la colisión, y en estos escenarios es muy baja, por lo que su detección no es tarea fácil. Por consiguiente, es necesario el desarrollo de herramientas que permitan facilitar la detección de la energ´ıa transversa faltante. Una de las posibilidades es la b´ usque-da de stops, a las energ´ıas de centro de masa actuales, analizando eventos con condiciones

(14)

2 CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON

cinemáticas favorables. Al hablar de condiciones cinemáticas favorables para la detección de las part´ıculas supers´ımetricas se hace referencia a eventos cuya topolog´ıa permita reconocer la señal de SUSY sobre la señal de background. Concretamente, una de las posibilidades es analizar eventos que han sido empujados en cierta dirección debido a la radiación de un jet previo a la interacción entre partones en la colisión protón - protón, es decir, eventos con la presencia de un jet de radiación de estado inicial(ISR).

En este orden de ideas, cuando el jet de radiación de estado inicial(ISR) tiene un alto momento, el evento sufre un empuje - event boosting - en la dirección opuesta al punto de detección del jet de ISR en el detector. De este modo, la presencia de un jet de ISR en el evento ocasiona que el resto del evento se concentre en la zona opuesta a la detección del jet de ISR. Lo anterior resulta ser una ventaja en la detección de producción de part´ıculas supers´ımetricas dado que concentra la energ´ıa transversa faltante E/_T en una zona del detector, la cual está asociada a la producción de la part´ıcula supers´ımetrica mas liviana(LSP)[7], de acuerdo a modelos que garantizan la conservación de la paridad R. Ahora bien, la labor de identificación de los jets de ISR en un evento es una una tarea compleja pues en las colisiones protón- protón, como las del LHC, se producen múltiples jets. En especial, la tarea de discriminación entre los jets de ISR y los de radiación de estado Final(FSR) resulta en un trabajo no trivial. De este modo, el desarrollo de herramientas que permitan el correcto etiquetamiento de los jets de ISR en un evento abren la posibilidad a la búsqueda de señales de supersimetr´ıa, a las energ´ıas de colisión actuales en el LHC.

En el presente proyecto de investigación se desarrolla una herramienta computacional que etiqueta jets de ISR en un evento. La construcción de esta herramienta de etiquetamiento de jets utiliza el método de circuitos neuronales para clasificar los jets de un evento. Las redes neuronales son un método de aprendizaje supervisado dentro del área de Machine Learning en ciencias de la computación. En este campo de la ciencia, el enfoque es la producción de algoritmos computacionales con posibilidad de reconocer patrones dentro de un conjunto de datos, para generar un aprendizaje en la maquina que procesa los datos[5]. Las redes neuronales son un circuito de procesadores simples conectados por canales de comunicación que usualmente albergan información que puede cifrar cierto significado [8], en nuestro caso, el significado está relacionado con las propiedades f´ısicas de los jets de ISR en el evento. En un circuito neuronal, el objetivo es que las conexiones entre las neuronas (procesadores simples) tengan ciertas restricciones que den prioridad a ciertas conexiones según el flujo de la información almacenada (“aprendizaje”), lo cual define una estructura propia de la red que se traduce en un discriminador final para cada entrada de datos[9] que permite evaluar s´ı el jet analizado es un jet de ISR.

En resumen, durante este proyecto de investigaci´on se desarrolla una herramienta compu-tacional para el etiquetamiento de jets de ISR y se eval´ua la eficiencia de etiquetamiento de la red neuronal para diferentes canales. Entre los canales estudiados se encuentranp p→t¯tj

yp p→ ˜_t¯˜_tj_{, donde} _j _{es el jet adicional al par top-antitop y par de squarks producidos,} res-pectivamente. El presente documento se encuentra organizado de la siguiente manera. En el cap´ıtulo 2 se realiza una introducción a las búsquedas de SUSY en el LHC, haciendo énfasis en estudios de stops en espectros comprimidos. En el cap´ıtulo 3 examina la teor´ıa en la pro-ducción de jets y el empuje que puede ocasionar un jet de ISR de alto momento a un evento. En el cap´ıtulo 4 se expone un marco introductorio a la teor´ıa de las redes neuronales y los métodos de aprendizaje de las mismas. En el cap´ıtulo 5 se describe en detalle la estructura de

(15)

3

la red neuronal construida en la investigación y se expone de manera general la simulación de Monte Carlo de los datos para el entrenamiento y prueba de la red neuronal. Para finalizar, en el cap´ıtulo 6 se analizan los resultados obtenidos al utilizar la red neuronal para identificar jets de ISR en el canal del modelo estándar y los canales SUSY; al igual que se realiza una discusión acerca de la eficiencia del método propuesto con respecto a otros herramientas de etiquetamiento de jets de ISR.

(16)

(17)

B ´

usquedas de SUSY

2

2.1. Introducci´

on

El modelo estándar ha sido una teor´ıa exitosa al momento de describir los fenómenos que ocurren en f´ısica de part´ıculas. No obstante, el modelo estándar(SM) tiene graves deficien-cias como el problema de la jerarqu´ıa. La Supersimetr´ıa(SUSY) es una teor´ıa de f´ısica mas allá del modelo estándar que resuelve naturalmente el problema de la jerarqu´ıa y establece un candidato para la materia oscura en el universo[6]. SUSY es una extensión del SM que postula una simetr´ıa entre los fermiones y los bosones. Esta teor´ıa predice la existencia de un supercompañero para cada una de las part´ıculas del SM, cada una de ellas con los mismos números cuánticos excepto que el spin de la part´ıcula difiere por media unidad.

Los modelos SUSY pueden conservar o violar la paridad-R. La paridad R se define como

Rp = (−1)3(B−L)+2s donde B es el numero barionico, L es el numero leptónico y s es el spin de la part´ıcula. Es importante notar que para las part´ıculas del modelo estándar la paridad es igual a +1 mientras que para las part´ıculas SUSY la paridad es −1. En los modelos donde se conserva la paridad R, las part´ıculas supersimétricas decaen en pares y la part´ıcula supersiméticra mas liviana(LSP) es estable. Esta part´ıcula supersimétrica mas liviana es el neutralino ˜χ0

1, y en conexi´on con cosmolog´ıa se convierte en un excelente candidato para la materia oscura dado que es estable y neutra.

Adicionalmente, las teor´ıas SUSY proveen una solución al problema de la jerarqu´ıa me-diante la cancelación de las divergencias cuadráticas de las correcciones de los bucles del top y el stop a la masa del bosón de Higgs. Ahora bien, las masas de las part´ıculas supersimétricas no pueden ser arbitrariamente grandes y se espera que el stop (˜t) sea la superpart´ıcula mas liviana para mantener los nivelesnaturales de fine-tuning [10]. De hecho, en Natural SUSY los quarks de tercera generación son los mas livianos, mientras que los otros squarks pueden ser bastante pesados. Como resultado, las búsquedas de SUSY y en detalle la producción de pares de stops son de gran interés en el campo de f´ısica de part´ıculas. No obstante, las búsquedas de SUSY durante la corrida uno del gran colisionador de hadrones (LHC) fueron infructuosas pues no se encontró evidencia de f´ısica mas allá del modelo estándar.

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6 CAP´ITULO 2. B ´USQUEDAS DE SUSY

Figura 2.1: Resumen de las búsquedas directas de la producción de pares de stop por parte de la colaboración ATLAS durante la corrida uno. Las lineas punteadas representan los limites de exclusión esperados mientras que las lineas solidas representan los limites observados. En la figura, se muestran resultados para posibles decaimientos del stop en dos,tres y cuatros cuerpos. Imagen tomada de [1]

2.2. B´

usquedas de sTops en el LHC

Aun cuando en la corrida uno del LHC no se encontró evidencia de señal SUSY, los resultados experimentales fueron relevantes para fijar cotas para las masas de las part´ıculas supersimétricas. Por ejemplo, para el stop ˜t se encontraron escenarios donde la masa del stop debe superar los 775 GeV [1, 11]. En la figura 2.1 se resumen los limites de exclusión encontrados por el experimento ATLAS con una energ´ıa de colisión en el centro de masas de 8 TeV.

De este modo, las búsquedas de stops experimentales en el LHC se han convertido en uno de los grandes focos de investigación por parte de los grupos experimentales. Tal como se menciono anteriormente, los squarks de tercera generación son los mas livianos y se espera que tengan una masa por debajo de l TeV por lo que su estudio y hallazgo puede realizarse a las energ´ıas de colisión de la segunda corrida del LHC. Dependiendo de la masa del stop los posibles decaimientos del stop pueden ser:

˜

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2.2. B ´USQUEDAS DE STOPS EN EL LHC 7

Figura 2.2: Diagrama con los posibles decaimientos del stop en el plano generado por la masa del stop y del neutralino. Figura tomada de [1].

˜

t→bWχ˜0₁ (2.1b)

˜

t→bf f0χ˜0₁ (2.1c)

˜

t→cχ˜0₁ (2.1d)

Todos los posibles decaimientos mostrados en 2.1 pueden ser resumidos en el plano ge-nerado por la masa del stop ˜t y la masa del neutralino ˜χ0₁ como se muestra en la figura 2.2.

Es importante notar que tanto en la figura 2.1 como en la figura 2.2 existen fronteras que determinan el numero de part´ıculas luego del decaimiento. En primer lugar, se tiene la frontera:

m˜t−mχ˜0

1 = 0 (2.2)

La cual delimita entre la regi´on prohibida (mt˜−mχ˜0

1 <0) y el decaimiento en 4 cuerpos, es decir, un decaimiento como el mostrado en 2.1c dondef f0 denotan un par de fermiones. Esta frontera se conoce como la linea de compresión final del stop y ha sido protagonista de constantes búsquedas en investigaciones en el LHC determinando limites de exclusión de hasta 260 GeV para la masa del stop ˜t [12]. Por otro lado, se tiene la frontera:

m˜_t−mχ˜0

(20)

8 CAP´ITULO 2. B ´USQUEDAS DE SUSY

Esta linea delimita la frontera entre el decaimiento en 3 o 4 cuatro cuerpos. En particular, si el chargino ˜χ±₁ es mas pesado que el sTop y mt > m˜_t−mχ˜0

1 > mW +mb el decaimiento dominante sera el mostrado en 2.1b. Se han realizado varias b´usquedas en estos canales tanto a 7 TeV y 8 TeV con resultados infructuosos [13]. Finalmente, se tiene la frontera dada por la relaci´on:

m˜t−mχ˜0

1 =mt (2.4)

Esta ultima linea de compresi´on marca la frontera entre el decaimiento de dos cuerpos y tres cuerpos. Esencialmente, cuandomt> m˜t−mχ˜0

1 > mtcada uno de los stops decae en dos part´ıculas, mediante un topon-shell y un neutralino. En estos casos, las investigaciones han determinado que para neutralinos de masa cercana a los 250 GeV, los resultados encontrados en el LHC excluyen masas por debajo de 600 - 750 GeV como se muestra en la figura 2.1. La presente investigación enfoca sus esfuerzos en desarrollar una herramienta computacional basada en circuitos neuronales para facilitar el estudios de escenarios donde las masas del stop y el nuetralino estén muy cercanas a la linea de compresión mostrada en la ecuación 2.4.

2.3. Espectros comprimidos

La búsqueda de stops con una masa por debajo de 1 TeV en el LHC ha tomado gran fuerza y ha sido el centro de investigación de muchos estudios en f´ısica de altas energ´ıas[12, 14, 15]. Estos estudios se han concentrado en el análisis de varias topolog´ıas de decaimiento. En la presente investigación se analiza el escenario mas minimalista, en el cual los stops son producidos directamente en pares mediante QCD y cada stop decae en un neutralino invisible LSP y unon-shell ooff-shell quark top:

pp→˜tt˜∗ donde ˜t→t+ ˜χ0₁

Donde seg´un el caso,

˜

t→t+ ˜χ0₁ caso top on-shell

˜

t→b+W + ˜χ0₁ caso top off-shell

Estos decaimientos son idénticos experimentalmente a los observados para la producción de pares tt¯solo que posee una adición de energ´ıa transversa faltante (E/T). Esta adición de

/

ET proviene de la presencia del neutralino ˜χ01. Se define la energ´ıa transversa faltante como la magnitud del momento trasversal faltante~p/T, donde este se define como:

~ /

p_T =−X

n∈N

~

PT n (2.5)

Donde n son todas las part´ıculas reconstruidas en el plano perpendicular al eje de colision de los dos haces de protones en el LHC. Como resultado, el decaimientot¯tse convierte en el background para nuestro an´alisis de la producci´on de pares ˜t˜t∗. En particular, el diagrama de Feynman asociado al canal SUSY estudiado se muestra en la figura 2.3b. Asimismo, el canal

(21)

2.3. ESPECTROS COMPRIMIDOS 9

(a) Diagrama de Feynman para la producci´on de pares tt¯ semileptonico que corresponde al back-ground para la producci´on de pares ˜t˜t∗ _.

(b) Diagrama de Feynman para la producci´on de pares ˜tt˜∗en el escenario en el quemt'mt˜−mχ˜0

1 >

mt.

Figura 2.3: Diagramas de Feynman para lo producci´on de pares tt¯y ˜t˜t∗.

del modelo est´andar asociado a nuestro estudio sera el canal semileptonico que se muestra en la figura 2.3a y sera elbackground del canal SUSY mostrado anteriormente.

Ahora bien, las b´usquedas de se˜nal SUSY representan un reto mayor cuando se analizan escenarios donde la masa del stop es baja O(GeV). En estos casos la energ´ıa transversa faltanteE/T tiende a eliminarse, dado que laE/T proviene en su mayor´ıa de los neutralinos, y en estos casos son poco masivos. El caso critico de sensibilidad experimental se presente en el punto ”Stealth”, el cual se caracteriza porque m˜t≈mt ymχ˜0

1 ≈0. De all´ı, se observa que debido a la poca contribución de E/T hay limitaciones experimentales para analizar puntos en esta región, sin embargo, es de gran interés analizar estos puntos puesto que una solución natural para resolver el problema de la jerarqu´ıa es que la masa del top sea muy cercana a la del stop[16]. En este sentido, la presente investigación se enfoca en estudios con puntos de masa cercanos a lo que se conoce como lalinea de compresión del top en la cual:

mt'm˜t−mχ˜0

1 (2.6)

Realizar estudios en esta región es importante pues como se puede notar en la figura 2.1 los limites de exclusión en regiones muy cercanas a la linea de compresión aun no han sido fijados. En este orden de ideas, en el presente trabajo se harán estudios para dos puntos de masas cercanos a la linea de compresión:

m_χ_˜0

1 = 20GeV m˜t= 200GeV

m_χ_˜0

1 = 235GeV m˜t= 400GeV

Es fundamental resaltar que se escogen estos dos puntos de masas para la investigaci´on pues uno de ellos representa el decaimiento en un quark top on-shell y otro en un quark top off-shell. En particular, el punto de masa (m_χ_˜0

1 , m˜t) = (20GeV,200GeV) representa el caso on-shell y el punto (m_χ_˜0

1 , m˜t) = (235 GeV,400GeV) el caso off-shell en el cual se produce un top virtual.

(22)

(23)

Radiaci ´

on de estado Inicial

3

El presente trabajo de investigación se enfoca en desarrollar una herramienta computacio-nal para etiquetar jets de radiación de estado inicial en un evento de una colisión protón -protón. Por lo tanto, el entendimiento de la f´ısica detrás de los jets resulta en un elemento fundamental para el desarrollo del trabajo. En este sentido, el presente capitulo busca exa-minar la formación de jets; describir el empuje que puede ocasionar un jet de radiación de estado inicial de alto momento y comentar la utilidad del empuje ocasionado por el jet en la búsqueda de stops.

3.1. Producci´

on de Jets

Las colisiones a muy altas energ´ıas, como las ocurridas en el LHC, dan lugar a interacciones entre los constituyentes de los protones. Los protones están compuestos de quarks y gluones. En el caso ideal, existe solo una colisión altamente energética entre un partón de un protón con un parton del otro proton. A este tipo de colisiones se le conoce como unacolisión dura. La cromodinámica cuántica(QCD) es la teor´ıa cuántica de campos que describe la interacción fuerte de los quarks y los gluones. La interacción fuerte contempla tres tipos de cargas que han sido denotadas por los colores rojo(r), azul (b) y verde(g) con sus correspondientes anticolores(¯r,¯b,g¯). La teor´ıa QCD describe la interaccción de la part´ıculas que tienen carga de color, y al ser una teor´ıa gauge, implica la existencia de un campo gauge conocido como el campo de gluones. Los portadores de carga de color interaccionan entre ellos intercambiando gluones. En la figura 3.1 se muestran los diagramas de Feynman para las interacciones fuertes fundamentales.

La fuerza resultante de la interacción fuerte entre dos part´ıculas es causante de interesantes consecuencias en la naturaleza, una de ellas el confinamiento de la carga de color. Al analizar el potencial asociado a esta interacción se ha determinado [17] que a distancias menores a 1 fm la interacción es dominada por el intercambio de un gluón y por tanto se espera un potencial tipo Coulumb :

V(r) =−4

3

αs

r (3.1)

dondeαs es la constante de acoplamiento de la fuerza fuerte, que tambi´en depende de las distancia. Esta constante de acoplamiento se define como αs= g

2

s

4π. Ahora bien, al aumentar

(24)

12 CAP´ITULO 3. RADIACI ´ON DE ESTADO INICIAL

Figura 3.1: Diagramas de Feynman para las interacciones fundamentales de QCD. Arri-ba Izquierda: Emisión de un gluón. Arriba Derecha: Emisión de un gluón. Abajo Izquier-da:Acoplamiento de tres gluones. Abajo Derecha: Acoplamiento de cuatro gluones. Imagen tomada de [2].

la distancia de interacción la fuerza de interacción crece rápidamente y según los cálculos realizados con la teor´ıa gauge de red [17] el potencial asociado a la interacción es de la forma:

V(r)≈λr (3.2)

en el cual la constante λ no puede ser calculada con precisi´on pero su valor es del or-den de 1 GeV f m−1. Como resultado, el comportamiento descrito por la teor´ıa QCD en la ecuaci´on 3.1 implica el confinamiento de la part´ıculas con carga de color pues de otro mo-do seria necesario una energ´ıa infinita para que mo-dos part´ıculas con carga de color existan libremente[18].

En consecuencia, existe un confinamiento de la carga que color que afirma que solo pueden existir estados con carga de color nula. Esto implica que los quarks y los gluones no pueden existir individualmente sino que se asocian en hadrones con carga de color neutra. As´ı, los quarks y gluones se asocian para formar mesones, los cuales involucran un par de quark y antiquark; y bariones, que están compuestos de tres quarks. El proceso de formación de part´ıculas con color neutro se conoce comohadronización. A causa de esto, los quarks y los gluones se unen con las part´ıculas de color cargadas formadas en la colisión dura para formar hadrones como se muestra en la figura 3.2. Hasta el momento no existe un cálculo expl´ıcito referente a la hadronización puesto que el confinamiento no puede ser descrito mediante teor´ıa de perturbaciones. Por lo tanto, el proceso de hadronización se entiende desde complejos modelos fenomenológicos, entre ellosThe cluster modelyThe Lund String model. Finalmente, al conjunto de hadrones formados a partir de un quark o gluon se le conoce en f´ısica de part´ıculas como unjet.

En las colisiones duras, los dos partones son dispersados a un gran ángulo con respeto al eje de colisión de los protones. Luego de su formación, los dos partones comienzan a radiar

(25)

3.2. RADIACI ´ON DE ESTADO INICIAL 13

Figura 3.2: Esquema del proceso de hadronizaci´on de los quarks y gluones en hadrones con carga de color neutra. Imagen tomada de [2].

gluones y quarks, los cuales emiten mas gluones que se desdoblan en pares de quarks y antiquarks. De manera que se induce una lluvia de partones que forma un haz altamente energético de partones(quarks y gluones), estos se conocen como losjets de partones. Debido al confinamiento de la carga de color los partones constituyen part´ıculas con carga de color nula formando los jets de part´ıculas tal como se muestra en el dibujo esquemático de la figura 3.3. Asimismo, en la evolución temporal del evento un jet pasa por varias fases. Al principio, el jet consiste de partones luego mediante el proceso de hadronizacion el jet se forman part´ıculas estables y con tiempos de vida largos, por lo que esta fase se conoce como los jets de part´ıculas. En la ultima fase los jets están hechos de objetos medidos en el calor´ımetro por lo se conocen comojets de calor´ımetro. En este sentido, si se busca localizar la contribucion energética de las part´ıculas en el calor´ımetro es necesario algoritmos de reconstrucción del jet. Entre estos algoritmos encontramos elalgoritmoKT, elalgoritmo anti-KT y el algoritmo dereconstrucción en cono.

3.2. Radiaci´

on de Estado Inicial

En lo que respecta a esta investigación se tiene como objetivo analizar colisiones prot´ on-protón a muy altas energ´ıas, como las ocurridas en el LHC. Los protones son hadrones compuestos de tres quarks(uud), sin embargo, también es posible que contenga quarks y gluones virtuales. Al conjunto de part´ıculas que conforman un protón se les conoce como partones. Dadas las escalas de energ´ıa de la colisión entre protones en el LHC se conoce que las interacciones son efectivamente entre partones[19]. Tal como se describió en la sección anterior, estas son el tipo de colisiones que se conocen comoduras. En este tipo de colisiones

(26)

Figura 3.3: Dibujo esquem´atico de un evento tt¯con multiples jets. Imagen tomada de [2].

donde gran parte de la energ´ıa del evento se concentra en una interacción es posible la generación de part´ıculas masivas como las esperadas en la f´ısica mas allá del modelo estándar. Sin embargo, existe la posibilidad de antes de la colisión se presente la emisión de un partón libre no asociado. Al estar libre, el partón emitido antes de la colisión debe recombinarse mediante el proceso de hadronización, explicado anteriormente, generando un conjunto de hadrones. Este tipo de radiación se conoce como radiación de estado inicial(ISR) pues ocurre antes de la interacción principal de la colisión.

Los jets de ISR generalmente complican el análisis de un proceso pues estos pueden sobrelaparse con los jets radiados por part´ıculas en el estado final, después de la colisión dura - Radiación de estado final (FSR) [20]. Dado que las part´ıculas en el estado final son las de principal interés, pues son la firma de las part´ıculas originadas luego de la colisión, son los jets de FSR los que han capturado el foco de investigación durante muchos años. Sin embargo, en estudios recientes [20, 21, 22, 23, 24] se puede observar que el estudio de la radiación de estado inicial puede ser una herramienta útil en el estudio de f´ısica mas allá del modelo estándar puesto que la presencia de jets de ISR puede generar condiciones sobre los estados finales que permitan afinar la detección de f´ısica predicha en modelos más allá del modelo estándar (BSM).Estas investigaciones utilizan la metodolog´ıa de buscar señal SUSY mediante el aumento de la energ´ıa transversa(E/T) mediante el uso de un jet de ISR que empuje el evento.

(27)

3.3. EVENTOEMPUJADOPOR JET DE ISR 15

3.3. Evento

empujado

por jet de ISR

Una de las posibilidades es que el jet de ISR empuje el evento en cierta dirección. Esto ocurre porque en una colisión protón-protón, tal como las del LHC, el momento lineal total debe ser el mismo antes y después de la colisión. En especial, recuerde que en el momento inicial en el centro de masas de una colisión protón-protón es cero, luego en los estados finales la sumatoria de los momentos de todas las part´ıculas debe ser cero. Sin embargo, al considerar un escenario con la presencia de un jet de ISR, dada la conservación del momento, el jet de ISR debe tener un momento opuesto a la suma de momentos de las otras part´ıculas.

~

PTISR =− X

n

~

PTn (3.3)

donde n ∈ N el conjunto de part´ıculas resultantes luego de la colisión. Ahora bien, s´ı el momento del jet de ISR es alto, por la ecuación 3.3, el evento es empujado en la dirección contraria a la zona de detección del jet de ISR en el detector. En la figura 3.4 puede observarse un diagrama representativo del empuje generado por jets de bajo y alto momento.

(a) Empuje del evento con un jet de ISR con bajo momento.

(b) Empuje del evento con un jet de ISR con bajo momento.

Figura 3.4: Diagramas representativos del empuje de los jets en el estado final debido a la emisi´on de un jet de ISR.

Recordando del capitulo 2 que la señal proveniente del neutralino ˜χ0₁ está relacionada con la energ´ıa transversa faltante, es posible notar que empuje del evento generado por el jet de ISR resulta en una ventaja en la detección de producción de part´ıculas supersimétricas. En esencia, esto ocurre porque se incrementa la energ´ıa transversa faltante E/T asociada al decaimiento de las part´ıculas supersimétricas en una región del detector[7], como consecuencia del empujeboost que sufre la energ´ıa transversa faltante por la emisión del jet de ISR en el evento tal como se puede notar en el esquema representativo de la figura 3.5.

(28)

Figura 3.5: Diagrama ilustrativo de la concentraci´on de energ´ıa transversa faltante cuando el evento es empujado por un jet de ISR de alto momento.

3.4. Etiquetamiento de jets de ISR en la b´

usqueda de sTops

El hecho de que un evento pueda serempujado en una dirección brinda la posibilidad de producir una reconstrucción más precisa del evento, puesto que las variables f´ısicas del jet de ISR están correlacionadas con las variables f´ısicas de la topolog´ıa del evento. En la presente sección, se explicará la utilidad del etiquetamiento de jets de ISR en la búsqueda de señales de stops(˜t). Al estudiar decaimientos en los canales fuertes es posible analizar eventos donde se incluyen condiciones cinemáticas que favorecen la detección de las part´ıculas supersimétricas debido a la presencia de un jet de ISR.

Tal como se mencionó anteriormente, en los detectores ATLAS y CMS la información f´ısica de la generación de estas part´ıculas supersimetricas puede estar contenida en la energ´ıa transversa faltante E/T. En este orden de ideas, es posible analizar eventos que estén empu-jados por un jet de ISR para concentrar la energ´ıa transversa en una región del detector. En estos escenarios, la radiación de un jet de alto momentum en el estado inicial provocar´ıa que, por conservación del momento en el proceso, las part´ıculas nuevas generadas sean empujadas en la dirección opuesta al jet de ISR. Como resultado, el empuje provocado permitir´ıa con-centrar la energ´ıa transversa faltante en un cono opuesto a la dirección donde fue detectado el jet de ISR y ser´ıa posible facilitar las búsquedas de señales de los squarks mas livianos (top , bottom) a las energ´ıas de colisión actuales en el LHC.

En lo que concierne a esta investigación, se busca estudiar señales de la producción de pares de stops cerca a la linea de compresión mt ' m˜_t−mχ˜0

1. En este escenario, tal como se describió en el cap´ıtulo 2 el stop decae en un par top(t) y neutralino ( ˜χ0₁). Debido a la naturaleza de los escenarios comprimidos, en el marco de referencia del ˜t, el neutralino y el top están casi en reposo [25]. Como resultado, en el marco de referencia del laboratorio se cumple la siguiente relación:

(29)

3.4. ETIQUETAMIENTO DE JETS DE ISR EN LA B ´USQUEDA DE STOPS 17

~

pT( ˜χ01)' −~pT(˜t)

m_χ0 1

m˜_t

(3.4)

As´ı, en la producción de pares ˜tla contribucion de a la energ´ıa transversa faltanteE/T es aproximadamente nula. Por lo tanto, la cinemática de la producción de pares de stops resulta muy similar a la producción de pares de tops, aumentando la dificultad en las búsquedas de señal SUSY [25]. Ahora bien, s´ı se analizan eventos que contengan un jet adicional de ISR de alto momento puede contribuir a la detección del neutralino pues por conservación del momento se tiene:

~

pT(jetISR)' −

~

pT(˜t1) +~pT(˜t2)

(3.5)

donde ˜t1 y ˜t2 son los stops generados en el proceso. En consecuencia, es posible reescribir la ecuaci´on 3.4 de la forma:

/

ET ' −~pT(jetISR)

m_χ0 1

m˜t

(3.6)

En esta ultima relación, se observa de manera clara la utilidad del empuje generado por un jet de ISR en el aumento de la energ´ıa transversa faltante, mediante la concentración del evento en la zona opuesta a la detección del jet de ISR. No obstante, la clasificacion de jets de ISR en un evento no es un tarea trivial por lo que el desarrollo de herramientas para su clasificación se torna en una tarea primordial para utilizar esta estrategia en la búsqueda de señal SUSY. En el siguiente cap´ıtulo se realiza una introducción a las redes neuronales, la cual será la herramienta utilizada en la presente investigación para etiquetar jets de ISR en un evento.

(30)

(31)

Redes Neuronales

4

4.1. Introducci´

on

Definici´on

Una red neuronal es un sistema complejo compuesto de unidades simples de procesa-miento que están interconectadas entre ellas con una estructura de red, intensidad entre las conexiones y funciones de activación propias. Cada una de estas unidades simples se conocen como neuronas y la intensidad de interconexión entre las neuronas posibilita el almacena-miento de conocialmacena-miento en la red neuronal [3]. Este conocialmacena-miento permite a la red neuronal ser una herramienta para realizar tareas de clasificación, reducción de ruido, predicción de valores y aproximación de funciones[9]. En particular, el interés de la presente investigación se concentra en explotar las propiedades de las redes neuronales en procesos de clasificación para clasificar jets de ISR dentro de un conjunto de jets. Antes de proceder a explicar el fun-cionamiento de una red neuronal es necesario comprender las partes que integran un circuito neuronal, la arquitectura de la red y los posibles métodos de aprendizaje.

Partes de una red Neuronal

En una red neuronal pueden distinguirse un conjunto de unidades interconectadas entre si. Las unidades ubicadas en los extremos de la red se conocen como Entradas y salidas. Estas unidades son las que tienen contacto directo con la informaci´on externa(datos).

Las unidades intermedias de la red neuronal se conocen comoneuronas y se caracterizan porque no tienen una conexión directa con la información de entrada o salida(ver figura 4.1) Cuando un conjunto de neuronas tienen entradas de una misma procedencia se forma una capa de la red neuronal. En un circuito neuronal existen las capas de entrada(Inputs Layers), las capas intermedias(Hidden Layers) y las capas de salida(Outputs Layers). Ahora bien, las conexiones entre neuronas poseen intensidades especificas que se conocen como pesos y son estos los que se asocian al aprendizaje de la red neuronal [3]. Asimismo, cada una de las neuronas de la red tiene una función de activación (g(·)) que limita la salida de una neurona dado el patrón de aprendizaje. Los tipos de funciones de activación más comunes son ilustradas en la figura 4.2 y a continuación se realiza una breve descripción de cada cada una de ellas:

Funci´on de Umbral

(32)

20 CAP´ITULO 4. REDES NEURONALES

Figura 4.1: Esquema de una neurona en un circuito neuronal. Imagen tomada de [3]

La funci´on umbral es el discriminante mas simple y busca fijar un umbral, de modo que si la entrada de la neurona es mayor a cierto umbral, la neurona se activa.

g(a) = (

1,Si a >0

0,Si a ≤0 (4.1)

Funci´on Sigmoide

También conocida como la función log´ıstica, es en la actualidad la función de activa-ción de mayor utilización en las capas ocultas de una red neuronal. En particular, su uso permite que las salidas asociadas a estas neuronas puedan ser interpretadas como probabilidades [5]. En la ecuación 4.2 se escribe la función matemática que representa la tasa de encendido para una neurona.

g(a) = 1

1 +e−a (4.2)

La funci´on log´ıstica o sigmoide descrita en la ecuacion 4.2 cumple con las condiciones de ser diferencial, tal como se exige para las funciones de activacion. Adicionalmente, el rango de salida para esta funcion comprende entre 0≤g(a) ≤1 para todo valor de

a. Adicionalmente, si se computa la derivada de esta función es posible encontrar que el valor máximo de la derivada se presenta cuando la neurona esta en su rango medio, es decir, g(a) = 0,5. Lo anterior es justamente la caracter´ıstica que contribuye a la estabilidad en el proceso de aprendizaje de redes neuronales con función de activación sigmoide.

(33)

4.1. INTRODUCCI ´ON 21

Figura 4.2: Representación gráfica de algunas funciones de activación. De izquierda a derecha se puede encontrar la función de activación umbral, la log´ıstica y la tangente hiperbólica. Imagen tomada de [4].

Tipos de Arquitectura de la red neuronal

Entre los principales tipos de arquitectura de las redes neuronales se encuentran las redes SingleLayer Feed-Foward,MultiLayer Feed-Foward y las redes neuronales Recurrentes.

Redes de propagaci´on hacia adelante

Las redes de propagación hacia adelante (Feedfowards Networks) son aquellas en la cual la información se mueve en un único sentido, generalmente hacia adelante. En la figura 4.3 se observa esta caracter´ıstica de flujo en una única dirección, pues a cada una de las neuronas entra información de capas anteriores y sale información hacia capas siguientes en la red neuronal. Esto implica que cada una de las neuronas solo se ve afectada por neuronas en capas anteriores a su capa en el proceso de aprendizaje[3]. En este sentido, las redes de propagación hacia adelante pueden dividirse en multicapa o monocapa según el número de capas ocultas que tenga la red.

Redes Recurrentes

Las redes recurrentes son aquellas en las cuales una neurona se activa basados en infor-mación de las neuronas en capas posteriores, neuronas en la capa anterior y en su propia retroalimentación de iteraciones pasadas[3]. En la figura 4.4 se observa gráficamente el dia-grama de una red neuronal recurrente con solo una capa oculta.

Con todas las partes de las redes neuronales en mente y los tipos de arquitectura que puede tener una red neuronal es posible comprender el modo de operación de una red neuronal para realizar tareas de clasificación. El funcionamiento de una red neuronal se divide en dos procesos, generalmente no simultáneos, los cuales son el entrenamiento y la generalización - validación - de la red neuronal[4]. El entrenamiento corresponde a la adaptación de los parámetros(“pesos”) de la red neuronal para lograr una clasificación exitosa. En particular, la presente investigación se enfoca en el uso de de redes neuronales de propagación hacia adelante y se hablará que para cada una de las neuronas existe una función objetivo:

(34)

Figura 4.3: Esquema de una red neuronal con propagaci´on hacia adelante con una capa oculta. Imagen tomada de [3].

En la cual ~x es el vector con los valores de entrada a esa neurona y w~ son los pesos de cada una de esas entradas. En este sentido, al modelar la red neuronal es necesario deter-minar el valor de cada uno de estos pesos, este proceso se se conoce como entrenamiento o aprendizaje[5]. La intención es que mediante un proceso iterativo se escojan los ”pesos”que mejor se ajusten a la clasificación real. Para el proceso de aprendizaje es posible suministrar a la red neuronal datos en los cuales se conoce la clasificación correcta para la muestra, en la siguiente sección se explican a groso modo los diferentes procesos de aprendizaje de las redes neuronales.

Procesos de aprendizaje

Aprendizaje Supervisado

En el aprendizaje supervisado se le suministra a la red neuronal un conjunto de datos de los cuales se conoce con exactitud sus valores de entrada y sus valores de salida deseados. Al conocer el valor de su función objetivo(neurona de salida), es posible comparar la función objetivo determinada con los pesos ajustados por la red neuronal con el valor real de la función tras cada iteración. Posterior a esta comparación, se ajustan gradualmente los pesos durante varias iteraciones hasta minimizar el error. Algunos ejemplos de redes neuronales con aprendizaje supervisado son elPerceptrón y el Multilayer perceptrón, ambos se describen en detalle en la sección en la sección 4.2 y 4.3, respectivamente, del presente documento.

(35)

4.2. REDES NEURONALES MONOCAPA 23

Figura 4.4: Esquema de una red neuronal recurrente con capas ocultas. Imagen tomada de [3].

Aprendizaje No Supervisado

En el aprendizaje no supervisado, no se le brinda a la red neuronal los resultados correctos para el conjunto de datos al cual se le busca realizar la clasificación. La red se encarga por si misma de extraer información de los datos y crear automáticamente clases que le permitan clasificar correctamente[27].

4.2. Redes Neuronales Monocapa

Discriminadores Lineales

Una de las posibilidades al usar una red neuronal monocapa reside en la posibilidad de clasificar un vector de entrada~xenkclases. Para lograr tal clasificaci´on se define un conjunto de funciones discriminantes y1, ..., yc tal que un vector de entrada ~x es asignado a la clase

Ck si

yk> yi ∀i6=j (4.4) Ahora bien, cada una de estas funciones discrimintantes puede ser escrita en t´erminos de los pesos asociados a cada variable de entrada y el vector de par´ametros(w~) - pesos dentro de la red neuronal - de la siguiente forma:

yk(~x) = w~kT~x+w0 (4.5) La expresión 4.5 puede entenderse geométricamente como una frontera de decisión que corresponde a un hiperplano (d−1)-dimensional en un espacio d-dimensional. Asimismo, las funciones discriminantes de la ecuación 4.5 puede ser expresadas como las funciones objetivo de las capas de salida en la red, tal como se muestra en la figura 4.5 [5]. Como resultado,

(36)

cada uno de las neuronas de salida de la red neuronal se expresa en t´erminos de los pesos asociados a esa neurona (w~k), es decir:

yk(~x) = d X

i=0

wkixi (4.6)

Dondedrepresenta la dimensi´on del vector de entrada ywk0 esta relacionado con el bias para esa neurona.

Figura 4.5: Representaci´on de multiples funciones discriminante lineales y~k en una red neu-ronal conc neuronas de salida. Imagen tomada de [5]

No obstante, es bueno observar que de forma general la frontera de decisión no es lineal. Como se indica en la figura 4.6, pueden existir casos en los cuales no es posible definir una frontera de decisión lineal que permita clasificar los datos de entrada. Sin embargo, existe la posibilidad de clasificarlos mediante una frontera de decisión no lineal. De este modo, surge la necesidad de plantear una forma generalizada para los discriminadores lineales[4]. Para ello se puede tomar un conjunto de funciones no lineales φj(~x), también conocidas como Basis functions, con las cuales se transforma el vector de entrada ~x con el fin de representar el resultado de la neuronak como:

yk(~x) = M X

j=0

wkjφ(~x) (4.7)

En general, esto representa un rango mas amplio de discriminadores para lograr solucionar el problema de clasificación para muestras de datos mas complejas, en la sección 4.3 puede encontrar un tratamiento mas profundo de la generalización de los discriminadores lineales con funciones de base.

Con lo desarrollado anteriormente ya se conoce la estructura exacta de las redes neuronales de una sola capa. En lo que queda de la sección se explicara algunos métodos de entrenamiento que permitan almacenar información en los pesos para obtener la clasificación deseada.

T´ecnicas con M´ınimos Cuadrados

Las técnicas de m´ınimos cuadrados son una técnica sencilla y eficaz para el entrenamiento de redes neuronales que consiste en la minimización de la suma de cuadrados de los errores.

(37)

4.2. REDES NEURONALES MONOCAPA 25

Figura 4.6: Representación gráfica de las fronteras de decisión para diferentes patrones de datos. a) Separable linealmente. b) Linealmente Inseparable. c) Clasificación separable no-linealmente en el espacio 2-dimensional.[4]

Esta técnica busca minimizar el error entre el discriminador arrojado por la red neuronal y el valor objetivo de clasificación para ese patrón de entrenamiento(Recuerde que estamos con-siderando métodos de entrenamiento supervisados). La suma de cuadrados puede escribirse matemáticamente como:

E(w~) = 1 2 N X n=1 c X k=1

yk(xn;w~)−tnk 2

(4.8)

Donde yk(xn;w~) es el discriminador arrojado en la salida k por la red neuronal para el patrón de entrenamiento n entre los N de la muestra. Por otro lado, tn_k es el valor objeti-vo conocido para la salida k. Esta función de error tiene un comportamiento cuadrático y su proceso de minimización puede efectuarse por varias técnicas, entre ellas el descenso de gradiente [5].

Descenso de gradiente

La técnica del descenso del gradiente para minimizar la suma cuadrática de los errores es especialmente importante cuando la función de activación de las neuronas no es lineal[5]. En particular, si las funciones de activación son derivables es posible ajustar los pesos mediante iteraciones consecutivas donde el vector de pesos converja a su m´ınimo. Matemáticamente este proceso puede asociarse al método mas sencillo de optimización basado en la búsqueda de gradiente conocido como descenso de gradiente. En este método se actualizan los pesos mediante la ecuación:

w_kjτ+1=w_kjτ −η ∂E ∂wkj

_w_~(_τ)

(4.9)

Donde η es conocido como la rata de aprendizaje y representa uno de los aspectos mas cr´ıticos en el entrenamiento de redes neuronales puesto que su mala elecci´on puede repercutir en oscilaciones, divergencias o converger muy lentamente[5].

(38)

El Perceptron

Descripci´on

El perceptrón es la forma mas simple de red neuronal para clasificar patrones que son linealmente separables [3]. El Perceptrón es una red neuronal de una capa estudiada ini-cialmente por Rosenblatt en 1962, con una función de activación umbral. Esta red neuronal consiste de una neurona que es resultado de la combinación lineal de los parámetros de entra-da (xi) con ciertos pesos(wi) asociados a estos parámetros, tal como se muestra en la figura 4.7.

Figura 4.7: Esquema del perceptr´on b´asico con una sola neurona de salida. En ella xi son las entradas a la red neuronal, wi los pesos asociados a cada entrada; y la salida de la red neuronal. Imagen tomada de [3]

A la combinación lineal resultante se le aplica un limitante duro(hard limiter) que en el caso del perceptrón es una función umbral:

g(a) = (

−1, Si a <0

+1, Si a ≥0 (4.10)

Del modelo se define que la entrada para esta funci´on umbral sera la combinaci´on lineal mencionada anteriormente, mas conocida como elcampo local inducido v(~x), que se escribe:

v(~x) = m X

j=0

wjxj (4.11)

De lo cual resulta:

y(~x) =g v(~x) =g

m X

j=0

wjxj

(39)

4.3. REDES MULTICAPA - MULTILAYER PERCEPTR ´ON 27

Asi, el objetivo del perceptrón es clasificar un conjunto de datos externos x~1, ~x2, ... , ~xn en dos clases, C1 o C2 . La regla de clasificación para una entrada x1, x2, ..., xm será a la claseC1 si la salida del perceptrón es +1 y a la claseC2 si esta es -1. [3]

Teorema de Convergencia del perceptr´on

El proceso de aprendizaje del perceptrón se fundamenta en minimizar la función error dadas las clasificaciones equivocadas realizadas por la red neuronal, para ello se define la función de error para el perceptrón, también llamada the Perceptron Criterion:

EP erceptron(w~) =

X

~ x∈χ¯

−w~T~x

(4.13)

Donde ¯χ es el conjunto de patrones clasificados incorrectamente con los valores actuales dew~. Ahora aplicando la regla del descenso del gradiente al criterio del perceptrón se obtiene el algoritmo básico de aprendizaje para el Perceptrón:

w(τ+1)_j = w(τ)_j +ηxjtn (4.14) Recordando que tnes el valor objetivo de clasificaci´on para el en´esimo vector de entrada

~xnyηes un valor peque˜no conocido como latasa de aprendizaje. De modo que,tn= 1 cuando

~x ∈C1 y tn =−1 cuando ~x ∈C2. En particular, note que el procedimiento de aprendizaje tiende a reducir el error pues ||xjtn||2 > 0 y η > 0 [5]. Asimismo, en un tiempo finito este método de aprendizaje permitirá obtener el vector w~ mas optimo. De hecho, Rosenblatt demostró en 1962 el teorema de convergencia para el perceptrón que afirma que partiendo desde un punto arbitrario el algoritmo de aprendizaje del perceptrón siempre converge y genera un hiperplano de decisión en un tiempo finito [28].

Limitaciones

Los primeros estudios experimentales realizados con el modelo del perceptrón dejaron ver que el perceptrón pod´ıa resolver muchos problemas rapidamente, pero algunos problemas de baja dificultad resultaron siendo imposibles de solucionar con el método [5]. En esencia, el gran problema del perceptrón es su caracter´ıstica mono capa, debido a que redes neuronales con una sola capa solo pueden clasificar un set de datos que sea linealmente separable [29]. En la sección 4.3 se discute acerca de redes neuronales multicapa como elMultilayer Perceptron que surge con el animo de solucionar problemas de mayor complejidad donde el set de datos no sea separable linealmente.

4.3. Redes Multicapa - MultiLayer Perceptr´

on

Definici´on

El multilayer Perceptrón(MLP) es una estructura de red neuronalfeed foward que contiene una serie de capas ocultas de neuronas entre la capa de entrada y la capa de salida. Las principales caracter´ısticas del MLP es que cada una de sus neuronas incluyen una función de activación no lineal que es diferenciable y que la red neuronal presenta un alto grado de

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conectividad entre sus neuronas[3]. La estructura de un MLP se muestra en la figura 4.8 donde se tiene una red neuronal con dos capas ocultas y tres se˜nales de salida. Tal como se observa en la figura, la red se encuentra totalmente conectada y las se˜nales fluyen de izquierda a derecha.

Figura 4.8: Arquitectura gr´afica de un perceptr´on multicapa con dos capas ocultas. [3]

Ahora bien, si analizamos en detalle el MLP es posible observar que existen dos tipos de señales en la red: señales de estimulo y señales de error[3]. Las señales de est´ımulo corresponde al conjunto de señales de entrada que recibe una neurona para luego determinar su activación y su propagación es hacia adelante. Por otro lado, las señales de error se originan en la neurona de salida y se propaga hacia atras en la red, tal como se muestra en la figura 4.9.

Dentro del MLP las capas ocultas se desempe˜nan como detectores de propiedades. Es decir, que durante el proceso de aprendizaje las capas ocultas se encargan de descubrir aque-llos rasgos caracter´ısticos del set de datos que permiten clasificar la muestra en varias clases. Como resultado, en cada una de las neuronas ocultas se llevan a cabo dos c´alculos[3]:

1. El c´alculo de la salida de la neurona que es expresado en t´erminos de las funciones no lineales sobre las entradas a esa neurona y sus respectivos pesos.

2. El c´alculo del gradiente asociado al error con respecto a los pesos relacionados a esa neurona oculta.

El MLP es un aproximador universal con un gran desempeño que surge de la no lineali-dad en sus nodos. De hecho, ha sido demostrado matemáticamente que un MLP con 3 capas usando funciones de activación sigmoide puede aproximar cualquier función cont´ınua multi-variable a cualquier nivel de precisión [30]. Adicionalmente, la convergencia en el error para el MLP es independiente de la dimensionalidad de los datos de entrada por lo que el algoritmo no sufre de problemas de convergencia en el error al aumentar la muestra de entrenamiento, tal problema es conocido como el curso de la dimensionalidad y es una de las ventajas del MLP[4]. Es importante resaltar que el hecho de que el MLP incluya funciones de activación no lineales; que contenga capas “ocultas” y que esté completamente interconectado son la premisa que mejora el rendimiento de la red neuronal pero también es el responsable de las deficiencias en el entendimiento real del comportamiento de la red neuronal [3].

(41)

4.3. REDES MULTICAPA - MULTILAYER PERCEPTR ´ON 29

Figura 4.9: Figura que muestra el flujo de señales dentro de la red neuronal. Propagación hacia adelante de la señal de entrada y propagación hacia atrás de los errores. [3]

T´ecnicas de Aprendizaje

Algoritmo de aprendizaje Back Propagation

El método de aprendizaje Backpropagation es un método que utiliza la búsqueda de gradiente para minimizar la función de costo, esta función de costo corresponde al error cuadrático medio entre el resultado deseado y el valor computado para la neurona de salida en la iteración actual [4]. El algoritmo de aprendizaje realiza constantemente una comparación entre la el valor de salida de la red neuronal y el valor objetivo conocido para ese set de datos, de tal modo que calcula un error asociado a la diferencia entre estos valores. Este error se propaga hacia atrás en la red neuronal y se establece un ciclo de control en el cual los pesos son ajustados mediante un algoritmo de descenso de gradiente. El método de aprendizaje es c´ıclico y pueden distinguirse las siguientes etapas para todo vector de datos de entrada en la muestra de entrenamiento:

1. Inicializaci´on

Asumiendo que no hay información inicial disponible, el algoritmo de entrenamiento inicia obteniendo los pesos iniciales entre neuronas de una distribución uniforme de media cero y cuya varianza asegura que la desviación estándar de los campos locales inducidos para la primera iteración se encuentre en la frontera de transición de la función sigmoide. Cuando hay información inicial de los pesos, el entrenamiento de la red neuronal inicia presentando una muestra de prueba al circuito neuronal. Tal muestra de datos de prueba, busca inicializar y verificar los pesos - conexiones- entre las neuronas de la primera iteracion.

2. Computo hacia adelante

En esta etapa, se toma un set de de datosx(~n), ~d(n)dondex(~n) es el vector de entrada a la red neuronal yd(~n) es el vector que contiene los valores deseados para ese vector de entrada en la neuronas de salida de la red neuronal. En esta parte del proceso lo

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que se busca es calcular los campos locales inducidos en cada neurona, es decir, para la neurona j in la capa l y el patr´on de ejemplo n ∈ N , con N el set de datos de entrenamiento, su campo inducido sera:

v_jl(n) =X i

w_ji(l)(n)y(l_i−1)(n) (4.15)

Dondey_i(l−1)(n) es la se˜nal de salida de la neurona ien la capa previa a esa neurona y

w_ji(l) es el peso asociado a la sinapsis de la neuronaj en la capal que se alimenta de la neuronaien la capal−1. Es importante notar que el indicei= 0 corresponde al bias para cada una de las capas. De esta manera, si consideramos una funci´on sigmoide de la forma:

g(x) = 1

1 +e−ax o g(x) =atanh(bx) con a, b >0 (4.16) La se˜nal de salida para la neurona j en la capal ser´a:

y(l)_l =gj(vj(n)) (4.17)

En particular, si la neuronaj est´a en la primera capa oculta y(0)_l =xj(n)). Pero si la neurona esta en la capa de salida se tendr´a:

y_l(L) =oj(n) (4.18) ConLla ´ultima capa de la red neuronal. Con todo esto es posible calcular el error para el j-´esimo elemento del set de datos de entrenamiento:

ej(n) =dj(n)−oj(n) (4.19) En el cualdj(n) es el j-´esimo elemento del valor objetivo para el patr´on de entrada de entrenamiento.

3. C´omputo hacia atr´as

Con el cálculo de los errores propagados hacia adelante(señales de error) ya es posi-ble comenzar el flujo de información hacia atrás en la red neuronal para calcular los gradientes locales recursivamente. Este proceso recursivo permite actualizar los pesos acorde con la regla del descenso de gradiente. En este sentido, los gradientes locales serán:

δ(l)_j (n) =   

 

e(L)_j (n)g_j0 v_j(L)(n), para neurona j en la capa de salida L

g_j0 v(L)_j (n) P_kδ_j(l+1)(n)w(l+1)_j (n), para neurona j en la capa oculta l (4.20)