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Soluciones clásicas a teorías de Yang-Mills SU (2)

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Academic year: 2020

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(1)Soluciones Clásicas a Teorı́as de Yang - Mills en SU(2) Ricardo Morales Betancourt. Asesor: Jose Marı́a Rolando Roldán, Ph.D.. Departamento de Fı́sica Universidad de los Andes Bogotá, Colombia Enero 16 de 2006.

(2) Índice general 1. Teorı́as Gauge 1.1. Algunas Generalidades . . . . . . . . . . . . . 1.2. El caso Electromagnético . . . . . . . . . . . 1.2.1. Un vistazo a QED . . . . . . . . . . . 1.3. Ecuaciones de Movimiento . . . . . . . . . . . 1.3.1. Teorı́a Pura SU(2) . . . . . . . . . . . 1.3.2. Teorı́a SU(2) con un triplete Higgs . . 1.4. Algunos resultados técnicos . . . . . . . . . . 1.4.1. Correspondencia de Julia - Zee . . . . 1.4.2. Campos Autoduales . . . . . . . . . . 1.4.3. Condición de Bogomolny . . . . . . . 1.5. Ruptura Espontánea de Simetrı́a . . . . . . . 1.5.1. Mecanismos de ruptura de simetrı́a . . 1.5.2. Ruptura de Simetrı́as Continuas (Bosones Goldstone) . . . . . . . . . . 1.5.3. Bosones Goldstone en el caso General 1.5.4. Ruptura de Simetrı́a en Teorı́a Clásica 1.5.5. Campos en infinito y topologı́a . . . . 1.6. Potenciales Gauge como formas de Conexión. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 4 4 7 11 13 13 15 17 17 18 19 20 20. . . . . . . . . . . . . . . de Campos . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 22 23 24 25 25. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 2. Soluciones Estáticas 2.1. Solución de Ikeda - Miyachi . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Solución de Wu - Yang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Solución de las ecuaciones de ’t Hooft - Polyakov ficadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Solución de Wu - Yang para SU(2) + Higgs . . . . . . . 2.4. Monopolo de ’t Hooft - Polyakov . . . . . . . . . . . . . 2.5. Dyon de Julia - Zee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Solución tipo Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Dyon de Singleton . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Energı́a de las Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1. Densidad de Energı́a . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. . . . . . . . . . . Simpli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27 27 28 32 34 37 39 41 44 45 45.

(3) 3. Otras Soluciones 3.1. Una Solución Anular . . . . . . . . . . . . . 3.2. Solución tipo Kerr . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Solución de Schwarzchild (Revisada) 3.3. Sphalerons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Instantones . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 4. Comentarios Finales. 48 48 50 54 55 57 58. A. Teorı́a Clásica de Campos 60 A.1. Ecuaciones de Euler - Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 A.2. Algunos Lagrangianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 B. Variedades y Grupos Continuos B.1. Espacios tangente y Espacio cotangente . . . . . . . . B.1.1. Mapeos de Variedades . . . . . . . . . . . . . . B.1.2. Flujos y Derivadas de Lie . . . . . . . . . . . . B.2. Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3. Variedades Fibradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3.1. Formas de Conexión sobre un fibrado principal. 2. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 64 65 66 67 68 69 70.

(4) Resumen Este trabajo es una revisión sobre algunos de los resultados más importantes en teorı́as clásicas de Yang - Mills cuando el grupo gauge es SU(2). Se espera que un lector que no esté familiairizado con el tema encuentre en este trabajo una introducción de un nivel adecuado que le permita ponerse en contacto con la bibliografı́a disponible sobre el tema. También se exploran en detalle numerosas soluciones explı́citas a las ecuaciones de campo de diferentes teorı́as, explicando como son derivadas las ecuaciones involucradas y dando una interpretación fı́sica de ellas cuando es posible. El tema se presenta de manera que el lector tenga presente el fondo matemático en el que pueden enmarcarse estas teorı́as, y se proporciona una guı́a, que por su brevedad es obligatoriamente morosa, sobre varios conceptos matemáticos y definiciones indispensables en el estudio del tema..

(5) Introducción El hombre ha buscado siempre un principio sencillo que explique los fenómenos que puede observar. La consecuente búsqueda de una teorı́a unificada del mundo fı́sico ha sido una meta de la filosofı́a natural desde los primeros tiempos. En el desarrollo de tal búsqueda, la simetrı́a ha desempeñado un papel preponderante, además, la posibilidad creciente de observar procesos antes inimaginables y de una complejidad cada vez mayor ha hecho que la búsqueda de ese principio fundamental deba hacerse de una forma más abstracta y sutil. Es fácil encontrar ejemplos históricos de esa progresiva abstracción que permite describir el comportamiento de un sistema basado en una cierta simetrı́a del mismo. Los griegos buscaron ese principio fundamenteal en la simetrı́a perfecta de la esfera y naturalmente concebı́an el universo basado en dicha forma geométrica. Varios siglos después, Kepler pretendı́a explicar el espaciamiento de las órbitas de los seis planetas conocidos (este hecho ya era conocido por Copérnico), circunscribiendo de forma anidada cada uno de los cinco sólidos pitagóricos en las esferas celestes de los planetas. Pero para su propia decepción, Kepler encontró que la única forma de conciliar sus cálculos con las observaciones era postulando que los planetas seguı́an trayectorias elı́pticas y no circulares, destruyendo de paso la validez de su Misterio Cósmico. Serı́a necesario buscar un principio menos evidente, una simetrı́a no tan elemental para poder describir de forma sencilla el movimiento de los astros en el cielo. Tan anhelado principio fue encontrado por Newton, quien lo postuló en su famosa Ley Universal de la Gravitación. Sin embargo, la simetrı́a como principio fundamental en la fı́sica, expresado a través del Principio Gauge, tendrı́a aún que recorrer durante todo el siglo XX un largo y tortuoso camino para establecerse como una teorı́a prometedora y bien fundamentada. Este proceso ha tenido frutos importantes, como el éxito de la Electrodinámica Cuántica (QED) y de posteriores generalizaciones de dicha teorı́a. El hecho de que el electromagnerismo presentara la conocida libertad gauge fue inicialmente entendido como una simple simetrı́a de la teorı́a, de gran util1.

(6) idad en la solución de problemas pues no eran únicos los potenciales que describı́an los campos. Weyl serı́a el primero en proponer que tal invariancia fuera elevada del nivel de simetrı́a al de principio fundamental [5, pág 5]. Este nuevo enfoque fue indispensable para posteriores desarrollos en el tema, ya que implicaba entender los fenómenos electromagnéticos como una consecuencia de la invariancia de la densidad lagrangiana del sistema bajo un cierto grupo (Abeliano) de transformaciones. El siguiente paso en el desarrollo de teorı́as gauge fue la extensión a grupos no Abelianos, es decir, exigir que una cierta teorı́a permaneciese sin cambio bajo la acción de un grupo no conmutativo de transformaciones. Dicha extensión fue llevada a cabo por C. N. Yang y R. Mills en 1954. Originalmente, estos autores explicaron con su nueva teorı́a las interacciones de Isospin entre nucleones utilizando el grupo más simple posible, SU(2). Este fue un gran avance que indicó el camino para una futura generalización a grupos más grandes para explicar de la misma forma la interacción débil (WI) y la fuerte (SI). Varios aspectos de ambas interacciones (WI y SI) oscurecı́an cualquier intento por describirlas bajo el principio gauge, entre otras cosas, la no linealidad de las interacciones nucleares y el carácter de corto alcance de ambas, que implicaban la presencia de bosones masivos, imposibles de describir en principio por las teorı́as de Yang Mills que daban lugar únicamente a bosones sin masa. Para describir exitosamente WI y SI dentro de esa perspectiva fue necesario no solo la introducción de grupos gauge no Abelianos sino también de otros conceptos igualmente abstractos como el rompimiento espontáneo de simetrı́a, la libertad asintótica, entre otros. Es decir, fue necesario postular y explicar de forma consistente el carácter gauge de las teorı́as pues se veı́a oscurecido por la fenomenologı́a de bajas energı́as. El éxito de los modelos gauge (Isospin, Weinberg - Salam, el modelo estandar, y otros) se basa en la consistente comprobación experimental de sus predicciones, entre las cuales, la más destacada es la comprobación de la existencia de los bosones masivos de la interacción débil. Tras este complicado nacimiento y desarrollo de la teorı́a, esta ha logrado hacerse un lugar de privilegio en la fı́sica teórica actual, siendo tal vez la rama más importante de la teorı́a cuántica de campos. Este trabajo, se ha pensado como una primera aproximación a la teorı́a de campos gauge locales, presentándose un tratamiento clásico de las ecuaciones involucradas y tratando de dar una interpretación adecuada a los resultados obtenidos. Puesto que este tema está lejos del nivel alcanzado en el pregrado, en este documento no se discute en ningún momento la cuantización de los campos involucrados. Las ideas se presentan siguiendo el desarrollo cronológico de la teorı́a, pre2.

(7) sentando en los apéndices temas que pueden o no ser ya familiares para el lector, como lo básico en teorı́a clásica de campos y algunos resultados indispensables sobre las matemáticas concernientes a grupos continuos. Sin embargo, la exposición del tema no será enteramente cronológica, pues gran parte de la motivación de este trabajo fue estudiar estas teorı́as desde un contexto geométrico, lo que permite ver alguna relación con otras teorı́as clásicas como la Relatividad General. La interpretación geométrica de los campos de Yang - Mills era completamente desconocida por los autores en el momento en el que publicaron sus resultados. Por lo tanto, se quiere presentar el tema desde un enfoque geométrico moderno, ya que esta manera de encarar las teorı́as de Yang - Mills genera puentes más naturales con otras teorı́as. Entonces, la presentación del electromagnetismo como una teorı́a gauge inmersa en este enfoque requiere un aparato matemático superior al usualmente empleado, que facilita la subsecuente generalizaciı́on a grupos no Abelianos. Finalmente, se espera que este trabajo pueda ser de gran utilidad para que un estudiante al final de su educación de pregrado se familiarice con una rama importante de la Fı́sica teórica actual, pues se recopilan trabajos de numerosos autores y se presentan en detalle los cálculos involucrados.. 3.

(8) Capı́tulo 1. Teorı́as Gauge La geometrı́a ha sido siempre central en el desarrollo de la fı́sica. Sin embargo, hasta la aparición de la Relatividad General (RG), en la que se mostró la gravedad como la curvatura geométrica de una variedad cuatro dimensional, el papel de la geometrı́a habı́a sido pasivo. El propósito de este capı́tulo es introducir el concepto de teorı́a gauge resaltando su aspecto geométrico, indudablemente menos intuitivo que aquel presente en RG, pues este no es de carácter métrico, y las variedades tratadas representan espacios internos y no el espaciotiempo mismo como en el caso de la mencionada teorı́a. Primero se mencionan algunas generalidades de las teorı́as gauge, introduciendo después el electromagnetismo como una de ellas. En este capı́tulo se fijan también las convenciones a usarse en el resto del documento y se derivan algunos resultados de utilidad en capı́tulos siguientes.. 1.1.. Algunas Generalidades. La idea básica de la simetrı́a gauge es que si un sistema fı́sico es invariante respecto a algún grupo global (independiente del espaciotiempo) de transformaciones continuas, denotado G, entonces, el sistema fı́sico mencionado permanecerá invariante cuando el grupo se hace local (dependiente del espaciotiempo)1 siempre y cuando, simultáneamente, las derivadas ∂µ sean cambiadas a derivadas covariantes Dµ . La derivada covariante toma la forma Dµ = ∂µ + Aµ (x), donde los Aµ son campos vectoriales que pertenecen al álgebra de Lie G de G, y que transforman de forma tal que Dµ transforma covariantemente con respecto al grupo local2 . Es decir, la demanda de que la teorı́a permanezca invariante bajo una simetrı́a local, obliga a la introducción de los campos Aµ y con ellos la introducción de 1 Es. decir, cuando G → G(xµ ), donde xµ son las coordenadas espacio temporales. [5] p.4. 2 Ref. 4.

(9) una cierta curvatura. En las siguientes lı́neas se trata de poner esta discusión en un contexto matemático de la manera más clara posible, definiendo de forma estricta lo que se entenderá por transformación gauge y después probando algunos resultados importantes: Sea G un grupo de Lie. Los generadores antihermı́ticos {Tα } satisfacen las relaciones de conmutación: [Tα , Tβ ] = fαβγ Tγ. (1.1). Donde fαβγ son las constantes de estructura de G. Sea g ∈ G un elemento cercano a la identidad. Entonces puede escribirse g = e−θ. α. Tα. (1.2). Llamaremos Aµ el campo gauge de Yang - Mills. Aµ toma su valor en el álgebra de Lie de G: Aµ = Aµα Tα. (1.3). Considérse un campo ψ. Llamaremos transformación gauge a la acción combinada: ½ ψ → ψ 0 = gψ (1.4) Aµ → A0µ = gAµ g −1 + g∂µ g −1 Una forma equivalente de hacer esta definición es de la siguiente forma: ½ ψ → ψ 0 = gψ (1.5) ∂µ → Dµ = ∂µ + Aµ Al operador Dµ se le llama derivada covariante. El Tensor de Campo de Yang - Mills, se define entonces como: Fµν. ≡ =. Dµ Aν − Dν Aµ ∂µ Aν − ∂ν Aµ + [Aµ , Aν ]. (1.6). Claramente F también toma su valor en el álgebra de Lie de G (Fµν = Fµν a Ta ), de forma que si se quiere reescribir (1.6) en términos de sus componentes, es útil notar que [Aµ , Aν ] =. [Aµβ Tβ , Aν γ Tγ ]. =. Aµβ Aν γ [Tβ , Tγ ]. =. Aµβ Aν γ fβγα Tα. (1.7). De manera que (1.6) equivale a escribir: F aµν = ∂µ Aν a − ∂ν Aµa + fαβa Aµα Aν β 5. (1.8).

(10) El lector notará que se ha usado un ı́ndice latino, a, en la expresión anterior. Esto se hace para diferenciar este ı́ndice de los ı́ndices espaciotemporales. Es deseable ver que propiedad de transformación obedece el campo Fµν , bajo la acción del grupo: F 0 µν = ∂µ A0 ν − ∂ν A0 µ + [A0 µ , A0 ν ]. (1.9). Calculando el primer término se obtiene: ∂µ A0 ν. = =. ∂µ {gAν g −1 + g∂ν g −1 } g∂µ Aν g −1 + (gAν ∂µ g −1 + ∂µ gAν g −1 ) + g∂µ ∂ν g −1 + ∂µ g∂ν g −1 (1.10). En la expresión anterior debe entenderse que las derivadas ∂µ sólo actúan sobre el elemento inmediatamente a su derecha, excepto el caso en el que este elemento es otra derivada parcial, donde naturalmente debe entenderse que es la segunda derivada del objeto adyacente al segundo sı́mbolo de derivada. El hecho de que gg −1 = 1 permite el uso de dos identidades útiles: (∂µ g)g −1 = −g∂µ g −1 y (∂µ g −1 )g = −g −1 ∂µ g. Con esto en mente es fácil reescribir el término entre paréntesis de la expresión (1.10): ∂µ gAν g −1 + gAν ∂µ g −1. = (∂µ g)g −1 gAν g −1 + gAν g −1 g∂µ g −1 = gAν g −1 g∂µ g −1 − g∂µ g −1 gAν g −1 = [gAν g −1 , g∂µ g −1 ] (1.11). Intercambiando los subı́ndices e invirtiendo los signos de (1.10) se obtiene la expresión para las derivadas antisimétricas que aparecen en (1.9). ∂µ g∂ν g −1 − ∂ν g∂µ g −1. = −g(∂µ g −1 )g∂ν g −1 + g(∂ν g −1 )g∂µ g −1 = −[g∂µ g −1 , g∂ν g −1 ] (1.12). De forma que puede escribirse lo siguiente: ∂µ A0 ν − ∂ν A0 µ. = +. g(∂µ Aν − ∂ν Aµ )g −1 − [g∂µ g −1 , g∂ν g −1 ] + [gAν g −1 , g∂µ g −1 ] − [gAµ g −1 , g∂ν g −1 ] (1.13). Estudiando la expresión para el conmutador de (1.9), es útil expandir este operador en sus componentes: [A0 µ , A0 ν ] =. [gAµ g −1 + g∂µ g −1 , gAν g −1 + g∂ν g −1 ]. = [gAµ g −1 , gAν g −1 ] + [g∂µ g −1 , g∂ν g −1 ] + [gAµ g −1 , g∂ν g −1 ] − [gAν g −1 , g∂µ g −1 ] 6. (1.14).

(11) Claramente, los tres últimos términos de (1.14) se cancelan con términos correspondientes de (1.13) al sumar ambas expresiones, lo que permite entonces escribir: ∂µ A0 ν − ∂ν A0 µ = g[Aµ , Aν ]g −1 + g(∂µ Aν − ∂ν Aµ )g −1. (1.15). Es decir que: F 0 µν = gFµν g −1. (1.16). Es importante también conocer las propiedades de transformación de la derivada covariante definida en las lı́neas anteriores: Dµ0 ψ 0. =. ¡ ¢ ∂µ + gAµ g −1 + g∂µ g −1 gψ. =. g∂µ ψ + (∂µ g)ψ + gAµ ψ + g∂µ g −1 (gψ). = =. g(∂µ + Aµ )ψ + (∂µ g)ψ − (∂µ g)ψ g(Dµ ψ). (1.17). Los resultados desarrollados hasta este punto nos permiten conocer algunas caracterı́sticas importantes de las teorı́as gauge no Abelianas: La ecuación (1.8) muestra que el tensor de campo de Yang - Mills es una función no lineal de los poteciales y (1.16) resalta el hecho de que los campos de Yang - Mills F no son invariantes gauge. Estos dos resultados contrastan notablemente respecto al electromagnetismo.. 1.2.. El caso Electromagnético. Para tener una mejor perspectiva de lo discutido en la sección (1.1) se muestra como el electromagnetismo puede ser entendido completamente como una teorı́a gauge bajo la acción del grupo Abeliano U(1), es decir, la exigencia de la invariancia respecto a una fase local permite introducir de una forma natural el potencial Aµ como un campo gauge. Se establecen primero las convenciones a ser usadas: letras griegas son usadas para denotar componentes espacio temporales, y estas toman valores entre 0 y 3, siendo 0 la componente temporal; los ı́ndices latinos tales como i, j, k . . . denotan componentes puramente espaciales; por otra parte letras latinas como a, b, c . . . se reservan como ı́ndices de grupo. Se trabajará únicamente en espacio tiempo plano, usándose la métrica de Minkowski3 ηµν con signatura diag(− + ++). Además, por comodidad se usa el sistema de unidades naturales h̄ = c = k = 1. 3 Excepto. cuando se haga explı́cito que se trabaja en espacio Euclı́deo, con x0 = it. 7.

(12) Para conseguir los objetivos de esta sección es útil primero reescribir en una notación más adecuada las ecuaciones de Maxwell que rigen el comportamiento de los campos electromagnéticos. Primero se escribe de forma que sus propiedades de transformación bajo el grupo de Lorentz sean manifiestas, y después, con ayuda del cálculo exterior, esta teorı́a se expresa de forma independiente de las coordenadas. La forma usual de las ecuaciones de Maxwell es la siguiente:  ~ =ρ  ∇·E    ~ + ∂ B~ = 0 ∇×E ∂t (1.18) ~ =0  ∇·B    ~ − ∂ E~ = 0 ∇×B ∂t Como es bien sabido, el electromagnetismo se expresa de forma más natural cuando se escribe covariantemenete, es decir, de manera que todas las cantidades definidas transformen tensorialmente bajo la acción del grupo de Lorentz. Para ello, se hacen las definiciones usuales: ~ Aµ ≡ (−φ, A). (1.19). Con la ayuda de este potencial Aµ puede definirse el tensor de campo electromagnético, conocido también como tensor de Faraday:  Fµν ≡. ∂µ Aν − ∂ν Aµ =. 0  Ex   Ey Ez. −Ex 0 −Bz By. −Ey Bz 0 −Bx.  −Ez −By   Bx  0. (1.20). De manera que la bien conocida invariancia de la teorı́a de Maxwell bajo una transformación del tipo: ½ φ → φ − ∂t λ (1.21) ~→A ~ + ∇λ A Es completamente manifiesta. La ecuación (1.21) se reduce simplemente a Aµ → Aµ + ∂µ λ, y por su antisimetrı́a la invariancia de Fµν es inmediata, pues las derivadas parciales conmutan: 0 Fµν = Fµν + ∂µ ∂ν λ − ∂ν ∂µ λ = Fµν. Las ecuaciones (1.18) pueden reescribirse enteramente en términos de Fµν y de la 4 corriente j µ ≡ (ρ, ~j), de la siguiente manera: ∂[µ Fνσ] = 0 ∂ν F µν = j µ. 8. (1.22).

(13) Donde el sı́mboblo [. . .] denota la operación de antisimetrización. Mostraremos rápidamente como en efecto las expresiones (1.22) son equivalentes a las ecuaciones de Maxwell. Es fácil ver que la primera ecuación (1.22) puede dividirse en dos únicos casos no triviales: ∂0 Fij + ∂i Fj0 + ∂j F0i = 0 ∂k Fij + ∂i Fjk + ∂j Fki = 0. (1.23a) (1.23b). Sin embargo, sabiendo que F0i = −Ei y que Fij = ²ijk Bk puede reescribirse (1.23a) como: ²ijk ∂0 Bk + ∂i Ej − ∂j Ei. =. ²ijk ∂0 Bk + (δik δjl − δjk δil )∂k El. = =. ²ijk ∂0 Bk + ²ijk ²nlk ∂n El 0. (1.24). Por lo tanto: ~ +∇×E ~ =0 ∂0 Bk + ²ijk ∂i Ej = 0 ⇔ ∂t B. (1.25). De la misma forma, la ecuación (1.23b) puede ser reescrita, notando que i 6= j 6= k: ²ijl ∂k Bl + ²jkm ∂i Bm + ²kin ∂j Bk = 0. (1.26). Pero la condición mencionada implica l = k, m = i, n = j de manera que (1.26) equivale a escribir: ~ =0 ∂k Bk + ∂i Bi + ∂j Bj = ∂ i Bi = 0 ⇔ ∇ · B. (1.27). Haciendo un análisis similar para la segunda ecuación (1.22), estas de nuevo pueden dividirse en dos casos diferentes:. ∂k F. ik. ∂i F 0i = j 0. (1.28a). i0. (1.28b). + ∂0 F. =j. i. Remplazando adecuadamente las definiciones hechas previamente se encuentra: ∂i E i = ρ ²ikl ∂k Bl − ∂0 E i = j i. ~ =ρ ⇔ ∇·E ~ − ∂t E ~ = ~j ⇔ ∇×B. (1.29). De forma que con (1.25), (1.27) y (1.29) se ha mostrado la equivalencia entre las ecuaciones (1.22) y las ecuaciones de Maxwell. Con la ayuda del cálculo exterior (Introducido en los apéndices) el electromagnetismo puede definirse de manera independiente de las coordenadas. 9.

(14) Existen dos formas equivalentes para hacerlo. La primera de ellas es notando que el potencial Aµ puede entenderse como las componentes de la 1-forma à ası́: à = Aµ dxµ. (1.30). De manera que las componentes de la 2-forma F = dà serán exactamente las componentes del tensor de Faraday. En este contexto se le llama 2-forma de Faraday : (dÃ)µν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ. (1.31). Lo interesante de esta notación es que las ecuaciones homogéneas de Maxwell aprecen naturalmente como una propiedad geométrica, pues por la propiedad de la derivada exterior: (1.32) dF̃ = d(dÃ) ≡ 0 −→ (dF̃ )µνλ = 3∂[µ Fνλ] = 0 Además, la invariancia gauge se expresa simplemente como la adición del gradiente df de una función arbitraria. Es decir, à −→ Ã0 = à + df. (1.33). Ahora, suponga que en el marco de la ecuación (1.4) elegimos un elemento µ local del grupo U(1) g = e−if (x ) , de manera que: (dg)g −1 = (de−if )eif = −idf. (1.34). Comparando las ecuaciones, podemos asociar el potencial de Yang - Mills Aµ → −iAµ , pues: A0µ. = = = =. gAµ g −1 − (∂µ g)g −1 Aµ + i∂µ f −iAµ + i∂µ f −iA0µ. (1.35). A0µ. Es decir = Aµ + ∂µ f , que es exactamente la transformación gauge del electromagnetismo. Con esto se ha mostrado que el potencial vector del electromagnetismo está directamente asociado con el potencial de Yang - Mills, pues sigue la misma regla de transformación, cuando el grupo gauge es fijado como U(1). En resumen se puede escribir: Aµ = iAµ Fµν = iFµν (1.36) Dµ = ∂µ − iAµ Nótese además que la derivada covariante definida en términos de Aµ no es otra cosa que la condición de acoplamiento minimal de QED. 10.

(15) 1.2.1.. Un vistazo a QED. Considérese ahora una teorı́a con un campo de Dirac ψ. El lagrangiano libre de tal teorı́a es L0 = ψ̄(iγ µ ∂µ + m)ψ. (1.37). Con γ µ las matrices de Dirac. Es evidente que este lagrangiano es invariante bajo una transformación global del tipo ψ → eiα ψ, sin embargo la presencia de la derivada hace que esa invariancia no exista mas cuando la fase se hace local α = α(xµ ). De hecho, L00. = =. ψ̄ 0 (iγ µ ∂µ + m)ψ̄ 0 ψ̄ {iγ µ (∂µ − i∂µ α) + m} ψ. (1.38). Si se compara este lagrangiano con el de la teorı́a cuando se acopla un campo Aµ con ψ, es decir: L = ψ̄(iγ µ (∂µ − ieAµ ) + m)ψ̄. (1.39). Comparando (1.38) y (1.39) puede pensarse que la presencia del campo gauge Aµ puede preservar la invariancia de la teorı́a frente a la fase local, si se exige que este campo transforme como: 1 A0µ = Aµ − ∂µ α e Es decir, si se hace la transformación simultánea: ½ µ ψ → e−iα(x ) ψ Aµ → Aµ − 1e ∂µ α. (1.40). (1.41). La teorı́a (1.39) permanecerá invariante bajo la acción de un elemento del grupo local U(1). Es útil notar, que la transformación (1.41) no es otra cosa que una transformación gauge como la definida en (1.4), y de hecho, dado que el campo Aµ de esta transformación satisface exactamente las mismas propiedades que el 4 potencial electromagnético, es natural la asociación que se hace de este campo con el fotón. Simplemente por completitud se presenta el lagrangiano completo de QED, en el que se acoplan los campos de Dirac (que describen leptones cargados) con el bosón gauge Aµ : 1 L = ψ̄(iγ µ (∂µ − ieAµ ) + m)ψ̄ − Fµν F µν 4 Finalmente, puede decirse que como en este trabajo se estudian unicamente los bosones gauge que median las interacciones, en todas las teorı́as bajo estudio 11.

(16) se ignoró la presencia de campos fermiónicos, concentrándose solamente el sector bosónico de las mismas. Esto es equivalente a despreciar los campos de Dirac en QED.. 12.

(17) 1.3.. Ecuaciones de Movimiento. En esta sección se calculan detalladamente las ecuaciones de campo para diferentes Lagrangianos relevantes en el estudio de teorı́as gauge no Abelianas, particularizando la discusión al grupo gauge SU(2)4 . No se da una interpretación fı́sica de las ecuaciones derivadas ni de los Lagrangianos involucrados, sino que se hace especial énfasis en el desarrollo de las ecuaciones, que serán usadas de forma extensiva en el resto del trabajo. Se usa Gaµν para denotar el tensor de a campo de Yang - Mills, en lugar del Fµν de la sección (1.1), reservándose la letra F para el tensor de Faraday. De forma similar se remplaza Aµ por Wµ .. 1.3.1.. Teorı́a Pura SU(2). La teorı́a pura SU(2) está caracterizada por un lagrangiano libre, de la forma:. con. 1 L = − Gaµν Gµν a 4. (1.42). Gaµν = ∂µ Wνa − ∂ν Wµa + e²abc Wµb Wνc. (1.43). Las correspondientes ecuaciones de campo, están dadas entonces por las Ecuaciones de Euler - Lagrange, tal como se explica en el apéndice A ∂ν. ∂L ∂L = ∂(∂ν Wµa ) ∂Wµa. (1.44). Calculando primero el término izquierdo de la ecuación (1.42). Para ello es necesario reescribir L con los ı́ndices abajo y renombrarlos adecuadamente: Gaµν Gµν a. = Gbαβ Gαβ b = η ασ η βρ Gbαβ Gbσρ. (1.45). Usando la ecuación anterior, puede entonces verse que : ∂ Gb Gαβ ∂(∂ν Wµa ) αβ b. =. η ασ η βρ [Gbαβ. ∂Gbαβ ∂Gbσρ b + G ] σρ ∂(∂ν Wµa ) ∂(∂ν Wµa ). = 2η ασ η βρ [Gbαβ = 2Gbσρ. ∂Gbσρ ] ∂(∂ν Wµa ). ∂Gbσρ ∂(∂ν Wµa ). (1.46). 4 En SU(2) los generadores infinitesimales son T = σ /2i, con σ las matrices de Pauli. a a a Esta elección hace que las constantes de estructura sean fabc = ²abc. 13.

(18) Donde la segunda lı́nea de (1.46) se debe a la simetrı́a de ηµν . Teniendo en cuenta estos resultados puede calcularse finalmente el término deseado de (1.44): ∂L ∂(∂ν Wµa ). = = = =. −. αβ 1 ∂(Gbαβ Gb ) 4 ∂(∂ν Wµa ). ∂(Gbσρ ) 1 − Gσρ 2 b ∂(∂ν Wµa ) 1 νµ 1 ν µ a a µ ν µν − Gσρ b [δσ δρ δb − δb δσ δρ ] = − [Ga − Ga ] 2 2 Gµν a. (1.47). En la última lı́nea de la ecuación (1.47) se ha usado la antisimetrı́a de G en sus ı́ndices espaciales. De manera similar para el lado derecho de la ecuación (1.44) se tiene ∂L ∂Wµa. ∂Gdσρ 1 = − Gσρ 2 d ∂Wµa e ∂ = − ²dbc Gσρ W bW c d 2 ∂Wµa σ ρ e b µ c c µ b = − ²dbc Gσρ d [δσ δa Wρ + δρ δa Wσ ] 2 e µσ c b = [²adc Gµρ d Wρ + ²adb Gd Wσ ] 2 c = e²abc Gµν b Wν. (1.48). Una vez más se ha usado la antisimetrı́a del sı́mbolo de Levi - Civitta y del campo de Yang - Mills en los ı́ndices espaciales. Además se han renombrado adecuadamente los ı́ndices. Remplazando ahora los resultados (1.47) y (1.48) en la ecuación (1.44) se llega a las deseadas ecuaciones de campo: µν c ∂ν Gµν a = e²abc Gb Wν. (1.49). Es decir, se ha mostrado que para el lagrangiano libre (1.42) las ecuaciones de movimiento correspondientes son (1.49). Por completitud y para facilitar la referencia reescribiremos el lagrangiano y las ecuaciones de campo correspondientes:   L = − 14 Gaµν Gµν a (1.50)  ν a ∂ Gµν = e²abc Gbµν Wcν. 14.

(19) 1.3.2.. Teorı́a SU(2) con un triplete Higgs. Se deducen ahora las ecuaciones de campo de la teorı́a cuando se introduce un término cinético y potencial para un triplete (una colección de tres campos reales) Higgs φa . Esta teorı́a es de gran interés pues es lo suficientemente general como para obtener otras teorı́as cuando se estudia esta en ciertos lı́mites particulares. Es decir, el deducir las ecuaciones de campo de esta teorı́a detalladamente representa una gran ventaja en el estudio posterior de las soluciones. El lagrangiano correspondiente es entonces: 1 µ 1 L = − Gaµν Gµν a − D φa Dµ φa − U (φ) 4 2 Donde Dµ φa se define como Dµ φa = ∂µ φa + e²abc Wµb φc. (1.51). (1.52). y donde el potencial U (φ), denominado potencial Higgs está dado por la ecuación λ m2 U (φ) = ( − φ2 )2 (1.53) 4 λ Con φ2 ≡ φa φa . El poco usual signo negativo en el término cinético de la expresión (1.51) se debe únicamente a la signatura de la métrica usada. Al haber sido introducido un nuevo campo φa es necesario entonces calcular las nuevas ecuaciones de movimiento correspondientes a dicho campo. Las nuevas ecuaciones serán ∂L ∂L = ∂µ ∂φa ∂(∂µ φa ). (1.54). Sin embargo, las ecuaciones (1.44) son aún válidas. Se calculan primero las modificaciones sufridas por las ecuaciones (1.44) y finalmente se desarrollan las ecuaciones correspondientes a (1.54). Dado que ni el nuevo término cinético ni el potencial dependen en forma alguna en derivadas de los potenciales Wµa , es claro que el término izquierdo de (1.44) permanecerá inalterado. Sin embargo el término derecho de la misma ecuación si sufre algunas modificaciones: ∂L 1 ∂ c = e²abc Gµν (Dµ φa Dµ φa ) b Wν − a ∂Wµ 2 ∂Wµa. (1.55). Usando un procedimiento similar al usado en el cálculo de las ecuaciones de la teorı́a pura, puede encontrarse fácilmente una expresión para el nuevo término. 15.

(20) 1 ∂ (Dµ φa Dµ φa ) = 2 ∂Wµa. η αβ ∂ (Dα φb Dβ φb ) 2 ∂Wµa ∂(Dα φb ) ∂Wµa. =. Dα φb. =. e²dbc (Dα φb ). = =. e(Dα φb )φc ²bdc δαµ δad e(Dµ φb )φc ²bac. ∂(Wαd φc ) ∂Wµa (1.56). Finalmente, introduciendo (1.55) y (1.56) en las ecuaciones de campo se obtienen las deseadas ecuaciones correspondientes a (1.44): ∂ ν Gaµν = e²abc [Gbµν Wcν + (Dµ φb )φc ]. (1.57). De la misma forma pueden derivarse las ecuaciones que corresponden a (1.54) ∂L ∂φa. = = =. 1 ∂ λ ∂ m2 (Dµ φb Dµ φb ) − ( − φ2 ) 2 ∂φa 4 ∂φa λ ∂(Wµc φd ) m2 −e²bcd Dµ φb + λ( − φ2 )φa ∂φa λ m2 − φ2 ) −e(Dµ φb )²bca Wµc + λφa ( λ. −. (1.58). Por otro lado se tiene que: ∂L ∂(∂µ φb ). = = =. 1 ∂ (Dα φb Dβ φb ) 2 ∂(∂µ φa ) ∂(∂α φb ) −Dα φb ∂(∂µ φa ) −Dµ φa −. (1.59). Ahora es fácil ver que remplazando (1.58) y (1.59) en (1.54) se obtiene la restante ecuación de movimiento: ∂µ Dµ φa = e²abc (Dµ φb )Wµc − m2 φa + λφ2 φa. (1.60). Para no perder de vista el resultado, se resume diciendo que de esta ha sido mostrado que para el lagrangiano (1.51) 1 1 µ λ m2 L = − Gaµν Gµν − φ2 )2 a − D φa Dµ φa − ( 4 2 4 λ Corresponden las ecuaciones de movimiento 16. (1.61).

(21)  ν a  ∂ Gµν = e²abc [Gbµν Wcν + (Dµ φb )φc ] . (1.62). ∂ µ Dµ φa = e²abc (Dµ φb )Wµc − m2 φa + λφ2 φa. 1.4.. Algunos resultados técnicos. 1.4.1.. Correspondencia de Julia - Zee. Esta correspondencia fue descubierta por los autores en su estudio de soluciones tipo dyon a teorı́as clásicas de Yang - Mills. Lo interesante de este resultado, es que permite establecer una correspondencia matemática exacta entre problemas completamente diferentes, siendo ası́ posible usar soluciones de una teorı́a en la otra. Considérense los lagrangianos: L1 L2. 1 µ 1 = − Gaµν Gµν a − D φa Dµ φa − U (φ) 4 2 1 a µν λ m2 − W 2 )2 = − Gµν Ga + ( 4 2 λ. (1.63). Ahora suponga que se tiene una solución estática de la teorı́a L1 : W00a = 0. φ0a 6= 0. Wi0a 6= 0. (1.64). Y una solución también estática de la teorı́a L2 : Wµa 6= 0. (1.65). La correspondencia de Julia-Zee puede expresarse de la siguiente forma: Las soluciones (1.64) y (1.65) serán matemáticamente idénticas si se hace la siguiente identificación: ½ W0a = iφ0a (1.66) Wia = Wi0a Esta afirmación puede probarse facilmente mostrando que L1 , L2 y las correpondientes ecuaciones de movimiento son iguales cuando se usa (1.66). Aquı́ se muestran algunas de esas equivalencias: Ga0j. = = =. −∂j W0a + e²abc W0b Wjc £ ¤ −i ∂j φ0a + e²acb Wj0c φ0b −iDj0 φ0a 17. (1.67).

(22) Claramente Gaij = G0a ij y usando el resultado anterior, el término cinético de la teorı́a puede escribirse como: 1 a µν G G 4 µν a. 1 a ij 1 a 0j G G + G0j Ga 4 ij a 4 1 0a 0ij 1 0 0 0j 0 G G + Dj φa D φa 4 ij a 2 1 0a 0µν 1 0µ 0 0 0 G G + D φa Dµ φa 4 µν a 2. = = =. (1.68). 0 0 Donde se usó que G0a 0j = 0 y que para un campo estático D0 φa = 0. Esto demuestra la equivalencia de los términos cinéticos de ambas teorı́as. Un procedimiento similar permite mostrar la equivalencia entre las ecuaciones de movimiento.. 1.4.2.. Campos Autoduales. Es usual estudiar las componentes del tensor de campo de Yang - Mills en términos de unos campos auxiliares, definidos en una forma idéntica a como se acostumbra con los campos eléctrico y magnético en términos de la 2-forma de Faraday. Se definen entonces los campos isoeléctico Eia ≡ −Ga0i e isomagnético Bia ≡ 21 ²ijk Gajk . Se define también un campo dual de Yang - Mills, dado por e a ≡ ∗Ga . Donde Ga es entendido como una 2-forma. En componentes esto es G equivalente a escribir: 1 αβµν a e µν G Gαβ (1.69) a = ² 2 De manera que llamaremos autodual a cualquier campo gauge SU(2) en espacio de Minkowski si satisface la condición: e aµν = ±iGaµν G. (1.70). El factor de i en la definición anterior es inevitable en espacio de Minkowski, pues ∗(∗G) = −G. En términos del campo dual, los campos Eia y Bia se escriben: 1 e ajk Eia = − ²ijk G (1.71) 2 De esta forma, remplazando (1.71) en (1.70) se obtiene la condición de autodualidad: e a0i Bia = −G. Bia = ±Eia. (1.72). e aµν satisface una ecuación En el caso de la teorı́a SU(2) pura, es fácil ver que G de movimiento idéntica a la del campo original. Es decir, cualquier potencial Wµa que lleve a un campo autodual, genera automáticamente una solución a las ecuaciones de movimiento. Más aún, resulta ser que cualquier solución autodual lleva a un tensor de momento energı́a nulo. La prueba de esta última afirmación 18.

(23) puede encontrarse en la sección 2.7, cuando se consideren las caracterı́sticas energéticas de las soluciones estudiadas.. 1.4.3.. Condición de Bogomolny. Esta condición es un análogo a la condición de autodualidad de la teorı́a SU(2) pura cuando se acopla con un campo Higgs, y puede escribirse como: Bia = ±Di φa. (1.73). Lo interesante de esta condición, es que cualquier solución estática que la satisfaga, con W0a = 0, será inmediatamente una solución a las ecuaciones (1.62) en el lı́mite en que el potencial U (φ) se anula. La prueba de esta afirmación es sencilla. Usando la correspondencia de Julia - Zee puede verse que Ga0j = −iDj φa = −Eia , de manera que si un campo es autodual se obtiene: Bia = ±iEia = ±(Di φa ). (1.74). Esta condición puede derivarse teniendo en cuenta que tal exigencia minimiza la energı́a de las soluciones. Considérese la densidad de energı́a de la teorı́a SU(2) + Higgs, con W0a = 0, y U (φ) → 0: µ. Z. E. 1 a µν 1 µ = d x G G + D φa Dµ φa 4 µν a 2 µ ¶ Z 1 a ij 1 i 3 = d x G G + D φa Di φa 4 ij a 2. ¶. 3. (1.75). Este integrando puede reescribirse si se factoriza de forma adecuada. Es útil notar que: 1 a 1 1 k 1 a (G − ²ijk Dk φa )2 = Gaij Gij (1.76) a + D φa Dk φa − Gij ²ijk Dk φa 4 ij 4 2 2 El último término puede escribirse como una divergencia. Para ello debe usarse la relación: ²ijk Gaij Dk φa = ∂ i (²ijk Gajk φa ). (1.77). Y por lo tanto, usando el teorema de Gauss, la integral (1.75) puede reescribirse como: Z E=. 1 i 1 2 d3 x (Gaij Gij a + D φa Di φa ) + 4 2. Z dΩ[r2 r̂i ²ijk Gajk φa ]r=∞. (1.78). Es fácil ver que tal integral se minimiza para un campo que cumpla Gaij = ²ijk Dk φa , que es equivalente a la condición de Bogomolny (1.73). Se puede mostrar que la integral de superficie es proporcional a la carga magnética de la solución si se hace la identificación natural de ²ijk Gaij φa con el campo magnético (Abeliano) Bk . 19.

(24) 1.5.. Ruptura Espontánea de Simetrı́a. En este segmento se introduce el concepto de Ruptura Espontánea de Simetrı́a (SSB) propio de la teorı́a cuántica de campos, y se traza un análogo de ese fenómeno para la teorı́a clásica que nos ocupa. Por esta razón, en ocasiones, pese a presentarse el tema desde un punto de vista clásico, se usa terminologı́a cuántica.. 1.5.1.. Mecanismos de ruptura de simetrı́a. Este tema se presenta de manera entendible mediante el análisis de algunos ejemplos concretos, sin embargo, es posible comentar algunas generalidades de este fenómeno. La ruptura espontánea de simetrı́a aparece en la teorı́a de campos como una simple conjetura, expresable de la siguiente forma: Las leyes de la naturaleza pueden tener simetrı́as que no nos son manifiestas porque el estado de vacı́o no es invariante bajo dichas simetrı́as. Es decir, aunque el lagrangiano de una teorı́a puede ser invariante respecto a algún grupo de simetrı́as, en una teorı́a cuántica de campos perturbativa, en la que los estados se construyen a partir del estado de vacı́o, las propiedades de simetrı́a de tal teorı́a requieren la especificación de las simetrı́as para el estado de vacı́o5 . Existen varias formas de romper la simetrı́a de un sistema. Entre las más conocidas están el modo de Wigner, el de Goldstone y el de Higgs. De hecho, el término SSB, se aplica únicamente para los dos últimos casos. Un término mas adecuado para este fenómeno serı́a el de Simetrı́a oculta, pues en SSB, la simetrı́a original está aún presente, pero la naturaleza sólo la manifiesta de forma indirecta. Como se dijo previamente, el fenómeno de SSB se explica con base en ejemplos. Considere primero una teorı́a clásica que involucre n campos escalares reales φa (a = 1, . . . , n); el lagrangiano de dicha teorı́a será: 1 L = − ∂ µ φa ∂µ φa − U (φ) (1.79) 2 Donde se exige que el potencial U sea alguna función de los campos φ pero no de sus derivadas. Se llama vacı́o al valor de φ que minimiza la energı́a. La densidad de energı́a correspondiente es de la forma: 1 2 1 φ̇ + (∇φ)2 + U (φ) (1.80) 2 2 Claramente, el estado de mı́nima energı́a será uno tal que φ sea una constante (denotada φ0 ), que minimice el valor del potencial, es decir, que U (φ0 ) sea mı́nimo. Evidentemente el valor de φ0 estará determinado por la dinámica E=. 5 Ref. [6] p.248. 20.

(25) detallada del sistema, pues estará dado por la dependencia explı́cita de U en φ. Consideremos ahora un ejemplo sencillo en el que φ es un único campo escalar (n = 1), y el potencial U (φ) tiene la forma: λ 4 µ2 2 φ + φ (1.81) 4 2 Donde el coeficiente λ debe ser un real positivo para asegurar que la energı́a esté acotada por abajo. Es curioso ver que µ2 , a pesar de su nombre, puede tomar valores positivos o negativos, haciendo entonces las veces de un parámetro de orden en una transición de fase. Debe notarse también que el lagrangiano es invariante bajo una transformación de inversión de la forma: U (φ) =. φ → −φ. (1.82). Para el caso µ2 > 0 el potencial tendrá la forma mostrada en la figura siguiente, por lo tanto, φ0 , y la simetrı́a será manifiesta, y µ puede interpretarse directamente como la masa del mesón. La situación cambia considerablemente cuando µ2 < 0. Para este caso, el potencial luce como en la figura siguiente:. U Μ2 < 0. U. Μ2 > 0. Φ -Ν. Ν Φ -Ν. Ν. Esta gráfica muestra el comportamiento del potencial U (φ) para los casos en que µ2 > 0 y µ2 < 0 respectivamente. Y algebráicamente puede escribirse:. U (φ). = =. λ 4 µ2 2 φ − φ 4 2 λ 4 2µ2 2 (φ − φ ) 4 λ. (1.83). Si se define ahora ν 2 ≡ µ2 /λ puede escribirse: U (φ) =. λ 2 λ (φ − ν 2 )2 − ν 4 4 4 21. (1.84).

(26) Es también evidente que la ubicación de los mı́nimos no se ve afectada por la constante aditiva que aparece en la expresión anterior. Siendo su aparición irrelevante puede entonces escribirse: λ 2 (φ − ν 2 )2 (1.85) 4 El nuevo potencial tiene ahora dos mı́nimos (dos estados de vacı́o degenerados), dados por φ0 = ±ν. Dado que el lagrangiano es invariante bajo φ → −φ, los resultados fı́sicos deben ser independientes de la elección del vacı́o. Sin embargo, una vez este es seleccionado, el sistema deja de ser invariante bajo la mencionada simetrı́a. Este representa un caso tı́pico de ruptura de simetrı́a. el lagrangiano es invariante bajo una cierta simetrı́a, el vacı́o no lo es. U (φ) =. Debe notarse además, que para el caso µ2 < 0, el parámetro µ pierde instantáneamente la posibilidad de ser interpretado como una masa. Si ahora se elige φ0 = +ν y definimos el campo fı́sico como φ0 ≡ φ − φ0 , de manera que el vacı́o para este nuevo campo en efecto sea cero se obtendrá que: λ λ 0 ((φ + ν)2 − ν 2 )2 = (φ04 + 4ν 2 φ03 + 4ν 2 φ02 ) (1.86) 4 4 De la expresión anterior, puede decirse que el potencial U ha perdido aparentemente su simetrı́a de reflexión, y que el campo φ0 ha adquirido una masa dada por: U=. m2ν = 2λν 2 = 2µ2. (1.87). A pesar de que este es claramente un ejemplo sencillo, contiene la mayorı́a de las caracterı́sticas de la ruptra espontánea de simetrı́a, que se enumeran a continuación: 1. El valor esperado de vacı́o es diferente de cero. 2. El vacı́o de algún campo es degenerado, y la elección particular del vacı́o es arbitraria. 3. El estado de vacı́o elegido no posee la misma simetrı́a que el lagrangiano. 4. Cuando el lagrangiano se escribe en términos del campo desplazado, la simetrı́a ya no es aparente.. 1.5.2.. Ruptura de Simetrı́as Continuas (Bosones Goldstone). Consideraremos ahora el caso en el que el grupo de simetrı́a de la teorı́a es un grupo continuo. Suponga ahora que n = 2, de forma que el campo φ es una colección de campos escalares, y no un único campo escalar.. 22.

(27) Sea φa un campo vectorial, y sea φ ≡ (φa φa )1/2 . Considérese entonces un potencial de la forma (1.85) con las modificaciones naturales. Para el caso particular n = 2, es fácil ver que la teorı́a admite un grupo continuo de simetrı́as (en esta ocasión, isomorfo a SO(2)), de forma que: φ1 → φ cos ω + φ2 sin ω φ2 → −φ1 sin ω + φ2 cos ω. (1.88). Por lo tanto, los mı́nimos φ0 están sobre el cı́rculo: φ2 = (φ21 + φ22 ) = ν 2. (1.89). Se elige arbitrariamente φ1,0 = ν, φ2,0 = 0, y de igual forma que en el caso anterior se define φ0a = φa − φa,0 y se encuentra que: U (φ) =. λ 2 (φ − ν 2 )2 4. = =. λ 0 2 ((φ ) + 2νφ01 ) 4 λ 0 2 λ (φ ) + λν 2 (φ01 )2 + [(φ0 )3 + φ01 (φ02 )2 ] (1.90) 4 2. De donde se ve que el campo φ01 ha adquirido una masa dada por (1.87), sin embargo, el campo φ02 permanece sin masa. A un mesón escalar (sin spin) de este tipo se le conoce como Boson Goldstone, y su aparaicı́on se debe únicamente a la ruptura espontánea de la simetrı́a continua del grupo SO(2). Si bien acá se ilustró el caso para un modelo abeliano, puede también tratarse de manera más general. Finalmente, debe notarse que la simetrı́a que se usó, era una simetrı́a global, y que como se verá en la siguiente sección, la diferencia entre este tipo de simetrı́a y una de caracter local, es la principal diferencia entre el mecanismo Goldstone, y el mecanismo Higgs. El mecanismo Goldstone, presenta un serio inconveniente que consiste en que jamás se han observado los predichos bosones sin masa ni spin.. 1.5.3.. Bosones Goldstone en el caso General. Este tema se enuncia rápidamente. Suponga que se tienen n campos escalares reales φ, de forma tal que el potencial es invariante bajo un grupo global de transformaciones generado por {Tα }, es decir α. φ → eTα ω φ . Considere ahora un subgrupo que deje φ0 invariante. Dependiendo de la forma de U , este subgrupo puede ir desde la identidad (todas las simetrı́as rotas), hasta el grupo completo (ninguna simetrı́a rota). Suponga ahora que ese subgrupo es generado por los primeros m, (m ≤ n) generadores de G. Si se estudia la forma de la trasformación infinitesimal asociada: 23.

(28) δφ = Tα δω α φ −→ Tβ φ0 = 0. para β ≤ m. (1.91). Por definición, los restantes n − m generadores no dejan φ0 invariante. Por lo tanto, y por argumentos similares a los mostrados en el caso Abeliano, la teorı́a debe entonces dar lugar a n − m mesones sin spin ni masa, uno por cada simetrı́a rota. A este enunciado se le conoce como el Teorema Goldstone, que escribiremos de la siguiente manera: Teorema Goldstone: Si una simetrı́a global continua es rota espontáneamente, por cada generador de grupo roto, debe aparecer en la teorı́a una partı́cula sin masa.. 1.5.4.. Ruptura de Simetrı́a en Teorı́a Clásica de Campos. En 1973 (Nielson y Oleson) introdujeron el llamado ’mecanismo Higgs clásico’, en la teorı́a gauge clásica. Este mecanismo presenta una gran analogı́a con su contraparte cuántico: Causa que ciertas componentes del potencial gauge (Campo de Yang - Mills) adquieran masa, que es decir, que tales componentes se comportan como e−M r para valores grandes de r. Consideraremos una vez mas la teorı́a SU(2) + Higgs (1.51). Pese a que esta teorı́a es invariante bajo una transformación gauge, la presencia del potencial Higgs, causa una violación de la invariancia gauge SU(2). Es decir, cuando se buscan soluciones fı́sicas que aseguren que la energı́a potencial sea cero en infinito espacial (r → ∞), entonces, por la forma del potencial U (φ) es claro que el campo φa debe ser no nulo en ese lı́mite. Una rápida inspección permite de hecho encontrar ese valor lı́mite al que debe tender cualquier solución fı́sica de la teorı́a: φa →. m √ n̂ λ a. con n̂a n̂a ≡ 1 para r → ∞. (1.92). Como se discutió en las secciones anteriores, en Teorı́a cuántica de campos, la SSB se debe a que el valor esperado de vacı́o < φ >0 6= 0, en el caso clásico, esto se debe a que φ no se anula en infinito espacial. De hecho esto está de acuerdo con la asociación clásica de vacı́o en r → ∞. Por tanto podemos decir que una solución fı́sica rompe la invariancia gauge local, pues si φ0 6= 0 en r → ∞, habrá una dirección privilegiada (n̂a ) en el espacio de grupo. Ninguna solución que satisfaga la condición de frontera (1.92), es decir, fı́sica, podrá ser invariante bajo el grupo completo de transformaciones SU(2). Al ser elegida dicha dirección particular la solución permanecerá invariante bajo un subgrupo U(1) del grupo gauge SU(2), se entonces dice que la simetrı́a se rompe de SU(2) a U(1), pues n̂a define un eje de simetrı́a, que correponde a. 24.

(29) rotaciones que dejan tal dirección invariante. El isovector n̂a determina el subgrupo U(1), de forma completamente análoga a que la elección particular del vacı́o < φ >0 determina el subgrupo de invariancia.. 1.5.5.. Campos en infinito y topologı́a. Se menciona aquı́ un hecho interesante que aparece cuando se estudian soluciones estáticas a teorı́as clásicas de Yang - Mills. Cuando un campo que no es un escalar de grupo, no se anula en infinito espacial, la correspondiente solución define un mapa de la 2 esfera en infinito (el vacı́o) en alguna variedad bien definida. En el caso del grupo SU(2), recién discutido, esta caracterśtica ya hizo su aparición, pues la condición de frontera (1.92), fija esa variedad bien definida como la 2 esfera. Es decir, puede escribirse que: 2 n̂a (r̂) : S∞ → S2. (1.93) 2 ), S∞. define una dirección n̂a Pues una dirección espacial r̂ (un punto de (un punto de S 2 ), en el espacio de grupo. Sin embargo, habrá casos en los que este mapa no es tan trivial, pues la variedad de llegada puede ser mucho mas complicada que S 2 . Este mapa puede cubrir S 2 un número entero, n, de veces. Mas aún, este número (n) permite separar las soluciones fı́sicas en diferentes clases de equivalencia, caracterizadas por el valor de ese ”número de envolvimiento”. Es decir, soluciones con diferentes valores de n son inequivalentes. Más adelante, se muestra que esta caracterı́stica topológica de las soluciones juega un importante papel.. 1.6.. Potenciales Gauge como formas de Conexión. En esta sección, se muestra de forma clara, como las teorı́as de Yang - Mills pueden ser entendidas completamente desde el punto de vista de los fibrados6 . Diremos brevemente que si P (M, G) es un fibrado principal {Ui } es una covertura abierta de M y si es una sección local definida en cada Ui , entonces se define sobre Ui una 1-forma que toma su valor en el álgebra de Lie de G, denotada Ai y dada por: Ai = s∗i ω 6 Formalismo. (1.94). que es introducido brevemente en el apéndice B y en el que los términos usados en esta sección son definidos. 25.

(30) Con ω siendo una 1-forma de conexión. Es decir, la 1-forma Ai está definida como el retroceso de ω por si . De esta forma, Ai puede entenderse como la acción de la forma de conexión ω sobre el abierto Ui de M , y asociarse con desplazamiento puramente horizontal sobre la variedad. Sin embargo, para que la forma de conexión ω sea única sobre P, es decir, que la separación del espacio tangente a P en sus subesapcios vertical y horizontal sea única, entonces es necesario que las formas ωi definidas sobre T Ui sean idénticas en puntos de intersección. Es decir, es necesario que en Ui Uj , ωi = ωj . La propiedad de transformación (1.4) aparece en este contexto como una exigencia de compatibilidad, que permite que la forma de conexión ω sea definida globalmente, pues satisface la condición enunciada en el párrafo anterior, y puede expresarse como: −1 Aj = t−1 ij Ai tij + tij dtij. (1.95). La expresión (1.95) muestra la relación entre las 1-formas Ai definidas en diferentes regiones Ui de M , que se debe satisfacer para que la definición (1.94) sea válida en términos de una única foram de conexión ω, definida en todo P. Es interesante recordar que las funciones de transición tij (p) pertenecen al grupo G. De esta forma, la identificación entre el Potencial de Yang - Mills definido en (1.3) es completa, y la enunciaremos de la siguiente forma: Sea P (M, G) un fibrado principal. En teorı́as de Yang - Mills, el espacio base M se identifica con el espacio de Minkowski (<4 ), y la fibra G se identifica con el grupo gauge de la teorı́a. De esta forma, el potencial gauge A corresponde a la 1-forma Ai . Las transformaciones gauge definidas por un elemento g ∈ G (con G, el grupo de estructura) actúan sobre la variedad G (la fibra) de la forma especificada por las funciones de transición tij . De manera que (1.95) puede escribirse: A0 = g −1 Ag + g −1 dg. (1.96). Donde se denota por A0 al potencial gauge definido en otras coordenadas (es decir, sobre otra carta Ui de M). Sin ahondar mas al respecto, se dirá también que el tensor de Yang - Mills F se identifica en estas teorı́as como la curvatura asociada a la 1-forma A.. 26.

(31) Capı́tulo 2. Soluciones Estáticas En este capı́tulo se presentan soluciones a diferentes teorı́as de Yang - Mills, todas ellas independientes del tiempo. La primera solución es una Abeliana extendida a Teorı́as de Yang - Mills, siguiendo con la conocida conjetura de Wu - Yang, y después, con la ayuda de ciertos resultados probados en el capı́tulo 1 se introduce un campo Higgs en la teorı́a y se explican las consecuencias de la ruptura de simetrı́a. Más adelante se discute el monopolo magnético de ’t Hooft - Polyakov y la posterior generalización llevada a cabo por Julia y Zee. En todos los casos se muestran soluciones explı́citas a las ecuaciones. Al final del capı́tulo, se hará una discusión de los resultados mostrados.. 2.1.. Solución de Ikeda - Miyachi. Esta fue la primera solución explı́cita para las ecuaciones de campo de la teorı́a gauge pura (1.49). Como se verá no es mas que una solución Abeliana que se ha extendido para satisfacer las ecuaciones no lineales de la teorı́a. Suponga que Aµ son las componentes de un potencial Abeliano que satisface las ecuaciones de campo. La solución presentada por Ikeda y Miyachi es de la forma: Wµa = λa Aµ. con. λa = constante. (2.1). Es fácil ver que esta elección linealiza el tensor de Campo de Yang - Mills, y simplifica enormemente las ecuaciones. Usando el hecho de que ²abc λb λc = 0 puede verse que tanto en el tensor de campo (1.43) como en las mencionadas ecuaciones de movimiento se anula el término cuadrático, tomado la forma sencilla: Gaµν = λa (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) ∂ ν Gaµν = 0 27. (2.2).

(32) De esta forma es claro que Gaµν se ha linealizado, al igual que las ecuaciones de campo como es el caso Abeliano. Para encontrar una solución explı́cita puede usarse el potencial de una carga eléctrica puntual en el origen de coordenadas: B + C) −→ r De forma que los campos se escriben Aµ = δµ0 (. Gaij = 0. Wµa = λa δµ0 (. B + C) r. Gaij = −λa ∂j (B/r + C). (2.3). (2.4). Y las ecuaciones de movimiento: B + C) = 0 (2.5) r Claramente, la ecuación anterior se satisface idénticamente excepto en el origen, pues ∇2 (1/r) ∼ δ(r). Vale anotar también que lo único que se usó para encontrar estos resultados, fue la antisimetrı́a de ²abc . Sin embargo, las constantes de estructura de cualquier grupo son antisimétricas en los ı́ndices involucrados, de manera que este procedimiento de extender soluciones abelianas para teorı́as no Abelianas, puede ser llevado a cabo para cualquier grupo y no sólo para SU(2). ∂ j Ga0j = −λa ∇2 (. 2.2.. Solución de Wu - Yang. La solución de Wu - Yang es una solución puntual, en espacio de Minkowski de la teorı́a SU(2) pura, es decir, la descrita por el lagrangiano libre y las consecuentes ecuaciones de movimiento (1.50), que se escriben de nuevo por facilidad: ½ L = − 14 Gaµν Gµν a (2.6) ∂ ν Gaµν = e²abc Gbµν Wcν La solución está basada en la siguiente conjetura sobre los campos de Yang - Mills g(r) r2 1 − h(r) eWia = ²ain rn r2 eW0a = ira. (2.7a) (2.7b). La dependencia de las funciones g(r) y h(r) es puramente radial. Estas funciones están aún por ser determinadas. Para encontrar soluciones a las ecuaciones de campo, es necesario encontrar expresiones explı́citas para las funciones g(r) y h(r). Esto último se consigue escribiendo y resolviendo las ecuaciones de campo de la teorı́a, en términos de las mencionadas funciones de prueba.. 28.

(33) A continuación se desarrolla la deducción de las ecuaciones de movimiento en términos de las funciones g y h. Solamente para esta conjetura particular se llevan a cabo los cálculos involucrados en tanto detalle pues la deducción de las ecuaciones para otras conjeturas más generales involucra cálculos similares. Se calcularán las componentes no nulas de Gaµν empezando por las componentes isoeléctricas: Ga0j = −∂j W0a + e²abc W0b Wjc. (2.8). La ecuación (2.8) se evalúa por separado en cada uno de sus componentes: ½ ¾ r2 ∂j g − 2grj g a e∂j W0a = i ra + δ (2.9) r4 r2 j e2 ²abcW0b Wjc. g b n a c r r ² bc ² jn r4 g = i(1 − h) 4 (δja δbn − δna δbj )rb rn r g = i(1 − h) 4 (r2 δja − ra rj ) r = i(1 − h). Sumando (2.9) y (2.10) se obtiene ½ ¾ gh a rg 0 − g(1 + h) a a eG0j = −i δ + r rj r2 j r4. (2.10). (2.11). Las correspondientes componentes isomagnéticas se pueden encontrar de manera similar: Gajk ≡ ∂j Wka − ∂k Wja + e²abc Wjb Wkc. e∂j Wka. = =. e2 ²abc Wjb Wkc. ½ ¾ 1−h 1−h n ²akn rn ∂j 2 + δ r r2 j ½ 0 ¾ 1−h h 1−h ²akj 2 − ²akn rn rj + 2 r r3 r4. =. ²abc ²bjn ²ckl rn rl. =. rn rl. =. (2.12). (2.13). (1 − h)2 r4. (1 − h)2 a (δk δbl − δbk δla )²bjn r4 (1 − h)2 ²jkn ra rn r4. (2.14). Donde en la última ecuación se ha usado el hecho evidente de que ²abc rb rc = 0. Con los resultados (2.13) y (2.14) puede reescribirse la ecuación (2.12) como 29.

(34) eGajk = −2. 1−h a ² jk − 2 r2. ½. h0 1−h +2 4 r3 r. ¾ ²an[j rk] rn + ²jkn rn ra. (1 − h)2 (2.15) r4. De forma que ya se han encontrado las seis componentes independientes no nulas de Gaµν . El siguiente paso es escribir las ecuaciones de campo en términos de las funciones de la conjetura (2.7). Debido a que no hay dependencia temporal en esta solución y también por la antisimetrı́a de Gaµν las ecuaciones (2.6) pueden separarse en dos grupos de ecuaciones independientes:   µ = 0 → ∂ j Ga0j = e²abc Gb0j Wcj (2.16)  µ = j → ∂ k Gajk = e²abc (Gbjk Wck + Gbj0 Wc0 ) Primero se reescribe la parte derecha de la primera ecuación (2.16): e2 ²abc Gb0j Wcj. = =. · ¸ 1 − h a j n gh b rg 0 − 2g b −i 2 ² bc ² nc r δ + r rj r r2 j r4 · ¸ 1 − h n gh b rg 0 − 2g b a j aj i(δn δb − δ δbn ) 2 r δ + r rj (2.17) r r2 j r4. pero: (δna δbj − δ aj δbn )δjb rn (δna δbj. aj. n b. − δ δbn )r r rj. = 3ra − ra = 2ra =. 2 a. 2 a. r r −r r =0. (2.18) (2.19). Por lo tanto (2.17) queda como: gh(1 − h) (2.20) r4 Calculando la divergencia del campo isoeléctrico que aparece en la ecuación (2.16) y tras algunas simplificaciones se llega a que: e2 ²abc Gb0j Wcj = 2ira. e∂ j Ga0j. = = =. · µ 0 ¶¸ gh rg − g(1 + h) a j −i ∂ j 2 δja + ∂ j r r r r4 µ 0 ¶ µ 00 ¶ gh + hg 0 2gh g gh0 + hg 0 a − − ir − −ira r3 r4 r2 r3 µ 00 ¶ g 2gh −ira − 4 (2.21) 2 r r. La primera ecuación (2.16) puede ahora escribirse enteramente en términos de g y h. Igualando (2.20) y (2.21) y multiplicando por r4 se obtiene que: 2gh − r2 g 00 = 2gh(1 − h) −→ r2 g 00 = 2gh 30. (2.22).

(35) De forma similar, se hace el cálculo de la parte isomagnética de (2.16), empezando por encontrar una expresión adecuada para el término ²abc Gbjν Wcν : ²abc Gbjν Wcν. = =. ¸ gh b rg 0 − g(1 + h) b δ + r rj + ²abc Gbjk Wck r2 j r4 g2 h 1−h ²ajc rc 4 + (δka δbn − δna δbk )rn 2 Gbjk (2.23) r r. g ²abc rc 2 r. ·. Para simplificar la ecuación anterior es útil observar que la expresión (2.15) para las componentes espaciales de G permite calcular por separado los productos de interés:  2 2  = 2²ajn rn (1−h) −2(δka δbn − δna δbk )²bjk rn (1−h)  4 4 r r     3 (1−h)3 a n m b 2 a m (1−h) a r 6 (δk δbn − δn δbk )²jkm r r r = −r ² jm r r6       a (δk δbn − δna δbk )²bn[j rk] rm rn = 0. (2.24). Remplazando entonces las expresiones (2.24) adecuadamente en la ecuación (2.23) y reorganizando se obtiene 1 [(1 − h)2 (1 + h) + g 2 h]²ajn rn (2.25) r4 De esta forma, solamente resta calcular la divergencia espacial del tensor de campo. Sin embargo, por la longitud de los términos resultantes es conveniente realizar el cálculo de la divergencia de cada término de Gajk por separado: ½ 0 ¾ 1−h h 1−h −2²ajk ∂ k 2 = 2²ajk rk + 2 (2.26) r r3 r4 ²abc Gbjν Wcν =. µ ¶ 2 n a (1 − h) ²jkn ∂ r r = r4 k. =. (1 − h)2 n ak (r δ + ra δ nk ) r4 µ ¶2 1−h −²ajn rn r2 ²jkn. (2.27). Donde en (2.27) se usó el hecho de que ∂ k f (r) ∼ rk y la antisimetrı́a de ² para eliminar todo el término que incluı́a derivadas de la función. Continuando con el término restante: 2∂ k. ³ ³. =3. h0 r3. ´ + 2 1−h ²an[j rk] rn r4. h0 r3. ´ ´ ³ 00 h0 1−h h a n a rn k + 2 1−h ² r + ² − 5 − 8 r r 4 3 4 5 jn nj k r r r r r. ³ 00 = − hr2 +. 2h0 r3. ´ + 2 1−h ²ajn rn r4 31. (2.28).

(36) Sumando las expresiones (2.26) → (2.28) se llega a que ¾ ½ 00 h 1 − h (1 − h)2 a n ∂ k Gajk = + 2 − ² jn r r2 r4 r4. (2.29). Finalmente, al igualar (2.25) y (2.29) se puede expresar la restante ecuación (2.16) en términos de g(r) y h(r): r2 h00 + 2r2 (1 − h) − (1 − h)2 = (1 − h)2 (1 + h) + g 2 h. (2.30). Y al simplificarla toma la sencilla forma r2 h00 = h(h2 − 1 + g 2 ). (2.31). Resumen de Resultados Dada la gran cantidad de cálculos involucrados puede perderse de vista el resultado obtenido. A manera de resumen sobre la solución de Wu - Yang puede escribirse lo siguiente: Se propone como una conjetura los campos de Yang - Mills dados por (2.7), que permiten escribir las componentes no nulas del tensor de campo Gaµν de la siguiente manera:  n gh a a  = i eG  j0 r 2 δj + . rg 0 −g(1+h) a r rj r4. o. ³ 0 ´  2  h 1−h a  eGa = −2 1−h ² − 2 + 2 ²an[j rk] rn + ²jkn rn ra (1−h) jk jk r2 r3 r4 r4. (2.32). Con lo que las ecuaciones de campo de la teorı́a pura pueden reducirse a un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas considerablemente mas manejables: ½ 2 00 r g = 2gh2 (2.33) ∂ ν Gaµν = ²abc Gbµν Wcν → r2 h00 = h(h2 − 1 + g 2 ) Al sistema de ecuaciones (2.33) se les conoce como Ecuaciones de ’t Hooft Polyakov Simplificadas. Como se verá en secciones siguientes, estas ecuaciones son un caso lı́mite de un sistema de ecuaciones más complejas.. 2.2.1.. Solución de las ecuaciones de ’t Hooft - Polyakov Simplificadas. El poder de la conjetura de Wu - Yang, y en realidad de cualquier conjetura estática esféricamente simétrica a las ecuaciones de campo (2.6), es que simplifican el problema original, transformando un sistema de ecuaciones diferenciales 32.

(37) parciales no lineales a uno de ecuaciones diferenciales ordinarias. Sin embargo, la no linealidad del problema original (propio de las teorás no abelianas) persiste en las ecuaciones (2.33). La validez de la conjetura de Wu - Yang se ha reducido entonces a la posibilidad de encontrar soluciones fı́sicamente aceptables al sistema de ecuaciones (2.33). Gran parte del valor de esta conjetura es que el sistema resultante acepta soluciones constantes, no triviales, lo que es deseable, pues estas pueden interpretarse como soluciones puntuales. En esta sección, se estudian las soluciones analı́ticas más conocidas al sistema de ecuaciones mencionado. Soluciones Constantes Cuando se buscan soluciones constantes a (2.33) el sistema se reduce a uno algebráico: ½ 2gh2 = 0 (2.34) h(h2 − 1 + g 2 ) = 0 Con un análisis sencillo puede verse que las soluciones constantes de carácter más general, deben ser de la forma: ½ h=0 (2.35) g=C Que representa una solución constante, no trivial para las ecuaciones de campo bajo la conjetura de Wu y Yang. Con esta solución, es claro que los potenciales toman la forma: ½ W0a = ira erC2 (2.36) Wia = ²ain rn er12 Solución de Prasad - Sommerfield Esta solución, encontrada por Prasad y Sommerfield en 1975 [10], es de gran importancia en el desarrollo de la teorı́a de Yang - Mills pues tiene la deseable particularidad de no presentar singularidades en ningún punto. La solución de Prasad - Sommerfield a las ecuaciones (2.33) es de la siguiente forma: ½ h(r) = βr/ sinh βr (2.37) g(r) = βr coth βr − 1 Donde β es una constante arbitraria. Es un ejercicio elemental comprobar que (2.37) es en efecto una solución exacta de las ecuaciones antes mencionadas. Usando estas soluciones explı́citas en la conjetura de Wu - Yang, los potenciales gauge serı́an:. 33.

(38)  βr coth βr−1  W0a = ira er 2 . βr−βr Wia = ²ain rn sinh r 2 sinh βr. (2.38). El lector se dará cuenta que estas soluciones tienen el comportamiento deseado en los puntos crı́ticos. Pues como se habı́a mencionado, esta solución es no singular en todo el dominio de r. Analizar el comportamiento de (2.37) en los lı́mites r → 0 y r >> 1 ayuda a entender este comportamiento: h(r) =. βr eβr −e−βr βr. −→ βre−βr (2.39). −βr. +e g(r) = βr eeβr +e −βr −→ βr. Donde el cálculo anterior es a primer orden en e−βr . Es decir, para distancias grandes claramente es el parámetro β el que determina el comportamiento asintótico de las soluciones. Este aspecto adquiere gran importancia cuando se estudia desde el punto de vista de otra teorı́a, lo que se hará en una sección posterior. Por el contrario, cerca del origen se tiene que: h(r) → 1 − β 2 r2 g(r) → β 2 r2. (2.40). El buen comportamiento de la solución en los lı́mites estrictos puede resumirse en la siguiente tabla donde se muestran los valores asintóticos de los potenciales de Yang - Mills:  r→0  Wµa → 0 (2.41) Wia → 0 r→∞  W0a → (β/e)r̂a r → ∞. 2.3.. Solución de Wu - Yang para SU(2) + Higgs. Después de haber discutido algunas soluciones exactas para las ecuaciones de ’t Hooft - Polyakov Simplificadas (2.33) el estudio se centra en encontrar soluciones para la teorı́a más general que incluye una colección de tres campos escalares φa (isotriplete) y un potencial Higgs. Esta teorı́a, como se ha mencionado antes, ofrece ventajas pues en ciertos lı́mites puede reducirse a teorı́as mas sencillas. El lagrangiano que la describe es 1 µ λ m2 1 − φ2 )2 L = − Gaµν Gµν a − D φa Dµ φa − ( 4 2 4 λ. (2.42). Con Dµ φa y φ2 definidos como en la sección 1.3.2. Como ya fue mostrado, las ecuaciones de campo correspondientes son:. 34.

(39)  ν a  ∂ Gµν = e²abc [Gbµν Wcν + (Dµ φb )φc ] . (2.43). ∂ µ Dµ φa = e²abc (Dµ φb )Wµc − m2 φa + λφ2 φa. El nuevo problema consiste ahora en encontrar nuevas soluciones para esta teorı́a y conjeturas adecuadas sobre los potenciales de Yang - Mills que permitan simplificar las ecuaciones. Si bien este parece un problema dificilmente abordable a primera vista, será de gran utilidad aplicar la correspondencia de Julia - Zee (1.66) pues en el lı́mite λ → 0, m → 0 con m2 /λ finito, el lagrangiano (1.63) se convierte en el de la teorı́a gauge pura. Por lo tanto, dado que la correspondencia Julia - Zee es válida para cualquier valor de los parámetros m y λ, será también válida en este lı́mite particular y como resultado de ello, las soluciones discutidas hasta ahora para la teorı́a pura, lo serán también para la teorı́a con triplete Higgs con U (φ) → 0. Sin embargo, la correspondencia mencionada no sólo permite heredar soluciones particulares, sino que proporciona una conjetura natural sobre los potenciales gauge. Tal conjetura es:  W0a = 0      (2.44) Wia = ²ain rn 1−h er 2      φa = ra erg2 Para ver las ecuaciones de movimiento resultantes basta con introducir (2.44) en la expresión (2.43). El cálculo de estas ecuaciones es similar al descrito en la sección 2.2, por lo que sólo se mostrará brevemente la deduccı́on de los términos nuevos, que se deben a la presencia de la segunda ecuación (2.43). Usando resultados previos, se puede ver que la parte izquierda de dicha ecuación es: e∂ µ Dµ φa. µ ¶ rg 0 − g(1 + h) gh = ∂ j ra rj + δ aj 2 r4 r µ 00 ¶ g 2gh = − 4 ra r2 r. (2.45). por otro lado: e2 ²abc (Dµ φb )Wcµ. = e2 ²abc (Dj φb )Wcj. ¶ µ gh 1 − h n rg 0 − 2g + δbj 2 r = (δaj δbn − δan δbj ) rb rj r4 r r2 gh(1 − h) = −2ra (2.46) r4. Y remplazando (2.45) y (2.46) en la segunda ecuación (2.43) se obtiene, 35.

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