DISTRIBUCIÒN DE DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIDAS MUESTRALES

Ing. Miroslava Getty Reyes Prada Página 1 DISTRIBUCIÒN DE DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIDAS MUESTRALES

Se tienen dos poblaciones muéstrales e independientes, identificada la primera por X y la segunda por Y, de tamaño cuyas medidas se simbolizan por , y sus desviaciones típicas , se obtiene un numero M de muestras posibles. Las medidas muestrales de la primera población se identifican por: ̅ ̅ ̅ ̅ y las muestras de la segunda variables ̅ ̅ ̅ ̅ , las desviaciones típicas muestrales serán: y , respectivamente.

Si se consideran las diferencias para cada par, la media aritmética de dichas diferencias se simboliza por _{̅ ̅} donde:

̅ ̅ ∑ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

̅ ̅ ∑ ̅ ∑ ̅

Se puede demostrar que las media de las diferencias de todos los pares de medias muéstrales posibles, es igual a la diferencia entre las medias poblacionales.

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

La desviación típica de las diferencias entre los pares de medias muestrales se simboliza por:

̅ ̅ √

∑ ̅ ̅

La desviación típica de las diferencias entre los pares de medias muestrales, denominado también como error estándar de las diferencias entre las medias muestrales, es igual a:

_̅

̅

Ing. Miroslava Getty Reyes Prada Página 2

̅ ̅ √

Suponiendo que la distribución de diferencias entre las medias muestrales tenga comportamiento similar a la distribución normal, la variante estadística estará dada por la formula:

̅ ̅ √

También se puede presentar de la siguiente forma:

̅ ̅ √

Se puede aplicar esta distribución cuando no se conoce las varianzas poblacionales, las cuales pueden ser sustituidas por varianzas muestrales siempre y cuando sean mayores que 30 o Siendo su fórmula:

̅ ̅ √

EJERCICIOS

1. De cada una de dos poblaciones normales e independientes con iguales medias y desviaciones estándar de 6,4 y 7,2, se extraen muestras de 64 elementos. Encontrar la probabilidad de que la diferencia entre las medias de las muestras exceda de 0,6 en valor absoluto.

Solución:

  ?

64 64

2 , 7 4

, 6

0   1  2  0,6 

 

 _{y x y x y xy}

x      n n P



50 , 0 204 , 1

6 , 0 45 , 1 6 , 0

64 84 , 51 64

96 , 40

0 6 ,

0 _{  }

  

Ing. Miroslava Getty Reyes Prada Página 3 50

, 0 45 , 1

6 , 0

64 84 , 51 64

96 , 40

0 6 ,

0 _  _

    Z





50 ,

0 A

Z   ; P0,19150,19150,3830





50 ,

0 A

Z   ; P10,38300,6170

ó P 0,30850,30850,6170 P_{xy 0,6}61,70%

2. El rendimiento medio de los autos de la marca A es de 20 kilómetros por galón de gasolina, con una desviación estándar de 6 Km por galón. Las cifras comparables para los autos B son 25 y 5,5 Km por galón. Se supone que el rendimiento de cada una de ambas marcas está normalmente distribuido. ¿Cuál es la probabilidad de que en un concurso, el rendimiento medio de 10 autos para la marca A sea mayor que el de 9 autos de la marca B?

Solución:

  ?

9 10

5 , 5 6

25

20    1 2  0 

 y x y x_y_

x    n n P







90 , 1 96 , 6

5 36 , 3 6 , 3

5

9 25 , 30 10 36

25 20

0 _{ }

  

   Z





90 ,

1 A

Z  

0287 , 0 4713 , 0 5000 ,

0  



Ing. Miroslava Getty Reyes Prada Página 4 P_xy0_ 2,87%

3. Dos marcas de bombillas de alumbrado público A y B tienen una duración promedio de de 1.400 y 1.200 horas, respectivamente, y sus varianzas de 40.000 y 10.000 horas. Se extrae una muestra aleatoria de 125 por cada marca. Determine la probabilidad de que:

a) La marca A tenga una vida media de por lo menos 160 horas más que B. b) La marca A tenga una vida media por lo menos de 250 horas más que B.

000 . 10 000

. 40 200

. 1 400

.

1  2  2 

 _{y x y}

x   



125 125

100

200  1 2 

 x n n

x 



a) P_xy160_ ?

2 20

40

125 000 . 10 125

000 . 40

200

160 _  _

  

Z





2 A

Z  

9773 , 0 4773 , 0 5000 ,

0  

 P

P_xy160_ 97,73%

b) P_xy250_ ?

5 , 2 20 50

125 000 . 10 125

000 . 40

200

250 _{ }

  

Z





5 ,

2 A

Ing. Miroslava Getty Reyes Prada Página 5 0062

, 0 4938 , 0 5000 ,

0  



P P_xy250_ 0,62%

4. El tiempo promedio requerido para ejecutar un trabajo de ensamblaje es de 2 horas con una desviación típica de 40 minutos y el tiempo requerido para ejecutar otro trabajo o etapa en el ensamblaje es de una hora con cuarenta minutos, con una desviación típica de 32 minutos. Suponiendo que se distribuyen normalmente, ¿Qué porcentaje de veces será mayor el promedio del primer trabajo con relación al segundo, si se toman muestras de tamaño 28 y 30 respectivamente?

horas 2

 x

 y 1horacon40minutos y 1,67hora

minutos 40

 x

 _x 0,67hora y 32minutos horas

53 , 0

 y



28

1 

n n₂ 30 P_xy0_ ?





08 , 2 159 , 0

33 , 0

30 53 , 0 28

67 , 0

67 , 1 2 0

2

2 

  

   Z





08 ,

2 A

Z  

9812 , 0 4812 , 0 5000 ,

0  

 P

P_xy0_98,12%

DISTRIBUCIÒNDE DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES MUESTRALES

En el caso de dos poblaciones independientes, de tamaño , distribuidas binomialmente, con parámetros, medias proporcionales (también se puede representar las medias por ) y desviaciones proporcionales , siendo

√ y √ . El error estándar de las diferencias entre las dos medias

Ing. Miroslava Getty Reyes Prada Página 6 √

Cuando son parámetros o valores poblacionales.

Cuando corresponden a muestras grandes, es decir, ambas superiores a 30, se tendrá, que el error estándar de las diferencias entre dos proporciones es:

√

La media de las diferencias entre dos medias proporcionales, se simboliza; indistintamente por:

La variante estadística Z, estará dada en la misma forma que fue presentada para diferencias entre dos medias muestrales:

√

EJERCICIOS

1. Ciertas encuestas realizadas en una ciudad de la costa, revelan que el 25% de los hombres y el 33% de las mujeres escuchan cierto programa radial. ¿Cuál es la probabilidad de que en dos muestras de 150 hombres y 100 mujeres respectivamente, domiciliadas en dicha ciudad, se encuentre que la proporción de las mujeres que escuchan sea menor o igual a la proporción de los hombres?

Solución:

  ?

100 150

33 , 0 25

,

0 2 1 2 0

1  P  n  n  Pp₁p₂ 

P

















100 67 , 0 33 , 0 150

75 , 0 25 , 0

33 , 0 25 , 0 0

A

Z  

  



0869 , 0 4131 , 0 5000 ,

0  

Ing. Miroslava Getty Reyes Prada Página 7

P_p₁p₂0_ 8,69%

2. En dos fabricas A y B, que producen camisetas para hombres, se sabe que el 17% y el 15% de la producción es defectuosa. Si se extrae una muestra de 200 camisetas de cada lote producido en las fabricas, ¿Cuál es la probabilidad de que las dos muestras revelen una diferencia superior al 3%

Solución:   ? 200 200 15 , 0 17 ,

0 _{2 1 2 0,03}

1  P  n  n  Pp₁p₂ 

P













01 , 0 200 85 , 0 15 , 0 200 83 , 0 17 , 0 15 , 0 17 , 0 03 ,

0 _{ }

   

Z





27 ,

0 A

Z  

35 , 1 037 , 0 05 , 0 037 , 0 02 , 0 03 ,

0  _  _

  Z





35 ,

1 A

Z  

4821 , 0 3936 , 0 0885 ,

0  



P _{ 0,03} 48,21%

2

1p  

p P

3. Se sabe que cierta marca de dentífrico satisface el 65% del mercado, ¿Cuál es la probabilidad de que dos muestras aleatorias de 200 usuarios cada una, revelen una diferencia mayor del 10% en las proporciones del uso del dentífrico?

Solución:   ? 200 200 65 , 0 65 ,

0 2 1 2 _0,10

1  P  n  n  Pp₁p₂ 

Ing. Miroslava Getty Reyes Prada Página 8









200 35 , 0 65 , 0 200

35 , 0 65 , 0

0 10 ,

0 _{ }

 

 y

Z





10 ,

2 A

Z  

 1





p₁p₂ 0,10 3,58%

P

4. Cierta encuesta sobre un programa de TV revela que el 28% hombres y el 38% de las mujeres de clase media, ven dicho programa, ¿Cuál es la probabilidad de que en dos muestras aleatorias de 150 hombres y 100 mujeres, respectivamente pertenezcan a dicho estrato, se encuentre que la proporción que han visto el programa sea igual o mayor proporción de mujeres?

Solución:

    ?

100 150

% 38 %

28 2 1 2 0

1  P  n  n  Pp₁p₂ Pp₁p₂ 

P













100 62 , 0 38 , 0 150

72 , 0 28 , 0

38 , 0 28 , 0

0 _

  

 Z





64 ,

1 A

Z  

0505 , 0 4495 , 0 5000 ,

0  

Ing. Miroslava Getty Reyes Prada Página 9 P_p₁ p₂0_  5,05%

5. Se sabe que cierto producto satisface el 72% del mercado, seleccionamos dos muestras (independientes) de la misma población, de tamaño 150 cada una. ¿Hallar la probabilidad de que revelen la diferencia:

a) Mayor del 6%?

b) En la segunda muestra la diferencia sea superior en un 5%? Solución:

150 150

72 , 0 72

,

0 _{2 1 2}

1  P  n  n 

P

a) _{ 0,06} ?

2

1p  

p P









150 28 , 0 72 , 0 150

28 , 0 72 , 0

0 06 ,

0 _{ }

 

 y

Z





16 ,

1 A

Z  

 1





_{ 0,06} 24,60%

2

1p  

p P

b) P_p₁p_2  0,05  P_p₁p₂0,05_  ?

97 , 0 0518

, 0

0 05 ,

0  _{ }

Ing. Miroslava Getty Reyes Prada Página 10





97 ,

0 A

Z  

1660 , 0 3340 , 0 5000 ,

0  



P P_p₁p₂0,05_16,60%

6. El 12% de la producción de una maquina es defectuosa, mientras que en otra similar es del 15%. Si se extraen dos muestras de tamaño 80 y 100 respectivamente, ¿Cuál es la probabilidad (en cuanto al porcentaje de defectuosas):

a) Que las dos muestras revelen una diferencia superior al 3%

b) Que el porcentaje de la muestra A, sea superior al de la muestra B? Solución:

100 80

15 , 0 12

,

0 _{2 1 2}

1  P  n  n 

P

a) _{ 0,03} ?

2

1p  

p P













06 , 0

100 85 , 0 15 , 0 80

88 , 0 12 , 0

15 , 0 12 , 0 03 ,

0 _{ }

   

Z





_

_

5000 , 0 0

0509 , 0

03 , 0 03 , 0

A

Z      





18 ,

1 A

Z  









A

6190 , 0 1190 , 0 5000 ,

0  



P _{ 0,03} 61,90%

2

1 p  

Ing. Miroslava Getty Reyes Prada Página 11 b) _{   0} ?

2 1 2

1p  p p  

p P

P

59 , 0 0509 , 0

03 , 0 0 _

 Z





59 ,

0 A

Z  

2776 , 0 2224 , 0 5000 ,

0  



P P_p₁p₂0_ 27,76%

TAMAÑO DE LA MUESTRA

Hasta ahora se ha venido trabajando con una muestra conocida, pero para determinarla es necesario identificar los siguientes componentes o elementos técnicos.

 La varianza ( . Corresponde al grado de variabilidad que presentan las unidades de una población. Mientras más grande sea mayor será el tamaño de la muestra. El valor de supuestamente es conocido de lo contrario debe estimar a través de la investigación preliminar. En el caso sucede algo similar, pero se tiene la costumbre de tomar P=0,50 con lo cual se obtiene el máximo valor posible de n.

 Nivel de confianza. Tiene relación directa con el tamaño de la muestra, por lo tanto se dirá que a mayor nivel de confianza más grande debe ser el tamaño de la muestra. Los valores de Z se obtienen mediante el uso de tablas. El nivel esta fijado por el investigador, de acuerdo con su experiencia.

 Precisión de la Estimación. Corresponde al margen de error que el investigador fija de acuerdo con el conocimiento que tenga acerca del parámetro que piensa estimar. Se le conoce como error de muestra (E), siendo:

_{√ √} √

 Recursos humanos, financieros y tiempo. No están implícitos en la determinación técnica de la muestra, pero es de suma importancia en el tamaño de las investigaciones.

Calculo de n poblaciones infinitas

Ing. Miroslava Getty Reyes Prada Página 12 ̅

√

⁄ ̅

Error=

√ √

Siendo en la variable:

En la proporción=

EJEMPLO1.

El mantenimiento de cuentas puede resultar demasiado costoso, si el promedio de compra por cuenta baja de cierto nivel. El gerente de un gran almacén por departamentos desea estimar el promedio de lo comprado mensualmente por los clientes que usan la cuenta de crédito, con un error de $2.500 y una probabilidad aproximada de 0,95. ¿Cuántas cuentas deberá seleccionar, si que la desviación estándar es de $30.000, la cual fue obtenida de los balances mensuales de las cuentas de crédito?

Nota: siempre el resultado obtenido se redondea superior, por pequeña que sea la fracción.

EJEMPLO 2.

De una remesa, de la cual se tomo una muestra de 200 artículos, se encontró que 20 de ellos eran defectuosos. Con una confianza del 95%. Calcular el error de la muestra.

Por lo tanto √ √

EJEMPLO 3.

Una firma constructora desea estimar la resistencia promedio de las barras de acero utilizadas en la construcción de un edificio de apartamentos. ¿Qué tamaño de muestra se requiere para garantizar que habrá un riesgo de solo 0,001 de sobrepasar un error de 5 Kg. O más en la estimación? La desviación estándar de la resistencia de este tipo de barras se estima en 50 libras.

Ing. Miroslava Getty Reyes Prada Página 13

Tamaño optimo en poblaciones finitas

La fórmula para el tamaño optimo en el muestreo aleatorio simple, cuando la población es finita, se obtiene:

̅

√ √

√ √

( )

Siendo

Las anteriores formulas se aplican en variables, también con una pequeña modificación puede ser utilizada en atributos, es decir, cuando se calculan proporciones. Las formulas son:

Siendo

se considera como primera aproximación, dado que algunos investigadores utilizan su valor, por considerarlo que económicamente, al igual que el tiempo y los recursos humanos disponibles lo permiten.

EJEMPLO 1.

Ing. Miroslava Getty Reyes Prada Página 14

Tamaño con corrección. Si al calcular el tamaño de la muestra (n) o la primera aproximación , se utiliza la desviación típica o la varianza proveniente de la encuesta preliminar o piloto ( ), de tamaño menor a 30, algunos prefieren un factor de corrección a fin de que n o sean un poco mayor, dado que la desviación típica estimada (s) va a ser menor que la poblacional ( ). De acuerdo a lo anterior se tendrá:

[ ] [ ]

Ejercicios.

1. De una población, N= 10.000 personas nos proponemos obtener una muestra, para estimar el ingreso promedio por persona. Se quiere que la estimación muestral no se aparte en más de $5.000 del promedio verdadero y que esto se cumpla en 95 de cada 100 casos. La desviación típica es de $30.000. ¿Cuál será el tamaño óptimo?

Solución:

? 000

. 30 %

95 000

. 5 000

.

10    

 E P n

N 

2 2 2

2 2

) 1

( 



Z E N

Z N n

 



  











. 30 96 , 1 000 . 10

2 2

2

2 2

 

 



n n137personas

2. Supongamos que un area dada, la proporción de explotaciones agropecuarias que poseen energía es de 0,36. ¿Cuál será el error de muestreo de la estimación, utilizando una muestra al azar de 300 explotaciones, con una confianza del 95% y un total de 8.000 explotaciones? Solución:

000 . 8 96

, 1 300

? 36

,

0    

 E n Z N

Ing. Miroslava Getty Reyes Prada Página 15 1

  

N n N n

Q P Z E





1 000 . 8

300 000 . 8 300

64 , 0 36 , 0 96 ,

1 _

 E

0532 , 0



E (Error)

% 32 , 5

 E

3. ¿Qué tamaño deberá tener una muestra ara estimar dentro del 3%, la proporción de mujeres casadas que van periódicamente a consulta ginecológica en una población de 5.000 mujeres y una seguridad del 95%?

Solución:

96 , 1 000

. 5 %

3  

 N Z

E ; Como no se conoce P, se tiene que 50

, 0

 P





Q P Z N

n _{2 2}

2

1 

 

  









  

, 0 50 , 0 96 , 1 000 . 5

2 2

2

 

 

n mujeres casadas n880

mujeres casadas

4. Se desea estimar el costo promedio de matriculas de los estudiantes de la Universitarios de la ciudad. Por estudios anteriores y a precios actuales se sabe que la desviación típica es de $18.000. a) Calcular el tamaño muestral fijando para ello un error de 3.000 y una confianza del 99%; b) Si se considera que la población estudiantil que se desea investigar es de 12.000. ¿Cuál sería el valor de n?; c) Calcular el valor de n si se desea estimar el valor total de las matriculas canceladas por los 12.000 estudiantes.

Ing. Miroslava Getty Reyes Prada Página 16 000

. 18





a) n? E 3.000 Z 2,57

2 2

2 2

       

E Z E

Z

n  

238 78 , 237 000

. 3

000 . 18 57 ,

2 2 _{ }

   



 



n Estudiantes universitarios

b) Siendo N 12.000 ¿cuál es el valor de n?

78 , 237 1

2 2 2 0 0

0   

 

E Z n

N n n

n 

234 16

, 233 000

. 12

78 , 237 1

78 ,

237 _{ }

 

n Estudiantes universitarios

c) El cálculo para totales, arroja un resultado, igual al anterior siendo de 234 estudiantes universitarios.

5. La gerencia de una empresa manufacturera desea hacer una investigación entre sus trabajadores con el fin de establecer si a través de cursos de entrenamiento y programas de mejoramiento de las condiciones del trabajo, tanto en la empresa como en su vida familiar, se logra elevar el rendimiento del personal. Con la ayuda de un experto de estudios de tiempos y movimientos, además de una trabajadora social, se realizara una encuesta preliminar en 70 de los 3.600 trabajadores. Algunos resultados de la encuesta fueron:

a) El tiempo promedio necesario para realizar una operación fue de 40 minutos, con una varianza de 2,4 horas.

Ing. Miroslava Getty Reyes Prada Página 17 c) El total de gastos mensuales en recreación de los hijos fue de $59.000, con una desviación típica del promedio igual a $325.

Nota: las 3 características anteriores se consideran importantes en la determinación del tamaño de la muestra, se ha fijado un coeficiente de confianza del 95%, un error

del 5% para el promedio y 10% para la proporción. ¿Qué tamaño de n recomendaría

usted? Solución: es trabajador 600 . 3 70

preliminar N

n

a) 2 2

4 , 2 67 , 0 60 40 minutos

40 x horas horas

x ?

n      





1    

 E dex E

Z

 

 





 

4 , 2 96 , 1 0335 , 0 1 600 . 3 4 , 2 96 , 1 600 . 3 2 2 2     n 504 . 2 

n Trabajadores

b) 0,63 1,96 3.600 10%

70

44_{   }

 Z N E

P





PQ Z N

n _{2 2}

2

1 

 

  

 



Ing. Miroslava Getty Reyes Prada Página 18 c) 842,86 0,05





70 000 .

59 _{    }

 E Z N

x

S 325

  





 

325 96 , 1 14 , 42 1 600 . 3

325 96 , 1 600 . 3

2 2 2

2 2

 

 

n

es trabajador n215