Prof: José Enrique Malpartida R.
Tema 11
RAZONES
2do Secundaria
RAZÓN:
Es la comparación que se puede establecer entre dos cantidades. Esta comparación se puede hacer de varias maneras, de las cuales estudiaremos dos de ellas, las cuales son:
Razón aritmética
Es la comparación entre 2 cantidades mediante una sustracción.
Ejemplo:
Las edades de María y su hijo son 24 y 8 años respectivamente entonces podemos decir:
24 - 8 = 16
ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ ÆÈ Ç
Razón aritmética Valor de la razón
Interpretación:
< María es mayor que su hijo en 16 años.
< La edad de María excede a la de su hijo en 16 años
< La razón aritmética de las edades de María y su hijo es 16.
En general:
a - b = r
Razón geométrica
Es la comparación entre 2 cantidades mediante una división.
Ejemplo:
Un DVD cuesta $120 y una licuadora $90, entonces podemos decir:
$120 = 4 $ 90 3
ÆÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÇ ÆÈÇ
Razón geométrica Valor de la Razón
Interpretación:
< Los precios del DVD y la “REFRI” son entre si como 4 es a 3.
< Los precios del DVD y la “REFRI” están en la relación de 4 a 3.
< El costo del DVD es al costo de la “REFRI” como 4 es a 3.
< La razón de los costos del DVD y al “REFRI” es 4/3.
En general:
Donde:
a: antecedete b: consecuente
r : valor de la razón aritmética k: valor de la razón geométrica
Observación:
Cuando en los ejercicios o problema se mencione solamente “Razón” se debe entender que se refiere a la “Razón” geométrica.
La razón de 2 números es 5/8, luego se escribe:
o o
ACTIVIDAD
01. En un aula hay 20 niños y 32 niñas. ¿En qué relación se encuentran el número de niños y el número de niñas?
A) B) C) D) E)
02. En un auditorio hay 400 personas, 240 de las cuales son mujeres. En qué relación se encuentran el número de hombres y el número de mujeres?
A) B) C) D) E)
03. Dos números están en la relación de 3 a 4 y su suma es 56. Hallar el mayor de dichos números.
A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32 04. Dos números se diferencian en 5. Si su razón es 3/2,
determinar el número menor
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05. En un evento deportivo se observa que por cada 3 varones hay 4 mujeres. Si en total han participado 98 deportistas, ¿Cuántos son varones?
A) 10 B) 15 C) 20 D) 32 E) 42 06. Las edades de Rosa y Manuel están en la relación de
7 a 4 respectivamente, si Rosa es 9 años mayor que Manuel, calcule la edad de Manuel.
A) 11 B) 12 C) 14 D) 16 E) 20 07. En un bidón se tiene 72 litros de una mezcla de
alcohol y agua, en la relación de 5 a 3 respectivamente. ¿Cuántos litros de agua se debe agregar para que la relación sea de 9 a 10?
A) 20 B) 23 C) 28 D) 30 E) 34 08. Actualmente las edades de dos personas están en la
relación de 8 a 11 y dentro de 10 años estarán en la relación de 7 a 9, hace 4 años en que relación estaban.
A) 9 a 7 B) 8 a 5 C) 10 a 7 D) 12 a 9 E) 10 a 6
09. En una fiesta antes de servirse la comida el número de hombres es al número de mujeres como 7 es a 5, luego de comer se retiraron 5 parejas y 5 hombres, por lo cual la razón de hombres y mujeres es de 5 a 4. ¿Cuántas personas asistieron a la fiesta?
A) 20 B) 22 C) 34 D) 46 E) 60
10. A una pollada asistieron 190 personas observándose 9 hombres por cada 10 mujeres. Si por cada 12 personas que comen la pollada 7 son hombres y cada personan que come consumió 2 polladas. ¿Cuántas mujeres no comieron la pollada si se vendieron 240 polladas?
A) 18 B) 24 C) 35 D) 50 E) 65 11. Los volúmenes que contiene dos recipientes están en
la relación de 5 a 8 si agregamos 22 litros de cada uno, la nueva relación sería 7 a 9. ¿Cuántos litros tenía al inicio cada recipiente?
A) 20 y 32 B) 20 y 23 C) 32 y 20 D) 23 y 10 E) N.A.
12. Las edades de dos personas hace 6 años estaban en la relación de 3 a 5 y dentro de 9 años estarán en la relación de 7 a 10. Hallar la suma de sus edades en la actualidad.
A) 58 años B) 62 años C) 76 años D) 84 años E) 92 años
13. El largo y el ancho de un rectángulo son entre sí como 9 es a 5. Si el perímetro de dicho rectángulo es de 336cm, calcular su área..
A) 3 240 cm2 B) 1 620 cm2 C) 6 480 cm2
D) 5 420 cm2 E) 2 710 cm2
14. Dos números son entre sí como 4 es a 9. Si la suma de la mitad del menor con la tercera parte del mayor es 30, determine la suma de esos números. A) 52 B) 65 C) 78 D) 91 E) 104 15. Paulo tiene 28 años y Aldo 40 años. ¿Hace cuántos
años las edades fueron como 3 es a 7?
A) 18 B) 16 C) 14 D) 12 E) 19
PARA TU CUADERNO
0 1. P e d r o tie ne S /.1 80 y J o s é S / . 8 0 ¿ C u á l e s l a r az ón g eo m é t ric a de lo q ue tie ne n?
A) B) C ) D ) E) 02 . D os nú m er os s on en tre s í c om o 2 es a 9. C alc ule
e l m a y or d e ello s , s a bie nd o qu e s u r az ón a ritm é tic a es 8 4.
A ) 7 2 B ) 4 8 C ) 10 5 D ) 11 0 E ) 1 08 03. S i lo s 2/5 de 1 /3 del produc to de dos núm e r o s q ue s o n e ntr e s í c o m o 4 es a 5 , es 3 84 , ¿ C u ál es la s u m a d e la s c ifr as d el m a y or d e ta le s núm e ros ?
A) 6 B) 7 C ) 8 D ) 5 E) 9 0 4. U n p ar d e n ú m e r os e s t án e n r e la c ió n d e 1 1 a 7,
s um a n 216. ¿C uál e s el m ayor de tales núm e ros ? A ) 1 32 B ) 1 22 C ) 11 2 D ) 14 2 E ) 1 52 0 5. E l p es o d e u n ta nq ue e s a l p e s o e l a g u a q ue c o n tie ne c o m o 3 e s a 4. ¿ Q u é c a ntid ad d e ag ua h ay q ue a gr eg ar le p ar a q u e la r ela c ió n s e a de 1 a 2 ?
A ) 2 /3 d e lo q ue h ay B ) 1 /2 d e lo q ue h ay C ) 1/3 d e lo q ue h ay D ) 2/5 d e lo q ue h ay E ) 1 /5 d e lo q ue h ay
06. Si: y (a + b) (a - b) = 144, calcular a - b2 2
A ) 2 4 B ) 3 6 C ) 72 D ) 28 3 E ) 1 44 07 . S e tiene u n p a r d e nú m er os d e m an er a qu e s i a c a d a u no le q uita m o s 1 8 un id ad es la r az ón g eo m é t ric a s er ía 5 /7 . S i el v a lo r de la r az ón geom étrica original es 7/9, ¿C uál e s el núm ero m ayor?
A ) 6 3 B ) 7 2 C ) 81 D ) 90 E ) 1 08 0 8. S e tie ne d os n úm e ro s c u ya r az ón g eo m é t ric a es 7 /4 . S i la r az ón a ritm é tic a de s u s c u ad ra do s es 528, c alc ular el m enor de los núm e ros .
A ) 2 0 B ) 1 6 C ) 84 D ) 40 E ) 1 2 09. E n un determ inado ins tan te d e u n a fie s t a , e l
n úm e ro d e ho m b r es q u e n o b a ila e s a l n ú m e r o de p er s on as q ue e s tá n ba i l a n d o c o m o 5 es a 6 . A d e m á s el nú m e r o d e d am a s qu e no b aila n es a l nú m er o de ho m br es c om o 7 es a 8. E nc ue ntr e la c a n tid ad d e h o m b r e s en la fie s ta s i el to ta l de p er s on as e n la fie s ta e s 18 0.
A ) 6 0 B ) 7 0 C ) 55 D ) 90 E ) 8 0 1 0. L a r ela c ió n e ntr e e l n úm e ro d e p as a je ro s d e do s
m ic r os e s d e 7 a 5. S i ba ja n 4 p a s a je ro s de u no y s uben al otro, s e iguala el nú m e r o d e pa s a jeros. ¿C uántos pasajeros llevan entre a m b o s ? .
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Tema 12
PROPORCIONES
Proporción:
Es igualdad de 2 razones que tienen el mismo valor:
Proporción Aritmética:
Es la igualdad de 2 razones aritméticas. Ejemplo:
Extremos
9
9
18 - 10 = 24 - 16
8
8
Medios Como: 18 + 16 = 24 + 10
34 = 34
Entonces en toda proporción aritmética se cumple:
Suma de extremos = Suma de medios
En general:
a - b = c - d Donde:
a y c : antecedentes b y d : consecuentes a y d : extremos b y c : medios
Proporción Geométrica:
Es la igualdad de 2 razones geométricas. Ejemplo:
Extremos
9
Medios
Como: 12 x 9 = 18 x 6 108 = 108
Entonces en toda proposición geométrica se cumple:
Producto de extremos = Productos de medios
En general:
Donde:
a y c : antecedentes b y d : consecuentes a y d : extremos b y c : medios
TIPOS DE PROPORCIÓN ARITMÉTICA
Discreta:
Es cuando todos los términos son diferentes entre si:
Ejemplo:
35 - 32 = 13 - 10
9
Cuarta diferencial En general:
a - b = c - d d: 4ta diferencial de a, b, c
Continua:
Es cuando los términos medios son iguales. Ejemplo:
Tercia diferencial: 18 - 12 = 12 - 6
8
8
Media diferencia En general:a - b = b - c
b: Media diferencial de a y c o media aritmética de a y c.
c: Tercera diferencial de a y b.
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Ejercicio:
01. Calcular la cuarta diferencial de 10; 6 y 15.
Resolución:
02. Calcular la tercera diferencial de 20 y 15. Resolución:
TIPOS DE PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
Discreta:
Es cuando todos los términos son diferentes entre si:
Ejemplo: 8 = 24 6 18
9
Cuarta proporcional En general:
d: 4ta proporcional de a, b, c
Continua:
Es cuando los términos medios son iguales. Ejemplo:
Media proporcional:
9
9
3ra proporcional En general:
b: Media proporcional de a y c o media geométrica de a y c.
c: Tercera proporcional de a y b.
Nota: El orden de los términos de una proporción geométrica se asume del siguiente modo: (1er término) = (3er término)
(2do término) (4to término)
Ejercicio:
03. Calcular la cuarta proporcional de 15; 10 y 25.
Resolución:
04. Calcular la tercera proporcional de 9 y 6. Resolución:
Propiedades:
En una proporción aritmética continua, la suma de sus cuatro términos es igual a cuatro veces la media proporcional. Es decir:
Si: a - b = b - c se cumple: St = 4b St: suma de términos.
Si se tiene una P.A.C. a - b = b - c Si cumple: b =
Es una proporción geométrica continua, el producto de sus cuatro términos es igual a la media proporcional elevada a la cuarta es decir:
Si:
Se cumple. Pt = b4
Pt = producto de términos. Si se tiene una P.G.C.
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ACTIVIDAD
01. Calcule la cuarta diferencial de: 19, 8 y 13
A) 3 B) 5 C) 2 D) 6 E) 4
02. Encontrar la media proporcional de 27 y 3.
A) 5 B) 3 C) 4 D) 9 E) 10
03. De la tercia diferencial de 20 y 4 restar la cuarta proporcional de 32; 4 y 40.
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
04. En una proporción aritmética, la suma de los extremos es igual a 22. Si los términos medios se diferencian en 2 unidades. el menor de estos medios es:
A) 6 B) 9 C) 10 D) 12 E) 14
05. En una proporción aritmética continua, la media diferencial es igual a 19 y la razón aritmética de los extremos es 16. Calcular el menor de los extremos.
A) 27 B) 14 C) 19 D) 11 E) 16
06. En una proporción aritmética, la suma de los extremos es igual a 53. Si los términos medios se diferencian en 13 unidades, calcular el mayor de los medios.
A) 25 B) 35 C) 38 D) 13 E) 40
07. En una proporción geométrica, la suma de los términos medios es 16 y la razón aritmética de los mismos es 4. Calcular el producto de los extremos.
A) 60 B) 64 C) 48 D) 72 E) 80
08. El jardinero A planta rosas más rápidamente que el jardinero B en la proporción de 4 a 3. Cuándo B planta “x” rosas en una hora, A planta “(x+2)” rosas. ¿Cuántas rosas planta B en 4 horas?.
A) 6 B) 8 C) 32 D) 24 E) 12
09. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica es 576. Si el segundo término es 8, ¿Cuál es el tercer término?
A) 3 B) 6 C) 9 D) 4 E) 12
10. El producto de cuatro términos de una proporción geométrica discreta es 15 876. Si el primero de estos términos es 7. ¿Cuál es el producto de los términos medios?
A) 120 B) 122 C) 126 D) 127 E) 128
11. La suma de los términos de una proporción geométrica es 65; cada uno de los tres últimos es 2/3 del precedente. ¿Cuál es el último término?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
12. Es una proporción aritmética continua los extremos están en la relación de 3 es a 5. SI la suma de los cuadrados de los tres términos diferentes de la proporción aritmética continua es 200, calcular la media aritmética.
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
13. La cuarta proporcional de “a + 1"; “a - 1" y “a÷8" es “a+4" calcular la tercera proporcional de 3 y “a+3"
A) 12 B) 16 C) 18 D) 27 E) 32
14. Si “m” es la media proporcional de 9 y 4; “n” es la cuarta proporcional de 8, m y 12. calcular (m + n).
A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24
15. La media proporcional entre a y b es 10. La tercera proporcional de a y b es 80. Calcular la diferencia entre a y b.
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PARA TU CUADERNO
01. En una proporción aritmética, la suma de los extremos es igual a 84. Si los términos medios se diferencian en 6 unidades, el mayor de estos medios es:
A) 35 B) 59 C) 45 D) 39 E) 28 02. Si la media proporcional de “a” y “b” es 14 y la tercera
proporcional de “a” y “b” es 112, ¿Cuál es la diferencia entre “a” y “b”?
A) 21 B) 22 C) 23 D) 35 E) 28 03. La suma de la media diferencial de 38 y 12 con la
cuarta diferencial de 15; 10 y 19 es igual a: A) 18 B) 20 C) 26 D) 39 E) 24 04 . En una proporció n ge om étr ic a c on tinua , el prim er
tér m ino es 1/9 de l c ua rto térm ino. C alc ular la s u m a d e lo s c ua tr o, s a bie nd o q ue la s u m a d e lo s e xtr em o s es 1 20 .
A ) 1 76 B ) 1 78 C ) 18 0 D ) 19 2 E ) 1 96 0 5. D e un g ru po d e pe rs o n as , s e re tir an 1 5 m u je re s quedando 2 varones por 1 m u jer: des pués se r etir an 4 5 va ro ne s , qu ed an do 5 m u je re s p o r c a da v ar ón . ¿ C u án ta s pe rs o n as h ub o in ic ia lm e nte e n e l gr up o?
A ) 7 0 B ) 7 5 C ) 85 D ) 90 E ) 9 5
06. E n u n a p r o p o r c ió n a r it m é tic a co n t in u a ; lo s extrem os so n en tre sí c om o 5 es a 3. C alc ula la m e dia d ife re nc ia l d e la p ro po rc ió n s a bie nd o qu e la sum a de sus cuatro térm inos es 528.. A ) 1 24 B ) 1 28 C ) 13 2 D ) 13 6 E ) 1 40 0 7. L a s u m a d e l o s 4 t é r m in os d e un a p ro po rc ió n g eo m é t ric a c on tin ua e s 9 . S i la d ife re nc ia d e s u s extrem o s es 3. H alla el p r o d u c to de los 4 térm inos .
A ) 1 6 B ) 1 0 C ) 8 D ) 9 E ) 1 5 08. E n u na p roporc ión d e c ons ta n t e e ntera la s um a
d e té rm in os e s 5 07 , c a lc u la la s u m a d e lo s térm inos extrem o s .
A ) 435 B ) 493 C ) 345 D ) 354 E ) 5 3 4 0 9. S i la r az ón d e la s u m a c o n l a d i f e r e n c ia d e 2 n úm e ro s en te ro s p o s i t i vo s e 5/3 . ¿ C u ál es e l n úm e ro m a yo r, s i s u p ro du c to e s 64 ?
A ) 4 B ) 8 C ) 16 D ) 32 E ) 6 4 1 0. S i , ha lla e l va lo r de b .
S i a + c = 1 45
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Tema 13
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS
EQUIVALENTES (SRGE)
Si se tiene las razones: . se puede observar rápidamente que el valor de cada una de las cuatro razones geométricas es igual a 3, entonces podemos escribir:
A esta expresión se le denomina serie de razones geométricas equivalentes (S.R.G.E.)
En general:
Donde:
1 2 3 n
a , a , a , ..., a : son los antecedentes
1 2 3 n
b , b , b , ..., b : son los consecuentes K. es la constante de proporcionalidad.
Propiedades de la S.R.G.E.
En toda S.R.G.E. se cumple:
1.
Ejemplo: Si:
2.
Donde n es el número de razones que se multiplican: Ejemplo:
Si:
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES CONTINUAS:
Si la S.R.G.E. toma la forma siguiente:
Se denomina series de razones geométricas equivalentes continuas
En general:
Ejemplo:
Propiedad:
Cada antecedente puede expresarse en función del último consecuente y la constante “K”
Es decir:
1 n+1
a = a x Kn
2 n+1
a = a x Kn-1
3 n+1
a = a x Kn-2
!
!
n n+1
a = a x K Ejemplo:
Si se tiene:
Se puede expresar:
ACTIVIDAD
01. Si: , además b + c = 108, calcular b - a: A) 27 B) 9 C) 36 D) 63 E) 28 02. Si: , además 11a + 3b + c = 568, halla:
2a + b - c:
A) 48 B) 130 C) 96 D) 40 E) 88 03. Si: , además
2B + 3E - 4H = 685: Determinar 3R + C + T A) 1 370 B) 3 000 C) 3 288 D) 685 E) 1 200
04. Si: y a + b + c = 152. Hallar a + b + c2 2 2
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 05. Cuatro vendedores A, B, C y D tienen naranjas en la
relación de 3, 5, 6, y 11 respectivamente si D le diera a A 120 naranjas, ambos tendrían igual número de naranjas, cuántas naranjas más tiene “B” con respecto a “A”.
A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 06. En una serie de 4 razones geométricas iguales los
antecedentes son 5, 7, 11 y 12 si la suma de los dos últimos consecuentes es 92 calcule la diferencia de los otros dos consecuentes.
Prof: José Enrique Malpartida R.
A) 84 B) 56 C) 40 D) 10 E) 48
08. La suma de tres números es 1 500, la razón geométrica del primero y el segundo vale 5/8, y la razón aritmética de los mismos es 111. Calcule el tercer número.
A) 1 019 B) 1 023 C) 919 D) 1 239 E) 973
09. En la siguiente serie de razones: ; si 5a + 4b - 3c = 315, calcule la suma de a, b y c. A) 150 B) 200 C) 250 D) 300 E) 350 10. Si: ; si d = 4 y K = 2. Hallar “a”
A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) 30
11. Si: . Calcular a + c
A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16 12. En una serie de 3 razones geométricas equivalentes
continuas de constante entera, la suma de los términos extremos es 27. Hallar el 1er. antecedentes. A) 21 B) 256 C) 64 D) 216 E) 56 13. Si: . Calcular
A) 200 B) 24 C) 18 D) 15 E) 12 14. Tres números son proporcionales a 4, 9 y 13. Si del
segundo se pasan 50 unidades al primero, las cantidades serían iguales. Halla el tercero.
A) 260 B) 190 C) 270 D) 170 E) 210 15. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo
son proporcionales a 8, 10 y 18 respectivamente. ¿Cuál es la medida del ángulo menor?
A) 90/ B) 50/ C) 40/ D) 60/ E) 30/
PARA TU CUADERNO
01. Si: , calcula:
A ) 7 3 01 B ) 6 4 91 C ) 1 30 1 D ) 81 E ) 1 2 01
02 . S i: , ad em ás 10 a - 3b = 37 5. C alc ula 5a - b - c
A ) 7 5 B ) 5 0 C ) 65 D ) 71 E ) 8 0 0 3. S i : , a d e m á s 5 A + 2 B + C = 1 2 60 .
C alc ula A + B + C .
A ) 6 06 B ) 6 6 C ) 46 0 D ) 66 0 E ) 6 66 0 4. E n u n a S .R . G . E . lo s a nte c e de nte s s o n 4 , 5 , 7 y 1 1 y e l p ro du c to d e lo s c o n s ec u e nte s e s 2 4 64 0. H alla la razón que hay entre c ons ec uentes y antec edentes .
A) 1/4 B) 1/2 C ) 4 D ) 3 E) 2 05. E l n ú m ero de c anic as que tiene n 3 n iñ o s s o n
p ro po rc io na le s a 4 , 7 y 11 ; s i c a da n iñ o tu vie ra 5 c a n ic a s m á s e l nú m e r o de c a n ic a s fo rm a ría n un a p ro po rc ió n ge om é tr ic a c on tin ua . ¿ C u án ta s c an ic as tiene n en total?
A ) 2 7 B ) 1 1 C ) 22 D ) 19 E ) 1 8
06. E n una s erie de 3 razones geom é tric as iguales y c o n tin ua s c u y o va lo r no e s en te ro . U n o de lo s térm inos extrem os es 8 veces el valor del otro extrem o, si el antecedente central es 10. Cuánto v ale s u c on s e c ue nte .
A ) 3 0 B ) 4 0 C ) 25 D ) 20 E ) 1 0 0 7. E l p r od u c t o d e l os 3 t é rm in os d ife re nte s d e u na
p ro po rc ió n ge om é tr ic a c on tin ua e s 5 83 2. S i un o de los térm inos extrem os es 6. Halle el otro e xtr em o .
A ) 5 4 B ) 8 1 C ) 7 2 D ) 9 0 E ) + d e 9 0 0 8. J o rg e tie ne c a n ic a s d e c o lo r a zu l, r o jo y n e g r o . O bs er va qu e l a c an tidad de c an ic as azule s y la c a n tid ad d e c a nic a s r oja s es t án e n la r ela c ió n de 3 a 7 y q ue la c a n tid ad d e c a nic a s ro ja s y ne gr as e s tá n en la r ela c ió n d e 5 a 4 . D e te rm in a c u án ta s c a n ic a s tie ne c a d a c o lo r, s i s a be q ue tie ne 2 34 c an ic as en tota l.
A ) 4 0; 10 0; 94 B ) 4 5; 10 5; 84 C ) 55 ; 10 5; 74 D ) 60 ; 12 0; 54 E ) 3 5; 11 0; 89
0 9. S e tie ne 3 n úm e ro s q ue s o n p ro po rc io na le s a lo s n úm e ro s 3, 5, 9. S i el te rc e r nú m e r o exc e d e al p rim e ro e n 42 u nid ad es . H a lla la s u m a d e dic h o s núm e ros .
A ) 1 10 B ) 8 4 C ) 56 D ) 98 E ) 1 19 10. E n un a s erie d e tr e s n ú m e r o s g e o m é t ric o s e qu iv ale nte s s e c u m p le q ue la s u m a d e a nte c e de nte s e s 24 y la s u m a d e s u s c o n s e c u e n t e s e s 3 6 . H a lla e l s e g u n d o a nte c e de nte s i s u c o n s ec u e nte r es p e c tiv o es 1 2. A ) 1 6 B ) 8 C ) 12 D ) 4 E ) 2 4 07. En una serie de 3 razones geométricas iguales la
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Tema 14
PROMEDIOS O MEDIAS
Promedio:
Se denomina promedio de un conjunto de datos a un valor que representa a los datos, el cual está comprendido entre el menor y el mayor de dicho conjunto de datos.
n
Sean los números; a1, a2, a3, ..., a
1 2 3 4 n
Donde a # a # a # a # ... # a Si “p” es el promedio entonces:
4 n
a # P #a
9
9
menor mayor dato dato
Promedios Importantes
1. Promedio Aritmético o Media Aritmética (M.A.).- También se denomina simplemente “promedio” o “media” por ser el promedio más conocido, viene a ser la enesima parte de la suma de los “n” datos:
Es decir:
MA =
Ejemplo:
01. Hallar el promedio de las edades de mis hermanos las cuales son: 12, 15, 20 y 27 años.
Resolución:
02. Hallar el promedio de las notas de Raúl: {08; 10; 12; 14; 16}
Resolución:
2. Promedio Geométrico o Media Geométrica: (M.G.)
Es la raíz enesima del producto de los “n” datos. Es decir:
MG = =
Ejemplo:
03. Hallar la M.G. de 2; 4 y 27 Resolución:
04. Hallar la media geométrica de los divisores de 16.
Resolución:
2. Promedio Armónico o Media Armónica: (M.H.)
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MH = =
Ejemplo:
05. Hallar la M.H. de 6; 12 y 20 Resolución:
06. Hallar la MH de los divisores de 15. Resolución:
CASOS PARTICULARES:
01. Sean los números a y b, entonces:
M.A. = M.G. = M.H. =
Ejemplo:
Sean los números 16 y 4
M.A. = = 10 M.G. = = 8 M.H. = = 6,4
Propiedades
01. Para números diferentes se cumple: MA > MG > MH
02. Para números iguales se cumple: MA = MG = MH
03. Sólo para 2 números a y b se cumplen:
MA x MH = MG2 MA - MG =
ACTIVIDAD
01. Hallar el promedio de: 13, 18, 23, 28, ..., 93
A) 54 B) 55 C) 56 D) 57 E) 58 02. Hallar el promedio geométrico de:
2; 4; 8; 16; ...; 29
A) 30 B) 32 C) 36 D) 42 E) 25 03. Hallar el promedio armónico de los divisores de 28.
A) 1,5 B) 7 C) 6 D) 3 E) N.A. 04. El promedio geométrico de 2; a y 8 es 4. Calcular el
promedio aritmético de a; (a + 1); (a + 3); (a + 4) A) 4 B) 6 C) 7 D) 9 E) 5 05. El promedio de tres números es 17. Si la suma de 2
de ellos es 15. ¿Cuál es el otro número?
A) 4 B) 36 C) 21 D) 2 E) 17 06. El promedio armónico de 4; x; 3 es 60/13. Calcular “x”.
A) 15 B) 12 C) 3 D) 1/2 E) 1/3
07. Seis personas están reunidas, si ninguno pasa de los 60 años y el promedio de edades es 54 años, la mínima edad que puede tener una de ellas es: A) 20 B) 38 C) 24 D) 22 E) 35 08. La edad promedio de 8 personas es 21 años y
ninguno de ellos es menor de edad ¿Cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos?. A) 41 B) 43 C) 44 D) 42 E) N.A. 09. El promedio aritmético de dos números es 12 y su promedio geométrico es 6 . Hallar la diferencia de estos números..
A) 10 B) 14 C) 16 D) 12 E) 11 10. El mayor promedio de 2 números es 10 y el menor
promedio de los mismos es 6,4. Hallar la diferencia de dichos números.
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11. Para 2 números a y b se cumple: . Hallar la media armónica de dichos números. A) 6 B) 9 C) 4 D) 8 E) 5 12. El promedio de 2 números es 60, si se consideran
otros tres números, el promedio aumenta en 20 unidades. Entonces el promedio de los tres números es:
A) 84, B) 24, C) 100, D) 93, E) 98
13. El promedio de 30 alumnos fue 20 si los 10 primeros alumnos obtuvieron un promedio de 25 y los 6 últimos obtuvieron 25 de promedio. En consecuencia el promedio de los restantes es:
A) 80 B) 90 C) 50 D) 40 E) 60 14. El promedio de 15 números es 54. ¿Cuál sería el
nuevo promedio si a 5 de ellos se les aumenta 5 unidades y al resto se le aumenta en 8 unidades? A) 61 B) 64 C) 62 D) 65 E) 63s 15. Se tienen 2 grupos de personas en la que se observa
la edad. En el grupo B hay 60 personas y la edad promedio es 50 años. Si el promedio de los 2 grupos es 40 años. Hallar la edad promedio del grupo A si en el hay 40 personas.
A) 10 B) 25 C) 36 D) 40 E) 50
PARA TU CUADERNO
01. E l m a y o r p r o m e d i o d e dos núm e ros es 1 3 , 5 m ientr as qu e s u m en or pro m ed io es 12. H allar la diferencia de dichos núm eros.:
A) 3 B) 4 C ) 9 D ) 6 E) 7 02. Si: M A(a,b) = 16; M G (a,b) = 12. H allar M H (a,b).
A ) 6 B ) 8 C ) 9 D ) 3 E ) 1 0 0 3. S i el pr om e dio d e la s n ota s d e 4 a lu m n o s e s 16 .
¿ C u á l es l a m ín im a n ota q ue p od ría te ne r u n o de ellos ?
A ) 1 0 B ) 1 1 C ) 06 D ) 04 E ) 0 0 04. La edad prom e dio de 30 p ers onas es 20 años y
ning un o de ellos es m enor de eda d. ¿ C uá l es la m á xim a edad que puede tener uno de ellos ? A ) 5 0 B ) 7 8 C ) 90 D ) 60 E ) 1 0 0 5. E l p ro m e d io d e 4 5 n úm e ro s es 1 1. S e a gr eg a un
núm e ro m ás y e l v alor del prom e dio aritm é tic o s e ve increm entado en 14 unidades . ¿Q ué núm ero s e ag re gó ?.
A ) 6 55 B ) 6 57 C ) 65 4 D ) 65 6 E ) 6 58
06. La media aritmética de dos números es 10 y la media armónica de los mismos es 7,5. Hallar los números. A) 13 y 7 B) 15 y 5 C) 18 y 2 D) 14 y 6 E) 12 y 8 07. El promedio geométrico de 4 números es 10 y la
media armónica de los mismos es 7,5. Hallar los números.
A) 39 B) 38 C) 28 D) 40 E) 36 08. Sen a y b dos números enteros. Si el producto de la
media aritmética con su media armónica es igual al doble de su media geométrica, entonces el menor valor de a + b es:
A) 1 B) 5 C) 6 D) 2 E) 4 09. Si A y B son dos números y la media aritmética es 4
y la media geométrica es 2 entonces A + B es.2 2
A) 12 B) 4 C) 10 D) 16 E) 8 10. La razón de la media geométrica y la media aritmética
de dos números es 2/3. Si la semisuma de la media geométrica y la media aritmética es 10. Hallar la media armónica de dichos números.
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Tema 15
MAGNITUDES PROPORCIONALES I
Magnitud. Para nuestro estudio se entenderá como aquello que experimenta cambios, el cual puede ser medido o cuantificado.
Ejemplos:
Peso, longitud, volumen, obra, etc.
CANTIDAD. Es un estado particular de la magnitud, el cual resulta de medir la variación en un determinado momento; expresándolo en ciertas unidades de medida.
Ejemplos
20Km. 100 litros, 30 libros, 18/C
RELACIONES ENTRE LOS VALORES DE DOS MAGNITUDES
Magnitudes directamente proporcionales (D.P.)
Ejemplo 1
Rosa compró 8 pollos a S/.40; comparando las magnitudes. número de pollos y costo tendremos:
÷2 x3
n/ pollos 8 4 12 costo (S/.) 40 20 60
÷2 x3 Concluimos:
n/ de pollos D.P. costo
GRÁFICAMENTE:
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P.)
Ejemplo 2
5 obreros pueden hacer una obra en 12 días, comparando las magnitudes, número de obreros y número de días tendremos:
x2 ÷5
n/ de obreros 5 10 2 n/ de días 12 6 30
÷2 x5 Concluimos:
n/ de obreros x n/ días = 5 x 12 = 10 x 6 = 2 x 30 = cte. n/ de obreros I.P. n/ días
GRÁFICAMENTE:
En general:
A D.P. B
9
9
aumenta disminuye
aumenta disminuye A I.P. B
9
9
aumenta disminuye
disminuye aumenta
]
A D.P. B
]
A I.P. B A x B = cte.
INVESTIGA Y RESPONDE
En una circunferencia, si aumenta el radio aumenta el área, entonces ¿el radio y área son directamente proporcionales?
Propiedades:
1. Si A I. P. B
]
A DP. 2. Si A D.P. B]
A DP. Bn n]
.Si A I. P. B
]
A D.P. Bn n]
.Ejemplo
Si “A” es directamente proporcional a “B”, completar el siguiente cuadro:
A m 30 120 42 B 10 5 n p Dar (m + n + p)
Resolución:
º n = 60
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ACTIVIDAD
01. Dado 2 magnitudes A y B se cumple que: A D.P. B
Además:
A 5 x 30 B 2 6 y Hallar: “x + y”
A) 15 B) 20 C) 27 D) 28 E) 30 02. Si A es D.P. a B y cuando A = 800, B = 250. Hallar “A”
cuando B = 75.
A) 240 B) 150 C) 160 D) 260 E) 280 03. Si A es D.P. a B y cuando A = 48, B = 2. Hallar “A”4
cuando B = 3.
A) 27 B) 9 C) 81 D) 162 E) 243 04. SI A es D.P. a y cuando A = 6, B = 2, Hallar el
valor de A cuándo B = 9.
A) 6 B) 3 C) 9 D) 18 E) 9/2 05. De la figura correspondiente a dos magnitudes
directamente proporcionales. Hallar “x + y”.
A) 14 B) 28 C) 30 D) 22 E) 36 06. Se da 2 magnitudes A y B tal que:
A I.P. B Además:
A 9 12 y B 8 x 2 Hallar x + y
A) 6 B) 36 C) 40 D) 42 E) 50 07. Si A es I.P. a B y cuando A = 24, B = 8. Hallar el valor
de “A” cuando B = 16.
A) 14 B) 12 C) 96 D) 54 E) 16 08. “P” es inversamente proporcional a “T” cuando
P = 125, entonces T = 48. Hallar “T” cuando P = 300. A) 25 B) 20 C) 30 D) 40 E) 45
09. Si la siguiente gráfica muestra dos magnitudes inversamente proporcionales. Hallar a + b.
A) 30 B) 36 C) 40 D) 48 E) 60 10. El gasto de una persona es D.P. a su sueldo, siendo
el resto ahorrado. Un señor cuyo sueldo es de S/.900 ahorra S/.90. ¿Cuál será su sueldo cuando su gasto sea de S/.1 260?
A) 1 400 B) 1 134 C) 1 500 D) 1 600 E)1 300 11. UNI 85 - I
¿Cuál es el peso de un diamante que vale S/.55 000, si uno de 6 quilates cuesta S/. 19 800 y el precio es proporcional al cuadrado de su peso?
(Tómese 1 quilate igual a 0,25 g)
A) 6g B) 6,25g C) 2,5g D) 25g E) 62,5g 12. La energía cinética (E) de un automóvil es d.p. al cuadrado de su velocidad (v); si un automóvil que lleva una velocidad de 50km/h posee una energía de 35 000 joules. ¿Cuál será la velocidad del mismo automóvil cuando tenga una energía cinética a 50 400 joules?
(Expresado en km/h)
A) 60 B) 70 C) 75 D) 80 E) 90 13. Una rueda “A” de 890 dientes engrana con otra rueda
“B” de 30 dientes. Si la rueda “A” da 12 vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará la rueda “B” en 5 minutos?
A) 160 B) 120 C) 100 D) 40 E) 80 14. Una rueda dentada de 42 dientes egrana con otra de
36 dientes. SI la primera da 60 R.P.M. ¿Cuánto tiempo empleará la segunda rueda en dar 6 300 revoluciones?
A) 4 500s B) 5 000s C) 4 400s D) 5 400s E) 5 600s
15. Se tiene la siguiente tabla de valores para magnitudes A y B.
A 36 m 324 9 4 B 6 3 2 12 n Hallar: “n + m”
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PARA TU CUADERNO
01. S i A I.P . B adem á s :
A 1 44 Y 8 1 2 B z 4 x 12 H allar: “x + y + z”
A) 45 B) 60 C ) 55 D ) 66 E) N .A 0 2. D a d a la g rá fic a de :
# m a nz an as ve rs u s pr ec io u nita r i o . C a lc u la r c uánto c ues ta 4 doc enas de m anzanas .
A) S/.10,8 B) S/.14,4 C ) S/.9,6 D ) S/. 7,2 E) S/.9
03. H allar “m ” y “p”, si las m agnitudes volum en (V) y t e m p e r a t u r a ( T ) s o n i n v e r s a m e n t e proporc ionales .
H a lla r (m + p )
R p ta : __ __ __ __ __ __ _ 04. S i “ A ” e s d ir e c t a m e n t e proporc ional a “ B ” y
cuand o A = 32 0 , e n tonces B = 360. Hallar A c u a nd o “B ” e s ig ua l a 14 4.
R p ta : __ __ __ __ __ __ _ 05. E l á r e a d e u n c í r c u l o e s d i r e c t a m e n t e
p ro po rc io na l al c u ad ra do d e s u r ad io . S i un c í rc u lo de 1 2c m d e r ad io tie ne u n ár ea d e 40 0 cm . ¿C uál ser á el área de otro círculo cuyo2
radio es 25% m ayor?
A ) 6 00 c m2 B ) 5 00 C ) 62 5 D ) 80 0 E ) 1 0 00
06. S abiendo que “A ” es d irec tam ente porporc io n a l ( D .P .) A l c u ad ra do d e “ B ” c a lc u la r l os va lo re s de “m ” y “p”. Si tenem o s :
A 4 5 3 20 p B 3 m 10
A ) 1 5 y 25 0 B ) 8 y 5 00 C ) 4 y 10 0 D ) 12 y 9 0 E ) 1 2 y 40 0
07. E l p r e c i o d e u n d i a m a n t e e s d i re c t am e n t e p r o po rc io na l al c u ad ra do d e s u p es o . S i un d ia m a n te q ue p es a 2 0 g ra m o s c u e s ta 4 0 0 0 dólares , ¿C uánto c os tará otro diam ante q u e pes a 25 gram o s ?
A ) $ 6 00 0 B ) $ 5 00 0 C ) $7 5 00 D ) $4 8 00 E ) $ 6 25 0
08. Se tiene un sistem a de tres ruedas dentadas “A”, “ B ” y “ C ” c o n 2 4 ; 3 6 y 4 5 d ie n t e s r es p e c tiv am e nte . “A ” e ng ra na c o n “ B ”, y a s u v ez “ B ” en gr an a c o n “C ” . ¿ C u á n ta s vu elta s de be c o m p le ta r “ B ” p ar a g e ne ra r u n m o vim ie nto e n la s o tr as d os r u e da s d e ta l m a ne ra q ue e l n ú m e r o de v ue lta s de “ A ” exc e d a al de “ C ” e n 42 ?
A ) 5 0 B ) 6 0 C ) 40 E ) 7 0 E ) 9 0 09. S e a n la s m a g n it u d e s A y B d ir e c t a m e n t e
p ro po rc io na le s . C a lc u la : “a + x + y + n” A 5 3 y a+y n B 1 5 x 2 1 3 0 a + x
R p ta : __ __ __ __ __ __ _ 1 0. L a r u ed a A e ng ra na c o n B y l a r ue da B e ng ra na
c o n C , s i la s ru ed as A , B y C tie ne n en to ta l 10 0 dien t es y la c an tidad de die nte s es tán en la r ela c ió n de 3 , 2 y 5 r e s pe c tiv am e nte y la r ue da A d a 40 v u e l t a s po r m i nu to . C a lc u la c u á nta s vueltas da C en 3 m inutos. N o t a : A no e ng r a na c on C .
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Tema 16
MAGNITUDES PROPORCIONALES II
MAGNITUDES PROPORCIONALES COMPUESTAS:
Si se tiene más de 2 magnitudes, ejemplo: Sea:
A D. P. B siendo C, D y E constantes A D.P. C siendo B, D y E constantes A I. P. D siendo B, C y E constantes A I.P. E siendo B, C y D constantes Se cumple: K = constante Ejemplo:
Si el volumen (V) de un cilindro es D.P. a su altura (h) y proporcional al cuadrado del diámetro (d ). Calcule “m + n”2
V 25 m 7,2 h 2,5 4/ 2 d 2 0,6 n
Resolución: V.D.P. h V.D.P. d2
entonces:
Reemplazando datos se obtiene:
De donde se obtiene: m = 3,6m
n = 1,2m
Rpta: m + n = 4,8m
ACTIVIDAD
01. Si A es D.P. con B e I.P. a 2 .
Cuando A = 4, B = 8 y C = 16. Halla A cuando B = 12 y C = 36.
02. Siendo “A” directamente proporcional al cuadrado de “B” e inversamente proporcional al cubo de “C”. Hallar “m” y “p” del siguiente cuadrado:
A B C 12 4 5 125 m 3 p 8 2
A) 12 y 750 B) 18 y 375 C) 6 y 375 D) 6 y 750 E) N.A.
03. En una empresa el sueldo es directamente proporcional al cuadrado de la edad y a los años de servicio en la empresa. Si José que tiene 30 años y 4 años en la empresa tiene un sueldo de S/.4 500. ¿Cuál es la edad de Pedro que entró un año antes que José a la empresa y tiene un sueldo de 6 400 soles?
A) 30 años B) 36 C) 40 D) 32 E) N.A 04. El calor producido por una plancha es directamente
proporcional al cuadrado de la corriente eléctrica y al tiempo transcurrido, si una plancha produce 5 000 calorías cuando circula una corriente de 2 amperios durante 10 minutos. Hallar la corriente que circulará por la misma plancha durante 5 minutos para producir 40000 calorías.
A) 4 A B) 6 A C) 8 A D) 10 A E) 12 A
05. M es D.P. con N e I.P. con Q; cuando Q es 3/2 M y N son iguales. ¿Cuál es el valor de N cuando M es 1 y Q es 12?
A) 6 B) 12 C) 8 D) 10 E) 15 06. A es D.P. con B e I.P con C . Cuando A = 64, B = 23 2
y C = 3. Hallar A cuando B = 3 y C = 2.
A) 296 B) 246 C) 777 D) 486 E) 250 07. Si A es D.P. a B e I.P. a . Hallar A cuando B = 5 y
C = 16; si cuando A = 12 entonces B = 15 y C = 9. A) 2 B) 4 C) 6 D) 3 E) 5 08. Si “X” es I.P. a “ Y” e I.P a Z . Hallar “Y” cuando2
X =10, Z = 1, sabiendo que cuando X = 35, Z = 8, entonces Y = 1/4.
A) 48 B) 36 C) 52 F) 56 E) 64 09. En la gráfica, hallar (a + b)
Prof: José Enrique Malpartida R.
10. Dada la tabla:
A 8 x 6 2 B 6 32 8 z C y 4 9 1
Sabiendo que “A” I.P. B, a su vez D.P. con . Hallar: x + y - z
A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E) 6 11. “A” varía en razón directa a “B“ e inversa al cuadrado
de ”C”, cuando A = 10, entonces B = 4 y C = 14. Hallar A cuando B = 16 y C = 7.
A) 120 B) 180 C) 140 D) 160 E) 118 12. “A” es directamente proporcional con B 2 e
inversamente proporcional a . Cuando A = 4, B =8 y C = 16. Hallar A cuando B = 12 y C = 36.
A) 8 B) 6 C) 10 D) 12 E) 9
13. UNI 88
Sea V el volumen de un paralelepípedo rectangular de ancho “a”; largo “b”, altura “h”, las cuales son variables. “h” es independiente del valor de “a”; “b” es inversamente proporcional al valor de “a”. Entonces: A) V es D.P. a “a” B) V es I.P. a “a”
C) V es D.P. a “b” D) V es I.P. a “b” E) V es D. P. a “h”
14. UNI 1982 - II
Una rueda A de 80 dientes engrana con otra ruda B de 50 dientes. Fijo al eje B hay otra rueda C de 15 dientes que engrana con una rueda D de 40 diente. Si A da 120 vueltas por minuto, ¿Cuántas vueltas dará la rueda D?.
A) 70 B) 72 C) 60 D) 90 E) 96 15. Si M es D.P. con P e I.P. con N/2. Cuando M = 18, P2
= 3, N = 8. Hallar N cuando P 0 6 y M = 45. A) 12,8 B) 7,2 C) 16,2 D) 14,2 E) 8,4
PARA TU CUADERNO
0 1. “ A ” v a ría p ro po rc io na lm e nte a “ B ” y al c u ad ra do de “C”; a s u vez inversam ente proporcional a “D ”. S i c u an do A = 8 ; B = 5 y C = 4 e nto nc e s D = 2 . ¿ C uánto valdrá “B ” c uando A = 2D y D = 4C ? A ) 1 20 B ) 1 50 C ) 18 0 D ) 16 0 E ) 2 00 02 . E l prec io del c afé v a r í a e n for m a D .P al pr ec io d el az úc a r e I .P . al pr ec io d el té . ¿ E n qu é porcentaje varía su precio cuando el prec io del té s ube 20% y el azúc ar baja en 10% ?
A ) D i s m i nu ye 1 5% B ) D i s m i nu ye 2 5% C ) Aum enta 25% D ) No varía E ) A u m e n ta 1 0%
03. Si: Cuando A = 6 entonces B = 4 y C = 2. Hallar C cuando A = 2 y B = 3.
A) 4 B) 3 C) 8 D) 9 E) 6 04. Según la ley de Boyle, la presión es inversamente
proporcional al volumen que contiene determinada cantidad de gas. ¿A qué presión está sometido un gas, si al aumentar esta presión en 2 atmósferas, el volumen varía en un 40%?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 05. El sueldo de un empleado es directamente
proporcional a su rendimiento e inversamente proporcional al número de días que ha faltado ha trabajar. Si Juan tuvo un sueldo mensual de S/ 600 y su rendimiento es como 5 faltó 4 días, calcula el sueldo de Carlos, si su rendimiento es como 8 y faltó 3 días.
Rpta. ______________
06. Dadas las magnitudes A, B y C A D. P. (c: constante) B . I.P. C ; (A: constante). Si A = 6;3
cuando B = 8 y C = 3. Calcula B, Cuando A = 12 y C = 1.
A) 864 B) 810 C) 854 D) 972 E) 872 07. El precio de una casa es D.P. al área e I.P. a distancia
que lo separa de Lima. Si una cada ubicada a 75km. cuesta S/. 45 000, calcula el costo de una casa del mismo material; si su área es el doble y se encuentra a 150km de distancia.
A) S/. 45 000 B) S/. 22 500 C) S/.11 250 D) S/. 90 000 E) S/. 18 000
08. Dos ruedas de 48 y 32 dientes engranan y están girando, si la primera rueda da 200 R.P.; ¿Cuántas vueltas dará la segunda rueda en 4 minutos? A) 1 100 B) 1 200 C) 1 300 D) 1 400 E) 1 500
09. El precio de un libro varía D.P. al número de páginas e I.P. al número de ejemplares cuando el número de ejemplares es 2 700, ahora el precio es S/.15 y el número páginas es 360. Calcula el precio cuando los libros tienen 240 hojas y se imprimen 3 000 ejemplares.
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Tema 17
REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE
CONCEPTO:
Reparto proporcional, es una de las aplicaciones de las magnitudes proporcionales, y consiste en repartir una cantidad en partes proporcionales a ciertos números llamados índices del repartir, ya sea en forma directa o inversamente proporcional.
CLASES DE REPARTO
El reparto proporcional, es simple, si el reparto se realiza proporcionalmente un grupo de índice y es compuesto, si es a 2 o más grupos de índices.
El reparto simple puede ser a su vez, directa o inverso; como se expone en el siguiente. cuadro.
Simple Directo Inverso Reparto proporcional
Compuesto
REPARTO DIRECTO
Repartir una cantidad “S” en tres partes A, B y C de tal manera que sean D.P. a, n, m y p. Hlallar las partes. Resolución:
S = A + B + C .... (1) Del enunciado:
Por propiedad
Reemplazando de (I):
Además:
º A = nk
º B = mk
º C = pk
REPARTO INVERSO
Si: A I.P. B º A D. P. Ejemplo
Si: A I. P. 4 º A I.P.
A I.P. 8 º A D. P.
A I. P. º A D. P.
ACTIVIDAD
01. Repartir 560 en cuatro proporcionales a 3; 5; 9 y 11. Indicar la parte menor.
A) 45 B) 100 C) 60 D) 90 E) 30 02. Ricardo reparte una propina de $165 entre sus 3
sobrinos D.P. a sus notas las cuales han sido 08; 16 y 20. ¿Cuánto recibe su sobrino más inteligente? A) $80 B) $75 C) $60 D) $30 E) $90 03. Una empresa reparte una gratificación de 7 800 soles
en diciembre a cinco de sus empleados en forma D.P. a sus años de servicio. los cuales son 21; 27; 30 años respectivamente. ¿Cuánto le toca al empleado con menos tiempo de servicio?
A) 2 100 B) 1 400 C) 1 440 D) 2 000 E) 350 04. Repartir 400 en partes que sean D.P. a ; y
. Indicar la diferencia entre la mayor y menor parte?
A) 160 B) 120 C) 80 D) 100 E) 75
05. Dividir 1 960 en partes que sea proporcionales a: . Indicar la suma de las cifras de la mayor parte.
A) 2 B) 8 C) 3 D) 12 E) 9 06. Repartir 702 en 3 partes que sean I.P. a 2; 3 y 4.
Indicar la menor parte.
A) 81 B) 216 C) 162 D) 144 E) 135 07. María reparte 112 caramelos entre sus sobrinos en
forma I. P. a sus edades las cuales son 5; 10 y 20 años. ¿Cuánto recibe el menor de sus sobrinos? A) 60 B) 32 C) 64 D) 72 E) 56 08. Repartir 762 en partes I.P. a:
. Indicar la mayor parte.
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10. Dividir el número 15 540 en 3 partes que sean I.P. a 10 ; 10 ; 10 , Indicar la parte mayor:8 9 10
A) 14 400 B) 14 000 C) 12 500 D) 12 100 E) 11 000
11. Al repartir 1 000 en tres partes I.P. a 18 ; 6 ; 24 , una3 4 2
de las partes es:
A) 144 B) 288 C) 576 D) 324 E) 162 12. Divide 176 en tres de modo que la primera sea a la
segunda como 5 es a 4 y la primera sea a la tercera como 7 es a 3. ¿Cuál es la segunda
A) 41 B) 30 C) 70 D) 56 E) N.A.
13. Repartir 1 380 en 3 partes, tal que la primera sea a la segunda como 2 es a 3 y que ésta sea a la tercera como 5 es a 7. ¿Cuál es la cantidad menor? A) 360 B) 250 C) 450 D) 350 E) 300 14. En un caserío de la sierra un hacendado va a morir y
deja a su esposa una herencia de S/.2 440 la cual está embarazada y le condiciona lo siguiente. “Si nace varón ella recibirá los 5/7 de los que recibe su hijo, y si nace mujer ella recibirá los 3/5 de lo que recibe su hija pero ella dio a luz mellizos (un varón y una mujercita) ¿Cuánto la corresponde a la madre? A) 840 B) 630 C) 700 D) 1 000 E) 910 15. Las edades de 7 hermanos son números
consecutivos. Si se reparte una suma de soles proporcionalmente a sus edades, el menor recibe la mitad del mayor y el tercero S/. 80 000. ¿Cuánto recibe el quinto?
A) S/. 64 000 B) S/.72 000 C) S/. 80 000 D) S/.96 000 E) S/.100 000
PARA TU CUADERNO
01. E f e c t u a r e l r e p a r t o d e 9 3 0 0 0 e n f o r m a in ve rs a m e n te p ro po rc io na l a lo s nú m e r os 6 ; 9 y 15. D ar c om o res pues ta la d iferenc ia que s e o bte ng a en tr e la m a yo r y m e n o r de la s pa rte s r es u lta nte s
A ) 9 0 00 B ) 7 0 00 C ) 10 0 00 D ) 8 00 0 E ) 2 7 00 0
02. R e p a r tir 1 3 5 0 0 0 d ó la r e s e n tr e 5 p e r s ona s p ro po rc io na lm e nte a lo s nú m e r os 2 00 ; 30 0; 40 0; 8 0 0 y 1 300 res pe c tivam en te. Ind ic ar cu án to le to c a a l últim o .
A ) 3 6 00 0 B ) 1 8 00 0 C ) 67 5 00 D ) 58 5 00 E ) 8 1 00 0
03 . S e de s ea dividir 9 8 4 e n tre s pa rte s , tales qu e la pr im er a s ea a la se gu nd a c om o 4 es a 9 y la s eg un da se a a la terc er a c om o 6 es a 5. C alc ula la d ife re nc ia e ntr e la m a yo r y la m e no r pa rte .
R p ta . __ __ __ __ __ __ 04. R epartir 39 en tres partes que sean D .P. a 3 ; 31 0 1 1
y 3 . H a lla r la d ife re nc ia e n t r e la s do s m a y or es1 2
partes .
A ) 15 B ) 12 C ) 14 D ) 6 E ) N .A . 05. S e r e p a r t e u n a h e r e n c i a “ N ” e n tr e c u a t r o h er ed er os q ue s e a n D .P . a 2 0 0; 6 0 0; 8 0 0 y 12 00 , s i la s u m a d e la s do s m a y o r e s p ar te s es 2 00 . H allar la diferenc ia de las m enores partes . A ) 2 0 B ) 3 0 C ) 40 D ) 50 E ) 6 0
06. E l profes or de aritm é tic a dec idió prem iar a s us 3 m ejores alum nos regalándoles $9 200 en form a d ir e c t a m e n t e p r o porc ional al n ú m e r o d e problem a s que resuelve la guía. El prim ero resolvió 17 problem as, el s egundo 15 y el tercero 1 4, in dic a c uá nto le to c ó a l s e gu nd o.
A ) 3 0 00 B ) 3 4 00 C ) 2 80 0 D ) 3 50 0 E ) 4 0 00
07. U n p a d r e d e ja a s us hijo s u n a h e r e n c i a a r ep ar tir s e en fo rm a I .P . a s u s e da de s qu e s o n: 1 8; 2 1 y 2 4 a ño s . S i a l m e no r le c o rr es p o nd e $4 200. ¿C uánto le corres ponde al m ayor? A ) $ 4 60 0 B ) $ 4 50 0 C ) $3 6 00 D ) $3 1 50 E ) $ 2 40 0
0 8. D i v i d i r 1 1 1 6 en tr es p ar te s ta le s qu e la 1/ y 3/
s e a n D .P . a 4 y 5; la 2/ y 3/ s e an D . P . a 6 y 7. D a r c o m o r es p u es t a la m a yo r de d ic h a p ar te . A ) 4 20 B ) 4 50 C ) 48 0 D ) 51 0 E ) 5 40 09. R e p a r tir 1 250 proporc ionalm ente a: =,5; 0 , 2 y
2/15. Hallar la parte m ayor.
A ) 5 00 B ) 6 00 C ) 75 0 D ) 55 0 E ) 6 50 10. U n p adre de fam ilia d e jó o r d e n a d o h a c e r e l r e p a r t o de s u he re nc ia e n fo rm a D . P . a la s edades de sus hijos de 24 y 16 años. El reparto s e ha c e lu eg o de d os a ño s , re c ib ie nd o en to nc e s uno de ellos $50 m ás qu e s i el reparto s e h ub ie s e h ec h o in m e d ia ta m e n te . C a lc u la r el m o nto d e la h er en c ia .
A ) $ 5 50 0 B ) $ 5 00 0 C ) $4 5 00 D ) $4 0 00 E ) $ 6 00 0 A) 1 875 B) 800 C) 75 D) 9 E) 3
09. Dividir 1 953 en partes I.P. a 5 ; 5 y 5 . Dar la parte16 18 20
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Tema 18
REPARTO PROPORCIONAL
COMPUESTO
Reparto Compuesto
Se llama así, porque interviene más de 2 magnitudes proporcionales.
Para ello se debe tener en cuenta 2 propiedades:
1/ Si:
A D.P. B
A D.P. C º A D.P. BCD A D.P. D
2/ Si:
A I.P. B º A D.P.
Ejemplo:
Un gerente decide repartir una gratificación de S/.4 200 entre tres empleados en partes D.P. a sus sueldos e I.P al número de faltas. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? Además:
Sueldos # de faltan
A 3 200 4
B 4 200 6
C 5 400 9 Resolución:
º G D.P. G D. P. S
G I. P. F
S: Sueldos F: # de faltas.
A
G : 4 200
B
G :
C
G :
Luego: K =
Finalmente:
A = 8K = 16 000 soles B = 7K = 14 000 soles C = 6K = 12 000 soles
Observación:
Se debe notar que el tercer empleado gana más (S/.5400) pero es el que recibe más gratificación. Esto se debe a que sus faltas (9) son mucha causando una disminución en la gratificación.
ACTIVIDAD
01. Repartir 2 120 en 3 partes D.P. a 4; 10 y 15 y a la vez I. P. a 6; 20 y 25. Hallar la mayor de las partes. A) 800 B) 600 C) 900 D) 750 E) N.A. 02. Repartir 9 640 en forma directamente proporcional a los números 3; 5 y 8 e inversamente proporcional a 4; 3 y 5.
Rpta. ______________ 03. Repartir 1 320 en forma D.P. a los números 4; 5 y 10
y su vez I.P. a 3; 2 y 6. Dar la parte menor. A) 300 B) 320 C) 450 D) 480 E) 540 04. Dividir el número 3213 en partes D.P. a 2;4 y 5 e I.P
a 3; 5 y 2. Indicar la diferencia entre la mayor y la menor de las partes.
A) 1485 B) 1230 C) 1110 D) 1130 E) N.A.
05. Se reparte S/.1290 entre 3 trabajadores A, B y C de acuerdo al cuadro siguiente ¿Cuál es la mayor parte?
Años de servicio
Rendimiento Tardanza acumulada A 15 80% 40 horas B 12 90% 30 horas C 10 70% 35 horas
La mayor parte es:
A) S/.510 B) S/.520 C) S/.530 D) S/.540 E) S/.550
06. A, B y C alquilan un garaje para guardar sus autos durante cierta cantidad de horas, según el cuadro.
Autos Tiempo Si el alquiler del g a r a j e c o s t ó S/.380 ¿Cuánto le corresponde pagar a “C”. A 4 10
B 5 6 C 8 15
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07. Al repartir S/.76 700 en 3 partes D.P. a 3; 5 y 6 y D.P. respectivamente. ¿Cuál es la diferencia entre las 2 mayores partes?
A) S/.27 300 B) S/.13 000 C) S/.23 700 D) S/.24 900 E) S/.25 700
08. Dividir el número 7 700 en partes D.P. a 14 , 70 y 212 2 2
e I.P. a 2; 100 y 1/3. Dar la mayor de las partes como respuesta.
A) 6 930 B) 6500 C) 2516 D) 6660 E) 6660 09. Dos agricultores A y B tienen terrenos de 12 y 9 hectáreas respectivamente, que laborarán en conjunto. Para concluir más rápido el trabajo contratan a un peón C. Si el peón cobró por su trabajo 1400 soles y todos trabajaron igualmente. ¿Cuánto pagará cada uno de los agricultores?
A) S/.800 y S/.600 B) S/.900 y S/.500 C) S/.1 200 y S/.200 D) S/.1 000 y S/.400 E) S/.1 100 y S/.300
10. Tres hermanos A, B y C disponen de10, 12 y 14 soles respectivamente, para sus gastos en un día festivo. Otro hermano de estos D, se había gastado el dinero con anterioridad. Acuerdan A, B y C reunir sus fondos y repartir el total en partes iguales entre los cuatro y así lo hacen. Sabedor el padre de la acción de sus hijos, entrega A, B y C S/.45 para que se los repartan proporcionalmente a los desprendimientos generosos que hicieron. ¿Cuánto le correspondió a C? en soles. A) 28 B) 30 C) 20 D) 24 E) 25
11. Tres amigos A, B y C se van de paseo al desierto llevando 8; 11 y 9 litros de agua, pero se encuentran con una persona en dicho desierto que no tiene agua, acordando compartir el agua en partes iguales, al final dicha persona le regala 21 monedas de oro ¿Cuántas monedas le corresponden a C?
A) 8 B) 12 C) 10 D) 6 E) 9 12. Tres obreros deben repartirse $423 890 por haber
ensamblado televisores y radios, el primero 2 televisores y 20 radios, el segundo 5 televisores y 12 radios y el tercero 6 televisores. SI el trabajo de un televisor es equivalente al de 5 radios ¿Cuánto recibió el segundo obrero?
A) $60 240 B) $ 137 240 C) $209 105 D) $147 140 E) $161 690
13. Repartir 95 en 3 partes A, B, C, DP. A 10, 12 y 14 IP. a 5; 8 y 7 e IP. a 4; 2 y 6. ¿Cuánto le toca al primero?.
A) 30 B) 35 C) 36 D) 45 E) 42 14. Repartiremos la cantidad “S” en 3 partes A; B y C que
son D. P. a 15, 13 y 17 e I. P. a 5; 39 y 85 respectivamente. Además la parte que le toca a “A” más 1 800 es a la parte que le toca a “B” más la de “C” como 6 es a 1. Hallar “S”.
A) 29 300 B) 36 000 C) 31 200 D) 31 800 E) 32 400
15. Un padre reparte 60 en partes que sean DP a e IP. a 4; 6 y 10 ¿Cuánto le toca al primero?
A) 20 B) 24 C) 18 D) 2 E) 25
PARA TU CUADERNO
0 1. R e p ar tir 1 20 e n 3 pa rte s A , B y C ta l qu e s e an : D . P . a 15 ; 18 y 2 1 I.P . a 18 ; 27 y 4 2 H a lla r la p ar te m e no r
A ) 5 0 B ) 4 0 C ) 20 D ) 18 E ) 1 6 0 2. R e p ar tir S /.4 8 90 e n 3 p a rte s D . P . a 1 2 , 1 5 y 1 6
y a la vez I.P. a 9, 6 y 10. Indicar la parte m ayor. A ) S /.2 20 0 B ) S /.2 00 0 C ) S /.2 25 0 D ) S/.2300 E ) N .A .
0 3. R e p ar tir S /.1 6 3 00 e n 3 p ar te s D . P . a 1 2, 1 5 y 1 6 e I.P. a 9, 6 y 10 Indicar la parte m ayor.
A) 7500 B) 4800 C ) 9600 D ) 7200 E) 8400 04. Se reparte $1 800 entre 3 trabajadores A , B y C
d e ac u e rd o al c u ad ro s ig uie nte . T ie m p o de
s e rv ic io ( añ o)
N ú m e ro d e fa lta s a c u m u la da s
A 15 5
B 12 3
C 8 4
¿ C uánto le c orres ponde a C ?
A ) 6 0 B ) 4 0 C ) 20 D ) 25 E ) 7 5 05. R epartir 596 000 en form a p r o p o r c io n a l a lo s
n úm e ro s 2; 4; 6; 8 e in ve rs a m e n te p ro po rc io na l a los nú m e r o s 1 ; 3; 5; 7. C alc ular , cu án to le c o rr es p o nd e al m e n o r
A ) 2 10 0 00 B ) 1 4 00 0 C ) 12 6 00 0 D ) 11 0 00 E ) 1 20 0 00
06. R e p a r t i r 9 6 4 0 e n f o r m a d i r e c t a m e n t e p ro po rc io na l a l o s nú m e r os 3 ; 5 y 8 e in ve rs a m e nte p ro po rc io na l a 4; 3 y 5.
R p ta : __ __ __ __ __ __ _ 0 7. R e p ar tir e l n úm e ro 8 1 60 D . P . a 0 ,0 24 ; 0 72 ; 1,5 ;
D . P . a 4 ; 5; 6 e I.P . a 0,2 4; 0,1 2 y 0,3 75 . In dic a r la m e no r c a ntid ad r ep ar tid a.
A) 80 B) 60 C ) 90 D ) 100 E) N .A 0 8. A l d iv id ir 4 80 e n f or m a p r o po rc io na l a 1 /2 , 2 /3 y
5/6 s e obtiene que la m ayor parte es :
A ) 2 00 B ) 1 20 C ) 18 0 D ) 21 0 E ) 2 50 0 9 . Una cantidad se reparte en forma proporcional a
la m en or de las par tes res u ltó 14 . ¿c uá l es la s u m a d e la s c ifr as d e la c a n tid ad r ep ar tid a? A) 3 B) 12 C ) 15 D ) 9 E) 7 1 0. S e r ep ar te c ie rta c a n tid ad e n fo rm a I.P a 4 , 6 y 9 ,
Prof: José Enrique Malpartida R.
Tema 19
REGLA DE COMPAÑÍA
INTRODUCCIÓN
Una compañía es un conjunto de personas organizadas con fines lucrativos, bajo una razón social. Las personas que la conforman se denominan socios de la compañía.
Para formar la compañía o durante su ejercicio, los socios aportan capitales, que puede ser en dinero o bienes no dinerarios (maquinarias, muebles, enseres) o servicios. Cada cierto periodo comercial, (generalmente anual) la compañía obtiene una utilidad o beneficios (aunque también puede obtener perdida). Lo cual es repartido entre los socios de la compañía, proporcionalmente a los capitales aportados y los tiempos que han permanecido estos capitales en la compañía.
Problema General
1 2
Tres socios A, B, C forman una empresa aportando C , C , y
3 1 2 3
C soles respectivamente durante T , T , y T años. Si al final se obtuvo una ganancia “G” ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
Resolución:
G DP T
º G DP CT
G DP C
Entonces:
D.P. D.P. D.P
1 1 1 1 1 1 1 1
G : C T : C T º G = C T K
2 2 2 2 2 2 2 2
G G : C T : C T º G = G T K
3 3 3 3 3 3 3 3
G : C T : C T º G = G T K
Donde K =
Luego:
1 1 1
G = C T K
2 2 2
G = G T K
3 3 3
G = G T K
Ejemplo:
Dos amigos Juan y Alberto se asocian para forma un negocio, el primero aportó S/. 1 200 y el segundo S/. 1500 y han permanecido en dicho negocio 8 meses y 6 meses respectivamente. Si al liquidar la sociedad hay una ganancia de S/. 74 400. Calcule la diferencia de ganancias entre ellos. Resolución
ACTIVIDAD
01. Tres amigos se reunieron para formar una empresa. Los capitales fueron de S/. 2 000; S/. 3600 y S/. 4 000. Si al cabo de los primeros 6 meses obtuvieron una ganancia de S/. 1440. ¿Cuánto le corresponde al que puso mayor capital?
A) S/. 650 B) S/.600 C) S/.500 D) S/. 400 E) S/.300
02. Abel, Carlos y Benito aportando: $12 000; $20 000 y $80 000 respectivamente durante 1 año, 8 meses y 1 años 8 meses. Si al final se obtuvo una ganancia de $5 800. ¿Cuánto le toco a Abel?
A) $1 600 B) $1 800 C) $2 000 D) $2 400 E) $1 500
03. Se han asociado tres personas aportando la primera $4 000 durante 8 meses, la segunda $ 6000 durante 5 meses y la tercera $3 000 durante 9 meses. Si al finalizar el negocio hubo una ganancia de $3 560 ¿Cuánto le corresponde al que colocó el menor capital?
A) $980 B) $720 C) $1 150 D) $1 080 E) $1 050
04. Tres socios reunieron un capital de S/.30 000 para hacer un negocio. El primero aportó S/.8 000 durante 5 meses, el segundo S/.10 000 durante 3 meses y el tercero, lo restante durante 6 meses. Calcula el beneficio de cada socio, sabiendo que la ganancia
total fue de S/.14 200.
Rpta.: _______________ 05. Un negocio dio una utilidad de 3 200 soles. Si los
capitales impuestos fueron de 18 000; 30 000 y 48 000 soles durante 8; 16 y 12 meses respectivamente, ¿Cuánto le corresponde al que estuvo más tiempo en el negocio?
A) S/.1 280 B) S/.1 460 C) $1 536 D) S/.1 444 E) N.A.
06. Al formar una empresa se aportaron los siguientes capitales: $6 500, $5 000 y $4 500. Si luego de un periodo de un año, se repartieron una cierta ganancia, tocándole al tercero $1 040 menos que al primero ¿Cuál fue la ganancia de la empresa?
A) $6 400 B) $7 260 C) $7 450 D) $8 320 E) $9 000
07. Después de 4 meses que “A” había fundado una empresa, para lo cual invirtió S/.16 000, se asoció “B” que aportó los 3/4 del capital de “A”. Si 6 meses más tarde liquidaron la empresa y tuvieron que afrontar una pérdida de S/.8 700 ¿Cuánto de la pérdida le corresponde al socio “B”?
Prof: José Enrique Malpartida R.
D) S/.3 000 E) N.A
08. Un industrial empezó un negocio y a los nueve meses admitió un socio y 5 meses más tarde entró un tercer socio. Si los capitales depositados por cada socio fueron $4 000; $3 000 y $7 500 respectivamente y el negocio duró 2 años, al cabo de los cuales la utilidad fue de $5 760. ¿Cuánto le corresponde al socio fundador?
A) $2 560 B) $2 420 C) $1 440 D) $2 640 E) $3 620
09. Dos amigos pusieron un negocio aportando dos capitales que están en la proporción de 4 a 7. Si la ganancia de este negocio fue de $550. ¿Cuánto le corresponde al que ganó más?
A) $300 B) $380 C) $200 D) $250 E) $350
10. Una persona inició un negocio de venta de telas en Gamarra con una inversión de $5 000, tres meses después admite un socio que invierte $6 000. Al finalizar el primer año hubo una utilidad de $2 850. ¿Cuánto le corresponde al fundador?
A) $1 200 B) $1 800 C) $2 000 D) $1 500 E) $2 400
11. Mario y Carlos ponen un negocio de venta de suministros de cómputo, invirtiendo $3 000 y $4 000 respectivamente. Si al cabo de un año obtuvieron una ganancia de $3 500. ¿Cuánto le corresponde a Mario?
A) $1 000 B) $1 200 C) $1 500 D) $2 000 E) $2 500
12. Dos amigos se asociaron y formaron un negocio aportando cada uno $4 000 y $2 500 respectivamente, luego de tres meses aceptaron a un tercer socio que aportó $5 000. Al finalizar el primer años el negocio dejó una utilidad de $9 840 ¿Cuánto le corresponde al tercer socio?
A) $3 600 B) $2 000 C) $1 500 D) $4 000 E) $4 800
13. Un industrial empezó un negocio, a los cinco meses admitió a un socio que aportó los 3/4 del industrial y 4 meses después, entró un tercer socio que aportó los 4/5 del industrial Al cabo de 15 meses de iniciado el negocio se cerró por quiebra siendo la pérdida de $10 920. Determinar la mayor de las pérdidas.
A) $6 000 B) $4 000 C) $4 500 D) $7 500 E) $4 800
14. Dos socios han ganado en un negocio $2 340 y $3 996 Si entre ambos socios contribuyeron al negocio con un capital de $14 432. Hallar la diferencia entre los capitales que aportaron.
A) $4 432 B) $3 772 C) $3 727 D) $3 642 E) N.A.
15. Tres socios “A, “B” y “C” forman una compañía exportadora de algodón aportando $5 000, $6 000 y $8 500 respectivamente. Si al cadbo de tres meses “A” retira $1 000 y dos meses más tarde el socio “B” se retira. Determinar cuánto ha ganado el socio “A” sabiendo que la compañía duró 1 años y se obtuvo una ganancia de $18 300
Prof: José Enrique Malpartida R.
P A R A T U C U A D E R N O
01. A, B y C emprenden un negocio imponiendo S/.900, S/.800 y S/.750 respectivamente. Al cabo de un año A recibe como ganancia S/.1 800. ¿Cuánto ha ganado C?
A) S/.1 500 B) S/.1 600 C) S/.1800 D) S/.2 000 E) S/.2 500
02. Cinco comerciantes se asociaron contribuyendo con 24 000, 36 000, 42 000, 50 000 y 70 000 soles durante 5 , 4, 3, 2 y 1 años respectivamente. Los beneficios fueron de 279 720 soles. ¿Cuánto ganó el 2do comerciante.
A) S/.59 940 B) S/.71 928 C) S/.62 937 D) S/.49 950 E) S/.34 965
03. Un fabricante empezó un negocio con $3 000. A los seis meses aceptó un socio con $2 000 y 4 meses más tarde aceptó a un tercer socio con un cierto capital. A los dos años de iniciado el negocio fue liquidado y se obtuvo una ganancia total, de $24 600. Correspondiendole al fundador $10 800. ¿Cuál fue el capital aportado por el tercer socio?
A) $20 000 B) $30 000 C) $40 000 D) $36 000 E) $10 800
04. Cuatro socios reúnen $200 000 de los cuales el primero pone la quinta parte; el segundo 3/4 de lo que puso el primero, el tercero 5/3 de los que puso el segundo y el cuarto lo restante. Si luego de dos años obtuvieron una ganancia de $150 000 y se disuelve la sociedad. ¿Con qué cantidad total se retiro el cuarto socio?
A) $20 000 B) $30 000 C) $40 000 D) $50 000 E) $60 000
05. A emprende un negocio con un capital de S/.5 000. A los 4 meses toma como socio a B que aporta S/.5 000 y tres meses más tarde admiten como socio a C que aporta otros S/.5 000. Si a un año de comenzar A su negocio hay una utilidad de 1250. ¿Cuánto recibe el primer socio.
A) 250 soles B) 400 soles C) 900 soles D) 600 soles E) 800 soles
06. La suma de las imposiciones de 2 socios es S/. 24 600 la primera excede a la segunda en S/.2 400. ¿Qué parte le toca a la primera sobre un beneficio de S/.8610?
A) 4 725 B) 2 745 C) 5 472 D) 7 425 E) 2 125
07. Dos socios reunieron un capital de 10 000 soles para hacer un negocio. El primero dejó su capital durante 3 meses y el otro, durante 2 meses. Se pide encontrar la suma de las cifras de la diferencia de los capitales aportados, sabiendo que las ganancias fueron iguales. A) 4 B) 10 C) 7 D) 3 E) 2 08. A, B y C emprenden un negocio imponiendo S/.900,
S/.800 y S/.750 respectivamente. Al cabo de un año A recibe como ganancia S/.1 800. Cuánto ha ganado C? A) S/.1 500 B) S/.1 600 C) S/. 1 800 D) S/.2 000 E) S/.2 500
09. Cuatro socios reúnen 2 000 000 de dólares de los cuales el primero pone 400 000; el segundo los 3/4 de lo que puso el primero; el tercero los 5/3 de lo que puso el segundo y el cuarto lo restante. Explotan una industria durante 4 años. Si hay que repartir una ganancia de 1 500 000 dólares. ¿Cuánto le toca al cuarto?
A) 800 000 B) 500 000 C) 300 000 D) 900 000 E) 600 000
10. Dos socios forman una compañía aportan 2 000 y 5 000 dólares. Al cabo de 3 meses ingresa un tercer socio aportando cierto capital 5 meses después se reparten las utilidades. Tocándole igual cantidad a los que aportan mayor capital. ¿Cuál es el capital impuesto por el tercer socio?
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Tema 20
REGLA DE TRES SIMPLE
Analiza solo 2 magnitudes, puede ser:
DIRECTA
A D.P. B
1 1
a b
2
a x
1 2 1
Se multiplica en aspa: a x = a b x =
Ejemplos
01. Una tripulación de 45 hombres tiene víveres para un viaje de 60 días. Si se desea aumentar la tripulación en 5 hombres ¿En cuantos días se debe acotar la duración del viaje?
Resolución:
# hombres # días
+
9
45 60
9
-50 (60 - x)
es una regla de 3 inversa. Simplificando:# hombres # días
9 60
10 (60 - x) 9 . 60 = 10 (60 - x)
54 = 60 - x x = 6
INVERSA
A D.P. B
1 1
a b
2
a x
1 1
Se multiplica en línea horizontal a b = a2x; x =
02. Para pintar un cubo de 10cm de lado se gastó 240 soles. ¿Cuánto se gastará para pintar un cubo de 15c de lado?
Resolución:
El trabajo consiste en pintar la superficie del cubo, es decir 6 caras.
Superficie Gasto
+
9
6.10.10 240
9
-6.15.15 x
es una regla de 3 directa.2.2 240 3.3 x
4x = 9 x 240 x = 9 x 60 x = S/.540
ACTIVIDAD
01. Un ciclista corre en 30 segundos 750 metros de una carretera. ¿Cuántos metros recorrerá en 50 segundos?
A) 1 250 B) 1 000 C) 1 500 D) 1 750 E) 900
02. Una cuadrilla de obreros hacen una obra en 12 días, si se aumentan 3 obreros más la obra terminarían en 4 días menos ¿Cuántos obreros conforman la cuadrilla?
A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 4 03. 3 docenas de limones cuestan S/.4. ¿Cuánto costarán
9 docenas de estos mismos limones?
A) S/.10 B) S/.12 C) S/.15 D) S/.6 E) S/.8 04. En un zoológico hay 8 leones, los cuales tiene ración
de carne para 15 días ¿Cuántos leones deben sacrificarse para que dicha ración alcance para 9 días más
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 05. Un cocalero siembra los 4/5 de un terreno hasta las
12:20p.m; si terminó a las 2: 25p.m. del mismo día ¿A
qué hora comenzó?
A) 4a.m. B) 4:20 a.m. C) 4:25 a.m. D) 5:10 a.m. E) 5:25 a.m.
06. Noventa expedicionistas tienen alimentos reservados para todo el mes de Agosto. Si estos alimentos deben alcanzar 2 semanas más. ¿Cuántos hombres tendrán que abandonar la expedición?
A) 62 B) 28 C) 38 D) 60 E) 30 07. Durante 3 días y 8 horas se consumen los 2/5 del
volumen de un tanque de agua. ¿En cuánto tiempo se consumirán los 3/4 de lo que queda del tanque? A) 3d 15h B) 3d 18h C) 3d 20h D) 3d 12h E) 3d 21h
