potencias

Análisis básico de Potencias. Demostraciones de propiedades.

Recordemos conceptos básicos Recordemos conceptos básicos

 “a” elevado a 0 es 1.  “a” elevado a 1 es a.  0 elevado a “n” es 0.  1 elevado a “n” es 1.

 (-1) elevado a par es 1.



_{“a/b” elevado a “n” es (a}

) / (b

)



raiz cuadrada de a

es “a”

 EJERCITA:

 (-3) elevado a 5 es:...  (1/4) elevado a 3 es:....  5 elevado a 4 es ...  2 elevado a 10 es:...  (-1) elevado a 125 es:...  12 elevado a 0 es:...  (-16) elevado a 1 es:....  (3/5) elevado a 4 es:...  (-2/7) elevado a 3 es:...

PROPIEDAD: Potencia de exponente negativo PROPIEDAD: Potencia de exponente negativo

a

a -n -n = (1/a)= (1/a) nn

(a/b)

(a/b) -n-n = (b/a) = (b/a) nn

 Demostración:

a -n = a 0 – n

= a 0 : a n  = 1 : a n

a

a -n -n = (1/a)= (1/a) nn

(a/b)

(a/b) -n-n = (b/a) = (b/a) nn  Ejemplos:

 2 –3 = (1/2) 3 = 13 / 2 3 = 1/8

 (2/3) –3 = (3/2) 3 = 3 3 / 2 3 = 27/8  8 –2 = (1/8) 2 = 1 2 / 8 2 = 1/64

 (3/4) –5 = (4/3) 5 = 4 5 / 3 5 = 1024/243  (1/5) –4 = (5/1) 4 = 5 4 = 625

 (1/3) –7 = (3/1) 7 = 3 7= 2187

 (-6/7) –2 = (-7/6) 2 = 7 2 / 6 2 = 49/36  (-3/8) –5 = (-8/3) 5 = (-8) 5 / 3 5 =

a

a -n -n = (1/a)= (1/a) nn

(a/b)

(a/b) -n-n = (b/a) = (b/a) nn

Ejercicios:

 6 –2 =

 (4/9) –3 =  15 –2 =

PROPIEDAD: Producto de potencias de igual PROPIEDAD: Producto de potencias de igual base

base a

ann_aamm = = aan+mn+m

 Demostración:  anam

 = a a a a a….. aa a a a….. a  n veces m veces

a

an n _ aamm = = aan+mn+m  Ejemplos:

 2325= (2 2 2) (22 2 2 2) = a 8  _{3 veces 5 veces (3+5 veces)} 

 7 137 8 = 7 21  4 44 2 = 4 6

a

ann_aamm = = aan+mn+m  Ejercicios:

PROPIEDAD: a

PROPIEDAD: ann b _b nn = (a _{= (a}b) _b) nn

Demostración

•aann  b b nn

=

= a a  _{a a}  _{a a}  _{a a}  _{….. a ….. a}  _{b  b}  _{b  b}  _{b b}  _{b b}  _{…..b …..b}

n veces n vecesn veces n veces

= ab

= ab  _{ab ab}  _{ab ab}  _{ab ab}  _{... ...}  _{ab ab}

n vecesn veces

= (a

a

ann  b _b nn = (a _{= (a}  b) _b) nn

Ejemplos:

2

2 nn _ 3 3 nn = (2 = (2 _ 3 3) ) n n = 6 = 6

5

5 4 4 _ 7 7 44 = 35 = 35 44

3

3 22 _ 8 8 22 = 24 = 24 22

12

12 33 _ 5 5 3 3 = 60 = 60 3 3 = 216000= 216000

25

25 88 _ 4 4 88 = 100 = 100 8 8 = 1000000000= 1000000000

5

5 66 _ 8 8 66 = 40 = 40 6 6

3

322 _ 7 722 = (3 = (3 _ 7) 7)22 = 21 = 2122 = 441 = 441

2

244 _ 5 544 = (2 = (2 _ 5) 5)44 = 10 = 1044 = 10000 = 10000

25

2522 _ 4 422 =(25 =(25  4) 4)22 =100 =10022 = = 1100000000

(1/2)

(1/2)55  (4/3) (4/3)55 = (1/2  = (1/2  4/3) 4/3)55

a

ann b b nn = (a = (ab) b) nn  Ejercicios

PROPIEDAD: a

PROPIEDAD: a nn :: b b nn = (a= (a::b) b) nn

Demostración: a n :b n

=(a a a a a a ) : ( b b b b b) n veces n veces

= (a:b·(a:b)·(a:b)·(a:b)· (a:b) n veces

a

a nn :: b b nn = (a= (a::b) b) nn

Ejemplos:

(3/5)2 :(6/5)2 = (3/5 · 5/6) 2 = (1/2) 2 22 :(1/2)2 = (2· 2) 2 = (4) 2 = 16

(3/4)5 :(4/3)5 = (3/4·3/4) 5 = (9/16) 5 (3)8 :(6)8 = (3/6) 8 = (1/2) 8

a

a nn :: b b nn = (a= (a::b) b) nn

Ejercicios:

(3/5)2 :(6/5)2 =

1445 : 365 =

817 : 277 =

10004 : 1254 =

323 : 83 =

542 : 62 =

PROPIEDAD: Cuociente de potencias PROPIEDAD: Cuociente de potencias

de igual base de igual base

a

ann::aamm = = = = aan - mn - m

 Demostración:

an:am

= a a a a a….. a (n veces) aa a a a….. a (m veces)

= a _a _a _a _a_{….. a (n veces)}

a_{a a} _a_{….. a (m veces)}

= an-m

a

ann::aamm = = = = aan - mn - m

 25:23= (22 2 2 2)

(2 2 2)

simplificando

(2₂ ₂₎ ₂ ₂

(2 2 2)

 = 25 – 3

 = 22

 ejemplos

7 13:7 -8= 713 - -8= 721

44:42 = 44-2 = 42 = 16

(-3):(-3)27 = (-3)1 –27 = (-3) –26

a

ann::aamm = = = = aan - mn - m

 Ejercicios:  6 –2 : 64 =

 (4/9) –3 : (4/9) –5 =  15 2 : 15 –3 =

 (1/10) –5 : (1/10) –3 =  (3/5) 7 : (3/5) 11 =

 (1/8) –3 : (1/8) 10 =  (-2/3) –5 : (-2/3) –3 =

PROPIEDAD: Potencia de una potencia

PROPIEDAD: Potencia de una potencia (a

(ann))mm = a = a n·m n·m

Demostración:

(an)m = a· a· a· a· a· a·…… a (n veces)

 a· a· a· a· a· a·…… a (n veces)  a· a· a· a· a· a·…… a (n veces)

a· a· a· a· a· a·…… a (n veces)

(m veces)

Potencia de una potencia

Potencia de una potencia (a

(ann))mm = a = a n·m n·m

 Ejemplos:

 ((3/5)2)-1 = (3/5)-2 = (5/3)2 = 25/9  (365)3 = 3615

 (814 )1/2 = 814/2 = 812 = 6561  (((10)4)2)3 = 1024

Potencia de una potencia

Potencia de una potencia (a

(ann))mm = a = a n·m n·m

Ejercicios: (42 )2 =

(-1/4)4 )¾ =

((-3)5)2 =

((22)2)2 =

PROPIEDAD: Suma o Resta de potencias PROPIEDAD: Suma o Resta de potencias

“Se calcula cada valor de potencia y luego “Se calcula cada valor de potencia y luego

Ejemplos:



5

+ 2

= 125 + 8 = 133



(-1)

- 1

+ 2

+ 2

- 17

= -1 –1 + 16 + 256 – 17 = 253



4

+ 2

= 64 + 32 = 96



11

+ 5

- 2

= 1331 + 25 – 32 = 1324



10

- 6

= 1000000 - 216 = 99784



3

+ 5

+ 2

+ 2

243 + 625 + 8 + 2 = 878

“

“Se calcula cada valor de potencia y luego se _{Se calcula cada valor de potencia y luego se} suman o restan”

suman o restan”

Ejercicios:



12

+ 3

- 2

=



10

+ 8

= 



6

+ 3

- 8

= 



1

+ 6

+ 9

=



2

+ 2

+ 2

+ 2

= 



7

- 7

=

EJERCICIOS: EJERCICIOS:

 1) 52 – 42 - 32

es igual a :

 a)16  b)9  c)1  d)0

 2) La expresión

22 · 52 es la

factorización de

 a)20  b)50  c)75

EJERCICIOS: EJERCICIOS:



3)

rey un granito de

arroz y que cada día le doblara la

cantidad ¿Cuánto ha recibido a los 15 días?

 a)30  b)214

 c)215 - 1  d) 15 2

 4) (-2)5

 a) -10

 b) -32

 c) 64

EJERCICIOS: EJERCICIOS:

 5) El exponente de

la fracción 3/5 es -2 entonces la

potencia es:

 a) 9/25  b) –25/3  c) 25/9  d) –3/5

 6) Si la base es entero

negativo y el exponente es impar negativo,

entonces:

 La potencia es:

 a) entero negativo

 b) fracción positivo

 c) entero positivo

EJERCICIOS: EJERCICIOS:

 7) El valor de

53· 53

 a) 56  b) 59  c) 53  d) 152

 8) Si un cubo tiene

volumen 64 cm3 .

¿Cuál es el volumen de otro cubo cuyo lado es la mitad del anterior?

EJERCICIOS: EJERCICIOS:  

 9)En un cajón caben

12 cajas, en cada caja caben 12

frascos y cada frasco tiene 12 pastillas.

 ¿Cuántas pastillas

hay en 3 cajones?

 a) 864

 b) 288

 c) 1728

 d) 5184

 10) El valor del cubo

del cuadrado del doble de 3 es

 a) 2·(32)3  b) (2· 32) 3   c) 23·32

EJERCICIOS: EJERCICIOS:

 11)

(122 – 53)0 +( 32 – 23) 2

Es igual a:

 a) 1  b) 2  c) 3  d) 4

 12) 4-2 + 2-3

es igual a:

 a) 1/6

 b) 3/2

 c) 3/16

EJERCICIOS: EJERCICIOS:

 13) Si

m es (-1/2)

la expresión mayor es:

 a) - m 2  b) m 3

 c) -(2m) 3  d) m

 14) 5 socios hacen un

acuerdo de asociar a dos personas

semanalmente. ¿Cuántos socios habrían al mes (cuatro semanas)?

 a) 625

 b) 20

 c) 2205

Resuelve los siguientes problemas.(ejemplo) Resuelve los siguientes problemas.(ejemplo) El área de un cuadrado es 81 cm cuadrados. El área de un cuadrado es 81 cm cuadrados.

¿Cuál es el volumen de un cubo cuyo lado mide el ¿Cuál es el volumen de un cubo cuyo lado mide el

doble del lado del cuadrado? doble del lado del cuadrado?

 Razonamiento y cálculos

 Si el área el 81, entonces el lado del

cuadrado mide 9 cm (9x9=81).

 El doble del lado sería 18 cm.

 Luego el volúmen del cubo será 18 elevado

a 3

 18x18x18 = 324x18=5832

 Solución:El volumen es

1)El cuadrado de un número de 2 cifras se 1)El cuadrado de un número de 2 cifras se

puede calcular mentalmente sumando los valores puede calcular mentalmente sumando los valores

de los cuadrados de las cifras de la unidad y la de los cuadrados de las cifras de la unidad y la

cifra de las decenas más el doble producto de cifra de las decenas más el doble producto de

ambas cifras. ambas cifras.

¿Cuál es el cuadrado de 57, 41 y 29 ? ¿Cuál es el cuadrado de 57, 41 y 29 ?

 Razonamiento:

2)Todo los números del sistema decimal se pueden 2)Todo los números del sistema decimal se pueden

anotar como la suma de potencias de base 2. anotar como la suma de potencias de base 2.

¿Qué potencias sumarás para obtener ¿Qué potencias sumarás para obtener

el número a) 340 b) 1000 c) 2500 ? el número a) 340 b) 1000 c) 2500 ?

 Razonamiento:

3)a)¿En cuánto aumenta el área de un círculo 3)a)¿En cuánto aumenta el área de un círculo

cuyo radio aumenta al doble? cuyo radio aumenta al doble?

b)¿Y si aumenta en cuatro veces? b)¿Y si aumenta en cuatro veces?

c)¿Y si aumenta en 8 veces? c)¿Y si aumenta en 8 veces?

 Razonamiento:

4)Si el lado de un cubo es 12 cm. ¿Cuál 4)Si el lado de un cubo es 12 cm. ¿Cuál

será el volumen de otro cubo cuyo lado es será el volumen de otro cubo cuyo lado es

disminuido en 5 cm del anterior? disminuido en 5 cm del anterior?

 Razonamiento

5)Los números que son potencia de base 8, tienen 5)Los números que son potencia de base 8, tienen una sucesión determinada en los valores obtenidos una sucesión determinada en los valores obtenidos

en sus unidades. ¿Cuál es el valor de la serie de en sus unidades. ¿Cuál es el valor de la serie de

los primeros 10 números de esta serie, si el los primeros 10 números de esta serie, si el primer elemento es derivado de exponente 0? primer elemento es derivado de exponente 0?

 Razonamiento

6)Ordena en un triángulo (equilátero) numérico las 6)Ordena en un triángulo (equilátero) numérico las

potencias de 11 desde 11 elevado a 0 hasta 11 potencias de 11 desde 11 elevado a 0 hasta 11

elevado a 10. Explica como se pueden deducir elevado a 10. Explica como se pueden deducir

estos números. estos números.

 Razonamiento:

7)Un árbol que tiene 4 ramas, duplica sus 7)Un árbol que tiene 4 ramas, duplica sus

ramas cada 2 meses. ¿Cuántas ramas ramas cada 2 meses. ¿Cuántas ramas

nuevas tendrá en 2 años más? nuevas tendrá en 2 años más?

 Razonamiento: