RESOLUCIÓN Y DISCUSIÓN DE PARÁMETROS

RESOLUCIÓN Y DISCUSIÓN

DE

PROBLEMAS DE ENUNCIADO VERBAL CON

PARÁMETROS

Una empresa manda sus pedidos por correo ordinario o bien utilizando un servicio de mensajeros. Cada paquete enviado por correo ordinario supone un coste a la empresa de 20 PTAS, y el coste de cada paquete enviado por mensajero es una cantidad A que establece el servicio de mensajeros cada mes. Cierto mes el número total de paquetes enviados fue de 1 200 y el coste total de los mismos fue de 33 000 PTAS.

(a) Plantea un sistema de ecuaciones para determinar el número de paquetes enviados por correo ordinario y el número de los enviados por mensajero.

(b) Estudia su compatibilidad. Si se sabe que el coste por mensajero es superior al coste por correo, ¿el sistema tiene solución única?

(c) Resuelve el sistema si A = 35 PTAS

2B

Selectividad Universidad de Oviedo Septiembre 2000 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales

RESOLUCIÓN apartado a

DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS

x: Número de envíos por correo ordinario.

y: Número de envíos por servicio de mensajería.

DETERMINACIÓN DEL PARÁMETRO

A: Precio del paquete enviado por mensajero.

PLANTEAMIENTO:

x + y = 1 200 20x + A·y = 33 000

RESOLUCIÓN apartado b

Discutimos y resolvemos el sistema por el método de Gauss:

) 1 ( ) 20 (−       33000 20 1200 1 1 A

Fijamos la 1ª fila y modificamos la segunda con las operaciones indicadas a la izquierda

      −20 9000 0 1200 1 1 A

Procedamos a estudiar la compatibilidad del sistema:

(A – 20) y = 9 000

0 = 9 000 ¸ Sistema INCOMPATIBLE

A – 20 = 0

A = 20 ¸ Sistema INCOMPATIBLE

Cuando el precio del paquete enviado por mensajería es de 20 PTAS el problema no tiene solución.

A ≠ 20

Ejemplo: a = 40 ¸ 20 y = 9 000 ¸ y = 450

Sistema COMPATIBLE DETERMINADO

A

≠

x = 20 9000 ) 20 ( 1200 − − − A A ₌ 20 9000 24000 1200 − − − A A ₌ 20 33000 1200 − − A A SOLUCIÓN generalizada       − − − 20 9000 , 20 33000 1200 A A A

Para que pueda tener solución, tanto los valores de x (número de envíos por correo ordinario)

como de y (número de envíos por mensajería) han de ser positivos:

Si se sabe que el coste por mensajero es superior al coste por correo quiere decir que A > 20 [*]

(*) 20 33000 1200 − − A A _{> 0 cuando 1200A – 33000 > 0} 1200A > 33000 ¸ A > 27.5

Los valores de y son positivos para A > 27.5

= Si A > 0 ¸ (*) 20 9000 − A > 0

Como 9000 > 0 → Los valores de y son siempre positivos

Tendrá solución única para los valores A ≥ 28 RESOLUCIÓN apartado c       − − − 20 9000 , 20 33000 1200 A A A Para A = 35 ¸       − − − ⋅ 20 35 9000 , 20 35 33000 35 1200 Para A = 35 ¸ (600, 600)

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS

Cuando el precio del paquete enviado por mensajero alcanza las 35 PTAS, tanto el número de envíos por correo ordinario como el número de envíos por servicio de mensajería serán de 600 unidades.

Comprobamos con la calculadora gráfica, sustituyendo A por dichos valores en el sistema del

enunciado, si las respuestas obtenidas son las esperadas:

A = 20

F1

SOLV

„

La calculadora gráfica no es capaz de resolver sistemas incompatibles

A < 28 (por ejemplo A = 24)

F1

SOLV

„

La calculadora gráfica nos propone las soluciones correspondientes. Se obtienen expresiones negativas, imposibles en el contexto del problema.

F1

SOLV

„

La calculadora gráfica nos propone las soluciones correspondientes. Es un sistema compatible determinado.

Como se puede observar, se confirman nuestros resultados obtenidos con LÁPIZ Y PAPEL.

006

Un agente inmobiliario puede realizar 3 tipos de operaciones: venta de un piso nuevo, venta de un piso usado y alquiler. Por la venta de cada piso nuevo recibe una prima de 120 000 PTAS. Si la operación es la venta de un piso usado recibe 60 000 PTAS. Se desconoce la prima cuando la operación es un alquiler.

Este mes el número total de operaciones fue 5, la prima total por la venta de pisos fue superior en 200 000 PTAS a la obtenida por alquileres y la prima total por venta de pisos nuevos fue el triple que por alquileres.

(a) Plantea un sistema de ecuaciones (sin resolverlo) para obtener el número de operaciones realizadas (en función del valor desconocido de la prima de alquiler).

(b) Indica una prima a la que es imposible que se hayan pagado los alquileres. (c) Indica tres primas a las que es posible que se hayan pagado los alquileres. (d) Si la prima de alquileres fue de 20 000 PTAS, ¿cuántas operaciones de cada tipo se realizaron?.

2B

PAU Universidad de Oviedo Junio 2001 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales

RESOLUCIÓN apartado a

DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS x ≡ "Número de ventas de un piso nuevo"

y ≡ "Número de ventas de un piso usado"

z ≡ "Número de alquileres"

DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS

m ≡ "Valor desconocido de la prima por un alquiler"

PLANTEAMIENTO:

x + y + z = 5

120 000x + 60 000y = 200 000 + m·z 120 000x = 3·m·z

Colocamos términos semejantes en cada miembro, reducimos y obtenemos el siguiente sistema para obtener el número de operaciones realizadas (en función del valor desconocido de la prima de alquiler)

x + y + z = 5

120 000x + 60 000y – mz = 200 000 40 000x – m·z = 0

RESOLUCIÓN apartado b

Resolvemos el sistema por el método de Gauss:

) 1 ( ) 120000 (−           − − 0 0 40000 200000 60000 120000 5 1 1 1 m m ) 1 ( ) 40000 (−

Fijamos la 1ª fila y modificamos la 2ª y 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda y derecha, respectivamente: ) 2 (−         − − − −60000 120000 400000 0 5 1 1 1 m

Fijamos la primera y segunda filas y modificamos la tercera con las operaciones indicadas a la izquierda           − − + − − − − 200000 120000 3 240000 2 0 0 400000 120000 60000 0 5 1 1 1 m m m Simplificamos la 3º fila:           + − − − − − 200000 120000 0 0 400000 120000 60000 0 5 1 1 1 m m

Obtendremos una solución imposible cuando al estudiar la compatibilidad del sistema obtenemos un sistema INCOMPATIBLE

(– m + 120 000) z = 200 000 Será incompatible cuando:

– m + 120 000 = 0 m = 120 000

Es imposible que se hayan pagado los alquileres con una prima de 120 000 PTAS. RESOLUCIÓN apartado c

COMPROBACIÓN:

Para indicar tres primas a las que es posible que se hayan pagado los alquileres: Basta observar la matriz del sistema resultante:

          + − − − − − 200000 120000 0 0 400000 120000 60000 0 5 1 1 1 m m (– m + 120 000)z = 200 000

Hay que tener en cuenta que tanto x, y, z, m, atendiendo al contexto del problema, tienen que ser números enteros positivos; comencemos, por tanteo, dándole valores a "z":

z = 120000 200000 + −m Para z = 1 1 = 120000 200000 + −m → – m + 120 000 = 200 000 – m = 200 000 – 120 000 – m = 80 000 → m = – 80 000 NO VÁLIDA

(La prima por alquiler tiene que ser positiva y entera) Para z = 2 2 = 120000 200000 + −m → – 2m + 240 000 = 200 000 – 2m = 200 000 – 240 000 – 2m = – 40 000 → m = 20 000 ¿VÁLIDA? Para m = 20 000           − − − 200000 100000 0 0 400000 140000 60000 0 5 1 1 1 100 000z = 200 000 z = 2 Válida – 60 000y – 140 000z = – 400 000 – 60 000y – 280 000 = – 400 000 – 60 000y –= – 400 000 + 280 000

– 60 000y –= – 120 000 y = 2 Válida x + y + z = 5 → x = 5 – 2 – 2 x = 1 Válida Para z = 3 3 = 120000 200000 + −m → – 3m + 360 000 = 200 000 – 3m = 200 000 – 360 000 – 3m = – 160 000 → m = 160 000/3 NO VÁLIDA

(La prima por alquiler tiene que ser positiva y entera) Para z = 4 4 = 120000 200000 + −m → – 4m + 480 000 = 200 000 – 4m = 200 000 – 480 000 – 4m = – 280 000 → m = 70 000 ¿VÁLIDA? Para m = 70 000           − − − 200000 50000 0 0 400000 190000 60000 0 5 1 1 1 50 000z = 200 000 z = 4 Válida – 60 000y – 190 000z = – 400 000 – 60 000y – 760 000 = – 400 000 – 60 000y –= – 400 000 + 760 000 – 60 000y –= 360 000 y = – 6 No Válida Sólo es válida para m = 20 000

RESOLUCIÓN apartado d

Este apartado ya ha sido resuelto en el anterior, obteniéndose como solución:

1 venta de un piso nuevo, 2 ventas de pisos usados y 2 alquileres.

Vamos a comprobar con la calculadora gráfica, sustituyendo "m" por diversos valores en el sistema del enunciado:

m = 120 000

F1

SOLV

„

La calculadora gráfica no es capar de resolver sistemas incompatibles m ≠ 120 000 , por ejemplo m = 20 000

F1

SOLV

„

La calculadora gráfica nos propone las soluciones correspondientes. Es un sistema compatible determinado. m ≠ 120 000 , por ejemplo m = 70 000

F1

SOLV

„

La calculadora gráfica nos propone las soluciones correspondientes. Es un sistema compatible determinado, pero... con soluciones negativas

m ≠ 120 000 , por ejemplo m = 40 000

F1

SOLV

„

La calculadora gráfica nos propone las soluciones correspondientes. Es un sistema compatible determinado, pero... con soluciones fraccionarias

Como se puede observar, se confirman nuestros resultados obtenidos con LÁPIZ Y PAPEL.

007

En una farmacia se comercializan 3 tipos de champú de cierta marca: normal, con vitaminas y anticaspa. Se sabe que el precio al que se vende el normal es de 2 euros y el de vitaminas es de 3 euros. Se desconoce el precio al que vende el anticaspa. Por otro lado, el dinero total obtenido por las ventas de los 3 tipos de champú el mes pasado fue de 112 euros y el dinero obtenido en ventas con el champú normal fue 56 euros inferior al dinero total obtenido en ventas con el resto. Además, el dinero total obtenido en ventas con el champú de vitaminas y el anticaspa fue el mismo que el que hubiera obtenido vendiendo 28 unidades del anticaspa y ninguna de las demás.

(a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función del precio desconocido del champú anticaspa, que puedes llamar por ejemplo m) donde las incógnitas (x, y, z) sean las unidades vendidas el mes pasado de cada tipo de champú.

(b) ¿Qué puedes concluir sobre el precio del champú anticaspa a partir de un estudio de la compatibilidad del sistema?.

(c) Si se sabe que el número de unidades vendidas del anticaspa fue 20, utiliza el resultado del apartado (b) para calcular las unidades vendidas de los otros 2.

2B

PAU Universidad de Oviedo Junio 2002 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales

RESOLUCIÓN apartado a

D

DDEEETTTEEERRRMMMIIINNNAAACCCIIIÓÓÓNNNDDDEEEIIINNNCCCÓÓÓGGGNNNIIITTTAAASSS

x ≡ "Número de unidades vendidas el mes pasado de champú normal"

y ≡ "Número de unidades vendidas el mes pasado de champú con vitaminas"

z ≡ "Número de unidades vendidas el mes pasado de champú anticaspa"

D

DDEEETTTEEERRRMMMIIINNNAAACCCIIIÓÓÓNNNDDDEEEPPPAAARRRÁÁÁMMMEEETTTRRROOOSSS

m ≡ "Precio desconocido del champú anticaspa"

P

PPLLLAAANNNTTTEEEAAAMMMIIIEEENNNTTTOOO:::

2x + 3y + mz = 112 2x + 56 = 3y + mz 3y + mz = m·28

Reducimos y obtenemos el siguiente sistema en función del precio desconocido del champú anticaspa 2x + 3y + mz = 112

2x - 3y - mz = - 56 3y + mz = 28m

RESOLUCIÓN apartado b

Observado el sistema, lo resolvemos por el método de reducción tomando las 2 primeras ecuaciones:    − = − − = + + 56 3 2 112 3 2 ) 1 ) 1 mz y x mz y x

→

4x = 56

→

x = 14

Sustituimos este valor en el sistema: 28 + 3y + mz = 112 28 - 3y - mz = - 56 3y + mz = 28m → → → 3y + mz = 84 - 3y - mz = - 84 3y + mz = 28m Resolvemos por igualación de la 1ª y 3ª ecuaciones:

3y + mz = 3y + mz 28m = 84

m = 3

El precio del champú anticaspa es de 3 euros.

m = 3

3y + 3z = 84 → 3y = 84 - 3z y = 28 - z

Se trata de un sistema compatible indeterminado, de solución generalizada: (14, 28 - z, z) RESOLUCIÓN apartado c Para z = 20: (14, 28 - z, z) (14, 28 - 20, 20) (14, 8, 20)

Si vendió 20 unidades de champú anticaspa, ese mismo mes habrá vendido 14 unidades de champú normal y 8 con vitaminas.

008

En una granja se venden pollos, pavos y perdices; los pollos y los pavos, a razón de 2 y 1.5 €/Kg, respectivamente, aunque de las perdices no se acuerda (supongamos que son "m" €/kg). En cierta semana los ingresos totales de la granja ascendieron a 5700 €. Además se sabe que la cantidad de pollo vendida superó en 100 Kg a la de pavo y que se vendió de perdiz la mitad que la de pavo.

(a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de "m") para averiguar la cantidad vendida de cada tipo de carne.

(b) Estudia la compatibilidad del sistema, en función de "m". ¿Puedes dar algún precio al que sea imposible haber vendido las perdices?.

D

DDEEETTTEEERRRMMMIIINNNAAACCCIIIÓÓÓNNNDDDEEEIIINNNCCCÓÓÓGGGNNNIIITTTAAASSS

x ≡ "Cantidad de kg de pollo vendidos"

y ≡ "Cantidad de kg de pavo vendidos"

z ≡ "Cantidad de kg de perdiz vendidos"

D

DDEEETTTEEERRRMMMIIINNNAAACCCIIIÓÓÓNNNDDDEEEPPPAAARRRÁÁÁMMMEEETTTRRROOOSSS

m ≡ "Precio del kg de perdiz"

P PPLLLAAANNNTTTEEEAAAMMMIIIEEENNNTTTOOO::: 2x + 1.5y + mz = 5700 x = y + 100 2z = y → → → 2x + 1.5y + mz = 5700 x – y = 100 – y + 2z = 0 RESOLUCIÓN apartado b

Resolvemos el sistema por el método de Gauss

Colocamos las ecuaciones de forma que el parámetro quede lo más abajo y a la derecha posible:

) 1 ( ) 2 (−           − − 5700 5 . 1 2 0 2 1 0 100 0 1 1 m

Fijamos la 1ª y 2ª filas y modificamos la 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda:

) 1 ( ) 5 . 3 (           − − 5500 5 . 3 0 0 2 1 0 100 0 1 1 m

Fijamos la primera y segunda filas y modificamos la tercera con las operaciones indicadas a la izquierda.           + − − 5500 7 0 0 0 2 1 0 100 0 1 1 m

Procedamos a estudiar la compatibilidad del sistema: (7 + m) z = 5500

7 + m = 0 → m = - 7

m = - 7 ¸ 0z = 5500 ¸ SISTEMA INCOMPATIBLE.

para m = - 7 el precio sería imposible, pero como el precio no puede ser negativo, se dice que no se puede dar un precio al que sea imposible haber vendido las perdices

m ≠ - 7 ¸SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO.

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS