SOLUCIÓN AL EXAMEN 1: Métodos de integración Ecuaciones diferenciales ordinarias - 201
Casa libertad, UACM
1. Considera la siguiente ecuación diferencial
xdy−y+px2−y2dx= 0 a) ¿Cuál es el orden de ésta ecuación?
Solución: Recordando que el orden de una ecuación diferencial queda determinada por el mayor grado en su derivada y dado que podemos reescribir a la ecuación como:
xdy dx−
y+px2−y2= 0
entonces se infiere que la ecuación diferencial es de primer orden, pues contempla una primera derivada en la variabley.
b) ¿Es una ecuación homogénea, lineal o ambas?
Solución: Al escribir la ecuación en la formaM(x, y)dx+N(x, y)dy= 0, identificamos queM(x, y) =
−y+px2−y2yN(x, y) =x. Para demostrar que sea homogénea debemos verificar queM(tx, ty) = tnM(x, y)y queN(tx, ty) =tnN(x, y).
M(tx, ty) =−ty+pt2x2−t2y2=−ty+pt2(x2−y2)
=−ty+tp(x2−y2)=−ty+p(x2−y2)=tM(x, y)
entonces, M(x, y)es homogénea de grado 1. De igual manera se tiene que
N(tx, ty) =tx=tN(x, y)
por lo tanto,N(x, y)también es homogénea de grado 1. Por lo tanto, la ecuaciónes homogénea. La ecuación diferencialno es lineal debido a que no se puede escribir en la forma
a1(x)dy
dx+a0(x)y=b(x)
debido a que el término que incluye a la raiz contiene tanto axcomo ay.
c) Utilizando el cambio de variabley=ux muestra que esta ecuación se puede escribir como du
√
1−u2 − dx
x = 0 Hint: pa2(b+c) =a√b+c
Solución: Haciendo la sustitucióny=uxy considerando que para este cambio de variable, la diferencial dey queda comody=udx+xdu, entonces
x(udx+xdu)−ux+px2−x2u2dx= 0
xudx+x2du−ux+px2(1−u2)dx= 0
en este último paso se ha utilizado quepa2(b+c) =a√b+c
xudx+x2du−xu+p(1−u2)dx= 0
xudx+x2du−xudx−xp(1−u2)dx= 0
el primer y tercer término se cancelan, entonces
xdu−p(1−u2)dx= 0
xdu=p(1−u2)dx
dividiendo todo entrexy reacomodando términos
du p
(1−u2) = dx
x
d) Realiza la integral para encontrar la solución Hint: ´ √du
1−u2 = arcsinu
Solución: Integrando el resultado obtenido en c) tenemos que ˆ
du p
(1−u2) = ˆ
dx x
pero ˆ
du p
(1−u2) = arcsinu
y ˆ
dx x = lnx
entonces
arcsinu= lnx+c
recordando quey=ux, encontramos la solución general a la ecuación diferencial
arcsiny
x = lnx+c
2. Considera la ecuación lineal
(x2+ 1)dy
dx =x
2+ 2x−1−4xy a) Escríbela en la forma canónica e identifica aP(x)y aQ(x).
Hint: Utiliza que (x2+ 1) = (x+ 1)(x−1) y(x+ 1)2=x2+ 2x+ 1
Solución: Utilizando las identidades que se nos dan en la sugerencia, reescribimos la ecuación diferencial en la forma
(x+ 1)(x−1)dy
dx =x 2
+ 2x+ (1−1)−1−4xy
ojo: nota que hemos añadido un 0 en el término entre paréntesis para completar el cuadrado del lado izquierdo, entonces
(x+ 1)(x−1)dy
dx = (x
(x+ 1)(x−1)dy
dx = (x+ 1) 2
−2−4xy
reordenando los términos
(x+ 1)(x−1)dy
dx+ 4xy= (x+ 1) 2−2
dividiendo la expresión entre(x+ 1)(x−1)
dy dx +
4xy
(x+ 1)(x−1) =
(x+ 1)2−2
(x+ 1)(x−1)
entonces
P(x) = 4x (x2+ 1) y
Q(x) = (x+ 1)
2−2
(x+ 1)(x−1)
b) Muestra que el factor integrante es
µ(x) = (x2+ 1)2
Solución: El factor integrante se obtiene a partir de
µ(x) = exp
ˆ
P(x) = exp
ˆ
4x
(x2+ 1)dx
haciendo u=x2+ 1, observamos que
µ(x) = exp
ˆ
4x
(x2+ 1)dx= exp 2 ˆ du 2
= exp[2 lnu] = exp[lnu2] =u2= (x2+ 1)2
por lo tanto
µ(x) = (x2+ 1)2
c) Encuentra la solución para la ecuación diferencial
Solución: Multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integranteµ(x).
(x2+ 1)2dy
dx+ (x
2+ 1)2 4xy
(x+ 1)(x−1) = (x
2+ 1)2 (x+ 1)2−2
(x+ 1)(x−1)
recordando que el lado izquierdo de la ecuación corresponde a una derivada total
d dx
(x2+ 1)2·y= (x2+ 1)2
(x+ 1)2−2 (x+ 1)(x−1)
haciendo algebra
d dx
(x2+ 1)2·y
= (x2+ 1)
(x+ 1)2−2
(x−1)
utilizando nuevamente la sugerencia
d dx
(x2+ 1)2·y
= (x+ 1)(x−1)
(x+ 1)2−2
(x−1)
d dx
(x2+ 1)2·y= (x+ 1)(x+ 1)2−2
desarrollando y simplificando
d dx
(x2+ 1)2·y
= (x+ 1)
d dx
(x2+ 1)2·y
= (x+ 1)
x2+ 2x−1
d dx
(x2+ 1)2·y=x3+ 3x2+x−1
integrando respecto a xpara encontrar la solución ˆ
d dx
(x2+ 1)2·y
=
ˆ
(x3+ 3x2+x−1)dx
(x2+ 1)2·y=
ˆ
x3dx+
ˆ
3x2dx+
ˆ xdx−
ˆ
1dx
(x2+ 1)2·y= x
4
4 + 3
x3
3 +
x2
2 −x+c
Así, la solución explícita a la ecuación diferencial es:
y= 1
(x2+ 1)2 x4
4 +x
3+x2
2 −x+c
3. Muestra que la ecuación
4x3y3+1
x
dx+
3x4y2+1
y
dy= 0
es exacta y encuentra su solución general
Solución: A partir de la ecuación, identificamos M(x, y) = 4x3y3+ 1
x yN(x, y) = 3x
4y2+1
y . Entonces, al
calcular las derivadas parciales
∂M(x, y)
∂y = 12x
3y2= ∂N(x, y) ∂x
por lo tanto, la ecuación es exacta. Para resolverla integramos M(x, y)respecto ax
f(x, y) =
ˆ
M(x, y)dx+g(y) =
ˆ
4x3y3+1
x
dx+g(y)
=
ˆ
4x3y3dx+
ˆ
1
xdx+g(y)
= 4y3x 4
4 + lnx+g(y)
y3x4+ lnx+g(y)
Ahora solo resta encontrar el valor deg(y). Para ello, derivamos la expresión anterior respecto aye igualamos el resultado conN(x, y)
∂f ∂y =
∂ ∂y y
3x4+lnx+g(y)
= 3y2x4+g0(y) =N(x, y)
sustituyendo el valor deN(x, y)
= 3y2x4+g0(y) = 3x4y2+1
y
=
3y2x4+g0(y) =
3x4y2+1
y
entonces
g0(y) = 1
y
integramos para encontrarg(y)
g(y) =
ˆ
g0(y)dy=
ˆ
1
sustituyendo este valor en la expresión hallada para f(x, y)encontramos la función de la cual es diferencial exacta la ecuación diferencial
f(x, y) =y3x4+ lnx+ lny=y3x4+ ln(xy)
para especificar que se trata de una curva solución, igualamos este resultado con una constante c
y3x4+ ln(xy) =c
