La parábola y la hipérbola

       

 La  parábola  y  la  hipérbola  

Por: Sandra Elvia Pérez

Parábola  

La parábola es una cónica que aparece con mucha frecuencia en la vida cotidiana. Algunas veces de

forma natural, como al lanzar un objeto de manera horizontal o una cuerda que cuelga, ya que ambos fenómenos describen una parábola.

Figura 2. Hulme Arch & Beetham Tower (Hunt, 2012). Figura 1. Paraboliv trajectory (Alexandrov, 2007).

Figura 3. Antenna 03 (Wkimedia Commons, s.f.).

Otras en cambio, se aprovechan sus propiedades para llevar a cabo cierta actividad.

Por ejemplo, los faros de un automóvil o una antena parabólica que también toman la forma de una parábola.

Figura 4. 66marlinFastback white hood nameplate and headlights (Ziemnowicz, 2011.).

Observa la figura 5:

Figura 5. Propiedad de una parábola.

La curva en color verde es una parábola. En la imagen se aprecia una de las propiedades de un cuerpo parabólico, la propiedad de reflexión. Esta propiedad se utiliza en las antenas parabólicas en donde una señal de radiofrecuencia proveniente de un satélite (flechas en color azul) es reflejada por la superficie parabólica (superficie verde) y

redirigidas hacia el punto rojo. El puntorojo, se conoce como foco de la parábola y justo en ese punto es donde se coloca un dispositivo que recibe la señal.

¿Cómo funciona un faro de automóvil? La misma propiedad que se utiliza en una antena parabólica se aplica en un faro de automóvil, sólo que en sentido inverso, esto es, la fuente de luz del faro se dirige hacia el reflector parabólico y éste refleja la luz en forma paralela, con esto se consigue darle al haz de luz una dirección preferencial. La intensidad de luz obtenida con un sistema que utiliza un reflector parabólico también depende del tipo de superficie reflectora que se use.

Definición    

De acuerdo a Ruiz (2008), parábola tiene la siguiente definición:

“Una parábola es una curva constituida por

puntos del plano que equidistan de un punto fijo

llamado foco y de una recta fija llamada

La figura 6 muestra una parábola e incluye sus elementos. La directriz se muestra en color azul

y el foco es el punto rojo. A partir de la

definición, los segmentos de rectas (líneas rojas punteadas) tienen la misma longitud, sin

importar la posición del punto P(x, y); siempre y cuando éste pertenezca a la parábola.

Figura 6. Elementos de la parábola.

Parábolas  horizontales  y  verticales  

Una parábola puede ser horizontal o vertical, dependiendo de la dirección del eje focal.

• Si una parábola es horizontal su ecuación es:

§ Si una parábola es vertical su ecuación es:

Este par de ecuaciones corresponden con parábolas con vértice en el origen.

¿Cuál es el significado de p?, p es la distancia del foco al vértice de la parábola (o la distancia que hay del vértice a la directriz) y su valor define hacia donde abre la parábola.

Parábola Horizontal

px

y

2

4

=

Parábola vertical

py

x

2

4

=

p positivo (p>0) p negativo (p>0)

Tabla 1. Dirección de la apertura de las parábolas, dependiendo del valor de p.

A continuación se presentan algunos ejemplos:

Ejemplo  1  

¿Qué tipo de parábola representa la ecuación

y

2

₌

₋

12

x

_{y hacia dónde abre?} Solución  

 

Debido a que y está al cuadrado, es una parábola horizontal. Luego, al comparar esta ecuación con

px

y

2

4

=

tienes que:

3

4

12

12

4

−

=

−

=

−

=

p

p

p

Por lo tanto, abre hacia la izquierda. Ejemplo  2  

Determina las coordenadas del foco de la parábola

y

2

₌

₋

12

x

. Solución   Como

3

4

12

12

4

−

=

−

=

−

=

p

p

p

Y se trata de una parábola horizontal que abre hacia la izquierda, las coordenadas del foco son F(-3, 0). La figura 7 muestra la gráfica de esta parábola.

Figura 7. Gráfica de la parábola del ejemplo 2.

 

Ejemplo  3  

¿Qué tipo de parábola representa la ecuación

x

2

=

8

y

, y hacia dónde abre? Además bosqueja su gráfica.

Solución  

Debido a que x está al cuadrado, es una parábola vertical. Luego, al comparar esta ecuación con

py

x

2

4

=

tienes que:

2

4

8

8

4

=

=

=

p

p

p

Como p es positivo, la parábola abre hacia arriba.

Figura 8. Parábola del ejemplo 3.

Las gráficas que se mostraron en las figuras anteriores sólo son bosquejos, pero si se pretende construir una gráfica más exacta, puede recurrirse a un software especializado como Winplot o Graphmatica, ambos de uso libre en Internet.

Parábolas  con  vértice  fuera  del  origen

 

Las ecuaciones de una parábola, horizontal o vertical, con vértice fuera en el punto V(h, k) son:

• Si una parábola es horizontal su ecuación es:

§ Si una parábola es vertical su ecuación es:

Este par de ecuaciones es muy parecido a las ecuaciones de las parábolas con vértice en el origen y el significado de p es exactamente el mismo.

A continuación se presentan algunos ejemplos:

Ejemplo  1  

¿Qué tipo de parábola representa la ecuación

(

x

−

3

)

2

=

8

(

y

−

4

)

, y hacia dónde abre? Además bosqueja su gráfica.

Debido a que x está al cuadrado, es una parábola vertical. Luego, al comparar esta ecuación con

(

x

−

h

)

2

=

4

p

(

y

−

k

)

tienes que:

2

4

8

8

4

=

=

=

p

p

p

3

=

h

4

=

k

Como p es positivo, la parábola abre hacia

arriba. Su vértice es el punto V(3,s4). La figura 9 muestra el bosquejo de la gráfica.

Figura 9. Parábola que abra hacia arriba y con vértice en el punto

V(3,s4).

Para determinar las coordenadas del foco, debes considerar que se encuentra situado a una distancia p=2 del vértice.

Ejemplo  2    

A partir de la siguiente gráfica, determina la ecuación de la parábola.

Solución  

Como se trata de una parábola horizontal con vértice en el origen, su ecuación es de la forma

px

y

2

4

=

. Al observar la gráfica que abre hacia la izquierda y las coordenadas de foco, se puede apreciar que p es -3, por lo que:

x

y

x

y

px

y

12

)

3

(

4

4

2 2 2

−

=

−

=

=

Ejemplo  3  

A partir de la siguiente gráfica, determina la ecuación de la parábola.

Solución  

Como se trata de una parábola vertical con vértice en V(-2, 1), su ecuación es de la forma

(

x

−

h

)

2

=

4

p

(

y

−

k

)

. Al observar la gráfica que abre hacia abajo y que el foco se encuentra localizado en F(-2, -3), se puede apreciar que p es -4, por lo que:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

)

16

(

1

)

1

)

4

(

4

)

2

(

4

2 2 2

−

−

=

+

−

−

=

−

−

−

=

−

y

x

y

x

k

y

p

h

x

Esta ecuación está en forma ordinaria y en forma general queda:

(

)

0

12

16

4

0

16

4

16

4

16

16

4

4

)

1

(

16

2

2 2 2 2

=

−

+

+

=

−

+

+

+

+

−

=

+

+

−

−

=

+

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

Por último, el término 4p que aparece en la ecuación de las parábolas, se conoce como lado recto y es la línea recta que pasa por el foco, que es perpendicular al eje focal. En la figura 10 se muestra en color azul.

Figura 10. Gráfica donde se muestra el lado recto.

Ecuación  ordinaria  y  ecuación  general  

A las ecuaciones estudiadas en esta lectura y que se muestran en la tabla 2, se les conoce como

ecuaciones en forma ordinaria

o simplemente ecuaciones ordinarias.

Con vértice en el origen Con vértice en V(h, k) Horizontal

y

2

4

px

=

(

y

−

k

)

2

=

4

p

(

x

−

h

)

Vertical

x

2

4

py

=

(

x

−

h

)

2

=

4

p

(

y

−

k

)

Tabla 2. Ecuaciones ordinarias.

La ecuación general de segundo grado estudiada anteriormente tiene la siguiente forma:

En los siguientes ejemplos se muestra la forma de pasar de la forma ordinaria a la forma general:

 

Ejemplo  1  

Transforma la ecuación ordinaria

x

2

8

y

=

a la forma general.

Solución  

0

8

2

=

−

y

x

Al comparar esta expresión con la ecuación general de las cuadráticas se observa que A=1 y que E=-8; el resto de las constantes es igual a cero.

Ejemplo  2  

Transforma la ecuación ordinaria

(

x

−

3

)

2

=

8

(

y

−

4

)

a la forma general. Solución  

 

En este caso, es necesario desarrollar el binomio y hacer operaciones algebraicas y luego igualar a cero la ecuación:

(

)

(

)

0

41

8

6

0

32

9

8

6

32

8

9

6

4

8

3

2 2 2 2

=

+

−

−

=

+

+

−

−

−

=

+

−

−

=

−

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

Al comparar esta última ecuación con la ecuación general de las cuadráticas, se puede observar que A=1, B=0, C=0, D=-6, E=-8, F=41.

La ecuación en forma general de las parábolas horizontales y verticales, sólo incluye un término al cuadrado y el coeficiente B=0. Si está elevado al cuadrado x, es una parábola vertical; si está elevado al cuadrado y, es una parábola horizontal.

Por ejemplo, la ecuación

x

2

₊

3

x

₋

4

y

₊

25

₌

0

, es una parábola (porque sólo x está elevado al

cuadrado) y es vertical. El término xy de la ecuación general de segundo grado, implica que la gráfica ni es vertical ni es horizontal, sino inclinada; en este caso sí es posible que aparezca tanto x como y al cuadrado.

Las aplicaciones de la hipérbola en Astronomía, son específicamente en la construcción de espejos hiperbólicos que se utilizan en la construcción de telescopios, donde aprovechan la propiedad reflexiva de la hipérbola. Esta propiedad se puede resumir como sigue:

(a) (b)

(a) Si un haz de luz se dirige hacia el foco de un espejo hiperbólico, se refleja en dirección al otro foco de la hipérbola.

(b) Si un haz de luz se aleja del foco y se refleja en la superficie hiperbólica, la dirección del haz reflejado hace parecer que proviene del otro foco.

Otra aplicación es en aeronáutica, en donde se utiliza un sistema de navegación llamado LORAN, que está basado en la hipérbola.

De acuerdo con Ruiz (2008):

“Una hipérbola es una curva formada por puntos

del plano para los cuales es constante la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos” (p. 342).

 

Hipérbola con centro en el origen

Una hipérbola puede ser horizontal o vertical, dependiendo de la dirección del eje focal.

• Si una hipérbola es vertical su ecuación es:

Este par de ecuaciones corresponden con hipérbolas con centro en el origen y se les conoce como

ecuaciones en forma ordinaria de la hipérbola.

En la figura 12 se muestran los elementos de la hipérbola, así como el significado y la relación que existe entre las constantes a, b y c.

Para que comprendas un poco más las relaciones que existen entre a, b y c, analiza los siguientes ejemplos:

Ejemplo  1  

Encuentra las coordenadas del vértice y del foco para la hipérbola cuya ecuación es

1

25

9

2 2

=

−

y

x

, determina de qué tipo es, y la longitud de sus ejes transverso y conjugado.

Solución  

Al comparar la ecuación con ₂

1

2 2 2

=

−

b

y

a

x

, se puede determinar que se trata de una hipérbola horizontal con centro en el origen.

Observa que las constantes a y b forman un rectángulo

característico de la hipérbola y aunque más adelante retomarás este rectángulo, por lo pronto, éste ayuda a definir la relación entre a y b. En la parte derecha de la anterior figura se aprecian los elementos de la hipérbola y las constantes a, b, y c.

a es la distancia entre el centro y el vértice.

2a es la distancia de vértice a vértice; a este segmento de recta se le llama eje transverso, esto es,

V

₁

V

₂

₌

2

a

.

2b es la longitud del eje conjugado.

c es la distancia del centro de la hipérbola a los focos y también corresponde con la hipotenusa del triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b (ver figura 12).

Continuando con el análisis, 3 9 2 = = a a 5 25 2 = = b b

A partir de estos valores se puede calcular c.

83

.

5

34

34

25

9

2 2 2 2 2

≈

=

=

+

=

+

=

c

c

c

b

a

c

Su gráfica es:

Analizando la gráfica se pueden determinar las coordenadas de los vértices (puntos en azul) y los focos (puntos en rojo).

V1(-3, 0), V2(3, 0)

F1(-5.83, 0), F2(5.83, 0)

La longitud del eje transverso es: 2a=6

La longitud del eje conjugado es: 2b=10

Por último, para darle más sentido al rectángulo de lados 2a y 2b, la figura que está debajo muestra que las diagonales de este rectángulo, son en realidad las asíntotas de la hipérbola.

 

Ejemplo  2  

Determina los elementos de la hipérbola cuya ecuación es

1

16

9

2 2

=

−

x

y

, y bosqueja la gráfica.

Solución  

Al examinar la ecuación y compararla

con la ecuación ₂

1

2 2 2

=

−

b

x

a

y

, se puede observar que se trata de una hipérbola vertical con centro en el origen.

Continuando con el análisis,

3 9 2 = = a a 4 16 2 = = b b

A partir de estos valores se puede calcular c:

5

25

25

16

9

2 2 2 2 2

=

=

=

+

=

+

=

c

c

c

b

a

c

Su gráfica es:

Analizando la gráfica se pueden determinar las coordenadas de los vértices (puntos en azul) y los focos (puntos en rojo).

V1(0, -3), V2(0, 3)

F1(0, -5), F2(0, 5)

La longitud del eje transverso es 2a=6

La longitud del eje conjugado es 2b=8

Hipérbola  con  centro  en  C(h,k)

   

Una hipérbola puede ser horizontal o vertical, dependiendo de la dirección del eje focal. Si una hipérbola es horizontal y su centro se encuentra en el punto C(h, k), su ecuación es:

Este par de ecuaciones corresponden con hipérbolas con centro en el punto C(h, k) y se les conoce como ecuaciones en forma ordinaria de la hipérbola.

A continuación se presentan algunos ejemplos:

Ejemplo  1  

Determina los elementos de la hipérbola cuya ecuación es

(

)

(

)

1 25 5 16 3 2 2 = − − − x y , y bosqueja la gráfica. Solución  

Al examinar la ecuación y compararla con la ecuación

(

)

(

₂

)

1

2 2 2

=

−

−

−

b

h

x

a

k

y

, se puede observar que se trata de una hipérbola vertical con centro en C(h, k), en donde h=5 y k=3, es decir, las coordenadas del centro son:

C(5, 3) Continuando con el análisis,

4 16 2 = = a a 5 25 2 = = b b

A partir de estos valores se puede calcular c:

4

.

6

41

41

25

16

2 2 2 2 2

≈

=

=

+

=

+

=

c

c

c

b

a

c

Su gráfica es:

Analizando la gráfica se pueden determinar las coordenadas de los vértices (puntos en azul) y los focos (puntos en rojo).

V1(5, -1), V2(5, 7)

F1(5, -3.4), F2(5, 9.4)

La longitud del eje transverso es: 2a=8

La longitud del eje conjugado es: 2b=10

¿Cómo se determinaron las ordenadas de los focos? Una forma es tomar de referencia las coordenadas del centro y de ahí partir, por ejemplo, si la ordenada del

centro es 3 y la distancia al F1 es 6.4 (hacia abajo), haces

4

.

3

4

.

6

3

−

=

−

Ejemplo  2  

Determina la forma general de la ecuación de la hipérbola cuya ecuación en forma ordinaria es

(

)

(

)

₁ 25 5 16 3 2 2 = − − − x y .   Solución  

Lo primero que debes que hacer es desaparecer los denominadores, esto se logra multiplicando toda la ecuación por (16)(25)=400, tienes:

(

)

(

)

(

3

)

16

(

5

)

400

25

400

1

25

5

16

3

2 2 2 2

=

−

−

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

−

−

−

x

y

x

y

Desarrollando los binomios al cuadrado, queda:

(

)

(

)

400

)

25

10

(

16

)

9

6

(

25

400

5

16

3

25

2 2 2 2

=

+

−

−

+

−

=

−

−

−

x

x

y

y

x

y

Multiplicando y reduciendo términos, obtienes:

0

400

400

160

16

225

150

25

400

)

25

10

(

16

)

9

6

(

25

2 2 2 2

=

−

−

+

−

+

−

=

+

−

−

+

−

x

x

y

y

x

x

y

y

Reacomodando términos:

0

575

150

160

25

16

2 2

=

−

−

+

+

−

x

y

x

y

En donde se aprecia que A=-16, B=0, C=25, D=160, E=-150, F=-575.

Al igual que en la parábola o la elipse, el coeficiente B=0, a menos que la cónica esté girada, es decir, que su eje focal no sea paralelo a ninguno de los ejes coordenados.

Bibliografía

Fuller, G. & Tarwater, D. (1999). Geometría Analítica (R. Martínez y A. Rosas, Trads.). México: Pearson Educación.

Kindle, J. H. (1999). Geometría Analítica (L. Gutiérrez y A. Gutiérrez, Trads.). México: Mc Graw Hill.

Martínez, M. A. (1996). Geometría Analítica. México: Mc Graw Hill.

Referencia

Ruiz, J. (2008). Geometría Analítica. México: Grupo Editorial Patria.

Referencias de las imágenes

Alexandrov, O. (2007). Paraboliv trajectory. Recuperada de

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Parabolic_trajectory.svg (Imagen de dominio público, de acuerdo a:

http://en.wikipedia.org/wiki/Public_domain).

Hunt, G. (2011). Hulme Arch & Beetham Tower. Recuperada de http://www.flickr.com/photos/raver_mikey/8466911776/ (Imagen publicada bajo licencia Creative Commons Atribución 2.0 Genérica, de acuerdo a: http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/deed.es).

Ziemnowicz, C. (2011). 66marlinFastback white hood nameplate and headlights. Recuperada de

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Golden_Gate_from_Battery_East .jpg (Imagen de dominio público, de acuerdo a:

http://en.wikipedia.org/wiki/Public_domain).

Styles, R. (2006). Telescope. Recuperada de http://www.sxc.hu/photo/506683 (Imagen Royalty free, de acuerdo a: http://www.sxc.hu/help/7_2).

Wikimedia Commons. (s.f.). Antenna 03. Recuperada de

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Antenna_03.JPG (Imagen de dominio público, de acuerdo a: