Optimización de líneas y frecuencias en un sistema de transporte público

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(1)ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL. FACULTAD DE CIENCIAS. OPTIMIZACIÓN DE LÍNEAS Y FRECUENCIAS EN UN SISTEMA DE TRANSPORTE PÚBLICO. PROYECTO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERO MATEMÁTICO. RUBÉN DARÍO FREIRE BONILLA rubenfreb@gmail.com. Director: RAMIRO DANIEL TORRES GORDILLO, PH.D. ramiro.torres@epn.edu.ec. QUITO, NOVIEMBRE 2014.

(2) DECLARACIÓN. Yo RUBÉN DARÍO FREIRE BONILLA, declaro bajo juramento que el trabajo aquı́ escrito es de mi autorı́a; que no ha sido previamente presentado para ningún grado o calificación profesional; y que he consultado las referencias bibliográficas que se incluyen en este documento. A través de la presente declaración cedo mis derechos de propiedad intelectual, correspondientes a este trabajo, a la Escuela Politécnica Nacional, según lo establecido por la Ley de Propiedad Intelectual, por su reglamento y por la normatividad institucional vigente.. Rubén Darı́o Freire Bonilla.

(3) . CERTIFICACIÓN. Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por RUBÉN DARÍO FREIRE BONILLA, bajo mi supervisión. Ramiro Daniel Torres Gordillo, PH.D. Director del Proyecto.

(4) AGRADECIMIENTOS. A la Escuela Politécnica Nacional y a las personas que hicieron posible este proyecto, en especial a Ramiro Torres director de esta investigación..

(5) DEDICATORIA ....

(6) Índice de contenido Índice de figuras. viii. Índice de cuadros. ix. Resumen. 1. Abstract. 2. 1 INTRODUCCIÓN. 1. 1.1 El Problema de tráfico y el Sistema Trolebús Quito . . . . . . . . . . . 1.2 Definiciones básicas y antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Planificación de lı́neas con tiempos y frecuencias mı́nimos . . . . 1.2.2. 2 4 5. Una aproximación branch and cut para el problema de planificación de lı́neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. Un modelo de rutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 2 UN MODELO DE PLANIFICACIÓN DE LÍNEAS 2.1 Modelo de Planificación de lı́neas con viajes directos. . . . . . . . . . . 2.2 Complejidad computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21 21 25. 2.3 Algoritmos en tiempo polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Asignación de viajes sobre una única lı́nea . . . . . . . . . . . .. 31 32. 2.3.2 Asignación de viajes con lı́neas no idénticas . . . . . . . . . . . 2.4 Modelo de Asignación de viajes en árboles . . . . . . . . . . . . . . . .. 38 39. 3 IMPLEMENTACIÓN Y RESULTADOS COMPUTACIONALES 3.1 LPMTF: Consideraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41 41. 3.2 LPMTF: Modificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Instancias y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45 46. 1.2.3. 4 CONCLUSIONES. 59. vi.

(7) A Instancias. 61. A.1 Instancias de partida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.1 Matriz 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.2 Matriz 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61 61 61. A.1.3 Matriz 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Instancias Trolebús . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62 63. A.2.1 Matriz 5:00 - 6:00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.2 Matriz 6:00 - 7:00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.3 Matriz 7:00 - 8:00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63 64 65. A.2.4 Matriz 8:00 - 9:00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.5 Matriz 9:00 - 10:00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66 67. A.2.6 Matriz 10:00 - 11:00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.7 Matriz 11:00 - 12:00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.8 Matriz 12:00 - 13:00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68 69 70. A.2.9 Matriz 13:00 - 14:00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.10 Matriz 14:00 - 15:00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71 72. A.2.11 Matriz 15:00 - 16:00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.12 Matriz 16:00 - 17:00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.13 Matriz 17:00 - 18:00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73 74 75. A.2.14 Matriz 18:00 - 19:00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.15 Matriz 19:00 - 20:00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76 77. A.2.16 Matriz 20:00 - 21:00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.17 Matriz 21:00 - 22:00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.18 Matriz 22:00 - 23:00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78 79 80. A.2.19 Matriz 23:00 - 24:00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 81. Referencias. 82.

(8) Índice de figuras 1.1 Ejemplo: Red Alimentadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ejemplo: Red Change&Go considerando 4 nodos y 2 lı́neas. . . . . . . . . .. 3 7. 1.3 Ejemplo: Reducción coeficientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 2.1 Problema de Asignación de Viajes en GQVD. . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 2.2 Problema de Asignación de Viajes en GQEVD. . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ejemplo: Red Alimentadora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Grafo de intervalos y su representación de intervalos. . . . . . . . . . . . .. 24 24 28. 2.5 Instancia de CAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 I)Instancia inicial con 1 lı́nea y 5 pares origen-destino. II)Grafo de intervalos.. 30. III)Formulación como problema de flujo de costo mı́nimo. . . . . . . . . . .. 2.7 Ejemplo del algoritmo de asignación de viajes con lı́neas no idénticas. . . . .. 37 39. 3.1 Ejemplo: Line Pool Generado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.2 Solución Instancia Prueba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Ejemplo Transferencias no penalizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43 44. 3.4 Red Change&Go modificada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Lı́neas generadas para prueba de instancias trolebús. Sentido S/N. . . . 3.6 Caso 1. Comportamiento SCIP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45 49 52. 3.7 Caso 2. Comportamiento SCIP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Caso 3. Comportamiento SCIP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Caso 1 vs. Caso 2. Tiempos solución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53 54 57. 3.10 Caso 1 vs. Caso 3. Tiempos solución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 Caso 2 vs. Caso 3. Tiempos solución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57 58. viii.

(9) Índice de cuadros 1.1 Circuitos Trolebús. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 3.1 Instancias de Partida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 3.2 Solución Instancia 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Solución Instancia 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46 47. 3.4 Solución Instancia 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Caso 1. Resultados MAVD sobre Sistema Trolebús. . . . . . . . . . . . 3.6 Caso 2. Resultados MAVD sobre Sistema Trolebús. . . . . . . . . . . .. 47 51 55. 3.7 Caso 3. Resultados MAVD sobre Sistema Trolebús. . . . . . . . . . . . 3.8 Comparación Costo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56 58. ix.

(10) Resumen La Planificación de Lı́neas es un problema de optimización relativamente nuevo, los primeros experimentos con relación a este problema datan de los años sesenta. En los noventas se lo comienza a tratar como problema de programación entera y surgen conceptos como System Split donde se asignan a los pasajeros a los diferentes tipos de transporte como paso previo a la generación de lı́neas y frecuencias. Posteriormente, algunos investigadores dejan de lado este concepto y nacen aproximaciones donde los modelos escogen la mejor opción para los pasajeros (por ejemplo el camino más corto) para ir de una estación a otra. Dentro de esta última aproximación podemos citar a Borndörfer, Grötschel y Pfetsch [3] y Schöbel y Scholl [20]. En el presente trabajo se analiza el problema de planificación de lı́neas considerando viajes directos, es decir, el modelo no permite que los pasajeros realicen transferencias entre lı́neas para llegar a sus destinos. Se estudió la complejidad computacional de este modelo sobre grafos que resultan de la forma del Sistema Trolebús y se demostró que pertenecen a la clase NP-completa incluso si se opera el sistema con lı́neas cerradas. Algoritmos polinomiales para algunos casos especiales del problema son presentados. Al final, se resuelven instancias reales con datos tomados del Sistema Trolebús.. 1.

(11) Abstract The Line Planning Problem is a relatively new optimization problem, the first experiments concerning to this problem date back to the sixties. In the nineties it starts to be treated as an integer programming model and techniques like Split System, where passengers are assigned to different transportation modes previous to the selection of lines and frequency, arise. Subsequently, some researchers overlook this concept and approaches, where the models choose the best option for passengers (for example the shortest path) to travel from origin station to destination station come into play. About these last approaches, Borndörfer, Grötschel and Pfetsch [3] and Schöbel and Scholl [20] can be cited. In this work, the Line Planning Problem is analyzed by considering direct travels, i.e., the model does not allow transfers between lines to carry passengers to reach their destinations. Computational complexity of this model on graphs resulting from the topography of the Trolebús System was studied and later it was probed to belong to the NP-complete class, even if the system is operated with closed lines. Polynomial algorithms for some special cases of the problem are presented. Finally, real instances with data provided from the Trolebús System personnel are considered.. 2.

(12) Capı́tulo 1 INTRODUCCIÓN La planificación de los sistemas de transporte público ha sido un importante campo de investigación de la optimización combinatoria durante los últimos años, donde problemas con miles de variables y restricciones se han analizado en trabajos previos. Uno de estos problemas es el de planificación de lı́neas y frecuencias en un sistema de transporte que consiste en encontrar un conjunto de rutas y sus respectivas frecuencias de manera que cubran una demanda de transporte dada, teniendo siempre en consideración que todo el proceso está sujeto a la optimización de una función objetivo. Esta puede ser la minimización de los costos de operación del sistema, la minimización del tiempo de viaje de los usuarios o la maximización de los viajes directos. Borndörfer, Grötschel y Pfetsch [5] explican en forma detallada el proceso de planificación estratégica (strategic planning process) de transporte como una serie de pasos consecutivos que son: el diseño de una red de transporte, la planificación de lı́neas y la generación de horarios. Todos los pasos del proceso de planificación estratégica se basan en la matriz conocida como origen-destino (matriz-OD), que representa la cantidad de pasajeros que quieren viajar entre dos puntos de la red de transporte. El primer paso en este proceso es el diseño de la red de transportación. La tarea de este problema es escoger un conjunto de calles/avenidas que provean capacidad suficiente para cubrir la demanda dada por la matriz O-D tal que el costo de construcción sea minimizado. Además, esta fase no sólo está interesada en la creación de nuevas redes de transporte, también considera la evaluación y extensión de un sistema existente. El problema de planificación de lı́neas es el segundo paso en el proceso de planificación estratégica, que como ya se mencionó la tarea radica en encontrar lı́neas y frecuencias en una red de transporte dada de tal forma que satisfagan la demanda definida por las matrices-OD. Además, se debe mencionar que se toman en cuenta otros elementos 1.

(13) como: el presupuesto para operar el sistema de transporte, costos fijos y variables asociados a la operación las lı́neas, la capacidad de las unidades de transporte, la frecuencia máxima de unidades en una lı́nea, etc. Por último, ya contando con las frecuencias se necesita un refinamiento de las mismas para obtener el diagrama de marcha (timetabling). El objetivo de esta fase final puede ser el de minimizar el tamaño de la flota o minimizar los tipos de transferencias de los pasajeros. El presente trabajo inicia con una reseña de la situación actual de uno de los sistemas de transporte más importantes de la ciudad, el Sistema Trolebús. Luego se realiza una revisión bibliográfica relacionada al segundo paso de la planificación estratégica, el problema de planificación de lı́neas, para posteriormente proponer un modelo de maximización de viajes directos que se muestra es un problema es NP-completo. Finalmente se implementa el modelo propuesto y realizan pruebas computacionales.. 1.1. El Problema de tráfico y el Sistema Trolebús Quito. En los últimos años, el problema de la transportación en las principales ciudades del paı́s se ha venido acrecentando, pues el tráfico vehicular y la demanda por transportación se incrementaron y el mejoramiento de los servicios de transportación pública no ha sido proporcional a los nuevos desafı́os. La ciudad de Quito a pesar de contar con el mejor sistema integrado de transporte público nacional no ha sido la excepción, y en la actualidad lamentablemente enfrenta un deterioro en la calidad de sus servicios: largos tiempos de espera, incomodidad, buses saturados, etc. Además la topografı́a de la ciudad (alargada y estrecha) es un factor que dificulta la organización del transporte público y privado en la misma. El Sistema Trolebús consiste, en su parte central, de un corredor exclusivo (independiente del tráfico) donde circulan unidades de gran capacidad. Este corredor es una vı́a exclusiva que cuenta con terminales y estaciones. Las terminales son estaciones mucho más grandes donde finaliza el recorrido las unidades del sistema (troles) y los usuarios pueden acceder a buses alimentadores que conectan estas con los alrededores. En su mayor parte, las estaciones (entre terminales) son unidireccionales, es decir, si un usuario se encuentra viajando en el sentido norte-sur y requiere cambiar el sentido deberá abandonar esa estación y dirigirse a otra que cubra ese requerimiento.. 2.

(14) Quitumbe M.V alverde. T. T. T. T erminal. ElRecreo. LaY. T. T. Estación. Figura 1.1: Ejemplo: Red Alimentadores. La manera en la cual el sistema cubre la demanda de pasajeros es mediante circuitos (lı́neas de transporte). Hay que recalcar que al ser el corredor un camino simple, una unidad necesariamente debe pasar (no detenerse) por todas las estaciones intermedias entre un origen y destino fijados precisamente por el tipo de circuito. Las lı́neas en algunos casos son cerradas, es decir, inician su recorrido en una terminal y finalizan en la misma. Se puede contar con lı́neas abiertas, es decir, su inicio y fin presentan estaciones diferentes. Además existen lı́neas exprés, donde la unidad de transporte sólo se detiene en ciertas estaciones. En la actualidad el sistema cuenta con los siguientes circuitos:. Circuito. Modalidad. Cobertura. C1 C2. Normal Semi-expreso. T. La Y - T. El Recreo T. La Y - T. Morán Valverde. C2-Q C4 C5. Normal Semi-expreso Semi-expreso. T. La Y - T. Quitumbe T. Quitumbe - E. El Ejido T. El Recreo - E. Colón. CQ-R. Normal. T. Quitumbe - T. El Recreo. Cuadro 1.1: Circuitos Trolebús. Los circuitos semi-expresos se detienen en ciertas paradas, por ejemplo, en el circuito C2 semi-expreso se realizan únicamente paradas en las estaciones: Colón, Plaza Grande, Recoleta y Villafora. Además existe una lı́nea exprés escolar en las mañanas desde la terminal Sur hasta la estación Colón. El sistema de transporte de la ciudad no sólo consiste del Sistema Trolebús ya que además existen otros corredores que se interconectan y complementan al corredor central. En este sentido, la planificación estratégica servirı́a como herramienta para el mejoramiento de la transportación de los usuarios (minimiza las transferencias, maximiza los viajes directos), la minimización de costos y perfeccionamiento en la administración 3.

(15) de los recursos para el administrador de todos los corredores que conforman la Empresa Pública Metropolitana de Transporte de Pasajeros de Quito.. 1.2. Definiciones básicas y antecedentes. Un problema de planificación de lı́neas puede ser modelado como un grafo dirigido (o no dirigido) G = (V, A) donde las estaciones están representadas por los nodos v ∈ V y las aristas (i, j) ∈ A son las conexiones directas entre estaciones. Además contamos con un conjunto M de modos de transportación, donde estos modos se refieren a los distintos tipos de transporte disponibles, por ejemplo trolebuses, buses alimentadores, etc. Cada modo de transportación m ∈ M cuenta con una capacidad fija km ∈ Z+ para sus unidades. Una lı́nea se define como un camino dirigido cuyos nodos finales son terminales. Una lı́nea es abierta para un modo m ∈ M si las terminales finales son distintas. De manera similar, una lı́nea para un modo m ∈ M se llama cerrada si el terminal inicial y final es el mismo nodo. Las lı́neas pueden ser generadas dinámicamente o seleccionadas de un conjunto previamente construido. Se conoce como Line Pool L al conjunto que contiene todas las lı́neas admisibles en la red de transporte. A cada lı́nea l ∈ L se debe asignar una frecuencia fl ∈ Z+ que representa el número de salidas de unidades de transporte de esa lı́nea en un horizonte de tiempo. La demanda de transporte se la expresa mediante una matriz D ∈ ZV+×V conocida como matriz de origen-destino, donde cada elemento duv indica el número de pasajeros que requieren viajar de una estación u a una estación v. Esta matriz no siempre es simétrica. El objetivo del problema de planificación de lı́neas es encontrar un conjunto de lı́neas factibles y sus frecuencias de manera que se cumpla con la demanda de transporte dada, es decir, todos los usuarios puedan llegar a sus destinos y se maximice o minimice una función objetivo (costos del sistema de transporte). Dependiendo del objetivo del problema de planificación de lı́neas podemos encontrar costos fijos y variables. Los costos fijos son los que no dependen del nivel de operación del sistema de transporte, por ejemplo sueldos a conductores. Los costos variables dependen de las lı́neas y frecuencias usadas en la operación del sistema, por ejemplo el combustible utilizado para mantener en circulación las unidades de transporte. Durante los últimos años se han realizado muchos trabajos relacionados al problema de 4.

(16) planificación de lı́neas. Bussieck, Kreuzer, y Zimmermann [7] desarrollaron un modelo de programación entera que maximiza el número de viajes directos, es decir, maximiza el número de pasajeros que se trasladan mediante una lı́nea sin la necesidad de realizar transferencias. Goossens, van Hoesel, y Kroon [14] presentan una aproximación orientada a la minimización de costos y describen una aproximación branch-and-cut para resolver el problema. Esta formulación se basa en el trabajo de Claessens, van Dijk y Zwaneveld [9], en el que se deja de lado el interés de los pasajeros y se toman en cuenta los costos del plan de transporte del sistema. Lindner [16] también estudia la minimización de costos y desarrolla un método tipo branch-and-bound para encontrar las lı́neas óptimas. En estas aproximaciones se utiliza una técnica conocida como System Split que consiste en una distribución previa del flujo de pasajeros sobre las aristas de la red de transporte. Sobre esta técnica se puede citar el trabajo de Bouma y Oltrogge [6], donde los pasajeros cambian a un tren rápido lo más antes posible y a uno lento lo más tarde posible. Además, es importante destacar el trabajo de L. Torres, R. Torres, R. Borndörfer y M. Pfetsch [22], donde abordan el problema de planificación para el Sistema Trolebús de la ciudad de Quito. Schöbel and Scholl [20] abordan el problema mediante la construcción de una red de transporte llamada Change&Go, donde los pasajeros pueden realizar transferencias entre lı́neas. Esta aproximación se basa en modelos de flujo multi-producto (multiCommodity flow models). En el artı́culo escrito por Nachtigall y Jerosch [17], los autores proponen un modelo donde no sólo se trate con la comodidad del pasajero (como en [20]) sino también se minimicen costos. Borndörfer, Grötschel, y Pfetsch [3] dejan de lado el concepto de Line Pool y en su formulación los pasajeros se enrutan libremente en lı́neas generadas dinámicamente. A continuación se presentan de manera extensa las ideas y conceptos reportados en algunos de los trabajos más importantes en planificación de lı́neas y frecuencias y que se encuentran relacionados al presente proyecto.. 1.2.1. Planificación de Lı́neas con Tiempos y Frecuencias Mı́nimos. Para iniciar expondremos los modelos desarrollados por Schöbel y Scholl [20], donde el problema de planificación está orientado al mejoramiento de la experiencia de la transportación del usuario, factor que se evidencia en la inclusión del número de transferencias entre lı́neas en la función objetivo. Se utilizarán las definiciones mostradas a. 5.

(17) continuación. Estos modelos se basan en una red de transporte (public transportation network) fija y dada, representada por un grafo dirigido denominado P T N = (S, E), donde S es el conjunto de las estaciones y E el conjunto de todas las conexiones fı́sicas entre todas las estaciones. Los autores introducen un conjunto de todas las lı́neas posibles en la red de transporte (line pool) denotado por L, donde cada lı́nea l ∈ L puede representarse como una sucesión de estaciones y tienen asociadas una frecuencia fl que define el número de despachos de lı́nea en un intervalo de tiempo. Se nota como E(l) al conjunto de todas las aristas pertenecientes a la lı́nea l y, si tomamos una estación u, el conjunto de todas las lı́neas que pasan por esta estación, se define como L(u) = {l ∈ L : u ∈ l}. Además, el conjunto de todos los pares origen-destino (s, t) se escribe R ∈ S × S donde wst es el número de clientes que quieren viajar de s a t. En este sentido, el problema de planificación de lı́neas se puede definir como: escoger un conjunto de lı́neas L ⊂ L junto con sus frecuencias fl de manera que todos los clientes puedan realizar sus viajes, tal que se minimice el costo de operación y se maximice la comodidad de los usurarios. Mayor comodidad significa que se deberá incurrir en los menores tiempos de viaje y minimice el número de transbordos para cada uno de los usuarios. Con las definiciones establecidas, el problema de planificación de lı́neas como programa entero se construye usando el grafo dirigido P T N = (S, E) para formar una nueva red llamada Change&Go GCG = (V, E) de la siguiente manera: Se divide el conjunto inicial de nodos en dos grupos, uno relacionado con los pares origen destino VOD y el otro con los nodos que recorre cada lı́nea VCG y se notan con: • VCG := {(s, l) ∈ S × L : l ∈ L(s)}. • VOD := {(s, 0) : (s, t) ∈ R ∨ (t, s) ∈ R}. El conjunto de aristas E consiste en aristas dirigidas que salen y entran de las estaciones origen y destino, conectan estaciones de una misma lı́nea y también representan transferencias entre lı́neas distintas. Ası́ se tiene: Echange := {((s, l1 ), (s, l2)) ∈ VCG × VCG }. 6.

(18) EOD := {((s, 0), (s, l)) ∈ VOD × VCG ∧ ((t, l), (t, 0)) ∈ VCG × VOD : (s, t) ∈ R, l ∈ L}. El := {((s, l), (s1, l)) ∈ VCG × VCG }. S Ego := l∈L El . definiendo el conjunto de aristas E de la forma : E := Echange ∪ Ego ∪ EOD . En la figura 1.2 se puede ver la manera en la que es construida la red Change&Go. PTN. 1. 2. 3. 4. (3, l2 ). (4, l2 ). l2. (3, l1 ). EOD. l1. (3, 0). (4, 0). Echange. VCG (1, l1 ). El. (2, l1 ). El. EOD. VOD. (1, 0). (2, 0). Figura 1.2: Ejemplo: Red Change&Go considerando 4 nodos y 2 lı́neas. Considerando que parte del objetivo del modelo es generar la mayor comodidad a los usuarios, se incluyen pesos a cada una de las aristas de la red Change&Go. Estos pesos son costos que se escogen de manera intuitiva, por ejemplo, si tomamos las aristas que componen a E, es claro notar que al iniciar un viaje y tomar la primera lı́nea no representa incomodidad por lo que el costo relacionado será cero. Caso distinto son las aristas restantes, ya que trasladarse de una lı́nea a otra dentro del recorrido ya significa un grado de incomodidad ası́ como incremento en el tiempo total de viaje y es necesario incluir un costo mayor a cero. Esto se resume en la siguiente sección, donde se definen valores asociados a los arcos y se presenta el primer modelo reportados por los autores. Modelo 1. Planificación de Lı́neas con Tiempos de Viaje Mı́nimos En el primer modelo que los autores proponen, la selección de los costos para los arcos de la red Change&Go es un punto primordial. Ası́, si se desea minimizar el número de transferencias los costos pueden ser:. 7.

(19)  1, si e ∈ E change ; ce = 0, otro caso.. o si se desea minimizar el tiempo total de viaje de los pasajeros:. ce =.    0,  . si e ∈ EOD ;. tiempo de viaje, si e ∈ Ego;    tiempo de transferencia, si e ∈ E change. Para cada par (s, t) ∈ R se debe satisfacer la restricción θxst = bst donde: θ ∈ Z (|V|×|E|) es la matriz de incidencia nodo-arco de GCG = (V, E). Se define bst ∈ Z |V| como:. bist =.    1, . si i = (s, 0);. −1, si i = (t, 0);    0, otros.. Los xest ∈ {0, 1} son las variables de decisión donde xest = 1 sı́ y sólo si el arco e es usado en el camino más corto entre un origen (s, 0) y un destino (t, 0) y xest = 0, caso contrario. En el modelo además se introduce una variable binaria yl ∈ {0, 1} para cada l ∈ L, donde esta será igual a 1 si y sólo si la lı́nea es seleccionada y es igual a cero caso contrario. Entonces el modelo de Planificación de Lı́neas con Tiempos de Viaje Mı́nimos (LPMT) es el siguiente:. mı́n. X X. wst ce xest. (1.1). (s,t)∈R e∈E. s.t.. X X. xest ≤ |R||El |yl. ∀l ∈ L,. (1.2). (s,t)∈R e∈El. θxst = bst ∀(s, t) ∈ R, X cl yl ≤ B,. (1.3) (1.4). l∈L. xest , yl ∈ {0, 1}. ∀(s, t) ∈ R, e ∈ E, l ∈ L.. (1.5). La primera observación a notar es que este modelo no toma en cuenta el flujo de pasajeros solo nos devuelve un conjunto de lı́neas entre orı́genes y destinos que siempre son tomadas por los usuarios. La restricción (1.2) asegura que una lı́nea será incluida si. 8.

(20) está se usa para algún par origen-destino, por ejemplo, si contamos con una única lı́nea para cubrir todos los orı́genes-destinos, el número de arcos escogidos en la solución será igual a |R||El | ; en la restricción (1.3) se quiere que los usuarios lleguen a su destino usando la ruta más corta. Para (1.4) se tiene en cuenta que el sistema de transporte opera bajo un presupuesto máximo B ∈ Z+ y el costo de las lı́neas a tomarse en cuenta no deben sobrepasarlo. En la práctica, es claro que no es posible llevar a todos los usuarios siempre por una misma ruta entre un origen y destino y hay que tener presente que las unidades tienen una capacidad limitada, además de pertenecer a una flota también limitada. Es por ello que pueden usarse distintos recorridos para un mismo par origen-destino, restricciones que serán consideradas en el siguiente modelo.. Modelo 2. Planificación de Lı́neas con Transferencias y Frecuencias Mı́nimas Ahora, notamos la capacidad de las unidades con N y la frecuencia de cada lı́nea con la variable fl ∈ N. Manteniendo la notación anterior, esta frecuencia significa el número de unidades que deben ser despachadas por la lı́nea en un perı́odo de tiempo. Las variables xest ∈ N porque ahora se está trabajando con flujos de pasajeros y de esta forma el vector bst será:    w , si i = (s, 0);   st bist = −wst , si i = (t, 0);    0, otros.. El segundo modelo de Planificación de Lı́neas con Transferencias y Frecuencias Mı́nimas(LPMTF) se formula:. mı́n. X X. ce xest. (1.6). (s,t)∈R e∈E. s.t.. 1 X e xst ≤ fl N. ∀l ∈ L, e ∈ El. (1.7). (s,t)∈R. θxst = bst ∀(s, t) ∈ R, X cl fl ≤ B,. (1.8) (1.9). l∈L. X. fl ≤ fkmax. ∀k ∈ E,. (1.10). l∈L:k∈El. 9.

(21) xest , fl ∈ Z+. ∀(s, t) ∈ R, e ∈ E, l ∈ L.. (1.11). Bajo el objetivo de minimizar el costo total del sistema, la restricción (1.7) asegura que la frecuencia de una lı́nea sea lo suficientemente grande para poder atender a todos los clientes, donde la capacidad de la lı́nea está dada por Nfl . La restricción (1.8) es ahora una restricción de conservación de flujo, similar a la del problema de flujo de costo mı́nimo. En (1.9) se tiene que los costos de las lı́neas no deben superar el presupuesto. La restricción (1.10) se incluye para tener en cuenta que cualquier arista de la red sólo podrá resistir un determinado número de unidades. Los modelos anteriores (LPMT) y (LPMTF) son NP-completos. La demostración parte de un problema que conocemos es NP-completo. Este problema es el Set Covering (cubrimiento de conjuntos) con pesos y lo enunciamos a continuación. Set Covering (con pesos) Formalmente, el problema de cubrimiento de conjuntos (SCP) puede ser formulado: Instancia: Una colección C de subconjuntos de un conjunto finito S y un peso no negativo Kc > 0, ∀c ∈ C. Solución: Un cubrimiento para el conjunto S, es decir, una subcolección C ′ ⊆ C tal que cada elemento en S pertenezca a al menos un miembro de C ′ y el costo del cubriP miento sea minimizado, es decir, se desea minimizar la expresión c∈C ′ Kc . Teorema 1.1. El problema de planificación de lı́neas es NP-completo. Demostración. Tomando una instancia del problema de cubrimiento de conjuntos (SCP), es decir, un conjunto S con m elementos, n subconjuntos C1 , C2 , ..., Cn de S con pesos Kj > 0, ∀j = 1, 2, ..., n. Su formulación como programa entero puede ser: min{Kx : Ax ≥ 1m ; x ∈ {0, 1}n } con A ∈ {0, 1}m×n , y K ∈ Rn+ el vector con los pesos de cada subconjunto. A partir de esta instancia se construye una instancia del problema de planificación de lı́neas.. 10.

(22) Construimos una red de transporte con 2m nodos S = {s1 , t1 , s2 , t2 , ..., sm , tm } y aristas E = {(s1 , t1 ), (t1 , s2 ), (t2 , s3 ), ..., (sm , tm )}. Se define el conjunto de orı́genes-destinos como: R = {(si , ti ) : i ∈ {1, 2, ..., m}} y wst = 1 para todo (s, t) ∈ R. Luego, para cada columna j de A se construye una lı́nea lj pasando por los nodos sj y tj si y solamente si aij = 1. Fijamos flj = 1, clj = Kj ∀j = 1, 2, ..., n, l ∈ L, N = 1 y un presupuesto P B = ni=1 Ki . Alguna solución del problema de planificación de lı́neas consiste de un conjunto de lı́neas l1 , l2 , ..., lr tal que todo arco (si , ti ) con i = 1, 2, ..., m es cubierto por al menos 1 lı́nea. Tal solución corresponde al mismo conjunto de columnas 1, 2, ..., r de la matriz A con la propiedad de que cada elemento de S es cubierto por al menos 1 columna. Además, al escoger las columnas de S, las cuales corresponden a las lı́neas l ∈ L, una solución del mismo costo es obtenida para SCP. Por otro lado, asumiendo que existe una solución factible para SCP, entonces usando una transformación similar a la anterior se tiene una solución factible para el Problema de Planificación de Lı́neas con el mismo costo.. Para la resolución de los programas lineales enteros los autores aprovechan la estructura interna de los mismos, ya que las restricciones (1.8) surgen del problema del camino más corto y de flujo de costo mı́nimo generando bloques de matrices unimodulares (ver [24]) lo cual implica que se podrı́a trabajar sobre la envolvente convexa. El método utilizado es la descomposición de Dantzig-Wolfe aplicada de manera que se obtienen dos formulaciones principales. En la primera se considera a cada origen-destino, es decir, cada restricción θxst = bst como un bloque resultando en |R| bloques distintos, mientras que en la segunda manera se toma todos los orı́genes-destinos en un sólo bloque y son aplicados al primer modelo (LPMT) de planificación de lı́neas relajado. Finalmente, para la solución de instancias reales se reportan modelos a gran escala, usando datos proporcionados por la red alemana de trenes (German railway). Muchas instancias fueron resueltas mediante la solución trivial y la descomposición de D-W fue considerada donde el método anterior no fue posible de aplicar.. 1.2.2. Una aproximación branch and cut para el problema de planificación de lı́neas. En el presente trabajo desarrollado por Goossens, van Hoesel y Kroon [14] las ideas ya introducidas de planificación de lı́neas se mantienen, es decir, queremos determinar 11.

(23) un subconjunto de lı́neas que cubran la demanda de transportación. A diferencia de los modelos antes presentados, el enrutamiento de los pasajeros hacia las rutas es realizada como paso previo por lo que ingresan como dato. Esta asignación es ejecutada mediante el proceso conocido como ”System Split”. Este sistema asigna los pasajeros a los distintos tipos de transporte, asumiendo que los usuarios podrı́an viajar desde su origen a su destino usando el camino más corto. Por ejemplo, en el presente trabajo la demanda de pasajeros es dividida en los diferentes tipos de trenes denominados IC ”intercity”, IR ”interregional”, y AR ”aggloregional”. El artı́culo utilizado en esta revisión es aplicado para ferrocarriles por lo que existirán conceptos relacionados a este tipo de transporte. El objetivo a minimizar es el costo total de operación del plan de lı́neas que consiste en el conjunto de lı́neas a operar junto con sus frecuencias. Al orientarse a ferrocarriles, las lı́neas operan en periodos cı́clicos y estos se usan para obtener las frecuencias. Por ejemplo, si pensamos en una lı́nea que tarda 70 minutos en ir de un origen a un destino y el mismo tiempo en regresar, entonces tendrı́amos un ciclo de 140 minutos en total. ⌉ = 3 locomotoras (en el Ahora, si la lı́nea opera una vez por hora se necesitarı́an ⌈ 140 60 caso de trenes) por hora. Los autores asumen que el flujo de los pasajeros es simétrico, las lı́neas operan en dos direcciones y las rutas que escogerán los pasajeros vendrán del problema del camino más corto. Como última consideración antes de formular el problema, se debe asegurar que el plan de lı́neas cumpla las condiciones: la capacidad de las lı́neas es suficiente para cubrir la demanda de transporte y se garantiza que existirán el mayor número posible de conexiones entre estaciones. Modelo 3. Problema de Planificación de lı́neas de Costo Mı́nimo (CLPP) La formulación usada en el presente artı́culo es una simplificación al modelo presentado por Claessens, van Dijk y Zwaneveld [9], cuyo modelo no lineal es usado para maximizar el número de viajes directos en la red de transporte. Dado un grafo no dirigido G = (V, E) y un conjunto de potencial de lı́neas L (line pool), donde cada lı́nea l ∈ L se define como un conjunto de aristas que conectan un nodo origen y un nodo destino. Se recalca que se toma en cuenta un sólo tipo de lı́nea y para cada una de ellas se calculan sus diferentes frecuencias y número de vagones. Al conjunto de las posibles frecuencias se lo denota con F ⊂ Z+ y al conjunto de número de vagones con C ⊂ Z+ . Note que en este modelo la frecuencia ha sido discretizada, es decir, fl ∈ F, ∀l ∈ L. Para cada arista e de la red de transporte se fija el número 12.

(24) mı́nimo de unidades f e y vagones ce por hora de manera que se cumpla la demanda. Para poder formular este problema como un modelo de programación entera se incorpora una variable binaria para cada tripleta (l, f, c) ∈ N con N := L × F × C donde cada i ∈ N se usará para referirse a una combinación única (li , fi , ci ). Además se introduce el conjunto N (e) = {i ∈ N : e ∈ li } ⊆ N que nos muestra las lı́neas que usan la arista e. Se tiene la siguiente formulación del problema al cual se lo ha nombrado por sus siglas en inglés (CLPP):. mı́n s.t.. X. X. ki xi. (1.12). i∈N. fi xi ≥ f e. ∀e ∈ E,. (1.13). i∈N(e). X. fi ci xi ≥ ce. ∀e ∈ E,. (1.14). i∈N(e). X. xi ≤ 1. ∀l ∈ L,. (1.15). i∈N |li =l. xi ∈ {0, 1}. ∀i ∈ N .. (1.16). Las restricciones (1.13) y (1.14) aseguran que para cada arista e ∈ E haya un mı́nimo número de frecuencias y vagones (por hora) para cumplir con la demanda de pasajeros obtenida por el System Split. La restricción (1.15) se encarga de que se seleccione una sola configuración posible para cada lı́nea. No se restringe el número de unidades que pueden usar una arista en un intervalo de tiempo, pero este tipo de restricciones pueden ser incluidas. Ahora, en lo que respecta a la función objetivo se tiene el coeficiente ki que representa el costo de operación asociado a la variable xi . Este costo se divide en una parte fija y otra variable. Los costos variables se representan como los medios básicos para operar una lı́nea por unidad de distancia (kilómetro), considerando factores como electricidad, combustibles o mantenimiento variable; mientras que los costos fijos son aquellos que no dependen del recorrido como costos por parqueo, conductores o impuestos administrativos. Entonces el coeficiente ki se define como: unidad car + c · kvar ). k(l,f,c) = ⌈cpl · f ⌉ · (kfunidad + c · kfcar ijo ) + dl · f · (kvar ijo. donde se tienen los siguientes costos: • kfunidad el costo fijo por hora por unidad (tren), ijo • kfcar ijo el costo fijo por hora por vagón, 13.

(25) unidad • kvar el costo variable por hora de una unidad por un kilómetro, car • kvar el costo variable por hora de un vagón por un kilómetro.. La distancia que recorre cada lı́nea se representa por dl y su unidad es el kilómetro, cpl es el ciclo total de la lı́nea dividido por 60 minutos. Branch and Cut para el CLPP Se ha demostrado que este tipo de problemas son NP-Duros por lo que es difı́cil encontrar una buena descripción de su envolvente convexa, para ello, en el documento se abordan tres partes: el pre-procesamiento para identificar y remover variables y restricciones redundantes, planos cortantes y árboles de búsqueda. Dada la naturaleza de este proyecto, no se revisará en detalle lo antes expuesto pero se mostrará para cada una de las partes ideas generales. Para poder describir los métodos de reducción de coeficientes se va a utilizar un modelo de planificación de lı́neas simplificado (SLPP) que tiene la siguiente formulación:. mı́n cx. (1.17). s.t. Ax ≥ b,. (1.18). Cx ≤ 1,. (1.19). x ∈ {0, 1}n .. (1.20). Donde N es el conjunto de variables. Se nota n = |N |. La matriz A tiene dimensión m × n con elementos enteros no negativos aij y b es un vector de enteros positivos m-dimensional. Cada variable i ∈ N es asociada con un único l ∈ L denotado por li . Para cada l ∈ L existe una restricción de la forma (1.19). Observemos que, el Modelo CLPP es un caso particular del SLPP. Ahora, las ideas generales de estos métodos de reducción se mostrarán mediante ejemplos tomados del documento estudiado. Considerar el siguiente conjunto de restricciones del problema SLPP, donde se tiene un solo arco y 2 lı́neas factibles que cubren dicho arco. Note que para la lı́neas 1 se toman 3 frecuencias factibles (3, 4, 7) y para la lı́nea 2 (4, 6).. 14.

(26) l1 l2. (l1 , 3, 1) (l1 , 4, 1) (l1 , 7, 1) (l2 , 4, 1) (l2 , 6, 2). e. Figura 1.3: Ejemplo: Reducción coeficientes.. S := {x ∈ {0, 1}5 :. 3x1 + 4x2 + 7x3 + 4x4 + 6x5 ≥ 7 x1 + x2 + x3 +. x4 + 2x5 ≥ 2. x1 + x2 + x3. ≤1 x4 + x5 ≤ 1}.. Se toma la variable x3 en la primera restricción y se fija a 1, entonces cualquier solución factible para S deberá tener a x4 o x5 iguales a 1 para que se cumplan las restricciones restantes. Esto implica que podemos reducir el coeficiente de x3 de la primera restricción al máximo ya que por la forma del conjunto S se necesita que x4 + x5 = 1. Entonces, para la reducción es necesario obtener el mı́nimo entre los coeficientes de las variables x4 y x5 de la primera restricción, teniendo: 3x1 + 4x2 + (7 − min{4, 6})x3 + 4x4 + 6x5 ≥ 7 es válida para S. Lo que se ha hecho es encontrar un valor, que los autores lo notan por Qkj , que es una cota inferior del lado izquierdo del valor de la restricción k para cualquier solución factible x ∈ S con xj = 1. Consideremos el siguiente ejemplo donde se halla de otra manera una cota inferior. Tomando el conjunto factible obtenido en el ejemplo anterior, se puede reducir el coeficiente a13 de x3 con:. Q13 = mı́n{4x4 + 6x5 } s.t. x4 + 2x5 ≥ 1,. (1.21) (1.22). x4 + x5 ≤ 1,. (1.23). x4 , x5 ∈ {0, 1}.. (1.24) 15.

(27) que es válido para S. Si se relajan las restricciones sobre x4 y x5 y se resuelve, la solución óptima es x4 = 0 y x5 = 0,5 de manera que Q13 ≥ 3. Ahora: 3x1 + 4x2 + (7 − 3)x3 + 4x4 + 6x5 ≥ 7 es válida para S. Se han ejemplificado algunos métodos de reducción de coeficientes, donde teoremas, corolarios y lemas que garantizan el funcionamiento de estos resultados se encuentran demostrados en el documento de estudio. Los autores consideran técnicas de reducción de variables mediante la construcción de relaciones de dominación entre grupos de variables que están conectadas con los procedimientos de reducción de coeficientes. Podemos observar que en la formulación del problema original (CLPP), se introdujeron variables binarias que representan a tripletas (l, f, c) ∈ N. Si tomamos dos variables i, j ∈ N, con li = lj y i 6= j, con costos ci y cj , la variable xi domina a xj y puede ser removida del problema si. ci ≤ cj aki ≥ akj. ∀k ∈ {1, . . . , m}.. Esta relación de dominación es transitiva y se prueba entre variables de una misma lı́nea l ∈ L. En relación a la reducción de restricciones, se intenta identificar a restricciones redundantes mediante reglas de dominación sobre la formulación SLPP. Ası́, dada una instancia del SLPP y un par de restricciones, notadas como h y k. La restricción k es redundante para la descripción del SLPP si bk ≤ Qk0 (h), con:. Qk0 (h) ≡ mı́n. X. aki xi. (1.25). i∈N. ′. s.t. x ∈ P .. (1.26). P donde P ′ := {x| i∈N ahi xi ≥ bh , Cx ≤ 1, x ∈ [0, 1]n }. Aplicando lo antes mencionado a las primeras dos restricciones del ejemplo tendrı́amos: 16.

(28) Q10 (2) = min 3x1 + 4x2 + 7x3 + 4x4 + 7x5 s.t. x1 + x2 + 2x3 + x4 + x5 ≥ 2 ≤1. x1 + x2 + x3. x4 + x5 ≤ 1. donde una solución factible al problema puede ser (1, 0, 0, 1, 0) con Q10 (2) = 10, dado que b1 = 7 se tiene b1 < Q10 (2) con lo cual Q10 (2) = 7. Entonces, resolver el problema de esta forma nos muestra que la segunda restricción induce que la primera es redundante. Estos procedimientos de reducción no son independientes, deben ser llevados a cabo secuencialmente actualizando el problema (1.25) - (1.26) cada vez. A partir de los modelos reducidos, los autores proponen estrategias de solución basadas en planos cortantes y algoritmos Branch and Bound. Observemos qué sucede en la restricción del ejemplo: S := {x ∈ {0, 1}5 : 3x1 + 4x2 + 7x3 + 4x4 + 7x5 ≥ 7}. Por lo menos una de las variables tendrán valor diferente de cero en cualquier solución factible, por lo que: x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + 3x5 ≥ 3 es válido para S. Por tanto, dada una arista e, si una variable xi por si sola no satisface las restricciones (1.13) y (1.14), entonces cualquier solución factible tendrá por lo menos una lı́nea más sobre e. En la parte del proceso de solución se trata con dos estrategias de ramificación orientadas a las variables y las lı́neas. Para el caso de ramificar mediante las variables, la idea es tomar una solución x del problema relajado y generar sub-problemas tomando como entera una variable que es básica y quebrada en la solución. Hay que recalcar que se plantean reglas para seleccionar esta variable. En el caso de ramificación mediante lı́neas, para alguna lı́nea l se tendrá: P P i|li =l xi = 0 contra i|li =l xi = 1 Finalmente, los autores reportan la efectividad de las técnicas mencionadas mediante resultados computacionales basados en datos reales de ”Netherlands Railways”, y resueltos en ABACUS 1998 y CPLEX 6.6.1. 17.

(29) 1.2.3. Un Modelo de Rutas para Planificación de Lı́neas en el Transporte Público. Ahora, se va a revisar un modelo de planificación de lı́neas reportado por Borndörfer, Grötschel y Pfetsch [3], el cual es distinto a los antes estudiados en el sentido de que la generación de lı́neas es dinámica. Este modelo se basa en un problema de flujo multiproducto (multi-commodity flow) y al ser un modelo de planificación de lı́neas se basa en los conceptos ya desarrollados como por ejemplo la matriz O-D. En los modelos anteriores se suponı́a un conjunto de lı́neas iniciales (line pool) del cual se escogı́an algunas de ellas para la planificación óptima, y que la demanda es enrutada usando el método conocido como system split. Estos procedimientos significan que los modelos de planificación de lı́neas no generan lı́neas propias. El modelo a exponerse no hace uso de estas técnicas, sino construye las lı́neas factibles y los usuarios son enrutados dinámicamente. En lo que respecta a la función objetivo se va minimizar una combinación entre el costo de operación y el tiempo de los viajes. Al igual que con los modelos ya tratados se iniciará definiendo la notación necesaria para formular el problema y se mencionará de manera resumida los métodos de solución. Modelo 4. Modelo de Planificación con Lı́neas Dinámicas Dado un multigrafo G = (V, E) = (V, E1 ∪ ... ∪ Em ) donde se tienen m modos de transportación (bus, tren, etc.), conjuntos de terminales T1 , ..., Tm ⊆ V , costos de operación m m 1 (variables) c 1 ∈ QE ∈ QE + sobre las aristas, costos fijos C1 , ..., Cm ∈ Q+ , ca+ , ..., c pacidades de las unidades k1 , ..., km ∈ Q+ para cada modo de transporte y capacidades de arcos λ ∈ QE + . Se denota con Gi = (V, Ei ) al subgrafo que le corresponde al modo i,. i ∈ {1, 2, ..., m}. Una lı́nea ℓ de un modo i es un camino simple que une terminales de un conjunto Ti . Ası́, notar que para una lı́nea ℓ de modo i se definen: • • •. Costos fijos: Cℓ := Ci . P Costos variables: cℓ := e∈ℓ cei .. Capacidad unidad de transporte: kℓ := ki .. Además, se definen Le :=. S. {ℓ ∈ L : e ∈ ℓ} al conjunto de lı́neas que usan la arista. e ∈ E, donde L es el conjunto de todas las lı́neas. La matriz O-D contiene las demandas de transporte y (dst ) ∈ QV+×V representa la cantidad de pasajeros que quieren 18.

(30) ir de un origen s a un destino t. El conjunto de todos los pares O-D se define como D := {(s, t) ∈ V × V : dst > 0}. Los caminos entre un origen s y un destino t en D son caminos dirigidos dentro de un nuevo grafo que se deriva de G = (V, E). A este los autores lo notan como G′ = (V, A) y se construye reemplazando las aristas (i, j) por arcos anti-paralelos a = (i, j) y a = (j, i). Se definen tiempos de viaje para cada arco a por τa ∈ Q+ . Ahora, se nota con Pst al conjunto de todas las rutas (de pasajeros) entre (s, t) ∈ D y S el conjunto de todas las rutas se define como P := {p ∈ Pst : (s, t) ∈ D}. Además, S sea Pa := {p ∈ P : a ∈ p} el conjunto de todas las rutas que usan el arco a. Como se observa, una ruta la notamos con p y al tiempo de viaje sobre esta ruta lo definimos P como τp := a∈p τa .. Para la formulación del modelo se van a utilizar tres tipos de variables: yp ∈ R+ : el flujo de pasajeros que viajan de s a t sobre la ruta p ∈ Pst , xℓ ∈ {0, 1}: una variable para decidir el uso de una lı́nea ℓ ∈ L, fℓ ∈ R+ : la frecuencia de la lı́nea ℓ ∈ L. Entonces el modelo (LPP) tiene la siguiente formulación:. mı́n τ T y + C T x + c T f s.t. y(Pst ) = dst ∀(s, t) ∈ D, X y(Pa ) − kℓ fℓ ≤ 0 ∀a ∈ A,. (1.27) (1.28) (1.29). ℓ:e(a)∈ℓ. f (Le ) ≤ λe. ∀e ∈ E,. (1.30). f ≤ F x,. (1.31). xℓ ∈ {0, 1} ∀ℓ ∈ L,. (1.32). fℓ ≥ 0 ∀ℓ ∈ L,. (1.33). yp ≥ 0 ∀p ∈ P.. (1.34). La restricción (1.28) asegura que el flujo de los pasajeros en todas las rutas entre un (s, t) sea igual a la demanda. En la restricción (1.29), el sumatorio representa la capacidad máxima de pasajeros en una arista dada, y esta debe ser mayor igual al flujo de pasajeros que viajan por la misma arista (y(Pa )), es decir, se asegura suficiente. 19.

(31) capacidad de transporte en cada arco. En (1.30) se establece una cota superior para el número máximo de frecuencias que va a usar un arco e ∈ E. La restricción (1.31) garantiza que si no se escoge una lı́nea en la solución, su frecuencia va a ser igual a cero, F es una cota superior a la frecuencia de la lı́nea y finalmente, las restricciones (1.32), (1.33) y (1.34) definen los tipos de variables a ser usadas para el modelo. Para resolver el modelo LPP se obtiene la relajación tomando 0 ≤ x ≤ 1 la que puede ser simplificada eliminando las variables x. Los autores señalan que debido a que (LPP) se minimiza sobre costos no negativos se puede asumir, sin pérdida de generalidad, que las desigualdades (1.31) se satisfacen con igualdad, es decir, hay una solución óptima del programa lineal tal que F xℓ = fℓ ⇔ xℓ = fℓ /F para todas las lı́neas ℓ. Ahora al modelo relajado lo notan como (LP) y además fijan para la función objetivo el valor γℓ = Cℓ /F + cℓ obteniendo:. mı́n τ T y + γ T f s.t. y(Pst ) = dst ∀(s, t) ∈ D, X y(Pa ) − kℓ fℓ ≤ 0 ∀a ∈ A,. (1.35) (1.36) (1.37). ℓ:e(a)∈ℓ. f (Le ) ≤ λe. ∀e ∈ E,. (1.38). fℓ ≥ 0 ∀ℓ ∈ L,. (1.39). yp ≥ 0 ∀p ∈ P.. (1.40). La solución del modelo (LPP) se la realiza mediante el método de generación de columnas. Aquı́, los autores indican que el ”pricing problem”para las variables de lı́neas fℓ resultan en un problema del camino más largo mientras que el ”pricing”para variables de flujo de pasajeros yp es un problema del camino más corto. La complejidad del modelo es demostrada que es NP-difı́cil incluso para grafos planares donde los autores lo reducen a partir del Problema del Camino Hamiltoniano que se sabe es un problema NP-Completo en sentido fuerte (incluso para grafos planares). Finalmente, Borndörfer, Grötschel y Pfetsch reportan experiencias computacionales aplicando este modelo a la ciudad de Postdam, Alemania, en un proyecto conjunto entre dos compañı́as locales de transporte público (ViP, Havelbus). La red de transporte original (después reducida) constaba de 951 nodos y 1321 aristas. Se resolvió el problema utilizando CPLEX 9.0.. 20.

(32) Capı́tulo 2 UN MODELO DE PLANIFICACIÓN DE LÍNEAS En el capı́tulo anterior se revisaron los principales trabajos reportados en los últimos años para el problema de planificación de lı́neas. Estos son aplicados principalmente a sistemas de transporte basados en ferrocarriles o en sistemas con múltiples modos de transporte. Con respecto a la experiencia en nuestro paı́s, se encuentra el trabajo de L. Torres, R. Torres, R. Borndörfer y M. Pfetsch [22] donde se proponen modelos de planificación de lı́neas para redes de transporte con formas de caminos y árboles. Además, determinan que la complejidad computacional de estos modelos sobre las topologı́as mencionadas y reportan resultados basadas en datos reales. A diferencia de los trabajos anteriores, en este capı́tulo se propone un modelo de planificación de lı́neas que contempla viajes directos, lo que es aplicable debido a la forma de la red de transporte del Sistema Trolebús. Posteriormente se demuestra que dicha formulación pertenece a la clase de complejidad NP-completo en dos de sus variantes (lı́neas simples y lı́neas exprés) y finalmente se muestran algoritmos que resuelven el problema en tiempo polinomial para ciertos casos.. 2.1. Modelo de Asignación de Viajes. Siguiendo la misma lı́nea de formulación usada en los trabajos previos, definimos la red de transporte representada por el grafo dirigido G = (V, A), donde V = {1, 2, ..., n} corresponden a las estaciones y el conjunto de arcos A = {{i, j} : i, j ∈ V, i 6= j} son las conexiones directas entre estaciones. Definimos como M al conjunto de modos de transportación, donde cada m ∈ M tiene una capacidad Nm fija para sus unidades. Además dependiendo del modo de trans21.

(33) portación, contaremos con ciertas paradas donde las unidades inician o terminan su servicio (terminales). Una lı́nea abierta para un modo m es un camino dirigido donde las estaciones de inicio y fin son terminales distintas. Por otro lado, una lı́nea cerrada es un circuito y utiliza la misma terminal como inicio y fin. La demanda viene dada por la matriz de orı́genes-destino D ∈ Zn×n , donde un elemento du,v indica la demanda de pasajeros entre un par de nodos (u, v). A cada par (u, v) con duv > 0 lo llamamos origen-destino y notamos con T al conjunto de todos los pares origen-destino en los cuales se cuenta con demanda de pasajeros, donde cada par (s, t) ∈ T tiene demanda dst . Consideramos un conjunto que contiene todas las posibles lı́neas factibles destinadas a cubrir la demanda. Notaremos con Lm (line pool) el conjunto de lı́neas asociadas a cada m ∈ M. Todas las lı́neas se encuentran en el conjunto L = ∪m∈M Lm y cada l ∈ L tiene asociado un costo fijo Kl ∈ R+ y un costo variable Cl . A cada lı́nea la podemos representar por una sucesión de arcos A[l] = {al1 , al2 , ..., alk }. Se define como L(s,t) ⊂ L al conjunto de lı́neas que pueden atender al origen-destino (s, t) ∈ T . Los pares origen-destino que pueden ser atendidos por la lı́nea l los notamos con T (l) y Ta (l) = {(s, t) ∈ T (l) : a ∈ A[l]} es el conjunto de pares origen-destino que pueden ser atendidos por una lı́nea l y que usan el arco a ∈ A[l]. El objetivo es escoger un conjunto de lı́neas l ∈ L junto con sus frecuencias fl de manera que exista la suficiente capacidad de transportación para satisfacer toda la demanda de los pares origen-destino con un costo de operación mı́nimo. Para especificar la demanda del origen-destino (s, t) ∈ T que es cubierta por la lı́nea l ∈ L(s,t) introducimos la variable xlst ∈ Z+ . La variable fl ∈ Z+ denota la frecuencia de la lı́nea l en la solución. El hecho de que escojamos una lı́nea en la solución viene dado por la variable yl ∈ {0, 1}, donde yl = 1 significa que la lı́nea l es seleccionada y yl = 0 caso contrario. Imponemos f max como una cota superior a las frecuencias permitidas por el operador del sistema. En este sentido, el Modelo de Asignación de Viajes (MAVD) puede ser formulado como:. mı́n. X X. m∈M l∈Lm. Kl y l +. X X. Cl fl. (2.1). m∈M l∈Lm. 22.

(34) s.t.. X. xlst = dst. ∀(s, t) ∈ T. (2.2). l∈L(s,t). X. xlst ≤ Nm fl. ∀m ∈ M, ∀l ∈ Lm , a ∈ A[l]. (2.3). (s,t)∈Ta (l). fl ≤ f max yl. ∀l ∈ L. (2.4). xlst , fl ∈ Z+. ∀(s, t) ∈ T , l ∈ L. (2.5). yl ∈ {0, 1}. ∀l ∈ L.. (2.6). Bajo el objetivo de minimizar el costo de operación del sistema, la restricción (2.2) asegura que toda la demanda de pasajeros sobre los pares origen-destino sea atendida. En (2.3) se asegura que las frecuencias sean lo suficientemente grandes para poder servir a todos los pasajeros, considerando que se cuenta con unidades de capacidad Nm , ∀m ∈ M. La restricción (2.4) es una cota superior fijada por el operador para el máximo número de veces que se puede usar una misma lı́nea y además (2.5) y (2.6) son restricciones de integralidad sobre las variables. Cabe mencionar que, para el caso del Sistema Trolebús se cuenta con solo modo de transportación, por ello se pone N en lugar de Nm de aquı́ en adelante. Además se puede relajar la variable xlst , es decir, xlst ∈ [0, 1] representando de este manera la fracción de la demanda del par origen-destino (s, t) atendido por la lı́nea l, (s, t) ∈ T y l ∈ L. Con esta relajación las restricciones 2.2 y 2.3 pueden ser escritas de la forma: P l ∀(s, t) ∈ T l∈L(s,t) xst = 1 P l ∀m ∈ M, ∀l ∈ Lm , a ∈ A[l] (s,t)∈Ta (l) dst xst ≤ Nm fl Ahora, si nos referimos a la estructura del sistema podemos destacar: • En la parte central del sistema, los trolebuses se mueven sobre un camino simple (uno en sentido N/S y otro S/N) donde para ir de una estación a otra necesariamente se deben pasar por las estaciones intermedias y no está permitido que una unidad rebase a otra. En esta red, si contamos con el conjunto de estaciones V = {v1 , v2 , ..., vn } tendremos arcos (vi , vi+1 ) y (vi+1 , vi ) para i = 1, 2, ..., n − 1, donde estos arcos serán transformados en aristas de la forma {vi , vi+1 }, para i = 1, 2, .., n − 1. Al grafo que resulta de las consideraciones antes mencionados lo llamaremos Grafo de Quito con Viajes Directos (GQVD). 23.

(35) b. b. b. Lı́neas b. b. b. 1. 2. n. 3. OD. Figura 2.1: Problema de Asignación de Viajes en GQVD. • Si existe la posibilidad de que los trolebuses rebasen en el recorrido, se podrı́a introducir lı́neas exprés que se detengan en predeterminadas estaciones. A este escenario lo llamaremos Grafo de Quito Expreso con Viajes Directos (GQEVD).. Lı́neas b. b. b. b. b. 1. 2. 3. b. b. b. n. OD. Figura 2.2: Problema de Asignación de Viajes en GQEVD. Además, se cuenta con los buses alimentadores desde las terminales hacia los barrios cercanos las cuales que forman grafos del tipo árbol.. b. b. b b. T. T. Lı́neas Alimentadoras. b. b b. b. T. T erminal. Estación b. b. b. b. P arada bus alimentador. Figura 2.3: Ejemplo: Red Alimentadora.. 24.

(36) Considerando el tipo de circuitos con los que cuenta el Sistema Trolebús, en la mayorı́a de casos nos encontramos que estos constituyen lı́neas cerradas, es decir, se utilizan siempre los arcos de ida y vuelta entre dos estaciones. Esto nos permite construir un nuevo grafo donde reemplazamos las dos arcos opuestos con una arista. Esta nueva instancia se modela bajo las siguientes caracterı́sticas: • Sea un grafo G = (V, E) no dirigido. • Las lı́neas se reducirán a caminos simples no dirigidos sobre G. • Si duv es la demanda entre las estaciones (u, v) y dvu la demanda entre (v, u), entonces definimos la demanda agregada como duv := max{duv , dvu } ∀(u, v) ∈ A. A continuación se analizará la complejidad computacional del (MAVD) sobre los grafos antes definidos.. 2.2. Complejidad computacional. Iniciaremos este análisis con el Problema de Asignación de viajes sobre el grafo GQEVD. Para demostrar su complejidad consideraremos el problema de optimización conocido como Set Covering (SCP) y seguimos ideas presentadas en [20]. El problema SCP fue presentado formalmente en la sección 1.2. Se expone al problema bajo el siguiente ejemplo: Supongamos que contamos con un conjunto de regiones m = {1, 2, ..., m} a las cuales debemos atender con escuelas n = {1, 2, ..., n}. El conjunto Ej ⊆ m indica las regiones que pueden ser atendidas por una escuela j ∈ n y el costo de instalar una escuela j viene dado por cj ∈ R+ . El problema consiste en atender a todas las regiones con un costo mı́nimo, es decir, el menor número de escuelas (si su instalación tiene el mismo costo en todos los casos). Su formulación entera viene dada por:. mı́n s.t.. X. X. cj xj. (2.7). j∈n. aij xj ≥ 1. ∀i ∈ m. (2.8). j∈n. xj ∈ {0, 1}. ∀j ∈ n. (2.9). 25.

(37) La variable xj será igual a 1 si la escuela j es seleccionada, caso contrario tendrá valor de cero. La incidencia entre una región y una escuela viene dada en una matriz Am×n , donde si un elemento aij = 1 la región i ∈ Ej puede ser atendida por una escuela j.. Lema 2.1. El Modelo de Asignación de Viajes para GQEVD es NP-completo. Demostración. Sea (SCP) una instancia del Problema Set Covering:. (SCP ).      . mı́n. X j∈n. bT zj C. bm×n z ≥ 1 s.t. A      z ∈ {0, 1}n. Construimos un grafo G = (V, A) con m + 1 nodos V = {0, 1, 2, ..., m} y un conjunto de m aristas de la forma A = {(0, 1), (1, 2), ..., (i, i + 1), ..., (m − 1, m)}. Definimos el conjunto de orı́genes-destinos T = {(0, 1), (1, 2), ..., (m − 1, m)}. Las demandas se bm×n fijarán como dst = 1 para todo (s, t) ∈ T . Ahora, las n columnas de la matriz A. corresponderán a n lı́neas junto con su incidencia con los m pares origen-destino, es b construimos una lı́nea lj pasando por el arco (i − 1, i) si decir, para la columna j de A bj y Kl = 0 con j = {1, 2, .., n} para todo l ∈ L , aij = 1. Por último, ponemos Cl = C. f max = 1 y N = 1.. Asumamos que tenemos una solución factible zj con j = 1, 2, ..., n para (SCP), definimos una solución factible al Modelo de Asignación de Viajes fijando fl = zj para todo l ∈ L (contamos con n lı́neas) y ası́ tenemos un conjunto de lı́neas que con sus arcos pueden atender a todos los orı́genes-destinos. Al ser la frecuencia para las lı́neas escogidas igual a 1, yl = 1. Una solución factible al (SCP) puede involucrar que se escojan algunos arcos de diferentes lı́neas para atender un mismo origen-destino, esto no conlleva problemas debido a que la demanda de los orı́genes-destinos no están asob ciados a valores dentro de la matriz A. Ahora, supongamos que contamos con una solución factible para el Modelo de Asignación de Viajes, es decir, un conjunto de lı́neas con frecuencia fl para todo l ∈ L que cubran las demandas dst = 1 para todo (s, t) ∈ T . Por construcción, una lı́nea l utiliza un arco a si y solamente si esa lı́nea es capaz de atender el origen-destino (s, t) asociado a el arco a. Si tomamos la restricción (2.3), fijamos un origen-destino (s, t) y las sumamos obtendremos: 26.

(38) X. xlst ≤. X. ∀(s, t) ∈ T. fl. l∈L. l∈L. Dado que la demanda es igual a 1 para cada viaje tendremos:. 1=. X l∈L. Lo que implica que si tomamos:. xlst ≤. X. fl. ∀(s, t) ∈ T. l∈L.  1, si f > 0; l zl = 0, otro caso.. podremos obtener una solución factible para (SCP) de costo. P. l∈L. Cl y l .. Queda demostrar a qué clase de complejidad pertenece el Problema de Asignación de Viajes para el grafo GQVD. En este sentido nos basaremos en el trabajo de Kolen, Lenstra, Papadimitriou y Spieksma [15] donde los autores presentan un estudio del problema ”Interval Scheduling”. A continuación se mostrará en que consiste el Interval Scheduling Problem, su relación con el Problema de Planificación de Lı́neas y se finalizará con la demostración de complejidad para nuestro caso.. Problema de Calendarización (Scheduling Problem) En esta clase de problemas nos encontramos con un conjunto de máquinas M = {1, 2, ..., m} y un conjunto de trabajos T = {1, 2, ..., n}. La máquinas representan recursos con los que contamos para llevar a cabo tareas que son representadas por los trabajos. Pueden existir restricciones temporales como el tiempo que demoran en ejecutar las tareas y cuando están disponibles los recursos. El problema consiste en decidir cuándo ejecutar un conjunto de tareas con los recursos disponibles, minimizando por ejemplo el costo de utilizar ciertos recursos. Este problema ha sido abordado ampliamente en la literatura relacionada con la investigación de operaciones.. Problema de Calendarización en Intervalos (Interval Scheduling Problem) Este problema se define de la siguiente manera. Dados n trabajos de la forma [sj , fj ) con sj < fj (sj , fj ∈ Z+ ) para j = 1, 2, 3, ..., n. Los trabajos tienen que ser llevados a 27.

(39) cabo de forma ininterrumpida, es decir, si se decide hacer un trabajo se debe obligatoriamente concluirlo. Las máquinas a lo mucho pueden realizar un trabajo en un mismo intervalo de tiempo (no pueden procesar dos trabajos cuya intersección de tiempos sea no vacı́a) y están disponibles continuamente ([0, +∞)). Si una máquina inicia un trabajo, este debe terminarse en la misma. El problema entonces es el de procesar todos los trabajos minimizando el número de máquinas a utilizarse. Las consideraciones sobre el Problema de Calendarización en Intervalos se adaptan a nuestro problema, donde los pares origen-destino van a ser atendidos por una lı́nea y como resultado obtendremos una asignación de pares origen-destino con una lı́nea que atienden todos los orı́genes-destinos. Grafos de Intervalos El Problema de Calendarización en Intervalos está relacionado con los Grafos de Intervalos (ası́ como el Problema de Asignación de Viajes para GQVD). Tomando la definición de [13], se dice que un grafo no dirigido G es de intervalos si sus vértices pueden ser puestos en una correspondencia uno a uno con un conjunto de intervalos F de un conjunto linealmente ordenado de manera que dos vértices están conectados por un arco de G si y sólo si sus correspondientes intervalos tienen intersección no vacı́a. Llamamos a F una representación de intervalos de G. 2. b. 3. b. Intervalos 1. b. 4 b. 2. 1. 4. b. 3. 5. 5. Figura 2.4: Grafo de intervalos y su representación de intervalos. Teniendo en cuenta esta relación, el Problema de Calendarización en Intervalos es igual al problema de colorear vértices en el grafo de intervalos. Este problema nos dice que se debe encontrar una asignación de colores para los vértices de manera que dos vértices que compartan la misma arista tengan un color distinto. Una coloración que usa a lo mucho k colores se llama k coloración propia y el menor número de colores necesarios 28.

(40) para colorear un grafo recibe el nombre de número cromático. En el Problema de Calendarización en Intervalos el número cromático corresponde al mı́nimo número de máquinas que serán usadas para realizar las tareas. En el problema de Asignación de Viajes el número cromático corresponderá al número de lı́neas con las cuales se atienden todos los pares origen-destino y el conjunto de pares origen-destino correspondientes a un color especı́fico serán los factibles de atender por alguna lı́nea. Problema de Calendarización en Intervalos con Disponibilidad de Máquinas En este problema contamos con m máquinas continuamente disponibles en [ai , bi ) con i = 1, 2, ..., m, además n trabajos que cuentan con tiempos de procesamiento [sj , fj ) para j = 1, 2, .., n. El problema consiste en determinar si existe una calendarización factible, es decir, todos los trabajos pueden ser procesados por las máquina de manera que dos trabajos con intersección no vacı́a de sus tiempos no puedan ser procesados por la misma máquina. A esta instancia también se le asocia un parámetro l que es el número máximo de máquinas que contiene algún punto p, l = maxp | {i : ai ≤ p ≤ bi , 1 ≤ i ≤ m} |. Papadimitriou probó que este problema es NP-completo, la idea utilizada para realizar esta prueba la podemos encontrar en [15] y es la misma en la que se basa nuestra demostración para el Problema de Asignación de Viajes sobre GQVD. Para determinar la complejidad de nuestro problema usaremos el problema de Colorear Arcos Circulares (Circular Arc Coloring), al cual lo definiremos a continuación junto con algunas observaciones importantes. Colorear Arcos Circulares (CAC) [15] Dada una circunferencia y n arcos circulares sobre esta, cada uno de los arcos definidos por una pareja de enteros positivos {si , fi } (si 6= fi ) para i = 1, 2, ..., n, y un entero k. Puede ser que si > fi para algún i y decimos que dos arcos se sobreponen si la intersección es no vacı́a. El problema es decidir si existe una coloración para los arcos usando a lo mucho k colores de manera que los arcos que se intersecan tengan colores diferentes, es decir, se debe hallar k particiones de arcos donde en cada partición los arcos sean disjuntos.. 29.

(41) Además, las instancias del CAC van a contar con las siguientes propiedades: • k ≤ n. En el peor caso necesitaremos tantos colores como arcos. • maxi (si , fi ) ≤ 2n. Si tenemos si y fi , i = 1, 2, ..., n todos distintos, el número de enteros es igual a 2n (un arco tiene dos extremos). Se puede construir una instancia donde los enteros estén acotados por 2n, no importan los valores de los extremos de los arcos sino su orden.. 6=0 5. 1. 4. 2. A1 = [1, 3) A2 = [3, 5) A3 = [2, 6) A4 = [5, 1) A5 = [6, 2) n=5 k=2. 3. Figura 2.5: Instancia de CAC. Lema 2.2. El Modelo de Asignación de Viajes para GQVD es NP-completo. Demostración. Vamos a considerar una instancia del CAC y la transformaremos en una instancia válida para el Problema de Asignación de Viajes para GQVD. Dados n arcos circulares y sus puntos {si , fi } para i = 1, 2, ..., n y un entero k, tomamos todos los {si , fi } diferentes, los renombramos y ordenamos de manera que tendremos u1 < u2 < ... < uh (h ≤ 2n). El punto uh en la instancia del CAC corresponde al punto donde el cı́rculo inicia y termina. Ahora construimos un grafo no dirigido G = (V, A) donde el número de nodos es igual a h + 1 y el conjunto de aristas tiene la forma A = {(u′h , u1 ), (u1, u2 ), ..., (uh−1, uh )}, u′h es el mismo uh solo que consideramos separadamente el inicio y final del cı́rculo de la instancia del CAC, es decir, desconectamos el cı́rculo en uh . Para cada arco circular {si , fi }, con si < fi , se define un par origen-destino, es decir, se asocian con los arcos del CAC que no contienen al punto uh . Se fijan todas las demandas de los pares origen-destino iguales a 1. El conjunto de lı́neas corresponderán a los arcos que contienen a uh , es decir, los arcos con si > fi para algún i se transforman 30.

(42) en una lı́nea iniciando en la terminal fi y terminando en la estación si con un costo de 1. La capacidad de las unidades se fija en uno ası́ como la frecuencia máxima. Ahora, supongamos que tenemos una solución factible para el Problema de Asignación de Viajes para GQVD, es decir, un conjunto de lı́neas con sus frecuencias que satisfacen la demanda de todos los pares origen-destino. Si consideramos las restricciones (2.2), (2.3) y dado que la capacidad de las unidades y la frecuencia máxima es 1, tendremos que una lı́nea cubre únicamente pares origen-destino que no se intersequen ya que si se tiene intersección no vacı́a no se podrá cubrir la demanda, siendo necesario mayor capacidad o incrementar la frecuencia. Si el número de lı́neas seleccionadas es menor igual a k y como cada lı́nea tiene asociado un arco que contiene al punto uh en la circunferencia, entonces se dispone de a lo más k colores teniendo de este modo una solución factible para CAC. De igual manera, si contamos con una solución factible para CAC, ese decir, k particiones de arcos de manera que en cada una estos no se hallen intersecciones de los mismos, esta define una solución factible para el Problema de Asignación de Viajes para GQVD ya que contamos con k lı́neas dadas por los arcos con la caracterı́stica si > fi y los arcos restantes corresponden a los pares origen-destino que son atendidos (no se intersecan y se encuentran en la misma partición). Que un conjunto de arcos se encuentren en una misma partición asegura que la demanda de cada par origen-destino pueda ser atendida por una misma lı́nea. De esta forma contaremos con una solución factible para el Problema de Asignación de Viajes para GQVD.. 2.3. Algoritmos de tiempo polinomial. Se ha observado que existe relación entre el Problema de Asignación de Viajes con los Problemas de Calendarización en algunas variantes. A continuación tomaremos el trabajo de Arkin y Silverberg [1] donde se estudian Problemas de Calendarización con tiempos de inicio y final fijos. En este trabajo se demuestra que existen algoritmos de tiempo polinomial y se realizan construcciones para dicho fin. El objetivo en esta sección es adaptar estas ideas y mostrar que es posible contar con algoritmos de tiempo polinomial para ciertos casos del Problema de Asignación de Viajes. Se destacan dos variantes del Problema de Calendarización: (a) Calendarización con máquinas idénticas. En esta variante se cuenta con n trabajos con sus respectivos tiempos de inicio y final [si , fi ] y un beneficio wi para 31.

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Figura 1.1: Ejemplo: Red Alimentadores.

Figura 1.1:

Ejemplo: Red Alimentadores. p.14
Figura 1.2: Ejemplo: Red Change&amp;Go considerando 4 nodos y 2 l´ıneas.

Figura 1.2:

Ejemplo: Red Change&amp;Go considerando 4 nodos y 2 l´ıneas. p.18
Figura 1.3: Ejemplo: Reducci´on coeficientes.

Figura 1.3:

Ejemplo: Reducci´on coeficientes. p.26
Figura 2.2: Problema de Asignaci´ on de Viajes en GQEVD.

Figura 2.2:

Problema de Asignaci´ on de Viajes en GQEVD. p.35
Figura 2.1: Problema de Asignaci´ on de Viajes en GQVD.

Figura 2.1:

Problema de Asignaci´ on de Viajes en GQVD. p.35
Figura 2.4: Grafo de intervalos y su representaci´ on de intervalos.

Figura 2.4:

Grafo de intervalos y su representaci´ on de intervalos. p.39
Figura 2.5: Instancia de CAC.

Figura 2.5:

Instancia de CAC. p.41
Figura 2.6: I)Instancia inicial con 1 l´ınea y 5 pares origen-destino. II)Grafo de intervalos.

Figura 2.6:

I)Instancia inicial con 1 l´ınea y 5 pares origen-destino. II)Grafo de intervalos. p.48
Figura 2.7: Ejemplo del algoritmo de asignaci´ on de viajes con l´ıneas no id´enticas.

Figura 2.7:

Ejemplo del algoritmo de asignaci´ on de viajes con l´ıneas no id´enticas. p.50
Figura 3.1: Ejemplo: Line Pool Generado.

Figura 3.1:

Ejemplo: Line Pool Generado. p.53
Figura 3.2: Soluci´ on Instancia Prueba.

Figura 3.2:

Soluci´ on Instancia Prueba. p.54
Figura 3.3: Ejemplo Transferencias no penalizadas.

Figura 3.3:

Ejemplo Transferencias no penalizadas. p.55
Figura 3.4: Red Change&amp;Go modificada.

Figura 3.4:

Red Change&amp;Go modificada. p.56
Cuadro 3.1: Instancias de Partida

Cuadro 3.1:

Instancias de Partida p.57
Cuadro 3.3: Soluci´on Instancia 2

Cuadro 3.3:

Soluci´on Instancia 2 p.58
Figura 3.5: L´ıneas generadas para prueba de instancias troleb´ us. Sentido S/N.

Figura 3.5:

L´ıneas generadas para prueba de instancias troleb´ us. Sentido S/N. p.60
Cuadro 3.5: Caso 1. Resultados MAVD sobre Sistema Troleb´ us.

Cuadro 3.5:

Caso 1. Resultados MAVD sobre Sistema Troleb´ us. p.62
Figura 3.6: Caso 1. Comportamiento SCIP.

Figura 3.6:

Caso 1. Comportamiento SCIP. p.63
Figura 3.7: Caso 2. Comportamiento SCIP.

Figura 3.7:

Caso 2. Comportamiento SCIP. p.64
Figura 3.8: Caso 3. Comportamiento SCIP.

Figura 3.8:

Caso 3. Comportamiento SCIP. p.65
Cuadro 3.6: Caso 2. Resultados MAVD sobre Sistema Troleb´ us.

Cuadro 3.6:

Caso 2. Resultados MAVD sobre Sistema Troleb´ us. p.66
Cuadro 3.7: Caso 3. Resultados MAVD sobre Sistema Troleb´ us.

Cuadro 3.7:

Caso 3. Resultados MAVD sobre Sistema Troleb´ us. p.67
Figura 3.9: Caso 1 vs. Caso 2. Tiempos soluci´on.

Figura 3.9:

Caso 1 vs. Caso 2. Tiempos soluci´on. p.68
Figura 3.10: Caso 1 vs. Caso 3. Tiempos soluci´on.

Figura 3.10:

Caso 1 vs. Caso 3. Tiempos soluci´on. p.68
Figura 3.11: Caso 2 vs. Caso 3. Tiempos soluci´on.

Figura 3.11:

Caso 2 vs. Caso 3. Tiempos soluci´on. p.69
Cuadro 3.8: Comparaci´on Costo.

Cuadro 3.8:

Comparaci´on Costo. p.69

References