El estudio de algunas propiedades de las funciones armónicas para el problema de dirichlet de la ecuación de laplace
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(2) Scientia et Technica Año XIII, No 34, Mayo de 2007. Universidad Tecnológica de Pereira. 552 Generalizando. este. resultado. a. dos. dimensiones. espaciales tenemos que si Ω es un abierto de. R , 2. g : ∂Ω → R es dada, y u : Ω → R , con u = g sobre ∂Ω , para cada ξ ∈ Ω y Br (ξ ) ⊂ Ω se cumple que. u (ξ ) = Veamos: sea. La integral de energía para una función armónica u : Ω → R está dada por la expresión. E = ∫ ∇u dx . 2. Ω. Para u fijo y para cualquier. Eφ (t ) = ∫ ∇(u + tφ ) dx 2. 1. 2π r ∂Br∫(ξ ). u ( x, y )ds .. ξ = ( x0 , yo ). Ω. = ∫ ∇u dx + t 2 ∫ ∇φ dx 2. un punto interior a Ω .. 2. Ω. Ω. + 2t ∫ ∇u ⋅∇φ dx .. Entonces se tiene que. u (ξ ) =. 1. 2π r ∂Br∫(ξ ). Ω. u ( x, y )ds. 2π. 1. u ( xo + r cos θ , yo + rsenθ )rdθ 2π r ∫0 1 2π = u ( xo + r cos θ , yo + rsenθ )dθ = φ (r ). 2π ∫0 Derivando con respecto a r y teniendo en cuenta que u ( x0 , yo ) es constante tenemos que =. dφ 1 = dr 2π. ⎡ ∂u ⎤ ∂u ∫0 ⎢⎣ ∂x cosθ + ∂y senθ ⎥⎦dθ ⎤ 1 2 π ⎡ ∂u ∂u cos θ + senθ ⎥rdθ = ⎢ ∫ 2π r 0 ⎣ ∂x ∂y ⎦ 1 = ∆u iηds 2π r ∂Br∫(ξ ) = = =. 2π r Br∫(ξ ) 1. 2π r Br∫(ξ ). ∫ξ. 2π r Br (. Al derivar esta última integral, denominada la integral de Dirichlet, con respecto a t y evaluarla en t = 0 , se obtiene. Eφ (t ). Si asumimos a φ. = 0 sobre ∂Ω entonces. ∂Ω. ∫ ( ∇u ⋅∇φ ) ds = − ∫ [φ∆u ] dx . Ω. Utilizando (3), tenemos. Eφ (t ). t =0. = −2 ∫ φ∆udx . Ω. Si además suponemos entonces. Eφ (u ). t =0. que u es armónica en Ω ,. = 0 , para todo φ .. div(∇u )dxdy. Una conclusión importante que se desprende del análisis anterior, es el siguiente resultado. Si u1 es una función armónica sobre ∂Ω y Ω un. ∆udxdy = 0 .. abierto de. ). 1. 1 u (ξ ) = uds = 2 ∫ πr 2π r ∂Br (ξ ) y. (5). Ω. ∫ φ∇u ⋅ ds = 0 .. ξ ∈Ω .. ∫. udxdy ,. Br (ξ ). ∫ ∇u. 1. Ω. 2. dx ≤ ∫ ∇u2 dx , 2. Ω. para las funciones. u2 que satisfacen u1 = u2 sobre. ∂Ω . Como. Br (ξ ) ⊂ Ω .. De esta forma, para hallar una función u que coincida con una función dada g sobre ∂Ω es suficiente resolver el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace. ∆u = 0, en Ω, u = g , sobre ∂Ω.. R n entonces las funciones u1 poseen la. energía más pequeña de Dirichlet para sus valores en la frontera. Hemos establecido así la propiedad del valor medio para la función armónica u. ξ ∈Ω. = 2 ∫ ∇u ⋅∇φ dx .. ∂Ω. ∆udxdy. Puesto que r > 0 , entonces ∆u = 0 , para cada. para cada. t =0. Aplicando el teorema de Gauss-Ostrogradski a esta última expresión,. 2π. 1. 1. φ ∈ C ∞ , obtenemos. (4). 4. ENERGÍA DE DIRICHLET PARA FUNCIONES ARMÓNICAS. ∫ (u. 2. − u1 )∇(u2 + u1 ) ⋅ ds = 0 ,. (6). ∂Ω. aplicando el teorema de Gauss-Ostrogradski en (6) obtenemos. ∫ ∇(u. Ω. 2. − u1 ) ⋅∇(u2 + u1 )dx = − ∫ (u2 − u1 )∆ (u2 + u1 )dx.. De manera similar. Ω.
(3) Scientia et Technica Año XIII, No 34, Mayo de 2007. Universidad Tecnológica de Pereira. ∫ ∇(u. − u1 ) ⋅∇(u2 − u1 )dx = − ∫ (u2 − u1 )∆ (u2 − u1 )dx.. 2. Ω. Ω. Utilizando estos resultados, obtenemos. ∫ ( ∇u. 2 2. − ∇u1. 2. ) dx = ∫ ∇(u + u ) ⋅ ∇(u − u )dx 2. Ω. 1. 2. 1. Ω. = − ∫ (u2 − u1 )∆ (u2 + u1 )dx = − ∫ (u2 − u1 )∆ (u2 − u1 )dx Ω. Ω. 553. máximo y un mínimo en Ω y como en el interior de Ω la función no posee valores máximos ni mínimos entonces estos valores los adquiere en la frontera de Ω. Otro resultado importante es el siguiente: Si las funciones u y v son armónicas en la región Ω y si en la frontera de Ω se cumple una de las siguientes condiciones. u≤v. = ∫ ∇(u2 − u1 ) dx ≥ 0 . 2. Es decir. ∫ ∇u. 2. Ω. dx ≥ ∫ ∇u1 dx . 2. Ω. 4. TEOREMAS SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Si la función u es armónica en una región Ω , entonces en el interior de Ω esta función no posee ni valores máximos ni mínimos, estos valores máximos y mínimos los adquiere la función u únicamente en la frontera Ω véase ([1-2,4,5]). Para ver esto, supongamos que la función u toma su valor máximo en un punto x interior a Ω .. ε >0 σ = B ( x, ε ). Existe. además. suficientemente pequeño tal que la bola esta contenida en el interior de Ω y. u ( x) > uH + ε ,. (7). uH es el valor máximo de u en la frontera de σ . Sea η > 0 tal que para cualquier punto ξ que se encuentre dentro o sobre la frontera de σ se cumpla que donde. η x −ξ <. ε. 2. ,. donde x − ξ es la distancia entre los puntos x y. ξ.. Entonces de (7), la función. v(ξ ) = u (ξ ) + η x − ξ. 2. en el punto ξ obtendrá un valor mayor que su valor máximo en la frontera de σ . Esto significa que el valor máximo lo obtendrá dentro de σ . Pero en el punto máximo las segundas derivadas tomadas con respecto a las coordenadas del punto ξ no pueden ser mayores que cero. Al igual. ∆ξ v =. interior de Ω . Utilizando el teorema sobre máximos y mínimos podemos demostrar un resultado muy importante sobre las singularidades de la función armónica u . Sea el punto ξ = x una singularidad de la función u (ξ ) y en todos los demás puntos de la región Ω la función es armónica. Entonces la función u (ξ ) cuando ξ → x no crece más rápido que 1/ r , donde r = x − ξ , o la función u (ξ ) en el punto donde tiene la singularidad se puede redefinir de tal forma que sea armónica. Otra propiedad muy usada en las funciones armónicas es la desigualdad de Harnack. Sea. 2. ∂v ∂v ∂v 2 + + = η∆ξ x − ξ = 6η > 0. 2 2 2 ∂ξ1 ∂ξ 2 ∂ξ3 2. 2. u ≤v,. entonces estas condiciones se cumplen también en el. Ω. 2. o. u ∈ C 2 (Ω) una función armónica y no-negativa.. Ω1 es un dominio acotado tal que Ω1 ⊂ Ω . Entonces existe una constante A tal que (8). sup u ( x) ≤ A inf u ( x) Además si. Veamos: Sean x ∈ Ω , r > 0 de tal forma que. en Ω , por el teorema de Weierstrass tendrá al menos un. B4 r ( x) se. encuentre en Ω , el factor cuatro en el radio de la bola es escogido para asegurar que si tomamos y , z en la bola de radio r y centrada en x y utilizando la propiedad triangular, tenemos que. Br ( y ) ⊂ B2 r ( x) ⊂ B3r ( z ) . Por la propiedad del promedio esférico para la función u. u( y) =. n ωn (3r )n. ≤. 2. Absurdo ya que no se cumple (7). De aquí se desprende que la función u en el interior del dominio Ω no puede obtener puntos máximos. De manera similar se puede comprobar que la función u en el interior de Ω no posee valores mínimos. Como u es una función continua. x∈Ω1. x∈Ω1. u( z) = ≥. n ωn r n. ∫. ∫. u ( s )ds. Br ( x ). u ( s )ds .. (9). B2 r ( x ). n ωn (3r ) n. B3 r ( z ). n ωn (3r ) n. B2 r ( x ). ∫. u ( s )ds. ∫. u ( s )ds .. (10). Las estimaciones (9) y (10) son válidas para cada y , en la bola de radio r y centrada en x . De (9) tenemos que. z.
(4) Scientia et Technica Año XIII, No 34, Mayo de 2007. Universidad Tecnológica de Pereira. 554. sup u ( x) ≤ Br ( x ). n ωn r n. ∫. Con. u ( s )ds = const = A .. ∫. En el caso de soluciones radiales, independientes de las variables angulares, u ( x ) = φ ( r ) con r = x. u ( s )ds ≤ inf u ( z ) . Br ( x ). B2 r ( z ). sup u ( y ) ≤ 3 inf u ( z ) . n. r=. (11). Br ( x ). Para generalizar (11) a. Ω1 escogemos dos puntos en la. y el valor mínimo de u , y y. z respectivamente. Por ser Ω1 conexo, los puntos y y z los podemos unir por. γ. , contenida en. n. ∑x. i. i =1. frontera de esta región, donde se alcanza el valor máximo. medio de una curva tomamos. Ω1 . Además si. 0 < 4r ≤ min { c1 − c2 } ,. 2. ,. φ '(r ) xi. u xi =. r. ,. ⎛ xi 2 ⎞ − r ⎜ ⎟ ⎛x ⎞ r ⎟, u xi xi = φ ''(r ) ⎜ i2 ⎟ + φ '(r ) ⎜ 2 ⎜ r ⎟ ⎝r ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ para i = 1, 2, … n . Considerando a n como la 2. dimensión espacial tenemos la siguiente ecuación diferencial ordinaria, para calcular el Laplaciano de la función u. (n − 1) φ '(r ) . r. Con c1 ∈ Ω1 y c2 ∈ R − Ω , se tiene que todas las. ∆u = φ ''(r ) +. 4r están contenidas en Ω . De otro lado por la compacidad de la curva γ al unir los puntos y , z se. Para resolver (12) consideremos dos casos: a) n = 2. tiene que basta una cantidad finita de tales bolas, digamos n , para cubrir a Ω . De manera análoga, empezando por el punto máximo y aplicando (11) de forma reiterada, obtenemos la desigualdad buscada sup u ( x) ≤ A inf u ( x) ,. b) n ≥ 3. n. bolas con centro en los puntos de la curva γ y de radio. φ (r ) = − con. donde A = 3 . Este resultado sobre las funciones armónicas es uno de los más importantes. Por ejemplo si la función u es positiva o cero y armónica en la bola con centro en el origen y de radio r y si inf u ( x ) = 0 , entonces u es. En. mn. x∈Br (0). idénticamente cero sobre. Br (0) . Este resultado se puede. obtener procediendo como en la demostración de la desigualdad de Harnack.. fijo. ξ. de. R n , hallemos una función. u ∈ C 2 ( R n − {ξ } ) de la forma. u ( x) = φ ( x − ξ ) ,. C1 + C2 , (n − 2)r n − 2. consecuencia,. (14). toda. función. de. la. forma. u ( x) = φ ( x − ξ ) , con φ (r ) dada en (13) y ξ ∈ R n. fijo, es una función de clase. C ∞ ( R n − {ξ } ) que es. solución de ∆u = 0 en R − {ξ } . n. Si introducimos la solución fundamental de la ecuación de Laplace en R a la función tiene que n. n. punto. (13). C1 y C2 constantes arbitrarias.. 5. SOLUCIONES FUNDAMENTALES Busquemos soluciones a la ecuación de Laplace en un dominio de R que posean algún tipo de simetría esférica ver ([5]). En el caso particular si suponemos un. (12). φ (r ) = C1 ln r + C2 .. x∈Ω1. x∈Ω1. .. Al considerar que. Así, Br ( x ). una función armónica en. R n − {ξ } .. B2 r ( z ). De igual forma de (10) se tiene que. A n = n 3 ωn (3r ) n. φ ∈ C 2 ( 0, +∞ ) , con u. con. ωn. K ( x, ξ ) con x ≠ ξ , se. 1 ⎧ ⎪⎪− (n − 2)ω r n − 2 , n ≥ 3 n (15) K ( x, ξ ) = ⎨ 1 ⎪ ln r , n = 2, ⎪⎩ 2π la medida de la esfera. S n −1 = { x ∈ R n : x = 1} .. 5. CONCLUSIÓN Introduciendo una función w( x) armónica en Ω y utilizando (15) podemos definir las funciones de Green como.
(5) Scientia et Technica Año XIII, No 34, Mayo de 2007. Universidad Tecnológica de Pereira. G ( x, ξ ) = K ( x, ξ ) + w( x) . (16) Si suponemos que para cada ξ ∈ Ω podemos encontrar una función wξ ( x ) armónica en Ω que satisface la condición. wξ ( x ) = − K ( x, ξ ) ,. para x ∈ ∂Ω . Entonces la función. G ( x, ξ ) = K ( x, ξ ) + wξ ( x ) es una función armónica en Ω y además es una solución. fundamental del operador de Laplace , con la propiedad G ( x, ξ ) = 0 para todo x ∈ ∂Ω . En general, la construcción de tales funciones es complicada ya que requiere la solución del problema de Dirichlet. ⎧⎪ ∆wξ = 0, en Ω ⎨ ⎪⎩ wξ = − K , sobre ∂Ω con ξ ∈ Ω . Haciendo uso de (15) de las fórmulas de Green (16) y de la fórmula de representación de Green, el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace tiene como solución. u (ξ ) =. ∂G ( x, ξ ) g ( x)dS x , ∂ν x ∂Ω. ∫. expresión que es conocida como la fórmula integral de Poisson. La expresión H ( x, ξ ) =. ∂G ( x, ξ ) , es el ∂ν x. llamado núcleo de Poisson. Es decir, el problema de Dirichlet posee solución para. ( ). u ∈ C 2 Ω , luego podemos calcular u de la fórmula integral de Poisson siempre y cuando conozcamos las respectivas funciones de Green. 6. BIBLIOGRAFÍA [1] V.P. Mijaylov. Ecuaciones en derivadas parciales, Nauka, Moscú 1976. [2] L. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. [3] J.R.González, A.E. Posso, Método del promedio esférico en la solución de ecuaciones diferenciales parciales de tipo hiperbólico. Scientia et Technica Ano XII, No 32, Diciembre de 2006. UTP. [4] John Fritz. Partial Differential Equations 4th ed., Springer-Verlag, New York, 1982. [5] Robert C. McOwen Robert. Partial Differential Equations: methods and applications, Prentice Hall, 1996.. 555.
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