MA 2115 Ejercicios Sistemas De Ecuaciones Diferenciales y Ecuaciones Diferenciales Lineales 2002 Sep Dic pdf

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(1)Universidad Simón Bolívar Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas Septiembre-Diciembre 2002. EJERCICIOS SUGERIDOS PARA LA PRACTICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES. dx = 3x + 4 y dt 1.- .- Sea el sistema dy = 2x + y dt x = 2e 5t x = e −t son soluciones del sistema y a) Demuestre que y = e 5t y = − e −t. b) Demuestre que las soluciones de la parte (a) son linealmente independiente en todo intervalo a ≤ t ≤ b y escriba la solución general del sistema. c) Determine la solución. x = f (t ) del sistema que es tal que f (0) = 1 , g (0) = 2 . Por que esta solución y = g (t ). es única? ¿ en qué intervalo está definida?2.- Resolver: los sistemas de ecuaciones diferenciales. 1.-. x1! = 5 x1 − 2 x 2 x !2 = 4 x1 − x 2 dx dy + 4 + x − y = 3e t dt dt dx dy + + 2x + 2 y = et dt dt. 2 2.-. 3.-. x1! = x1 − 2 x2 x!2. = x1 + 2 x2. Res.1.-. x1 = c1 e t + c 2 e 3t x 2 = 2c1 e t + c 2 e 3t x = c1e t + c 2 e −2t − te t. Res.2.-. Res.3.-. 1 1 y = ( − c1 )e t − c 2 e −2t + te t 3 3. x1 = 2c1 e 4 t + c 2 e − t x 2 = 3c1 e 4 t − c 2 e − t.

(2) x1! = 3x1 + x 2. 4.-. x !2 = 4 x1 + 3x 2 dx + dt dx + dt. 5.-. 6.-. 7.-. 8.-. 9.-. dy + 2 y = sent dt dy −x− y =0 dt. x1! = 3x1 − 4 x 2 x !2 = 2 x1 − 3x 2 x1! = x1 + 3x 2 x !2 = 3x1 + x 2 x1! = 3x1 − x 2 x !2 = 4 x1 − x 2 x1! = 5 x1 + 4 x 2 x !2 = − x1 + x 2. 10.-. 11.-. 12.-. x1! = x1 − 4 x 2 x !2 = x1 + x 2 x1! = x1 − 3x 2 x !2 = 3x1 + x 2 x1! = 4 x1 − 2 x 2 x !2 = 5 x1 + 2 x 2. dx dy − 2 − 3x = t dt dt 13.dx dy 2 + 2 + 3x + 8 y = 2 dt dt 2. x1 = c1 e t + c 2 e 5t. Res.-4.-. x 2 = −2c1 e t + c 2 e 5t. sent 2 Res.5.-1 sent y = − ce t + 3 2 x = ce t −. x1 = 2c1 e t + c 2 e − t. Res.-6.-. x 2 = c1 e t + c 2 e −t x1 = c1 e 4 t + c 2 e −2 t. Res.-7.-. x 2 = c1 e 4t − c 2 e − 2 t. Res.- 8.-. Res.- 9.-. x1 = c1 e t + c 2 te t x 2 = 2c1 e t + c 2 ( 2t − 1)e t x1 = −2c1 e 3t + c 2 (2t + 1)e 3t x 2 = c1 e 3t − c 2 te 3t. Res.- 10.-. Res.-11.-. Res.12. x1 = 2e t ( −c1 sen 2t + c 2 cos 2t ) x 2 = e t ( c1 cos 2t + c 2 sen 2t ). x1 = e t ( c1 sen 3t + c 2 cos 3t ) x 2 = e t ( c1 sen 3t − c 2 cos 3t ). x1 = 2e 3t ( c1 sen 3t + c 2 cos 3t ) x 2 = e 3t ( c1 (cos 3t + 3 sen 3t ) + c 2 (sen 3t − 3 cos 3t )). 1 11 x = c1e t + c e − 3t − t − 2 3 36 Res.-13.5 y = k e t + k e − 3t + 18t + 1 2 12.

(3) dx + dt 14.dx + dt. dy − 2x − 4 y = et dt dy − y = e 4t dt. x = ce − 2t Res.142 1 1 y = − ce − 2t + e 4t − e t 3 3 3. dx + dt 15.dx + dt. dy − x − 3 y = et dt dy + x = e 3t dt. et 4 Res.-15.2 − 3t 1 3t 1 t y = − ce + e − e 2 3 3. dx dy + − x − y = e −t dt dt 16.dx dy + + 2x + y = et dt dt. 2. dx dy + − x − 6 y = e 3t dt dt 17.dx dy + 2 − 2x − 6 y = t dt dt. x = ce − 3t +. x = c1 sent + c 2 cos t. Res.16-. e t e −t ⎛ 3c1 + c 2 ⎞ ⎛ c1 − 3c 2 ⎞ y = −⎜ ⎟ sent + ⎜ ⎟ cos t + − 2 ⎠ 2 ⎠ 2 2 ⎝ ⎝. x = c1e. 6t. + c2 e −. Res.-17.y=. dx dy + + x + 5 y = 4t dt dt 18.dx dy + + 2x + 2 y = 2 dt dt. Res.18-. dx dy + + x + y = t 2 + 4t dt dt 19.dx dy + + 2 x + 2 y = 2t 2 − 2t dt dt. Res.19-. 2. 2. 6 c1 e 6. 6t. −. 6t. 6 c2e− 6. Res.1. 1 6 6t. x = c1e 4t + c 2 e −2t − t + 1 y = −c1e 4t + c 2 e −2t + t. x = c1 + c 2 e −2t + 2t 2 + t y = (1 − c1 ) − 3c 2 e −2t − t 2 − 3t. 3.- Resolver: los sistemas de ecuaciones diferenciales: dx = 4x − y dt 1.dy = x + 2y dt. −t +. x = c1e 3t + c 2 (t + 1)e 3t y = c1e 3t + c 2 te 3t. +. t 1 e3 t − − 6 6 3.

(4) dx = 3x − y dt 2.dy = 4x − y dt dx = 5x + 4 y dt 3.dy = −x + y dt. Res.-2. Res.- 3. x = c1e t + c 2 te 3t y = 2c1e t + c 2 (2t − 1)e t. x = 2c1e 3t + c 2 (2t + 1)e 3t y = c1e 3t − c 2 te 3t. 4.- Resolver: los sistemas de ecuaciones diferenciales dx = 3x + 2 y dt 1.dy = −5 x + y dt dx = x − 4y dt 2.dy = x+ y dt. Res.- 1. Res.- 2. dx = x − 3y dt 3.dy = 3x + y dt. Res.- 3. dx = 4x − 2 y dt 4.dy = 5x + 2 y dt. Res.-4. dx = 3x − 2 y dt 5.dy = 2x + 3y dt. Res.- 5. x = 2e 2t (c1 cos 3t + c 2 sen3t y = e 2t (c1 (− cos 3t − 3sen3t ) + c 2 (3 cos 3t − sen3t ). x = 2e t (−c1 sen2t + c 2 cos 2t ) y = e t (c1 cos 2t + c 2 sen2t ). x = e t (c1 cos 3t + c 2 sen3t ) y = e t (c1 sen3t − c 2 cos 3t ). x = 2e 3t (c1 cos 3t + c 2 sen3t ) y = e 3t (c1 cos 3t + 3sen3t ) + c 2 ( sen3t − 3 cos 3t ). x = e 3t (c1 cos 2t + c 2 sen2t ) y = e 3t (c1 sen2t − c 2 cos 2t. 4.- Resolver: los sistemas de ecuaciones diferenciales.

(5) dx = 6x − 3 y dt 1.dy = 2x + y dt. Res.-1. dx = 5x − 2 y dt 2.dy = 4x − y dt. Res. 2.-. dx = x + 2y dt 3.dy = 3x + 2 y dt. Res. 3 .-. dx = 3x + y dt 4.dy = 4x + 3 y dt. Res. 4.-. dx = 3x − 4 y dt 5.dy = 2x − 3 y dt. Res. 5.-. dx = x + 3y dt 6.dy = 3x + y dt. Res.- 6.-. x = c1e 3t + 3c 2 e 4t y = c1e 3t + 2c 2 e 4t. x = c1e t + c 2 e 3t y = 2c1e t + c 2 e 3t. x = 2c1e 4t + c 2 e −t y = 3c1e 4t − c 2 e −t. x = c1e t + c 2 e 5t y = −2c1e 5t + 2c 2 e 5t. x = 2c1e t + c 2 e −t y = c1e t + c 2 e −t. x = c1e 4t + c 2 e −2t y = c1e 4t − c 2 e −2t. 5.- Determine la solución particular del sistema dado a continuación: dx = −2 x + 7 y dt 1. , x(0) = 9, y(0) = -1 dy = 3x + 2 y dt. Res.-1.-. x = 2e 5t + 7e −5t y = 2e 5t − 3e −5t.

(6) dx = 6x − 4 y dt 2.dy = x + 2y dt. x(0) = 2, y(0) = 3. dx = 2x − 8 y dt 3.x(0) = 4, y(0) = 1 dy = x + 6y dt. Res.- 2.-. Res.- 3.-. x = 2e 4t − 8te 4t y = 3e 4t − 4te 4t. x = 4e 4t [cos 2t − 2 sen2t ] y = e 4t [cos 2t + 3sen2t ]. 6.- Use variación de parámetros para resolver los sistemas. dx = 2x − y dt 1.dy = 3x − 2 y + 4t dt. ⎛0 3.- x ′ = ⎜⎜ ⎝−1. 5.-. ⎛ 2 - 1⎞ ⎛ sen 2t ⎞ 2t ⎟⎟ x + ⎜⎜ ⎟⎟e 2.- x′ = ⎜⎜ ⎝ 4 2 ⎠ ⎝ 2 cos 2t ⎠. ⎛ t ⎞ ⎛1 1 0 ⎞ ⎜ e ⎟ ⎟ ⎜ 4.- x′ = ⎜1 1 0 ⎟ x + ⎜ e 2t ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 3⎟ ⎜ 3 t ⎟ ⎠ ⎝ e ⎠ ⎝. 2⎞ ⎛2 ⎞ ⎟ ⎟x + ⎜ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ e −3t ⎟⎠. ⎛ 3 - 1 - 1 ⎞ ⎛⎜ 0 ⎞⎟ ⎜ ⎟ x′ = ⎜1 1 - 1⎟ x + ⎜ t ⎟ ⎜1 1 1⎟ ⎜⎜ t ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2e ⎠. ⎛1 6.- x′ = ⎜⎜ ⎝1. - 1⎞ ⎛1 / t ⎞ ⎟ x + ⎜ ⎟; - 1⎟⎠ ⎜⎝1 / t ⎟⎠. ⎛ 2⎞ x(1) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ - 1⎠.

(7) ⎛3 7.- x′ = ⎜⎜ ⎝5. - 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎟⎟ x + ⎜⎜ ⎟⎟ t ; -3 ⎠ ⎝3⎠. π ⎛ 0⎞ x( ) = ⎜⎜ ⎟⎟ 2 ⎝ 0⎠. 7.- Resolver los sistemas no homogéneos ⎛3 - 5 ⎞ ⎟ρ ⎛ 1 ⎞ t/2 ⎜ 1.- x′ = ⎜ 3 ⎟ x + ⎜⎜ ⎟⎟e . , ⎜ - 1⎟ ⎝ − 1⎠ ⎠ ⎝4 ⎛ 2⎞ ⎛10 ⎞ ⎛13 / 2 ⎞ t / 2 ⎛15 / 2 ⎞ t / 2 ρ ⎟⎟te − ⎜⎜ ⎟⎟e Res, x = c1 ⎜⎜ ⎟⎟et / 2 + c2 ⎜⎜ ⎟⎟e3t / 2 − ⎜⎜ ⎝1 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎝13 / 4 ⎠ ⎝9 / 4 ⎠ ⎛0 0 ⎞ρ ⎛ 1 ⎞ t ⎟⎟ x + ⎜⎜ ⎟⎟e , 2.- x′ = ⎜⎜ ⎝ - 1 3 ⎠ ⎝ − 1⎠ ⎛ 2⎞ ⎛1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 4⎞ ρ Res. x = c1 ⎜⎜ ⎟⎟e t + c2 ⎜⎜ ⎟⎟e 2t + ⎜⎜ ⎟⎟e t + ⎜⎜ ⎟⎟te t ⎝1 ⎠ ⎝1⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠ ⎛1 8 ⎞ ρ ⎛ 12 ⎞ ⎟⎟ x + ⎜⎜ ⎟⎟t , 3.- x′ = ⎜⎜ ⎝1 - 1 ⎠ ⎝12 ⎠ ⎛ 4⎞ ⎛ − 2⎞ ⎛ − 12 ⎞ ⎛ 4 / 3 ⎞ ρ ⎟⎟t − ⎜⎜ ⎟⎟ Res. x = c1 ⎜⎜ ⎟⎟e 3t + c2 ⎜⎜ ⎟⎟e 2t + ⎜⎜ ⎝1 ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 4 / 3⎠ -t ⎛ 3 2 ⎞ ρ ⎛⎜ 2e ⎞⎟ ⎟⎟ x + 4.- x′ = ⎜⎜ , ⎝ - 2 - 1⎠ ⎜⎝ e −t ⎟⎠. ⎛1⎞ ⎛t ⎞ t ⎛ 1 / 2 ⎞ −t ρ ⎟⎟e + ⎜⎜ ⎟⎟e Res. x = c1 ⎜⎜ ⎟⎟e t + c2 ⎜⎜ 1 1 / 2 2 − t ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 - 1⎞ ρ ⎛ sect ⎞ ⎟⎟ x + ⎜⎜ ⎟⎟ , 5.- x′ = ⎜⎜ ⎝1 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠.

(8) ⎛ cos t ⎞ 3t ⎛ sent ⎞ ⎛ cos t ⎞ ⎛ − sent ⎞ ρ ⎟⎟e + c2 ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟t + ⎜⎜ ⎟⎟ Ln cos t Res., x = c1 ⎜⎜ ⎝ sent ⎠ ⎝ − cos t ⎠ ⎝ sent ⎠ ⎝ cos t ⎠. ⎛1 - 1⎞ ρ ⎛ cost ⎞ t ⎟⎟ x + ⎜⎜ ⎟⎟e . 6.- x′ = ⎜⎜ ⎝ 1 1 ⎠ ⎝ sent ⎠. ⎛ cos t ⎞ t ⎛ sent ⎞ t ⎛ sent ⎞ t ρ ⎟⎟e + c2 ⎜⎜ ⎟⎟e + ⎜⎜ ⎟⎟te Res., x = c1 ⎜⎜ ⎝ sent ⎠ ⎝ − cos t ⎠ ⎝ - cost ⎠. 0 ⎛ 0 1⎞ ρ ⎛ ⎞ ⎟⎟ x + ⎜⎜ ⎟⎟ 7.- x′ = ⎜⎜ ⎝ - 1 0 ⎠ ⎝ (sec t )(tan t ) ⎠ ⎛ cos t ⎞ 3t ⎛ sent ⎞ ⎛ cos t ⎞ ⎛ − sent ⎞ ⎛ sent ⎞ ρ ⎟⎟ e + c2 ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ t + ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ Ln cos t Res. x = c1⎜⎜ ⎝ − sent ⎠ ⎝ cos t ⎠ ⎝ - sent ⎠ ⎝ sent + cos t ⎠ ⎝ cos t ⎠ ⎛1 ⎜ ′ 8.- x = ⎜ - 1 ⎜ ⎝2. 2⎞ ⎟ ρ ⎛ csct ⎞ t ⎟⎟ e x + ⎜⎜ 1⎟⎟ ⎝ sec t ⎠ ⎠. ⎛ 2sent ⎞ t ⎛ 2 cos t ⎞ t ⎛ 3sent ⎞ t ⎛ cos t ⎞ t ⎛ 2 cos t ⎞ t ρ ⎟⎟ e + c2 ⎜⎜ ⎟⎟ e + ⎜⎜ ⎟⎟ t e + ⎜⎜ ⎟⎟ e Ln sent + ⎜⎜ ⎟⎟ e Ln cos t Res. x = c1⎜⎜ ⎝ cos t ⎠ ⎝ − sent ⎠ ⎝ 3/2cost ⎠ ⎝ − 1 / 2sent ⎠ ⎝ − sent ⎠ ⎛ et ⎞ ⎟ ⎜ ⎛1 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ρ ⎜ 2t ⎟ 9.- x′ = ⎜1 1 0 ⎟ x + ⎜ e ⎟ ⎜ 0 0 3⎟ ⎜ 3t ⎟ ⎝ ⎠ ⎜t e ⎟ ⎠ ⎝ ⎞ ⎛ − 1 / 4 e 2t + 1 / 2 t e 2t ⎟ ⎜ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2t ⎜ ⎟ 3t ⎜ t ⎟ ρ t t 2 2 Res. x = c1⎜ − 1⎟ + c2 ⎜1 ⎟ e + c3 ⎜ 0 ⎟ e + ⎜ − e + 1 / 4 e + 1 / 2 t e ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜1 ⎟ ⎟ ⎜ 2 3t ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ ⎜1 / 2 t e ⎠ ⎝. 8.- Resolver: las ecuaciones diferenciales.

(9) ECUACION RESPUESTA. 1.- xy′ + y = 3 xy, y(1) = 0. Res 1.- xe−3 x y = 0. 2.- y ′ + y = e , y(0) = 1. Res. 2.-. x. y=. 1 + e2 x 2 − ex. 2. 3.- y′ + 2 xy = x, y(0) = -2. Res. 3-. y=. ex − 5 2e. 4.- (1 + x ) y′ + y = cos x,. y(0) = 1. 5- xy′ = 3 y + x 4 cos x, y(2π ) = 0 6.- y ′ +. 1 1 1 y= , y(0) = x 2x 2. 7.- .- y′ +. 1 y = senx 2. Res 4.- y =. Res.5.-. Res 6. Res. 8.-. 9.- y′ + (cot x ) y = 2 cos ecx. Res. 9-. 10.- y′ +. 11.-. 1 1 y= x 2x. dx + ( Lnt ) x = t −t dt. senx + 1 1+ x. y = x 3 senx .- x(2 y − 1) = 0. Res. 7.- y =. 8.- y′(e y − x) = y. x2. 2 ( senx − 2 cos x) + C 5. yx − e y = C y = cos cx(2 x + c). Res. 10 . - y =. Res. 11- x =. 6.-Resolver mediante variación de parámetros las siguientes ecuaciones:. 1 c + 2 x. et (t + C ) tt.

(10) 2.- y′′ + y = senx. 1. y′′ + y = sec x. 3.- y ′′ + y = cos 2 x 5.- y ′′ − 4 y =. 7.-. 4.- y′′ − y = cosh x. e2x x. 6.- y′′ + 3 y′ + 2 y =. y ′′+ 3 y ′+ 2 y =sen e x. 9.- y ′′ + 2 y ′ + y = e − x Lnx. 1 1+ e x. 8.- y ′′ − 2 y ′ + y =. 10.-. ex 1+ x 2. 4 y ′′ − 4 y ′ + y = 8e − x + x. 11.-. y ′′− y = xe x , y(0)=0, y′(0) =0. 12.-. y ′′+ 2 y ′−8 y = 2e − 2 x -e- x , y(0)=0, y′(0) =0. 13.-. y ′′− 4 y ′+ 4 y = (12 x 2 −6 x)e 2 x , y(0)=0, y′(0) =0. 14.-. y ′′ + 3 y ′ + 2 y = 4e x.

(11) 15.-. y ′′ − 4 y ′ + 4 y = 2e 2 x. 8- Resolver las ecuaciones diferenciales usando coeficientes indeterminados. 1.-. 3.-. y′′ + 4 y = 4e2 x y′′ + 4 y′ + 9 y = x 2 + 3x. 2.-. 4.-. y′′ + 4 y′ + 4 y = 6 sen3 x. y′′ + 2 y′ + y = 2 cos 2 x + 3 x + 2 + 3e x. 5.-. y′′ + 4 y = 6sen2 x + 3x 2. 6.-. y′′′ − 3 y′′ + 3 y′ − y = 2e 2 x. 7.-. y ′′ + y ′ + y = x 3 e x. 8.-. y′′ − 5 y′ = x − 2. 9.-. y ′′′ + y ′′ − y ′ − y = 3t 2 + 1. 10.-. y′′ + y = x 2 cos 5 x. 11.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales con coeficientes variables. 1.-. x 2 y′′ − 2 xy′ − 4 y = 0. 3.-. x 2 y′′ + xy′ + 4 y = 0. 2.-. x 2 y′′ − xy′ + y = 0. 4.-. 1 x 2 y′′ + xy′ + ( x 2 − ) y = 0 4.

(12) 4 x 2 y ′′ + 8 xy ′ + y = 0. 5.-. 4 x 2 y′′ + xy′ + 4 y = 0. 6.-. 7.-. x 2 y′′ + 3 xy′ + 3 y = 0. 8.- x3 y′′′ + 5 xy′′ + 7 xy′ + 8 y = 0. 9.- (2 x + 1) 2 y ′′ − 2(2 x + 1) y ′ + 4 y = 0. 11.-. x 2 y′′ + xy′ + 4 y = 1. 10.- x 2 y′′ − xy′ + 2 y = xLnx. 12.-. x 2 y′′ + xe x y′ + ( x3 − 1) y = 0.

(13)

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