MA2112 Práctica 06 – Derivadas parciales pdf
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(2) Problema 1 En los siguientes casos calcule el gradiente de la función y haga un esbozo de las cur vas de nivel, donde muestre el valor del Gradiente en el punto indicado a) b). f (x, y) = y − x; (2, 1) !. f (x, y) = ln x + y 2. 2. ". ; (1, 1). c) f (x, y, z) = x + y − 2z + z ln(x); (1, 1, 1) Ejercicio 1 2. 2. 2. 2.
(3) a). 14.5 f (x, y) DIRECTIONAL = y − x; (2, 1) DERIVATIVES AND GRADIENT VEC 1.. `f `x. œ !1,. `f `y. œ 1 Ê ™ f œ !i " j ; f(2ß 1) œ !1. Ê !1 œ y ! x is the level curve z0 = f (2, 1) = −1. 2.. nivel. −1 = y − 2y 2x ` f x Cur vas de`nivel f œ x ! y Ê ` x ("ß ") œ 1; ` y œ x ! y Ê `` yf ("ß ") œ 1 Ê ™ f œ i " j ; f(1ß 1) # # # #. `f `x. œ ln 2 Ê ln 2. œ ln ax " y b Ê 2 œ x " y is the level curve. 3.
(4) 14.5a)DIRECTIONAL AND GRADIENT VECTORS f (x, y) = y − x;DERIVATIVES (2, 1) 1.. `f `x. œ !1,. `f `y. œ 1 Ê ™ f œ !i " j ; f(2ß 1) œ !1. Ê !1 œ y ! x is the level curve z0 = f (2, 1) = −1 nivel. y. y − x = −1. −1 = y − x Cur vas de nivel ∇f = −i + j. (2, 1). 2.. 2y 2x `f `f œ x ! y Ê ` x ("ß ") œ 1; ` y œ x ! y 1 Ê `` yf ("ß ") œ 1 Ê ™ f œ i " j ; f(1ß 1) œ 1 # # # #. `f `x. ln 2 Ê ln 2. x. œ ln ax " y b Ê 2 œ x " y is the level curve. 4.
(5) 14.5a)DIRECTIONAL AND GRADIENT VECTORS f (x, y) = y − x;DERIVATIVES (2, 1) 1.. `f `x. œ !1,. `f `y. œ 1 Ê ™ f œ !i " j ; f(2ß 1) œ !1. Ê !1 œ y ! x is the level curve z0 = f (2, 1) = −1 nivel. y. y − x = −1. −1 = y − x Cur vas de nivel ∇f = −i + j. (2, 1). 2.. 2y 2x `f `f œ x ! y Ê ` x ("ß ") œ 1; ` y œ x ! y 1 Ê `` yf ("ß ") œ 1 Ê ™ f œ i " j ; f(1ß 1) œ 1 # # # #. `f `x. ln 2 Ê ln 2. x. œ ln ax " y b Ê 2 œ x " y is the level curve. 5.
(6) x# dt œ ! '1 Èt$ " x# dt Ê Fw (x) ! 2 " 1 2 y)'= Èln x x dt + y ; (1, 1) !x# È x# " b)x' "f (x, x t x. `f `x. !. `f 2x 2. œ Ê ` x x ! y DIENT VECTORS. `f `x. ("ß ") œ 1;. `f `y. 2y 2x `f `f œ x ! y Ê` f ` x ("ß ") œ 1; ` y œ x ! y `y `f Ê ß 1) œ !1 ` y ("ß ") œ 1# Ê #™ f œ i " j ; f(1 # # # # # #. Ê. œ. 2x `f 2. œ x ! y Ê ` x ("ß ") œ 2y `f Ê ` y ("ß ") œ 1 Ê ™ x !y # # #. " ylnb 2Ê 2 œ x ("ß ") œ 1 Ê ™ f œ i " j ; f(1ß 1)œœlnlnax2 Ê ln 2 Ê ln 2. œ ln ax " y b Ê 2 œ x " y is the level curve. ln ax " y b Ê 2 œ x " y is the level curve z0 = f (1, 1) = ln(2) nivel. !. ln(2) = ln x + y 2. 2. ". `g `g `g `g œ3.!2x Ê ( ! 1 ß 0) œ 2; œ 1 œ ! 2x Ê ( ! 1 ß 0) œ 2; ` x ` y `x `x. Cur vas de nivel 2=x + y `g `g 3. ` x œ !2x Ê ` x (!1ß 0) œ 2. `g `y. œ1. Ê ™ gÊ œ 2i™ " gj ;œ g(! 1" ß 0)j œ !! 1 1ß 0) œ !1 2 i ; g( 2 Ê ln 2 # Ê !1 œÊy ! x is the level # curve !1 œ y ! x is the level curve e. 2. Ê ™ g œ 2i " j ; g(!1ß Ê !1 œ y ! x# is the le. 6.
(7) 2.. 2y 2x `f `f œ x ! y Ê ` x ("ß ") œ 1; ` y œ x ! y Ê `` yf ("ß ") œ 1 Ê ™ f œ i " j ; f(1ß 1) # # # # y. `f `x. œ ln 2. œ ln ax " y b Ê 2 œ x " y is the level curve. 3.. `g `x. (1, 1). ∇f = i + j. œ !2x Ê. `g `x. (!1ß 0) œ 2;. `g `y. œ1. Ê ™ g œ 2i√" j ; g(!1ß 0) œ !1 Ê !1 œ y ! x2# is the level xcurve x2 + y 2 = 2. 2 = x2 + y 2. `g È È 4. œx Ê Š 2ß "‹ œ 2; ` y œ !y z0 = f (1, 1) = ln(2) nivel Cur vas de nivel Ê `` gy ŠÈ2ß "‹ œ !1 Ê ™ g œ È2 i ! j ; `g `x. `g `x. 7.
(8) y. (1, 1). ∇f = i + j. √. 2. x. x2 + y 2 = 2. 8.
(9) problema 2. En cada caso hallar la derivada en el punto P y en la dirección A. a). b). f (x, y) = 2xy − 3y 2 , P (5, 5), A = 4i + 3j. h(x, y, z) = cos(xy) + e. xy. + ln(zx), P. Ejercicio 2. !. 1 1, 0, 2. ". , A = i + 2j + 2k. 9.
(10) `z. # 2. a). #. #. f (x, y) = 2xy − 3y , P (5, 5), A = 4i + 3j `f " `f x 26 7. ` x œ ! " x Ê ` x (!1ß 2ß !2) œ ! 27 ; ax ! y ! z b `f " `f z (5, 5) ∂f ∂f œ ! " Ê ` z = 2yax⇒ =z10 ` z !y !z b. ∂x. 8.. ∂x. `f ∂f `x. (!1ß 2ß !2) œ ! 23 54 ;. y œ! ax ! y ! z b thus ™ f œ ! 26 27 i " `f `y. ⇒ ∇f = 10i − 20j. y!1 `f ˆ 1‰ (5, 5) z "∂f Ê !ß !ß 6 `x ⇒ È1 " x = −20. È3 #. œe cos œ " 1; `` yf œ ex!y cos z " s = 2x − 6y ∂y ∂y` f È 3 !2 È3 `f 1 " x !y ˆ ‰ œ ! e sin z Ê !ß !ß `z `z 6 œ ! # ; thus ™ f œ Š # ‹ i " # j ! x !y. A 4i ! 3j v ! =È 9. Au=œ kvk œ œ 4 !3 |A|. 4 5. i " 35 j ; vector fx (xß y)unitario œ 2y Ê fx (5ß 5) œ 10; fy (xß y) œ 2. Ê ™ f œ 10i ! 20j Ê (Du f)P œ ™ f † u œ 10 ˆ 45 ‰ ! 20 ˆ 35 ‰ œ !4. 10. u œ. v kv k. " # " # 3i " 4j 4 3 3 4 œ ∇f (xß y) œ 4x=Ê !4) =œ105 i ! 5 j ;−fx 20 È3 !·(" A −4fx (!1ß 1) œ !4; fy (xß y 5 5 12 8. Ê ™ f œ !4i " 2j Ê (Du f)P œ ™ f † u œ ! 11. u œ. v kv k. œ. 12i ! 5j È12 ! 5. œ. 12 13. i". 5 13. j ; gx (xß y) œ 1 ". y x. 5. !. ". 5. œ !4. 2yÈ3 2xyÈ4x y " 1. Ê gx ( 10.
(11) Ejercicio 3. Para las siguientes funciones halle la dirección de mas rápido crecimiento y decrecimiento, en el punto P: a) f (x, y) = x + xy + y , P (−1, 1) 2. !. 2. ". b) f (x, y) = ln x + y − 1 + y + 6z, P (1, 1, 0) 2. 2. 11.
(12) Problema 3. En los siguientes casos, haga un esquema de: las cur vas de nivel, el gradiente, y la recta tangente en el punto dado. Luego escriba la ecuación de la recta tangente. a). !√ √ " x2 + y 2 = 4, 2, 2. b). x2 − xy + y 2 = 7, (−1, 2). Ejercicio 4. 12.
(13) x. x. y. y. z. z. " " u œ" 2 i i ! 37 j ! 67f increases k ; h increases most rapidly in the direction " rapidly in the direction u œ È3 i ! È3 j ! È37k a !√ √ most 2 2 2 2, " 23 " 6 k ; (D " x + y È73 a) direction "=u 4, œ"" i " j " h) œ ™ h † u œ k ™ h k œ uœ " i ! j ! k ; (D f) œ ™ f † u œ k ™ f k œ 2 u P u P È37 È37 È3 7. œ. 2 7. 23. ™ f œ. 2y 2x 22. ™ h œ i ! !È 1‹2ji!!6k2È Ê2™ Š ‹ Š x " yf Š ! 1È 2ß Èx2" !12 2xi ! 2yj Ê ™ j h("ß "ß 0) œ ‹y œ. œ. 2 7. i ! 37 j ! 67 k ; h increases most rapidly in the direction u œ. 2 7. È 2È2‹ 3 !2 6 È2 Šy " È2‹ œ 0 Ê Tangent line: 2 2 x " Š direction "u œ " 7 i " 7 j " 7 k ; (Du h)P œ ™ h † u œ k ™ hk œ Ê È2x ! È2y œ 4. !√ √ "23. ™ f œ 2xi ! 2yj Ê ™ f ŠÈ2ß È2‹ œ 2È2 i ! 2È2 j ∇f 2, 2 · v = 0 È È È È Ê Tangent line: 2. !. ! " √ " √È È2y œ 4 Ê 2x ! v = x− 2 i+ y− 2 j. 2 Šx ". 2‹ ! 2. 2 Šy ". 2‹ œ 0. 24. ™ f œ 2xi " j Ê ™ f ŠÈ2ß 1‹ œ 2È2 i " j Ê Tangent line: 2È2 Šx " È2‹ È " (y " 1)Èœ 0 24. ™ f œ 2xi " j Ê ™ f Š. Ê y œ 2È2x Ê " 3Tangent line:. 2ß 1‹ œ 2. 2i " j. 2È2 Šx " È2‹ " (y " 1) œ 0. Ê y œ 2È2x " 3. 13.
(14) 22. ™ h œ Š x œ. 2 7. 2x "y !1‹ i. ! Šx. 2y "y !1. ! 1‹ j ! 6k Ê ™ h("ß "ß 0) œ 2i ! 3j ! 6k Ê u œ. y. i ! 37 j ! 67 k ; h increases most rapidly in the direction u œ. 2 7. i ! 37 j ! 67 k and decr. direction "u œ " 27 i " 37 j " 67 k ; (Du h)P œ ™ h † u œ k ™ hk œ 7 and (D!u h)P œ "7 23. ™ f œ 2xi ! 2yj Ê ™ f ŠÈ2ß È2‹ œ 2È2 i ! 2È2 j Ê Tangent line: 2È2 Šx " È2‹ ! 2È2 Šy " È2‹ œ 0. 2. Ê È2x ! È2y œ 4. √ √ ( 2, 2) 24. ™ f œ 2xi " j Ê ™ f ŠÈ2ß 1‹ œ 2È2 i " j. y = −x + 2. Ê Tangent line: 2È2 Šx " È2‹ " (y " 1) œ 0 Ê y œ 2È2x " 3. 2. √. 2. x. ™ f4œ yi ! xj x2 + y25.2 =. Ê ™ f(2ß "2) œ "2i ! 2j Ê Tangent line: "2(x " 2) ! 2(y ! 2) œ 0 Ê yœx"4. 14.
(15) Ejercicio 5. ¿en que dirección es la derivada de f (x, y) = xy + y , en P (3, 2) 2. igual a cero?. r). 7 2 v = √ i− √ j 53 53 7 2 −v = − √ i + √ j 53 53 15.
(16) Ejercicio 6. Dada una constante k y los gradientes ∂f ∂f ∂f i+ j+ k ∇f = ∂x ∂y ∂z. y. ∂g ∂g ∂g i+ j+ k ∇g = ∂x ∂y ∂z. Demuestre: a). ∇(k f ) = k ∇ f. c). b). ∇(f g) = g ∇ f + f ∇ g. ! " f g∇f − f ∇g ∇ = g g2. 16.
(17) Problema 4. Calcule: la ecuación del plano tangente y la linea perpendicular a este plano para cada función en el punto indicado. a) x + y + z = 3, P0 (1, 1, 1) 2. b). 2. 2. cos(πx) − x2 y + exz + yz = 4, P0 (0, 1, 2). Ejercicio 7. 17.
(18) g. g. Sectiong 14.6 Tangent Planes and Differentials. 891. a) x + y + z = 3, P (1, 1, 1). 2 `g 2 2` f `g `g `f `f œTANTGENT i ! Š `y g ! f j ! g ! Š ` x g ! ` x f ‹PLANES ‹ Š AND ` y 0 DIFFERENTIALS `z `z f ‹ k. !. `g Š `y. `g `f ‰ ˆ f ‹ j ! `z g k ! Š `z f ‹ k. a) ™ f œ 2xi ! 2yj ! 2zk Ê ™ f(1ß 1ß 1) œ 2i ! 2j ! 2k Ê Tangent plan ! `` yf Ê j ! x`` zf!k‹ œ f ™ g ! g ™ f y ! z œ 3; g f g g œ 1 ! 2t f 2t, z ‹b) Normal x œ 1 ! 2t, y œ 1 ! g f ! g xf ! fline: g f ! y y x z z. ‹i ! Œ g ‹k Vector "j ! Š g (x − 1, y − 1, z − 1) perpendicular al g Ši !i "2yjj " f Š i™ k‹k Ê " f(3 j "ß 5k ‹"4) œ 6i ! 10j ! 8k Ê Tangent pla a)j " f™k f œœ2x " 2z ß " " gradiente g g g kœŠ. g y. g. g z. f x. f y. f z. g x. g y. g z. Ê 3x ! 5y ! 4z œ 18; b) Normal line: x œ 3 ! 6t, y œ 5 ! 10t, z œ "4 ! 8t. RENTIALS (1," 1,41) y − 1, z plane: − 1) = " 0 4(x " a) ™ f œ "2xi ! 2k Ê ™ f(2ß 0ß∇f 2) œ i !· 2(x k− Ê1,Tangent. Ecuación del plano Ê "4x ! 2z ! 4 œ 0 Ê "2x ! z ! 2 œ 0; 1ß 1ß 1) œ 2i ! 2jtangente ! 2k Ê Tangent plane: 2(x " 1) ! 2(y " 1) ! 2(z " 1) œ 0. b) Normal line: x œ 2 " 4t, y œ 0, z œ 2 ! 2t. 2t, z œ 1 ! 2t. ⇒x+y+z =3. a) ™ f œ (2x ! 2y)i ! (2x " 2y)j ! 2zk Ê ™ f(1ß "1ß 3) œ 4j ! 6k Ê Ta 2y6i!!3z 3ß 5ß "Ê 4) œ 10œ j !7;8k Ê Tangent plane: 6(x " 3) ! 10(y " 5) ! 8(z ! 4) œ 0 18.
(19) 4.6 TANTGENT PLANES AND DIFFERENTIALS. perpendicular: . (a) ™ f œ 2xiLinea ! 2yj ! 2zk Ê ™ f(1ß 1ß 1) œ 2i ! 2j ! 2k Ê Tang Ê x ! y ! z œ 3; (b) Normal line: x œ 1 ! 2t, y œ 1 ! 2t, z œ 1 ! 2t. + 2t, . (a) ™ f œ 2xi ! 2yj "(1 2z+ k 2t, Ê1™ f(3ß15+ ß "2t) 4) œ 6i ! 10j ! 8k Ê Tan Ê 3x ! 5y ! 4z œ 18; (b) Normal line: x œ 3 ! 6t, y œ 5 ! 10t, z œ "4 ! 8t. . (a) ™ f œ "2xi ! 2k Ê ™ f(2ß 0ß 2) œ "4i ! 2k Ê Tangent plane: Ê "4x ! 2z ! 4 œ 0 Ê "2x ! z ! 2 œ 0; (b) Normal line: x œ 2 " 4t, y œ 0, z œ 2 ! 2t. . (a) ™ f œ (2x ! 2y)i ! (2x " 2y)j ! 2zk Ê ™ f(1ß "1ß 3) œ 4j ! 6k Ê 2y ! 3z œ 7; 19.
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