Verificación y usabilidad de un software educativo para el cálculo de centroides y momentos de inercia de figuras planas de contorno recto orientado a estudiantes de ingeniería

Texto completo

(1)VERIFICACIÓN Y USABILIDAD DE UN SOFTWARE EDUCATIVO PARA EL CÁLCULO DE CENTROIDES Y MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS DE CONTORNO RECTO ORIENTADO A ESTUDIANTES DE INGENIERÍA. ARIANA VARGAS GUERRA. UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIAS PROGRAMA INGENIERÍA CIVIL NEIVA 2019.

(2) VERIFICACIÓN Y USABILIDAD DE UN SOFTWARE EDUCATIVO PARA EL CÁLCULO DE CENTROIDES Y MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS DE CONTORNO RECTO ORIENTADO A ESTUDIANTES DE INGENIERÍA. ARIANA VARGAS GUERRA Informe Final de auxiliar de proyecto de investigación presentado como requisito para optar al título de INGENIERA CIVIL Asesor Ing. WILSON RODRIGUEZ CALDERON. UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIAS PROGRAMA INGENIERÍA CIVIL NEIVA 2019 2.

(3) NOTA DE ACEPTACIÓN. Presidente del Jurado. Jurado. Jurado. Neiva, Noviembre de 2019 3.

(4) DEDICATORIA. Primeramente, a Dios por brindarme fortaleza y sabiduría para continuar cuando a punto de caer he estado. A mis padres, Víctor Manuel Vargas y Aida Nubia Guerra; Que son mi pilar fundamental y apoyo en mi formación, en motivarme en creer en mí, en mis proyectos y sueños. Y a todas las personas, compañeros y profesores que hicieron posible y siendo participes que esta meta se llagara a su proceso final. . Con mi más sincero amor, Ariana Vargas Guerra.. 4.

(5) AGRADECIMIENTOS. Sé que van faltar páginas para agradecer a todas aquellas personas que se han involucrado en la realización de este trabajo, sin embargo, merecen reconocimiento especial mi Padre que con su esfuerzo, lucha, valentía y dedicación me ayudó a culminar mi carrera universitaria y me ha brindado todo el apoyo suficiente para ser la persona y ser humano que hoy a mis veinte años soy. Asimismo, agradezco infinitamente a mi Madre, Hermanos y mi regalo más grande Annie Maireth que con sus palabras y acciones me hacían sentir orgullosa de lo que soy y de lo que les puedo enseñar. Sé que algún día esa semillita que sembré en ellos se convertirá en frutos más grandes y victorias para que puedan seguir avanzando en su camino y demostrándolo. Finalmente, a todos los docentes de la Universidad Cooperativa de Colombia, en especial a Wilson Rodríguez, Humberto Pérez y Angélica Galeano que me aportaron su conocimiento, sabiduría, experiencia y se convirtieron en testigos a lo largo de mi proceso académico.. Ariana Vargas Guerra.. 5.

(6) CONTENIDO. Pág.. INTRODUCCIÓN. 11. 1. OBJETIVOS. 12. 1.1 OBJETIVO GENERAL. 12. 1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS. 12. 2. REFERENTE TEÓRICO. 13. 3. RESULTADOS. 16. 4. CONCLUSIONES. 20. REFERENCIAS. 21. ANEXOS. 22. 6.

(7) LISTA DE TABLAS. Pág.. Tabla 1. Resultados de área. 17. Tabla 2. Resultados de primer momento en x. 17. Tabla 3. Resultados de primer momento en y. 17. Tabla 4. Resultados de momento de inercia en x. 18. Tabla 5. Resultados de momento de inercia en y. 18. Tabla 6. Resultados de producto de inercia en xy. 19. 7.

(8) LISTA DE FIGURAS. Pág.. Figura 1. Región simplemente conexa orientada positivamente. 13. Figura 2. Ejercicio propuesto. 16. Figura 3. Numeración de nodos. 16. 8.

(9) LISTA DE ANEXOS. Pág.. Anexo A. Certificación Semilleros de Investigación. 11. Anexo B. Artículo. 11. 9.

(10) RESUMEN. El presente trabajo muestra los avances de un proyecto de investigación que incorpora TICs a los procesos de enseñanza – aprendizaje del tema de centroides y momentos de inercia de figuras planas de contorno recto en ingeniería. El proyecto busca el desarrollo de un software educativo que asista en el aula al profesor y al alumno en la comprensión del tema mencionado anteriormente, como fase preliminar se aborda el estudio conceptual y matemático del tema, y se desarrollan formulaciones basadas en el teorema clásico de Green del cálculo, que posteriormente son implementadas en hoja de cálculo Excel para su respectiva verificación, hecho esto se tiene la base para de manera segura tener la certeza de la funcionalidad de las fórmulas halladas para el cálculo de centroides y de momentos de inercia y así pasar a la fase de desarrollo del software, al que posteriormente se le realizará una prueba rigurosa de usabilidad que identifique bondades y aspectos a mejorar en un proceso de ingeniería de software. Por consiguiente, los resultados hallados son satisfactorios y permite realizar la fase de desarrollo del software educativo. Palabras Clave: Teorema de Green, software educativo, centroide y momentos de inercia. 10.

(11) INTRODUCCIÓN. Este trabajo está basado en un proyecto que consiste en la verificación y usabilidad de un software educativo para el cálculo de centroides y momentos de inercia de figuras planas de contorno recto orientado a estudiantes de ingeniería. El propósito del proyecto es poder documentar adecuadamente el software desarrollado y realizar una prueba de usabilidad con una muestra de estudiantes pertinente. El proyecto pretende generar un valor agregado, ya que, la metodología del cálculo propuesta no es de documentación común, por lo menos en los libros y referencias conocidas por los autores, de tal manera, que se hace justificable implementar la metodología basada en el cálculo de las propiedades de área mediante coordenadas. Los impactos están asociados a aspectos como: medios y recursos educativos, cualificación de estudiantes, formación investigativa e innovación, formación de recursos humanos en investigación, tecnologías de información y comunicación y apropiación social del conocimiento. En el contexto nacional la propuesta está altamente identificada con un macro proyecto de estado como es el “Plan Nacional TIC Colombia en línea con el futuro”, que contempla un eje vertical en educación y un eje transversal en innovación y desarrollo promovido desde el Ministerio de TIC y Colciencias [3]. Por otra parte, se persigue aportar al área estratégica de mejoramiento de recursos de software, contribuyendo con la socialización de insumos de software educativo adaptado a las necesidades. Es importante decir que el proyecto se encuentra en fase de desarrollo y los resultados reportados en este artículo corresponden a resultados parciales, sin embargo, constituyen una producción importante para socializar en eventos y artículos científicos. (Ver anexo A y B).. 11.

(12) 1. OBJETIVOS. 1.1 OBJETIVO GENERAL Verificar la teoría base de los algoritmos de solución para un software de cálculo de centroides y momentos de inercia de figuras planas de contorno recto. 1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS . Reconocer el estado del conocimiento del cálculo de centroides y momentos de inercia de figuras planas de contorno recto por coordenadas.. . Poner en práctica los conocimientos adquiridos en las clases teóricas, lo que hace más atractivo el aprendizaje de los distintos conceptos estudiados a través de la experimentación, ya sea guiada o autónoma.. . Inculcar el sentido del autoaprendizaje (mediante el empleo de software educativo propio) en los alumnos como método de trabajo habitual.. 12.

(13) 2. REFERENTE TEÓRICO. En ingeniería civil y mecánica es común encontrar temas básicos y especializados donde se requiere el cálculo de parámetros asociados a la geometría de secciones de elementos de máquinas y estructuras, dichos parámetros en particular se refieren a propiedades como el centroide, el área, el primer y segundo momento de área, entre otros1. En la práctica el cálculo de las propiedades mencionadas puede realizarse a través de la información referida a la posición de los puntos de una figura plana de contornos rectos. Para realizar los cálculos se acude al famoso teorema de Green que permite reducir la dimensión de una integral doble de superficie a una integral de línea que se realiza siguiendo el contorno de la figura en estudio, es así como en la figura 1 se muestra el proceso. Figura 1. Región simplemente conexa orientada positivamente. y C S. 0. x. Fuente: Autor. Sea S la región del plano simplemente conexa limitada por el contorno C y orientada positivamente, como se muestra en la figura 1, entonces podemos establecer la fórmula de Green como:. ∮ 𝐹𝑑𝑟 = ∬( 𝐶. 𝑆. 𝜕𝑀 𝜕𝑁 − )𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦. (1). Siendo F=N(x,y)i+M(x,y)j, un campo vectorial con componentes N(x,y) y M(x,y), continuas y con derivadas parciales continuas en S ∪ C. 1. BEER FERDINAND, JOHNSTON E. RUSSELL & EISENBERG ELLIOT R. Vector Mechanic for Engineers: Statics. McGraw Hill. Séptima edición. 2004 13.

(14) Una propiedad geométrica de un sección plana que vive en la región S en el plano XY, está dada por una integral doble sobre la región S de una función particular f(x,y) que modela la propiedad, por lo tanto se tiene que:. ∮ 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐶. (2). 𝑆. Donde:𝑓(𝑥, 𝑦) =. 𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥. −. 𝜕𝑁(𝑥,𝑦). (3). 𝜕𝑦. Escogiendo adecuadamente los campos escalares, N(x,y) y M(x,y) es posible expresar la integral doble que modela la característica que se desea calcular como una integral de línea a través del contorno C que limita a la región S. Como por ejemplo se plantea la integral de línea o de contorno para el cálculo del momento de inercia de un área arbitraria respecto al eje x por definición es [2]: 𝐼𝑥 = ∬ 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦. (4). 𝑆. Luego f(x,y) = y2, de (3), se tiene inmediatamente que, 𝜕𝑀(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑁(𝑥, 𝑦) − = 𝑦2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Haciendo M(x,y)=0 1 𝑁(𝑥, 𝑦) = − 𝑦 3 + 𝜑(𝑥) 3. (5). Con la formula (4), (5) y (2) es posible calcular el momento de inercia de la región mediante una integral de línea a través del contorno [4], así: 1 𝐼𝑥 = ∬ 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = − ∮ 𝑦 2 𝑑𝑥 3 𝑐 𝑆. (6). También pueden obtenerse fórmulas para características geométricas de secciones planas, por ejemplo para el cálculo de las coordenadas del centroide de la región se emplean las siguientes formulas: ∮𝐶 𝑥 2 𝑑𝑦 𝑄𝑋 𝑥̅ = = 1 𝐴 (−𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦) 2 ∮𝐶 14. (7).

(15) 𝑦̅ =. ∮𝐶 𝑦 2 𝑑𝑥 𝑄𝑌 = 1 𝐴 (−𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦) 2 ∮𝐶. (8). Si el contorno está conformado por la unión de curvas simples por tramos también pueden usarse las formulas anteriores, así como también si se trata de múltiples figuras que pueden constituir regiones solidas o huecas. El contorno de la región puede constituirse a través de segmentos rectos formando lo que se conoce como una poligonal, siendo así, es posible obtener el valor de la integral de línea se encuentran las expresiones a mostrar, donde el subíndice f hace referencia a al subíndice i+1, es decir, 𝑓 → (𝑖 + 1). Las expresiones halladas se determinan calculando simbólicamente las integrales de línea pertinentes para cada propiedad, para el caso se hace uso de la plataforma web libre simbolab (https://es.symbolab.com/), a través de esta sencilla herramienta es posible llegar a las expresiones siguientes. El área de la región es entonces: 𝑛. 1 𝐴 = ∑(𝑥𝑖 𝑦𝑓 − 𝑥𝑓 𝑦𝑖 ) 2. (9). 𝑖=1. Los primeros momentos del área son: 𝑛 1 𝑄𝑥 = ∑(𝑥𝑖 − 𝑥𝑓 )(𝑦𝑓2 + 𝑦𝑓 𝑦𝑖 + 𝑦𝑖2 ) 6. (10). 𝑖=1 𝑛. 𝑄𝑦 =. 1 ∑(𝑦𝑖 − 𝑦𝑓 )(𝑥𝑓2 + 𝑥𝑓 𝑥𝑖 + 𝑥𝑖2 ) 6. (11). 𝑖=1. Los momentos y producto de inercia son: 𝑛. 1 𝐼𝑥 = ∑(𝑦𝑖3 + 𝑦𝑖2 𝑦𝑓 + 𝑦𝑖 𝑦𝑓2 + 𝑦𝑓3 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑓 ) (12) 12 𝑖=1 𝑛. 𝐼𝑦 = 𝑛. 𝐼𝑥𝑦 =. 1 ∑(𝑥𝑖3 + 𝑥𝑖2 𝑥𝑓 + 𝑥𝑖 𝑥𝑓2 + 𝑥𝑓3 )(𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 ) (13) 12 𝑖=1. 1 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥𝑓 )(𝑥𝑓 (3𝑦𝑓2 + 2𝑦𝑓 𝑦𝑖 + 𝑦𝑖2 ) + (𝑥𝑖 (𝑦𝑓2 + 2𝑦𝑓 𝑦𝑖 + 3𝑦𝑖2 )) 24 𝑖=1. 15. (14).

(16) 3. RESULTADOS. La figura 2 muestra el ejercicio propuesto que se basa en el artículo publicado por Rivero [4], como referente para verificar resultados de las formulas implementadas en Excel, lo cual servirá como comparación contra los resultados que se obtengan al final del proyecto mediante la prueba de usabilidad el software a desarrollar. El objetivo del software es poder calcular las propiedades de cualquier figura de contornos rectos y poder seguir los cálculos tal como serían con una hoja de Excel. La figura 3 muestra la numeración de vértices y la dirección positiva para su registro. Figura 2. Ejercicio propuesto. 130 mm. 26 mm. 78 mm. 26 mm. 52 mm. 26 mm. 0 156 mm. Fuente: Rivero, 2010. Figura 3. Numeración de nodos Y 10. 9 8 7 4 6. 1. 3. 5 2. X. Fuente: Autor. 16.

(17) Tabla 1. Resultados de área −(. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. 0 156 156 130 130 26 26 78 78 0 0. 0 0 52 52 26 26 104 104 130 130 0. 0 8112 8112 3380 3380 2704 2704 10140 10140 0. 0 0 6760 6760 676 676 8112 8112 0 0. ). 0 8112 1352 -3380 2704 2028 -5408 2028 10140 0 17576 8788. Area. Fuente: Autor. Tabla 2. Resultados de primer momento en x (. +. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. 0 156 156 130 130 26 26 78 78 0 0. 0 0 52 52 26 26 104 104 130 130 0. 156 156 130 130 26 26 78 78 0 0. 0 2704 2704 676 676 10816 10816 16900 16900 0. 0 0 2704 1352 676 2704 10816 13520 16900 0. 0 2704 2704 676 676 10816 10816 16900 16900 0. + +. +. ). 0 5408 8112 2704 2028 24336 32448 47320 50700 0. −. (. +. +. ). 0 0 210912 0 210912 0 -1687296 0 3954600 0 2689128 4.48188.E+05. Mx. Fuente: Autor. Tabla 3. Resultados de primer momento en y +. 0 52 52 26 26 104 104 130 130 0. +. 24336 0 24336 24336 24336 24336 16900 20280 16900 16900 16900 16900 676 3380 676 676 676 676 6084 2028 6084 6084 6084 6084 0 0 0 0 0 0. (. + +. +. ). −. 48672 73008 54080 50700 4732 2028 14196 18252 0 0. +. (. + +. 0 3796416 0 -1318200 0 158184 0 474552 0 0 3110952 5.1849.E+05. My. Fuente: Autor. 17. +. ).

(18) Tabla 4. Resultados de momento de inercia en x (. −. ). (. -156 0 26 0 104 0 -52 0 78 0 0. +. +. +. ). (. −. )(. 0 140608 562432 263640 70304 1493960 4499456 6485544 8788000 2197000 0. +. +. 0 0 14623232 0 7311616 0 -233971712 0 685464000 0 0 473427136 3.9452.E+07. Ix. Fuente: Autor. Tabla 5. Resultados de momento de inercia en y (. 0 52 0 -26 0 78 0 26 0 -130 0. +. +. +. 3796416 15185664 11793496 8788000 2741856 70304 703040 1898208 474552 0 0 Iy. ) (. −. )(. +. +. 0 789654528 0 -228488000 0 5483712 0 49353408 0 0 0 6.E+08 5.13336.E+07. Fuente: Autor. 18. +. ). +. ).

(19) Tabla 6. Resultados de producto de inercia en xy (. −. ). (. -156 0 26 0 104 0 -52 0 78 0. +. +. +. +. +. )(. −. 0 1687296 4640064 2460640 632736 1476384 6749184 12865632 7909200 0. )(. +. +. +. 0 0 120641664 0 65804544 0 -350957568 0 616917600 0 452406240 1.88503.E+07. Ixy. Fuente: Autor. 19. +. +. ).

(20) 4. CONCLUSIONES. Dentro de los aspectos más relevantes del proyecto se han encontrado y estudiado todos los aspectos teóricos básicos para el cálculo de centroides, momentos y productos de inercia de figuras planas y sus formulaciones alternativas. Los resultados encontrados son satisfactorios y permiten el avance del proyecto hacia la fase de desarrollo del software.. 20.

(21) REFERENCIAS. BEER FERDINAND, JOHNSTON E. RUSSELL & EISENBERG ELLIOT R. Vector Mechanic for Engineers: Statics. McGraw Hill. Séptima edición. 2004. BEDFORD – FOWLER. “Estática”. Editorial Pearson. 5 Edición. 2008. PLAN NACIONAL DE TIC 2008-2019. Todos los colombianos conectados, todos los colombianos informados. RIVERO-GALÁ, Rolando (3 de Marzo de 2010). Algoritmo para generar fórmulas de características geométricas de las secciones planas, su implementación en DERIVE. Ingeniería Mecánica, Vol. 13, No.1, enero-abril de 2010, pag. 79-88. Thomas, George B.; Finney, Ross L. (2008): "Cálculo. Varias variables". Addison Wesley.. 21.

(22) ANEXOS ANEXOS. 22.

(23) Anexo A. Certificación Semilleros de Investigación. 23.

(24) Anexo B. Artículo. 24.

(25) 25.

(26) 26.

(27) 27.

(28) 28.

(29)