1406 14 MATEMATICA Límite de una función
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(2) LIMITE FINITO . IDEA INTUITIVA DE LÍMITE:. Presentamos algunas funciones con las que nos proponemos investigar qué sucede con las imágenes que asume la función para valores del dominio cercanos a 1. Es decir, nos interesa conocer el comportamiento de f(x) cuando x se aproxima a 1 tanto como se quiera.. x2 - 1. f2 (x) . f1(x) = x + 1. x -1. (Observa que f 2 (x) x 1 x 1). Dom f2 R - 1 . Dom f1 R. y. y. 2 1. -1. 1. 0. x. 1. 0. x. 1. x. 0,9. 0,99. 0,999. 0,9999. 1. 1,0001. 1,001. 1,01. 1,1. x. 0,9. 0,99. 0,999. 0,9999. 1. 1,0001. 1,001. 1,01. 1,1. f2(x). 1,9. 1,99. 1,999. 1,9999. 2. 2,0001. 2,001. 2,01. 2,1. f2(x). 1,9. 1,99. 1,999. 1,9999. . 2,0001. 2,001. 2,01. 2,1. y x 1 f3 (x) 5 . •. 5. si x 1 si x 1. 2. Dom f3 R. 1. -1. -x. 1. x. x. 0,9. 0,99. 0,999. 0,9999. 1. 1,0001. 1,001. 1,01. 1,1. f3(x). 1,9. 1,99. 1,999. 1,9999. 5. 2,0001. 2,001. 2,01. 2,1. POLITECNICO. 1.
(3) En los tres casos analizados podemos observar gráficamente o mediante las respectivas tablas de valores, que cuando x toma valores próximos a 1 las imágenes se aproximan a 2, independientemente de lo que suceda con cada función en ese punto. Para referirnos a este comportamiento decimos que 2 es el límite de f(x) cuando x se aproxima o tiende a 1, y lo indicamos: lim f(x) 2 x 1 Esto significa que cuando “x” está suficientemente cerca (pero es distinto) de 1, las imágenes están suficientemente cerca de 2. En general, dada una función f(x) cualquiera y un número c diremos que:. El límite de f(x), cuando x tiende a c, es el número L si los valores de f (x) se aproximan a L tanto como se desee cuando los valores de x están suficientemente próximos a c. El número L recibe el nombre de límite finito. En símbolos se indica: lim f(x) L x c. Ejercicio propuesto 1) Evalúa gráficamente el límite de f (x) para los valores de “c” que se indican: y. El límite de una función en un punto aporta información acerca del comportamiento de la misma en las proximidades de dicho punto. 4 3 2 1 C1. a) lím f(x) ……… x c1. C2. 0. C3. x. b) lím f(x) ………. c) lím f(x) ………. x c 2. x c 3. y. Analicemos otros ejemplos: 3. x 1. si x 1. x - 1. si x 1. Sea: f 4 (x) . Dom f4 R. 2. . 1. o 1. x. -1. POLITECNICO. 2.
(4) Observemos el comportamiento de la función para valores próximos a c = 1. Vemos que las imágenes se aproximan a 2 cuando x tiende a 1 considerando valores mayores . que él (decimos que se aproxima a 1 por derecha y lo indicamos x 1 ); en cambio, si x tiende . a 1 mediante valores menores (se aproxima a 1 por izquierda: x 1 ) las imágenes tienden a 0. Cada uno de los comportamientos anteriores se expresa mediante los llamados límites laterales y se indican: Los límites laterales ilustran el comportamiento de la función a cada lado del valor de análisis. lim f (x) 2. x 1. 4. lim f (x) 0. x 1. 4. En general decimos que:. El límite lateral izquierdo de f (x) cuando x tiende a c es el número L1, si los valores de f(x) se aproximan a L1 tanto como se desee cuando x se acerca suficientemente a c mediante valores menores que c. Lo representamos: lím f ( x ) L1 x c. El límite lateral derecho de f (x) cuando x tiende a c es el número L 2, si los valores de f(x) se aproximan a L2 tanto como se desee cuando x se acerca suficientemente a c mediante valores mayores que c. Lo representamos: lím f(x) L 2 x c. Volviendo al ejemplo anterior, ¿qué puedes decir del lim f 4 (x)?....…………………………………… x1. Qué relación intuyes entre el límite de una función en un punto y los límites laterales de dicha función en el mismo punto? ........................................................................................................................................................... Concluimos entonces que:. El límite de una función en un punto existe si y solo sí los dos límites laterales existen y son iguales.. POLITECNICO. 3.
(5) y Sea. f5 (x) . 1 x -1. Domf5 R -. 1 . x Para esta función, a medida que consideramos valores próximos a 1 por derecha o izquierda las imágenes no se acercan a ningún valor determinado, sino que crecen sin tope. Decimos entonces que la función tiene en c=1 un comportamiento no acotado y, por supuesto, no tiene límite finito. Este comportamiento será objeto de estudio más adelante.. Observación: El límite finito de una función en un punto puede existir o no, independientemente de que la función esté o no definida en el punto.. Ejercicios propuestos 2) Determina el valor de cada límite indicado : a) lím f(x) x 0. b) lím f(x) x 1. y. c) lím - f(x) . . 4. x -3. d) lím f(x) . 3. x 3. o. 2. e) lím f(x) x -3. 1 -5 -4 - 3 -2 -1 0 -1. f) lím - f(x) x 3. 1. 2. 3. 4. 5. x. g) lím f(x) x 3. -2. h) lím f(x) x 3. i) lím f(x) x 5. j) lím f(x) x 4. POLITECNICO. 4.
(6) 3) Representa la función indicada y completa:. x 2 1 si x 0 f(x) = 1 si 0 x 1 1 si x 1 x -1 a) f(-2)=. b) lím f(x) . c) lím f(x) . d) lím f(x) . e) lím f(x) . g) lím f(x) . h) lím f(x) . i) lím f(x) . j) lím f(x) . x -2. f) f(0)=. x. 1 2. x 1. x 1-. x 0. x 4. x 1. x 1. 4) Representa gráficamente una función que cumpla, en forma simultánea, con las condiciones indicadas en cada apartado a) Dom f 0. b) Dom f 5 ; 5 . lím - f(x) 3 x -2. lím - f(x) lím f(x) f(0). lím f(x) 2. lím - f(x) f(5). f(-2) 1. lím f(x) f(-5) 1. x 0. x 0. x 5. x -2. x -5. lím f(x) 1. lím f(x). x 0. x 2. 5) Coloca Verdadero o Falso justificando tu respuesta: a) Si lím f(x) L y lím g(x) L resulta f(c) g(c) x c. x c. b) Si existe lím f(x),existe f(c). x c. c) Si f(5), entonces lim f(x) x5 d) Si c Ζ, lím x . x c. Para tener en cuenta: Si bien es posible estimar el límite de una función en un punto a través de un gráfico o de una tabla de valores, no podemos tener la certeza de que dicho valor sea realmente el límite que deseamos calcular. Para tener seguridad en el cálculo de un límite es necesario utilizar definiciones o propiedades que den validez al resultado obtenido.. POLITECNICO. 5.
(7) LÍMITES POR SUSTITUCIÓN DIRECTA: Para las siguientes funciones y a partir del análisis de su comportamiento, admitimos que el límite de la función para x c se obtiene por sustitución directa. Es decir: lim f (x) f (c) x c. Función constante.. Función identidad. y. f(x)=k. y. f(x)=x. c. k c c. x. lim k k. lim x c. x c. x c. Función seno f(x)=sen x. Función coseno f(x)=cos x. y. y. sen c. lim sen x sen c. x c. x. c. c. x. x. cos c. lim cos x cos c. x c. Función exponencial x. f (x) = a con a > 1. y. Función logarítmica y. ac. x. y. f (x) = logax con a > 1. y. f (x) = a con 0 < a < 1. logac. f (x) = logax con 0< a <1. c. x. ac c. x. logac c. c. x. lim a. x. a. x c. x. lim log a x log ac (c>0). c. x c. Función raíz enésima y. c c. lim. x c. n. x . n. c. Ej: f (x) =. x. x. ( n N - 1 , c si n es impar c 0 si n es par). POLITECNICO. 6.
(8) Ejercicio propuesto 6) Resuelve los siguientes límites por sustitución directa: a) lim senx x. b) lim. x 0. . x. c) lim 5 x . e) lim e . g) lim log 3 x . d) lím cos x . f) lim x . h) lim. x 1. 2. x 1. x 0. x . x o . x 7. 3. x . TEOREMAS SOBRE LIMITES. Sean k , f y g funciones que tengan límite para x c , entonces son ciertas las siguientes propiedades 1) Si existe, el límite de una función para x c es único. 2). lím f (x) g (x) lím f (x) lím g (x). 3). lím f (x) g (x) lím f (x) lím g (x). x c. x c. x c. x c. x c. x c. 4) lím f (x) . g (x) lím f (x) . lím g (x) x c. x c. x c. lím f (x) f (x) x c 5) lím ; siempre que lím g (x) 0 x c g (x) x c lím g(x) x c 6) lím ( k .f (x) ) k . lim f (x) x c. x c. Ejemplos resueltos 1) Demostraremos que el límite de una función polinómica p(x) cuando x c es el valor de la función en c. Es decir, lím p(x) p(c) x c. Resolución: Antes de comenzar, resultará muy útil demostrar que si n N n > 1 se cumple que n. lím x c. n. x c. lím x x c. n. lím x . x . x . .......x x c. n factores. . lím x . lím x . lím x ......... lím x c . c . c .........c c x c. x c. x c. n. x c. Límite de un producto. Límite de la función identidad. n. Consideremos ahora la función polinómica p(x) an .x an1.x. n1. n factores. ......... a1.x a 0. POLITECNICO. 7.
(9) lím p(x) lím x c. x c. a .x. n. . n. lím a n .x x c. a n1.x. n. n1. lím a x c. n1.x. n. a n . lím x a n1 . lím x x c. . ......... a1.x a 0 n1. x c. n. a n .c a n-1.c. n 1. ......... lím a .x lím a x c. n1. Límite de la suma de funciones. 1. x c. 0. . Límite de xn Límite de la constante. ......... a1 . lím x lím a 0 x c. Límite de una constante por una función. x c. ......... a1.c a 0 . p(c). . . Ejemplo: lím 3x - x 7x 4 3.- 1 - - 1 7. 1 4 3 1 7 4 15 3. 2. x 1. 3. 2) Demostraremos ahora que si r( x) . 2. p(x) es una función racional con q(c) 0 entonces q(x). lim r( x ) r(c ). x c. p(x) lím r( x ) lím x c x c q(x). lím p(x) x c. . lím q(x) x c. Límite de un cociente. 2. Ejemplo: lím. 3x 5x 8. x 2. p(c) q(c). . 3. x x3. 3.2 5.2 8 3. r(c). Limites de funciones polinómicas. 2. . . Recuerda: Una función racional es aquella cuya ley es una división de polinomios. 2 23. . 10 7. Observación: Todos los teoremas enunciados son válidos también para límites laterales. Ejercicios propuestos. f(x).g(x)- 3.g(x) 3 . ¿Es cierta esta afirmación? x c f(x) g(x). 7) Si lím f(x) 8 y lím g(x) -3 resulta lím x c. x c. Justifica tu respuesta.. 8) Resuelve los siguientes límites: a) lím. x 1. b) lím. x 0. ln x . 4. . x 4x . 4x 2 4x 2. x. 2. . 1 .e. x. . π 1 c) lím x.cos x 1 x 4 2 x - x 3 d) lím f (x) , siendo f (x) 2 x 1 2 x - 2. si x 1 si x 1. POLITECNICO. 8.
(10) hx 3 si x 1 9) Determina el valor de “h” de modo que exista el lím f(x) si f(x) . x 1 4 - hx si x 1 Representa gráficamente esta función y corrobora la existencia del límite pedido.. 3. 10) Determina el valor de “a” para que lím. x 2. . 2. 5x ax 3x 4 2. 2x ax 2. 4. LÍMITE DE LA FUNCIÓN COMPUESTA:. Recuerda: (fog)(x) = f[g(x)]. Analicemos algunos ejemplos: 1) Dadas las funciones g (x) 5 x - 3 Queremos hallar lím. x 1. 3. y. f (x) . 3. x , definimos (fog) (x) . 3. 5x 3 .. 5x 3 .. Para calcular este límite podemos seguir el siguiente razonamiento: Cuando x 1,. (5x-3) 2. Por lo tanto : lim 3 3 x 1 Cuando (5x-3) 2, 5 x 3 2 . 2. 2) Si consideramos ahora las funciones g (x) x 1 y. 3. 5 x-3 . f (x) 2. x. 3. lim (5 x - 3) . 3. x 1. resulta (fog) (x) 2(x. 2. 2 1). .. 2. Con un razonamiento análogo al anterior podemos calcular el lím 2. (x 1). x 3. Cuando x 3 , resulta (x 1) 10 2. Cuando (x 2 1) 10 , 2(x. 2 1). 210. lim (x 2 1) (x 2 1) x 3 Por lo tanto : lim 2 2 210 x 3 . Estos ejemplos ilustran el siguiente teorema:. Si f y g son funciones tales que lim g (x) L resulta. . x c. . lim f g (x) f lim g(x) f (L) x c. x c. y. lim f (x) f (L) ,. xL. Recuerda: Todos los teoremas enunciados son válidos también para límites laterales. POLITECNICO. 9.
(11) Ejercicio propuesto 11) Calcula los siguientes límites:. . x 1. b) lím cos 3x π x. . . c ) lím log2 3 a4 1 a 0 sen 4y a d) lím y 0 3y. a) lím x 3 . π 3. TEOREMA DE INTERCALACIÓN: Sean f (x), g (x) y h (x) funciones que satisfacen f (x) g (x) h (x) x cercano a c (excepto quizás en c), si lim f (x) lim h (x) L lim g (x) L x c. y c. x c. x c. h(x) Desde el punto de vista geométrico el teorema es intuitivamente cierto. En la representación de la izquierda observamos que si f(x) < g(x) < h(x) para todo x cercano a c, entonces la gráfica de g se encuentra entre las gráficas de f y h en ese intervalo. Por lo tanto si f y h tienen el mismo límite L cuando x tiende a c, es evidente que g también tiene el límite L.. g(x). L c c c. f(x). x c. COROLARIO: Si las imágenes de dos funciones coinciden en las inmediaciones de un punto c (salvo quizás en c) entonces los límites de ambas para x c coinciden.. . INDETERMINACIONES DEL TIPO. 0 0. Hemos resuelto límites por sustitución directa aplicando los teoremas anteriores. Sin embargo, algunos límites de cocientes de funciones no pueden resolverse por este medio debido a que el límite del divisor es 0.. POLITECNICO. 10.
(12) En particular resulta de interés analizar límites de cocientes de funciones cuyos respectivos 0 límites son nulos, o sea, límites de la forma . 0 Consideremos por ejemplo: 3. a) lim. x 0. x x. . b) lím. x 0. x. 2. x. 2. . c) lím. x 0. x x. . 3. Estos límites no pueden calcularse por sustitución directa, pero es posible encontrar funciones que compartan las mismas imágenes que las funciones dadas x 0 (que es el valor de análisis) y que, por el corolario del teorema de intercalación, nos permitan calcular el límite de otra manera. Resulta entonces: y f (x) . 3. a) lim. x 0. x x. lim x x 0. 2. x. 3. x. 0 0 2. x 0. y. b) lim. x 0. x. 2. x. 2. g(x ) . lim 1 1. 1. x x. x 0. 2 2. x 0. y. x. x 0. 3. lim. 1. = ( la función presenta x 0 x 2 x un comportamiento no acotado alrededor de 0). c) lim. h( x ) . x x. 3. x 0. Observemos que no es posible asegurar a priori qué sucede con un límite que presenta la 0 0 forma , por eso decimos que es una forma indeterminada. 0 0. POLITECNICO. 11.
(13) UN LÍMITE INDETERMINADO DE LA FORMA. 0 DE ESPECIAL INTERÉS: 0. 0 sen x lim x 0 x. . 0 Para analizar el comportamiento de esta función alrededor de c = 0, presentamos su gráfica:. De ella deducimos que: lim. x 0. sen x x. …….. Analíticamente es posible demostrar este límite aplicando el teorema de intercalación: q. y p. Demostración: En una circunferencia trigonométrica (de radio 1) consideremos un ángulo positivo de “x” radianes. Como nos interesa x 0 podemos suponer que 0 < x < . 2 Observemos los segmentos mp y rq que quedaron determinados en la figura .. x. o. x m. r. Es inmediato que: mp medida arco pr rq. (1). Considerando valores de x próximos a 0 y que la circunferencia es trigonométrica, resultan equivalentes: - la medida del ángulo (en radianes) y la medida del arco pr - la medida del segmento mp y sen x. Recuerda: long.arco x (en radianes) radio. - la medida del segmento rq y tg x. POLITECNICO. 12.
(14) Reemplazando en (1) nos queda: sen x < x < tg x Si x > 0 resulta sen x > 0 y al dividir cada miembro de la desigualdad anterior por sen x obtenemos: 1. O tomando los recíprocos: cos x . x 1 sen x cos x. sen x x. 1. (2). Observemos que las funciones involucradas en (2) son funciones pares.. y p. En efecto: cos (-x) = cos x. y. sen ( -x) (- x). =. - sen x sen x = (- x) x. Entonces la expresión (2) es válida aún cuando. . 2. o. x. r m. < x < 0. s. En resumen, es posible afirmar que para todo x próximo a 0 se cumple: cos x . Además:. lim cos x 1 y. x 0. sen x x. 1. lim 1 1 . Por lo tanto, por el teorema de intercalación resulta:. x 0. lim. x 0. sen x x. 1. En la representación, puede observarse cómo la sen x gráfica de se halla comprendida entre x las gráficas de cos x y 1 para valores suficientemente próximos a c = 0. Conocer este límite nos permitirá resolver otros, como veremos más adelante.. POLITECNICO. 13. x.
(15) Ejercicio propuesto 12) Verifica las siguientes igualdades: 2. 3.senx a) lím 3 x 0 x. 2. sen x b) lím 0 x 0 x. OTRAS INDETERMINACIONES DEL TIPO. x c) lím 0 x 0 sen x. 0 0. 0 a través de la 0 aplicación del corolario del teorema de intercalación. Es decir, es posible analizar un límite indeterminado cambiando la ley de la función por otra equivalente en todos los valores alrededor del punto de estudio y cuyo límite no presente la indeterminación. Para esto existen algunos recursos matemáticos. Presentamos los casos más usuales:. En la práctica es posible “salvar” algunas indeterminaciones del tipo. 0 para limite de cociente de polinomios: 0 Para salvar estas indeterminaciones, se factorean los polinomios y se simplica como muestra el ejemplo: 0 2 x -3x 2 (x - 1) . (x - 2) x-2 1 lim lim lim 2 x 1 x 1 (x - 1 ) . ( x 1) x 1 x 1 2 x -1. I). 0 Ejercicio propuesto: 13) Calcula los siguientes límites: 2. a) lím. x 0. x 3x 4. x 2x. 3. . b) lím. 2. x 6x 12x 8 2. x 4. x 2. . 0 para límite de cociente de funciones cuya ley presente (una de ellas o ambas) una suma 0 o diferencia donde al menos haya una raíz cuadrada. II). Recordando que: (a+b). (a-b) = a2-b2, se multiplica y divide el cociente por la expresión conjugada de aquella que contiene la raíz: Ejemplo resuelto:. lim. x 1. 0 x -1 lim x 1 x -1. . x 1 (x - 1 ) . x 1 x -1 .. lim. x 1. (x - 1) (x - 1) .. . . x 1. lím. x 1. 1 x 1. . 1 2. 0. POLITECNICO. 14.
(16) Ejercicio propuesto 14) Calcula los siguientes límites: a) lím. 4x 4. x 1 1 . x. . b) lím. x2 2 2. x 4. x 2. . 0 para algunos cocientes de funciones trigonométricas: 0. III). Algunos límites con estas características pueden resolverse sabiendo que. lim. x 0. sen x x. 1. y. efectuando algunas transformaciones: Ejemplos resueltos: 0. sen (3x) 3 . sen (3x) sen (3x) sen (3x) 1) lim lim lim 3 . 3 . lim x 0 x 0 x 0 x 0 x 3.x 3x 3x 3.x 0. 3x 0. 3 .1 3. 3x 0. 0 0 2) lim. x 2. sen (x - 2) sen (x - 2) lim 1 x 2 (x - 2) x 2 0 (x - 2) 0. Ejercicio propuesto 15) Calcula los siguientes límites: sen(2x ) x 0 7x. a) lím. b) lim. x 0. tg x x 0 x. 1 - cos x x. c) lím. 0 para límites con valor absoluto: 0 Para “salvar” estas indeterminaciones, utilizaremos la definición de valor absoluto, como se indica en los ejemplos:. IV). 0 1) lím. x 2. x-2 2. . x -4. 0 De acuerdo a la definición de valor absoluto se tiene que Así para valores de “x” mayores que 2 la expresión. x - 2 si x 2 x-2 - (x - 2) si x 2. x-2. se puede sustituir por (x – 2), y. para valores menores que 2 se sustituye por - (x – 2) . Por lo tanto se hace necesario calcular. POLITECNICO. 15.
(17) por separado los límites cuando laterales: lím. x 2 . lím. x 2 . x-2 2. x -4 x-2 2. x -4. . . . y cuando x 2 , es decir calculamos los límites. lím. (x - 2) (x - 2) . (x 2). . lím. - (x - 2) (x - 2) . (x 2). . x 2 . . x2. x 2 . lím. 1 (x 2). . lím. -1 (x 2). -. x 2 . x 2 . 1 4. x-2. Como los límites laterales son diferentes, entonces el lím. no existe.. 2. x2. 1 4. x -4 y. x-2. f(x) . 2. x -4. Gráficamente pueden observarse las diferentes tendencias de la función cuando tomamos valores, por derecha y por izquierda, suficientemente cercanos a 2.. ¼. x. -¼. Ejercicios propuestos: 16) Verifica que: x4 a) lím =1 x 4 x 4. b) lím. x 5. x 5 x5. -1. c) lím x 0. 2x x 3x. . 17) Calcula los siguientes límites:. a) lím. x 0. x 3 2x 2 7x x 4 2x x 1. x3 1 tg (3x) c) lím x 0 2x 3x 3 3x 2 6x d ) lím x 1 x 2 2x x 2 e) lím 2 x 2 x 2x sen (5x) - 4x f) lím x 0 3x b) lím. x 1. x 2 6x x 2 sen (2x) h) lím sen (3x) x g) lím. x 2. 4. i) lím. x 2. j) lím. x 0. k) lím. x3 8 x 2 3x 2. . x 2 5x sen x 81 18 x x 2. x 3 sen (x 5) l) lím x 5 2x 10 x 9. . POLITECNICO. 16.
(18) x2 + x - 2 18) Considera la función f(x) x 5 2 x 1 . ¿Existe. si x -1 si x - 1. lím f(x)? Justifica tu respuesta. x1. LÍMITES INFINITOS: Observemos las siguientes funciones y evaluemos lim f(x) en cada caso: xc. f 6 (x) . 1 x -1. ; c=1. y. Domf6 R - 1 . f(x) crece sin tope. La función no tiene límite finito para x 1. Cuando “x” toma valores cada vez más próximos a 1, la función tiende a tomar valores positivos cada vez mayores (crece sin tope). Es decir:. f (x) cuando x 1 . Para indicar este comportamiento diremos que: 1 lím x 1 x - 1. f 7 (x) -. 1 x. 2. (((. ; c = 0. x. ))). (((. )y) ). Domf7 R - 0 x. En este caso tampoco existe límite finito para x 0 , f toma valores cada vez menores (decrece sin tope) para valores suficientemente próximos a 0. Es decir: f (x) cuando x 0 Indicaremos entonces que:. f (x) decrece sin tope. 1 lím - 2 x 0 x . POLITECNICO. 17.
(19) f8 (x) . 1 x2. ; c = -2. Domf8 R - - 2 y f (x) crece sin tope. ( ( (. x. ) ) ). La función no tiene límite finito para x -2 . Observemos que f(x) crece sin tope cuando x -2 y decrece sin tope cuando x -2 . No podemos indicar un único comportamiento de la función para x -2 , es decir, no podemos indicar 1 un resultado para lím . x 2 x 2 Sin embargo, es razonable caracterizar estas tendencias a través de límites laterales 1 lím x 2 x2. f (x) decrece sin tope. lím. x 2. - Diremos que:. lím f(x). x c. lím f(x). Observaciones : cuando lím f(x). . x c. . cuando. x c. lím f(x) x c. -. 1 x2. lím f(x). . x c. . lím f(x). . x c. - Los límites infinitos indican el comportamiento no acotado de una función. El símbolo (infinito) indica una tendencia y no representa ningún número real.. ASÍNTOTAS VERTICALES: El comportamiento de las funciones f6, f7 y f8 alrededor del valor de estudio c, puede interpretarse geométricamente diciendo que los puntos de la gráfica de la función se acercan a la recta x = c, tanto como se quiera, cuando x está lo suficientemente cerca de c. La recta x = c recibe el nombre de asíntota vertical del gráfico de f. Para las funciones analizadas resulta:. 1 x -1 1 * x = 0 es asíntota vertical de f7 (x) - 2 x 1 * x = -2 es asíntota vertical de f8 (x) x2 * x = 1 es asíntota vertical de f 6 (x) . POLITECNICO. 18.
(20) Presentamos otros ejemplos:. lím f(x) y lím f(x) x 0. x 1. La función tiene dos asíntotas verticales: x= 0 y x = 1. lím f (x) x 0. lím f (x) x 1. La función tiene una asíntota vertical: x = 0. La función tiene una asíntota vertical : x= 1. En general diremos que la recta x = c es una asíntota vertical de la gráfica de una función f (x), si al menos uno de los siguientes límites es cierto: * lim f (x) . * lim f (x) . * lim f (x) . * lim f (x) . x c. x c. x c. x c. LÍMITES EN EL INFINITO:. y. Consideremos la función:. f9 (x) . 1 x 3. “x” decrece sin tope. x “x” crece sin tope. Dom f R - {3}. POLITECNICO. 19.
(21) Observamos que cuando x toma valores cada vez más grandes, las imágenes se aproximan cada vez más a 0. Para indicar este comportamiento escribimos:. lím f (x) 0. Cuando escribimos x estamos diciendo que x está creciendo indefinidamente, y no que tiende a algún valor particular “muy grande”. Análogamente x indica que x decrece indefinidamente.. 9. x . Con un análisis similar resulta: lím f (x) 0 9. x . . ASÍNTOTAS HORIZONTALES:. Geométricamente los límites anteriores indican que los puntos de la gráfica de la función se acercan tanto como se quiera a la recta y = 0 cuando x crece o decrece sin tope. Esta recta recibe el nombre de asíntota horizontal del gráfico de la función. Presentamos otros ejemplos:. lím f(x) 4. lím f(x) lím f(x) 3. x -. x . La función tiene una asíntota horizontal en y = 4. lím f(x) 2 x . x . La función tiene una asíntota horizontal en y = -3. y. lím f(x) 2 x . La función tiene asíntotas horizontales en y = 2 y en y = -2. En general decimos que la recta y = b es una asíntota horizontal del gráfico de una función f (x), si al menos uno de los siguientes límites es cierto: lím f ( x) b. x . ó. lím f ( x) b. x . POLITECNICO. 20.
(22) Ejercicios propuestos 19) Analiza: ¿Cuántas asíntotas horizontales puede tener una función? ¿Cuántas verticales? Justifica.. 20) Representa gráficamente una función que cumpla simultáneamente con las siguientes condiciones: Domf= lím f ( x ) 0 X. y = -1 es una asíntota horizontal. lím f ( x ) f (2) 3. x = 2 es una asíntota vertical. lím f ( x ). x 2. x-3. 21) Determina, en cada caso, si la proposición es verdadera o falsa justificando tu respuesta: a) b). lim f (x) 5. x Domf lim f (x) 3 y f(x) es impar, entonces lim f (x) -3. x . f(x) 5. x . x . lim f (x) -4 x c) f(x) es par lim f (x) -4 x d) Si la función está definida en R entonces no tiene asíntotas verticales.. LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO: Finalmente, analizamos las funciones: f10 (x) x - 1. f11 (x) = x – 1. y. y. +. +. - x. + x. -. +. Observemos que f crece sin tope cuando x crece o decrece sin tope. Indicamos este comportamiento así: lím f(x) y lím f ( x ) x . x . - En este caso, f crece sin tope cuando x crece sin tope y f decrece sin tope cuando x decrece sin tope. Escribimos entonces: lím f ( x ) y lím f ( x ) x . x -. POLITECNICO. 21.
(23) Ejercicio propuesto: 22) Dada una función f(x), ¿cómo interpretas la expresión lím f ( x ) ? Dibuja una función x . que ilustre este comportamiento.. . EXTENSIONES DE LOS TEOREMAS SOBRE LÍMITES:. Las propiedades algebraicas estudiadas para límites finitos (límite de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones y límite de la función compuesta) pueden extenderse a límites infinitos. Para ello damos sentido a las siguientes operaciones que involucran al símbolo y que aparecerán asociadas al cálculo de estos límites: Dado R resulta: * ( ) * ( ) . . * ( ) ( ) * ( ) ( ) . * ( ) ( ) * ( ) ( ) . * . ( ) . * . ( ) . si 0 si 0. si 0 si 0. * ( ) . ( ) * ( ) . ( ) * ( ) . ( ) ( ) . ( ) - . *. 0 ( ) ( ). *. *. ( ). . - . 0. * 0:. . si 0 si 0. *. ( ). . . si 0 si 0. (el signo del resultado depende de los límites involucrados). 0. . (el signo del resultado depende de los límites involucrados). POLITECNICO. 22.
(24) Atención: No hemos definido las siguientes operaciones: * (+ ) - (+ ). *. * 0 . ( ). * (- ) - (- ). 0 0. *. ( ) ( ). Cuando se planteen estas situaciones diremos que se trata de un caso indeterminado. Ejemplos resueltos. 2x. 1) lim x-2 x 2 Como la expresión (x – 2) puede aproximarse a cero a través de valores positivos o a través de valores negativos, estudiamos los límites laterales: 4. 4. 2x lim x - 2 . . x 2. y. 2x lim x - 2 . . x 2. 0-. 0+. 2x. Como los límites laterales son diferentes decimos que lim x-2 x2 2). lím. x . 13 x5. no existe.. 13. 13 Como x resulta x 5 , por lo tanto: lím 0 x x 5. + 3) lím. x . 3x 1 7. Como x resulta. +. 3 x 1 , por lo tanto. lím. x . 3x 1 7. -7. POLITECNICO. 23.
(25) Ejercicios propuestos: 23) Resuelve los siguientes límites: d) lím. b) lím tg x . e) lím 6 ln x . x 1. x 0. x 2. c) lím x 3. . x 1. a) lím log 3 x . 2. x 1. . x 0. x6 x3. f ) lím. x 2. -5 x-2. INDETERMINACIONES CON LÍMITES INFINITOS Y EN EL INFINITO:. De manera similar a lo trabajado con límites finitos, cuando se presenta una indeterminación con límites infinitos o en el infinito, tenemos que transformar la expresión de modo tal que desaparezca esa indeterminación Mostramos sólo algunos recursos para salvar las indeterminaciones a través del álgebra. I) En muchas situaciones basta con efectuar las operaciones indicadas, tal como lo mostramos en los siguiente ejemplos: -. 0. 1) lim x 0. . x2 x- 2 x 1 x2 +. x 1 2 ) lim x -1 x 1 . 0+ 0+. lim x - 2 x0 x 1 . -2. 0+ +. (x 1) . (x 1) - x 2 (x 2 2x 1) - x 2 x2 lim lim x 2 - 1 x2 - 1 x2 - 1 x 1 x 1 0+. 3. lím. x 1. 2x 1 x2 1. 0+. II) En indeterminaciones con funciones polinómicas sacamos como factor común la variable elevada al grado del polinomio, tal como lo podemos observar en los siguientes ejemplos:. POLITECNICO. 24.
(26) - -. 1) lim (2 x 4 x 1 ) lim x 3 x x + 3. 0. - 2. 2 2 4 x 1 x3 x3 . 0. lim x 3 2 4 1 1 x x x3 . - . 2 + 2) lim x . x. 2x. 3. 5. lim. 3 x2 - 5. x . +. 1 x5 . 2 2 x 5 x2 . 3 - 2 x . + 3) lim x . x2 2 x. lim. 2 x2 9. x . + 1 . lim x . 2 x 2 . 1 x 9 x2 . 2 2 x . lim x . 1 x3 . 2 2 x 5 3 - 2 x . (*) . lim x . (*). 9 x . 2 2 x 0 +. 0. 2 x 9 2 x . 2 2 x . x . 1 . 0. 2 x. -. . x 2 x . Como x , es x 0 . x x. III) En los casos en que aparecen sumas o restas con al menos una raíz cuadrada, multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada. + lim x x . -. 2 x 1 lim x . + . lim x . -1 x . 2 x 1 . x . 2 2 x 1 x x 1 x x2 1 . 2. . lim x . . 2. . x - x 1 x . x 1 2. 0. +. Ejercicios propuestos. POLITECNICO. 25. .
(27) 24) Calcula los siguientes límites: a ) lím. x . . . 4 x2 1 2 x . x 7x 5. 6 1 b ) lím 2 x 9 x 3 x 3. c) lím. 3x 10x 8. x . d) lím. x . f) lím. 5x 3 4x 2 6 5x 3 2x 11. 4x 2 x 3. . g) lím. x 0. h) lím. . . x4 x3 x2 x 1. x . 4x 5 2x 3 x 2 5x 2. x2 2. e) lím. x . x8 x. . 1 1 1 x x 2 2 1 x 1 1 x 1. 25) Sean los polinomios: p(x)=an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + ao. y. q(x)=bm xm + bm-1 xm-1 + ... + b1x +bo Analiza el resultado de lím. x . p( x ) p( x ) y lím para cada uno de los siguientes casos: x q( x ) q( x ). a) grado p(x) > grado q(x) b) grado p(x) < grado q(x) c) grado p(x) = grado q(x) Elabora una conclusión para el cálculo de estos límites.. 26) Determina, si existen, las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones: a) f1 x . 2 x -1 x2 - 5 x 6. d) f4 x arctg x. b) f2 x . x2 + x - 6 x2 - 4. e) f5 x . x 3 x. c) f3 x . - x - 2 x2 x2 1. f) f6 x . x x 2. A modo de ejemplo, resolvemos el apartado a) * Asíntotas verticales: Para que la función tenga una asíntota vertical en x = c tiene que ocurrir que alguno de los límites laterales cuando x c sea infinito. Entonces, para una función cuya ley involucra un cociente, los candidatos a asíntotas verticales son aquellos valores que anulan el divisor. En este ejemplo x = 2 y x = 3. Evaluamos los límites laterales en cada valor:. POLITECNICO. 26.
(28) 3. lím. x2. 2 x -1 x2 - 5 x 6. 2 x -1 (x - 2) . (x - 3) x 2. lím. 0+. -. x 2 es asíntota vertical de f(x). -1 5. lím. x3. 2 x -1 x2 - 5 x 6. 2 x -1 (x - 2) . (x - 3) x 3. lím. 1. . x 3 es asíntota vertical de f(x). 0+. Observemos que si uno de los límites laterales ya me permite encontrar la asíntota, no es necesario evaluar el otro. * Asíntotas horizontales: La recta y = a es una asíntota horizontal de la función f si es el límite de f cuando x es “a”. Luego, para determinar la o las asíntotas horizontales de la función evaluamos los límites en infinito de la misma. Es necesario evaluar los dos límites: para x + y para x - . En nuestro ejemplo f es una función racional donde el grado del polinomio del divisor es mayor que el del dividendo, por lo tanto: lím. x . lím. x . 2 x -1 x2 - 5 x 6 2 x -1 x2 - 5 x 6. 0 y 0 es asíntota horizontal de f(x). 0 y 0 es asíntota horizontal de f(x). Concluimos entonces que la función tiene dos asíntotas verticales: x = 2 y x = 3 y una asíntota horizontal: y = 0.. 27) Determina los valores de a y b de modo que la gráfica de la función f x . ax3 bx 2. contenga. al punto p(-2;0) y tenga una asíntota en y = 2.. 28) Considera nuevamente la función dada en el ejercicio anterior y determina cuáles deben ser los valores de a y b para que la función tenga por asíntotas las rectas x = 2 e y = 4.. POLITECNICO. 27.
(29) . MISCELÁNEA. 1) Representa una función que cumpla con las condiciones pedidas en cada apartado: a) lím f ( x) f (c ) c Dom f x c. b) lím f ( x) L. c Dom f. x c. c) lím f ( x) L , c Dom f x c. d) lím f ( x). . c Dom f. e) lím f ( x). . c Dom f. x c. x c. . L f(c). 2) Representa la función indicada en cada caso y completa: x si x 1 1 f(x) = si x 1 x 0 si x 1. a) lim - (x) . b) lím f(x). c) lím f(x) . d) lím- f(x) . e) lím f(x) . f) f(1)=. g) lím f(x) . h) lím f(x) . i) lím f(x) . j) lím f(x). x -1. x0 x 4. x 1. x 30. x 1. x 1. x 3,5. x 0,999. x 2 3 si - 4 x 0 3) Dada f(x)= 2 , ¿existe lím f(x) ? Justifica. si x 0 x0 - 2x 3 si 0 x 2 . a 2x 4) Halla el valor de “a” para que exista el lím f(x) si f(x) x2 2 x 1. si x 2 si x 2. 5) Determina los coeficientes a y b de la función de modo que exista lím f(x) c Dom f , x c. siendo: a x2 b a) f (x) 2x a. si x 1 si x 1. x2 1 b) f (x) b x a x 2 2. si x - 2 si - 2 x 2 si x 2. POLITECNICO. 28.
(30) 6) Calcula los números reales a y b (con b 0) que verifican simultáneamente las siguientes condiciones:. lím f(x) a. lím f(x)- 3 g(x) 5. lím g(x) b. lím. x 5. x 5. f(x) 7 x 5 g(x). x 5. 7) Sean f y g funciones tales que 0 f (x) g (x) x próximo a c (excepto quizás en c). Sabiendo que lím g( x ) 0, calcula lím f ( x ). x c. xc. 8) Calcula los siguientes límites: x 2 5x 6 a) lím x 1 x2 1. x 2 h 1.x h. b) lím. x 2 h2. x h. . 2 x 1 c) lím x 3 2x 6 x 1 d) lím 3 x 1 x 1. x42 sen x 1 tg 2 2x 1 x. x 1. 2. 3x 4x 7 2. g) lím. x 1 2. x 1. x 1. b) lím. x 1. c) lím. 3. x 2 2x 1 x3 1. x 3 3x 2. . m) lím. x 1. x 4 4x 3 2x 1 3. g) lím. 1 2. h) lím. x2 2 x tg2x d) lím 3 x 0 sen x x4. e) lím. x 0. f) lím x 1. x -1. . x.tg x sen x . 2 2 3. x 6x. x 6x x 2 cos x - 1 1 i) lím x 0 x.senx 2 j) lím. . 3 3. x 3 3x 2 5. x x 16x 21 k) lím x . cosec x 1 x 1. 3. 2. sen2 x. x 0. x 3. 3x 3x 3 x 3 x2 x - 1 1. x 4 2x 2 3. n) lím. 0. . x 4 3x 2 2. tg (3x) x 0 sen (6x). . . . x - 1 k ) lím ln 2 x 1 x 1 sen2x 12 l ) lím x 6 x 2 36. 9) Verifica las siguientes igualdades:. a) lím. x 1. x -1. x 0. f) lím. x x-2. j) lím. x 11. e) lím. 3x b 2 b x b xb sen 6x i) lím x 0 sen 4x h) lím. 3. 2. . 3 7. x 0. 2x - 6 l) lím 1 - log 3 2 3 x 3 3x 27 . POLITECNICO. 29.
(31) 10) En cada apartado, determina el valor de “a” que satisface la igualdad:. xa 2 x 1 2xa. a) lim. x -1. b) lim. x -1. x . 2. c) lim. x a. x a. . 1 2. a 1. e) lim. x . x-a sen x. d) lim 1 x 0 (a 2) . x. 3. 2x. a x 1 f) lim 2 x a 2 x - a. 2 3. a x 1. g) lim. xa. a. x a x. h) lim cos (x - a) . x a. 1. tg (x - a) (x - a). 1. 11) Representa gráficamente una función que cumpla simultáneamente con las condiciones establecidas para cada apartado: a) Domf = f(x) 0 x 1 y f(x) 0 x 1 lím f ( x ) x 1. y = 4 es una asíntota de f(x) b) lím f ( x ) 0 x . lím f ( x ) x 3. lím f ( x ) 2 x 0. lím f ( x ) 4 x . c) lím f ( x ) x1. f es par x = 0 e y = 3 son asíntotas de la función. 12) Halla gráficamente, si existen, el o los valores de “c” para los cuales al menos uno de los límites laterales para x c es . 1 1 si x 0 c) f(x) x a) f(x) lnx b ) f(x) 2 x -1 - 2 si x 0 log 2 ( x 2) si x 2 1 si x 2 x -1 13) a) Representa gráficamente la función f ( x ) x 1 0 si x -1 . POLITECNICO. 30.
(32) b) Calcula: i) lìm f(x) x0 v) f(2) . ii) lím f(x) x2vi) lím - f(x) x-1 x) lím f(x) x-. ix) f(-1) . iii) lím f(x) x2 vii) lím f(x) x-1. iv) lím f(x) x2 viii) lím f(x) x-1 xii) lím f(x) x-9. xi) lím f(x) x. c) Si existen, indica las ecuaciones de las asíntotas de f(x).. 14) Siendo f(x) = x + 1 y g(x) = x2 – 2x – 3 calcula: a) lím f(x) g(x) . f(x) g(x). j) lím -. x 0. x 3. 2.f(x) . b) lím. x 1. f(x) x 3 g(x). k) lím. c) lím 3 g(x) x 0. g(x) x 3 f(x). d) lím f(x) 3g(x) 1 . l) lím. e) lím g(x).log2 f x . m) lím. x -2. x . x 1. f(x) g(x). f(x) x 1 g(x). n) lím. g(x) f(x). f(x) x 1 g(x). o) lím. f(x) g(x). g(x) x 1 f(x). p) lím. g(x) f(x). f) lím. x . g) lím. x -. h) lím. i) lím x 3. x -. g(x) q) lím x f(x)2 . f(x) g(x). 15) Calcula los siguientes límites: 1 1 a) lím - 2 x 5 x 25 x 5. . . f) lím. x . x3. b) lím 2x x 4 x . c) lím. x . d) lím. 2. 8x 6 5x 4 11 9x10 7x 8 x 2 2x 7 x 4 2x 5 4x 4 2x 2. x . . . 1 e) lím x 2 3 . x - 2x 1. 1 x 1. . g) lím. x . 1 x-5 6. . x 3 2x 2x e) lím x 2 x 2. POLITECNICO. 31.
(33) 16) Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. a) lím f x lím gx puede existir el lím f x gx x a. x a. b) Si lím f x 9. f 5 - 9. x 5. c) Si f(5) 9. lím f x 9. . d) Si ( 2) Dom f. x a. x 5. . lím x -2. f x . e) Si lím f x ( 2) Dom f x -2. f) f(c) = g(c). . g) Si lím f x 2 x 3. h) Si lím f x 3 x 0. lím f(x) lím g(x). x c. x c. lím f x - 1 2 x4. lím f( x 3 ) 3 x 0. i) Si lím f x lím x c. x c. 1 0 f(x). j) Si f(c) g(c) lím f x lím g(x) x c. x c. 1 1 k) lim x 0 x x l) Una función puede tener varias asíntotas verticales. m) Una función puede tener sólo una asíntota horizontal. n) Una función puede cortar a alguna de sus asíntotas verticales. o) Una función puede cortar a alguna de sus asíntotas horizontales.. 17) Analiza los siguientes límites e indica, en cada caso, si el resultado es correcto. Justifica tu respuesta. Datos: lím f x , lím gx k , lím h(x) - , c y k , x c. x c. x c. a) lím f(x) g(x) K. d) lím g(x) . f(x) . g(x) b) lím 0 x c h(x) . e) lím f(x) h(x) 0. f(x) c) lím x c h(x) . f(x) f) lím 0 x c g(x) . x c. x c. x c. POLITECNICO. 32.
(34) BIBLIOGRAFÍA: * MATEMÁTICA II – N. Buschiazzo, E. Fongi, M. Inés González, L. Lagreca – Editorial Santillana (Edición 2000) * PRECÁLCULO. MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO – James Stewart , Lothar Redlin , Saleen Watson – Editorial Cengage Learning / Thomson Internacional. (Edición 2007) * CÁLCULO. TRASCENDENTES TEMPRANAS. Cuarta Edición - James Stewart - Editorial Cengage Learning / Thomson Internacional. (Edición 2002) * MATEMÁTICA POLIMODAL. ANÁLISIS 1 - S. V. Altman, C. R. Comparatore, L. E. Kurzrok – Editorial Longseller (Edición 2001) * HISTORIA Y FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS (Capítulo XV: El Cálculo Infinitesimal.) Angel Ruiz Zúñiga - Editorial: EUNED * CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - Novena Edición - Edwin Joseph Purcell, Edwin Joseph Purcell Dale Varberg – Editorial Pearson Educación (Edición 2007) * MATEMÁTICA. MÓDULO 1. “FUNCIONES, LÍMITE Y CONTINUIDAD” – Marta Bonacina – Editorial UNR * APUNTE “LÍMITE DE FUNCIONES”- Pablo Lotito – IPS (UNR) “Las Autoras expresan su agradecimiento a la Prof. Patricia Godino por su colaboración en la revisión de este apunte”. POLITECNICO. 33.
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