Solemne 2
100 minutos. Sin consultas, sin celular.1) Describa las etapas de un estudio de simulación usando como ejemplo el proyecto semestral desarrollado por su grupo. Además comente los principales resultados obtenidos en su proyecto. Sea claro en su explicación. Es fundamental que ejemplifique a partir de su proyecto.
(1 Punto)
2) Se está estudiando el tiempo promedio de espera en un local de comida rápida. Se realizaron 5 réplicas simulando la situación actual (modelo 1) y 5 réplicas de un segundo modelo alternativo (modelo 2) que considera mejoras en la atención a los usuarios. La simulación de ambos modelos se realizó considerando números aleatorios comunes. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla 1:
Tabla 1: Tiempo promedio de espera (minutos) Réplica Modelo 1 y1 Modelo 2
y
21 4,51 4,10
2 5,55 5,42
3 3,02 2,52
4 1,05 1,51
5 7,89 6,98
Determine si las medidas propuestas logran reducir significativamente el tiempo promedio de espera. Use
0, 05, detalle los cálculos realizados y justifique su respuesta. Explique cuál es el objetivoprincipal de usar números aleatorios comunes (2 Puntos)
3) Obtenga las ecuaciones que permiten determinar los estimadores de máxima verosimilitud de los parámetros de una distribución Gumbel. La función densidad de una distribución Gumbel está dada por la siguiente expresión: ( ) ( )
1
( )
x x ef x
e
e
; x ;
0 (1 Punto)4) Uno de sus compañeros tiene 5 monedas de $100 y lanza todas las monedas al mismo tiempo, 50 veces. En cada lanzamiento registra el número de caras obtenidas (ver Tabla 2 ). Su compañero le asegura que el número de caras distribuye binomial. Realice un test Chi-Cuadrado para determinar si efectivamente el número de caras registradas por su compañero distribuye binomial. Use 𝛼 = 0,05, detalle los cálculos realizados. (2 Puntos)
Curso: CII 2754 – Simulación Profesores: Felipe González,
Fernando Paredes
Tabla 2: Número de caras
Obs Caras # Obs Caras # Obs Caras # Obs Caras # Obs Caras #
1 4 11 5 21 2 31 0 41 2 2 4 12 2 22 1 32 4 42 5 3 1 13 5 23 2 33 1 43 3 4 2 14 3 24 0 34 3 44 4 5 5 15 3 25 1 35 1 45 3 6 1 16 2 26 1 36 4 46 2 7 2 17 4 27 2 37 1 47 2 8 2 18 4 28 4 38 3 48 0 9 3 19 4 29 2 39 0 49 1 10 3 20 3 30 5 40 1 50 3 Expresiones útiles: Distribución Gumbel o ( ) ( ) 1 ( ) x x e f x e e
, ( ) ( ) x e F x e ; x Distribución Binomial: o Función de probabilidad(
)
n
x(1
)
n xP X
x
p
p
x
.!
!(
)!
n
n
x
x n
x
o Media: E x( )
np Intervalo de confianza, error estándar y grados de libertad, 2 muestras independientes con distinta varianza 1 2 / 2, 2 2 1 2 1 2 1 2
. .
. .(
)
vY
Y
t
s e
S
S
s e Y
Y
R
R
2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 11
21
S
S
R
R
S
S
R
R
R
R
Error estándar, 2 muestras no independientes
2 2 1 1 . .( ) / ; ( ) 1 R D D r r s e D S R S D D R
Prueba Chi-cuadrado 2 2 , 1 1(
)
k i i k s i iO
E
E
Tabla Distribución t-Student gl/α’ 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 >25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787
Tabla Distribución Chi-Cuadrado
gl/ α’ 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 1 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 2 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597 3 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838 4 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860 5 9,236 11,070 12,833 15,086 16,750 6 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 7 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278 8 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955 9 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589 10 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188
Pauta
1) La respuesta depende del proyecto semestral desarrollada por el alumno. Sin embargo, se deben mencionar las siguientes etapas:
Para abordar el estudio de simulación se podrían seguir las siguientes etapas:
Formulación del Problema y definición de objetivos. Se define el Problema a ser estudiado, incluyendo una declaración escrita del objetivo.
Conceptualización del modelo. En esta etapa se abstraer el sistema en un modelo describiendo los elementos, sus características y sus interacciones. Puede ser apoyada con diagramas de flujo. Recolección de datos. Identificar, especificar y recolectar datos en apoyo del modelo. Los
objetivos condicionan en gran medida los datos a recolectar.
Construcción del modelo. El Modelo conceptual se traduce a un modelo computacional. Por ejemplo simulando el sistema actual en ARENA.
Verificación y validación. Establecer si el modelo ejecuta lo que se intenta y que exista una correspondencia entre el modelo y el sistema.
Diseño de experimentos. Las alternativas que serán simuladas deben ser determinadas, se define el largo de la corrida de simulación, la puesta a punto del simulador (inicialización) y el número de réplicas para cada escenario.
Ejecución y Análisis de resultados. Estudiar los resultados de la simulación para inferir información y hacer recomendaciones para la resolución del problema.
2) Dado que se usan números aleatorios comunes, no son muestras independientes, luego, calculando el intervalo de confianza entre el modelo 1 y el modelo 2 se obtiene:
Tabla 4: Análisis estadístico Réplica Y1-Y2 1 0.41 2 0.13 3 0.50 4 -0.46 5 0.91 Promedio 0.298 Desv. Estándar 0.508 Luego, el intervalo de confianza está dado por:
0.05/ 2,5 1S /D 0.298 2.776 0.508 / 5 0.332, 0.928
D t R
Es decir, las medidas propuestas no logran reducir significativamente el promedio de los tiempos de espera.
El objetivo de usar números aleatorios comunes (CRN) es intentar reducir la varianza del estimador puntual de la diferencia introduciendo correlación positiva, es decir,
V
CRN
V
IND donde VCRN es elvalor de la varianza usando CRN y
V
INDes el valor de la misma usando muestras independientes.3) f(x) = β μ) (x e
-e
e
β
1
β μ) (x ; < x < ; β > 0. La función de verosimilitud es la siguiente:L(µ, β) =
n 1 i β μ) (x β μ) i (x e -e e β 1 i = n 1 i β μ) i (x e -β μ) (x n ie
β
1
(por independencia de las variables aleatorias correspondientes) Aplicando logaritmo natural:
Ln(L(µ, β)) = - nln(β) - β μ) i (x -n 1 i n 1 i i
e
β
μ)
(x
Derivando parcialmente con respecto a µ e igualando a cero, se tiene:
n 1 i β μ) (xin
β
1
e
= 0En forma análoga, derivando ahora parcialmente con respecto a β e igualando a cero, obtenemos:
-
n 1 i 2 i n 1 i 2 iβ
μ)
(x
β
μ)
(x
β
n
e β μ) i (x - = 0Las dos últimas ecuaciones permiten determinar los estimadores de máxima verosimilitud de los correspondientes parámetros de la distribución Gumbel.
4) En este caso la hipótesis nula es:
0
: #
(5, )
H
caras
Binomial
p
Asumiendo que las monedas no están cargadas, p 0.5, sin embargo, empíricamente también se
obtiene p 0.5.
Como se está testeando una distribución discreta, cada valor de la variable aleatoria es un intervalo. En la tabla siguiente se presenta el desarrollo del test chi-cuadrado.
Tabla 5: Test Chi-cuadrado parte 1 Número de caras Oi P(x) Ei 0 4 0,031 1,6 1 10 0,156 7,8 2 12 0,313 15,7 3 10 0,313 15,6 4 9 0,156 7,8 5 5 0,031 1,6 Total 50 1 50
Existen varios subconjuntos con E i 5, por lo que se agrupan. En la siguiente tabla se presentan los
subconjuntos agrupados.
Tabla 6: Test Chi-cuadrado parte 2 Número de caras Oi Ei 2 (EiOi) /Ei 0-1 14 9,4 2,31 2 12 15,7 0,85 3 10 15,6 2,01 4-5 14 9,4 2,31 Total 50 50 7,49 Entonces como 2 2 0
