4
4.3
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Espacios Vectoriales
CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES; BASES
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CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES
§ Se dice que un conjunto indexado de vectores {v1, …, vp} en V es linealmente independiente si la ecuación vectorial
----(1) tiene unicamente la solución trivial,
§ Se dice que el conjunto {v1, …, vp} es linealmente dependiente si (1) tiene soluciones no triviales, o sea, si existen pesos, c1, …, cp, no todos cero, de manera que (1) se cumple.
§ En estos casos, (1) se conoce como la relación de dependencia lineal entre v1, …, vp.
1 1
v
2v
2...
pv
p0
c
+
c
+ +
c
=
10,...,
p0
c
=
c
=
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CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES
Ejemplo 1.Sean , y
§ Determine si el conjunto es linealmente independiente
§ Si es posible, determine una relación de dependencia lineal entre v1, v2 y v3 v1= 1 2 3 ! " # # # $ % & & & v2= 4 5 6 ! " # # # $ % & & & v3= 2 1 0 ! " # # # $ % & & & Slide 4.3- 4 © 2012 Pearson Education, Inc.
CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES
Ejemplo 2.Determine si las columnas de la matriz son linealmente independientes A =
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CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES
§ Teorema 4: Un conjunto indexado {v1, …, vp} de dos o mas vectores, con , es linealmente dependiente si y unicamente si algún vj (con ) es una combinación lineal de los vectores que lo preceden, . 1 v ≠0 1 j > 1 1
v ,...,v
j− Slide 4.3- 6 © 2012 Pearson Education, Inc.BASES
§ Definición: Si H es un subespacio del espacio vectorial V. Un conjunto indexado de vectores B en V es una base para H si
(i) B es un conjunto linealmente independiente, y (ii) El subespacio generado por B coincide con H;
esto es, 1
{b ,...,b }
p=
H = Gen{b
1,...,b
p}
BASES
§ La definición de base aplica al caso cuando , porque cualquier espacio vectorial es un subespacio por si mismo.
§ Entonces una base de V es linealmente independiente que genera V.
§ Cuando , la condición (ii) incluye el requerimiento de que cada uno de los vectores b1, …, bp debe
pertenecer a H, porque Gen {b1, …, bp} contiene a b1, …, bp.
H V=
H V≠
BASE ESTANDAR
§ Si e1, …, en son las columnas de la matriz identidad, In.
§ Esto es,
§ El conjunto {e1, …, en} se denomina la base estandar para Rn . Ver la figura.
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EL TEOREMA DEL CONJUNTO GENERADOR
§ Teorema 5: Dado un conjunto en
V, y dado .
a. Si uno de los vectores en S—digamos, vk—es una combinación lineal de los restantes vectores en S, el conjunto obtenido de S al remover vk todavía genera H.
b. Si , algún subconjunto de S es una base para H. 1
{v ,...,v }
pS =
H = Gen{v
1,...,v
p}
{0}
H ≠
Slide 4.3- 10 © 2012 Pearson Education, Inc.EL TEOREMA DEL CONJUNTO GENERADOR
Ejemplo 3: Dados , ,
y .
Observar que , y por lo tanto .
Encontrar una base para el subespacio H.
v
1=
0
2
−1
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
v
2=
2
2
0
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
v
3=
6
16
−5
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
H = Gen{v
1,v
2,v
3}
3 1 2v
=
5v
+
3v
Gen{v
1,v
2,v
3} = Gen{v
1,v
2}
Slide 4.3- 11 © 2012 Pearson Education, Inc.EL TEOREMA DEL CONJUNTO GENERADOR
Solución:§ Primero demostremos que
§ Consideremos un vector x cualquiera en H— digamos,
§ Ahora sustituimos la relación encontrada .
Gen{v
1,v
2,v
3} = Gen{v
1,v
2}
1 1 2 2 3 3x
=
c
v
+
c
v
+
c
v
3 1 2v
=
5v
+
3v
Slide 4.3- 12 © 2012 Pearson Education, Inc.EL TEOREMA DEL CONJUNTO GENERADOR
Ahora sustituimos las relación encontrada .O sea que x está en Gen{v1, v2}, de manera que cada vector en H tambien está en Gen{v1, v2}.
§ Por lo anterior, concluimos que H y Gen {v1, v2} tienen el mismo conjunto de vectores.
§ Y además tenemos que {v1, v2} es una base para H ya que {v1, v2} es linealmente independiente.
Slide 4.3- 13 © 2012 Pearson Education, Inc.
UNA BASE PARA COL
B
§ Eemplo 4: Encontrar una base para Col B, donde
§ Solución: Cada columna sin pivote de B es una combinación lineal de las columnas pivote.
§ De hecho, y .
§ Por el teorema del Conjunto Generador, podemos descartar b2 y b4, y {b1, b3, b5} seguirá siendo un conjunto generador para Col B.
B = b
!
"#
1b
2 b
5$
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=
1 4 0
2 0
0 0 1 −1 0
0 0 0
0 1
0 0 0
0 0
!
"
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#
#
#
$
%
&
&
&
&
2 1b
=
4b
b
4=
2b
1−
b
3 Slide 4.3- 14 © 2012 Pearson Education, Inc.UNA BASE PARA COL
B
, continuación
§ Las columnas pivote de B como conjunto generador es
§ Este conjunto es linealmente independiente.
§ Entonces, S es una base para Col B.
1 3 5
1
0
0
0
1
0
{b ,b ,b }
,
,
0
0
1
0
0
0
S
⎧
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎫
⎪
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎪
⎪
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎪
=
= ⎨
⎬
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎪
⎪
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎪
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎪
⎩
⎭
BASES PARA NUL
A
Y PARA COL
A
§ Teorema 6: Las columnas pivote de una matriz A forman una base para Col A.
§ Prueba: Si B es la forma reducida por filas de A.
§ El conjunto de las columnas de B es linealmente independiente, porque ningún vector es una combinación lineal de los vectores que lo preceden.
§ Ya que A es equivalente por filas a B, las columnas pivote de A tambien son linealmente independientes, porque la relación de dependencia de las columnas de
A se mantiene con las operaciones de filas.
BASES PARA NUL
A
Y COL
A
§ Por esta razón, cada columna sin pivote de A es una combinación lineal de las columnas pivote A.
§ Entonces las columnas sin pivote se pueden descartar del conjunto generador para Col A, por el Teorema del Conjunto generador.
§ Entonces las columnas pivote de A son una base para Col A.
§ Cuidado: Las columnas pivote de una matriz A son evidentes unicamente cuando A se ha reducido a la forma escalonada.
LA DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL
§
Teorema 9. Si un espacio vectorial tiene una
base , entonces cualquier
conjunto en V con mas de n vectores debe ser
linealmente dependiente.
§
Este teorema implica que si un espacio
vectorial tiene una base ,
entonces cada conjunto linealmente
independiente en V no debe tener mas de n
vectores
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B = b
{
1,…, b
n}
B = b
{
1,…, b
n}
LA DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL
§
Teorema 10. Si un espacio vectorial V tiene
una base de n vectores, entonces cualquier
base de V de tener exactamente n vectores
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LA DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL
§
Definición. Si V es generado por un conjunto
finito, se dice que V es dimensionalmente
finito, y la dimensión de V, que se escribe
dim V, es el número de vectores en una base de
V. Si V no es generado por un conjunto finito,
entonces V es dimensionalmente infinito.
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LA DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL
§
Ejemplo 5: Encontrar la dimensión del
subespacio
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Slide 4.5- 21 © 2012 Pearson Education, Inc.
LA DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL
§ H es el conjunto de todas las combinaciones lineales
de los vectores
, , ,
§ Claramente se observa que , v2 no es un múltiplo de v1, pero v3 es un múltiplo de v2.
§ Por el teorema del Conjunto generador, podemos descartar v3 y aún tendremos un conjunto que genera
H. 1
1
5
v
0
0
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
23
0
v
1
0
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
36
0
v
2
0
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
40
4
v
1
5
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
1v
≠
0
LA DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL
§
Finalmente, v
4no es una combinación de v
1y
v
2.
§
De manera que es linealmente
independiente y por lo tanto una base para H.
§
Entonces, dim H = 3.
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