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12/05/14. Espacios Vectoriales CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES 4.3 CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES

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(1)

4

4.3

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Espacios Vectoriales

CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES; BASES

Slide 4.3- 2 © 2012 Pearson Education, Inc.

CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES

§  Se dice que un conjunto indexado de vectores {v1, …, vp} en V es linealmente independiente si la ecuación vectorial

----(1) tiene unicamente la solución trivial,

§  Se dice que el conjunto {v1, …, vp} es linealmente dependiente si (1) tiene soluciones no triviales, o sea, si existen pesos, c1, …, cp, no todos cero, de manera que (1) se cumple.

§  En estos casos, (1) se conoce como la relación de dependencia lineal entre v1, …, vp.

1 1

v

2

v

2

...

p

v

p

0

c

+

c

+ +

c

=

1

0,...,

p

0

c

=

c

=

Slide 4.3- 3 © 2012 Pearson Education, Inc.

CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES

Ejemplo 1.

Sean , y

§ Determine si el conjunto es linealmente independiente

§ Si es posible, determine una relación de dependencia lineal entre v1, v2 y v3 v1= 1 2 3 ! " # # # $ % & & & v2= 4 5 6 ! " # # # $ % & & & v3= 2 1 0 ! " # # # $ % & & & Slide 4.3- 4 © 2012 Pearson Education, Inc.

CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES

Ejemplo 2.

Determine si las columnas de la matriz son linealmente independientes A =

(2)

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CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES

§  Teorema 4: Un conjunto indexado {v1, …, vp} de dos o mas vectores, con , es linealmente dependiente si y unicamente si algún vj (con ) es una combinación lineal de los vectores que lo preceden, . 1 v ≠0 1 j > 1 1

v ,...,v

j− Slide 4.3- 6 © 2012 Pearson Education, Inc.

BASES

§  Definición: Si H es un subespacio del espacio vectorial V. Un conjunto indexado de vectores B en V es una base para H si

(i) B es un conjunto linealmente independiente, y (ii) El subespacio generado por B coincide con H;

esto es, 1

{b ,...,b }

p

=

H = Gen{b

1

,...,b

p

}

BASES

§ La definición de base aplica al caso cuando , porque cualquier espacio vectorial es un subespacio por si mismo.

§ Entonces una base de V es linealmente independiente que genera V.

§ Cuando , la condición (ii) incluye el requerimiento de que cada uno de los vectores b1, …, bp debe

pertenecer a H, porque Gen {b1, …, bp} contiene a b1, …, bp.

H V=

H V

BASE ESTANDAR

§ Si e1, …, en son las columnas de la matriz identidad, In.

§ Esto es,

§ El conjunto {e1, …, en} se denomina la base estandar para Rn . Ver la figura.

(3)

Slide 4.3- 9 © 2012 Pearson Education, Inc.

EL TEOREMA DEL CONJUNTO GENERADOR

§  Teorema 5: Dado un conjunto en

V, y dado .

a. Si uno de los vectores en S—digamos, vk—es una combinación lineal de los restantes vectores en S, el conjunto obtenido de S al remover vk todavía genera H.

b. Si , algún subconjunto de S es una base para H. 1

{v ,...,v }

p

S =

H = Gen{v

1

,...,v

p

}

{0}

H ≠

Slide 4.3- 10 © 2012 Pearson Education, Inc.

EL TEOREMA DEL CONJUNTO GENERADOR

Ejemplo 3: Dados , ,

y .

Observar que , y por lo tanto .

Encontrar una base para el subespacio H.

v

1

=

0

2

−1

"

#

$

$

$

%

&

'

'

'

v

2

=

2

2

0

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

v

3

=

6

16

−5

"

#

$

$

$

%

&

'

'

'

H = Gen{v

1

,v

2

,v

3

}

3 1 2

v

=

5v

+

3v

Gen{v

1

,v

2

,v

3

} = Gen{v

1

,v

2

}

Slide 4.3- 11 © 2012 Pearson Education, Inc.

EL TEOREMA DEL CONJUNTO GENERADOR

Solución:

§ Primero demostremos que

§ Consideremos un vector x cualquiera en H— digamos,

§ Ahora sustituimos la relación encontrada .

Gen{v

1

,v

2

,v

3

} = Gen{v

1

,v

2

}

1 1 2 2 3 3

x

=

c

v

+

c

v

+

c

v

3 1 2

v

=

5v

+

3v

Slide 4.3- 12 © 2012 Pearson Education, Inc.

EL TEOREMA DEL CONJUNTO GENERADOR

Ahora sustituimos las relación encontrada .

O sea que x está en Gen{v1, v2}, de manera que cada vector en H tambien está en Gen{v1, v2}.

§ Por lo anterior, concluimos que H y Gen {v1, v2} tienen el mismo conjunto de vectores.

§ Y además tenemos que {v1, v2} es una base para H ya que {v1, v2} es linealmente independiente.

(4)

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UNA BASE PARA COL

B

§ Eemplo 4: Encontrar una base para Col B, donde

§ Solución: Cada columna sin pivote de B es una combinación lineal de las columnas pivote.

§ De hecho, y .

§ Por el teorema del Conjunto Generador, podemos descartar b2 y b4, y {b1, b3, b5} seguirá siendo un conjunto generador para Col B.

B = b

!

"#

1

b

2

 b

5

$

%&

=

1 4 0

2 0

0 0 1 −1 0

0 0 0

0 1

0 0 0

0 0

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

2 1

b

=

4b

b

4

=

2b

1

b

3 Slide 4.3- 14 © 2012 Pearson Education, Inc.

UNA BASE PARA COL

B

, continuación

§ Las columnas pivote de B como conjunto generador es

§ Este conjunto es linealmente independiente.

§ Entonces, S es una base para Col B.

1 3 5

1

0

0

0

1

0

{b ,b ,b }

,

,

0

0

1

0

0

0

S

⎧

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎫

⎪

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎪

⎪

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎪

=

= ⎨

⎬

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎪

⎪

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎪

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎪

⎩

⎭

BASES PARA NUL

A

Y PARA COL

A

§ Teorema 6: Las columnas pivote de una matriz A forman una base para Col A.

§ Prueba: Si B es la forma reducida por filas de A.

§ El conjunto de las columnas de B es linealmente independiente, porque ningún vector es una combinación lineal de los vectores que lo preceden.

§ Ya que A es equivalente por filas a B, las columnas pivote de A tambien son linealmente independientes, porque la relación de dependencia de las columnas de

A se mantiene con las operaciones de filas.

BASES PARA NUL

A

Y COL

A

§ Por esta razón, cada columna sin pivote de A es una combinación lineal de las columnas pivote A.

§ Entonces las columnas sin pivote se pueden descartar del conjunto generador para Col A, por el Teorema del Conjunto generador.

§ Entonces las columnas pivote de A son una base para Col A.

§ Cuidado: Las columnas pivote de una matriz A son evidentes unicamente cuando A se ha reducido a la forma escalonada.

(5)

LA DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

§

Teorema 9. Si un espacio vectorial tiene una

base , entonces cualquier

conjunto en V con mas de n vectores debe ser

linealmente dependiente.

§

Este teorema implica que si un espacio

vectorial tiene una base ,

entonces cada conjunto linealmente

independiente en V no debe tener mas de n

vectores

Slide 4.3- 17 © 2012 Pearson Education, Inc.

B = b

{

1

,…, b

n

}

B = b

{

1

,…, b

n

}

LA DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

§

Teorema 10. Si un espacio vectorial V tiene

una base de n vectores, entonces cualquier

base de V de tener exactamente n vectores

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LA DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

§

Definición. Si V es generado por un conjunto

finito, se dice que V es dimensionalmente

finito, y la dimensión de V, que se escribe

dim V, es el número de vectores en una base de

V. Si V no es generado por un conjunto finito,

entonces V es dimensionalmente infinito.

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LA DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

§

Ejemplo 5: Encontrar la dimensión del

subespacio

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(6)

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LA DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

§ H es el conjunto de todas las combinaciones lineales

de los vectores

, , ,

§ Claramente se observa que , v2 no es un múltiplo de v1, pero v3 es un múltiplo de v2.

§ Por el teorema del Conjunto generador, podemos descartar v3 y aún tendremos un conjunto que genera

H. 1

1

5

v

0

0

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

2

3

0

v

1

0

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

3

6

0

v

2

0

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

4

0

4

v

1

5

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

1

v

0

LA DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

§

Finalmente, v

4

no es una combinación de v

1

y

v

2

.

§

De manera que es linealmente

independiente y por lo tanto una base para H.

§

Entonces, dim H = 3.

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v

1

, v

2

, v

4

Referencias

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