Leyes de exponentes y radicales.

Regla de la cadena.

En esta semana aprenderemos a derivar funciones compuestas utilizando la regla de la cadena, sin embargo, es importante mencionar que las reglas anteriores seguirán siendo base para derivar cualquier tipo de función. La regla de la cadena de manera implícita ya la aplicaste en la derivación de funciones trascendentes y como pudiste notar, consiste en derivar y volver a derivar una función.

El nuevo teorema con el que estaremos trabajando es el siguiente:

Observa que a diferencia del teorema _!"! 𝑥# _{= 𝑛𝑥}#$%_{, en lugar de tener a la variable 𝑥}# _{tenemos 𝒗}𝒏_.

Esta 𝒗𝒏 _{representa una “función completa” y como puedes observar, la primera parte del teorema indica de}

debemos multiplicar el exponente por coeficiente, dejar a la función 𝒗 tan cual como esta, restarle uno al exponente y multiplicar lo que quedó por la deriva de la función 𝒗.

Por otro lado, las leyes de los exponentes y radicales seguirán siendo nuestras aliadas para expresar la función como una 𝒗𝒏 _{y poder aplicar la derivación correspondiente.}

Leyes de exponentes y radicales.

1

𝑥

= 𝑥

_√𝑥

_{= 𝑥}

Las siguientes imágenes representan funciones compuestas que pueden ser derivadas aplicando la regla de la cadena, pues representan una “función completa” elevada a una potencia. Es importante aclarar que cuando hacemos referencia a la palabra función completa nos referimos a que esa función completa representa la función 𝒗 que queremos derivar.

Observa que, en el caso de las raíces, podemos aplicar leyes de los exponentes y radicales para reescribir nuestra función como una 𝒗𝒏_.

¿Cómo aplicar la regla de la cadena?

Los pasos para aplicar la regla son muy sencillos:

1. Si es necesario reescribir la función utilizando leyes de los exponentes y radicales hazlo, recuerda que el objetivo es tener una función de la forma 𝒗𝒏

2. Identificar a 𝒗(será la función completa)

3. Identificar a 𝒏(será el exponente de la función completa) 4. Aplicar la regla de derivación.

5. Multiplicar exponente 𝒏 por coeficiente de 𝒗 (el coeficiente es el numero que multiplica a la función 𝒗) 6. Dejar a la función 𝒗tal cual como está

7. Restarle uno al exponente 𝒏 − 𝟏

8. Multiplicar lo anterior por la derivada de la función 𝒗(derivar a 𝒗) 9. Simplificar la expresión

Ejemplo 1: Derivar funciones utilizando regla de la cadena

Deriva las siguientes funciones aplicando regla de la cadena

𝑑 𝑑𝑥(𝟐𝒙 − 𝟑)𝟔=𝟔(𝟐𝒙 − 𝟑)𝟔#𝟏 𝑑 𝑑𝑥(𝟐𝒙 − 𝟑) =𝟔(𝟐𝒙 − 𝟑)𝟓_(𝟐) = 12(2𝑥 − 3)& ∴𝒅𝒚 𝒅𝒙= 𝟏𝟐(𝟐𝒙 − 𝟑)𝟓 𝑔(𝑥) = 54𝑥'_{− 2𝑥} 𝑔(𝑥) = 54𝑥'_{− 2𝑥} Reescribimos la función 𝑔(𝑥) = 5(𝑥'_{− 2𝑥)}(_'

𝑑 𝑑𝑥5(𝑥'− 2𝑥) 𝟏 𝟐= (𝟓) 6𝟏 𝟐7 (𝑥'− 2𝑥) 𝟏 𝟐#𝟏 𝑑 𝑑𝑥(𝑥'− 2𝑥) = ,5 2- (𝑥2− 2𝑥) −1_{2(2𝑥 − 2)} = 65₂7 (2𝑥 − 2)(𝑥'− 2𝑥)#(' = (5𝑥 − 5)(𝑥'_{− 2𝑥)}#(_' = 5𝑥 − 5 (𝑥'_{− 2𝑥)}(_' = 5𝑥 − 5 √𝑥'_{− 2𝑥} ∴ 𝒅𝒈 𝒅𝒙 = 𝟓𝒙 − 𝟓 √𝒙𝟐_{− 𝟐𝒙} 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙4𝒙𝟐_{+ 𝟏} 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙4𝒙𝟐_{+ 𝟏} Reescribimos la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙;𝒙𝟐_{+ 𝟏<}𝟏𝟐

La función reescrita es un producto de funciones, por tanto, la regla principal que se debe aplicar es la de la multiplicación.

𝑑 𝑑𝑥2𝑥(𝑥'+ 1) ( '_{= (2𝑥}) 𝑑 𝑑𝑥(𝑥'+ 1) ( '₊(𝑥'_{+ 1)}(' 𝑑 𝑑𝑥(2𝑥) = (2𝑥) =1 2(𝑥'+ 1) ( '#( 𝑑 𝑑𝑥(𝑥'+ 1)> +(𝑥'+ 1) ( '(₂) = (2𝑥) =1 2(𝑥'+ 1) #(_{'(2𝑥)> +(𝑥}'_{+ 1)}(_'(2) = (4𝑥) =1 2(𝑥'+ 1) #(_{'> + 24𝑥'+ 1} = 4𝑥 2(𝑥'_{+ 1)}(_' + 24𝑥'_{+ 1} = 2𝑥 √𝑥'_{+ 1}+ 24𝑥'+ 1

∴ 𝒅𝒚 𝒅𝒙= 𝟐𝒙 √𝒙𝟐_{+ 𝟏}+ 𝟐0𝒙 𝟐_{+ 𝟏} 𝒇(𝒙) = 6𝟐𝒙 + 𝟏_{𝒙 − 𝟏}7 𝟓 𝑑 𝑑𝑥 6 2𝑥 + 1 𝑥 − 17 & =562𝑥 + 1 𝑥 − 17 &#( _𝑑 𝑑𝑥6 2𝑥 + 1 𝑥 − 17 =562𝑥 + 1_{𝑥 − 1}7 -@(𝑥 − 1) 𝑑𝑑𝑥 (2𝑥 + 1) − (2𝑥 + 1) 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥 − 1) (𝑥 − 1)' A =562𝑥 + 1 𝑥 − 17 -B(𝑥 − 1)(2) − (2𝑥 + 1)(1) (𝑥 − 1)' C =562𝑥 + 1 𝑥 − 17 -=2𝑥 − 2 − (2𝑥 + 1) (𝑥 − 1)' > =562𝑥 + 1 𝑥 − 17 -=2𝑥 − 2 − 2𝑥 − 1 (𝑥 − 1)' > =562𝑥 + 1 𝑥 − 17 -= −3 (𝑥 − 1)'> = −15 (𝑥 − 1)'6 2𝑥 + 1 𝑥 − 17 -∴𝒅𝒚 𝒅𝒙= −𝟏𝟓 (𝒙 − 𝟏)𝟐, 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 -𝟒

Nota: Observa que seguimos aplicando las reglas de derivación “fáciles” mientras aplicamos la regla general para derivar una función producto.

Aplicaciones de la derivada

Rectas tangente y normal a la curva Tangente

Recta que toca a una curva en un punto. Normal

Recta perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia.

Fig. 1 En verde se muestra la recta normal y en azul la recta tangente. Estas rectas son perpendiculares entre si y se intersectan justo en el punto de tangencia.

Ecuación de la recta tangente

La ecuación de la recta tangente a una curva en el punto 𝑃(𝑥%, 𝑦%) con pendiente 𝑚 = 𝑓´(𝑥) esta dada por:

𝒚 − 𝒚

= 𝒇´(𝒙)(𝒙 − 𝒙

)

Ecuación de la recta normal

La ecuación de la recta normal a una curva en el punto 𝑃(𝑥%, 𝑦%) con pendiente 𝑚 =_'´(")$% esta dada por:

𝒚 − 𝒚

=

−𝟏

𝒇´(𝒙)

(𝒙 − 𝒙

)

Ejemplos 1: Rectas normales y tangentes.

Recuerda agregar las graficas para comprobar si las ecuaciones que resultaron corresponden a ecuaciones de la recta tangente y normal al punto que indica el ejercicio.

b) Del ejercicio anterior, determina la ecuación de la recta normal y la ecuación de la recta tangente

c) Determina la ecuación de la recta tangente y normal para la función 𝑓(𝑥) = 4𝑥1_{− 4𝑥 + 1 si 𝑥 =}( '

Actividad 5 extra para practicar: Regla de la cadena y recta normal y tangente a una curva.

I. Deriva las siguientes funciones utilizando los teoremas que sean más adecuados.

II. Determina la ecuación de la recta normal y la ecuación de la recta tangente para la siguiente función. Gráfica en GeoGebra las ecuaciones y de manera visual comprueba que las rectas son correctas; agrega la gráfica que resulte.