3.5 OPERADORES LINEALES.

(1)

3.5 OPERADORES LINEALES.

En este último apartado presento brevemente, y de forma ad-hoc para nuestro problemas, definiciones y resultados de ciertos operadores que actúan sobre las funciones de . Estos resultados necesitan una justificación que dejaré de lado. Sólo intento dar una visión formal, breve y rápida de las exigencias que debe cumplir un operador hermítico en un espacio dimensión infinita para resolver el problema de sus autovalores. Quién no esté especialmente interesado en este problema puede ir directamente a la sección 3.3.5. ... quién lo esté es quizás mejor que vaya a las fuentes (ver bibliografía) ... y por tanto que pase directamente a la sección 3.3.5 !!! En cualquier caso conviene, aunque sea una sola vez, leer el teorema fundamental 3.5.4.

) ,

2

( a b L

_w

En la sección 3.3.5 incluyo una notación que es usual entre los físicos y muy útil en general. En la siguiente y última sección introduzco brevemente el concepto de operador integral y de operador diferencial que usaré en el siguiente capítulo. Veremos en este capítulo, en relación con el problema de Sturm-Liouville y con las funciones de Green, casos particulares de estos operadores, casos que son los que nos interesan a nosotros.

En resumen la pretensión es resolver el problema de autovalores (teorema fundamental) y buscar con las autovectores (en el lenguaje de funciones autofunciones) de operadores Hermíticos en el espacio de dimensión infinita

L

²_w

( a , b )

, en particular los operadores llamados diferenciales.

3.5.1 CONJUNTO COMPACTO

Basado en teorema de Bolzano-Weierstrass (en un conjunto infinito de números de módulo acotado existe al menos una secuencia de ellos que converge) se llega a que en un conjunto infinito de vectores de módulo acotado, en un espacio de dimensión finita, existe al menos una secuencia de ellos que converge.

Esta convergencia se usa para definir un conjunto compacto en espacios de dimensión finita: Un conjunto infinito de vectores, de dimensión finita, se llama compacto, si cualquier de sus subconjuntos infinitos converge. Esto no ocurre siempre en el caso de espacios de dimensión infinita.

3.5.2 NORMA DE UN OPERADOR. OPERADOR ACOTADO. METRICA.

El operar de operadores es casi igual que la de números con esos vectores. Casi porque los números conmutan en la operación de multiplicación pero no la hacen en general los operadores. La similitud se puede llevar más lejos definiendo el módulo, norma, de un operador que tiene casi las mismas

propiedades que la de un número.

Primero recuerdo la definición de distancia de dos vectores [3.1.17]:

dist (| a > |, b > ) = módulo (| a > − | b > ) = ( < a | − < b |)(| a > − | b > )

que se puede rescribir como:

dist (| a > |, b > ) = dist (| a > − | b > |, 0 > )

cuyas interpretaciones son muy familiares: sucesivamente, el módulo del vector diferencia,

la distancia entre dos vectores es la longitud entre sus “puntas” o la distancia entre la “punta” de la diferencia al “origen”.

Por definición norma de un operador A es

) 0

|, . (|

) 0

|, .

| max (

||

|| > >

>

= >

dist A

A dist

siendo

| . >

cualquier vector del espacio vectorial. La definición se puede rescribir:

(2)

dist ( A | . > |, 0 > ) ≤ || A || dist (| . > |, 0 > )

que nos dice que la longitud de los vectores

A | . >

tiene una cuota superior dada por la longitud del vector

>

.

|||

|| A

. Se demuestra que la norma tiene las tres siguientes propiedades:

|| A − B || = || B − A ||

|| A − C || + || C − B || ≥ || A || − || B ||

|| AB || ≤ || A || . × || B ||

Si la norma es finita el operador es acotado. Nosotros nos limitaremos a estos operadores. Observe que entre la definición y las dos primeras propiedades se introduce formalmente una métrica en los

operadores (ver sección 3.1.4) donde la distancia entre operadores es la norma de su diferencia. Ello permite establecer una secuencia de operadores que converge a A si para cada ε hay un N tal que la distancias entre y A es:

A

n

A

n

|| A − A

_n

|| < ε ∀ n > N

o

|| A − A

_n

|| ⎯

_n

⎯ →

_→

⎯

_∞

0

que implica:

A

_n

| . > ⎯

_n

⎯ →

_→

⎯

_∞

A | . >

^.

3.5.3 OPERADOR COMPLETAMENTE CONTINUO

Considere una base ortonormal del espacio vectorial de dimensión infinita:

{ | e

_n

> , n = 1 , 2 ,..., < e

_m

| e

_n

>= δ

_mn

}

^.

Un operador se llama dimensionalmente finito (d.f.) si proyecta sobre un subespacio finito:

∑

⁺

=

<

>

=

^M ^N

M m n

n nm

m

N

e A N e

A

,

| ) (

|

Por construcción AN proyecta cualquier vector del espacio en el subespacio generado por los vectores . Los elementos no son sino los de la matriz en ese subespacio. El adjunto de A

{ | e

_n

> , n = M , M + 1 ,..., M + N } A

_nm

(N )

N es:

∑

⁺

=

+

=

^M ^N

> <

M m

n n nm m

N

e A N e

A

,

*

( ) |

|

Se puede demostrar que los operadores d.f. están acotados de tal manera que:

∑

⁺

=

≤

^M ^N

M m n

nm

N

A N

A

,

) (

||

.

Si existe una secuencia de operadores d.f. que converge a un operador A, este se dice que es

completamente continuo. Un operador A completamente continuo es acotado. El conjunto de todos los vectores

A | . >

, siendo la longitud de

| . >

acotada (

dist (| . > ) , 0 < const ),

es compacto.

(3)

3.5.4 TEOREMA FUNDAMENTAL SOBRE OPERADORES HERMITICOS COMPLETAMENTE CONTINUOS Utilizando toda la parafernalia de 3.5.1, 3.5.2 y 3.5.3 anterior se demuestra que:

Si H es un operador hermítico completamente continuo:

• Existe al menos un autovector de H con autovalor distinto de cero

• Para un arbitrario

ε > 0

hay un número finito de autovectores ortonormalizados de H cuyos autovalores están fuera del intervalo

[ − ε , ε ]

. Además para un autovalor distinto de cero hay un número finito de autovectores.

• Los autovectores de H constituyen una base completa de todo el espacio vectorial.

Como consecuencia se demuestra, entre otras cosas, que H siempre tiene un autovalor con autovector igual a +||H|| o a -||H||.

3.5.5 NOTACIÓN USUAL

El producto escalar en el espacio de las funciones está dado por como generalización de

∫

>=

< ^b

a

x g x f x dxw g

f | ( ) *( ) ( )

∑

=

>=

<a|b arbr a^*_jb_j, ver sección 3.1.3. Como ya mencioné en ambos casos no hay alusión a la base respecto a la cual están referidas las componentes de los vectores; y en el caso de dimensión finita y f(x) y g(x) en el caso de las funciones, dimensión infinita.

a

j

b

_j

Ya hemos visto que la función f tiene un índice continuo, la x, y que este recorre un intervalo real [a,b].

En el caso de un espacio vectorial de dimensión finita N, cualquier vector del espacio se expresa como combinación lineal de los vectores |e

>

f

|

i>, i=1,2,…N, de una base ortonormal como

∑

[3.5.1]

=

>

>=

^N

i

i i

e f f

1

|

donde es la componente i del vector. Cada una de estas componentes se obtiene multiplicando escalarmente el vector por cada uno de los vectores de la base:

f

i

>

f

|

f

_i

=< e

_i

| f >

[3.5.2]

Ahora tratamos de llevar esta notación al espacio de las funciones de dimensión infinita donde el índice i se ha transformado en una variable continua:

f ( x ) =< e

_x

| f >=< x | f >

[3.5.3]

Es usual, para escribir menos, utilizar la notación en vez de , en cualquier caso “x” es un índice continuo y el conjunto infinito una base del espacio vectorial de dimensión infinita. ¿A qué funciones corresponden estos vectores? Lo vamos ver enseguida pero antes nos familiarizaremos con esta notación presentando algunos resultados bastante elementales. Observe que si en el caso finito se debe verificar

>

x

| | e

_x

>

[ ] { | x > , x ∈ a , b }

< e

_i

| e

_j

>= 0 i ≠ j

, [3.5.4]

y en el caso infinito

< x | x ' >= 0 x ≠ x '

[3.5.5]

La combinación lineal de los vectores de la base en el caso finito, [3.5.1] para determinar un vector del espacio vectorial, se rescribe en el caso del espacio de las funciones como:

(4)

^>= ∫

^b

^>

[3.5.6]

a

x x f x dxw

f ( ) ( ) |

|

En el caso finito tendríamos de la ecuación para cada componente [3.52]:

^N _j [3.5.7]

i ij i N

i

i j i

j

f f e e f f

e ∑ ∑

=

>

<

>=

<

1 1

|

| δ

algo que ya sabíamos. Procediendo de forma similar en el caso de las funciones:

^< ^>= ∫

^b

^< ^>

[3.5.8]

a

x x x f x dxw f

x |' ( ) ( ) |'

y por lo dicho antes, ver [3.5.3], esto tiene que ser la componente

f (x ' )

:

dxw ( x ) f ( x ) x |' x f ( x ' )

[3.5.9]

b a

=

>

∫ <

por lo que se deduce que (ver sección 3.4 sobre la función delta):

w ( x ) < x |' x >= δ ( x − x ' )

[3.5.10]

o lo que es lo mismo:

( ' )

) ' ( ) ( ) 1 ' ) (

' ( ) 1 ' ) (

(

|' 1 x x

x w x x w

x x x w

x >= − = − = −

< δ δ δ

[3.5.11]

Las analogías con espacio finito las podemos continuar expresando el operador identidad en función de los vectores de una base. En el espacio finito está dado por:

∑

[3.5.12]

=

><

=

^N

i

e

e I

1

|

como se comprueba fácilmente. En el espacio de las funciones [3.5.12] se generaliza a:

I dx | x w ( x ) x |

[3.5.13]

b a

<

>

= ∫

que también se comprueba con facilidad. Si se multiplica [3.5.13] escalarmente por la derecha y por la izquierda por

| x ' >

y

< x ' |'

respectivamente se obtiene:

< ^x ^' ^|' ^x ^' >= ∫

^b

^dx < ^x ^' ^|' ^x > ^w ⁽ ^x ⁾ < ^x ^| ^x ^' >

[3.5.14]

a

y teniendo en cuanta [3.5.11]:

⁻ ⁼ ∫

^b

⁻ ⁻

[3.5.15]

a

x x x x dx x

x '' ' ) ( ' ) ( '' )

( δ δ

δ

que es una generalización en el continuo de . Ahora un poco de atención: si de ha convenido que la componente f(x), de una función f que está representada por el vector , está dada por

∑

=

k kj ik

ij

δ δ

δ

>

f

|

(5)

>

< x | f

, entonces es la componente correspondiente de la función que representa , por lo tanto ya sabemos cuales son las funciones que representan la base

>

< x | x ' | x ' >

[ ]

{ | x > , x ∈ a , b }

, la ecuación […] nos dice que son esencialmente funciones delta. Esto es una sorpresa ya que en realidad no son auténticas funciones, son distribuciones y por lo tanto no pertenecen al espacio de funciones en el que estamos trabajando, pertenece al espacio ampliado de las funciones generalizadas. La existencia de bases de un espacio de infinitas dimensiones que no pertenecen al propio espacio no es algo inusual, de hecho ya hemos pasado por esa situación en las series de Fourier donde los vectores de la base, exponenciales complejas, no son de cuadrado sumable en el intervalo

( −∞ , ∞ )

.

Si tuviéramos una base ortonormal, |e_i>, i=1,2,…, en nuestro espacio de funciones de dimensión infinita, vuelve a ser fácil demostrar que el operador identidad se puede escribir:

∑

^∞ [3.5.16]

=

><

=

1

|

i

e

e I

Multiplicando por la izquierda y por la derecha por

< x |'

y

| x >

respectivamente se tiene:

) (

) ' ) ( ( ) ' (

|

|'

1

*

1

w x

x x x

e x e x

e e x x

x

i

i i i

i i

= −

=

>

><

<

>=

< ∑ ∑

^∞

=

∞

=

δ

, [3.5.17]

donde la última igualdad será muy útil más adelante.

3.5.6 OPERADORES INTEGRALES Y DIFERENCIALES

Los operadores que nos interesan a nosotros son los operadores integrales y diferenciales. En el espacio vectorial de dimensión N, finita, un operador se escribe:

∑∑

[3.5.18]

= =

<

>

=

^N

i N j

j ij

i

K e

e K

1 1

|

Es evidente que actuando K sobre cualquier vector del espacio lo transforma en otro vector del mismo. Si multiplicamos por la izquierda y por la derecha por

< e

_i

|

y respectivamente se obtienen, en el lenguaje matricial, los elementos de la matriz correspondiente. La generalización de esta expresión en el espacio de las funciones se llama operador integral:

j

>

e

| K

ij

⁼ ∫∫

^b

^> ^<

[3.5.19]

a b

a

x x w x x K x w x dx dx

K '' |' '' ( '' ) ( ' ,' ' ) ( ' ) |'

La función K(x’’,x’), llamada kernel, hace el papel equivalente al de elemento de matriz Kij del operador [3.5.18], salvo que los índices son continuos. Actuando sobre un vector del espacio de funciones

tendríamos:

>

=

>

=

>

<

>

>= ∫∫ ^dx ^dx ^x ^w ^x ^K ^x ^x ^w ^x ^x ^f ∫∫ ^dx ^dx ^x ^w ^x ^K ^x ^x ^w ^x ^f ^x ^g

f K

b a b a b

a b a

| ) ' ( ) ' ( ) ' ,' ' ( ) '' ( ''

|' ''

|' ) ' ( ) ' ,' ' ( ) '' ( ''

|' ''

|

[3.5.20]

que es un vector, que llamo

| g >

cuyas componentes

< x | g >= g ( x )

son:

∫

∫∫ ^< ^> ⁼

>=

=<

^b

a b

a b a

x f x w x x K dx x

f x w x x K x w x x dx dx f

K x x

g ( ) | | '' ' | '' ( '' ) ( ' ,' ' ) ( ' ) ( ' ) ' ( , ' ) ( ' ) ( ' )

[3.5.21]

(6)

en donde he usado las propiedades de la delta para llegar a la última igualdad. Observe que el álgebra que se hace es similar al caso del espacio de dimensión finita. Nosotros estaremos interesados en operadores integrales hermíticos que se definen:

K ( x , x ' ) = K

^*

( x ,' x )

[3.5.22]

como en un espacio de dimensión finita donde se exige que la matriz correspondiente que sea hermítica.

El problema fundamental al que vamos a enfrentarnos es básicamente resolver una ecuación de autovalores

K | f >= λ | f >

[3.5.23]

o en el lenguaje de las funciones, que se convierte en una ecuación integral:

dx ' K ( x , x ' ) w ( x ' ) f ( x ' ) f ( x )

[3.5.24]

b

a

λ

∫ =

El problema es similar al caso de dimensión finita pero, como hemos visto en [3.5.4] para aplicar el teorema fundamental, es necesario exigir al operador integral K que sea completamente continuo

además de Hermítico. Se demuestra que tal condición se traduce a que exista y sea finita la doble integral sobre el kernel:

∫∫

^b

< ∞

. [3.5.25]

a b a

x x K x w x w

dxdx ' ( ) ( ' ) | ( , ' ) |

²

Por otra parte un operador L se llama diferencial si actuando sobre un vector, se obtiene otro vector cuyas componentes

>

f

|

>

>= g f

L | | g ( x ) =< x | g >

están dadas por:

( ) ( ) ( )

) ( ) ...

) ( ) (

) ( (

|

| )

(

₁ ¹ ₁ ₁

p

₀

x f x

dx x x df dx p

x f x d dx p

x f x d p f L x g x x

g =< >=< >=

_n ⁿ _n

+

_n₋ ⁿ⁻ _n₋

+ + +

El operador diferencial lo podemos escribir como:

( ) ( )

₁

...

₁

( )

₀

( )

1

p x

dx x d dx p

x d dx p

x d p

L

_n

n n n

n

+ + + +

≡

₋ ⁻₋ .

Nosotros nos limitaremos en el próximo capítulo a operadores diferenciales asociados a derivadas de segundo orden. Observe que dependiendo de la función puede ocurrir que el resultado no sea otra función como ocurre con la función escalón cuya primera derivada es la distribución delta.

Por otra parte la derivada de una función puede dar fácilmente otra que no sea de sumable y por lo tanto estos operadores no suelen ser acotados y, aparentemente, no podríamos utilizar los resultados de esta sección. Por ejemplo no se puede aplicar el teorema fundamental a la ecuación de autovalores:

L | f >= λ | f >

.

Sin embargo podemos usar el operador inverso al operador diferencial y rescribir la ecuación de

autovalores como:

L

⁻

f >= 1 | f >

1

|

λ

y como inverso de un operador diferencial, es un operador integral y se podría aplicar el teorema fundamental a los autovalores

−1