Clasificación de singularidades

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(1)UNIVERSIDAD DE SONORA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS. RLOTEC Áj. /. DE C1,11. .,. -. *. CLASIFICJ\CION DE SINGULARIDADES Jacobo Guadalupe Nufiez Urias*. Trabajo presentado para obtener el Titulo de Licenciado en Matemticas. Diciembre de 1983..

(2) Universidad de Sonora Repositorio Institucional UNISON. Excepto si se señala otra cosa, la licencia del ítem se describe como openAccess.

(3) 1 N D 1 C E. O. INTRODUCCION. I. FUNCIONES F: R-* R. 1. 1 1. Puntos críticos no-degenerados. 12. 2) Puntos críticos degenerados II. FUNCIONES F: Rnl _>Rm PRELIMINARES, DEFINICIONES Y EJEMPLOS.. 25. 1)Clasificaci6n de Funciones en punto regular 2)Formas cuadrgticas y clasificación de en punto cr5tico no--dege funciones F: nerado.. 37 40. If. III. FUNCIONES F: R2 R2 52. 1)Preliminares. Definiciones 2)Sistemas de Coordenadas especiales.. 60. 3)Tpicos relacionados con el Teorema de Taylor. 64. 4)Teorema de Clasificaci6n Puntos dobles Puntos cííspide. 75. 5)Algunos resultados generales.. 96. 6)Bibliograia.. 100.

(4) INTRODUCCION. Respecto al tema de funciones y sus singularidades, existe una gran cantidad de investigaciones que se han hecho, tanto por su intcrs desde el púnto de Ista de la Matemática pura, como por sus aplicaciones, de aquí que -11 haya di. ros enfoques a gste tema.. En general, el propósito de éste trabajo es describir el comportamiento de funciones F Rnl Rm (mas adelante especificamos las dimensiones -. n,y,m y los casos que aquí se contemplan) tanto en puntos regulares como en puntos singulares (puntos donde la diferencial se anula), y hacer una distin ci6n o clasificaci6n de tales singularidades.. En el Capítulo 1, tratamos el caso de funcions diferenciables F: R"-> R, que para este caso, podemos hablar de puntos singulares en donde la función alcanza un míximo, un mínimo 6 es un punto silla (punto de infle xi6n). En la primera parte desarrollamos los criterios que pueden ser vistos (o son vistos) en un curso de Cálculo avanzado a nivel licenciatura; en la segunda parte auxiliándonos del T eohema de Tctyot vemos que condiciones deben cumplir las formas de Taylor de orden mayor o igual a 2 para poder dar una clarificaci6n de las singularidades en los términos arriba descritos.. -. En el Capítulo II tratarnos el caso F: R' -+ Rm; definirnos equivalen co cía entre funciones dando algunos ejemplos; s las funciones C ( R'1, Rm) las dividimos en clases de equivalencia para así hablar, no de una funci6n espe cífica sino funciones representativas de una clase (grrnenes) estableciendo equivalencia entre gérmenes en forma local y tratando de encontrar la expre-.

(5) si6n de la forma normal en un punto crítico no degenerado.. En el Capítulo 111 tratamos el caso de funciones F: R-R y damos la clasificaci6n de las singularidades en punto que llamaremos dobleses 6 císpides, encontrando la expresión de la forma normal para las funciones en dichos puntos.. /. por iltiino damos un panorama general d los resultados que se han n m encontrado para dimensiones n,m de F: R —R el contexto de las últimas investigaciones que se han hecho, tratando de ubicar gste modesto trabajo.. :1'.

(6) CL4SIFI CAC ION DE SINGULARIDADES, FUNCIONES F: CAPITULO 1. En este capítulo investigaremos el comportamiento local de funciones en puntos critico, (VF(x0)=0) desarrollando criterios para determínar si la funcin alcanza mxímo, mínimo o inflexión en estos puntos; primero en el caso de que sea punto critico no degenerado, dando la versi6n para este tipo de funciones de los conocidos criterios de mgximos y mnímos del caso de funciones reales de variable real; y despu és, haciendo uso del Twitexnc'. de Ttyo't en varias variables, generalizar para el caso de que el punto critico sea degenerado. Esta generalización no cubre todas las contingencias pero sí es bastante general.. Comencemos estableciendo algunas definiciones y la notación que emplearemos, y recordando algunos resultados estándar de Calculo Avanzado:. 1.'PUNTOS CRITICOS"NO DEGENERADOS.. V1n21cÁi6n I.J.I.. F:Rr1R para A RT1, A abierto y x0 A y cualquier vec. tor YR'1 tal que x0 +tYA. Definimos la derivada de F en x0 respecto a Y es: F(x Y O )=. hm F(x+tY)-F(x0). t. t- O. siempre que este limite exista.. Ob)Luctcon 1.1.1.. t}. Si. Y¡ ¡=l. F' x0) es la derivada direccio-. nal de F en x0 respecto a Y (en la direcci6n de Y). b). Si Y=ek. F'(xo)=F'k(xfl) es la derivada parcial de F respecto a. F'(xo)= DkF(xo). F'(xo)=. -. (x0). -. ,_x0).

(7) Vei6. 1.1.2.-. F;RaR, F es diferenciable en XOEDF R tal que existe una transforniacin lineal T : xo. 1 ini x-*x. SI. F(x)-F(x0)-T (x—x 0 ) xo Jjx xolÍ -. -. T — es llamada la diferencial de F en x0 xo. Joiaci6n: 'x0)= d F(x-x T(xxo. VQ,u1ÁícL6n: 1.7.3-. Sí F es diferenciable en x0defininios el gradien. te de F en xO como: 9F VF(xo)( (xO), dxl Ob. v acío n. 9F. xii. ,. .. .. .. (xo)) n. -9—. 2X. a. &t de6ínící 6n de V g'ncÁíabL7ídad 1. 1 2. .. F es djferenciable en x0 si F(x)-F(x0)-T xo Jx-xo 1 X->XO. (X—xO). -. lito. =0. Si escribimos: X—Xo= Y. Jx-xo =1. se puede. escribir;. F(x0+Y)-F(x0)--T (Y) lito Y-0. =0. JIII. O tambin: F(x0+Y)=F(x0)+T ()+111 xii. R (x0 ,Y) (*). donde lito R (x0,Y)= O 1 Ií J‹y y y-j 1 F(x0+Y)-F(xo)-T (Y) xii R1(xo,Y)=. IlH Para x0 fijo R(x o ,Y) toma valores reales. A la expresi6n (*) se le conoce como la fowa de Taylor de ler. orden..

(8) Popoe6vi 1.1.2.. Si F es diferenciable en. (x0. Vo4Lac6n:. X0. entonces. =T (Y) X. Del hecho de que F es diferenciable en x 0 significa. que:. F(x)—F(xo)—T (X—X) xo. UM. =. XX0 11. si escribimos: x=+tY. x—x0= tY. Si x--x0<=> IIx—xo11+0<=>1ItYIHO<=>t. +. Así, la expresión- (1) la podemos escribir corno: F(xo+tY)—F(x0)—T (tY) Xc,. hm. — 0. t. t->O. Por lahinealidad de T tenemos: x. 1 ím t--O. F(x o+tY)—F(xc,)—t T Xc, (Y) =0 t. F(xc, +ty)—F(xo) hm. t T (Y) hm. t. • F(xc,+tY)—F(xc,). — O. T (Y)= O XO. es decir -. hin t+O. F(x0 + tY)—F(x 0 ). =•. t. O sea que: DF -. (xc,)= T. XO. (Y). T. xo. (Y). o.

(9) 0b,6eJwac.i6rt 1.1.3.. Como. IF -. (x)= T X0. ()=. T() XO. Sí F es diferenciable en x0 entonces. P!LOpOicÁi6n 11.2. T (Y)= VF(x0).Y xc. Si Y=(Y1, Y2), ... Y ) n. T(Y)= T(Y XO. í-. i=lYi. n E Y. 1)4. 1. -. .) =. 1 T(Y.)=.T B1Y. ()VF()Y. De aquí en adelante. Vcí6n:. Si F es diferenciable en x0 y VF(x0)=O. x 0 es llamado punto crítico o Singularidad de F 1.1.4. F toma un valor m áximo . absoluto en x0 si. V XCD 1.1.5. F(x)<F(x0 ). F toma un valor mínimo absoluto en x0 si. F(x)> F(x0). Y XCD. 1.1.6 F(x0) es llamado máximo relativo o mínimo relativo si existe. V(x0) vecindad de x0. VxC. y(X). F(x)<F(x0). o. F(x)> F(x0) respectivamente.. 1.1.7 Sea F díferenciable en x0, xa punto crítico F tiene un punto de inflexin(punto silla).

(10) En x0 si. V. (x0 ) vecindad de x0 existen xc V (x0 ). tal que F(x)< F(x0 ) y también existen X T cV (x0 ) tal que F(x t )> P(x0 ).. Obe'tvcicÁ16n 1.1.4.. TQO/t€flwt. 1.1.1.. A un m á ximo o mínimo se le llama valor extremo.. ->R cliferenciable. Supongamos que F toma un Sea F:R". valor extremo en un punto0x0 del interior de su dominio, entonces. VF(x0 ). =. O. Vrno4tuIeí6n:. Supongamos que F tiene m1níjno local en X. entonces jYcRIfYIl =1 existe C>0 tal que -c< t<c F(x0)< F(x0+tY) y para O<t<c. F(x+tY)- F(x). t. ~O y. F(x-tY)-.-F(x0) >0. y como. (x0 )= \7F(x0 )Y 0< lun F(x+tY)-F(x.D ). adems. o =. -. <hm F(x-tY)-P(x0). t. -. -. VF(x0)Y. VF(x0 )(-Y). VF(X0) Y. Podemos concluir que VF(x0)(Y)=0 y como Y es arbitrario. > VF(xo)=0. La demostraei&n para el máximo es aná loga.. Obac.cíán. 1.1.5.. Si F es c3iferencjable en x0 uu valor extremo es un punto critico..

(11) Veruos que si F es dífernciable en x0 y x0 es un punto crítico, la naturaleza del punto crítico estará determinada por el signo de F(x)-F(x0) para xcV(x0).. Ob'ctc.J6n 1.1.6.. El signo de F(x)-F(x0)= signo de R1(x0 , Y) si x0. es punto crítico.. Vejno,'iízc,64:. Si tomamos xx0 +Y de la observación a la definición. tenemos:. F(xo+Y)-F(xo)=VF(xo)Y+IYIR1(xo, Y) donde hm R (x0, Y)=O Y-o 1 como x0 es punto crítico VF(x0)=0 F(x0+Y)_F(x0)=I II R1(x0, Y) es decir F(x0+Y)-F(x0) tiene el signo de R1 (x0,Y) '(x0+Y)-F(x0)4F(x0)Y ya que R1(x0,Y)-. I]H pero veamos otras expresiones para R 1(x0 , Y). Wo.to.cí6vi:. D.F(x)=. (x). Bn (x,)= {xeRj 1 lxx0 I<. ~bola abierta de radio n.. Tw/Lenic 1 .1 .2. (Teo'trna de Tayoit. de. 2do. O'ide.n pa.nLa cwpo4 e,5caívz).. Sea F: R*R con D F continuas en B (x0) YcRn tal que x(x0 +Y)(x0 ) se tiene (A) F(x)-F(x0)=VF(x0 )Y +Y H(x0 Y)Yt o<c<1 entonces.

(12) O tanibin: F(x)-F(x0 )F(x0 )Y+. Y H(x0)Yt+J} YJ} 2. R2(x0 , Y). donde hm R (x° y~O 2. VnoicÁíói. ,. \ .2. Y)= O. a. LWIq a ;kMbE7A. Consideremos Y fijo y definimos:. g(u)= F(x0 +uY). -1<u<1. g(l) F(x0 + Y) g(0) F(x0 ) F(x0 +Y)-F(x0)= g(1)-g(0). -. como g: RR aplicando el Teorema de Taylor de segundo orden en. g(x)= g(0)±gt(0)+. u. g''(C)(x-O)2 para O<C<1. g(1)= g(0) + g, (0)+ g(1)-g(0)= g , (0)4. gt T (C) (1_O)2 g t (C). Así F(x)-F(x0 )=g(1)-g(0)=g' (0)+. para O<C<1. 911(C) (*). Si escribirnos: r(u)= xo±uY rir Y. r(0)=x0. Por la regla de la cadena g(u)rr. F(r(u)). g 1 (u)= F T (r(u))r'(u)= VF(r(u))r t (u)=VF(r(u))Y g!(0)=F(x)y (1) del hecho g'(u)F(r(u)) Y. 1D.F(r(u))Y. n n g tt(u)= D(. DF(r(u))Y) Y 1=1 i j=l j J D F(r(u)) Y Y= Y H(r(u))Y (u)= 1 i ,j=1 ij y corno r(u)= x0+uY r(C)= x0-l-CY. t.

(13) y)yt. g'' (C)(x0. (2). sustituyendo (1) y (2) en ()tenemos: F(x0 +Y)-F( )=g' (0)+ í gi! (C). O(C<. Ç7F(x0 )Y+YH(x0 + cy)yt y obtenemos (A) Si definimos: 2. y. Y (H (yo' +CY) ~H (x0 Y. (70 Y). 11 Y1 1. 0) =O. 11 Y1 1. 2. (xo. Y)=. 4. H(xo+cy)yt_ 1 Y H (yo )Yr> 2. Y H(Y)Y'=1. Y1 1. (XO. y)+. Y H( )yt. y 'sustituyendo esta expresión en el resultado (A). H(xo )Yt+llY]l 2R (,Y) 2. ( xo salo falta probar que:. Hm R2(x0. ,. Y)=O. y como Y(H (yo +CY)-H(x0. Ji Y1 1 2 R(x0 , Y). HYHf 2 n -. R2(. IT. ))yt YO. [D.F(x0+CY)_DF(x. Ll. n. 2 i=1 j=1. D. F(x0+CY)-D 1J. F(x) F (70 ) 1111 1:1 :1. 2. Y.Y. 1.

(14) Es decir: fl. 1. 1R. fl. 2(x0, Y) -. i=1 j=1. D. F(x +CY)-D.ijF(x ) 0 o 1:3. Para YO y como cada D. .F es continua en x =>lim D. ..F(x +CY)D. F(x ) o jj 1:3 0 1] o. 0bkvac,L6yt. 1.1.7.. Como F(x +Y)F(x )VF(x )Y+. -. YH(x )Yt+I IYI 2R2(x )Y). 2 Para Y muy pequefio R2(x0,Y)-*O o m ás r ápido que I1I 1 __O-cuando Y-a-O. i.i.g.. ij= 1,2,. )-(. n se le llama. Hessian de F en x0.. VncL6n. 1.1.9.. Si la matriz de Hessian es invertible en x, x0 punto. critico a x0 le llamaremos punto crítico no degenerado.. Va;íeí6n 1.7.10.. Si la matriz de Hessian no es invertible en x punto. critico, a x le llamaremos punto critico degenerado.. Popo&.1e6ii 1.1.3.. Q(Y)=YAY. t. n =. Sea A=(a..) matriz n x n real simtrica. y sea 13. n. a Y.Y. entonces: ilj=4 :Lj 13 Q(Y) >OYO<==>todos los eigenvalores de A son positivos Q(Y) <OYO<>todos los eigenvalores de A son negativos. VJnoiac4í6n: Vag W.. Twitrncz. 1.1.3.. (o. de la. Sea F:R - R con segundas derivadas parciales D..F conti-. nuas en B(x0 ); sea H(x0 ) la matriz de Hessian un punto crítico Y, entonces:. a) Si todos los eigenvalores de H(. ) son positivos, F tiene un mínimo.

(15) relativo en x0.. b) Si todos los eígenvalores de H(x0) son negativos, F tiene un mxi mo relativo de x0.. c)Sí los eigenvalores de H(x 0) son positivos y negativos, F tiene un punto de inflexión en x0.. Viotacon:. t Sea Q(Y)=Y R(x0)Y la formula de Taylor nos da:. F(x0+Y)-F(x0)= --. donde x0+YB (x0) y hm R2(x0,Y)O.. Q()1I. I 2R2(xo,Y). Probaremos que existe r tal que si. el signode F(x0+Y)-F(x0 ) es el mismo de Q(Y). i O<HYH< r Supongamos que X1, Á. '. 1 eigenvalores de H(x0) son positivos.. Sea h el m ás peque-7o, si m<h. 11-rn, 12-m,. ...,. X-m son t ambi é n posi-. tivos y oneigeILalores de R(x0)-ml donde 1 es la matriz identidad.. Por la observaci6n anterior la forma cuadrática Y[H(xo)_utljYt es definida positiva.. Es decir:. Y[H(x0) -m. Y t> o. Yo. il adem ás Y ll( )yt>y (ml)Yt= x0. m11Yll2 ! m<h. Q(Y)>. YO y como hm R2(x0 , Y)0 Y->0. tomando m= h tenemos:. entonces existe r tal que ta Y tenemos:. hLYH2. R 2 (x0 , Y). 4. h con tal que O<IlYII<r y para es.

(16) 1yH 2 R2(x,y)l4h1IyH 2l Q(Y). y la fórmula de Taylor. F(xo + Y)-F(xo )=. Q(Y)+ H 1 2 R2(xo, Y). F(x+ Y)-F(x ». Q(Y)Y]. demuestra que: 2 R. 2(x, Y)>0. Así, F tiene un mínimo relativo en xo fin de la parte a).. Para demostrar b) basta con aplicar el argumento anterior a -F.. Para demostrar )sean X, X2 eigenvalores de H(x0)de signos opuestos, y sea 1i= min.{1k11. P21}. entonces, para cada valor m tal que -h<in<h. los nimeros X1-m y X2-m, son eigenvalores de signos opuestos de la matriz:. H(x0)-ml así, si mc(-h,h) la forma cuadrgtica Y[Wxo)_rnljYt toma valores positivos y negativos en toda vecindad de YO Elijamos r>O tal que JR2(XO , Y)J< 4- h siempre que 0< jJYjj<r. vemos que para esta Y, el signo de F(x0+Y)-F(x0) es el mismo que de Q(Y) y como cuando Y~O se presentan valores positivos y negativos, entonces F tiene en x0 un punto de inf1exin.. -.

(17) -. PUfrOS CR1TICOS DEGENERADOS.. En la expresí6n: F(x0+ Y)-F(x0)VF(x0)Y+. Q(Y)+J jY. 2 R 2 (X D , Y) (1). H(x0 )= (D . .F(x0 )). ij 1,J DF(x0)=. i,j1,2,.. (x0). usaremos la notaci6n: xo. F(x) F(x0). d F(x)=VF(x0)x (x, x1 + xo x H(x0)xt. .+ xn 9x )' F x0 n. (. ...'rX. ax xo n. en general d. F(x)= xo. a. +. •. •. a. x. ti. (k, k2, F(x)=k1 +k2+. .k =k XO n. n. k1 k2 k x' x2 n. kn Ti. (a1 , a2.. .a ) ti k. ti. donde x (x. X2. x0 =(a1 , a2. n a) ti. k 12 ...k. k,. k1 k2 ...k.

(18) x= x0+ Y--->Y= x-x0. Así la expresión (1) se puede escribir con. F(x)d° F(x)+ d F(x_x0)+ d 2 F(x-xo)+I Ix_x [ 2R2(x 0,Y) xo xo xo por ejemplo para F:R2-*R d. o ,x O. x=(x,Y). x0 (x0 ,Y). F(x 0,Y)F(x0, ). dF(x,Y)= (x ----+Y xo ax 9y x 0 d 2 F(x,Y)= (x xo. dkF(XY)= Cx. +Y. a+. TWterncL de. Tajo't 1.2.1.. =. x. -. (x G,Y Ú)+Y. (x 0,Y 0). 3 0) (x0,Y0)+2xY ..ax2Fay(X o Y o)+Y 2 2 F(xo,Y y2. )2 P=. a)k F= ()xjYk_J Y X j=o. Sea. --. akF. (x 0,Y 0) 0+Yx. con todas las derivadas hasta de. orden n continuas en una vecindad de x 0; sea x0+YEV(x 0)Y T (x-x 0)=F(x 0)+d 2 F(-x 0)+. d F(x-x 0)+. 4- 1 d'F(x-x 0). La expresi6n de Taylor de N-simogrado alrededor de x 0 Entonces: hm x->xo. V1o'LaoJ6rL.. n. x—x o l. (u&ze. Jo.. de. Za bbog€a).. Vneí6vt 1.2.1.. K. Vene-.c6ii 1.2.2.. Una funci6n g:K--R se llama homogénea de grado F si. g(tx)=. t g(x) / tR. R es un cono si. Y xK para algún P fija.. 7. y tCR entonces tXEK..

(19) Veiín: S e a 1.2.3.. g homog énea.. Decimos que es definida positiva sixO xCK g(x)>O. .2.4. Decimos que es definida negativa si -g(x) es definida positiva.. 1.2.5. Es no definida si no es positiva ni negativa.. 1.2.6. Es sernidefinida positiva SÍV C K g(x)_ ›o 1.2.7. Es seinidefinida negativa si -g(x) es semidefínida positiva.. 1.2.8. Es no semidefinida si existen x,YEKg(x)>O y g(Y)<O.. 3. 2. xo. F(x),...d. k F(x), xo. vemos que son ejemplos de funciones homogéneas. dk. k k k .k n) (tx1) 1 (tx2 ) 1 2". ¡. F(tx)=. k1 +k2+. .±k =k .. .. ..(tx ) n. k k k n tl.t2...t 1, a a)Y( k k (a 2" n k1 ...k) n n -. k (x1k1x k2...x n) 2 n. xo. d xc. 2kF 2x. k. F(tx)= t k Jk1..k. F(tx) = t k d. Vtc26z 1.2.9.. xc. ..2x. X1. k 11 (a. k1 ... 1 .. .a). k (a 1 2x1 1...2xn '. .. .. a ) n. F(x).. Sea KR cono y E>O, la c- c6nica vecindad. K(E) se define por el cono generado por la c- vecindad en S de KflS donde S es. la esfera unitaria en R..

(20) Obóeici6vi 1.2.2. En el Teorema de Taylor tenemos:. 1 ím F(x) -T (x-x0) X-X. j. -o. donde x. , si tomamos x0=O, tenemos: Y€R' F(x) -T (x) hm x-)-O. y en T (x)=F(x0)+ ti. dF(x)+. -. n 1 F(x) d F(x)=F(x0)+ F(x)+ ...... d n x0 xÜ k=1 k. x 0. 1 k d F(x)= [F1 (x) xo el limite anterior se puede escribir en forma equivalente como:. Ño,tae6n:. -. Al termino. F(x)= F(x0)+ kl k. Rfl(. donde hm R (x)= O fl. x_->_ O. A Fk(x) le llamamos la k-sima foLlila de Taylor.. Sean IF, (F, [F. denotaran la lera., 2da. y 3ra. forma de Taylor que no se anula en un punto critico x0. Claramente 2pst y s t puecTn no. t. existir.. Vincíón. 1.2.10.. k= {xE R1 F(x)=O}. i= p,s,t. usaremos las formas de Taylor . EFi para desarrollar un procedimiento para clasificar puntos críticos de F.. Obac6ri. 1.2.3.. En las siguientes proposiciones y corolarios supon-. dremos que F:R'-R con derivadas parciales hasta de orden N continuas, x0 pun to critico..

(21) Si IP es no. Popoc6n 1.2.1.. ndmndct, entonces XO es un pun-. to silla de F. Supondremos que. x0 0 y. F(x 0 )=O. y G=B(0). (x)+ x1. R (x) p. Vjnoací6n:. por el Teorema de Taylor. IP p. ) DFE L. donde. YRJ :t RA1JZ. lii R. (x) =O. x-+u p sea. IF (h)O como lun R (x)=O=—xiste c>O P x*O P. 1. tal que para 0<t<6hjP IR (th)< 1 tF (h)J p 2 p. Ademas, corno F(x). IP (x)+¡x p F(th)= ll. =. t. p. R (x) entonces. p. (th)±jr1i. R (th) p. fF()~ tPJhjP R(th). tP ÍrF(h)+IhjP R(th)J. Así, F(th) tiene el signo de IF(h) si O<t< y. como F tiene valores positivos y negativos. =>F tiene un punto silla en x0.. Pwp06.c6ri 1 .2.2.. mínimo local de F.. Si IP es d. it.ida poLtva, entonces X. es un. Si (p es den'da necuJa, entonces. local de F. V emOsJJtac4í6:. Supondremos que x =0 0. F(x )=0. es un máximo. .LL.

(22) como IF es definida positiva y cont inua en R y además la esfera unita n. ría en R es compacta tenemos que m>O.. Por la homogenidad de IF(x) tenemos. FI? (tx) = t IF (x) p p x) lxi. YlF. (x) p. es decir:. II? (x)=x] P rF (. p. y como. X. x. p. está en la esfera unitaria. lx así: (1). x. JF(x)>mixJ. adem á s como. lira R (x)=O p. x-o. existe. >O tal que IR(x)l<. Así:. -. 2. m< R p (x)<. ]j. m para O<lxj<. =>-. mjxi<ixi R(x). como p. (x)+[x. R (x) p. (2). para O<lxi<5 usando (1) y (2) tenemos: 1 F(x;>mJXlp. mlxi. p. >0. es decir que O es un mínimo local de F.. Para demostrar la segunda parte basta sustituir -F por F y aplicar la primera parte y entonces 0 es un m áximo de F dado que 0 es un m ínimo para -F..

(23) Ptopo&íc6n 1 .2.3. Supongamos que IF es no d4íniida po.sLtcíva, y supongamos que K. a.). dí;iíxla poU1ua pero. S. Si fP es no semidefínida o semidefinida negativa en K entonces x0 es un punto silla de F.. Si tE. s. es definida positiva en K entonces x0 es mínimo de F. p Suponemos x 0 =0. F(x 0 )=O. Vjnoi.t&ac6n: a) PnmeLa paJt.t.- Suponemos que 11'. es semidefinida posí. tiva, es decir, F(x)>O pero no estrictamente positiva ya que si. xO. tF(x)>O V x R. K{XERI. F(X)rO} = {O1 y entonces KcK Así que f,no es estrictamente positiva. fl' (x)O. y. p. p para xEKflG donde G es vecindad. de. O. F(x)=. R (x) S. ya que si xK IF (x)0 donde lina R (x)=O y como IF (x) es no semidefínida S S P P por la proposición (1) aplicada a IF(x) O es un punto silla.. Voac6n: a)Seganda pat.-. K como F(x)= p. Si IF es semidefinida negativa sobre. (x)±xj5 R (x) donde lina R (x)=O. s S s X-?-O. '. Por el argumento de la proposící6n (1) tenemos que:.

(24) 1-11 tk1 tal que UF (th)<O 5 p. Y DO. F(tl )<O si O<t<:S. Adem ás:. V. (x)>O. Por el mismo ai- u,7 ,. 1. F(x)= IF p (x)41 XI P R (x) p. podemos encontrar:. h2 Ek. c. Y. p. 2>0. S' O< t< 2. Sea S. n. = {. tal que F(th2 )~>0. O es un punto de 1nf1exí6n de E.. x¡. claramente. <1. m= Inf.{EF(x)I. kS}. r>O. Para xkñ S por la homogenidad de EF. Es decir:. Ji. 5. (tx). t5 EF (x) s. tenemos EF (1 S. x)= (. 1. UF (x) s. de donde [F (x) 5. (ya que si. íFs(T x). S. ¡xi JF ( 'x)como. S 1 1. mr= no es el. mf.. x ti -E S 1 ]. F. (1. S. 3. ]x. y Fsto contradice nuestra supo-. sición). Así:. 1F5(x)1x]. S. EF( 1 x)> mjxj. S. xekfl S'. (1).

(25) Ademas, como tF es definida positiva en c= .[ k flSn11) fo}. •. Por el argumento de la proposición (2) existe. F(x)>0. si O<Ixl<. y xcAC sea R (x) < S 1. -. Asi. -. así para. -. nxR(x)<. y. 1. 1 -. --. mi XI. --m si O <lxl< s. R(x)jxf. s. (2). Olx<51 usando (1) y (2) tenemos: s 1 s 1 F(x)> F (x)+'xi S R (x)3 >-m1x1 s- -- mjxi -mixl >0 s -. F (x» O x kfl S. y F (x)> O Y x çc. es decir F(x0. •. Ob4QJLuaci6i'l 1.2.3.. -.. x0< ¡xj. min{.. O es un mínimo local de F.. Si seguimos el razonamiento de la proposición. 1.2.3. a) y hubiésemos tomado fF semidefinida negativa pero no definida negativa y kk; F. S.. no semidefinida, llegaríamos al mismo resultado.. Cwtoivo 1.2.1.. Si FF es semidefinida negativa pero no definida. negativa y kçk; rF es no semidefinida, entonces O es un punto silla.. Ob4uaCÁí6n 1.2.4.. En la demostraci6n de la proposici6n 1.2.3. a). sí tomamos IP semidefinida negativa pero no definida negativa,. y. S.. semidefinida positiva, tendríamos , F(th)>0 y P(th2)<0 0<t<62 h2kC 0<t<. hk. y también 0 sería punto de inflexín..

(26) Si IF es semidefinida negativa, k4k y TF semi5 definida positiva en k, entonces O es punto de inflexión. Cow&VtZo 1.2.2.. Obtejtvcwí6n ).2.5. En la proposición 1.2.3. b) con. si para F. 0, SF>0, O es un mínimo.. y fE. Significa que para -F F0 y F 1 O. Cooaío 1.2.3. gatíva y kk. O es un rnxirno.. Si EF es sernidefinida negativa, pero no definida ne. y fE es definida negativa en k-.,, entónces O es un máximo. local de F.. Si. en k son seinídefinidos positivos pero no definidos positi-. vos; veamos el comportamiento de EF(x) en k y podremos establecer proposiciones semejantes.. El caso que falta por investigar: kcLk con EF semidefinida positiva pero no definida positiva. Aquí no podernos establecer las mismas conclusiones como veremos en los siguientes ejemplos:. EJEMPLO 1.2.1.. 2 2 2 2 Sea F(x,)= x -3xy + 2y f = (x-y )(x-2y ). es punto crítico.. Aquí,. si. x > 22. *X >-y2. ==->F(x,y) >0. x-2y20> y x-y>O si x. 2. 2. y => x < 2 y ==>F(x,y) >0 0 <0 y x-2y2 y2<. <. si. y2< x. <. x-.y 2>O 20=F(x,y) <0 xy2-> x-2y<. Así (0,0) es punto silla de F.. Claramente (0,0).

(27) Aquí: 1F2 (x)= x 2. k2 {(x,y) x0}. TF3(x)" -3xy2. k3. t (x)= 2y'. k2ck3. (x,y)x'O o Y=O}. {(x,y)yO}. k. EF2 es semidefínida positiva y. (0,0) es punto silla de F.. EJEI1PLO 1.2.2.. Sea F(x,y)= x2- 2xy2+ 2y. (x,y2)2+ y. Claramente. (0,0) es un punto crítico.. Si: X. >. y2- x-y2>0 =->(x-y2)2>0. >F(x,y)>0. y2—> xy2<O ==>(x,y2)2 >0 ==>F(x,y)>0. x = y2 => x-y2=0 ===>(x,y2)= O ==>F(x,y)O. Aquí: IF 2 (X)= x2. k2=. {(x,y)xz0}. EF3(x) -2xy2. k3. {(x,y)IxO o yQ}. IPi(x)= 2y4. k= {(x,y)yO}. k2 k3. [1? es semidefinida positiva y 2. (0,0) es un mínimo de F.. Además en el caso en el que todas las formas de orden mayor que P se anulen en k, no podemos dar criterios.. Así:.

(28) EJEMPLO 1.2.3. F(x,y)= x2- xy2 x(x-y2) sí x > y2 => x-y2>0 ==> F(x,y)>O. si 0< x<y2 x>O y x-y2< O. =>. F(x,y)<O. si. yO ===>F(x,y)<O. x < 0=> x<y2. (0,0) es un punto silla de F.. Aquí:. 1'2 (X) = x2. K2 {(x,y). 1F 3 (x)= xy2. k3 = {(x,y)] x0 o Y=O}. EF[. O. IF.E O. >4. 1. ÍF. se anula en k2. K2 C- K 3. EJEMPLO 1.2.4. -. í Sea. x0}. 1/. 2. x 2 -x2 y +. (x, y). F(x,y). si 2. x2 - x2 y+ e. 2. = x2 (1-y)± e. O. (x, y) = O.

(29) L10TE C r B Ir E / LSMER. YATUi. 1*. RARA #i GRA~1A. Sí y<l. 1-y>0. si x= O. F(x,y)>O. Si y<l. 1-y>0. si x. F(x,y)>O y. O. (0,0) es un rnnimo de F. aquí IF2 (x) = x2. 'F3 (x). -x2 y. -'-. k2. --. k3= {(x,y)xO ó Y=O}. k2. {(x,y)lx=O}. k3.

(30) -. 25. CAPITULO II. 1. CLASIF1CACION VE FUNCIONES EN PUNTOS REGULARES. (DEFINICIONES Y EJEMPLOS) Como en el caso de funciones F:RrR podemos definir la derivada de F n un punto respecto a un vector para funciones F:RT,Rm así:. Vívíe-L6n. p +tV0A. 2.1.1.. Sea F: R°--R111, AR abierto y pEA VC R. tal que. tER definimos la derivada de Y en p respecto a V como:. V- F(p)= hm F(p+tV)-.F(p) donde este Imite exista. t. tO. La misma ohservaci6n para el caso F: R0--R. ObeiwaciL6rt. 2.1.1.. F(p): R'-R. es lineal.. es una base para R1. Si. Fx.(p)=. (p)= Ve.F(p) 1. de hecho si u y. )= n. i=lii. tenemos. n VF(p)= . 1V.. V;vcaon;. 2.1.2.. DF. (p). n m Sea F R -±R o. F es de clase C si F es contfnua en todo su dominio.. 2.1.3. F es de clase C' rN si tiene derivadas parciales hasta de orden <r y gstas son contínuas..

(31) -. 2.1.4.. Pa,a. 26. -. F es de clase C si F es Cr. wiCOn€4. n. rN. n. 4: R - R. 2.1.5.. 4) es homeornorfísmo SÍ 4) y 4)' son continuas.. 2.1.6.. 4) es difeomorfisrno si 4) y. son diferenciables.. es difeomorfismo de clase C sí tanto 4) como. son de cia-. se C. Pn.Lc6n 2.1.. Sean F,g:. r decimos que g es Crequi de clase Cr tal que. de clase. valente a F si existen difeomorfismos. 4),14J. F(x)=r ('Y o g o es decir si el siguiente diagrama es conmutativo n R. rn +R. (E 04)) (X) =Q o g)(x). R1' gm. t1o.tw.í6n.. Si g es C' -equivalente a F, diremos que F y g son C' -equiva. lentes.. Ejemplo 2.1.1.. F(x)= x3. g(x)= x. E y g son C°-equivalentes pero no C'-equivalentes.. Si definimos (x)= x. p(y)= y como 4) y sus inversas son contTnuas. 4) no es derivable en O pero tanto (fo 4))(x)=. (34)3=. x as. (4) óg)(x)= x. =. x. (F o 4))(x)=r(4) o g)(x)..

(32) -. 27. -. Para ver que no son C'-equivalente, supongamos que existan cfi y. C'-difeomor.fas. i. (F o. (x)= (. o g) (X). F((x))= ip(g(x)). F'((x)).. 1. (x). (g(x))g'(x) Sea :. (0). F1(0)4'(x o)=Ji'(g(x o)). g'(x0). pero F'(0)=O y g'(x o)l. y como. '(Y)J O. yE R (condici6n para que exista. j). Es decir que F1 (0)- (x0)=D y. i 1(g(x0)) g'(x o) O. y por lo tanto E' y g no son C'-equivalentes.. Ejemplo 2.1.2. F(x)=x2. g(x)=x. demostremos que no son C°-equivalentes. Supongamos que son C°-equivalentes -1. entonces (E' o )(x)= (g(x)) es decir F(x)=. (ip. ogo)(x),. 1(x) es siempre. es siempre creciente o decre-. creciente o decreciente entonces Cg o ciente dado que g(x)=x y si aplicamos ip(g o. x)) será siempre creciente o. cedreciente pero E' no es as. Así F no es CO-equivalente a g.. Ejemplo 2.1.3. F(x,y)=(x,y2). g(x,y)=(x-y-(x+y)2, 2(x-y)+(x+y)2).

(33) -. CO. F es C. 28. -. equivalente a g.. Si definimos (x,y)=(x-y, x+y). (x,y)(L(x+y),. ±' (y-2x). (Fo)(x,y)= F(c(x))(xy),(x+y)2)=r(x_y, x2+2xy+y2) (y, og)(x,y)=(. .. (x-y(x+y)2+ 2(x-y)+(x+y)2),. (x-y), x2+2xy+y2). as. (2(x-y)+(x± y)2-2(y(x±y)2 x ). !. (Pc()(x)=pog)(x). Nos interesa el comportamiento local de una func16n en una vecindad de un punto, es natural identificar a todas las funciones que coincidan con F en una vecindad de un punto x0 con una-sola función, así:. -. Vovi. 2.1.9. Para una funcin F de clase C, x0 RT'. El germen de F. en x0 denotado por. (x0)'{g(x) de clase éO01 F(x)g(x). as. xEV(x0)}. diremos que F y g son geLuien-equivalentes en. Si F(x)g(x). Obuac6n. xgV(x0). 2.1.2.. Claramente el germen de F en xo es una clase de equi. valencia para F E Cco. No.taccí6rt:. (x)= (F,x,y). Ob'wae-6n. 2.1.3.. -. El valor del germen es bien definido ya que si F y g. son germen equivalentes entonces F(x0)= g(x0) la composición entre funciones la podemos usar para definir?.

(34) -. VmncLn 2.1.10. 29. -. La composici6n entre germenes. (g,y,z) o (F,x,y)=(goF, x,z). Así ya que tenemos el Conjunto de funciones c°. dividido en clases de. equivalencia podemos definir equivalencia entre germenes:. Ve;i.cn 2.l.11.(F1,xj:,vj)y (F2,x,y2) son Cm-equivalentes. Si existen germenes (,x 15 x2) y (qi 3 y13 y2) de difeomorfísmos C tal que (F2, x2 y )=(ioF1 o4 1. ,. Y2 ). es decir que el siguiente diagrama es conmutativo:. X, X2. (F, ,x, ,y7). (,x1 ,x2) +. >Y, Y2 +. 1 ,x1 ,y]) X,x1 ( F. (F201x1 ,)2PO1'Y2). oac,.ón:. (F, 0,y0)Z(g, 1 ,y1 ) 3iZnifica F e5. 0D. equívelente en xo a. g en x1 otra forma de escribir esto es;. Sean F, g: R_> Rm y X1,X2CRnl, decimos que el germen de F en x2 es C -equivalente al germen de g en x J., si existen vecindades U1 de x, U2 de. +. :U-- 1U, ij:VV2 X2, V1 de g(x1) y V2 de F(x2)y germenes de dífeomorfismo e tal que g(U1 )V1 y F(U2).V21 (x1 )r x2 y (Fo)l =(og) ,,es decir (Po)(x)=(og)(x). xU1 , o se, que el siguiente 1 diagrama1 es conmutativo. F Y d,(x 1 ) x2 U. l. g>. 1. (F20>, x1,y2)(o1UU,x1,y2).

(35) 30. -. Ob'uac6n 2.1.4.. —. Se sigue de la definicín que (F1,xiy1)y (F2,x 2,y2) cO. 00. son C _equivalentes<>Fi y Fz son C -equivalentes en alguna vecindad de xl -Y X.. EJEMPLO; 2. 1.4. g(x)= 2x2-x4 =x2(2-x2). F(x)= x 2. F y g no son C -equivalentes en todo R pero F en O es C-equivaiente a g en 0.. -1<x<l. Definirnos (x) x ' 'y (Y)= y. Claramente (x) y (y) son de clase C adems -1. (x)=. 2 + 4-4x2 2. CO. -l<x<1 es C. (FO)(x)= F((x)) (x). 2. =. x 2 (2-x2 ). es decir F(x)Ogo)(x). (3og)(x)= x2 (2-x2 ) para -l<x<l. As (F, 0, 0): (g, 0, 0). EJEMPLO 2.1.5. Para una funcin F:RlRcO de clase C. en su dominio y. F(x0)=yconsideremos (F,x 0,y0) y (g,O,O) donde g(x)=F(x + x 0 )-F(x 0 ). 00 Por la expresin de g(x) es claramente C.. y ip(y)=y±F(x 0 ) que tambien son C 00y veamos. Definimos (x)=x + que. F(x)ogo) (x) _1. cl (x. =. x-xD. g((x))r F(-x 0 + x 0 )-F(x 0 )=F(x)-F(x 0 ) aplicando:. (g((x)) 00. ( xo. - equíval entes. así (F,x0 ,y0 ) y (g,0,O) son C"2 -equivalentes..

(36) -. EJEMPLO 2.1.6.. 31. -. g(x)x- x. F(x)x2. demostraremos que (F,o,o) y (g,1, -2/3) son Cco -equivalentes, si definimos gi(x) g(x-I-1)+ 2/3. gi(o)O. Por el ejemplo anterior (g, 1, -2/3) y (gi3O,O) son C-equivalentes m g(x). .(x±i)-(x+i)+ 2/3. g (x)=. 1. (x3±2x2+3x+1)-x-1+2/3. _x3+x2=x2( _x+1) 3 3. Sí definimos x. '. 1 x+l. y claramente i' es difeomorfismo de clase C. Tambien j es un difeomorfismode clase C definido de (-2,°) (-2 1/3,w) ya que 4 esta definida para x> -3 y '(x)>O si x>-2=>' existe y es de ciaseC (Fo)(x)= F(xx+1) x2(i/3x+i) (4og)(x)= x 2 ( 1 3. 4) y «O=0. As (FO,O) y (g,OO). son. C-equiva1entes. y como (g 0,0) es C-equiva1ente a (gi l, -2/3). (FO,O). y (g,1,-2/3) son C -equivalentes..

(37) -. 32. En los ejemplos anteriores áe d3"-equivalencia entre germenes, vemos que la expresión de F(x) es mas sencillas que la de g(x), es decir,que para una clase (x0) nos interesa trabajar con la expresión mas simple, que sea repre sentante de un g ermen determinado, a tales tipos de expresiones les llamaremos formas normales de germenes.. Sea función F:Rl~Rm. ,. en trminos de las funciones coorderLas. F(x)=(F1 (x), F2(x), ...,Fm(x)). recordemos que la diferencial de F en un punto b=(b1 ,b2,...,b) está dada por la transformación lineal dF(b): RlLRm representada por la matríz. 1 F. (b) A= ( \ x. - 1. VLncLákl 2.1.12. El rango de la diferencial dFb es el rango de la matriz A, y ademas que el mxiino valor que puede tener A es mn {n,m}. NoacÁi6vt:. Diremos que el rango de dF(b) es el rango de F en b.. VenLc6n 2. 1. 13.. Sea F: R+Rm si F tiene rango. máximo en b; diremos. que b es un punto regular para F. Si F no tiene rango mximo en b,-- diremos que b es un punto singular de F, o una singularidad de F en b.. Ob,uaeL6n. 2.1.5.. V&i.Lci6n 2.1.14.. Para F: R R un punto singular es un punto crítico.. Sea F: Rnl,Rm F tiene singularidad tipo. si el rango de F en b es mín {n,m} -k k es llamada la deficiencia de la singularidad.. 5k. en b.

(38) -. 33. -. ObsetLvacii6n 2.1.5. Un punto regular tiene deficiencia O. Recordemos además que para F: R->-R ti. 2F (x0)ZZ . . H(x0) . z= i=j=1 3x.x.. Z(Z1 ,Z7,.. .Z ) ti. 13. H(x0). X. X.. (xc). 1,j1,..n. Es llamado la matriz Hcssian de F en. DLnÁicL6fl. 2.1.15.. El nimero de eigenvalores negativos de la matriz es. el índice del punto crítico. Cuando hablemos de (F,x11 y2) podemos escribir F(x) en x1 entendiendo que la funci6n F es un representante (no necesariameri te la forma normal) de la clase (F,x1 ,y1).. PJwpoLc6n 2.1.1.. Si (F,x1 , y1) y (9,x2,y2) son cequivalentes. entoncesF es regular en x1 <=->g es regular en x2. Como (F,x1 ,y1) y (81 x2,y2) son C—equivalentes. -. germenes de n difeomorfisino de clase Ceo. cp;U2-U1. y. p;V2- - y1. con q(x2)x1 y tp(y2)=y1. tal que (F0)cD= (iog)(x). xU2. ELOTECA. derivando:. / L SAEk ilL r. HMd 'W. Y íwLES EIft)ç. ;kMbEzA. tomando xx2 F1 (x1 ) 1 (x 2 )= ip (g(x 2 ))g (X2). y como. 1(x2)O y ip'(g(x2)) O (ya que son difeomorfismos) > F es regular en. t. es regular en x2..

(39) -. 34. -. Antes de ver el teorema que nos caracteriza a las funciones en puntos regulares recordemos el teorema del Rango.. abiero 1 vecindad de a aEAR -, P de clase C tal que el rango de F (x)p TEOREMA DEL RANGO 2.1.1.. A. Sea F:A. p fijo. entonces. 1). Existe U A abierto y un difeaniorfismo de clase Cu: U -+1 n_ {Ix <i 1J 2).. 1-<-í-<n. co VcF(U) V abierto de b=F(a) y un difeoinorfismo de clase C. : 1= {Iyj<' iim} —> y tal que F(x)(v0F0u) (x) donde F. O. =. F :1 —>1 O. fl. iii. F(x,x,...,x)=(x,x,..., Véase el diagrama.. o,o,.. .0).

(40) -. Vcjno5acívi:. 35. -. Supongamos a= 06 R. y F(a)=OE Rm y que F'(x) tiene. rango p '/ xV(a). n. que Fm 3x1. que existe una subrnatriz pxp. tenga rango p significa. Fm n. su determinante es distinta de O y que cual-. quier submatrz cuadrada de tauao mayor que pxp tiene determinante igual a O.. Sabemos que permutando renglones y columnas de la matriz se puede llevar el bloque pxp de det. O en la esquina superior derecha, as podemos suponer. que x. DF x. ID. tiene det pO p. DF p--. n n Sea u: y(0) R -+R. definida por. u(x15 x2,. ..)x n )= (F (x),..., F (x).x p+j,,...,x ) n p para x(x1,x2, ... ,x). Entonces: que tiene det. U' (x)=. OxcV(0). Por el teorema de la funci6n inversa u es invertible en una vecindad de O. n Sed u 1. II R%-. R. la inversa de u. Si consideramos que. (y1 1 y2,. .. .. 1y )=u(x1 5 x2 , ..x)=(F (x),. . .. .F (x),x1,. ,x) -.

(41) -. 36. -. tenemos que Rr>R. I tiene la expresión:. (y1 ,y2,.. Fou '. Yn)=(Yi ,Y2, n. I. (Yi 'Y2 'Y3. •. así la diferencial de Fou' tiene la expresión. o. 'o o.. (Foti. 2y. 2q. m p+1. y como el rango de ésta matriz debe ser p, tenemos que. 2. O]. o. P+1 2y n. P+1 p+1. '-. o. 2dr. o o. 2. 2c. 2ii. 2y. J p+1. de donde concluimos que las funciones. o. n. +1»!+2. '". m. no dependen de las. variables y1,. .y .. Entonces podemos definir. y 1. V-. :R. ..X , X. \7 (o). 1,. .. x. por. )=(x1,x2,.. .,x. 1(x). ,x (x)) mm.

(42) -. la diferencial de v. 37. -. está dada por:. o. ÇL. Dv'(x)= 2 que tiene determinante O y por el teorema de la función inversa existe 1m R'1 que es difeomorfismo, y se puede obtener facilmente- el resuly: tado del teorema.. Tojna. 2.1.2.. entonces el ger. Si b es un punt.o regular de F:. men de F en b es analíticamente (topol6gicamente) equivalente a dFb el cual a su vez es equivalente a los mapeos lineales.. np. v=x. 1. n. VmokacL6n:. y =x 1 1. -. v=x. 1. 2. ... .-. 2'. y =x p. .yn=xn n+l=0..., y p=0 ,. .. Supongamos np; entonces - tenemos que el rango de F en b. es p. n n AcR Traduciendo el teorema del rango tenemos: bE R. VRp. Existen: U, V; p F(x)=(V(ó1)(x) donde F O (x ,x p ; xn )=(x 1 ,x 23 F(x) y F (x) sqn.equivalentes.. 1. .. .. .,x ) es decir p. -. •,"tfi' \..b. ;. vi. Ahora, por la expresión de F 0(x) lo podemos representar por la matriz 1. lo. _.-o_ Sea A=(a..) de rango p que representa a la diferencial de F en b por un resultado de a1ebra lineal. Tenernos que.

(43) -. 38. -. AZ E<-;>APBQ donde P,Q son regulares. es decir,tenemos: F0(x)=(V ODFO u )(x) 1. F0=B. donde u. m. 1. 11,v =P 1. >R'1 DF =A o. 1. 0. y V. son dífeouiorfismos representados 1. por las matrices Q, P regulares,es decir que F CO. y DF son C -equivalentes.. Así: liemos demostrado que F y F son C -equivalentes por el teorema CO son C-equivalentes por algebra lineal del rango y F DF. ... F y DF. son Cm-equivalentes cuando b es punto regular.. En el caso n<p,la demostracin es similar; aquí F (x ,x, ... x )=(x 1)X y la matriz que representa a F es de la forma: 1 1.. y el rango de F en b es mn {n,p}. =. y todo el desarrollo es semejante.. n.

(44) -. Popoiici6vi 2.1.2.. 39. Sea (F,O,O) y (g,O,O) C equivalentes entonces. sí O es una singularidad tipo S dad tipo S. -. de F, entonces g tambíen tiene singulari-. en O.. Corno (F,O,O) y(g,O,O) son Cequivalentes, existen genes de difeotnorfisrnos de clase C. q: U —>U 2 con (0)=O. y. 4:V -->V 2. tal que (F04) (x)(og) (x). xU. 2. derivando F'((x))1 (x)=' (g(x)g' (). tornando x0 F' (0) .'(0). (0) g, (0). y corno '(0) y » 1 (0) son difeornorfismos; est án representados por matrices no singulares, ilamrnoslcs Q 1 y P respectivamente. F'(0) está representada por una matriz de rango: mm {n,p} -k. llamrnosle A.. Y g' (0) está representada por una matriz B. Así A=P.B.Q donde P y Q son no-síngulareses decir.A y B son equivalentes, es decir que el rango de A= rango de B (vase nrnero & de la bibliogafa indicada. ); y esto significa que F y g tienen el mismo tipo de singularidad S. en O..

(45) -. 40. -. 2.- FORMAS CL!AVRATJCÁS Y CLASIFICACIONES VE F:R'-R EN PUNTOS CR1TICOS NO-DEGENERADOS.. P'wpoLcL6n 2.2.1.. Sea F:. V (0). R de clase C en una vecindad de. F(0)=0 entonces. y. n E x (x) F(x)= i:::1 íwi para algunas funciones g, de clase C definidas en y(0) con. g (0)=. (0) 1. Vo4í6i: Sea g(t)=F(tx). g(l)=F(x). g(0)=F(0)=O. derivando y usando la regla de la cadena 9 1 (t)=VF(tx).x ó en trminos de los componentes: DF. 9 1 (t)= (-(tx. 9F -Ctx 0x2. -;. gxn. (tx))(x1,x2,. .x ) rl. así. E x I). integrando. TI. g(l)-g CO) =f1 g1 (t)dt=) x. 1 ix.. (tx)dt 1=1 iflF a qX. F(x)-F(0)= E. definimos. (tx)dt g.(x)= 11F o qx y obtenemos. E x g (x) F(x)= i=l i i. fl. E f1 x !_(tx)dt. i=i0 ix.. 1.

(46) -. 41. -. Ptco6n 2.2.5. Sea F: R-> R con F(0)=O y O un punto crítico no. degenerado de F, entonces n a. (x)x.x. F(x)=.. xV(0). .. 1,3=1 13. 1 3. donde a. jx)=f'(1t) 92F (tx)dt gx qX 1J o 1 3 es decir. n. (f1(l t)F xixi. i,j=1. Sea. Veotitac5n:. F(t)=F(tx). tx)dt)x.x.. 1]. F' (t)=VF(tx) .x. F: R 4-R. F(1)=F(x). Ft'(t)=F"(tx).x.x. r (0) (0) =0 Aplicando el ToQma de. Tay1oJL a F alrededor de O con t=1 yx=O hasta wi orden 2, tenemos: F(1)F(0) 1/1 y como F(1)F(x). F(0)=0. t (0)1/2 Fi" (0)= (21)Tf(1-t) 2-1 F1 (t)-F' (0) dt. F'(0)=VF(0). •. FT T (0) -. i,J=1. (0)x.x 1. j. sustituyendo obtenemos: F(x)-1/2. i,31. DXX.. (0)X . X .- f'(1-t) 1 3. -t) =f 1(1 0. .. 92F. X. X. (tx)x. x. 13. (tx)x . x dt-f1 (1-t) :i j j i. a2F. X X. (0)x.x )dt 13. (0)x x dt i .1 ax.3x. 1 3.

(47) -. 42. -. Es decir:. F(x)-1/2E .2F (0)x.x. 1 ax.a:. 13. (f1 (1-t). 2F (tx)dt)x.x.-E i i. i,j1. 2F. (0)x.x.f' (1-t)dt 1 0. pero f1(1-t)dt= 1/2 o 9 2F (j 2(1-t) F (x) -1 / r 2Ev(0)x. x= .1 j i,j=1 ax.3x. ax.x. 13 1 3. ° (0)x.x. 1/2. E 1 3 i,j=lxx.. 1. de donde. i r. (P(1-t). SX.3X. (tx)dt)x x i j. es decir a. (x)x.x. • 1,J=l 13 1 3 .. Dado que una función en un punto critico no degenerado toma la forma anterior, veremos un procedimiento para poderla expresar como una suma de cuadrados o forma diagonalizada.. V1eícL6n 2.2.1.. Una forma cuadrgtica es un polinomio homogneo de. 2do. grado en las n variab1esx1 ,x2 ,...,x y siempre se puede representar COMO.. a .x.x. donde a.. LJ]. 1J 1 J. donde A=(á. .) es una rnatrz simtrica 1J F(x)= Xt(. 13. a -. 11. i,j=12. ...

(48) -. 43. -. Obvac6n 2..1. Estamos suponiendo que la matríz A que representa a la forma cuadrgtica, es simtríca,ya que dada una expresión de la forma xtBx, donde B no es símtrica, siempre es posible expresarla cono x.Ax donde Aes simétrica A= 1/2(B+Bt). Veo 'ue,c6n:. t t t Como x BxE R=->(x Bx). t. x Bx. (1). t t t ademas (x Bx). = x B x -. (2). Así: XtBx 1/2(xtBx)+ 1/2(xtBx) usando (1) 1/2(xtBx)+ l/2(xt Bx) t usando (2) =. l/2(xtBx) + 1/2(xtBtx) 1/2(x. =. 1/2(x t(B+Bt)x). =. x. = x. Y. Si. 1/2(B+B) x. tAx. claramente A es sinitrica. X-. k1 Tikyk. 1=1,2,. ..n es decir. donde x=(x,x,...x). y(y,y,...,y). 1 2. y T la matríz de transforinacin:. l 2. T=(t.k) i,k=1,2, .. . n. Sustituyendo en la expresi6n para x F(x)=x t. , ten emos:. F(x)= ytTtATy=yy= F(y) donde. t Á= TAT.

(49) 44. -. -. Esta fórmula expresa los coeficientes de A=(a.k) de la forma transformada en trmino de la matriz original. F(y). ikik. que es una forma equivalente de escribir a la forma cuadrgtica, ya que recordemos que A y B son congruentes si BPtAP, donde P es una matríz no singular.. En nuestro caso A y Z son congruentes porque 1= TtAT y T es no singular.. Vrc6n 2. 2.. 2.. El rango de la fojuia cuadrgtica es el rango de A.. Sea. n. n. E a. .x.x. i,j=l ij i j. .. i=1. n 2 + 2 E a .x .. veamos el procedimiento para diagonalizarla.. a). a. i. ,. i 1. .. 1<J=2. a. x.x.. ij i j. Consideremos dos casos:. es decir, no contiene trminos al cuadrado, y como F no. es identicaxaente cero, existirá algún a. =O a. .=O pero a. 11. 1J. JJ. Por simplicidad supongamos que a12 O y tornemos x1 Z1 +Z2. X2 =Z1 -Z2 x .=Z . 1 1. i=3) . fl. donde 2a. .=b... Así en la expresión F(x) 2. 13 13. =b12x1X2+b-13XIX3-'-"'+blnXIXn+b23X2X3+---+b n-jn Ix n-1 xn. =b 2(Z2 .Z2 )+b13(Z +Z )Z +...+b 1 2. 1 2 3. F(Z) es una expresi& que sí tiene trminos al cuadrado. Z. Z. n-nn-1 n.

(50) - 45. Veamos ahora el caso en el que: n b). si tiene términos al cuadrado. a. .x .x. F(x)= ij1 ij 13. n. n =. a. .x + 2. i =1. .1] 1. i<J=2. a. x.x. ij 1 j. +.. .+a x212a x x +.. . 2a x x. x. =a x2 +a. -. 11 1 22. nnfl. 2. in 1. 12 1 2. +2a x x +. . +2a x x +... +2a x x fl1fl tl-1 rl 2fl 2 n • 23 2 3 .. Supongamos que a. O para algn 1ín. Por simplicidad tornemos. aO a>O. Así: u 2ain a11. 2al2. F(x)=a 11. 1. 12. ll. donde F1 es una forma cuadrtica en las. variables 2. Si tomamos. '--. (x ,..x ). x. in 1 2 fl. .,x. rl. n 1=. Z-. 1. 1+. X.. 1. j2. i2,3, ... n. tenemos F(x)=F(z)=. z2 +. F'(Z,...Z). IF(x)=a x. x +. 2ai 2 x +.. + a11 2 •. ya que: 11 1. 1. y sustituyendo. aIi -. Ir = 1. V 11. z. J z.. a 11. 2a x. a. 11. n ZI. 'i. ,x). ,.... 1 (X 2. a1.. j=2 a. Z. j.

(51) -. 46. -. Obtenemos:. F(Z)=a. -. all. n a.Z. _lj J a l. al i, H. zi. ZI. 11. j=Z a j. Ja'. na...Z. Z. it -11 j. .. a. =a. n a .. zi. al i. +. a. n a 1 J=Z a 11. j. + E (Z 1. ,. 2. .. +F (Z ,..Z 1. 1. .2 ) fl. -. n. a.. a j 11. 11. =. -. z). -. 1-F (Z , . . . , Z ) 1. fl. 2. 1 Z2 1-1 a. Z.+ F (Z ... 2 ) fl 1 a LJZ 13 J 1 2 J -. ,. y reordenando términos tenernos:. F(Z)= Z 2 + F' (2 1 1 2. ,. .. .. .Z ) fl. Pódemos repetir el procedimiento a la forma cuadrtica residual que solo depende de las variables Z1,.. .,Z como forma cuadrtica, si asta con tiene trminos al cuadrado, si no, podemos repetir el procedimiento del in ciso a) y lograr que aparezcan en la forma cuadrática resultante trminos al cuadrado.. Supongamos pus que existen Z1 ,..., Z tal que. F(Z)=. Z2 + H. (Z r-i 1,1 r ij 1. .... 1. -. 2. donde H.. es simétrica y que después de n-r+1 cainbios,H (0) ij rr ir sea g(Z1 , . . Z )= H (Z) y tomemos V.Z. y n rr 1 1 .. Vr =. rr. + r i>r. II ir 11. (2). (z). rr. o. ,.. .Z. )z z.. fl 1 3.

(52) - 47 F3 B L 0 1 ,) VE CK:. Por el procedimiento anterior obtendremos: LAER1M1SRIJ. AA MI (.lW1JEjA. F(V). i<r. i,j>r. 1. Hv,...v j ) V.V. ij fl 1 3.. As,por alternaciones de los dos procediinientos,el proceso terminará cuando despu és de haber completado algún cuadrado, no haya residuo alguno, y es de esperarse ya que los residuos o formas cuadrtícas residuales en cada paso se reducen el numero de variables.. De esta forma llegamos a-. (y) y2 + y2 +.. .+ y 2 P 1 2. -. Salo nos falta probar: Pwpo&iuíón 2.2.3. --El rango de la forma escrita en forma diagonal es el mismo que rango de la forma escrita en la forma original.. P'wpo4LcÁí6n 2.2.3. El numero de trminos positivos en la diagonal es el mismo independientemente de cuntas maneras pueda díagonalizarse.. Demostremos laproposicin 2.2.3. Si F(x)= xtAx y es transformada en una matriz no singular T como en la intruduccin tenemos:. F(y)= y t Ay. donde K= TtAT. Si det. JA.1. y det T=1T10. y det. tenemos det =detCTtAT) (det T)(det A)(det T t ) JÁI = ~ T12 1 AJ. A=IAl.

(53) -. 48. -. Es decir que el rango A= rango de A. expresin en forma diagonal.. Adems si F(x)F(y) i1 ay. tendremos que: a. r0. .1 4. rango de 7= nimero de cuadrados de la forma cuadrtica en su forma dagonalizada.. pvia o'u'aa. (Ley da la Lna'c. Demostremos la proposici6n 2.2.4.. cuadica'i). Una forma cuadrtica real reducida a una suma de cuadrados: r F(x)=. J. i=l. a.x. 1 1. el nrnero de cuadrados positivos o negativos es independiente de la dccci6n de la representaci6n.. Peino. acL6n:. Supongamos lo contrario, que una foLma cuadrgtica. real a x 2+a x + . . +a x 2-a 5 5 S+ 1 1 2 2. x2 5+. -... •. a. >0 1. -a x r r. se transforma mediante un cambio de variables r x.= .E T .y. 1 i=l ki i. a la forma diagonal. b y 2+. .. .. .+ b y 2 -b. t t. y. t+1 t+1. -.. -b. 2 r. b>0 1. pero con s<t. Entonces: x a x 2±a x 2+. . .+a x -a S+1 S+2 s s 1 1 2 2. -... .-a x 2 b y 2+.. .+b y 2 t t r r a 1. -... .b y 2 r r.

(54) 49. -. -. que podemos escribir: t s+1 x 2 +.. . .+ a a .x 2+. . +a x2 +b y2 +. .+br y 2=by2+.. .+by 2+a S t+it+.1 s+i rr 11 (*) .. y tomemos el sistema de ecuaciones. =. Tkyk=O. =. Tkyk=O yt+20. Ty=O. xs=. yt+1=0. y n = O. es un sistema en las variables y1 ,y2,. . . y. donde el nirnero de ecuaciones. es: S + (n-t)= n-(t-s). menor que el nimero de variables ya que s t.. De esta manera el sistema debe tener al menos una solución no trivial (no cero), digamos:. y1 =c1, ... y=c. y sustituyéndola en (*) tenemos. b. i4-.. .+. bc. + a. x 2 -i-. ,+a x 2=0 s+S+1 r .. (1). los b? O y a. >O yj ,Xson no negativos; pero de (1) resulta que cc0 i esto contradice que no era solución trivial. s=t. Vá'uicí6t'i: La diferencia entre p= cuadrados positivos y ri=cuadrados negativos, en la representación de la forma cuadrtica en forma diagonal, se llama la 4-,gnatiVLa 5 =p-n.

(55) -. ObevacL6h:. 50. -. El rango r y la signatura s determinan unívocamente a. p y n, ya que. r= p+n. s= p-n. y a partir del resultado anterior tenemos: toda inatríz real sirntríca A es congruente a la matriz '.L. 1. 1. (con unos, menos unos y cero en la d i agonal.). TeoLema. 2.2.1.. Si b es punto crítico no degenerado de índice r para. F: R+ R entonces (F,b,F(b) es. analíticamente equivalente a (HbF,b,HbF(b)). el cual a su vez es analíticamente equivalente a la forma normal.. F(Z)= -z2 Z2-.. .-z2 +z +. . 1 2 r r+a. VoacÁ16n:. Supongamos b=Oc R11 y F(b)=0, como. por la proposi.-. cian 2.2.1. x) V XV(0) F(x) = .E1x.g.(. y como suponemos que O es punto crítico. (0) =O. aplicando la misma proposición a g para cada j tenemos que existen h...(x) j tal que ti. g.(x) x.h. .(x) ]1 113 3 .. para ciertas funciones. Podemos suponer que h.h.. y podemos escribir. -= 1/2(h. .+h:) JL 1J lJ. h...

(56) -. y tenemos h = 1] -. 51. -. 31 y n F(x)=. i,j=1. x.x. h. (x) 1 3 1]. donde. .(0)=1/2( 13 .. ax. (0). ji. que por serO no degenerado la matriz es no singular.. Así, tenemos que F está expresada como una forma cuadrtica en las variables x1 , ... ,x Raciendo uso de - transformación en las variables, pode mos usar el mtodo de tagrange para reducirla a una suma de cuadrados, y dado que tanto el rango como la signatura se conservan (Ley de inercia pa ra formas cuadrticas), obtenemos:. .-Z2 -.. ..-z2 +Z2 +. F(Z)= -Z21' 2 r r+1. n. Para ver que fl R E(x) b.. O. x-x. F (0) 1 j 1XX. i,j -i 13. es equivalente a la última expresi6n de F, oberverno6 que la matrz que de fine a la forma cuadrática del Hessian es simgtrica y como O es punto crítico no degenerado =>la matriz es invertible => , existe un cambio de va-. riables que transforma a A a la forma xl 1=. x donde X. son los eigenvalores y como se preserva el índice y la signatura, esta es equivalente a r... así:HbF(Z) F(Z)..

(57) -. 52. -. CAPITULO III. 1. PRELIMINARES.. Para funciones F: R R si. F (x, y)=(u (x ,y) ,v(x, y) ) si (p)=V. v=(V11 V2 ) y -(p)=ux. 51. y usando la notaci6n de la definíci6n 2.1.1. y la obse.rvaci6n 2.1.1. tenemos que:. =(V 1 u+V2u. u y. Venc6vi 3.1.1.. , y y +V y ) y 'x 2 y. VI. y y. 2. Si consideramos para cada p fijo a vF() corno una. funci6n F(p): R2--R2 F(p)(V1u x +V2u y y. ,. podemos hablar de la derivada respecto a W(w1 ,w2) definiéndola como:. vWvvP1 £( auX121Y)X. ,. x+v. y )j. +w2 U 1u+V 2u. y. , (v 1,v +V 2v . x y ) Y].

(58) -. Obeuaciói 3.1.1.. 53. -. Si: RR2 es una parametrizacín de una curva. en R2 , el vector tangente esf dado por. d(t) dt. Obseiwac6rt 3.1... lira h O. (t+h)(t). (kt),'(t)) 1 2. h. Si F: R2 R2 es C2 y. : R~R2 una parametrizacin. de una curva en R con. d(t) V 1 dt. 1 Y NAíU-iL,. entonces, para FIARA 141. g(t)=F( (t))=(F)(t). tenemos por la regla de la cadena. es decir d(F4)(t) dt si p=(t). y. • a2 dt -(F) (t)=vv\7vF(p). LAS'SINGLJLA.RlVAVES. Vncón 3.1.2.. Sea F: R2->.R2 de clase Cr decimos que p es un. punto regular de F sí w(O,O).

(59) -. 54. -. y p es un punto singular síV#O tal que. Vv)(o,0) as,si F(x,y)=(u,V) y. V(V1 ,V2)!(O,0) arbitrario. (0,0). tenemos que:. entonces. p es regular. y si 3v=(v1 ,v2 h(O,0) para Ven alguna direcci6n. se tiene que. VvF(P)V1 (u ,V)+V2 =(V1u+V2u ,V1v+V2v)=(0,O). significa que. V1u +V2u :=O x y (1). v1v+v2v=0 que escrito en otra forma:. V. X. entonces. ív1. o. y 1v2 Y [. o. Y. VvF(P). p es singular.. pero veamos otra forma de distinguir el punto regular del singular. Si consideramos la funci6n. J(p): R2-- R. J(p) es la función determinante.. J(p)=. Si J(p)0 el sistema (1) tiene la solu. ci6n (V1 ,V2)=(0,0) es decir: VF)=(0,0)<==> (Vi ,v2)=(0,0) Consideremos dos casos.

(60) -. sí J(p)0. 55. -. y en p sucede que. u =V =u =v =0 => x x y y. Y (y1 )V2)E. R2. es la so1ucj5n del sistema (1); b) sí no todas las parciales se anulan en p ==>. (u , V )(u , V ) son L.D. x x y y. es decir que existen V,V2 no idnticamente cero ambos, tal que. y1 (u ,V)+V2 (u,V)=(0,0) I.j. II. DPI. uauier fojrma,si J(p)0. (V I v2)(0,0) tal que 7v1'(_P)(00) Así,podenos caracterizar a los puntos regulares o singulares a travgs de la función determinante.. ObvLvacÁ..vl. 3.1.3.. Para F: R2->.R2 sea J(p): R2~ R la funcin determi. nante. J(p)u y -u y xy X. Entonces un punto p es regular si J(p)0. y es punto singular si. Veiin 3.1.3.. J(p)=O. Sea Fe C2; p es un punto bueno si. J(p)0 6 VJ(p)~O.

(61) -. 56. -. donde VJ(p)=((uV-uV),(uV-uV)) x xy yx By xy y. Ob.ejwacj6n. 3.1.4.. Si llamamos a. By. x. y. -. y. .. Bxx. y -u y )=j (p) y a yyx x. u V )=J (p) yx y. 6. Obwaci.iávi. 3.1.5.. 3.1.4. Popoc)óri. J(p)O. p es bueno si p es punto regular 6 VJ(p)(O,O). F es buena siVpEDF. 3.1.1.. Sea F buena en. 1Z. p es bueno.. entonces '1 pR el espacio im. gen H(p) de VT(p),es de dimensi6n 2 o 1 dependiendo de si p es regular o singular, respectivamente.. Ven1o4kac6n:. Si p es punto regular, como J(p)0 tenemos V)(O.0)<> (v,,v2 )=(0,0). por un resultado- de álgebra lineal para espacios de dimensi6n finita, tenemos:. dim. R2=di.m(keme1)+ dim(H(p)). es decir 2. 0 + dim (H(P)). así dim(H(p)) 2. Ahora, Si p es punto singular, J(p)=0. VVF (p)=(0, 0).

(62) -. 57. -. para algtin V0 ===>diii(Kein1),>O. y como. 2= dim(lemel)+ dim H(p). 2= 1 6 2 + dim (R(p)) asi dim (H(pfl -1. sí suponemos. dim (H(p))=0 diKerel)=2. es decir el sistema (1) tiene por solucin todo. =>. u =V =V =u =0 en p, pero como x x y y. J(p)=0 al calcular VJ(p)=((uV-uV),(uV-uV)) x x y y y x tendríamos que VJ(p)=0. es decir. J(p)=0. J(p)=0. lo cual contradice que F es buena; así dim (H(p))=1. Popoc2i6vL 3.12.. Sea F buena en R, entonces los puntos singulares. de E' forman una curva analítica en R.. VocÁ6n:. Como F es buena. J(p)0. 6 VJ(p)0. J(p)0. >7J(p)0. si p es punto singular.

(63) -. como J: R24-R. 58. -. 3: R x R R diferenciable en pe R2 y. U(p)YO por el. teorema de la función implícita. ,- R tal que existe ACR y B,. V xEA. existe g(x)cB tal que. J(x,g(x))O. y g(x) es diferenciable.. Vcón 3 f 5. il -tíca C dada por g(x) le llamare-. A. mos el dobles general de F (la curva pasa por p). Ven4icJ6vt 3.1.6. Sea F: R2->- R2buena, de clase C3, tomemos p punto singular y sea (t) una pararnetrizaci6n 2-analítica de el doblsgenral C deJF que pasa por p, con. Decimos que p es un punto doblas deTF si. d(F.4)(t) O en p dt Decimos que p es un punto cispide de F si. d(F)(t) dt. Obeiwací6ri 3.1.6.. d2(F.)(t) dt. Si la parametrizacin. de F cumple con. d(t) dt. -. o. en p.. t) de el doblas general.

(64) -. 50. -. Y supoíendo F buena, por la observaci6n 3.1.2.. p es un punto dobls<=>VvF(p)(0,0) y p es un punto cspide<r==>VF(p)=(0,O)y VvVvF(P)(O,O). Cbe,'wac6n. 3.1.7:. Para F: R2-> R2. F(x,y)(u,r). como VvF(P)=V 1. (p)+ v2g. si consideramos. 18 3111OTEC!k J(P)=uv. -. u\. ,. t'L -:. Y k ATUiHARA MI GRAUÉZJ. J()). Sí tomamos. VvJ(p)_ -i y. Jç. J(p) J(p)0. en cada punto singular; aquí en todos los puntos del doblas general, v(p) es tangente al doble-s general.. Vc6n 3.1.7.. Un punto p es excelente si es punto regular, punto. dobles 6 punto ctspide.. VcÁi6n 3.1... Una funci6n es excelente si VpEDF p es excelente..

(65) -. 2.. 60. -. ALGUNOS SiSTEMAS VE COORVENAVAS ESPECIALES.. Sea F: R2-- R2bueno, y p un punto singular de F, entonces existe vector y1 que es mapeado a O por. 11n. VP(p); sea el eje x la dirección de !s~. te vector, los vectores unitarios en la dirección del eje y son mapeados en un vector(O,0)Sea éste Vector unitario en la V-direcci6n. Entonces te nemos: J(p). =. ° °. La 4 ya que si V1 =(x, 0). o. x. O. 1. O. o. 00. O. O. 01. y. y. F (p) T. y si V =(O,y). yy2. 2. (0,0). Estas ecuaciones: u x Vx u y=0 y. V =1 caracterizan el sistema de y coordenas con las propiedades antes descritas. Sea V=(-J(p), J(p)) veremos condiciones bajo las cuales p es un punto dobles o un punto císpide. /. Sean F(x,y)=(u,V) Siu=0=Vu x x y. J(p)=u y xy. -. u V y. v =.1 V(-J,J) y x y. VJ(p)=(u V+uV -u V - uV ,u V+uV -u V - uV ) :oy xyx yxx yxx xyy xyy yyx yxy . J )(u , u xJ y xx xy) -J (u ,V )+J x(uy , y ) y x x y j. V F(p)= (-J u+ J u,-J V+ J y ) V y X y x.

(66) -. 61. -. +J [(_Ju yx. í(Ju+Ju) F(P)=_JYL yx x y x (_JV+JV)l yx xyxj x. y. ]. y y+ x xy) Y]. (-J(-Ju+Ju)+J (-Ju+Ju) , -J (-JV+JV) +J (-jv+JV) y yx xyx x yx xyy y yx xyx x yx xyy. u + u u , -u y + u y )(O,u ); así tenemos: xx xy x xx y xy x xx y. p es un punto dobles, si (O,u)(O,O) ie J(p)=uO. u. Ahora supongamos que. xx=O= J(p). VvVvF(.0 O). V y F(p)=(-J (-J u + J u ) , -J (-J y + y ) ) y yx x y x V y yx x y x Observamos que: -J(-Ju+Ju)=-J y yx xyx y Pero u =u =u =3 =0 en p x ac y x. ,. yxx. yxx. xxy. xyx. as =(-J)(0) O. es decir O en P. ahora -J (-Jv+Jv)=-j yx x y x y yJ y como V=J=O en p. y V=1, tenemos. y. yx. 1. v -Jv +J V + J V yxx xxy xyxj. yxx. xxy V. V +u V +uV -u V - u y - uva xxx y xx yx xx yx x yxx yxx x yx xx y xxx ) K (p)=(u-V,+u.

(67) -. 62. -. J (p)=u -2u V u -2u V xy xx XX XXX yxxx xxx. -J y = -u V xy xx y xx. así. (-u \T + u y V y V V= -uxy xxx xy xx. -. 2u. V xy xx ). V = -u (u -3u y ). xy xxx xy xx Si VF(P)(0,0) y. -uxy. (ji. xxx. -. 3u V ))(O.0) de donde concluimos: xy xx. Las condiciones para que p sea un punto cúspide son: u =0, u #O y xx xy u -3u V 0enp. xxx xy xx. O64e,kuacoyie4 3.2.1. Si F(x,y)=(xy- x3, y)=(u,V). con p=(O,O). u (p)=V =u 0 enp x X y. u = y-3x2 x. y (P =l y. V0 x u =x y. V. u. 1. =. xx. -6x. xy. adem á s u. xx. u =1 xy. en u. p=(O,O). xxx. y =0 xx. cumple con las condiciones arriba mencionadas, por.: lo tanto:. u -6 xxx. V =0 xx. p es un punto ciispíde de P.

(68) -. J(p)=y. -. 3x2. 63. -. {(x,y)ly3x2} dobles general de F que pasa por (0,0) {(x,y)y3x2} son puntos regulares.. Si V(-J,J )=(-1,--6x) x VvF(p')I0 Si (x,y)(0,0) y y3x2. así son puntos dob1s.. Si (x,y)=(0,0). VVF (p) 0 y V. V Vi. (.p) =(0,6) en (0,0). p es punto cúspide.. Como J(p)=0, si (x,y)=(x,3x2) o (0,0); si (x,y)(x,3x2). VJ(p)0 es punto bueno.. Y si P=(0,0). J(p)0. y VJ(p)=(-6x,I) •VJ(j)=(0,1)(0,0) ¿5 punto bueno.. Y si (x,y)3L(x,3x ). J(p)0 así son puntos buenos. • •. F es buena.. y como cada punto 6 es regular, 6 es dobles, 6 es cilspide ==>. F es excelente..

(69) -. 64. -. 3. TOPICOS RELACIONADOS CON EL TEOREMA VE TAYLOR.. Para una funcin g: R --R en derivadas contnuas hasta s en una vecin dad y de a, para xcV(a). g(x). f k. s-i k k g (a) (x-a) + R (x) k=0 k s-1. donde R(x)= (1)7 fX(x_t)S_lgS(t)dti Con. tenemos:. (x. g(0) 01. g' (0). xi+. 2+. .. 2. .+. (s.-i). ,. +. 1 (s-i). f X (x t) s-1 g s (t)dt. xcV (0).. que podemos escribir como:. (0). X. o. g'(0). S-1 x +...+. 5 (0) s-i x x. +—. donde fx(x _ t)s_1)(t)d t. Sea F:R2-R de clase 0r en una vecindad de (0,0) y supongamos 1s.:~x. Definimos g(x)=F(x ,x ). 1. 2. g t (x)= F 1 (x ,x) i g (x)=. (x ,x ) oX 1 2 .. 1. — (xx). (x) (*).

(70) 65. -. -. (0)=F(0,x2) ° (X2). 110 T [ B LEC » YATU;L. j %A1: DL. RARA MI. .a_(O,x2)ip' (x2) xi 41?. g1(0). 1. 2-4-(O,x2 )=ip (x2 ) qX. S g (t)=. y. F (.t,x2) x1. g(x)=(x1 ,x2). y sustituyendo en (*) tenemos:. :1. 2. F(x1,x2:)9)0 (x2)+ fip1 (x2)+. p2(x)+.. x1. p51(k2)+. . .+. 1 S.. donde S s DsF (t,x)dt ip (x1,x2) — f x 1(x1 _t)S_l xl x1. Xl. --_-. 331. S (o. x. (O,x2) x1. demostra:cín: como. s-.i x(x1-t). (x1,x2)=. S xl. s x1 O Dx. 1. por el teorema del valor medio ponderado: Si f,g son continuas en ta,1J y g no cambia de signo en a,b] entonces existe Ccfa,b] tal que: (x) g (k) dxF(c)fbg (x) dx. Véase No. 5 de la bibliografía.. pS (x. _! S. S. 1. 1. x. (c' x )f x (x _t)S_dt 20. tomando: u= x1 -t du -dt. si t=O u=x1 si t=x u=O. 1.

(71) 66. -. -. tenemos:. 1 o s— —--fu du S x1 xl. 3 SF. XI X2)=. -. s. 3. (c,x2). s. S. (C,x2). —(lis. -. u. ). xl. -. xl. -. -(o- 1-). 5. D xl. xl. Dx l. ,. o. s. S. (c,x2) tomando limite. 1,X2). 3 SF. 1íini 5(xix2)= lini x--Q. (c,x2) dxl. y como e 3SF. s. 1j (0, X2. Dx. O,x2). S 1. i=O,l, .. . s. es. Así podemos afirmar que. .. G Noac6n:. Pooó. F. 12. (xi,x2) —. 3 (x i x 2) x1 X2 x1 3x2 ,. 5. 3.3.1.. XX (,x2). a 3 t)S_ltX1 (t,x2)dt s+Xi x1 x2. f X i(. s+X1. XI. xO. para. c. <. -s. x1 Q. y. Piwpoó-ci6n 3.3.Z. Sea. CK. s. x ) Xi. ). x , 3 x -t) 5' t x(t,x2)dt o a 3x1 ax 2. 1.

(72) -. 67. -. como en la proposici6n anterior; entonces tenemos: ". F'. ". x). s+X1 2'Xl X2. tomando g(x)=(xt)1tX1 que no cambia de signo en. Votjac6n:. lo, x] y. G. F(x). s+k1 x(t,x ) ax1 x2. aplicando el teorema del valor medio ponderado, tenemos: a (x1-t). t. XI. Cí. S. s+. Xj. (t,x )dt= s+X1 X2. s+X1. X2. X1. X. xl (c,x2)! 0. donde cc{O,xll; integrando por partes. f o. 's-1. -. -. s-a. du=(s-l)(x -t) (-dt) V. x. s-i t (x•i-t) x+1. S-1 (x1-t) t d. -~ f X t. o. x t dt t x+I. X+ 1. Así: S_ltXd. s-1. o. X X+l. 1. t. haciendo el cambio u= (XI -t) s-4du(s-2) (xj-t). +1. dV=t' dt (-dt). v=. t. s-2. (x-t) dt. X+2. s-2. 1. (s l)(x-t) di.

(73) —. XI. (x1 -t -. 68. —. X s-1 (x1t)2.t 2 • Xl X+1 o. -. (s-2). S_3dt ]. S-3 (s-.1)(s--2) rxj) .1 2 (x-t) dt (+1)(+2) •. -. haciendo semejante cambio de variable e :ite-rando éste proceso obtenemos:. f. (x1-t) s-1 tXd. -. (s-1) (s-2) (s-3) .s-.(s-2) (+1) ( +2) ( +3)... +(s-2) .. (s-1)(s-2). s-(s-2) . - .. (X+1) (X+2).. -. X+(s-2). .. forma. I x. (s-1)(s-2)... 1 1x X+(s_ 1)d t. -. (s-1) X. —. 7+s). (x-t)dt. (x1-t)t '' + fX X+(s-1) O o MS-1) d. (s-1). De esta. .X+(s-2). .. -. (s-1).. .1 [t (X+1).. .X+(s-1) {+s. •. obtenemos que: S. s+X 1 x. 1. X+s. (s-i) x, 1 +S (X+s)I. —(c s+X1.. X2 ,. x2). X1. 1. Tomando límite a ambos lados cuando x1±0 dado que ccj(. dX2. 1]. concluimos que: s X 1 X 2 (2). (X1+s). X2 (O,x2). s+X1 X2 X1. 4 PLopoÁe6n 3. 3.3. x5 lIX(xl,x2) es cont5nua si. S..

(74) -. Obvccí6n 3.3.2.. 69. -. Supongamos 1sr y F(x1 ,x2)es C r. 1 1. i=O,1 .. 5 x2)O. . s-1. ... tenemos que la expresi6n: i F,0 .t. ,x2)+. S-1 F(xx2)= iO. S. x. -. si. S. 1. J (x -t) 0 1. (t1 ,x 2)dt. S. 2x1. nos queda:. F(x,x2)' j XI EXI,X2). donde. es C. como hemos visto anteriormente.. Vauic6n 3.3.1.. Sea E C decimos que E es de orden >s, sí E y to-. das sus derivadasacíales hasta oren. Obvac6 3.3.3.. <5,. •. se anulan en el origen.. Si E es C5 y orden Fs yo <s=F'. (xx ) es de 1 2. orden s-. Popo6n 3.3.4.. Si F es C1 y orden de F>s, entonces. F(x ,x )= x F(x ,x ) es de orden >s±l 1 2 1 1 2. VcnioiacL6n:. -. Se sigue de: n-. fl. F. n. F(x1 ,x2)+ x1. aT F x1. (x,x).

(75) -. O cX1. Popo5ic<i6n. 3.3.5.. 70. -. O. (xj,x. y. F. Ox1. Sea F de clase Cr y orden F>s, y sí. V. F(0,x2 )=0. entonces existe. 5+1. de clase C. r-I. X2. y orden -is-1 tal que. F(xi ,X2)Xj(X1,X2). Vmo'wcí6n:. Se sigue de. xl. Popú6n. 3.3.6.. OF X1 O Ox1. t,x2)dt. Sean F(xi,y) y (x1 ) de clse C r y orden F>s. y supongamos que. (.0)0 F(x,(x))=0= A. entonces existe. r-.2. e clase W. OF (x,(x)) 9y. y orden i>s-2 tal que 2. F(x,y). y-4(x). V0cÁí6n: Sea p T (x ,y)=F(x,y. (x)) entonces. '(x,o) = G(0)0. aplicando 2 veces la proposici6n anterior en la variable y encontrarnos que:. q (x ,y)y. 1 ,X2).

(76) 71. -. *. donde. es C. -. 3LOTEC. 2; si tomamos:. c 1. F(x,y) claramente. y. xT 1. (x ,x )= x + R(x ,x 1. 2. 1. Y. MARAMI GtAN)I1A. 12 ]iP(x). L-". es de orden >s y tanto qA como. Pooícíon 3.3.7.. -. HIJOS. i(x,y)=*(x,y4 (x)). obtenemos. y. son de orden >s-2.. Supongamos F es C en una vecindad de (0,0) 2<s<r ord R>s. 1 2. Entonces podemos resolver x en trminos de x',x cercana al origen, 1. 1 2. dando x =x donde orden R >s. + 1. 1. R'(x',x ) 1 2. y R es Cr. Vemo,ac.dyL:. Sea. H(x,x ,x )= x'— x 1. 1. 2. 1. -. R(x. 1. ,x ) 1 2. ,xi. gH. (X "x ,x )= -1 í O 1 1 2. por el teorema de la función implícita, existe. tal que x1 q(x',x ) 1. x = x'— R(x ,x 1. 1. 1. 2. ). = x'— R((x',x ),x 1. 1 2 2. ). tomando R'(',x )= 1 2. T -. ,x. ),. 1 2 2. ). 2.

(77) -. 72. -. tenemos : X fi. x T + R'(x t ,x ) 1. fi. 2. y por la expresión de R' claramente orden R'>s y de clase. ?opoc6n. 3.3... Sea F de clase C. ir. y par en Xl, es decir. F(x ,x2)F(i,x2). entonces existe. (x1 ,x2) de clase C tal que. F(xjx2)= (x2,x2). • Vccíon:. En la expansí6n del Taoena da TcjPoi en una variable alre-. dedor de O, tenernos: S-1 (k) (0) (X_O)k+ R g(x) kO k (x) 5-1 v donde R. (x). 1 ,. x s-j (s) 1 (x-t) g (t)dt. que tarnbin R(x) se puede calcular:. R. (s) (c)(X_O)s donde cEO,x (x)= g S S-1. s-1 i i xi a (Ox2)+ , F(x1 ,x2 )= iO xl .. s-1 i=O. u (-1) x. i B.F. s. 1. so ._•xl. s x. (x —t) 1. 1 x so. Xa -. para s par s=2r. .. (1). S _ l SF (t,x2)dt S -. 1. J. (xi — t) s_1F(tx)dt s gx 1.

(78) -. 73. -. Si F(x1 ,x2)= F(-x1 ,x2) =>F(-x1 ,x2)- F(x1 ,x2)= O. -->. T1 (xi) 2k-Ei 2k+iF 2k +i -2 kO (2k+1) Dx ASÍ: F(x1 ,x2)=. 2k (xc) k=O (2k)!. s 2kF S X 2k (O,x2)+24- 1 — f (x1 -t)s_1L(t X )dt L xs o 1. x1. que tambien puede esribirse como: S-2 2k 2k 2 (x1) F F(x1 ,x2)= (O,x2)+ 2k (s-i) k=O (2k):. 3x. s (t,x2)dt. (x1 -t). y usando (1) e'n la expresin del residuo; tenemos: 2 2k 2k $ F(x1,x2) kO(2k)! C,X2)(X) 2k(OX2)+ Dxl :x. s par. es decir F(x1 ,x2)9(x2,x2) donde i es. Fopo6 4. 3.3.9. Sea F de clase 2r+1 e impar en x1. ,. es decir. F(-x1 ,x2) -F(x1,x2) entonces existe una funci6n. i. de clase C tal que. F(x1 ,x2)= xj (x2 ,x ) 1 2. Vernotjtaeii5n: F (XI ,x2). 5-1 • i j 1 iO DXI. -2 fX X1 0 11. S-1. S xl. (t,x2)dt.

(79) 74. -. S-1. F(-x,x2. ji. donde s=2r+1. i. (-1) x1. s. r. XI. F •. i=O. -. 5 x. f. (0,x2)_. (XI. xl. qx. s-i B S F (t,x2)dt s. impar. Como: F(-x ,x2 )= -F(x1 ,x2 ) -->F(x1 ,x2 )+F(-x ,x2 )0 pero. 8—'. 2k 11 F(x1 ,x2)+F(-x1 ,x2)=. kE. O (ak)' ____. 2k. a 2(O,x2)=O. así. 2r+i. 2r+1. 3 93F (O,c)+ (0, 2)+. F(x1 ,x)= 2 x, - ax1 ax3 1. 3r+1 x. -. 2. 2r+1 axi. 2r±1 O. (2r+1). (x1 -t) 2ra. xi. que podemos escribir: 2r x (x1 -t) j. 2r+1 2r+i F(t,x2)dt. ax1 y usando (1) de la proposici6n anterior en el residuo: r+.l. F(x1 ,x2)=x. C€. a. F (cx2)x 2r+1 2r+i. (OX2)+..+()T. a. [o, x] 2r+1 2r-2 2r ()T(OX2)+ xl(+)' 2-1-F 1. 2. F(x1 ,x2 )= x1. (c,x2 ) donde. a -. k=O XI (ak+i). es Cr. 2k+i. r-1 2k. 2. 2r. '(O,x2)+. 2r+i. ax. 2). 2r+l. a 2r+iF (c,x2) ( r+i)! qx. X1. Ahora veamos los teoremas de caracterizacin en puntos dobles y puntos. cúspides:.

(80) 75 4. TEOREMAS DE CL4,S!FICACION -. -. Twncma 3.4.J, Sea p un punto dobls de una función F:. de cia. se C con r>3, entonces existen transformaci6n en coordenadas de Clase Cr_3 alrededor de p y F(p) ; (x,y) y (u,v) en tEuuinos de los cuales F(x,y)=(u,v) toma la forma F(x,yl=(x2 ,y). Voaan: Introduzca-nos el sistema de coordenas tal que p=O=F(p) como p es punto crítico, existe V VvF(P)=O Sea la direccin x de ste vector además como p es un punto dobls existe una dirección. VvF(p)O; sea V en la doreccin del eje y su imagen. en la dirección del eje y.. Así F(x,y)=(u,v) tenemos que u .=Du =V y x. y. fy=1. Cfl. p.. (1). es el sistema que caracteriza las propiedades anteriores como:. u: R' R7. y. expandiendo estas funciones alrededor de p tenemos. u(x,y). u(O,O)-!- XII (0,0)+ yu (O,O)-i- R(x,y). x,y)= i(O,O)+. ord R>2. x'(D,O)+ \r (O,O)y+ S(x,y) ord S>2. y por (1) obtenemos que:. u(x,y)= R(x,y) v(x,y)= y + S(x,y). Sea la transfoLu1acín T(x,y)=(x',y')=(x,y + S(x,y)). 1. 0. 0. 1.

(81) -. 76. -. que es invertible Así;. x'=x. y'=y + S(x,y) donde ord S>2. :Podediosroso1ver y en trminos de. x',y' según. la proposici6n 3.3.7, y ob. tenemos:. y=y T + S T (x T ,y') donde ord St>2. Ahora u(x,y)= (x,y) (x!,yl+Sl(x!,yY))1(xI,y) ordR>2. el±rninándb-. - primas, tenemos:. u=R(x,y). donde ord R> 2. v=y. es decir, E (x ,y)=(R(x, y) ,y)=(u ,v) además v=O. (x, y) UX. 9. o JFUX Como p es un punto dobls J(OO)O. por el teorema de la funcin implcita podemos resolver. J0 cercana al origen: Ju =0 esta dada por una funci6n x tal que x=(y) cercana a (0,0). de clase C r_l.

(82) 77. -. Tentamos que F(x,y)=((x,y),y)(u,v) tomemos la transformación de el plano xy en el xt =x-(y) T:. 1 T. 0. x'y'. tal que. ]. •-. obtenemos: F(x' ,y')=F. '+4(y'),y')r(R(x'-f4(y'),y' ),y')(u,v). ahora, tomemos la transformaci6n Ti u'=u-R((v),v). ). tenemos que: u'R(x'-I-q(y'),y' )_R((yI),y!) u' (x' ,y')=1(x-q(y'),y')-4(p(y'),y') aquí U'. ad emás u'. x ,=. (x'+(y'),y')(1)+. (x +(y')(0)±. u'x ,(O,y')((y'),y')= u((y'),y')=O. Dy.

(83) -. 78. -. también sabemos que:. u (0, 0) xx. (0,0)0 x. (por ser p punto dobls), y. uf. xx,Rxx (. xy(xT 1(y'),y')(0). (y'),y1 )l. ((0) ,O)R. utx,x? (O,O)=R. xx. (0,0)=u. (0,0)0. xx. Recordemos que: F(x',y')=(R(x'+(y!),yt)_R((yT),y) yl.)çt(. Tomemos u'(x',y'): R2. --. y. (x y'). R en una vecindad de (0,0) y expandindola. como función de la variable y' y usando los resultados vistos en "Tpicos re lacionados con el teorema de T. u' y (x')=u' (x' ,y') obtenemos ,-. .1. 1/2 U2(0yt)xy2+1/3? 3(0,y')x'. QX. =0 + u' (0)x + 1/2 x 12 cD. u , (0,y)x' 2+... x x es de clase c r -3. donde. es decir: F(x' ,y' )=(x' 2 (x' ,y') ,y' )(u' (x' ,y' ) ,v' (x' ,y' )) adem á s, como u' (x' ,y')= x' 2 (x' ,y') uf. u'. ,y')=2x'(x' ,y')+ x (x' .. (x' ,y' ) =2 (x' ,y' )±2x'. ,. X I X,. xT. (x' , y')+ 2x'. x. xT2. (x. (x' ,y'). ,. x. )+. 2. (T y T). xx.

(84) 79. -. RiSLIOTE de dondc:. \ ur x x. (o,o)= 24(O,O). U. 1 Dtv»/ Y. HMOs Gk1). pero u'. ,. x x. ,(O,O). O=>(O,O)O.. As,podemos definir la función C. 3. (x1 ,y. 1 ) I1/2. cercana al origen.. que sabernos i(O,O)O En la expresin F(x' ,y')=(x' 2 (x' y'),y' )=(u' ,v t ) y auxilindose de la funci6n. x y )=[Dw,y,)] tomemos la transformación de clase C. que es invertible ya que. 3. 11). T:. T. -. T. gx l. -. 1 /2. 0. 1. O,O) O. Así x*[(x',y')] -1 y'= y*. u(x*,y*)= (X--)2 (x ,yI)] 2. v(x*. ) =y*. obteniendo la expresi6n para F deseada:. F(x,y)(x2,y). (x ' ,y')= x*2. —2. 2 x*2.

(85) -. Lema 3.4. 1.. 80. -. Supongamos m3 y u(x,y)x+S(x,y)jy_x3+kxm+T(x,y) donde. ord S>m-1 y ord T>rn+l con S y T de clase C, entonces la transfoiwaci6n. x tr x+ S(x,y). da IU u(x',y)x1 y-x 3+ kx1 + U(x',y). donde ord U>rn+J.. VrnocÁí6Jt:. Corno x. = x + S(x,y). ord S>rn-1, por la proposicin. 3.3.7. tenernos que. x= x1 + S T (x',y) donde ord S'>rn-1. sustituyendo x tenernos. x=(x'+ St (x,y)) 3. u(x,y) x'y_[x13+. 3x2ST (XI ,Y)+3xTStCxt,y)]2+[Sr(x!Y). +k[X T+Sv(X r ,Y)]m+T(XI +ST(X r y corno si. es C. ) ) ,Y ,Y. es de orden >s+l. y ord. u(XT , y)=x l y_x? 3 _[3xt 2 S 1 (xT,y)+...] + kXlm+ k. U(X t,y). Tokrna. 3.4... 1. trrnínos de orden. 'y-x 73+ kXTm+ U(x',y) donde ordU>rn+1,. Sea p un punto cispide de una funci6n F: R2-- R2de. clase C donde r>12, entonces podernos introducir un sistema de coordenadas de clase C (r/2-5)alrededor de p y F(p), tal que F torna la forua:. F(x,y)(xy. -. X 3 , Y).

(86) 81. -. V71oJuzc6n:. -. Podemos empezar introduciendo sistema de coordenadas. alrededor de p y F(p) como en el teorema anterior y siguiendo el mismo desarrollo llegamos a. F(x,y)=r(u(x,y),v( x,y))((x,y) ,y) donde ord J2 expandiendo R, por el teorema de Taylor tenemos:. R(x,y)=Ax2+ Bxy+ Cy2+ R T (x,y) donde ord R'>3. y corro el sistema de coordenadas satisface. ux =O=u=v en y como p es punto espide >A 1/2 u. y v=l. (O,O)0 y Bu (0,0)/O xxx xy. ,. consideremos. el cambio T: x=x' [1. 0j/. 10. Bj. =. u=u'. V. F(xt,yT)=(B(x')(y'/B)+ C(yT/B)2+1(x1,y/B),yT) C 12 =(x' yT+-2 y + R T (x',y'/B),y T ) donde ord R'3. que, eliminando primas se puede escribir corno:. F(x,y)=(xy+ Ey2 + R(x,y),y) con ord R>3. expandiendo de nuevo R; y sustituyendo en u(x,y) tenemos:. u(x,y) = xy+ EyZ+ Ax3 + Bx2 y + Cxy2+ Dy3 + R' donde ord R T>4. Si queremos eliminar el tLiuino y2 y encontrar una expresín m ás simple para u, vecinos qu cambio debemos tomar:.

(87) -82Consideremos u'=u- Polinomio en u,v. uTu_(a0u+. b 0v+. + d 0uv+ e 0v 2+ f 0v 3+....). c 0u 2. que podemos representar como: u'=At u + B'v + CTU2+ D T uv + E'v2+ FTV3+..... (1). sustituyendo: u= xy + Ey2+ Ax3+ Bx2y + Cy 2+ Dy3+' v=y tenemos: u 1 (x,y)=A' (xy±Ey 2+Ax3+. ±1)' (xy2+Ey3+.. ... .. .. )+B'y+C T (xy+Ey 2+...). )+ E'y2+ Fy3+ etc.. U' (x,y)=A'xy+B'y+(E+E')y2+Ax 3+Bx2y+(C+D t) xy2+(D+DtE+F?)y3 + Polinomio de grado >4. de donde A'=l B'=O E+E'=O C+D'=O D+D T E+F T =O así: U' (x,y)=r xy+Ax3+Bx2 y+ Polinomio de grado > 4 de la expresi6n (1) obtenemos que con A'r4. B1 0. C'=O. D'=-C. E-E. F'= -(D--CE). Se tiene que: u'= u-Cuv-Ev2-(D-CE)v3 y esto simplifica la expresión para F. De esta manera, tomando. u'=u-Ev2-Cuv-(D--EC)U3. v'=U tenemos:. u' (x,y)= xy+Ey2 ±Áx3+Bx2 y+Cxy2 +Dy3+ R' -Ey2 -C(xy+Ey2 +Ax3+Bx2 y+Cxy2 +Dy3-H')y (D-Ec) y3. -. u' (x,y)= xy+Ax3+Bx2 y+R(x,y). donde ord i>4.

(88) - 83 -. es decir: F(x,y)=(xy+Ax3+Bx2 y-f (x,y),y) ord necesitarnos un cambio de la forma: x= Polinomio en x',y' y=y' (paro no alterar v=y) y obtener una expresión de u' en :ttminos de x'y' en donde el trrnino.x2 y desaparezca; analicemos éste cambio: Sea x=ax' +by'+cx 2+dx' y'+ey- 2 +... y=y, de donde uT(x? ,y T )=(ax T +by+cx42+...)y7+A(ax T +by T +cyt2+..)+B(ax+by7+...)2 y+R(xy? ) =. ax'y'+by-2+cx!2 y'+dx'yT2+eyI3+ trminos de orden >4 +Aa3 x 3+Ab3 y?3+3Aax'b2 y J+ trminos de orden >4 +Ba2 x'2 y +Bb2 y13+2Bax T by'2+ términos de orden >44(x',y). u'(x',y') = axlyT+by7 2+(C+Ba2)xJ2 yt+jd+3Aab 2+ 2BabJ x'y' 2 + Aa3x' 3+ (Ab 3+b2+ e)y' 3+R' (x' -Y') donde ord '>4 Corno vemos, si queremos una simplificación de u' en términos de x'y' tenernos que : a=1. C+B=O. b=O. --->. es decir, la transformación: x= xIB(x T)2 y= y' sustituyendo. donde ord R >4. C= -B. d=O. e=0.

(89) realizando operaciones y simplificando obtenemos: u' (X I ,y')= x Ty+Axl 3+R(x t ,yT) donde v. RT>4. (x',y' )=y'. y eliminando primas obtenemos:. F(x,y)=(xy+Ax3-H(x,y),y). donde ord R> 4. además A= 1/6u (O,O)O puesto que p es punto c€spide xxx Sea. 1. 0. -A A1. - ->. oa. =. -Aa3. tomemos la transformaci6n: x= ax T: y=. Gy. O. ,. u(x,y)=u(ax',uy')=(ax')oy'±A(ax')3+R(ax',uy') u(x,y)= aox'y'+ a3 Ax 33+R(ax',Gy') y usando au= -Aa3 tenemos: u(x'. ahora, transformemos u y. y. ,y')=. (x' ,y '). aG(xyt_xT3)t. en tiiiiínos de. T:. u=cjau. «'V '. j. T. a travs de:. Q 1 0. así u'=. 1 u ja. u1(ç,y. 1 O. 1 ao. y. u(xt,yT)=. ací. oa (xy -x' 3 )+Rx' ,yT) -J. u' (X I ,y'). xy1_xT3+RT1(xT,y). donde ord R'54.