Métodos localmente adaptativos para la mejora de señales de voz en sistemas inmersos

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Centro de Investigaci´on y Desarrollo de Tecnolog´ıa Digital

Maestr´ıa en Ciencias en Sistemas Digitales

“M´etodos Localmente Adaptativos para la Mejora de Se ˜nales de Voz en Sistemas Inmersos”

Tesis

Que para Obtener el Grado de

Maestro en Ciencias en Sistemas Digitales

Presenta:

Ing. Yuma Sandoval Ibarra

Bajo la Direcci´on de:

Dr. V´ıctor H. D´ıaz Ram´ırez Dr. Juan J. Tap´ıa Armenta

Enero de 2011 Tijuana, B.C., M´exico

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A mis Padres: Lorenza de Jesús y Manuel de Jesús y mis Hermanos: Tania Libertad y Manuel de Jesús Por su amor y apoyo incondicional.

A mi Abuelos: Nicolasa, Lorenzo, Yuma y Jos´e Por sus consejos y gran ejemplo.

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Al Dr.Victor H. D´ıaz Ram´ırez, por compartir conmigo su conocimiento y su aprecia- ble tiempo durante el desarrollo de esta tesis. Y por su infinita paciencia.

Al Dr. Juan J. Tap´ıa Armenta, le agradezco sinceramente su orientaci´on y apoyo para realizar este trabajo.

Al Comité de Revisión: Dr. Moisés Sánchez Adame, Dra. Mireya S. Garc´ıa Vázquez y M.C. Ernesto E. Quiroz Morones, por su disposición en la revisión de este trabajo, por sus comentarios y sus sugerencias que contribuyeron a mejorar este trabajo.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnolog´ıa CONACYT, por brindarme su apoyo econ´omico como becario, para el desarrollo de mis estudios.

Al CITEDI, por las facilidades otorgadas para realizar la maestr´ıa.

A todas aquellas personas que hicieron posible la realizaci´on de este trabajo de tesis.

Por todo su apoyo a la familia Quevedo Pillado.

A mis compa ˜neros: Abril, Araceli, Diana, Ernesto, Francisco, Gustavo, Hugo, Jorge, Jose Luis, Luis Miguel, Mar´ıa, Mildred, Olivier, Virgilio, V´ıctor, por la amistad brinda y su apoyo.

A mis amigos, por ser tan incondicionales en su amistad y apoyo.

Finalmente de forma muy especial a mi novio: Jos´e Cruz, por todo su apoyo y cari˜no.

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Resumen

La mejora o restauración de señales de voz, se ha convertido en las ultimas décadas en una de las áreas mas investigadas dentro del procesamiento digital de información. Esto se debe al creciente avance de los equipos de comunicación personal, como teléfonos celulares, sistemas de manos-libres, transmisión de voz sobre IP, teleconferencia, aud´ıfonos, entre otros. La mejora de voz, consiste en incrementar la calidad de las señales en términos de su inteligibilidad y de la reducción del ruido mediante el uso de diferentes métricas de desempeño. En este contexto, las degradaciones de voz pueden describirse como cualquier modificación indeseable que sufre la señal, y que puede disminuir su inteligibilidad. El ruido del sensor, ruido de fondo, y el ruido impulsivo introducido por el canal de comunicación son algunas distorsiones t´ıpicas. La mejora de voz es un problema dif´ıcil debido a la naturaleza no estacionaria de las señales y las caracter´ısticas de las funciones de ruido. Además, los requerimientos de calidad en las señales procesadas pueden variar drásticamente de aplicación en aplicación. Por otra parte, además de una buena calidad en el procesamiento de las señales es deseable contar con algoritmos eficientes que permitan una implementación con una buena velocidad de respuesta en sistemas digitales compactos, de bajo costo, y eficientes en el consumo de energ´ıa. Es decir, debemos tener técni- cas de procesamiento que restauren correctamente a las señales capturadas y también, que sean eficientes en su implementación. En este trabajo de tesis, proponemos un algoritmo de orden localmente adaptativo para la eliminación robusta de ruido en señales de voz. El algoritmo propuesto se basa en el uso de vecindades adaptativas locales, obtenidas a partir de las estad´ısticas de orden prioritario de la señal dentro en una ventana deslizante. El algoritmo propuesto es capaz de estimar una señal no estacionaria libre de ruido, a partir de una version distorsionada por diferentes fuentes de ruido como ruido blanco y ruido tipo impulsivo. Diferentes resultados obtenidos con el método propuesto son presentados, discutidos, y comparados, con diferentes métodos existentes para la mejora de señales de voz.

Palabras clave: estad´ıstica de orden prioritario; estimaci´on robusta; inteligibilidad; mejora de voz; procesamiento local adaptativo; sistema inmersos.

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Abstract

Speech enhancement techniques, have become one of the most investigated topics in digital in- formation processing in the last decades. This is due to the increasing developments in personal communication equipments such as cellular telephones, hands-free systems, voice over IP, tele- conference, headphones, among others. Speech enhancement, consists in improving the quality of the voice signals in terms of its intelligibility and noise reduction by optimizing different performance criteria. In this context, voice degradations can be described as any undesirable modification the suffers the signal and affects its intelligibility. The sensor’s noise, background noise, and impulsive noise introduced by the communication channel are typical distortions.

Speech enhancement is a difficult problem due to the nonstationary nature of the speech signals as well to the different distorting characteristics introduced by the noise functions. Furthermore, the quality requirements in the processed signals can vary drastically from one application to another. On the other hand, besides a good quality in signal processing it is desirable to have an efficient algorithm which allows a fast-response implementation in a low cost digital system with limited resources and efficient in its energy consumption. In other words, it is desirable to design a signal processing algorithm which correctly restore the captured signals and yields an efficient implementation. In this Thesis, we propose a new locally-adaptive rank order algorithm for a robust noise suppression in speech signals. The proposed algorithm is based in the use of local adaptive neighborhoods obtained from the order statistics of the signal inside a slid- ing window. The proposed algorithm is able to estimate a noise free nonstationary signal from a noisy version corrupted by several noise functions of different type, such as additive white noise and impulsive noise. Several results obtained with the proposed method are presented, discussed and compared with different existing methods for speech enhancement.

Keywords: embedded systems; intelligibility; locally adaptive processing; rank order statistics;

robust statistics; speech enhancement.

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Resumen . . . VI

Abstract . . . VII

Contenido . . . VIII

Lista de Figuras . . . X

Lista de Tablas . . . XIII

1. Introducci´on 1

1.1. Introducci´on . . . 1

1.2. Objetivos de la Tesis . . . 6

1.2.1. Objetivo General . . . 6

1.2.2. Objetivos Particulares . . . 6

1.3. Aportaciones . . . 6

1.4. Organizaci´on de la tesis . . . 7

2. Marco te´orico 10 2.1. Se˜nales de Voz . . . 10

2.2. Modelos de Ruido . . . 15

2.2.1. Ruido del Sensor . . . 18

2.2.2. Ruido tipo Impulsivo . . . 20

2.2.3. Ruido Mixto . . . 25

2.3. Se˜nales y Sistemas . . . 26

2.4. Estimaci´on estad´ıstica aplicada al procesamiento de se˜nales . . . 33

3. M´etodos convencionales para el procesamiento de voz 36 3.1. M´etricas de Calidad . . . 36

3.1.1. Error Cuadr´atico Promedio . . . 37

3.1.2. Error Absoluto Promedio . . . 37

3.1.3. Relaci´on Se˜nal a Ruido . . . 38

3.1.4. Coeficiente de Correlaci´on, CC . . . 38

3.2. M´etodos basados en un solo sensor . . . 39

3.2.1. M´etodo de sustracci´on espectral . . . 40

VIII

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3.2.2. Filtro Wiener . . . 41

3.2.3. Filtrado de Wiener Adaptativo . . . 43

3.2.4. M´etodos basados en Modelos de Predicci´on lineal . . . 45

3.3. M´etodos basados en arreglos de sensores . . . 49

3.3.1. Banco de Filtros . . . 49

3.3.2. Cancelaci´on activa de ruido . . . 52

4. Filtrado no lineal para el procesamiento de la información 54 4.1. Técnicas de estimación robusta . . . 55

4.1.1. Estimador-M . . . 55

4.1.2. Estimador-L . . . 56

4.1.3. Estimador-R . . . 57

4.2. Filtros No Lineales . . . 58

4.2.1. Filtros recortados . . . 58

4.2.2. Filtros de orden prioritario . . . 59

4.2.3. Filtros L . . . 60

4.3. Filtros de orden localmente adaptativos . . . 61

5. Algoritmo localmente adaptativo para la mejora de se˜nales de voz 65 5.1. Algoritmo Propuesto . . . 66

6. Resultados 73 6.1. Resultados en MATLAB . . . 75

6.2. Implementaci´on en LabVIEW . . . 94

6.3. Implementaci´on en el dsPIC33F . . . 97

6.3.1. Introducci´on al controlador digital dsPIC . . . 97

6.3.2. Resultados . . . 102

7. Conclusiones y Trabajo Futuro 105 7.1. Conclusiones . . . 105

7.2. Trabajo Futuro . . . 106

REFERENCIAS 108

A. C´odigo de Simulaciones 112

B. C´odigo de Implementaci´on en Sistema Inmerso (LabVIEW) 114

C. C´odigo de Implementaci´on en Sistema Inmerso (DSPic) 117

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1.1. Clasificaci´on general de las aplicaciones de mejora de voz. . . 4

2.1. Sistema tracto vocal humano. . . 11

2.2. Forma de ondas para cada vocal de idioma ingl´es estadounidense. . . 12

2.3. Forma de onda de ac´ustica para —UH-M-A—. . . 13

2.4. Esquema general del funcionamiento de o´ıdo. . . 14

2.5. Clasificaci´on de los diferentes tipos de ruido que afectan a la se˜nal de voz. . . . 16

2.6. Señales de voz distorsionada por: (a) ruido aditivo Gaussiano, (b) ruido tipo impulsivo, (c)ruido mixto (combinación de ruido Gaussiano y ruido impulsivo). 17 2.7. Ruido blanco, (a) realización en el tiempo, (b) función de auto correlación, (c) densidad espectral de potencia. . . 18

2.8. Funci´on de densidad de probabilidad Gaussiana. . . 19

2.9. (a) area unitaria de un pulso, (b) conversion de pulso a impulso con una duraci´on △→ 0 (c) espectro de la funci´on impulso. . . 20

2.10. Representaci´on en el dominio del tiempo y la frecuencia, (a) impulso ideal, (b) y (c) ejemplos de pulsos de corta duraci´on. . . 21

2.11. Distribuci´on de Densidad de Probabilidad Gamma. . . 24

2.12. Distribuci´on de Densidad de Probabilidad Beta. . . 24

2.13. Distribuci´on de densidad Laplace. . . 25

2.14. Esquema general de procesamiento digital de se˜nales. . . 27

2.15. Estructura de los filtros FIR. . . 29

2.16. Estructura de los filtros IIR. . . 30

2.17. a) Señal cuadrada libre de ruido, b) señal cuadrada contaminada con ruido aditivo Gaussiano y c) señal cuadrada procesada con el filtro de promedio. . . 31

2.18. a) Señal cuadrada libre de ruido, b) señal cuadrada contaminada con ruido aditivo Gaussiano y c) señal cuadrada procesada con el filtro de mediana. . . 32

3.1. Clasificación de métodos de diseño de filtros digitales para la mejora de voz. . . 39

3.2. Diagrama a bloques del m´etodo substracci´on espectral. . . 41

3.3. Diagrama a bloques del Filtro Wiener. . . 41

3.4. Diagrama a bloques del filtro Wiener Adaptativo para la mejora de señales de voz. 44 3.5. Diagrama a flujo de la técnica de Interpolación . . . 46

X

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3.6. Interpolaci´on Spline de tercer grado. . . 47

3.7. Estructura b´asica de un banco de filtros de dos canales . . . 50

3.8. La funci´on Scaling y Wavelets son iteraciones del filtro pasa-bajas. . . 52

3.9. Ejemplo de un sistema de cancelaci´on activa de ruido. . . 53

3.10. ANC en configuraci´on de identificaci´on de sistemas. . . 53

4.1. Ejemplo de un Rengl´on Variacional. . . 62

4.2. Ejemplo del Vecindario-EV. . . 63

4.3. Ejemplo del Vecindario-KNV . . . 63

4.4. Ejemplo del Vecindario-ER . . . 64

5.1. Procedimiento para la construcci´on de un vecindario adaptativo a partir de las muestras de la ventana deslizante. a) Ventana Deslizante; b) Rengl´on Varia- cional; c) Vecindario Adaptativo. locales. . . 67

5.2. Diagrama de flujo del algoritmo propuesto orden localmente adaptativo. . . 71

6.1. (a) Se˜nal de voz libre de ruido, (b) su espectrograma. . . 75

6.2. (a) Señal de voz distorsionada con ruido blanco Gaussiano con media cero y desviación estándarσ= 0.01, (b) su espectrograma. . . 76

6.3. (a) Se˜nal de voz distorsionada con ruido impulsivo, (b) su espectrograma. . . . 76

6.4. (a) Se˜nal de voz distorsionada con ruido mixto, (b) su espectrograma. . . 77

6.5. (a) Se˜nal de voz libre de ruido procesada con el filtrado de promedio deslizante, (b) su espectrograma. . . 78

6.6. (a) Se˜nal de voz libre de ruido procesada con el m´etodo de mediana deslizante, (b) su espectrograma. . . 78

6.7. (a) Señal de voz libre de ruido procesada con el método de substracción de magnitud espectral, (b) su espectrograma. . . 79

6.8. (a) Se˜nal de voz libre de ruido procesada con el m´etodo de Wiener Adaptativo, (b) su espectrograma. . . 79

6.9. (a) Se˜nal de voz libre de ruido procesada con el algoritmo localmente adaptativo propuesto, (b) su espectrograma. . . 80

6.10. (a) Se˜nal de voz afectada por ruido blanco Gaussiano procesada con la estimaci´on de promedio, (b) su espectrograma. . . 82

6.11. (a) Se˜nal de voz afectada por ruido blanco Gaussiano procesada con la estimaci´on de mediana, (b) su espectrograma. . . 82

6.12. (a) Señal de voz afectada con ruido blanco Gaussiano procesada con el método de substracción de magnitud espectral, (b) su espectrograma. . . 83

6.13. (a) Se˜nal de voz afectada con ruido blanco Gaussiano procesada con el m´etodo de Wiener Adaptativo, (b) su espectrograma. . . 83

6.14. (a) Se˜nal de voz afectada con ruido blanco Gaussiano procesada con el algoritmo propuesto localmente adaptativo, (b) su espectrograma. . . 84

6.15. (a) Se˜nal de voz afectada por ruido impulsivo procesada con la estimaci´on de promedio, (b) su espectrograma. . . 85

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6.16. (a) Se˜nal de voz afectada por ruido impulsivo procesada con la estimaci´on de

mediana, (b) su espectrograma. . . 86

6.17. (a) Se˜nal de voz afectada por ruido impulsivo procesada con el filtro sustracci´on de magnitud espectral, (b) su espectrograma. . . 86

6.18. (a) Se˜nal de voz afectada por ruido impulsivo procesada con el filtro wiener adaptativo, (b) su espectrograma. . . 87

6.19. (a) Señal de voz afectada por ruido impulsivo procesada con el método interpo- lación , (b) y su espectrograma. . . 87

6.20. (a) Se˜nal de voz afectada por ruido impulsivo procesada con el algoritmo propuesto localmente adaptativo, (b) su espectrograma. . . 88

6.21. (a) Se˜nal de voz afectada por ruido mixto procesada con la estimaci´on de promedio, (b) su espectrograma. . . 90

6.22. (a) Se˜nal de voz afectada por ruido mixto procesada con la estimaci´on de mediana, (b) su espectrograma. . . 90

6.23. (a) Se˜nal de voz afectada por ruido mixto procesada con el filtro sustracci´on de magnitud espectral , (b) su espectrograma. . . 91

6.24. (a) Se˜nal de voz afectada por ruido mixto procesada con el filtro Wiener adaptativo , (b) su espectrograma. . . 91

6.25. (a) Señal de voz afectada por ruido mixto procesada con el método interpolación , (b) su espectrograma. . . 92

6.26. (a) Se˜nal de voz afectada por ruido mixto procesada con el filtro Wiener adaptativo e interpolaci´on , (b) su espectrograma. . . 92

6.27. (a) Se˜nal de voz afectada por ruido mixto procesada con el algoritmo localmente adaptativo propuesto, (b) su espectrograma. . . 93

6.28. Interfaz gr´afica de la implementaci´on del algoritmo propuesto en LabView. . . 94

6.29. Gráfica de la señal capturada y señal de voz afectada por ruido. . . 96

6.30. Gráfica de la señal de voz capturada y señal procesada con métodos adaptativos. 96 6.31. Fotograf´ıa del controlador digital de señales dsPIC33F . . . 100

6.32. Arquitectura de dsPIC33F. . . 101

6.33. Muestras adquiridas por el codec. . . 102

6.35. Rengl´on Variacional. . . 103

6.34. Ventana Deslizante. . . 103

6.37. Muestras de Salida. . . 104

6.36. Vecindario Adaptativo. . . 104

B.1. Jerarqu´ıa de la estructura de la implementaci´on en LABVIEW. . . 114

B.2. Ventana Deslizante. . . 115

B.3. Vecindario EV. . . 116

B.4. Promedio. . . 116

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6.1. Comparación de resultados de las diferentes métricas en el procesamiento de la señal de voz libre de ruido con los diferentes métodos. . . 80 6.2. Comparación de resultados en términos de las métricas de calidad cuando la

señal de voz esta corrompida por ruido blanco Gaussiano. . . 84 6.3. Comparación de resultados de las diferentes métricas de calidad en el proce-

samiento de la señal de voz afectada por ruido impulsivo. . . 89 6.4. Comparación de los resultados de las métricas de calidad cuando la señal cor-

rompida por ruido mixto. . . 93 6.5. Caracter´ısticas mas importantes de la familia dsPIC33F. . . 97

XIII

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Introducci´on

1.1. Introducci´on

La mejora de señales de voz, consiste en incrementar la calidad de las señales capturadas por un sistema digital en términos de su inteligibilidad y de la reducción del ruido mediante el uso de diferentes métricas de desempeño [1]. En este contexto la inteligibilidad se puede definir como la presición con la que una persona puede comprender una frase o pal- abra [2]. Las degradaciones de voz, pueden describirse como cualquier modificación indeseable que sufre la señal durante el proceso de grabación, almacenamiento, y/o transmisión [3], y que puede disminuir la inteligibilidad de las señales. Desde el punto de vista de la teor´ıa de señales y sistemas, el problema de la mejora de señales de voz es un problema dif´ıcil de resolver debido a dos razones principales:

Las señales de voz son altamente variantes en el tiempo, por lo tanto, se requieren de algoritmos de procesamiento capaces de variar su acción de transformación de acuerdo a las caracter´ısticas locales de la señal en cada posición.

Las funciones de ruido que afectan a las señales son muy diferentes para cada aplicación, es decir, las funciones de ruido pueden estar distribuidas estad´ısticamente de diferentes maneras, por lo que para estimar la señal libre de ruido es necesario contar con esti-

1

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madores robustos [4].

En los últimos años, los avances de las tecnolog´ıas de la información han permitido el desarrollo de aplicaciones muy especializadas y complejas, donde se requiere de estrategias robustas de procesamiento que aseguren la calidad en la señales en todo momento. Además, la gran capacidad de integración electrónica que existe hoy en d´ıa, permite el desarrollo de sistemas digitales de procesamiento compactos, de bajo costo, y de bajo consumo de energ´ıa. Como resultado, las aplicaciones actuales en donde se involucran señales de voz requieren de sistemas de procesamiento robustos, eficientes en su implementación, y compactos [5].

Las aplicaciones donde se requiere mejora de voz pueden clasificarse en dos categor´ıas principales: aplicaciones de comunicación y/o almacenamiento, y aplicaciones de manejo y adminis- tración de información [6]. La Fig. 1.1 presenta un diagrama que muestra algunos ejemplos de aplicaciones particulares en cada una de las categor´ıas mencionadas. Las aplicaciones dentro de la categor´ıa de comunicación y/o almacenamiento, comparten el objetivo principal de la trans- misión de mensajes (codificación de voz) entre las personas. Algunas de las aplicaciones t´ıpicas dentro de esta categor´ıa son: amplificación y reproducción, transmisión a distancia por radiofrecuencia, transmisión de voz sobre IP (voIP), as´ı como las tareas básicas de grabación y almacenamiento digital. Notemos que en estos casos, las señales de voz pueden resultar degradadas por diferentes fuentes de ruido con diferentes caracter´ısticas. Por lo tanto, es deseable contar con algoritmos de procesamiento que sean capaces de mantener intacta la inteligibilidad de los mensajes, sin importar el origen de las fuentes de ruido que corrompen las señales. Por otro lado, las aplicaciones pertenecientes a la categor´ıa de manejo, extracción y administración de la información, tienen como objetivo principal mantener intactos los patrones descriptores de las mismas señales, independientemente del mensaje que las señales de voz contengan [6]. Algunos ejemplos de estas aplicaciones son: reconocimiento de voz, reconocimiento de locutor, análi- sis y diagnostico medico, entre otras. Observemos como en estos casos, es importaten resaltar aquellas caracter´ısticas de las señales de voz que permiten asignarlas a una categor´ıa predefini- da cuando son procesadas. Existen un gran numero de estrategias para mejorar la calidad de las

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se˜nales de voz, que pueden aplicarse de forma muy particular en relaci´on al tipo de problema.

La diferencia principal entre las estrategias de procesamiento existentes, radica en la gran diver- sidad de tipos de perturbaciones que afectan a señales involucradas. Algunos ejemplos t´ıpicos de estas perturbaciones son: ruido aditivo del sensor, ruido acústico del ambiente, ruido elec- trónico, ruido tipo impulsivo, entre otros [7].

El ruido del sensor, es ocasionado por la estática presente en el medio ambiente donde se encuentra inmerso el sensor [6]. Este ruido, se caracteriza principalmente por que pude modelarse como un proceso estocástico estacionario [8] que afecta de manera homogénea toda la exten- sión de la señal de voz. El ruido blanco y el ruido rosado, son ejemplos clásicos de este tipo de ruido [6]. Por otro lado, el ruido acústico del medio ambiente es originado por cualquier manifestación acústica activa dentro del ambiente donde se encuentra inmerso el sensor. Co- mo ejemplos podemos mencionar, conversaciones de terceras personas (TV o radio), sonido de motores eléctricos o de gasolina, o en general, cualquier sonido de fondo del medio ambiente.

Este tipo de perturbaciones son dif´ıciles de suprimir ya que la mayor´ıa de ellas son de carácter no estacionario, lo que significa que su efecto sobre las señales de voz es de naturaleza no ho- mogénea. As´ı mismo, el ruido impulsivo se caracteriza por la pérdida completa de los valores de los elementos de la señal que han sido afectados por el ruido [9]. En este caso, los valores de los elementos afectados son reemplazados por valores con magnitud extrema. El ruido tipo impulsivo puede originarse por diferentes razones, algunas de ellas son, defectos en el canal de trasmisión, errores de bits en la trasmisión digital, problemas de sincronización en el hardware de captura y/o reproducción, entre otras [6].

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MEJORA DE VOZ

Comunicaci´on/

Almacenamiento

Manejo, Extracci´on y Administraci´on

de Informaci´on

Transmisi´on, IP, Radiofrecuencia Almacenamiento/

Grabaci´on

Amplificaci´on/

Reproducci´on

Reconocimiento de Voz

Reconocimiento de Locutor

An´alisis, Diagnostico Figura 1.1: Clasificaci´on general de las aplicaciones de mejora de voz.

En la actualidad, existen un gran numero de trabajos exitosos que tratan de suprimir el ruido aditivo en la señal de voz mediante el uso de filtros globales,algunos ejemplos son, Sus- tracción de Magnitud Espectral [10] - [11], Filtro Wiener [1] y Filtro Kalman [3]. Otra estrategia importante para la reducción de ruido en señales de voz es el método de cancelación activa de ruido (noise cancelling) [12]. En esta técnica, se requiere un arreglo de multiples sensores para procesar las señales. La cancelación activa de ruido es un método robusto que generalmente produce buenos resultados sin embargo, puede presentar un alto costo computacional en sistemas digitales. Otro enfoque importante consiste en la construcción de filtros lineales localmente adaptativos [13], donde se trata de dotar con la capacidad de adaptación a los filtros lineales convencionales como por ejemplo el filtro de Wiener [13]. No obstante cuando las señales de voz están contaminadas por diferentes tipos de perturbaciones, por ejemplo una mezcla de distorsiones de tipo Gaussiano y tipo impulsivo, ninguna de las estrategias anteriormente citadas puede obtener buenos resultados.

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En contraste, existen filtros digitales no lineales los cuales se caracterizan por procesar las señales sin destruir sus detalles finos [12]. Esta caracter´ıstica, puede evitar que la intelegibilidad de las señales de voz se vea afectada durante el proceso de filtrado. As´ı mismo, estos filtros son eficientes en la eliminación del ruido, lo cual nos motiva a considerarlos para la propuesta de tesis. El filtro de mediana estad´ıstica es uno de los filtros no lineales más populares [14].

Otra estrategia importante para la eliminación del ruido tipo impulsivo es el filtrado basado en técnicas de predicción lineal [7]. En esta estrategia, la mejora de la señal se lleva a cabo en dos etapas; primero se localizan los valores de la señal corruptos con ruido tipo impulsivo, y después los elementos localizados son removidos y reemplazados por valores nuevos obtenidos mediante diferentes técnicas de interpolación [6]. Sin embargo, notemos que las técnicas no lineales anteriormente mencionadas tienen un enfoque poco robusto ya que solo puede utilizarse para perturbaciones cuya distribución estad´ıstica es conocida. Una evolución importante que han tenido los filtros no lineales son los filtros de orden localmente adaptativo [7]. Estos filtros explotan las caracter´ısticas estad´ısticas locales de la señal y estiman en cada paso el valor correspondiente de la señal libre de ruido empleando técnicas de estad´ıstica robusta. Notemos que este enfoque tiene la capacidad de adaptarse localmente conforme la señal es recorrida temporalmente. Los filtros localmente adaptativos han presentado excelentes resultados en el procesamiento de imágenes pero han sido poco explorados en aplicaciones de señales de voz.

En esta tesis, estamos interesados en la construcción de nuevos algoritmos de procesamiento digital aplicados a la mejora de señales de voz en tiempo real. Básicamente, nos interesa la con- strucción de filtros robustos localmente adaptativos que sean capaces de suprimir una mezcla de diferentes fuentes de ruido en señales estad´ısticamente no estacionarias, como lo son las señales de voz. As´ı mismo, para cumplir los requerimientos de procesamiento en tiempo real, es necesario que los algoritmos propuestos tengan una complejidad computacional lo suficientemente baja para que puedan ser implementados de manera eficientes en sistemas de procesamiento digital con bajos recursos, los cuales son conocidos comúnmente como sistemas inmersos.

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1.2. Objetivos de la Tesis

1.2.1. Objetivo General

Diseñar un nuevo algoritmo robusto para la eliminación de ruido en señales de voz contaminadas por ruido del sensor y ruido tipo impulsivo e implementarlas en sistemas inmersos de tiempo real.

1.2.2. Objetivos Particulares

Diseñar un nuevo algoritmo adaptativo para la supresión de ruido en señales de voz.

Evaluar el desempeño del algoritmo propuesto mediante simulaciones por computadora usando señales sintéticas.

Implementar el algoritmo propuesto en una sistema de procesamiento en tiempo-real a base de computadora, y evaluar resultados.

Implementar el algoritmo propuesto en un sistema inmerso de tiempo real y evaluar resultados.

1.3. Aportaciones

Las aportaciones de este trabajo de tesis son:

Se propuso un nuevo algoritmo adaptativo para mejorar la calidad de la señales de voz en termino de la inteligibilidad y de la reducción de ruido mejorando las métricas de desempeño.

Se dise˜no un algoritmo robusto para el procesamiento adaptativo de se˜nales de voz ante la presencia de diferentes fuentes de ruido aditivo, multiplicativo y mixto.

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1.4. Organizaci´on de la tesis

El presente trabajo de tesis esta organizado de la siguiente manera: El Cap´ıtulo 1, describe el contexto general que ocupan los algoritmos de mejora de se˜nales de voz en la vida cotidiana y se explica la problem´atica particular que deseamos resolver en este trabajo de Tesis.

Se presenta una revisión histórica de los diferentes enfoques cient´ıficos que se han utilizado de forma exitosa para atacar el problema de la mejora de voz. Se describen de manera general los trabajos existentes mas importantes relacionados con la problemática que nos interesa. Se presenta el objetivo general de la Tesis y los objetivos particulares de la misma. Al final del cap´ıtulo presentan lo que nosotros consideramos fueron las aportaciones mas importantes realizadas con el presente trabajo.

El Cap´ıtulo 2 es una revisión del marco teórico que utilizamos para realizar el presente trabajo de tesis. Al inicio, se explica el funcionamiento básico del aparato tracto vocal humano con el objeto de comprender la forma en la que las señales de voz son producidas. A continuación, se muestra un análisis de las caracter´ısticas mas importantes de las señales de voz, y se muestra una clasificación de estas caracter´ısticas en diferentes categor´ıas de señales básicas y fonemas.

Se presento también el estudio realizado sobre el funcionamiento del o´ıdo humano para poder comprender las diferentes métricas de calidad existentes y as´ı evaluar la intelegibilidad de los mensajes de voz. Adicionalmente, se explican los diferentes modelos de señales de voz y se presenta una breve revisión de la teor´ıa de procesos estocásticos para modelar las funciones de ruido que comúnmente afectan a estas señales. Se presenta un resumen de la teor´ıa de señales y sistemas y se explican las diferentes técnicas existentes para el diseño de filtros digitales. Final- mente, se presenta una breve revisión de la teor´ıa de estimación estad´ıstica aplicada al diseño de filtros digitales robustos.

En el Cap´ıtulo 3, se presenta una revisión de las diferentes métricas de calidad existentes para evaluar el desempeño de los algoritmos de procesamiento de voz. Además, se introdujeron

(21)

los métodos existentes mas importantes para el procesamiento de señales de voz. Se explica la teor´ıa básica que sustenta los algoritmos de procesamiento de sustracción de magnitud espectral, Filtrado de Wiener, Filtrado local adaptativo a base de filtros globales, Filtrado no lineal basado en modelos de interpolación, Filtrado mediante la implementación de bancos de filtros y, procesamiento basado en métodos de cancelación activa de ruido.

El Cap´ıtulo 4, contiene un resumen de los fundamentos matemáticos que sustentan la teor´ıa de estimación robusta. Se explica la base teórica de los estimadores robustos de Máxima Verosimil- itud Generalizado (Estimador M), de los estimadores robustos basados en combinación lineal de estad´ısticas de orden (Estimador L), y de los estimadores robustos basados en estad´ısticas de orden prioritario (Estimador R). Posteriormente, se presenta el procedimiento de diseño de algunos filtros no lineales populares para el procesamiento de señales; se analizaron los filtros de promedio recortado, los filtros de orden prioritario, los filtros M, y los filtros L. Ensegui- da, se describe la teor´ıa necesaria para la construcción de vecindarios adaptativos locales, parte fundamental del presente trabajo de Tesis.

En el cap´ıtulo 5, se describe a detalle el algoritmo localmente adaptativo propuesto para la mejora de señales de voz. Se presenta el diagrama de flujo del algoritmo, y se realiza una de- scripción detallada de cada uno de los pasos que sigue nuestro algoritmo. Aqu´ı, se explican las propuestas que realizamos para construir un método robusto que pueda adaptar su acción de transformación de forma dinámica para superar las adversidades cambiantes con el tiempo como las funciones de ruido o variaciones bruscas en las señales de voz.

El Cap´ıtulo 6, presenta los resultados obtenidos con el algoritmo propuesto en diferentes im- plementaciones digitales realizadas. Los resultados obtenidos, fueron discutidos y comparados respecto a las siguientes técnicas existentes para la mejora de voz: filtrado global de promedio deslizante, filtrado global de mediana deslizante, filtrado de Wiener adaptativo, y filtrado basado en métodos de interpolación. La calidad de los resultados obtenidos fue presentada en

(22)

términos de las métricas error cuadrático promedio (MSE), error absoluto promedio (MAE), relación señal a ruido (SNR), y coeficiente de correlación (CC). Finalmente en el Cap´ıtulo 7 se presentan las conclusiones y se plantean también los trabajos futuros.

(23)

Marco te´orico

2.1. Se ˜nales de Voz

Los humanos somos capaces de generar una gran cantidad de sonidos para expresarnos, por ejemplo, el hablar, llorar, re´ır, etc. Entre estos sonidos, el habla es quizás el mas importante de todos ya que representa nuestro principal medio de comunicación. El conjunto de órganos que componen el sistema de producción de voz es conocido como sistema tracto vocal [15]. El sistema tracto vocal puede verse en la Fig. 2.1. En base a la Fig. 2.1 los pulmones se llenan con aire durante el proceso de inhalacion y se vac´ıan durante la etapa de exhalación. Ambos procesos son controlados por la presión que ejerce el diafragma sobre los pulmones. Observe- mos que durante el proceso de exhalación, el aire expulsado pasa a través de la faringe, que es un conducto que lleva el aire hacia la boca y donde también están alojadas las cuerdas vocales. El aire que viaja por la faringe, golpea las cuerdas vocales produciendo en ellas vibración armónica. De esta manera, el aire modulado por las cuerdas vocales sale por la boca produciendo señales de sonido que viajan a través del aire. Dependiendo de la tensión ejercida sobre las cuerdas vocales, as´ı como de la gesticulación adecuada, el ser humano puede producir sonidos particulares, con los cuales se forman las palabras que utiliza para comunicarse.

10

(24)

Figura 2.1: Sistema tracto vocal humano.

Las palabras emitidas por una persona están formadas por fonemas [16]. Los fonemas, son estructuras de sonidos de corta duración compuestos por una combinación de sonidos básicos conocido como sonidos sonoros y sonidos sordos [16]. Los sonidos sonoros represen- tan básicamente sonidos que consisten en un simple tono particular. Los sonidos sordos son aquellos que se componen de ningún tono, es decir, cuando las cuerdas vocales no vibran de manera sostenida. La mayor´ıa de los alófonos (realización de los fonemas) de la voz, contienen una combinación de sonidos sonoros y sordos. Un tono varia de acuerdo al estado de tensión de las cuerdas vocales, y esta muy relacionado con los parámetros de una persona en particular, por ejemplo, su edad o sexo. En caso de los hombres el tono medio esta ubicado dentro del rango de 50-250 Hz. Para mujeres y niños, el rango de frecuencia del tono medio es de 200-400 Hz, aproximadamente [16]. Las vocales son alófonos en los que el aire no encuentra obstáculos importantes para salir al exterior por la boca. Estos sonidos pueden considerarse como señales periódicas y de alta frecuencia. En las Fig. 2.2 se muestra las formas de onda de algunas vocales en el idioma inglés estadounidense. Observemos en las diferentes gráficas que las vocales son sonidos estacionarios, es decir, que presentan un comportamiento muy regular u homogéneo durante su emisión. As´ı mismo, es fácil observar en las gráficas de la Fig. 2.2 que existe una variación muy importante entre las formas de onda de las vocales presentadas.

(25)

Figura 2.2: Forma de ondas para cada vocal de idioma ingl´es estadounidense.

Las consonantes son un grupo de alófonos mas complejos para reporducir por el sistema tracto vocal. Las consonantes en general contienen tramos transitorios producidos mediante movimientos complicados, tienen el aspecto de una señal de ruido y están alojados en las bajas frecuencias. En las Fig. 2.3 se muestra la forma de onda acustica de algunas consonantes.

(26)

Figura 2.3: Forma de onda de ac´ustica para —UH-M-A—.

Desde el punto de vista del procesamiento de información las señales de voz son con- sideradas funciones estad´ısticamente no estacionarias [6]. Esto último puede deducirse fácil- mente, ya que la señales de voz están formadas por una combinación de fonemas, es decir, por una combinación de señales con caracter´ısticas estacionarios y no estacionarias. Por lo tanto, podemos decir que las señales de voz son señales estad´ısticamente no estacionarias y altamente variantes con el tiempo. Aun más, observemos que las vocales y algunos otros fonemas sonoros son casi periódicas en un cierto intervalo de tiempo (20-40 ms.). En consecuencia, es posible

(27)

realizar un análisis basado en transformadas de tiempo corto [6]. El interés de utilizar análisis de tiempo corto reside en que el o´ıdo realiza un análisis espectral similar. El o´ıdo humano es un organo muy complejo capaz de percibir señales acústicas provenientes del medio ambiente, las cuales son transmitidos a la red neuronal del cerebro humano para su procesamiento. En la Fig.

2.4 se muestra el esquema del funcionamiento del o´ıdo humano.

La parte externa del o´ıdo recoge las ondas sonoras del medio ambiente y los canales de la membrana timpánica vibran en sincronización con el aire que los golpea. De esta forma, los huesos del o´ıdo medio (martillo, yunque, estribo) transmiten vibraciones a la ventana oval que es una membrana flexible llena de l´ıquido. Posteriormente dentro de la coclea, se encuentra la membrana basilar que contiene alrededor de 12,000 células nerviosas que forman el nervio coclear. Debido a la rigidez variable de la arteria basilar, la membrana de cada célula nerviosa capta solo las respuestas de un estrecho rango de frecuencias de audio, haciendo que el o´ıdo sea exactamente un analizador espectral de frecuencia. Tomando como base estos conocimien- tos sobre el o´ıdo humano, se han propuesto diversas metricas para evaluar la inteligibilidad de los mensajes recibidos por las personas [17]. La mayoria de estas métricas se basan en un análisis espectral en diferentes bandas de frecuencia. Una de las metricas de inteligibilidad mas importante es conocida como el Indice de Inteligibilidad de Voz (Speech Intelligibility Index), [17].

Figura 2.4: Esquema general del funcionamiento de o´ıdo.

La mayoria de los sonidos del medio ambiente que corrompen a las se˜nales de voz presentan una distribuci´on de frecuencias que abarca un amplio rango espectral. Como resulta-

(28)

do, es claro que estas perturbaciones pueden ser captadas n´ıtidamente por el o´ıdo, lo que puede resultar en una importante disminución de la inteligibilidad. En la siguiente sección se presenta una breve revisión de diferentes modelos de ruido que comunmente se utilizan para modelar perturbaciones acústicas.

2.2. Modelos de Ruido

En el filtrado de señales el objetivo principal es estimar una señal libre de ruido x(t) a partir de una señal observada g(t), corrompida por una superposición de diferentes fuentes de ruido z(t) = q(t) + n(t), como a continuación [6]:

g(t) = x(t) + z(t)

= x(t) + q(t) + n(t). (2.1)

En este caso, las funciones de ruido q(t) y n(t) son funciones estoc´asticas no deseadas. Dependi- endo de las caracter´ısticas estad´ısticas de las funciones estoc´asticas, el ruido puede clasificarse como [3]-[6]:

1. Ruido electr´onico o ruido t´ermico (ruido del sensor).

2. Ruido acústico que emana del movimiento, vibración o choque de fuentes como máquinas, veh´ıculos en movimiento, golpes abruptos, el viento y la lluvia, entre otros.

3. Ruido electromagnético, que pueden interferir con la transmisión y recepción de voz de datos a través del espectro de frecuencias.

4. Ruido electrost´atico generado por la presencia de una diferencia de potencial.

5. Ruido de cuantización y pérdida de paquetes de datos, debido a la congestión de la red.

Cualquiera de las funciones de ruido mencionadas anteriormente afectan a la inteligibilidad de la se˜nales de voz, por lo tanto, se requieren de m´etodos efectivos que permitan recuperar

(29)

las señales libres de ruido a partir de sus versiones distorsionadas. En este trabajo de Tesis utilizamos un enfoque estad´ıstico ya que las funciones de ruido son de naturaleza aleatoria, y pueden modelarse correctamente como procesos estocásticos. Los procesos estocásticos se rep- resentan como una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionana en función del tiempo. Cada una de las variables del proceso tienen su propia función de probabilidad y pueden estar corrrelacionadas entre ellas [6]. En la Fig. 2.5 podemos observar una clasificación general de las diferentes fuentes de ruido dada en términos de procesos estocásticos. En la Fig.

PROCESOS ESTOC ´ASTICOS

ESTACIONARIO NO ESTACIONARIO

Ruido del Sensor, Electr´onico, T´ermico.

Ruido Ac´ustico:

lluvia, aire acondi- cionado, viento.

Ruido Ac´ustico:

clicks de teclado, voces externas, etc.

Distorsiones de canal: errores de bits, perdida

de muestra, ruido impulsivo

Figura 2.5: Clasificaci´on de los diferentes tipos de ruido que afectan a la se˜nal de voz.

2.6 se muestra una señal de voz distorsionada por diferentes fuentes de ruido. La Fig. 2.6 (a), muestra la señal de voz distorsionada por ruido aditivo Gaussiano con promedio cero. Se observa que los efectos de este tipo de ruido es homogéneo, es decir, presenta parámetros estad´ısticos constantes durante todo el intervalo de tiempo. En la Figura 2.6 (b) se observa que la señal de voz es distorsionada por la acción de ruido tipo impulsivo; se puede apreciar que el efecto que tiene este tipo de ruido es distorsionar solo algunas muestras de la señal dejando intactas al resto de ellas. Sin embargo, se puede apreciar como las muestras corruptas presentan valores de amplitud extremos. En este caso, es fácil darse cuenta que una distorsión producida por ruido impulsivo no puede ser considerada un proceso estocástico estacionario.

(30)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x 10⁴

−0.5 0 0.5

a) Señal distorsionada por ruido gaussiano

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10⁴

−0.5 0 0.5

b) Señal distorsionada por ruido tipo impulsivo

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10⁴

−0.5 0 0.5

c) Señal distorsionada por ruido mixto

Figura 2.6: Se˜nales de voz distorsionada por: (a) ruido aditivo Gaussiano, (b) ruido tipo impul- sivo, (c)ruido mixto (combinaci´on de ruido Gaussiano y ruido impulsivo).

Finalmente en la Fig. 2.6 (c) podemos observar a la se˜nal de voz afectada por una mezcla de ruido aditivo Gaussiano y ruido tipo impulsivo. En este trabajo de tesis, se considera el ruido del sensor, ruido impulsivo y ruido mixto (suma de ruido del sensor y ruido impulsivo), los cuales se describen enseguida

(31)

2.2.1. Ruido del Sensor

El ruido del sensor n(t) comúnmente se modela como ruido aditivo blanco con distribu- ción Gaussiana. La principal caracter´ıstica de este tipo de ruido es que la función de densidad de probabilidad de n(t) es del tipo Gaussiano o Normal [6]. Además, los valores del ruido de n(t) no están correlacionadas entre si en diferentes instantes de tiempo, en consecuencia, tiene una densidad espectral de potencia cuya energ´ıa es constante dentro de todo el espectro de frecuencias (ver Fig. 2.7).

Figura 2.7: Ruido blanco, (a) realización en el tiempo, (b) función de auto correlación, (c) densidad espectral de potencia.

La funci´on de auto-correlaci´on del ruido n(t), con media cero y con una varianzaσ²esta dada por

r_nn(t) = E[n(t)n(t +τ)] =σ²_nδ(τ). (2.2) El espectro de energ´ıa del ruido blanco, se obtiene con la transformada de Fourier de la función de auto correlación, como a continuación:

P_NN( f ) = Z _∞

−∞e^{− j2π}^{f t}dt=σ²_n. (2.3)

(32)

La funci´on de densidad de probabilidad Gaussiana, esta dada por

f(x) = 1

√2πσ²e⁻^(x−µ)2²^σ² , (2.4)

donde µ es el valor esperado yσes la desviación estándar. En la Fig. 2.8 podemos observar su gráfica.

−50 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

x

f(x)

Funcion de Densidad de Probabilidad Guassiana

σ µ=0

Figura 2.8: Funci´on de densidad de probabilidad Gaussiana.

En base a la Fig. 2.8 notemos que la probabilidad de ocurrencia de ruido con valores de magnitud muy grande es pr´acticamente a cero. Esto significa que elementos de ruido con valores de ruido impulsivos son poco muy probables

(33)

Figura 2.9: (a) area unitaria de un pulso, (b) conversion de pulso a impulso con una duraci´on

△→ 0 (c) espectro de la funci´on impulso.

2.2.2. Ruido tipo Impulsivo

El ruido tipo impulsivo consiste en una serie de impulsos aleatoriamente distribuidos, los cuales poseen una gran cantidad de energ´ıa en un periodo muy corto de tiempo. La presencia del ruido tipo impulsivo se debe a factores tales como, ruido de conmutación, interferencia electromagnética, fallas en el canal de comunicación, sonidos ambientales, entre otros [6].El método clásico para la eliminación del ruido tipo impulsivo se utiliza el filtrado de mediana [12]. A pesar de que el filtro de mediana es efectivo en la eliminación del ruido tipo impulsivo,

éste comúnmente produce una distorsión importante a la señal, la que puede afectar consid- erablemente la inteligibilidad [12]. Para obtener un funcionamiento óptimo en la eliminación del ruido tipo impulsivo se puede utilizar: (a) las diferentes caracter´ısticas del ruido y de los procesos de la señal en los dominios de tiempo y/o frecuencia, (b) conocer las caracter´ısticas estad´ısticas del ruido y de la señal, y (c) modelo de la fisiolog´ıa de la señal y de la generación de ruido. A continuación se presentan los conceptos matemáticos de una función impulso en los dominios de tiempo continuo y tiempo discreto. Además, se presenta el modelo de formación del ruido tipo impulsivo dentro de un sistema de comunicación. En la Fig. 2.9 (a) podemos observar una función rectángulo p(t) con area unitaria. Observemos como cuando “△” tiende a cero, la amplitud de la función rectángulo tiende a infinito, formando la función impulso uni- tario que se muestra en la Fig. 2.9 (b). La función impulso se puede ver en la Fig. 2.9 (b), y se define como

(34)

δ(t) = l´ım

△→0p(t) =







1

△, si |t| ≤^△₂ 0, si s|t| >^△₂.

(2.5)

La integral de la funci´on impulso cumple con la propiedad Z _∞

−∞δ(t)dt = 1. (2.6)

Aplicando la transformada de Fourier a la funci´on impulso se obtiene

D( f ) = Z _∞

−∞δ(t)e^{− j2π}^{f t}dt= 1, (2.7)

donde f es la variable de frecuencia.

Figura 2.10: Representaci´on en el dominio del tiempo y la frecuencia, (a) impulso ideal, (b) y (c) ejemplos de pulsos de corta duraci´on.

(35)

En los sistemas de comunicación, el ruido tipo impulsivo no puede considerarse sim- plemente como una función aleatoria de impulsos ideales. En lugar de esto, el ruido tipo impulsivo puede verse como una secuencia de pulsos de corta duración tal como se muestra en la Fig. 2.10. La señal observada como ruido tipo impulsivo, puede ser la respuesta de un sistema de comunicación y/o de grabación. A la respuesta de este sistema se le conoce como respuesta al impulso. En un sistema de comunicación, el ruido tipo impulsivo se origina en algún punto en el tiempo y el espacio, y se propaga a través del canal de comunicación hacia el receptor.

En general, la respuesta al impulso de un canal de comunicaci´on puede ser lineal, o no lineal, estacionaria o no estacionaria [18].

El ruido tipo impulsivo tiene la caracter´ıstica particular de que solo corrompe algunas muestras de la señal original, dejando intactas el resto de ellas. Sin embargo, las muestras afectadas presentan valores con una desviación estándar muy grande respecto al valor promedio de la señal. Existen diversas maneras para modelar el ruido tipo impulsivo. En este trabajo de tesis, hemos considerado funciones de ruido tipo impulsivo con distribución Gamma y distribución Beta, las cuales se describen enseguida.

La funci´on de densidad de probabilidad Gamma esta dada por [14]

f(x) =λe^−λ^x(−λx)^k⁻¹

Γ(k) , (2.8)

dondeΓes conocida como función Gamma para los valores k= 1, 2, . . ., n. La función Gamma se define comoΓ(x) = (k − 1)! [14] y su gráfica de densidad de probabilidad se muestra en la Fig. 2.11.

La funci´on de densidad de probabilidad Beta, esta dada por [14]

f(x) = x^α−1(1 − x)^β−1

B(α,β) , (2.9)

(36)

dondeα> 0 yβ> 0; B(α,β) es la funci´on Beta, la cual se define como [14]

B(α,β) =^Z ¹

0

x^α−1(1 − x)^β−1dt= Γ(α)Γ(β)

Γ(α+β). (2.10)

En la distribución Beta la variable aleatoria es continua y toma valores en el intervalo [0, 1], lo que la hace muy apropiada para modelar el ruido tipo impulsivo. Un ejemplo de la función de densidad de probabilidad de la distribución Beta, se muestra en la Fig. 2.12. Uno de los principales recursos de la distribución Beta es el ajuste a una gran variedad de distribuciones emp´ıricas, pues adopta formas muy diversas dependiendo de cuales sean los valores de los parámetros de forma α y β. Es importante darnos cuenta que a diferencia de la distribución Gaussiana la probabilidad de ocurrencia de eventos con magnitud muy grande es mucho mas probable en la distribuciones Gamma y Beta. Por lo tanto las distribuciones Gamma y Beta son comúnmente utilizadas para modelar el ruido tipo impulsivo.

(37)

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x

f(x)

Distribución de Densidad de Probabilidad Gamma

Figura 2.11: Distribuci´on de Densidad de Probabilidad Gamma.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x

f(x)

Distribución de Densidad de Probabilidad Beta

Figura 2.12: Distribuci´on de Densidad de Probabilidad Beta.

(38)

2.2.3. Ruido Mixto

El ruido mixto se modela como la superposición de dos señales de ruido, tales como, ruido del sensor y ruido tipo impulsivo. En la Fig. 2.6 (c) podemos observar una señal de voz contaminada con ruido mixto. Otra opción para modelar el ruido mixto es mediante el uso de la distribución de densidad de Laplace [14], la cual sirve para simular los efectos de ruido tipo impulsivo de baja probabilidad y ruido del sensor. La función de densidad de probabilidad de Laplace, esta dada por [14]

f(x|µ,b) = 1

2bexp^|x−µ|^b =









exp(⁻^µ^−x^b ), si .x < µ exp(⁻^x^−µ^b ), si .x ≥ µ

donde µ es un parámetro de localización y b> 0 es un parámetro de escala. En la Fig. 2.13 podemos observar un ejemplo particular de la distribución de Laplace.

−250 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

x

f(x)

Distribución de Densidad de Probabilidad Laplace

Figura 2.13: Distribuci´on de densidad Laplace.

(39)

Notemos que en la distribución de la Laplace la probabilidad de ocurrencia de eventos con valores de magnitud pequeña es muy probable al igual de la distribución Gaussiana. Sin embargo, notemos como en la distribución de Laplace la probabilidad de ocurrencia de eventos con magnitud muy grande es mayor que en la distribución Gaussiana.

2.3. Se ˜nales y Sistemas

Una señal puede ser definida como una función que representa las manifestaciones de energ´ıa que provienen de algún fenómeno f´ısico, y que contienen información. Una señal puede provenir de multiples fuentes, además la señal puede representar cantidades f´ısicas de una o multiples dimensiones. Una señal unidimensional (1-D) se representa mediante una función de una sola variable independiente. En general, una señal multidimensional (M-D) constituye una función de mas de una variable. La señal de voz es ejemplo de una señal de 1-D. Una señal continua en tiempo y amplitud se denomina señal analógica. Una señal continua en el tiempo y cuantizada en amplitud es conocida como señal cuantizada. As´ı mismo, una señal que es discreta en el tiempo y continua en amplitud es llamada señal de tiempo discreto. Finalmente, observemos que una señal que discreta en el tiempo y cuantizada en amplitud se llama señal digital. Una señal digital puede representarse como una secuencia infinita de d´ıgitos, por lo tanto, este tipo de señales solo tienen cabida en circuitos electrónicos digitales. Dependiendo del tipo de señal que una aplicación en particular tenga, pueden emplearse diversos tipos de operaciones de procesamiento de señales. En el caso de las señales analógicas, la mayor´ıa de las operaciones de procesamiento de señales suelen efectuarse en el dominio del tiempo, en tanto que, en el caso de señales en tiempo discreto, se recurre a las operaciones tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia. En cualquier caso, las operaciones elementales de procesamiento (multiplicación, suma, memoria) pueden realizarse en tiempo real o casi real en ambos dominios.

El procesamiento digital de una señal analógica consta de tres pasos: conversión de la señal

(40)

analógica en su forma digital, procesamiento de la señal digital, y conversión de la señal digital procesada a su forma analógica. En la Fig. 2.14 se muestra el esquema general de este proceso. En la Fig. 2.14 la señal analógica es discretizada mediante un sistema de muestreo y retención (M/R) que tiene como propósito muestrear la entrada analógica en intervalos de tiempos igualmente espaciados, y donde el valor de cada muestra es cuantizada dentro de un rango predefinido. Este proceso es conocido como conversion analógico digital. La entrada al convertidor analógico a digital (ADC) es una señal analógica contaminada con ruido del sensor n(t) y ruido ambiental q(t). En este caso f [n] = x[n] + q[n] + n[n] es la señal que se obtiene a la salida del convertidor (ADC) y representa una secuencia de datos binarios que es procesada posteriormente mediante un procesador digital a través de la ejecución de un algoritmo de procesamiento de señales. La salida del procesador digital es otra secuencia de datos que es convertida posteriormente a su forma analógica empleando un convertidor digital-analógico (DAC). El bloque de post-procesamiento a la salida del DAC remueve todos los componentes de alta frecuencia indeseables y entrega a su salida la señal analógica procesada.

Muestreo y Retenci´on

ADC

Procesamiento

digital DAC

Post- procesamiento

◮

+

x(t)

n(t)

Salida anal´ogica Entrada

anal´ogica

f[n] = x[n] + q[n] + n[n]

Figura 2.14: Esquema general de procesamiento digital de se˜nales.

Los filtros digitales pueden clasificarse en dos categor´ıas principales, filtros lineales y no lineales. Los filtros lineales satisfacen la propiedad de superposición e invariancia en el tiempo [19]. Sean y1[n] y y2[n] las señales de salida de un sistema lineal cuyas entradas son x₁[n] y x2[n] respectivamente. El sistema es lineal si la respuesta a la entrada x(n) = a1x₁[n] + a2x2[n] donde a1, a2son constantes, es igual a y[n] = a1y1[n] + a2y2[n]. Si además el sistema es invariante en el tiempo, entonces la salida del sistema a una entrada desplazada en el tiempo x[n − n⁰] sera de la forma y[n − n⁰]. La salida de un sistema lineal e invariante en el tiempo

(41)

puede caracterizarse completamente por la operación de convolución entra la señal de entrada x[n] y la respuesta impulso h[n], como a continuación:

y[n] =

N−1 k=0

∑

x[k]h[n − k]. (2.11)

De manera alternativa, el análisis y diseño de filtros lineales es comúnmente realizado en el dominio de la frecuencia. Por tal motivo introduciremos el análisis de la transformada de Fourier y transformada Z.

La representaci´on de la transformada Z de una secuencia se define por las Ecs. (2.12)-(2.13)

X(z) =

∑

∞

n=−∞x(n)z⁻ⁿ, (2.12)

y

x(n) = 1 2πj

I

X(z)zⁿ⁻¹dz. (2.13)

La transformada Z de x(n) se define por la Ec. (2.12). Se puede apreciar que en general la transformada X(z) es una serie de energ´ıa infinita de x(n) respecto a la variable z⁻¹. La representaci´on de la transformada discreta de Fourier a partir de la transformada Z, se expresa enseguida

X(e^j^ω) =

∑

∞

−∞x(n)e^{− jω}ⁿ, (2.14)

y tambi´en,

x(n) = 1 2π

Z _π

π X(e^jω)e^jωndω. (2.15)

En las Ecs. (2.12) y (2.13) podemos observar que la representaci´on de Fourier se obtiene ha- ciendo la consideraci´on z= eⁱ^ω.

Los filtros digitales lineales e invariantes en el tiempo cuyas entradas y salidas est´an rela-

(42)

Z⁻¹

x(n) Z⁻¹ Z⁻¹ Z⁻¹

+ + + +

b0

x(n − 1)

b₁

x(n − 2)

b₂

x(n − 3)

b3

x(n − M)

b_M

y(n)

Figura 2.15: Estructura de los filtros FIR.

cionadas por la operación de convolución, pueden expresarse en términos de la transformada Z, como a continuación:

Y(z) = H(z)X (z). (2.16)

La función H(z) es conocida como función del sistema o función de transferencia. La respuesta de la trasformada de Fourier H(e^j^ω) es llamada respuesta en frecuencia. H(e^j^ω) es en general una función compleja de jωUn sistema lineal e invariante en el tiempo es causal cuando h(n) = 0 para n< 0. Además, un sistema es estable si para una entrada acotada en en tiempo se produce una salida también acotada. En otras palabras, un sistema es estable si su respuesta al impulso cumple con∑^∞n=−∞|h(n)| <∞.. En términos generales, la relación entrada-salida de un sistema lineal e invariante en el tiempo, satisface la siguiente ecuación de diferencias [20]:

y(n) −

∑

N k=1

a_ky(n − k) =

∑

M r=0

b_ry(n − r). (2.17)

La respuesta de los filtros lineales se puede clasificar en dos categor´ıas: filtros de respuesta al impulso de duration finita (FIR), y filtros de respuesta al impulso de duraci´on infinita (IIR).

A partir de la Ec.(2.17), observemos que si a0= 1 y {ak = 0; k = 1, . . . , N}, la ecuaci´on de diferencias se convierte en

y(n) =

∑

M r=0

brx(n − r). (2.18)

En contraste, un sistema IIR puede escribirse mediante la Ec. 2.17. Observemos como el sistema descrito en la Ec. 2.17 es un sistema recursivo que depende de valores pasados (ver Fig.

2.16).

(43)

Z⁻¹

x(n)

Z⁻¹

Z⁻¹ +

+

Z⁻¹

b₁

b₂

b₃

a1

a₂

a₃

y(n)

b₄ a₄

Figura 2.16: Estructura de los filtros IIR.

En contraste, un sistema IIR puede escribirse mediante la Ec. 2.17. Observemos como el sistema descrito en la Ec. 2.17 es un sistema recursivo que depende de valores pasados (ver Fig. 2.16). La salida de los sistemas lineales es una combinación de los elementos de la señal de entrada. Una de las principales desventajas de estos sistemas en el procesamiento de señales es que tienden a destruir los detalles finos de la señal original, y aun mas, no tienen la capacidad de adaptarse a los cambios estad´ıstico-temporales de la perturbaciones. En la Fig. 2.17, se muestra a) una señal cuadrada libre de ruido, b) la señal cuadrada libre de ruido con una frecuencia lineal ascendente, c) la señal procesada con un filtro FIR pasabajas convencional. Se puede observar en la Fig. 2.17 (c) que el ruido aditivo ha sido exitosamente suprimido, sin embargo, podemos darnos cuenta que los detalles finos de la señal han sido destruidos.

(44)

2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

−0.5 0 0.5

a) Señal Cuadrada libre de Ruido

2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

−0.5 0 0.5

b) Señal Cuadrada distorsionada con Ruido Blanco

2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

−0.5 0 0.5

c) Señal Cuadrada procesada con el filtro promedio

Figura 2.17: a) Señal cuadrada libre de ruido, b) señal cuadrada contaminada con ruido aditivo Gaussiano y c) señal cuadrada procesada con el filtro de promedio.

Desde punto de vista estad´ıstico, el estimador óptimo respecto al criterio de error cuadrático promedio (MSE) para recuperar una señal contaminada con ruido aditivo con dis- tribución Gaussiana esta dado por el promedio deslizante [14], como a continuación:

y[k] = 1 M

M−1 k=0

∑

x[k − m]. (2.19)

Por otro lado, el estimador óptimo respecto al criterio de error absoluto promedio (MAE) para recuperar una señal distorsionada con ruido con ruido aditivo con distribución de Laplace esta dado por la mediana estad´ıstica deslizante [14],

y[k] = MEDIAN{NBH^M{x[k]}}, (2.20)

donde MEDIAN{•} es la mediana estad´ıstica y NBH^M{x[k]} es la region de soporte del filtro