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Control automático para el movimiento longitudinal en aeronaves de ala fija

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Academic year: 2023

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL.

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA.

INGENIERÍA AERONAUTICA.

“Control Automático del movimiento longitudinal en aeronaves de ala fija”

Carlos Flores Mejia.

Asesores:

DR. Carlos Manuel Rodríguez Román.

M. en C. Jorge Sandoval Lezama.

MEXICO, DF.

2008.

(2)

DEDICADO A:

• Mi padre: Luís Flores Rendón.

• Mi madre: Faustina Mejia Cortes.

• Mi hermano: Jorge Flores Mejia.

A ELLOS QUE SON MI FAMILIA LES AGRADEZCO EL APOYO, LAS

SONRISAS, LOS ABRAZOS Y POR COMPARTIR ESTA VIDA CONMIGO.

(3)

INDICE.

CAPITULO I .- Fundamentos de sistemas de control automático. --- Pág. 1 – 6.

CAPITULO II .- Estabilidad y control de aeronaves. --- Págs. 7 – 24.

CAPITULO III .- Algoritmos de control. --- Págs. 25 – 52.

CAPITULO IV .- simulación. --- Págs. 53 – 62.

BIBLIOGRAFIA. --- Pág. 64.

CONCLUSIONES. --- Pág. 63.

APENDICES. --- Págs. 65 – 74.

(4)

INTRODUCCIÓN.

El tema presentado es de interés general en las naciones del mundo, es una tendencia a quitar el piloto de la cabina, a minimizar o evitar errores humanos presentes en casi todos o la mayoría de los accidentes aéreos.

Es de interés también en cualquier tarea automatizada de un avión como puede ser patrullaje y vigilancia.

Un vehículo aéreo no tripulado se ha venido considerando por el ejercito de los Estados Unidos de América desde poco después de terminada la segunda guerra mundial, con el desarrollo del Aeroplano automático Hewitt-Sperry (En ingles Hewitt-Sperry Automatic Airplane), que trajo el desarrollo de tecnología con fines de entrenamiento antiaéreo y de misiones de ataque aéreo, posteriormente se tuvieron vehículos de control remoto hasta la era de Vietnam. Después el desarrollo de la tecnología miniatura trajo para el ejercito las primeras aeronaves de vigilancia, pero la ambición y las expectativas han ido creciendo por desarrollar vehículos con armamento aire-aire y aire-tierra lo mas autónomos posible.

Los alemanes en la segunda guerra mundial desarrollaron cohetes de ataque, aunque a estas aplicaciones se les distingue como sistemas aéreos no tripulados ( En ingles Unmanned Aircraft System) y desde luego en la actualidad ya se plantean soluciones de este tipo a la aviación comercial y civil.

El desarrollo de este trabajo es de importancia para México, pues actualmente el Ejercitó y la PGR tienen aviones para vigilancia de los mares, detección y fumigación para eliminar plantíos de marihuana o Amapola en las sierras del territorio nacional y algunas aeronaves han sido derribadas por el crimen organizado cumpliendo estas labores.

La ventaja de un UAV (unmanned aerial vehicle, en Español Vehiculo Aéreo No tripulado) es significativa, sabemos que el país no cuenta con una industria aeronáutica importante, pero construir un avión de pequeñas dimensiones, casi como un avión de radio control es barato y dotarlo de cámaras y un sistema de guía programable, para cumplir misiones de reconocimiento como lo están haciendo los ejércitos mas desarrollados del mundo, implica cumplir estas labores por parte de las fuerzas Armadas del país de manera económica, eficiente y sin exponer vidas humanas.

Este es el concepto que persiguen los UAV’s, que están siendo desarrollados actualmente en otros países del primer mundo.

Un avión que pueda seguir una ruta programada con anticipación involucra principalmente temas de: Aerodinámica, Mecánica de vuelo, Control y Estabilidad de sistemas, Electrónica, Programación, Matemáticas, entre otras mas.

La bibliografía para este tipo de temas en español es escasa y generalmente se presenta en Ingles o Francés.

En este trabajo se pretende estudiar la dinámica de vuelo de un aeronave que es el punto de partida para después automatizarla y dentro de este estudio nos limitaremos a el estudio de la estabilidad y control longitudinal de la aeronave.

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OBJETIVO GENERAL:

Proponer una metodología a seguir en el diseño de un control automático del movimiento longitudinal en aeronaves de ala fija.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

• Conocer y definir los diferentes tipos de sistemas de control automático en aeronaves existentes a la fecha, analizar sus ventajas y desventajas.

• Estudiar la estabilidad longitudinal de un aeronave, para poder definir un control que se pueda programar y permitir el control automático del movimiento longitudinal en aeronaves de ala fija.

• Definir la metodología necesaria y los pasos a seguir para realizar un movimiento longitudinal automático.

• Hacer un programa en computadora que permitan simular el control automático del movimiento longitudinal en aeronaves de ala fija.

FUNDAMENTACION:

Este trabajo es para realizar un control automático que le permita a un aeronave mantenerse en vuelo recto y nivelado, es decir, programable como un preámbulo a realizar vuelos autónomos.

Este trabajo puede ser de beneficio al ejercito, la armada, PGR e incluso a una compañía que pretenda dar servicios de esta naturaleza.

Desde la segunda guerra mundial se ha trabajado en sistemas de este tipo y actualmente los Ejércitos de EUA, Rusia, Alemania, Israel, entre otros, tienen aparatos de estos para misiones de reconocimiento de territorio enemigo a baja altura, con la mira puesta en tener estos aviones armados para combate aéreo en el futuro.

Con este trabajo no se pretenden hacer mejoras a los aparatos que ya existen, sino que podamos entender como funciona el piloto automático para mantener el avión en vuelo recto y nivelado.

Si es posible lograr el control automático de un aeronave de reconocimiento que solo incluya cámaras, entonces es un preámbulo a lograr automatizar vuelos comerciales, eliminando el error humano en la aviación haciéndola mas segura.

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METODOLOGÍA:

Debido al enorme trabajo que significa diseñar un avión, hacer el análisis de estabilidad y control y mas querer automatizarlo. Se pretende en este trabajo, partir de un diseño aerodinámico ya establecido y en base a esto tomar los datos del calculo de estabilidad y control longitudinal, para automatizarlo y realizar una simulación por computadora.

Esto se hará en base a las teorías:

1. de control moderna.

2. mecánica de vuelo.

3. Aerodinámica

4. programación por computadora.

ANTECEDENTES:

Como estudio previo a este trabajo esta un Reporte técnico individual para obtener el titulo de Ingeniero en Aeronáutica del IPN de Ismael Reyes Colin, “Análisis teórico de la estabilidad dinámica del avión ACR Tlaloc-II, con y sin aletas reflectadas; en sus movimientos longitudinal, lateral y direccional.”, México, 1995.

ALCANCE:

Primeramente se parte de un avión ya diseñado, se toman sus características aerodinámicas y sus derivadas de estabilidad longitudinal, luego se diseña un control automático apropiado y se realiza una simulación en computadora, con lo que termina el trabajo.

Pero queda para posteriores investigaciones llevar la simulación a una prueba del sistema automático de estabilidad y control, en vuelo.

Este trabajo se desarrolla tomando información de Libros e Internet. Abarcando la teoría de control mas adecuada aplicable a aeronaves.

(7)

CAPITULADO:

En el primer capitulo

Fundamentos de sistemas de control automático

se analizan a grandes rasgos los diversos sistemas de control para el vuelo automático de un avión, se trata también los tipos de actuadores de las superficies de control y de cómo los sistemas de control toman la decisión de realizar una operación para mantener en vuelo al avión. Esto con objeto de dar una introducción sin entrar en el desarrollo completo de los sistemas de control automático que se encuentran en los aviones y que hacen que estos tenga una mejor estabilidad y/o naveguen automáticamente.

El estudio de

Estabilidad y control de aeronaves

tratado en el segundo capitulo, se ha de realizar con objeto de saber si una perturbación ya sea del viento, la potencia de los motores, la acción de una superficie de control, etc. Saca al avión de alguna actuación como puede ser el vuelo recto y nivelado. Y además como se controla de manera que vuelva a la misma condición de vuelo.

En el tercer capitulo se definen los procedimientos a seguir para automatizar el sistema de control estudiado y definido en el capitulo anterior, es decir, como hacer que en lugar de que el sistema lo controle un piloto, lo controle una computadora, estos procedimientos se denominan

Algoritmos de control.

Finalmente los algoritmos se llevan a programas de computadora que en la practica deberán dirigir un Microcontrolador que estará montado en el avión para controlar todos los componentes del sistema de control automático del avión. Pero en lugar de eso se hará una simulación por computadora. Esto se analiza en el cuarto capitulo denominado

Simulación.

(8)

FUNDAMENTOS DE SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO.

Introducción.

En la actualidad es casi imposible pensar en algún dispositivo electromecánico sin un sistema de control, es por eso que este capitulo esta dedicado a tratar los fundamentos del sistema de control para la estabilidad longitudinal en aeronaves y que además este sistema de control será en teoría automático, esto significa que no tendrá que intervenir de ninguna manera un operador, que tenga que ajustar los dispositivos mecánicos y/o electrónicos.

1.1.- Sistemas de control.

Un sistema de control automático es en general un conjunto de dispositivos (Eléctricos, electrónicos y mecánicos) que están conectados de manera lógica y secuencial que trabajan para mantener una maquina funcionando según lo deseado por el usuario. Así, por ejemplo, un horno de microondas tiene un sistema de control para cocinar según el tipo de alimento que queramos, un generador eléctrico posee un sistema de control que integra el excitador, la velocidad de rotación del rotor y demás parámetros para que dispongamos de energía eléctrica, en todo momento y de manera constante, así cuando es la hora pico y se requiera de mas energía este sistema de control automáticamente hará que el generador provea de mas corriente eléctrica a la red de suministro. De igual manera el sistema de control automático que se puede implementar en un aeronave, puede cumplir con innumerables labores abordo: puede ser un sistema para el mismo generador eléctrico de un avión, un sistema de navegación y/o para el piloto automático que es el tema que nos interesa. De hecho los UAV (unmanned aerial vehicle) o Aeronaves no tripuladas llevan abordo dispositivos que juntos forman un sistema de control automático que hace las funciones de un piloto.

El estudio de los sistemas de control nació en aplicaciones para la ingeniería con el control de velocidad para el motor de una maquina de James Watt, pero es aplicable a sistemas físicos, biológicos, económicos y hasta sociales. Los sistemas de control se pueden dividir en dos principales tipos que son: sistemas de control de lazo abierto y sistemas de control de lazo cerrado (retroalimentados).

Los sistemas de control de lazo abierto son aquellos sistemas en los que una señal de salida esta previamente destinada para un proceso especifico y que generalmente esta calibrada.

Para ejemplificar mejor un sistema de control de lazo abierto, consideremos un aeronave tripulada en la que el piloto esta actuando en su palanca de mandos o bastón para mantener el avión en vuelo recto y nivelado, después de una maniobra esta manipulación de los mandos que hace el piloto son interpretados por el sistema de control como una señal controlada δcon de manera que con

CAPITULO I

(9)

potencia constante de los motores la aceleración normal an y el ritmo de cabeceo q son controlados por la deflexión del elevador δe en el estabilizador horizontal o el canard según sea la configuración del aeronave.1 Un diagrama a bloques del sistema de control se puede ver en la figura 1.1.:

dcon

Actuador de de

an q

Dinámica longitudinal

del aeronave.

Figura 1.1.

En este ejemplo no hay una señal que regrese al sistema para indicar que tanto se ha estabilizado el avión en vuelo recto y nivelado, esa decisión la tiene que tomar el piloto para volver a hacer una corrección a través de la palanca de mandos, según sus instrumentos de vuelo.

En los sistemas de control de lazo cerrado las variables que intervienen en la estabilización del avión son reingresada al propio sistema de control y comparadas con la señal de entrada, es decir, con la señal que el usuario desea, de esta manera un sistema de lazo cerrado puede determinar en un lapso de tiempo su error y estarse calibrando por así decirlo constantemente. De manera que el diagrama a bloques para el mismo ejemplo con un sistema de control de lazo cerrado se observa en la figura 1.2.:

dcon

Actuador de de

an

q

Dinámica longitudinal

del aeronave.

Figura 1.2.

Aquí podemos ver como las señales de aceleración normal an y el ritmo de cabeceo q se reingresan al mismo sistema de control para comparase con la señal que desea el piloto.

(10)

Así, este sistema se auto corrige o funciona sin tener una señal especifica predeterminada para cada acción del piloto, es decir, no se calibra.

1.2.- Importancia de los sistemas de control en aeronaves.

En aplicaciones aeronáuticas y aeroespaciales los sistemas de control son de vital importancia. Desde la segunda guerra mundial con los cohetes balísticos V-1 (Figura 1.3.) los alemanes empezaron el desarrollo de sistemas de control en aplicaciones de navegación aérea. Fue Wernher von Braun y el General de artillería Walter Dornberger junto con un equipo de científicos alemanes quienes tuvieron la visión de ocupar el espacio para transporte.

“Hemos invadido el espacio con nuestro cohete por primera vez y usado el espacio como un puente entre dos puntos en la tierra; hemos demostrado que la propulsión de cohete es practica para la navegación espacial. Este tercer día de Octubre de 1942, es el primero de una nueva era del transporte, aquella de la navegación espacial”

General Walter Dornberger

Figura 1.3.

Además en los Estados Unidos un contemporáneo de Von Braun, El pionero de los cohetes de propulsión en América Robert Goddard trabajaba con Giroscopos y los alemanes lo consultaron en algunas ocasiones.

¿Por que hablar de estos dos personajes? Porque los primeros sistemas de control en la aviación surgieron precisamente con ellos. Fue para los cohetes de propulsión con combustible líquido, estos eran cohetes que no contaban con tripulación para dirigirlos. Por lo tanto llevaban abordo los primeros sistemas de

(11)

navegación inerciales que de manera automática previo una calibración y programación conducían a los mísiles hasta su blanco, aunque no fuera de manera muy precisa.

De igual manera los cohetes Apolo que permitieron al hombre llegar a la luna estaban equipados con un sistema de guía y una computadora que procesaba la información obtenida de los giroscopos de arillos, actualmente los giroscopos de arillos se han reemplazados por giroscopos láser y de Cuarzo y aun el esquema de funcionamiento de los INS (Inertial Navigation System) o sistemas de navegación inercial sigue siendo el mismo, es decir, colocar sensores y procesar la información en un computador.

No solo existen sistemas de navegación como formas de aplicar los sistemas de control automático en aeronaves, también son empleados como sistemas auxiliares para optimizar el funcionamiento Aerodinámico, estructural y de estabilidad de aviones. Por ejemplo: disminuir problemas de Aeroelasticidad, Aumentar la estabilidad y hacer maniobrables aviones que son inestables.

1.2.1.- Sistemas de control en aeronaves.

Lo que importa en este trabajo es como los sistemas de control son empleados para mover las superficies de control que permiten cambiar de actitud un avión en vuelo.

Las superficies de control que permiten a un avión maniobrar son: alerones, flaps, slats, timón de profundidad, timón vertical y la tracción de los motores que aunque no es una superficie de control también permite a un avión realizar maniobras.

Todas las superficies de control son mecanismos que tienen que ser accionados de manera mecánica, hidráulica o eléctrica.

Los sistemas mecánicos son empleados en aeronaves de baja velocidad en las que toda la fuerza utilizada para mover las superficies de control la proporciona el piloto, estos sistemas emplean cables, poleas, barras y cadenas.

Los sistemas hidráulicos poseen bombas, ductos, válvulas y actuadores y un sistema mecánico que transmite de los controles de la cabina las acciones del piloto al sistema hidráulico que por medio de las bombas incrementa considerablemente la presión del un fluido hidráulico y los actuadores convierten esa presión a la fuerza que se necesita para mover las superficies de aviones mas rápidos y pesados.

Los sistemas (fly-by-wire) de vuelo por cables que pueden ser analógicos o digitales reciben de un Joystick o del bastón de mandos de la cabina impulsos eléctricos y los procesan para enviar señales a los actuadores de las superficies de control por medio de cableado eléctrico, de ahí su nombre.

El Funcionamiento del sistema (fly-by-light) es igual solo que se utiliza en lugar de impulsos eléctricos a través de cables, señales de luz por medio de fibra óptica. La ventaja sobre el fly-by-light es que es menos susceptible a interferencias.

Los sistemas mecánicos quedan restringidos a aeronaves pequeñas pues la fuerza que un piloto puede imprimir al sistema puede ser insuficiente para aeronaves mas pesadas y veloces, esto debido a altas presiones que afectan a las superficies de control en aeronaves que vuelan en dichas condiciones, para las cuales están los sistemas hidráulicos, pero estos están quedando en desuso, se

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han reemplazado con el paso del tiempo por los sistemas fly-by-wire y fly-by-light, la causa principal es el peso, sin duda que tener cableado eléctrico o fibra óptica resultado un ahorro considerable de peso en comparación con los cables de acero, poleas, bombas, válvulas y actuadores de los sistemas mecánicos e hidráulicos. Además estos sistemas al regirse por computadoras como elementos principales de control pueden implementar varias funciones de extrema seguridad, como son: no permitir al piloto ángulos de ataque críticos en los que el avión pueda entrar en perdida o maniobras que puedan dañar estructuralmente al avión, aterrizar o despegar en automático o controlar el suministro de combustible en vuelo a bajas velocidades como sucede en el aterrizaje.

Para el propósito de un UAV es conveniente utilizar un sistema de control para las superficies de tipo fly-by-wire o fly-by-light, aunque es más viable el primero por su economía. Y los sistemas mecánicos e hidráulicos se descartan por ser pesados y espaciosos para un avión de las magnitudes de un UAV.

El uso de un sistema para las superficies de control de un UAV por medio de fly- by-wire no lo estamos iniciando en este trabajo, pues es claro que los aviones a radio-control y los mismos UAV ya utilizan esta tecnología, abordo poseen sensores, microcontroladores, servomecanismo como: actuadores y algunos sistemas mecánicos de dimensiones reducidas, cámaras, acelerómetros, giroscopos, entre otros mecanismos todos enlazados por cables eléctricos.

1.3.- Esquema del sistema de control de un avión.

El propósito de este trabajo es analizar el control automático de cabeceo de un avión, esto se hace aumentando o disminuyendo la tracción o empuje para modificar la velocidad relativa del viento con el ala y aumentar o disminuir el levantamiento respectivamente, así, se obtiene un cabeceo, pero también con la deflexión del elevador se puede lograr, esto implica pues que será un avión robot que para lograr dicho cometido tendrá que controlar la potencia y el elevador del estabilizador horizontal, quizá una combinación de ambos o uno a la vez lo cual dependerá de la estabilidad del aeronave y de las perturbaciones tanto externa como son: las condiciones climatologicas. Así como las perturbaciones internas que son: las señales de control que se estén procesando y ejecutando, de manera que a cada instante se estarán modificando las condiciones de vuelo del avión.

Esto es lo que los algoritmos de control propuestos deben resolver.

(13)

Referencias:

Referencias: Referencias:

Referencias:

1.- Norman S. Nise, “Sistemas de control para ingeniería”, Ed. CECSA, Primera edición en Español, México 2004. Págs. 170-171.

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ESTABILIDAD Y CONTROL DE AERONAVES.

Introducción.

En este capitulo se describen las ecuaciones de movimiento de una aeronave, que es la primera etapa del proceso de diseño de un sistema de control automático.

Posteriormente se trata brevemente de la estabilidad.

Las ecuaciones de movimiento de un cuerpo en el espacio empleando la teoría de las pequeñas perturbaciones ya han sido desarrolladas, y para su aplicación en aeronaves, esas pequeñas perturbaciones generan las fuerzas y momentos que dan lugar al movimiento de una aeronave y son de origen aerodinámico. En este capitulo se da una breve descripción de estas y como emplearlas para calcular la estabilidad y proponer un control automático en la aeronave.

El desarrollo completo y detallado de las ecuaciones se pueden consultar en:

Flight Dynamics Principles de M, V, Cook (1997)1. 2.1.- Ecuaciones de movimiento.

Al desarrollar las ecuaciones de movimiento el objetivo es aplicar la segunda ley de Newton (Ec. 2.1) a los seis grados de libertad del movimiento de un cuerpo en el espacio, estos seis grados de libertad son: tres fuerzas y tres momentos.

a m n aceleracio masa

F = × = × Ec. 2.1.

Una fuerza y un momento actúan en cada uno de los ejes de un sistema de ejes ortogonal con componentes (oxyz) con el origen ‘o’ en el centro de gravedad (cg) del cuerpo.

Las componentes de velocidad y fuerza a lo largo de los eje x, y Y z respectivamente son: (U, V, W) y (X, Y, Z) y las componentes de velocidad angular y momento en los mismos ejes son: (p, q, r) y (L, M, N) respectivamente (véase figura 2.1).

Considerando componentes de aceleración y velocidad aplicados en un punto fuera del Cg., se procede a escribir tres ecuaciones de Aceleración (una por cada eje coordenado), las cuales al multiplicarse por la masa del cuerpo dan como resultado las ecuaciones de Fuerza. Dichas ecuaciones de Fuerza al multiplicarse por la distancia del punto de aplicación al centro de gravedad darán como resultado las ecuaciones de momentos.

CAPITULO II

(15)

y

z

x O

cg

r, N

W, Z q, M

V, Y

p, L

U, X

Figura 2.1.

Las ecuaciones de Fuerzas y Momentos dan un total de seis como habíamos ya comentado y estas son:

N p qr I pq I I r I

M r p I pr I I q I

L r pq I qr I I p I

Z pV qU W m

Y rU pW V m

X qW rV U m

xz y

x z

xz z

x y

xz z

y x

=

− +

=

− +

− +

= +

= +

= +

= +

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

. .

2 . 2

.

. Ec. 2.2.

Estas ecuaciones representan el movimiento del cuerpo en sus seis grados de libertad. Como los términos del lado derecho de las Ec. (2.2) lo señalan las primeras tres representan las fuerzas que actúan en el movimiento del cuerpo y las últimas tres representan los momentos que en aviación se conocen como:

Alabeo, Cabeceo y Guiñada respectivamente.

Los términos del lado derecho de las Ec. (2.2) deben adecuarse de manera que estas ecuaciones describan el movimiento de un avión y ya no de un cuerpo cualquiera. Para lo cual se asume que las pequeñas perturbaciones que sufre un aeronave tienen su origen por efectos Aerodinámicos, efectos Gravitacionales, por el movimiento de las superficies de Control, efectos de la variación de Potencia en

(16)

los motores, y efectos por Disturbios atmosféricos. Y la ecuaciones (2.2) se reescriben:

d p c g a xz

y x z

d p c g a xz

z x y

d p c g a xz

z y x

d p c g a

d p c g a

d p c g a

N N N N N p qr I pq I I r I

M M M M M r p I pr I I q I

L L L L L r pq I qr I I p I

Z Z Z Z Z pV qU W m

Y Y Y Y Y rU pW V m

X X X X X qW rV U m

+ + + +

=

− +

+ + + +

=

− +

− +

+ + + +

= +

+ + + +

= +

+ + + +

= +

+ + + +

= +

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

. .

2 . 2

.

. Ec. 2.3.

Cada uno de los términos del lado derecho se conocen como derivadas de estabilidad y derivadas de control. Y se determinan a partir de consideraciones aerodinámicas principalmente, que simplifican la cantidad de términos en las ecuaciones (2.3). Dichas derivadas describirán el movimiento del avión en sus seis grados de libertad. De estas derivadas de estabilidad y control nos ocuparemos mas adelante.

2.2.- Ecuaciones del movimiento longitudinal de una aeronave.

Como lo indica el titulo este trabajo se enfoca al movimiento longitudinal de un aeronave de ala fija, este movimiento se da en el plano longitudinal de simetría del aeronave, es decir, en el plano xz (véase figura 2.1.). Para que las ecuaciones (2.3) puedan representar el movimiento longitudinal, es decir, cuando la aeronave esta avanzando y solo presenta movimientos de cabeceo sin dar alabeos y/o guiñadas, este movimiento esta descrito por la fuerza axial (X), la fuerza normal (Z) y el momento de cabeceo (M). Al suponer también que no existe movimiento lateral las variables y sus correspondientes derivadas de u, p, r son todas cero, así también como el timón y los alerones no producen movimiento las respectivas derivadas de control también son cero.

Así las ecuaciones de movimiento longitudinal referidas a los ejes cuerpo son:

τ η

τ η θ

θ

τ η θ

θ

τ η

τ η

τ η

0 0

0 0

0 . 0 .

0 0 0

0 0 . 0 .

0 0

0 0

0 . 0 .

. . .

sin cos

M M

q M w M u M w M q I

Z Z mg

q mU Z

w Z u Z w Z w m

X X

mg q mW X

w X u X w X u m

q w

u y w

e q e

w u

w

e q e

w u

w

+ +

+ +

=

+ +



 

 +

+ +

=

+ +



 

 −

+ +

=

Ec. 2.4.

(17)

Y para tener cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas se agrega:

=q

θ. Ec. 2.5.

Lo que significa que es una ecuación del espacio de estados con la forma:

) ( ) ( )

(

.

t u B t x A t x

M = ′ + ′ Ec. 2.6.

Las matrices que componen la ecuación (2.6) cuando se trabaja con valores dimensionales son:









′=













− +

′=









=

0 0

0 1

0 0

0 sin )

(

cos )

(

1 0 0

0

0 0

0 0 ) (

0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

. . .

τ η

τ η

τ η

θ θ

M M

Z Z

X X B

M M

M

mg mU

Z Z Z

mg mW

X X X A

I M

Z m

X m

M

q w

u

e q e

w u

e q e

w u

w y w w

Ec. 2.7 A.

Donde: Ue =V0cosθe y We =V0senθe

Las matrices (Ec. 2.7 A.) son aplicadas cuando los valores de las derivadas de estabilidad y control están dadas con unidades (dimensiones).

Cuando los valores de las derivadas de estabilidad y control son dadas sin dimensiones, equivalentemente se usan las matrices (Ec. 2.7 B.) .

El tener las derivadas de estabilidad y control con unidades o sin ellas, es criterio de la persona que las calcula, generalmente los Aerodinamicistas acostumbran trabajar con valores adimensionales. Aunque un ingeniero encargado de la dinámica de vuelo generalmente trabaja con unidades, pero son simples criterios.

(18)

Las unidades adimensionales se obtienen generalmente dividiendo una cantidad por un factor que elimina las unidades por ejemplo:

El levantamiento tienen unidades de fuerza:

Cl SV

L 2

12ρ

= y el coeficiente de levantamiento es adimensional, que resulta de dividir L por un factor apropiado, como se puede ver en el despeje:

S V Cl 2L2

= ρ .





′=





− +

′=

















 −

=

0 0

0 1

0 0

0 sin ' ) ' (

cos ' ) ' (

1 0 0

0

0 ' 0

0 0 '

0

0 0 '

0 0

0 0

0 0

0 0 0

. . .

τ η

τ η

τ η

θ θ

M V M V

Z V Z V

X V X V B

c M M

M

g m U

m c Z Z Z

g m W

m c X X X A

V I c M

V c Z m

V c X m

M

q w

u

e e

q w u

e e

q w u

y w

w w

Ec. 2.7 B.

Donde:

S V m m

2 0

' 1

= ρ y =

c S V I y Iy

2 0

1

' ρ

Las ecuaciones (2.4) en la forma de espacio de estado deben escribirse como:



 +

=

+

=

) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

.

t Dx t Cx t y

t Bu t Ax t

x Ec. 2.8.

De manera que demos multiplicar la inversa de la matriz de masa (M-1) por A’ y B’,

(19)

Así :

m A m m m

z z z z

x x x x A M

q w u

q w u

q w u

=









=

0 1 0 0

1 '

θ θ θ

Ec. 2.9.

De manera semejante:

m B m

z z

x x B

M =









=

0 0

1 '

τ η

τ η

τ η

Ec. 2.10.

El resultado de M-1 por A’ es: A y de M-1 por B’ es: B

Con lo anterior obtenemos la ecuación (2.11) que describe el movimiento longitudinal de una aeronave en la forma del espacio de estados.



 





 +









=









τ η θ θ

τ η

τ η

τ η

θ θ θ

0 0 0

1 0

. 0

. . .

m m

z z

x x

q w u

m m m m

z z z z

x x x x

q w u

q w u

q w u

q w u

Ec. 2.11.

La ecuación (2.11) parece salir de la nada pero ya se ha hablado de su origen y nuevamente si se desea conocer a detalle su desarrollo consulte la referencia 1.

Debe prestarse atención en el hecho de que las derivadas de estabilidad y control no se sustituyen directamente en la ecuación (2.11), pues los valores de esta ecuación se conocen como derivadas en forma concisa y para obtenerlas y llegar a las ecuaciones de movimiento longitudinal en la forma de la ecuación (2.11), habrá que usar las ecuaciones (2.7 A) para valores de las derivadas de estabilidad y control con unidades (dimensionales) o las ecuaciones (2.7 B.) para valores sin unidades (adimensionales).

Con ( )

.

t

X como la ecuación de estado y y(t) como la ecuación de salida. Con A, B, C y D como matrices con elementos constantes, por describir un sistema linear invariante en el tiempo.

(20)

Donde los valores de las ecuaciones (2.9.) y (2.10.) que están contenidos en la ecuación (2.11.) son para valores con unidades (Dimensionales):

0

) cos 1 (

) 1 (

1 1 cos

) (

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0

0

0 0 0

0 0

0

0 0 0

0 0

0 0 0 0

. .

. .

.

. .

.

. .

.

=

=

=

=



 

 − −





= −





+ +

+



 

 −





= −





+

 +



= −





+

 +



=

=

= −

=

=

θ θ θ

θ θ

θ

m

I m M

I m M

I m M

mgsen g

X Z

m z

I M mU M

m Z mW X

X

Z m z

I M Z M

m X X Z

m z

I M Z M

m X X Z

m z

g x

m mW x X

m x X

m x X

y q q

y w w

y u u

e w e

w

y q w q e

q e w

w q

y w w w

w w

w w

y u w u

u w

w u

e q e

q

w w

u u

(21)

y y

y w w

w

y w w

w

I m M

I m M

I M Z M

m X X

Z m

z

I M Z M

m X X

Z m

z

m x X

m x X

τ τ

η η

τ τ τ

τ

η η η

η

τ τ

η η

0 0

0 0

0 0

0

0

0 0

0 0

0

0 0

0

1 1

=

=





+

 +



= −





+

 +



= −

=

=

&

&

&

&

&

Para los respectivos valores sin unidades (adimensionales) es fácil agregar los términos V0 y de cuerda aerodinámica media necesarios en cada termino correspondientes. Pero es conveniente trabajar numéricamente con las ecuaciones (2.7) que con las expresiones anteriores, esto para evitar errores.

2.4.- Estabilidad.

Existen muchas definiciones de estabilidad dependiendo del tipo de sistema del que se trate. Afortunadamente en este trabajo el modelo matemático de un aeronave es simple, pues se limita a la teoría de las pequeñas perturbaciones, lo cual hace lineal el modelo.

Una definición típica para un sistema lineal, adoptada a un aeronave es:

“Se dice que un sistema (aeronave) el cual inicialmente esta en equilibrio, es estable si, después de un disturbio de amplitud y duración finito al final en la respuesta se desvanece o se hace pequeño”.

Se suele hablar de dos tipos de estabilidad en el estudio del caso particular de aeronaves, esto es: estabilidad estática y estabilidad dinámica.

En realidad ambas son inseparables y se deben considerar como una entidad.

La estabilidad estática en un aeronave es interpretada como la tendencia a converger en la condición de equilibrio inicial, después de un pequeño disturbio en la palanca de mando.

La estabilidad dinámica describe la transición del movimiento involucrado en el proceso de recobrar el equilibrio después de un disturbio6.

(22)

En este trabajo las ecuaciones diferenciales que definen el movimiento longitudinal del aeronave son del tipo lineal. Los sistemas definidos por este tipo de ecuaciones reciben el nombre de sistemas lineales invariantes en el tiempo.

Una ecuación diferencial lineal tiene la forma:

Ec. 2.12.

Sabemos que una ecuación diferencial es lineal porque no existen productos de la incógnita consigo misma ni ninguna de sus derivadas.

Este tipo de ecuaciones tienen una solución compuesta por la solución particular y la solución homogénea. Como se ve en la ecuación 2.13:

Ec. 2.13.

En estabilidad lo importante es observar que la solución homogénea consta del termino exponencial eλkx, donde λ representa las raíces del polinomio característico, las cuales nos pueden dar tres casos de solución de la parte homogénea. Estas raíces tienen la forma: σ ± ji. Donde σ representa la parte real y ji la parte imaginaria.

Ahora un parámetro importante de estabilidad viene a ser el signo de la parte real de las raíces. Pues como ya se estableció, para que un sistema sea estable es necesario que una perturbación se desvanezca. Así, un signo positivo de la parte real ocasiona que el termino exponencial se incremente alejándose de la posición de equilibrio del sistema, mientras que un signo negativo ocasiona que el termino exponencial decrezca acercándose a la posición de equilibrio.

Por lo tanto un sistema es estable si sus raíces tienen signos negativos en la parte real y será inestable si sus raíces tienen signo positivo en la parte real.

Esto será importante en el capitulo 3, al tratar las graficas del lugar de las raíces.

El símbolo ∆(s) representara el polinomio característico del cual se ha hablado y que al igualarlo a cero se conoce como la ecuación característica y de esta manera nos determina todas las propiedades de estabilidad longitudinal que estamos buscando.

La ecuación característica es:

0 )

( = − =

∆ s sI A Ec. 2.14.

Las raíces de la ecuación (2.14) se conocen como valores propios y cada valor propio λi tiene su correspondiente vector propio vi y podemos escribir:

i i

i v

Av =λ Ec. 2.15.

(23)

Por lo tanto:

[

λiIA

]

vi =0 Ec. 2.16.

Si V considera todos los vectores propios vi entonces:

VA V

AV ≡





=

4 3 2 1

0 0 0

0 0

0

0 0 0

0 0 0

λ λ λ λ

Ec. 2.17.

Si ∂ representa la diagonal de la matriz de valores propios y por la propiedad:

=

AV

V 1 Ec. 2.18.

Entonces se dice que A es una matriz similar a la diagonal de la matriz de valores propios ∂ y las matrices similares tienen la propiedad de que sus valores propios son similares. Así que teniendo los valores de la matriz A y calculando sus valores propios obtenemos los valores de la ecuación característica ∆(s) que nos proporciona las características de estabilidad longitudinal, estas constan de dos modos de movimiento el periodo corto de alta frecuencia y el Fugoide de baja frecuencia.

Por tanto λ1 y como estos valores son números complejos pues junto con su conjugado λ2 nos describen el modo de movimiento de Periodo corto y λ3 con su correspondiente conjugado λ4 nos describen el Fugoide.

De estos complejos el valor de la parte imaginaria es la frecuencia natural y la parte real es el factor de amortiguamiento.

2.3.- Derivadas de estabilidad y de control.

Debido a la complejidad de las ecuaciones de movimiento de un vehiculo de vuelo atmosférico, las derivadas de estabilidad y control son un medio de linealizarlas, a manera de que las técnicas de ingeniería de control disponibles puedan ser aplicadas, puesto que para el diseño de autopilotos es necesario tratar con aproximaciones de las ecuaciones de movimiento.

Una derivada de estabilidad o control es un cambio incremental de una fuerza o momento actuando en el vehículo con respecto a un cambio incremental de uno de los estados o variables. Estas derivadas no son mas que los elementos de la matrices A y B de las ecuaciones (2.11) de movimiento longitudinal. Cuando estas derivadas integran la matriz A se llaman derivadas de estabilidad y si integran la matriz B son derivadas de control.

Puesto que el objetivo de este trabajo no es calcular estas derivadas de estabilidad y de control, si no el de utilizarlas en las ecuaciones (2.11) para diseñar un autopiloto, entonces como ejemplo hemos tomado las derivadas ya calculadas del avión McDonnell Douglas F-4C Phantom, para una condición de

(24)

vuelo con un peso de 38,925 libras, volando a nivel del mar a Mach 1.1 en vuelo recto y nivelado2.

En la tabla 2.1 se enlistan dichas derivadas en forma concisa con su simbología, y valor:

Tabla 2.1.

Símbolo. Valor.

XU -0.068

ZU 0.023

MU 0.011

Xw -0.011

Zw -2.1

Mw -0.16

Xq 0

Zq 375

Mq -2.2

Xθ -9.81

Zθ 0

Mθ 0

Xη -0.41

Zη -77

Mη -61

Xτ 1

Zτ -0.09

Mτ -0.11

Adicionalmente si se trabajara con un avión para el cual se tienen las derivadas de estabilidad y control relacionadas a los ejes de estabilidad o ejes viento (OXwYwZw) según la figura 2.2. Entonces habrá que hacer las transformaciones correspondientes a los ejes cuerpo (OXbYbZb), pues son en estos ejes en lo que se dedujeron las ecuaciones (2.11) de movimiento. Esto se realiza con referencia a la tabla 2.2 3.

En la tabla 2.3 3, se encuentra las transformaciones correspondientes a las derivadas de control para usar esa tabla basta con sustituir el subíndice δ por η para las correspondientes derivadas de control del elevador o por τ para el empuje.

(25)

Tabla 2.2.

Tabla 2.3.

(26)

Figura 2.2.

2.3.- Diseño del control por el método de posicionamiento de polos.

El método de posicionamiento de polos4 es una forma de colocar los polos del sistema de manera deseada, así se tiene control.

Otro método es el lugar de las raíces que analiza una variable o estado a la vez, en cambio el método de posicionamiento de polos es aplicado a las ecuaciones de un sistema de lazo cerrado en la forma de espacio de estados (como están escritas las ecuaciones (2.11)), y permite posicionar los polos para todas las variables a través de una ganancia, por lo que es un método muy aplicable a sistemas de control que se realimentan de múltiples variables.

En un sistema de lazo cerrado la retroalimentación, la salida, Y, se realimenta al punto suma, con este método en lugar de realimentar Y se realimentan todas las variables (estados).

Para empezar un sistema de control retroalimentado de n-esimo orden como el representado en la figura 2.3 y por la ecuación (2.8):

 +

=

+

=

) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

.

t Dx t Cx t y

t Bu t Ax t

x Ec. 2.8. repetida.

(27)

Figura 2.3.

tiene una ecuación característica en lazo cerrado de n-esimo grado de la forma:

0 ... 1 0

1

1 + + + =

+a s as a

sn n n Ec. 2.19.

Si cada variable de estado se retroalimenta al control u, por medio de una ganancia, ki, habría n ganancias ki, que se podrían ajustar para obtener los valores requeridos de polo en lazo cerrado. Y la ecuación (2.8.) se puede reescribir como:



 +

=

+

=

) ( ) ( ) (

) (

) (

.

t Dx t Cx t y

Br x BK A t

x Ec. 2.20.

Con el sistema representado a bloques como en la figura 2.4.

Figura 2.4.

Dicho sistema tiene una ecuación característica de la forma:

0 ) (

) (

...

)

( 1+ 1+ + 1+ 2 + 0 + 1 = + a k s a k s a k

sn n n n Ec. 2.21.

(28)

El método consiste en obtener la ecuación característica del sistema escrita como la ecuación (2.20) agregando a los coeficientes los términos k y proponer después otra ecuación característica del mismo sistema pero con las características de estabilidad que deseamos. Después de las dos ecuaciones características se igualan sus coeficientes.

Ahora suponiendo que la ecuación característica que deseamos obtener para cumplir con las características de estabilidad deseadas es:

0 ... 1 0

1

1 + + + =

+d s ds d

sn n n Ec. 2.22.

Donde las di son los coeficientes deseados. Igualando las ecuaciones (2.21) y (2.22), obtenemos:

+1

+

= i i

i a k

d Ec. 2.23.

De donde:

i i

i d a

k+1 = − Ec.2.24.

Que son las ganancias que deseamos retroalimentar después de una perturbación.

2.3.1.- matriz de controlabilidad.

Para utilizar el método de posicionamiento de polos , es necesario, asegurar que nuestras ecuaciones cumplen con los requerimientos de controlabilidad de manera que podamos colocar los polos a nuestro gusto.

Para controlar la ubicación de los polos de un sistema de lazo cerrado, es necesario que la señal de control, u, pueda controlar el comportamiento de cada variable de estado en x.

Si cualquiera de las variables de estado no puede ser controlada por el control, u, entonces no podemos ubicar los polos del sistema donde los deseamos.

Una definición de controlabilidad es: ” Si se puede hallar una entrada a un sistema que tome todas las variables de estado de un estado inicial deseado a un estado final deseado, se dice que el sistema es controlable, de otra forma, el sistema es no controlable.”

La ubicación de polos es una técnica viable de diseño solo para los sistemas que son controlables. Para determinar si esta técnica nos es útil, habrá que cumplir con los requisitos de controlabilidad.

Podemos explorar la controlabilidad por inspección de la misma ecuación de estado:

(29)

u x a x

u x a x

u x a x

+

=

+

=

+

=

3 3 3

.

2 2 2

.

1 1 1

.

Ec. 2.25.

Como cada una de las ecuaciones (2.25) es independiente y desacoplada del resto, el control, u, afecta cada una de las variables de estado. Esto es controlable.

El problema de visualizar la controlablidad así se hace mas complicado si el sistema tiene polos múltiples.

Para estar en capacidad de determinar la controlabilidad y diseñar mediante la retroalimentación del estado para una planta bajo cualquier selección de variables de estado, se deduce una matriz que debe tener una propiedad particular si todas las variables de estado se van a controlar por la entrada de planta, u.

Una planta de n-esimo orden es controlable si la matriz de controlabilidad CM es de rango n. CM se define como:

[

B AB A B A B

]

CM = 2 K n 1 Ec. 2.26.

Como ejemplo consideremos un sistema descrito por la ecuación:

u x x





 +





=

1 1 0

2 0 0

0 1 0

0 1 1

.

Ec. 2.27.

La matriz de controlabilidad es:

[ ]





=

=

4 2 1

1 1 1

2 1 0

2B A AB B

CM Ec. 2.28.

El rango de CM es igual al numero de filas o columnas linealmente independientes. El grado se puede hallar al encontrar la submatriz cuadrada del orden mas alto que sea no singular. El determinante de CM=-1. dado que el determinante no es cero, la matriz es no singular de 3x3, y el rango es 3. Así se dice que el sistema es controlable, pues el rango de la matriz de controlabilidad CM es igual al orden del sistema.

Aun en el caso de que un sistema sea no controlable se pueden calcular polos para hacer un diseño de control, con métodos un tanto mas laboriosos que no se tratan en este trabajo, debido a que el Software que emplearemos en el calculo integra estos métodos en sus algoritmos, además de no ser ese el objetivo, que se sigue, pero se deja al interesado consultar la referencia 5.

(30)

Para calcular la matriz de controlabilidad, así como el posicionamiento de polos, la ecuación característica y demás cálculos se tiene contemplado el uso del paquete de computadora Matlab versión 7 cuyos comandos y forma de uso en el desarrollo de diseño del sistema de control automático se describirá en los capítulos siguientes.

(31)

Referencias:

Referencias: Referencias:

Referencias:

1.- M. V. Cook, “Flight Dynamics Principles”, Ed. Arnold, Gran Bretaña, 1997, Págs. 55-79.

2.- M. V. Cook, “Flight Dynamics Principles”, Ed. Arnold, Gran Bretaña, 1997, Págs. 272.

3.- M. V. Cook, “Flight Dynamics Principles”, Ed. Arnold, Gran Bretaña, 1997, Apéndice 7,Págs. 359-360.

4.- Norman S. Nise, “Sistemas de control para ingeniería”, Ed. CECSA, Primera edición en Español, México 2004. Págs. 719 – 732.

5.- Stanley M. Shinners, “Modern Control System, Theory and Design”, Ed.

Wiley-Interscience, Second edition, EUA, 1998, Págs. 611-620.

6.- M. V. Cook, “Flight Dynamics Principles”, Ed. Arnold, Gran Bretaña, 1997, Págs. 189-190.

(32)

ALGORITMOS DE CONTROL.

Introducción.

Un algoritmo es como una receta de cocina, son todos los pasos a seguir, uno a uno y en una secuencia lógica. De manera que para lograr el control automático longitudinal de un avión de ala fija se debe hacer esta receta, es decir, una secuencia lógica, algoritmo y/o método. Hasta ahora solo tenemos en los capítulos que anteceden a este, la descripción de los sistemas de control y de las ecuaciones de movimiento y un sistema en el espacio de estados para un F-4C Phantom.

Para diseñar un sistema de control necesitamos saber si ese sistema es estable deacuerdo a la relación de amortiguamiento y frecuencia natural que señale la reglamentación aeronáutica que corresponda. Luego hemos de seleccionar que variable se retroalimentara al elevador y que variable al motor, así también se calculara una ganancia para realimentar el elevador y otra para el motor.

3.1.- Espacio de estados en Matlab.

Antes de empezar a trabajar en Matlab es necesario especificar el directorio en el que deseamos trabajar como se observa en la figura 3.1. de lo contrario Matlab establece por defaul el directorio ‘C:\MATLAB7\work’. Además del Matlab es necesario contar también con el” Control System Toolbox” o caja de Herramientas de sistemas de control de Matlab.

Para introducir en Matlab matrices es entre corchetes, separando las columnas por espacios o comas y los renglones por el punto y coma [;]. Si al final de cada línea agregamos punto y coma no muestra después nada. De manera que para introducir la matriz A, tecleamos como sigue:

>> a=[-0.068 -0.011 0 -9.81;0.023 -2.1 375 0;0.011 -0.16 -2.2 0;0 0 1 0];

Una vez hecho esto al teclear ‘a’, nos aparece nuestra matriz ya lista:

>> a a =

-0.0680 -0.0110 0 -9.8100 0.0230 -2.1000 375 0 0.0110 -0.1600 -2.2 0 0 0 1 0

CAPITULO III

(33)

Figura 3.1.

De la misma manera con la matriz B, introducimos:

>> b=[-0.41 1;-77 -0.09;-61 -0.11;0 0];

Si tecleamos ‘b’ ya tenemos nuestra matriz lista:

>> b b =

-0.4100 1.0000 -77.0000 -0.0900 -61.0000 -0.1100 0 0

La matriz C es unitaria y la declaramos como:

>>c=[1 1 1 1];

(34)

Para finalizar el sistema en el espacio de estados la matriz D se declara cero;

>>d=[0 0];

3.2.- Análisis de estabilidad.

Ahora para especificar un modelo de espacio de estados llamado “phantom”, tecleamos como sigue:

>>phantom=ss(a,b,c,d);

Fácilmente con el comando ‘damp’ obtenemos el factor de amortiguamiento y la frecuencia natural de nuestro sistema:

>>damp(phantom)

Eigenvalue Damping Freq. (rad/s)

-3.51e-002 + 4.14e-002i 6.46e-001 5.43e-002 -3.51e-002 - 4.14e-002i 6.46e-001 5.43e-002 -2.15e+000+ 7.75e+000i 2.67e-001 8.04e+000 -2.15e+000 - 7.75e+000i 2.67e-001 8.04e+000

Aquí solo hay que identificar que valores corresponden al “modo de movimiento Fugoide” y cuales al “modo de movimiento de periodo corto”. Lo cual es muy fácil pues la frecuencia es el inverso del periodo, así, un periodo (corto) de valor pequeño dará una frecuencia alta, Entonces los valores que nos da el comando

‘damp’ los podemos ordenar en una tabla:

Modo de movimiento:

Relación de amortiguamiento:

Frecuencia

natural: Polos:

Fugoide. 6.46e-001 5.43e-002 -3.51e-002 ±

4.14e-002i

Periodo corto. 2.67e-001 8.04e+000 -2.15e+000 ±

7.75e+000i Según la norma MIL-F-8785C el McDonnell Douglas F-4C Phantom entra en la categoría de aeronave clase IV y su fase de vuelo lo coloca en categoría A, por su calidad de vuelo esta en nivel 1.

Según dicha norma la relación de amortiguamiento del Fugoide debe ser de al menos 0.04 y el periodo corto entre 0.35 y 1.3, según esto el F-4C Phantom no cumple con la relación de amortiguamiento en periodo corto, pues esta bajo.

(35)

Se escogió un valor de 0.7 para la relación de amortiguamiento en lugar de 0.267 para cumplir con la norma.

De este nuevo valor obtenemos una nueva ecuación característica que nos dará los polos con los cuales el sistema será estable conforme a la norma mencionada.

La ecuación característica es:

0 192 . 0 5136 . 4 787 . 64 27

.

11 3 2

4 + S + S + S+ =

S Ec. 3.1.

Para encontrar sus raíces o polos en Matlab es necesario introducir dicha ecuación, lo cual se hace definiendo un vector con sus coeficientes, de la forma:

>> r=[1 11.27 64.787 4.5136 0.192];

Luego con el comandó ‘roots’ obtenemos las raíces, como sigue:

>> p=roots(r) p =

-5.6000 + 5.7131i -5.6000 - 5.7131i -0.0350 + 0.0421i -0.0350 - 0.0421i

3.3.- Posicionamiento de polos.

Como se vio en la sección 2.3.1. el método de posicionamiento de polos es aplicable si el sistema es controlable, para lo cual debemos obtener la matriz de controlabilidad. Esto se hace fácilmente con el comando ‘ctrb’, para una matriz ‘a’

de 4X4 y una matriz ‘b’ de 4X2, tecleamos:

>>cm=ctrb(a,b);

Ahora la variable ‘cm’ contiene la matriz de controlabilidad de 4 filas y 4X2 columnas. Pero para que el sistema sea controlable se necesita que la matriz de controlabilidad ‘cm’ tenga un rango de 4. Para saberlo usamos el comando ‘rank’, tecleamos ahora lo siguiente:

>> rank(cm) ans =

4

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