Tema 5. Análisis de problemas y toma de decisiones
‐ Introducción
‐ La modelización
‐ Ambientes de decisión
‐ Certeza
‐ RiesgoRiesgo
‐ Incertidumbre Estructurada
‐ Incertidumbre no estructurada
‐ Criterios de decisión en contexto de incertidumbreCriterios de decisión en contexto de incertidumbre
‐ Laplace
‐ Optimista
‐ Pesimista
‐ Hurwicz
‐ Savare
‐ Probabilidad
‐ Análisis Bayesiano
5.1 Introducción
La adopción de decisiones tiene tanta importancia en el ámbito empresarial La adopción de decisiones tiene tanta importancia en el ámbito empresarial que se ha definido a la empresa como centro de decisiones voluntarias tomadas en un entorno incierto.
En el transcurso de la historia el hombre ha tomado las decisiones basándose En el transcurso de la historia, el hombre ha tomado las decisiones basándose en la experiencia, en la intuición, en el sentido común, y en la repetición de fórmulas que funcionaron bien en el pasado.
D d l i t bi l t i l l t d d i i
Dado el creciente cambio en el entorno empresarial, la toma de decisiones resulta cada vez más compleja. Por ello, como en otras áreas de la ciencia económica, la toma de decisiones se realiza en base a distintos modelos.
E h l lid d l j d l h
En muchos casos la realidad es tan compleja que, para comprenderla, hay que simplificarla, tomando de ellas aquellos aspectos que resultan relevantes para el análisis de que se trate y relegando los que resultan accesorios. De acuerdo con esto un modelo es una representación simplificada de una acuerdo con esto, un modelo, es una representación simplificada de una parte de la realidad.
El principal objetivo de un modelo es permitir una mejor comprensión y
d i ió d l lid d t E t j ió d l
descripción de la realidad que representa. Esta mejor compresión de la
Un modelo económico
Supuestos:
1. En la economía hay una única empresa que produce un bien.
2. Este bien, es a la vez un bien de consumo y un bien de capital.
3. La empresa es precio aceptante en el mercado de factores y el mercado de productos. Toma, precios y salarios como dados
4. Para producir las empresas utilizan capital y trabajo.
5. Los consumidores alquilan el capital a las empresas a un coste de r.
6. Asumimos que el objetivo de la empresa es maximizar beneficios
capital capital
te trabajador
salario producción
precio
Beneficio precio producciónsalariotrabajador coste capitalcapital
Beneficio cos
L
k r L
w k
l q p B
Maximizar ( , )( )( )
L 0;
L
B 0;
w
L p q
q
[Ecuación 1] pq w
Beneficio
Bmax
L*
L (trabajo)
Una solución del problema particular del modelo planteado L
k
1. Función de producción, L
2. Precio de los factores:
3. Stock de capital:
k L q
,
10
p w 5
100 k
Un modelo económico
S tit d [E ió 1]
Sustituyendo en [Ecuación 1]:
L w p q
100 5
10 1 510 5 L
: Cantidad demandada de trabajo
L 10 2 L 5 510 5 L
* 100
L : Cantidad demandada de trabajo
¿Como afecta a la cantidad demandada de trabajo el establecimiento de cotizaciones a la seguridad social?
100 L
L
k r L
SS w
k l q p B
Maximizar ( , ) ( (1 ) ) ( )
B cpo:
Nota: SS representa el porcentaje de cotizaciones a la seguridad social
;
0
L B
Nota: SS representa el porcentaje de cotizaciones a la seguridad social
; 0 ) 1
(
w SS
L p q
L
) 1
( SS L w
p q
Si SS=10%, ¿Cuál será ahora la cantidad demandada de trabajo por parte de la empresa
%) 10 1 ( 100 5
2
101
L
L
%) 10 1
( 10
: Cantidad demandada de trabajo
6 .
* 82 L
5.2 Ambientes de decisión
La toma de decisiones es tanto más sencilla cuanto mayor sea la información de que se dispone. La toma de decisiones se hace más compleja cuando no sabemos con certeza lo que va a ocurrir.
El nivel de información determina el tipo de ambiente de la decisión. Ambientes dep decisión:
Certeza: El ambiente de certeza es aquel en el que el decisor conoce con absoluta seguridad los estados de la naturaleza que van a presentarse.g q p
Riesgo: Se denomina ambiente de riesgo a aquel en el que el decisor no sabe con certeza qué estados de la naturaleza se presentarán, pero si conoce cuales pueden presentarse y la probabilidad que tiene cada uno de ellos (por ejemplo, sabe que la presentarse y la probabilidad que tiene cada uno de ellos (por ejemplo, sabe que la demanda puede ser de 150.000 unidades al año, con una probabilidad del 25%, o de 75.000 con una probabilidad del 75%, y sabe que hay una probabilidad del 40%
de que tenga competencia fuerte y un 60% de que no tenga competencia).q g p y q g p )
Incertidumbre estructurada. El ambiente de incertidumbre estructurada es aquel en que se conocen los estados de la naturaleza, pero no las probabilidades asignadas a cada uno de esos estados.
cada uno de esos estados.
Incertidumbre no estructurada. Es aquel en el que no se conocen ni los estados de la
5.2.1 Criterios de decisión en contextos de incertidumbre
Si la incertidumbre no estructurada, ni se puede obtener mayor información, y ha de tomarse una decisión, ésta habrá de basarse en la intuición.
Si la incertidumbre estructurada, la decisión continúa incorporando una carga de subjetividad muy elevada. Pero en este caso la toma de decisiones se puede realizar utilizando distintos criterios:
Laplace
Laplace
Optimista
Pesimista
Optimismo parcial
Mínimo Pesar (Savage)
Criterio de Laplace
El criterio de laplace se llama también racionalista o criterio de igual verosimilitud.
Parte del postulado de Bayes según el cual, si no se conocen las probabilidades asociadas a cada uno de los estados de la naturaleza no hay razón para pensar que uno tenga a cada uno de los estados de la naturaleza no hay razón para pensar que uno tenga más probabilidades que otro por ello se calcula la media aritmética de cada una de las decisiones que se pueden tomar y se elige aquella que le corresponda el resultado medio más elevado En el caso de que todos los resultados sean negativos resultado medio más elevado. En el caso de que todos los resultados sean negativos se elige el menos desfavorable.
TABLA 1 Decisiones
alternativas S1 S2 S3
Estados de la Naturaleza
alternativas S1 S2 S3
E1 60 50 40
E2 10 40 70
Criterio de Laplace
Media aritmética de la decisión E1.
3 50
40 50
60
1
E
Media aritmética de la decisión E2.
70 40 40
10 3 40
70 40
10
2
E
Utilizando el criterio de Laplace se tomaría la decisión E1.
Criterio Optimista
Es el criterio que elegiría una persona, que pensara que cualquiera que fuese su decisión, el estado que se presentará será el más favorable.
Por ello, cuando los resultados son positivos, se le denomina criterio maxi‐
Por ello, cuando los resultados son positivos, se le denomina criterio maxi max. Para cada decisión se analizan los posibles resultados, y se toma aquella decisión que en el caso más optimista ofrezca mejores
resultados resultados.
Utilizando los datos de la tabla 1, ¿Cuál será la decisión que corresponda al criterio optimista?
Si elige E sucederá lo más favorable (S ) y ganará 60 u m Si elige E1., sucederá lo más favorable (S1) y ganará 60 u.m.
Si elige E2., sucederá lo más favorable (S3) y ganará 70 u.m.
Luego con este criterio eligirá E , 70 > 60
Criterio pesimista o de Wold
Es el que seguiría una persona que pensara que cualquiera que fuese su elección, el estado de la naturaleza que se presentará será el menos favorable.
Utilizando los datos de la tabla 1, ¿Cuál será la decisión que corresponda al criterio pesimista?
criterio pesimista?
‐ Si toma la decisión E1 ocurrirá lo menos favorable, es decir S3, y ganará 40.
‐ Si toma la decisión E2 ocurrirá lo más desfavorable, es decir S3, y ganará 10.
Bajo este criterio la decisión será E ya que 40>10 Bajo este criterio la decisión será E1, ya que 40>10
Cuando los resultados sean desfavorables la decisión optima será mini‐
max, la menor perdida entre las mayores pérdidas.
Criterio de optimismo parcial
E t it i tit i t l it i ti i t i i t
Este criterio constituye un compromiso entre los criterios optimista y pesimista, mediante la introducción de un coeficiente de optimismo que denotamos por , comprendido entre 0 y 1, y de su complemento a la unidad que es el denominado coeficiente de pesimismo (1‐ ).
El mejor de los resultados de cada estrategia se pondera con el coeficiente de
El mejor de los resultados de cada estrategia se pondera con el coeficiente de optimismo , en tanto que el peor de los resultados se pondera con el coeficiente pesimista (1‐ ).
á á ó
Utilizando los datos de la tabla 1, cuál será la decisión que corresponde al criterio de optimismo parcial? (suponed que alpha vale un 60%).
Si se elige E1 lo mejor que puede ocurrir es S1 y lo peor es S3 : Resultado:
E
1 ( 60 ) ( 1 ) 40
Criterio de optimismo parcial
Si se elige E2 lo mejor que puede ocurrir es S3 y lo peor es S1 :
52 40
) 6 . 0 ( ) 60 ( 6 .
1
0
E
2 3 1
Resultado:
10 )
1 ( ) 70
(
E
48 10
) 6 . 0 1 ( ) 70 ( 6 .
2
0
E
10 )
1 ( ) 70
2
(
E
Si los resultados son favorables la decisión que tomaría con este criterio es E1.1. Si los resultados fuesen desfavorables la decisión que se tomaría seríaE2.
Criterio de mínimo pesar
Este criterio lo siguen quienes tienen aversión a arrepentirse por Este criterio lo siguen quienes tienen aversión a arrepentirse por
equivocarse. Formalmente ha de partirse de la matriz de pesares.
Según este criterio la decisión optima es elegir el menor entre los máximos pesares.
Construimos primero la matriz de pesares Veamos como se construye esta Construimos primero la matriz de pesares. Veamos como se construye esta
matriz.
Si elige E1 y ocurre S1, su pesar es cero, ha ocurrido lo mejor que podría pasar dado que ha elegido E1. Si elige E2, y ocurre S1, su pesar es 50, que se calcula como la diferencia entre lo que gana con E2, que es 10, y que se calcula como la diferencia entre lo que gana con E2, que es 10, y lo que habría ganada si hubiese tomado la decisión E1, que es 60.
Criterio de mínimo pesar
S1 S2 S3
E1 0
Si elige E oc rre S s pesar es cero ha oc rrido lo mejor q e podría pasar
E2 50
Si elige E1 y ocurre S2, su pesar es cero, ha ocurrido lo mejor que podría pasar dado que ha elegido E1. Si elige E2, y ocurre S2, su pesar es 10, que se calcula como la diferencia entre lo que gana con E2, que es 40, y lo que habría ganada si hubiese tomado la decisión E1, que es 50.
S1 S2 S3
E1 0 0
E2 50 10
Criterio de mínimo pesar
Si elige Eg 11 y ocurre Sy 33, su pesar es 30, (70‐40). Si elige E, p , ( ) g 22, y ocurre S, y 33, su pesar , p cero, ha ocurrido lo mejor dado que ha elegido E2.
M t i d
S1 S2 S3
Matriz de pesares
E1 0 0 30
E2 50 10 0
Si toma la decisión E1, el máximo pesar es de 30. Si toma la decisión E2, el máximo pesar es de 50 Siguiendo el criterio de Savage la decisión máximo pesar es de 50. Siguiendo el criterio de Savage, la decisión óptima es tomar la decisión E1, a la que corresponde el menor entre los máximos pesares.
5.2.2 Decisiones en contexto de riesgo
El estudio de decisiones en contexto de RIESGO precisa tener conocimientos básicos de probabilidad.
A continuación estudiamos algunos conceptos básicos de PROBABILIDAD Conforme a la definición de Laplace, si de un total de n casos, todos
igualmente factibles, un suceso S puede presentarse en h de los casos, la probabilidad de ocurrencia de un suceso S, que denotamos por P(S), es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.
n S h
P ( )
Ejemplo 1.
Lanzamiento de una moneda una vez Calcular la probabilidad de sacar una Lanzamiento de una moneda una vez. Calcular la probabilidad de sacar una
cara.
2 ) 1 (S cara P
Ejemplo 2.
L i t d d d C l l l b bilid d d i
Lanzamiento de un dado. Calcular la probabilidad de sacar un seis.
) 1 (S sacar un seis P
Ejemplo 3.
) 6 (S sacar un seis P
Tenemos una cesta con 3 bolas negras y 7 bolas blancas. S= sacar una bola negra.
) 3
(S b l bl
P 3
) (S sacar una bola blanca P
Probabilidad de un suceso compuesto Probabilidad de un suceso compuesto
Sean S y T dos sucesos INDEPENDIENTES, la probabilidad de que ambos sucesos ocurran conjuntamente, que denotamos por se calcula como el
d d l b bilid d i l d S d T
) (S T
P
producto de las probabilidades marginales de S y de T.
) ( )
( )
(S T P S P T
P
Donde es la probabilidad de que ocurra el suceso S y es la probabilidad de que ocurra el suceso T.
) (S
P P(T)
Sean S y T dos sucesos DEPENDIENTES, la probabilidad de que ambos sucesos ocurran conjuntamente, se calcula como:
) / ( )
( )
( S T P S P T S
P
) / ( )
( )
( S T P T P S T P ( S T ) P ( T ) P ( S / T )
P
:
Probabilidad de que ocurra el suceso S condicionada a que ha )/ (S T
P q q
ocurrido el suceso T.
: Probabilidad de que ocurra el suceso T condicionada a que ha ocurrido el suceso S
) / (T S P
ocurrido el suceso S
Cuando dos sucesos son independientes, la probabilidad condicionada es igual a la probabilidad marginal.
) ( )
/
(S T P S
P P(T /S) P(T)
Ejemplo 4.
Tenemos una urna con 5 bolas, 3 negras y 2 blancas. Sea el suceso S: “sacarg y una bola negra en la primera extracción” el suceso T: “sacar una bola negra en la segunda extracción”.
...continúa ejemplo 4.
¿Cuál es la probabilidad de que saquemos dos bolas negras seguidas, es decir, cuál es la
¿Cuál es la probabilidad de que saquemos dos bolas negras seguidas, es decir, cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso S y el suceso T?
Para calcular esta probabilidad es necesario saber si las extracciones de las bolas son con o
?????
) (S T P
Para calcular esta probabilidad es necesario saber si las extracciones de las bolas son con o sin reemplazamiento ya que ello determina si ambos sucesos son o no independientes. Analizamos los dos casos posibles.
Caso 1. NO HAY REEMPLAZAMIENTO.
En este caso los dos sucesos son DEPENDIENTES y por tanto la probabilidad conjunta se calcula como:
) / ( ) ( )
(S T P S P T S P(S T) P(S)P(T / S)
P
; 5 / 3 ) (S
P P(T /S) 2/4;
10 3 20
6 4
2 5 ) 3
(S T
P 5 4 20 10
...continúa ejemplo 4.
Caso 2. HAY REEMPLAZAMIENTO.
En este caso los dos sucesos son INDEPENDIENTES y por tanto la En este caso los dos sucesos son INDEPENDIENTES y por tanto la probabilidad conjunta se calcula como el producto de las probabilidades marginales.
) ( ) ( )
(S T P S P T P(S T) P(S)P(T)
P
3 3
) (T P 5
) 3 (S
P P(T) 5
25 9 5
3 5 ) 3
(S T P
Probabilidad de UNIÓN ENTRE SUCESOS.
Dados dos sucesos, S y T, la probabilidad de que ocurra o bien el suceso S o bien el suceso T viene dada por la siguiente expresión:
) (
) ( )
( )
(S S S
Ejemplo 5.
) (
) ( )
( )
(S T P S P T P S T
P
Tenemos una urna con 5 bolas, 3 negras y 2 blancas. Sea el suceso S: “sacar una bola negra en la primera extracción” el suceso
T “ b l l d ió ”
T: “sacar una bola negra en la segunda extracción”.
¿Cuál es la probabilidad de que saquemos una bola negra en la primera
¿Cuál es la probabilidad de que saquemos una bola negra en la primera
extracción o que saquemos una bola negra en la segunda, es decir de que ocurra el suceso S o el suceso T?
...continúa ejemplo 5.
Caso 1. NO HAY REEMPLAZAMIENTO.
En este caso los dos sucesos son DEPENDIENTES.
) (
) ( )
( )
( S T P S P T P S T
P
4 4
4 16
) 3 2 ( ) 2 5 ( ) 3 4 ( 3
2 ) 3
(
T
S P
Caso 2. HAY REEMPLAZAMIENTO.
5 4
5 20
20
) (
) (
) (
10 4
) 5
(
T S
P
En este caso los dos sucesos son INDEPENDIENTES.
21 )
9 ( ) 3 5 ( ) 3 5 ( 9
3
3
25 21 25
) 9 ( ) 3 5 ( ) 3 5 ( 25
9 5
3 5 ) 3
(S T P
Tenemos una serie de sucesos disjuntos que no pueden ocurrir de
f i l á ) S1 S2 S d d T d
forma simultánea), S1, S2, ....Sn, y dado un suceso T, que puede producirse conjuntamente con cada uno de los sucesos anteriores, entonces la probabilidad del suceso T se puede calcular como:
(1)
) (
...
) (
) (
)
(T P S1 T P S2 T P S T
P n
) / ( ) ( )
/ ( ) ( ) / ( ) ( )
(T P S1 P T S1 P S2 P T S2 P S P T S
P (1)
Teniendo en cuenta que la probabilidad conjunta de dos sucesos se puede calcular como el producto de probabilidades
) / ( ) ( ...
) / ( ) ( ) / ( ) ( )
(T P S1 P T S1 P S2 P T S2 P Sn P T Sn
P
condicionadas:
Y sabiendo que:
) / ( ) ( ) / ( )
(S P T S P T P S T
P i i i
Y sabiendo que:
) (
) ( ) / ) (
/
( P T
S P S T T P
S
P i i i
Un ejemplo:
T=“sacar cara al lanzar una moneda”
S1=“Sacar un uno al lazar un dado”
S1 Sacar un uno al lazar un dado S2=“Sacar un dos al lazar un dado”
...
S =“Sacar un seis al lazar un dado”
S6= Sacar un seis al lazar un dado
S1, S2, S3, S4, S5, S6: son sucesos disjuntos. Si lanzas un dado una vez, o bien sacas un uno, o un dos, o un tres, ..etc, pero no puedes sacar conjuntamente un uno y un dos.
p j y
Nos preguntan: ¿cual es la probabilidad de que al tirar una moneda salga cara?.
1 1
) 1 1
( S
P(cara S 1) 2 6 12 P
) 6 (
...
) 2 (
) 1 (
)
(cara P caraS P caraS P caraS P
2 1 12
1 12
1 12
1 12
1 12
1 12
) 1
(cara
P
Variables aleatorias
Se dice que una variables es aleatoria cuando no se sabe con certeza Se dice que una variables es aleatoria cuando no se sabe con certeza el valor que tomará, sino solo los valores que puede tomar (o rango de valores en los que se puede mover) y la probabilidad de que tome esos valores (o la probabilidad de que tome un de que tome esos valores (o la probabilidad de que tome un valor en un intervalo definido).
Hay dos tipos de variables aleatorias: Discretas y Continuas
Se dice que una variable aleatoria es discreta cuando el número de valores que puede tomar es finito.
Se dice que una variable aleatoria es continua cuando esa variable Se dice que una variable aleatoria es continua, cuando esa variable
puede tomar un número infinito de valores.
La inflación, la tasa de crecimiento del consumo, la inversión y la producción, los rendimientos de activos en bolsa, los cambios en los tipos de interés, la duración de un determinado proceso de producción, el valor de las ventas, son ejemplos de variables
p , , j p
aleatorias continuas
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias discretas
Una variable aleatoria es discreta si toma un número finito de valores.
Al conjunto de valores que puede tomar una determinada variable aleatoria y j q p y sus respectivas probabilidades se le denomina distribución de probabilidad.
En el ejemplo (1), la distribución de probabilidad es la siguiente En el ejemplo (1), la distribución de probabilidad es la siguiente
Valores
posibles Probabilidad posibles
0 1/16 = (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) Prob. Suceso 1(S1) 1 4/16 = (1/16)+(1/16)+(1/16)+(1/16) Prob. S1, S2, S3, S4 1 4/16 (1/16)+(1/16)+(1/16)+(1/16) 1, 2, 3, 4
2 6/16 = (1/16)+(1/16)+(1/16)+... Prob. S6, S7, S8, S9, S10, S11 3 4/16 = (1/16)+(1/16)+(1/16)+(1/16) Prob. S12, S13, S14, S15
4 1/16 = (1/16) Prob. Suceso 16(S )
La distribución de probabilidad se suele representar por medio de un
d d á l á
HISTOGRAMA, es decir, mediante rectángulos cuyas áreas son proporcionales a los tamaños de las probabilidades que representan.
Histograma
0.375
0.35 0.40
0.25 0.25
0.20 0.25 0.30
bilidades
0.0625 0.0625
0.05 0.10 0.15
Probab
0.00
0 1 2 3 4
Valores posibles
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias discretas
La distribución de probabilidad de una variable nos permite conocer la probabilidad asignada a los distintos valores que puede tomar una variable.
Además, la distribución de probabilidad nos permite conocer la probabilidad de que una variable sea inferior a un determinado valor, o, que tome valores en un determinado intervalo .
En el ejemplo (1) podemos conoce la p obabilidad de q e la a iable tome )
3 (x P ) 4 2
( x P
En el ejemplo (1), podemos conocer la probabilidad de que la variable x tome un valor menor o igual que 3:
) 3 (
) 2 (
) 1 (
) 0 (
) 3
(x P x P x P x P x P
o la probabilidad de que teme un valor entre 2 y 4 16 15 16
4 16
6 16
4 16 ) 1 3
(x
P
o la probabilidad de que teme un valor entre 2 y 4, . ) 4 (
) 3 (
) 2 (
) 4 2
( x P x P x P x P
11 1
4
6 4 1 11
) 6 4 2
( x P
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias discretas
Momentos de la distribución de Probabilidad
• Esperanza Matemática ( media, o valor esperado)
• Varianza
• Desviación típica
Esperanza matemática (E(x))
La esperanza matemática de una variable discreta, es una media ponderada de los valores que puede tomar esa variable utilizando como coeficientes de
ó
ponderación sus probabilidades.
Sea x una variable aleatoria discreta que toma los siguientes valores:
{ } y sus probabilidades son { }
La esperanza matemática se calcula como:
xn
x x
x1, 2, 3,..
pn
p p
p1, 2, 3,..
n np x p
x p
x p x x
E( ) 1 1 2 2 3 3 ...
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias discretas Variables aleatorias discretas
El valor esperado de una variable, es el valor alrededor del cuál la variable toma distintos valores.. Se pude decir, que es el valor de referencia que señala distintos valores.. Se pude decir, que es el valor de referencia que señala donde se encuentra centrada la distribución.
Ejemplo (3)
Sean x e y dos variables aleatorias cuyas distribuciones de probabilidad vienen y y p dadas en las tablas 1 y 2 respectivamente.
Tabla 1
Valores
posibles Probabilidad Tabla 2
Valores
posibles Probabilidad
3 3/10
Tabla 1 p
2 3/10
3 2/10
3 3/10
4 4/10
5 3/10
/
4 1/10
5 2/10
5 3/10
2/10
Variables aleatorias discretas
Varianza de una variable aleatoria discreta
Es la esperanza matemática de los cuadrados de las desviaciones de los valores posibles respecto a su media
posibles respecto a su media
Sea x una variable aleatoria discreta que toma los siguientes valores:
{ } b bilid d { }
{ } y sus probabilidades son { }
La varianza se calcula como:
xn
x x
x1, 2, 3,.. p1,p2,p3,..pn
La desviación típica es:
n
n x p
x p
x x p
x x
p x
x1 2 1 2 2 2 3 2 3 2
2 ( ) ( ) ( ) ...( )
n
n x p
x p
x x
p x x
p x
x1 )2 1 ( 2 )2 2 ( 3 )2 3 ... ( )2
(
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias discretas
Tanto la varianza como la desviación típica nos informan sobre la
distribución de probabilidad en el sentido de que nos dicen cuan distribución de probabilidad, en el sentido de que nos dicen cuan dispersos están los datos respecto a la media.
Valores pequeños de sigma indican concentración de resultados respecto a su media. Valores grandes de sigma corresponden a distribuciones más dispersas
distribuciones más dispersas.
Cuando sigma es pequeño, puede decirse que hay una probabilidad muy elevada de que la variable tome un valor muy próximo a su valor esperado. Si sigma es grande, habrá una posibilidad elevada de que la variable se desvíe al alza o a la baja.q j
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias discretas
Utilizando los datos del ejercicio 3, calcular:
1. La esperanza matemática de x e y 2. La varianza de x e y
3. Histograma de x e y
Esperanza matemática de x e y
4 ) 10 / 5 ( 5 ) 10 / 4 ( 4 ) 10 / 3 ( 3 )
(x
E
8 . 3 ) 10 / 2 ( 6 ) 10 / 2 ( 5 ) 10 / 1 ( 4 ) 10 / 2 ( 3 ) 10 / 3 ( 2 )
(y
E
Varianza de x e y
6 . 10 0
6 10 ) 3 4 5 10 ( ) 4 4 4 10 ( ) 3 4 3
( 2 2 2
2
x
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias discretas
36 . 10 2 ) 2 8 . 3 6 10 ( ) 2 8 . 3 5 10 ( ) 1 8 . 3 4 10 ( ) 2 8 . 3 3 10 ( ) 3 8 . 3 2
( 2 2 2 2 2
2
x
Histograma, x Histograma, y
0.3 0.35 0.4 0.45
ad 0.25
0.3 0.35
ad
0.1 0.15 0.2 0.25
Proabilida
0 05 0.1 0.15 0.2
Proabilida
0 0.05
3 4 5
Valores posibles
0 0.05
2 3 4 5 6
Valores posibles
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias continuas Variables aleatorias continuas
Se dice que una variable aleatoria es continua, cuando en un rango de valores determinado puede tomar infinitos valores.
En el caso de variables continuas, la probabilidad de que dicha variable tome un valor concreto es infinitamente pequeña, casi cero. Por eso, en el caso de este tipo de variables, no nos interesas tanto saber la probabilidad de que tome un valor concreto, sino la probabilidad de que esa variable tome un valor en un determinado intervalo o sea inferior a un cierto valor.
En el caso de variables continuas la distribución de probabilidad o función de En el caso de variables continuas, la distribución de probabilidad o función de densidad, nos dice cuál es la probabilidad de que la variable x sea inferior a un determinado valor que denotamos por a.
Sea f(x) la función de densidad de la variable x. Dicha variable toma valores en el siguiente rango de [a, b]. La probabilidad de que dicha variable tome un valor por debajo de c, perteneciente a ese intervalo, vienen dada por:
c c f x dx x
P( ) ( )
Una de las distribuciones de probabilidad más utilizada en la NORMAL.
Características de la NORMAL:
• Es simétrica y tiene forma acampanada. También se llama campana de Gauss
• El área correspondiente a cada posible valor de la variable es infinitesimal;
es decir, que la probabilidad de que la variable tome un valor concreto es cero.
• La probabilidad de que la variable tome un valor comprendido en un cierto intervalo finito es también una cantidad finita e igual al área existente bajo intervalo finito, es también una cantidad finita e igual al área existente bajo la campana en ese intervalo
• El rango de fluctuación de las variables con distribución normal es +/- infinito El área total debajo de la campana vale uno
infinito. El área total debajo de la campana vale uno.
• La esperanza matemática de la variable habrá de encontrarse en el centro de la distribución, y dado que esta es simétrica, y que su área total es igual a uno, tanto el área a la izquierda de su valor esperado como el área a su derecha vale 0.5
• Se trata de un tipo de distribución que queda perfectamente descrita con solo el conocimiento de su esperanza matemática o media y su varianza.
La distribuciones NORMAL.
-infinito a b + infinito
La probabilidad de que x tome un valor en el intervalo [a, b], es el área rayada de la figura arriba representada, y se calcula como:
calcula como:
) (
) (
)
(a x b P x b P x a
P
x b b f x dx a
P(a x b) f (x)dx
P( ) ( )
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias continuas Variables aleatorias continuas
En el caso de variables continuas también podemos construir un histograma.
Para ello dividimos el rango de valores que pude tomar la variable en distintos segmentos y calculamos para cada uno de ellos la frecuencia relativa, es decir, el porcentaje de datos que toma esa variable en cada segmento.
Ejemplo (1).
Tasa de crecimiento del IPI de 50
60
EEUU: Tasa de crecimiento del IPI
Estados Unidos.
I fl ió di 3 09%
30 40
robabilidad
Inflación media: 3.09%
Desviación típica: 2.937
10 20
Pr
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias continuas Variables aleatorias continuas
Ejemplo (2). Tasa de crecimiento de las ventas al por menor.
Para ello dividimos el rango de valores que pude tomar la variable en distintos segmentos y calculamos para cada uno de ellos la frecuencia relativa, es decir, el porcentaje de datos que toma esa variable en cada segmento
variable en cada segmento
30 35 40
EEUU: Tasa de crecimeinto de las ventas totales
Inflación media: 5.76%
Desviación típica: 2.13 20 25 30
Probabilidad
5 10
P 15
-2 0 2 4 6 8 10 12
0
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias continuas
Cuando una variable se distribuye normal, con esperanza y varianza, , se denota de la siguiente forma:
2
) , (
~ N x
En el caso particular en que la media es cero, y la varianza es uno, se dice que la distribución es Normal Estándar.
La distribución de la Normal Estandarizada está tabulada (existen unas tablas estadísticas al final del capitulo) con las que se puede calcular la probabilidad de que la variable x tome un valor comprendido en cualquier intervalo que se desee
comprendido en cualquier intervalo que se desee.
Cómo leer la información que aparece en tabla. En el interior aparece Cómo leer la información que aparece en tabla. En el interior aparece
la probabilidad.
variable x tome un
Tablas de la Normal Tipificada
Probabilidad de que la
variable x tome un valor entre 0 y 0.27
0 1 2 3 4 5 6 7
0.0 0.1
0.2 0.106
Probablidad de que la variable
0.2 0.106
0.3 0.4
0.5 0.1985
0.6 Probablidad de que la variable
tome un x tome un valor entre 0 y 1.25
0.7 0.8 0.9
1.0 0.353
1.1
Probabilidad de que la variable x tome un
1.2 1.3
variable x tome un valor entre 0 y 0.52
Si una variable se distribuye normal, con media y varianza
podemos conocer su distribución de probabilidad tipificando la variable
2
podemos conocer su distribución de probabilidad tipificando la variable.
Para tipificar una variable basta con restarle su media y dividir esa diferencia por la desviación típica.
x
Se puede demostrar que la variable que hemos obtenido, al tipificar tiene una media de cero y varianza igual a uno.
x
Sea vamos a calcular la probabilidad de que dicha variable tome un valor mayor a 3206.
) 386 , 2600 (
~ N x
????
) 3206 (x P
Primero: tipificamos la variable .
386
2600
x
386
Segundo: de la expresión anterior (1) despejamos el valor de x
(2) x 2600386
Tercero: planteamos la pregunta que nos hacen:
(3) P(x3206)
Cuarto: Sustituimos en (3) el valor de x obtenido en (2):
???
) 3206 386
2600
(
P(2600 386 3206) ???
P
???
386 ) 2600 ( 3206 P
Quinto: Buscamos en las tablas de la normal estándar )
57 1 ( 1 ) 57 1
( P
P( 1.57) 1P( 1.57) P
Tenemos que calcular la probabilidad de que la normal estándar sea inferior a 1.57. e o a .5 .
) 57 . 1 ( 1 ) 57 . 1
( P P
En la tabla de la Normal Estándar tenemos la probabilidad de que la Normal tome un valor entre 0 y 1.57. Dicha probabilidad es de 0.4418.
Sabemos además que la probabilidad de que la variable tome un valor por debajo de 0 es igual a 0.5. Luego sabemos que la
probabilidad de que tome un valor por debajo de 1 57 es de probabilidad de que tome un valor por debajo de 1.57 es de 0.9418.
9418 . 0 4418 . 0 5 . 0 ) 57 . 1
(
P
í b l b bilid d d l i bl l
0582 . 0 9418 . 0 1 ) 57 . 1
(
P
Así, sabemos que la probabilidad de que la variable x tome un valor
los cuales la variable en cuestión tomará valores con una probabilidad igual los cuales la variable en cuestión tomará valores con una probabilidad igual a 1 .
Para el caso anterior, vamos a construir un intervalo de confianza a un nivel de significación del 5%. Para ello, buscamos dos valores, [a, b] tales que:
% 5 1 (a x b P
Dado que la variable x se distribuye normal, sabemos que:
% 5 1 (a x b P
% 95 ) (
) (
)
(b xb P xb P x b P
Sabemos también que la probabilidad de que x tome un valor por encima o por debajo de b es igual a 2.5%. De ello se deduce que:
% 5 . 47
% 5 . 2 1 )
(x b P
% 95 2600 )
( x b b
P ) 95%
(b 386 b P
No sabemos cuál es el valor de b. Para conocerlo, tenemos que tipificar la variable x.
386
2600
x
Y sustituimos en la expresión anterior:
386
% 5 . 47
% 5 . 2 1 )
(x b P
% 5 . 47 ) 386
2600
( b
P
Buscamos en la tabla de la Normal estándar aquel valor que deje a la
% 5 . 47 386 )
( b2600 P
Buscamos en la tabla de la Normal estándar aquel valor que deje a la izquierda de la distribución el 47.5% de los datos. Dicho valor es 1.96