Problemes Llista 4

(1)

Problemes Llista 4

1. Demostreu que Φ(t), t ∈ I, ´es una matriu fonamental del sistema ˙x = A(t)x, on (a) Φ(t) = cos t − sin t

sin t cos t

, A(t) = 0 −1

1 0

, I = R.

(b) Φ(t) =

t² t 2t 1

, A(t) =

0 1

−_t²2

2 t

, I = R \ {0}.

(c) A l’apartat (b), ´es Φ(t) una matriu fonamental del sistema a tot R?.

2. Resoleu el seg¨uent sistema d’equacions diferencials

˙x =





3 0 0

0 1 5

0 −5 1



x +



 0 e^t e^t



, amb x(0) = (1, 0, 1)^T.

3. (a) Sigui Φ(t) = (φij(t))1≤i,j≤n una matriu n × n tal que φij(t) s´on funcions de classe C¹ definides a I i det(Φ(t)) 6= 0 per a t ∈ I. Proveu que existeix una

´

unica matriu A(t) = (a_ij(t))_1≤i,j≤n on a_ij(t) s´on cont´ınues i Φ(t) ´es una matriu fonamental del sistema ˙x = A(t)x.

(b) Doneu una equaci´o diferencial que tingui com a matriu fonamental





−5 cos (2t) −5 sin (2t) 3e^2t

−2 cos (2t) − 2 sin (2t) 2 cos (2t) − 2 sin (2t) 0

cos (2t) sin (2t) e^2t



.

4. Considerem la matriu

Φ(t) = te^t te^tsin t e^2t e^2tsin t

.

Discutiu si existeix algun sistema lineal matricial ˙x = A(t)x que la tingui per soluci´o.

S´on les seves columnes linealment independents?

5. (a) Sigui φ(t) = (φ₁(t), . . . , φ_n(t))^T una soluci´o particular de ˙x = A(t)x, amb x ∈ Rⁿ, definida en un interval I. Suposem que una de les components, per exemple φ_n(t), no s’anul·la a I. Useu el canvi de variables

( y_i = x_i−_φ^φⁱ^(t)

n(t)x_n, i = 1, 2, . . . , n − 1, y_n= _φ¹

n(t)x_n,

(2)

per provar que la resoluci´o de ˙x = A(t)x, x ∈ Rⁿ es redueix a la resoluci´o de

˙y = B(t)y, y ∈ Rⁿ⁻¹.

(b) i. Trobeu la soluci´o general de l’equaci´o t¨x+2 ˙x+tx = 0 saben que x(t) = ^{sin t}_t

´

es una soluci´o particular.

ii. Trobeu la solució general de l’equació no homogènia t¨x + 2 ˙x + tx = 1.

6. Resoleu els seg¨uents sistemes d’equacions:

(a)

˙x = −y,

¨

y = −x − y + ˙y.

(b)

x − 4x − 2 ˙¨ y + y = t, 2 ˙x + x + ¨y = 0.

7. Considerem l’equaci´o diferencial d’ordre n

x⁽ⁿ⁾+ a₁x⁽ⁿ⁻¹⁾+ . . . + a_nx = f (t), (1) on f : R −→ R ´es una funci´o cont´ınua i a¹, a2, . . . , an ∈ R.

(a) Proveu que resoldre (1) ´es equivalent a resoldre un sistema lineal n-dimensional

˙x = A(t)x + b(t).

(b) Demostreu que si f ≡ 0 llavors el conjunt de solucions de l’equació (1) és un espai vectorial de dimensió n.

(c) Si x₁(t), x₂(t), . . . , x_n(t) s´on n solucions de (1) amb f ≡ 0, definim el seu Wronski`a com

W (t) =

x₁(t) x₂(t) . . . x_n(t)

˙x₁(t) ˙x₂(t) . . . ˙x_n(t) ... ... . .. ... xⁿ⁻¹₁ (t) xⁿ⁻¹₂ (t) . . . xⁿ⁻¹_n (t)

.

Demostreu que per a qualsevol t₀ ∈ R es compleix W (t) = W (t0)e^−aⁿ⁻¹^(t−t⁰⁾. Proveu llavors que x₁(t), x₂(t), . . . , x_n(t) s´on funcions linealment independents si i nom´es si W (t₀) 6= 0 per algun t₀ ∈ R.

(d) Suposeu que x₁(t), x₂(t), . . . , x_n(t) s´on n solucions linealment independents de l’equaci´o (1) amb f ≡ 0. Demostreu que

x(t) =

n

X

i=1

ci(t)xi(t)

´es una soluci´o particular de (1) si les funcions c_i(t) compleixen el sistema d’e- quacions

n

X

i=1

c⁰_i(t)x^(j)_i (t) = 0 per a j = 0, 1, . . . , n − 2,

(3)

n

X

i=1

c⁰_i(t)x_i(n − 1)(t) = f (t).

Usant l’apartat (c) mostreu que aquest sistema té solució. Com podr´ıeu fer servir el Wronskià per resoldre’l?

(e) Proveu que el polinomi caracter´ıstic de la matriu A ´es p(λ) = λⁿ+ a₁λⁿ⁻¹+ . . . + a_n.

(f) Doneu la solució general de l’equació ¨x + a₁˙x + a₂x = 0. Usant l’apartat (d), resoleu llavors l’equació ¨x + x = sin t.

8. Donats els vectors x₁(t) = (t, 1)^T i x₂(t) = (t², 2t)^T (a) trobeu el wronski`a de x₁ i x₂.

(b) En quin interval s´on x₁ i x₂ linealment independents?

(c) Qu`e es pot dir dels coeficients del sistema d’equacions diferencials que satisfan?

(d) Trobeu aquest sistema.

9. Sigui A(t) una matriu antisimètrica (és a dir, A(t)^T = −A(t). Proveu que tota matriu fonamental de ˙x = A(t)x, Φ(t), verifica que Φ(t)^TΦ(t) = C on C és una matriu constant. Dedu¨ıu que si per a un t0, Φ(t0) és ortogonal (és a dir, Φ(t0)^T = Φ(t₀)⁻¹) aleshores Φ(t) és ortogonal per a qualsevol t.

10. Sigui A(t) cont´ınua a [0, s]. Suposem que ˙x = A(t)x té només la solució nul·la que verifica ϕ(0) = ϕ(s). Proveu que per tota funció cont´ınua b(t) existeix una única solució de ˙x = A(t)x + b(t) verificant ϕ(0) = ϕ(s). Si anomenem aquesta solució per ϕb, proveu que existeix una constant c independent de b amb kϕbk ≤ ckbk.

11. Considerem l’equaci´o

˙x = A(t)x + b(t), (2)

on x ∈ Rⁿ, A(t) ∈ M_n(R), b(t) ∈ Rⁿ per a tot t ∈ R, A(t), b(t) cont´ınues. Sigui Φ(t) la matriu fonamental del sistema ˙x = A(t)x tal que Φ(0) = Id.

(a) Suposem que existeix T > 0 tal que Φ(T ) no té 1 com a valor propi. Demostreu que, com a molt, existeix una solució de (2) T –periòdica.

(b) Suposem que A(t) ≡ A i b és una funció T –periòdica. Demostreu que, sota la hipòtesi en (a), existeix exactament una solució de per´ıode T , i no de per´ıode menor.

(c) Sota les hipòtesis en (b) i en el cas n = 1 comproveu que si 1 és valor propi de Φ(T ) aleshores l’equació (2) o bé no té solucions T –periòdiques o bé en té infinites.

12. Considerem l’equaci´o diferencial ¨x + b ˙x + ω₀²x = A cos (ω₀t), amb b > 0, b²− 4ω₀² < 0.

(4)

(a) Trobeu la soluci´o general.

(b) Demostreu que existeix una ´unica soluci´o afitada per tot t ∈ R. Trobeu-la.

13. Considereu l’equació lineal ˙x = A(t)x + b(t) amb A : R −→ Mn(R) i b : R −→ Rⁿ cont´ınues i senars. Proveu que qualsevol solució és parella. (Indicació: Proveu-ho primer pel cas homogeni).

14. (a) Sigui A(t) = (a_ij(t))_1≤i,j≤n una matriu tal que a_ij s´on funcions cont´ınues a R.

Suposem que

B(t) = Z t

t0

A(s)ds

´es tal que B(t)A(t) = A(t)B(t). Demostreu que e^B(t)´es una matriu fonamental del sistema ˙x = A(t)x.

(b) Resoleu el sistema triangular

˙x₁ = −x₁,

˙

x₂ = x₁sin t − x₂,

i trobeu una matriu fonamental Φ(t) tal que Φ(0) = Id.

15. Sigui B una matriu complexa amb detB 6= 0. Demostreu que existeix una matriu complexa A tal que e^A= B.

16. (Teoria de Floquet) Considerem el sistema ˙x = A(t)x. Suposem que existeix T > 0 tal que A(t + T ) = A(t) per a tot t ∈ R. Sigui Φ(t) una matriu fonamental del sistema. Proveu que

(a) Φ(t + T ) ´es tamb´e una matriu fonamental. Per tant, existeix una matriu constant C tal que Φ(t + T ) = Φ(t)C.

(b) Si Ψ(t) és una altra matriu fonamental tindrem que existeix una matriu constant D tal que Ψ(t + T ) = Ψ(t)D. Proveu que C i D tenen els mateixos valors propis. És a dir, els valors propis de C no depenen de l’elecció de la matriu fonamental.

(c) Existeix una matriu P (t) cont´ınua i no singular de per´ıode T amb Φ(t) = P (t)e^tR per a certa matriu constant R.

(d) El canvi de variables x = P (t)y transforma el sistema inicial en el sistema

˙y = Ry.

17. Sigui p(t) una funci´o cont´ınua definida a R de per´ıode T . Sigui Φ(t) la matriu fonamental del sistema associat a l’equaci´o ¨x + p(t)x = 0 tal que Φ(0) = Id. Demostreu que existeix una matriu constant C tal que Φ(t + T ) = Φ(t)C per a tot t ∈ R i que C = 1.

(5)

18. Proveu que x₁(t) = (0, 0, e^t)^T, x₂(t) = (e^2t, e^2t, 3e^2t)^T i x₃(t) = (3e^−2t, −2e^−2t, e^−2t)^T s´on solucions linealment independents del sistema ˙x = Ax on

A =





0 2 0 2 0 0 1 2 1



.

Useu aquestes condicions per a trobar la soluci´o general del sistema diferencial i per a trobar la soluci´o del problema amb condicions inicials x(0) = (5, −1, 1)^T.

19. Demostreu que si A ∈ L(Rⁿ) llavors det(e^tA) = e^tTrA, per a tot t ∈ R.

20. Siguin α, β, γ ∈ R i considerem el sistema lineal ˙x = Ax + b(t) on

A =





−1 0 0

βα 0 β

α −β 0



, i b(t) =



 sin γt

0 0



.

Calculeu e^tA per a tot α. Pel cas α = 0 trobeu la soluci´o general del sistema.

Existeixen solucions peri`odiques? En cas afirmatiu, trobeu-les.

21. Sigui A una matriu n × n amb tots els valors propis amb part real no positiva.

(a) Demostreu que si A és diagonalitzable aleshores tota solució de ˙x = Ax és afitada per t ∈ [0, +∞].

(b) ´Es cert el mateix si A ´es no diagonalitzable?

22. Sigui A una matriu 4 × 4 amb valors propis ±ai, ±bi, a > b > 0.

(a) Si â_b és racional demostreu que totes les solucions de ˙x = Ax són periòdiques.

(b) Si â_b és irracional demostreu que existeix una solució x(t) no periòdica tal que M < kx(t)k < N per a certes constants M, N > 0.

23. (a) Sigui A una matriu invertible de tipus (2n+1)×(2n+1). Proveu que el sistema

˙x = Ax té alguna solució no periòdica.

(b) Si B és una matriu 3 × 3 amb un valor propi zero i dos valors propis imagi- naris purs conjugats, decidiu per a quines condicions inicials les solucions són periòdiques i per a quines no.

24. Sigui E un subconjunt obert de Rⁿ que cont´e x0 i suposem que f ∈ C¹(E). Sigui u(t, y) la soluci´o del problema de valor inicial ˙x = f (x) amb x(0) = y ∈ E.

(a) Proveu que per a tot t que pertanyi a l’interval m`axim de definici´o de u(t, y) es compleix

det ∂u

∂y

= exp

Z t 0

divf (u(s, x₀))

.

(6)

(b) Demostreu que el flux a temps t preserva el volum per a tot t en l’interval m`axim de definici´o ⇔ divf = 0.

25. Considerem l’equaci´o d’Euler

(αt + β)ⁿx⁽ⁿ⁾+ a₁(αt + β)ⁿ⁻¹x⁽ⁿ⁻¹⁾+ . . . + a_n−1(αt + β) ˙x + a_nx = b(t), amb α, β, a₁, a₂, . . . , a_n ∈ R, α 6= 0, i b(t) una funció cont´ınua en un interval I que no conté a −^β_α. Demostreu que l’equació pot convertir-se en una lineal a coeficients constants mitjan¸cant el canvi de variable independent αt + β = e^s (si αt + β > 0 en I) o αt + β = −e^s (si αt + β < 0 en I).

Com aplicaci´o resoleu en (0, ∞) les equacions t¨x + ˙x − 4

t = t + t³x, t³...

x + 2t²x − t ˙x + x = 0.¨

26. Sabent que A ´es la matriu 4 × 4 de coeficients constants que verifica A(1, 2, 0, 0)^T = (2, 2, 0, 0)^T,

A(1, 0, 0, 0)^T = (2, 1, 1, 3)^T, A(1, 1, 1, 3)^T = (1, 1, 1, 3)^T, A(1, 1, 2, 0)^T = (1, 1, 2, 0)^T,

trobeu la soluci´o general del sistema ˙x = Ax sense calcular expl´ıcitament la matriu A.

27. Resoleu

˙x

˙ y

= f (t) g(t) g(t) f (t)

x y

. 28. (Juny 2005) Considereu l’equaci´o diferencial tridimensional

X = AX + b(t, X)˙ on X = (x, y, z)^T i A ´es una matriu definida per

A :=





76 −135 −73 17 −32 −17 48 −82 −45



 (3)

(a) Calcuuleu els punts singular,s indicant si son hiperbòlics, de la equació 3 quand b(t, x) ≡ 0. Doneu també les varietats invariants de cadascun d’ells.

(7)

(b) Calculeu los punts singulars, de l’equació 3 quand b(t, X) = (1, 2, −3)^T. Els casos que siguin hiperbòlics, doneu la dimensió de les seves varietats invariants.

(c) Considereun ara b(t, X) = (e^t, t, t²)^T. Discutiu l’existencia, unicitat ion estan definides les solucions de l’equació 3. Doneu una solució expl´ıcita, de l’equació 3, amb les condición inicials t0 = 5 y X0 = (5, 3, 7)^T.

Aclariment: A la darrera q¨uesti´o de l’apartat (c) podeu deixar els productes de matrius i vectors indicats, no cal fer-los expl´ıcitament.