Structural Characterisation and Qualitative Properties of Product Form Stochastic Petri Nets

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i(t j ) = {[1, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 1]} =

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t j ∈||x ² ||

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(6)

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v(i(t 1 )) = v(i(t 3 )) = v(i(t 2 )) = v(i(t 4 )) = 1

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f (i(t 1 )) = 1/µ 1

f (i(t 3 )) = 1/µ 3

f (i(t 2 )) = 1/µ 2

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w _f = [log(f (i(t 1 ))/f (i(t 3 )), log(f (i(t 2 ))/f (i(t 4 ))), log(f (i(t 3 ))/f (i(t 1 ))), log(f (i(t 4 ))/f (i(t 2 )))]

= [log(µ 3 /µ 1 ), log(µ 4 /µ 2 ), log(µ 1 /µ 3 ), log(µ 2 /µ 4 )]

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Rank (C) = Rank ([C | w f ])

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Structural Characterisation and Qualitative Properties of Product Form Stochastic Petri Nets

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1

1,2

3

4

1

2

3

4

Π

Π

Π

Π

Π

Π

Π

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Π

Π

Π

5

SP N = (P, T , W, Q, m 0 )

P

T

|P| = np

|T | = nt

W := (P × T ) ∪ (T × P) → IN

W (j, i) > 0

W (i, j) > 0

t j

p i

W (j, i)

p i

t j

W (i, j)

Q

m 0

t j ∈ T

• t j = {p i | W (i, j) > 0}

t j • = {p i | W (j, i) > 0}

t j

i (t j ) = [W (1, j), W (2, j), . . . , W (|P|, j)]

o (t j ) = [W (j, 1), W (j, 2), . . . , W (j, |P|)]

C

C[i, j] = W (j, i) − W (i, j)

t j

m

m ≥ i(t j )

t j

m 0 = m + C[., j]

C[., j]

j

C

m −→m t j 0

m 0

(m 0 )

C

ksk

s

x 1 , x 2 , . . . , x h

T 0

T 0 ⊆ T

S

t j ∈T 0 i (t j ) = S

t j ∈T 0 o (t j ).

R(T 0 ) = S

t j ∈T 0 {i(t j ) ∪ o(t j )}

T 0

T 0

l ∈ R(T 0 )

t i , t j ∈ T 0

l = i(t i )

l = o(t j )

T 0

N

Π

∀ t j ∈ T

x

t j ∈ ||x||

m ₀

^• t j = {p i | W (i, j) > 0}

m ⁰ = m + C[., j]

m −→m ^t ^j ⁰

m ₀

x ₁ , x 2 , . . . , x h

T ⁰

T ⁰ ⊆ T

t _j ∈T ⁰ i (t j ) = S

t _j ∈T ⁰ o (t j ).

R(T ⁰ ) = S

t j ∈T ⁰ {i(t j ) ∪ o(t j )}

T ⁰

T ⁰

l ∈ R(T ⁰ )

t i , t j ∈ T ⁰

T ⁰

t j ∈||x ¹ ||

t j ∈||x ¹ ||

t j ∈||x ² ||

t j ∈||x ² ||

x ⁰

x ⁰⁰

(x ⁰ , x ⁰⁰ ) ∈ F R

t j ∈ ||x ⁰ ||

t h ∈ ||x ⁰⁰ ||

^∗

p ₁ p ₂

p ₄ p ₃

t ₁ t ₂

t ₃ t ₄

p ₁

t ₁ t ₂ t ₃ t ₄

p ₂

w _f = [w 1 , . . . , w n ]

w _f =