f ( x )= x − 3 | x |+ 2 ,x ∈ R . f ( x )= x + ax + bx + c

Texto completo

(1)

CÁLCULO DIFERENCIAL

JUNIO 2004

1.

Sea la función y=2e

−2|x|

estúdiese su monotonía, extremos relativos y asíntotas.

(Solución: Es derivable en todos los puntos excepto en x =0. Creciente si x < 0. No tiene asíntotas verticales.

Asíntota horizontal y = 0)

2.

Demuéstrese que las gráficas de las funciones f (x )=e

x

y g( x)=

1

x se cortan en un punto x > 0.

(1 punto)

(Solución: Aplica el teorema de Bolzano a la función

h( x)=e

x

− 1

x en el intervalo (1/2 , 1) )

3.

Calcúlese

0

1 1

limx x sen x

  

 

 

.

(Solución : 0, aplicando L`Hopital dos veces a

lim

x→ 0

x−sen x x senx

)

4.

Sea f (x )=x

3

+ ax

2

+ bx+c . Determínense a, b y c de modo que f (x ) tenga un extremo relativo en x=0 , la recta tangente a la gráfica de f (x ) en x=1 sea paralela a la recta

y−4 x=0 , y el área comprendida por la gráfica de f (x ) , el eje OX y las rectas x=0 , x=1 , sea igual a 1.

( 3 puntos )

(Solución: a = ½ , b = 0 , c = 7/12 )

SEPTIEMBRE 2004

5.

Sea f la función dada por f (x )=x

2

3|x|+2, x∈R .

a) Estúdiese la derivabilidad de f en x = 0 mediante la definición de derivada.

( 1 punto )

b) Determínense los intervalos de monotonía de fy sus extremos relativos.

( 1,5 puntos)

c) Esbócese la gráfica de f.

( 0,5 puntos)

(Solución: a) No derivable en x = 0. b) Creciente en el intervalo

( −3 2 , 0 ) ( 3 2 ,+∞ )

. Mínimos relativos los puntos

3

2 ,− 1 4

( −3 2 ,− 1

4 ) y

(¿) . Habría un máximo relativo en (0,2) aunque en este punto no es derivable.

6. Calcúlese el valor de / 2 tg(2 ) lim tg(6 )

x

x x

. (Solución: 1/3 )

(2)

7.

a) Dada la función f : 1,   e R definida por f x

x x

( )   1 ln

, determínese de entre todas las rectas tangentes a la gráfica de f la que tiene máxima pendiente. Escríbase la ecuación de dicha recta

.

( 2 puntos )

b) Calcúlese una función primitiva de ( ) f x que pase por el punto P(e, 2) .

( 1 punto)

(Solución: a) x = 2 , recta tangente y = x/4 + ln2 , b) F(x) = (1+x) lnx –x +1 )

8. Calcular a para que se verifique:

x →+∞lim

( √

x2+ax +1−x

)

=2

(Solución: a = 4)

JUNIO 2005

9.

Calcúlense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f (x )=e

1− x2

, sus extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas.

(Solución: Creciente si x < 0 ; máximo relativo el punto (0 , e). Puntos de inflexión

( 2 2 ,e ) , ( 2 2 ,e ) . Asíntota horizontal y = 0.

10.

Calcúlese

x→+∞lim x ln( x)

ex . (1 punto) (Solución: 0 )

11.

Aplicando el teorema de Lagrange de los incrementos finitos, demuéstrese que para x>0 se verifica: arctg(2 x )−arctg( x )< x

1+ x

2

.

(1 punto)

(Solución: Aplica dicho teorema a la función y = arctgx en el intervalo (x, 2x))

12.

Sea f (x )=e

x

+ln( x) , x∈(0,∞)

a. Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus asíntotas.

b. Pruébese que f tiene un punto de inflexión en el intervalo [ 1 2 ,1 ] y

esbócese la gráfica de f.

(Solución: a) Creciente si x >0 . Asíntota vertical x = 0. No hay más asíntotas. B) Aplica el teorema de Bolzano a la segunda derivada en dicho intervalo.

SEPTIEMBRE 2005

13.

a) Estúdiese la derivabilidad de

f (x )= { ln(1+x

2

), x >0

x

2

, x≤0 , sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus puntos de inflexión. Esbócese su gráfica.

(1,75

puntos)

b)

Calcúlese el área delimitada por la gráfica de f (x ) y las rectas

x=−1 , x=1 , y=0 .

(1,25 puntos)

(3)

(Solución: a) Es continua y derivable en R. Creciente si x > 0. Punto de inflexión (1 , ln2) b)

ln 2− 5 3 + π

2 u

2

14.

Calcúlense los valores de λ≠0 para los cuales lim

x →0

sen( x

2

)

cos

2

( λx)−1 =−1

.

(1 punto) (Solución:

λ=±1

)

15.

Sea P(a, sena) un punto de la gráfica de la función f (x )=sen( x) en el intervalo

[ 0,π ] . Sea r

P

la recta tangente a dicha gráfica en el punto P y A

P

el área de la región determinada por las rectas r

P

, x=0 ,

x=π

, y=0 . Calcúlese el punto P para el cual el área A

P

es mínima. (Nota: Puede asumirse, sin demostrar, que la recta r

P

se mantiene por encima del eje 0X entre 0 y

π

)

(3 puntos) (Solución:

π /2

P

¿ ,1)

16.

Calcúlese

limx →0ln( x)sen( x )

. (Solución: 0)

JUNIO 2006

17.

Considérense las funciones f (x )=e

x

,g( x)=−e

−x

. Para cada recta r perpendicular al eje OX, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g, respectivamente. Determínese la recta r para la cual el segmento AB es de longitud mínima.

(Solución: El eje OY, x = 0)

18.

Calcúlese el valor de

limx → 0

ln(cos(2 x ))

x2

.

(Solución: -2)

19.

Dada la función f (x )= x −1

x+1 , determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica.

(Solución: Creciente en todo su dominio

R− { −1 }

. No hay puntos de inflexión.

Cóncava en

−∞ ,−1

(¿

, convexa(−1 , ∞). Asíntota vertical x=−1, asíntotahorizontal y=1

)

20.

Sea f (x )=ax

3

+bx

2

+ cx+d . Determínense a, b, c y d para que la recta y+1=0 sea

tangente a la gráfica de f en el punto ( 0,−1) , y la recta x− y−2=0 sea tangente a la gráfica de f en el punto ( 1,−1) .

(Solución: a = 1, b = -1, c = 0, d = -1 y=x3 – x2 -1)

21.

Determínense los valores de a y b para los cuales lim

x →0

ax

2

+ bx+1−cos(x )

sen( x

2

) =1

.

(Sol: a=1/2 , b=0)

(4)

SEPTIEMBRE 2006

22.

Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f (x) = x . e

x

, sus máximos y mínimos relativos, asíntotas y puntos de inflexión. Demuéstrese que para todo x se tiene que

f (x)≤ 1 e .

b) Pruébese que la ecuación 3x e

x

tiene alguna solución en (,1  .

(Solución: Creciente en

∞,−1

(¿

, máximo ( 1, 1 e ) , cóncava(2, ∞) , Punto de inflexión en x=2, asíntotahorizontal y=1

)

b) Teorema de Bolzano para la función f (x )= 3x - e

x

)

23.

Calcúlese lim

x→ 0

ln ( cos (x ) ) −1+cos x

x

2 (Solución: -1)

24.

Sea f ( x )= 4−2 x

2

x Determínese el dominio de f, sus asíntotas, simetrías y máximos y mínimos relativos. Esbócese su gráfica.

(Solución:

Dominio

R− { 0 }

, asíntota vertical x = 0, asíntota oblçicua y = -2x. Simetría impar. Decreciente en todo su dominio. No hay extremos.

25.

Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función f ( x )= x

2

x

2

+1 en el punto x =0.

(Solución: Recta tangente y = 0 , recta normal x = 0)

JUNIO 2007

26.

Sea la función f ( x )= x

x

2

−1 .Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas. Esbozar su gráfica.

(Solución: Asíntotas verticales x=± 1 , asíntota horizontal y = 0, no hay extremos relativos, decreciente en

R− { ± 1 }

, punto de inflexión (0 , 0), cóncava en

(−1,0) ∪(1, ∞)

)

27.

Calcular lim

x→ 0

( ln ⁡( x+1) 1 − 1

x )

(Solución: ½ )

(5)

28.

Demostrar que las curvas f (x) =senx y g ( x)= 1

x se cortan en algún punto del intervalo

( 2 π , 5 π 2 )

(Solución: Teorema de Bolzano aplicado en dicho intervalo a la función

h ( x )=senx− 1 x

)

29.

Sea la función f ( x )=x +e

−x

a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las asíntotas.

Esbozar su gráfica.

b) Demostrar que existe algún número real c tal que

c +e−c=4

(Solución: a) Dominio = R , asíntota oblicua y = x, creciente si x>0, mínimo (0 , 1), cóncava en todo R b) Aplicar el teorema de los valores

intermedios)

30.

Hallar a y b para que la función f ( x )= { a+xlnx si x >o b si x=0 senπx

x si x <0 sea continua en todo R.

(Solución: a = b = π

) SEPTIEMBRE 2007

31.

Sea f la función dada por f (x )=e

2 x− x2

.

a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas de f.

(1,5 puntos)

b) Determinar el número de soluciones de la ecuación f (x )=2 en el intervalo [ 0, 1 ] .

(1,5 puntos)

(Solución: Creciente si x < 1. Máximo (1, e). Asíntota horizontal y = 0 por la dcha. B)

Por el teorema de Bolzano aplicado a f(x)-2 sabemos que existe una solución y por ser creciente en dicho intervalo sólo hay una.)

32.

Determinar en qué puntos de la gráfica de la función y=x

3

−3 x

2

+ x+1 , la recta tangente a la misma es paralela a la recta y=x+7 .

(1 punto)

(Solución: x = 0 y x = 2, es decir P(0 , 1) y Q(2 , -1))

33.

Sea la función f (x )= x

x

2

+ 4 . Se pide hallar:

a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f , los máximos y mínimos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica.

(2 puntos)

b) El área de la región limitada por la gráfica de f, el eje

OX y las rectas x=−2, x=2

(1 punto)

(6)

(Solución: a) Asíntota horizontal y = 0, creciente en (-2 , 2), máximo (2 , ¼) , mínimo (-2 , -1/4) b) ln2 )

34.

Discutir si la ecuación x+sen x=2 tiene alguna solución real.

(Solución: Aplicar teorema de Bolzano a la función

f ( x )=x +sen x−2

en el intervalo

[ 0, π 2 ]

35.

Calcular, si existe, el valor de lim

x →0

( e

x

−e

−x

)

2

x

2

.

(Solución: 4)

JUNIO 2008

36.

Sea f ( x )= lnx

x

2

con

x∈

(

o ,+∞

) Calcular los

intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica.

(Solución: Asíntota vertical x = 0 , asíntota horizontal y = o, creciente en (0 , e1/ 2¿ , decreciente (

e

1 2,

, ∞¿

, máximo ( e

1 2,

,1/2 e¿

37.

Calcular lim

x→ 0

sen

2

2 x

x

3

+ x

2 (Solución: 4)

38.

Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función f ( x )=x

3

+ax en el punto x

=0 sea perpendicular a la recta y + x= - 3.

(Solución: a = 1)

39.

Dada f ( x )= { x sen x

2

−2 x si x ≤ 0 x

2

si x >0

estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f (x).

(Solución: f(x) es continua para todos los valores de x, pero no es derivable en x = 0)

40.

Calcular las asíntotas de la función f(x)= (2 x−1)

2

4 x

2

+1

(Solución: Sólo tiene una asíntota horizontal y = 1)

41.

Demostrar que la ecuación

x3+x −5=0

tiene al menos una solución en el intervalo (1,2) .

(1 punto) (Solución: Aplicar el teorema de Bolzano a la función

f ( x )=x

3

+ x−5 en dicho intervalo)

SEPTIEMBRE 2008

42.

Hallar, de entre los puntos de la parábola de ecuación y=x

2

−1 , los que se encuentran a distancia mínima del punto A (−2 ,− 1

2 )

(Solución: P(-1 , 0))

(7)

43.

Estudiar la continuidad en R de la función f(x)= { 1−cosx 0 si x=0 x si x ≠0

(Solución: f(x) es continua en R)

44.

Sea f ( x )=2−x+ln x con x(0,).

Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las asíntotas de f .Esbozar la gráfica de f .

Probar que existe un punto c ∈ [ e 1

2

,1 ] tal que f (c) =0 .

(Solución: a) No tiene asíntotas, creciente en (0 ,1), decreciente si

x(1,+), máximo relativo P(1, 1), convexa en (0,).

45.

Calcular los valores del número real asabiendo que lim

x→ 0

e

ax

−1−ax

x

2

=8

(Solución:

a=± 4

)

JUNIO 2009

46.

Sea la función f ( x )= | x

2

x −2 |

a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y esbozar su gráfica.

b) Demostrar que no es derivable en x =2

(Solución: a) Creciente

x ( −1, 1 2 ) ∪(2 ,+∞)

, decreciente

x ∈ (−∞ ,−1) ∪ ( 1 2 , 2 )

. Cóncava x

(

−∞ ,1

)

(

2 ,+∞

) , convexa (-1 , 2))

47.

Un campo de atletismo de 400 metros de perímetro consiste en un rectángulo y semicírculos en dos lados opuestos, según la figura adjunta. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible.

(Solución: Diámetro

200

π m ,longitud 100 m

)

48.

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f ( x )= ln x

x en su dominio de definición

(Solución: Dominio (0 , +

). Creciente en el intervalo (0 , e), decreciente en (e , + ))

SEPTIEMBRE 2009

(8)

49.

Sea la función f ( x )= x

3

x

2

+1 Hallar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica.

(Solución: Asíntotaoblícua y = x , creciente en R, Cóncava

x ( −∞ ,− √ 3 ) ( 0,3 ) , puntos de inflexión (0 , 0) , ( 3 ,− 4 27 ) ( 3 , 27 4 ) )

50.

Calcular el límite lim

x→ 0

ln 2

senx

e

x

−1

(Solución: ln 2)

51.

Sea la función f (x) =sen(x) +cos(x) , definida en el intervalo [ 0,2 π ] .Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos. Esbozar su gráfica

(Solución: Creciente

( 0, π 4 ) ∪( 5 π 4 , 2 π )

, decreciente

( π 4 , 5 π

4 )

, máximo

π

4 ,2

¿

) , mínimo

5 π 4 ,−2

¿

))

52.

Probar que la ecuación

x2009ex+2=0

tiene alguna solución

(Solución: Teorema de Bolzano para f(x)=

x

2009

e

x

+ 2

en el intervalo

[ −2,0 ]

JUNIO 2010

53.

a) Si el término independiente de un polinomio p(x) es -5 y el valor que toma p(x) para 3 es 7,

¿se puede asegurar que p(x) toma el valor 2 en algún punto del intervalo [0 , 3]? Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que se utilicen.

(1,5 puntos)

(Solución: Aplica teorema de los valores intermedios , p(0)=-5, el término independiente es el valor del polinomio para x =0)

54.

Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 270 cm

3

. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5€/cm

2

y para la base un material un 50% más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo.

(Solución: base cuadrada de 6 cm de lado , altura 7,5 cm)

55.

Hallar el valor de a para que se verifique que lim

x →+∞

( 2 x−1 2 x +a )

x+5

=lim

x→ 0

x

2

x

3

sen

2

x

(Sol: a = -1)

56.

Dada la función f ( x )= x +1

x−1 se pide: Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los

de concavidad y convexidad, y las asíntotas.

(Solución: Asíntota vertical x = 1, asíntota horizontal y =1 , decreciente en todo su dominio, convexa en

(

−∞ ,1

) )

(9)

57.

Calcular b y c sabiendo que la función f ( x )= { x

2

+ bx+c si x ≤0 ln(x +1)

x si x>0 es derivable en el punto x = 0.

(Solución: b = -1/2 , c = 1)

SEPTIEMBRE 2010

58.

Se divide un alambre de 100m de longitud en dos segmentos de longitud x y 100-x. Con el de longitud x se forma un triángulo equilátero, y con el otro un cuadrado. Sea f(x) la suma de las áreas.

¿Para qué valor de x dicha suma es mínima?

(Solución:

x= 900 4 √ 3+9

)

59.

Sea la función f ( x )=x4−x

2

Determinar el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. Esbozar su gráfica

(Solución: Dominio [-2 , 2], creciente en el intervalo

( − √ 2 ,2 )

, decreciente

( −2,− √ 2 ) ( √ 2 ,2 )

, mínimo el punto

( − √ 2 ,2 )

, máximo el punto

( √ 2 ,2 )

60.

Dada la función f ( x )= ( x+ 3)

2

e

x

se pide determinar:

a) El dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas.

b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos.

c) La gráfica de f.

(Solución: Dominio R, corta a los ejes en (-3 , 0), (0 , 9), no tiene asíntotas, creciente en (-3 , -1), mínimo (-3 , 0), máximo (-1 , 4e)

61.

a) Sean f ( x )= x− | x |

2 , g(x)= { 3 x si x ≤ 0

x

2

si x >0 Hallar g(f(x))

. (1 punto)

(Solución: f

(

x

)

=

{

3 x si x ≤0 0 si x>0 g¿

)

JUNIO 2011

62.

Estudiar si la función f: [ 0,2 ] → R dada por f ( x)= { x si 0 ≤ x ≤1

−3 2 x

2

+ 7

2 x−1 si 1< x ≤ 2 verifica las

hipótesis del teorema de Rolle. Enunciar dicho teorema.

(10)

(Solución: Si las cumple)

63.

Calcular lim

x→ 0

cos 2 x−e

−x

x

x senx (Solución: -5/2 )

64.

Sea f ( x )= x

2

−3 x+3

x−1

a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas.

b) Esbozar su gráfica.

(Solución: Dominio R− { 1 } , asíntota vertical x = 1, asíntota oblícua y = x-2, creciente en (

−∞ , 0

)

(

2,+∞

) , máximo (0 , -3) , mínimo (2 , 1), cóncava en (

1,+∞

) )

65.

Hallar el valor de los parámetros reales a y b para los que la función f(x)= { sen x−ax x

2

x +

2

b s i x ≤ 0 si x >0

es continua en R.

(1,5 puntos)

(Solución: a = 1, b = 0)

SEPTIEMBRE 2011

66.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y determina en el primer cuadrante con los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Calcular dicha área.

(Solución: y = -2x +4 , área 4 u2)

67.

Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función

f

(

x

)

=

|

x −1

| en el intervalo [-2, 2]. Calcular la función derivada de

f

(

x

) en ese intervalo.

(Solución: Continua en dicho intervalo, no derivable en x = 1)

68.

Dada la función y= ln x

x determinar su dominio de definición, sus asíntotas, extremos relativos y puntos de inflexión. Hacer un esbozo de su representación gráfica.

(2,5 puntos)

(Solución: Dominio (0,+∞ ) , asíntota vertical x =0, asíntota horizontal y = 0, decreciente en (

e ,+∞

) , máximo (e , 1/e) , convexa en ( 0, √ e

3

) , punto de inflexión √ e

3

¿

, 3/2 √ e

3

)

JUNIO 2012

69.

Dada la función f ( x )= a e

2 x

1+x , se pide:

a) Hallar a para que la pendiente de la recta tangente a la función en x = 0 valga 2.

(11)

b) Para a =1, estudiar el crecimiento, decrecimiento y extremos relativos.

c) Para a =1, hallar sus asíntotas

(Solución: a) a = 2 , b) creciente en

( −1 2 ,+∞ )

, decreciente en

( −∞ ,− 1 2 ) { −1 }

, mínimo el punto

( −1 2 , 2

e ) c) A.V. x = -1, A.H. y = 0)

70.

Calcular los valores del parámetro a para que las tangentes a la gráfica de la función f ( x )=a x

3

+2 x

2

+3 en los puntos de abscisas x =1 y x = -1 sean perpendiculares.

(Solución:

±15

3

)

71.

Se considera la función f (x) = e

x

+ ln( x) ,

x∈

(

0 , ∞

) donde ln denota el logaritmo neperiano.

a) Estudiar la monotonía y las asíntotas de f (x).

b) Demostrar que la ecuación x

2

e

x

-1 = 0 tiene una única solución c en el intervalo [0,1].

c) Deducir que f presenta un punto de inflexión en c. Esbozar la gráfica de f

(Solución: a) A. V. x = 0, creciente en todo su dominio. B) La existencia se demuestra aplicando el teorema de Bolzano para la función g(x) = x 2 e x-1, y la unicidad aplicando el teorema de Rolle o viendo que en dicho intervalo la función es creciente (por tanto sólo puede haber un punto de corte) c) Si hallamos la segunda derivada de f(x) obtenemos g(x) por lo que el punto de inflexión es el punto c del apartado b))

SEPTIEMBRE 2012

72.

Sea la función f ( x )= ( 2 x

2

+ 3 ) e

x

a) Estudiar asíntotas, crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión.

b) Esbozar su gráfica

(Solución: A.H y = 0 cuando

x →−∞

, siempre creciente ,

convexa en

( −2− 2 2 ,−2+2

2 )

, puntos de inflexión en x =

−2− √ 2

2 y en x = −2+ √ 2

2

73.

Calcular lim

x→ 0

ln(1+x )−ln(1−x )

x senx

(Solución: -1)

(12)

74.

Determinar en qué puntos de la grafica de la función f ( x )=x

3

−6 x

2

+ 4 x+8 la recta tangente a la misma es paralela a la recta

y=4 x+7

.

(Solución: x = 0 , x = 4)

75.

A) Determinar los extremos absolutos de la función f ( x )=x

2

4 x+4 en el intervalo [1,4].

B) Aplicando la definición, estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f dada por f ( x )= { x−x

2

si 0≤ x ≤ 1

ln

2

x

x−1 si 1<x ≤ 2 en el punto x = 1 , donde ln denota el logaritmo neperiano

.

(Solución: A) Los extremos absolutos pueden estar entre los extremos relativos o en los extremos del intervalo; en nuestro caso el máximo absoluto es el punto (4 , 4) y el mínimo absoluto es el punto (2 , 0). B) La función es continua en [0 ,2] , no es derivable en x = 1)

JUNIO 2013

76.

Sea la función f ( x )= { a x+bx si0 ≤ x ≤ 1

c ln x si1<x Hallar a, b y

c

sabiendo que f (x) es continua en

(0, )

, la recta tangente a f (x) en el punto de abscisa x = 1/16 es paralela a la recta y 4x 3

,

y se cumple que ∫

1 e

f (x ) dx=2 .

(Solución: a=-4/3 , b=4/3 , c=2)

77. a) Estudiar el crecimiento de la función

f ( x )=x

3

+ 3 x

2

−3

. (1 punto) (Solución:

Decreciente si

x ∈ (−2,0)

)

b) Probar que la ecuación x3+3 x2−3=0 tiene exactamente tres soluciones reales. (1,5 puntos) (Solución: Probar la existencia con el teorema de Bolzano y la unicidad utilizando el teorema de Rolle)

78. Sea la función

f ( x )= x−2 x +2

.

a) Calcular sus asíntotas y estudiar su crecimiento y decrecimiento. (1 punto) (Solución: A.V. x = -2, A.H. y=1)

b) Dibujar el recinto comprendido entre la recta

y=1

, la gráfica de la función ,el eje OY y la recta x=2 ; calcular el área de dicho recinto.(1,5 puntos)

79. Determinar, de entre los triángulos isósceles de perímetro 6 metros, el que tiene área máxima. (2,5 puntos)(Solución: Triángulo equilátero de lado 2 m)

SEPTIEMBRE 2013

80. Sea

f ( x )=(x+ 1)e

−x . Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas.

Esbozar su gráfica. (2,5 puntos)

(13)

(Solución: Creciente si

x ∈ (−∞ ,0 )

, Máximo (0,1), Cóncavidad

x ∈ (1,+∞), P . I (1, 2 e )

)) 81. a) Hallar

lim

x →+∞

x ln(x +1)

x

2

+1

. (1,25 puntos) (Solución: ¼)

82. a) Enunciar el teorema del valor medio de Lagrange. Dar su interpretación geométrica. (1 punto) b) Estudiar la continuidad de la función

f

(

x

)

=

{

1−cosxsenxek1x si x <0si x=0si x >0 en el intervalo

( −π 2 , π

2 )

, según los valores de k. (1,5 puntos)

(Solución: f(x) continua si k = 0)

83. a) Determinar las asíntotas horizontales y verticales de la función

f ( x )= 1

x

2

x−2

. (1 punto) (Solución: A.V. x=-1 y x = 2, A.H. y = 0)

JUNIO 2014

84. Hallar la función polinómica de grado 3 sabiendo que su gráfica pasa por el punto P(1 , 0), que tiene por tangente en el punto de abscisa x = 0 la recta de ecuación y = 2x + 1, y que su integral entre 0 y 1 vale 3. (2,5 puntos)

(Solución:

f ( x )=−24 x

3

+21 x

2

+2 x +1

)

85. Sea la función f

(

x

)

=e−x2 . Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica. (2,5 puntos)

(Solución: f(x) creciente en

(−∞ , o) , decreciente en (0 ,+ ∞) , máximo el punto ( 0,1); cóncava en ( ∞,− 2 2 ) ( 2 2 ,+∞ ) , P . I ( 2 2 ,1 e ) , P . I ( 2 2 ,1 e )

)

86. Sea la función

f ( x )=+2x

a. Hallar su dominio y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (0,5 puntos) b. Calcular el punto de la gráfica de

f ( x )

más cercano al punto (4 , 0) (2 puntos)

(Solución: Dominio

0 ,+∞

[¿ ,f(x) creciente si x>0, b)

P(2,22)

)

87. Sea la función f

(

x

)

= ex (1+ ex)2

a. Calcular un punto de su gráfica tal que la recta tangente en dicho punto sea paralela al eje OX. Escribe la ecuación de la recta tangente. (1 punto)

b. Calcular el área limitada por la gráfica de la función, el eje OX y la rectas x = 0 y x = ln5.(1,5 puntos) (Solución:

a

¿

P ( o , 1 4 ) , R . T . y= 1

4 b

¿

A= 1

3 u

2 )

(14)

SEPTIEMBRE 2014

88. Sea la función

f ( x )=x

2

e

−x . Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica. (2,5 puntos) (Solución:

f ( x ) creciente en (0,2) , decreciente en (−∞ , 0)∪ (2 ,+∞), máximo relativo el punto ( 2,4 e

−2

) , mínimo relativo (0,0) ;cóncava en ( −∞ , 2− √ 2 ) ( 2+ √ 2 ,+∞ ) , P . I ( 2− √ 2 , ( 6−42 ) e

(2−2)

) , P . I ( 2+ √ 2, ( 6+42 ) e

(2 +2)

) , A . H y=0 cuando x → ∞

)

89. a) Hallar el punto en el que la recta tangente a la gráfica de la función

f ( x )=x

2

x +4

es paralela a la recta de ecuación

y=5 x−7

(1 punto)

b) Calcular el área delimitada por la parábola de ecuación y=2 x2 y la recta

y=2 x+4

(1,5 puntos) (Solución: a) Punto (3,10) b) A = 9 u2)

90. E3.- Se desea construir un depósito de chapa (en forma de prisma recto, abierto y de base cuadrada) con una capacidad de 32.000 litros. ¿Cuáles han de ser las dimensiones del depósito para que se precise la menor cantidad de chapa posible en su construcción? (2,5 puntos)

(Solución: x = 4 m , y= 2 m)

91. E4.- a) Enunciar e interpretar geométricamente el Teorema de Rolle. (1 punto)

b) Hallar la primitiva de

f ( x )=x

2

lnx

cuya gráfica pasa por el punto (1 , 2)(1,5 puntos) (Solución: b)

F ( x )= x

3

lnx

3 − x

3

9 + 19

9

)

JUNIO 2015

92. E3.- Determinar los vértices del rectángulo de área máxima que tiene lados paralelos a los ejes de coordenadas y vértices en el borde del recinto delimitado por las gráficas de las funciones

f ( x )=x

2

yg ( x)=2−x

2 (2,5 puntos) (Solución: Vértices:

( 3 3 , 1

3 ) , ( 3 3 , 1

3 ) , ( 3 3 , 5

3 ) , ( 3 3 , 5 3 )

)

93. E4.- a) Sea g(x) una función continua y derivable en toda la recta real tal que g(0)=0 y g(2)=2 . Probar que existe algún punto c del intervalo (0,2) tal que g'(c)=1. (1 punto)

b) Hallar la función f (x) que cumple

f

'

( x )=xln(x

2

+1)

y f (0) =1. (1,5 puntos)

(Solución: a) Aplicar teorema de Lagrange, b)

x

(¿¿ 2+1)ln ( x

2

+1 ) − x

2

2 + 1

f ( x )=¿

)

94. E3.- Dada la función

f ( x )= x lnx

, determinar su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos.

Esbozar su gráfica. (2,5 puntos)

(Solución: Dominio (

0,+∞

)

−{1}

, asíntota

vertical x =1, creciente en (e ,+ ∞ ) ,

decreciente (0, e)- {1 } , mínimo(e , e) )

(15)

95. E4.- a) Calcular

lim

x→ 0

( 1 x − 1

ln ⁡(1+x) )

(1punto)

b) Calcular el área del recinto delimitado por las gráficas de las funciones

f ( x )= 1

x , g (x )= 1

x

2 y la recta x =e .(1,5 puntos) (Solución: a) -1/2 , b) A= 1/e u2)

SEPTIEMBRE 2015

96. E3.- Consideremos la función

f ( x )= x

2

−1

x

2

+ 1

. Calcular dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos y puntos de inflexión. (2,5 puntos)

(Solución: Dominio R , asíntota horizontal y = 1, creciente en (0 ,+∞ ) , mínimo (0 , -1) , cóncava en

( − √ 3/3,3 /3 ) , puntos de inflexión − √ 3/3

¿

, -1/2 ) y √ 3/3

¿

, -1/2 )

97. E4.- a) Enunciar e interpretar geométricamente el Teorema de Rolle. (1 punto)

b) Hallar la primitiva de la función

f ( x )=x

2

lnx

cuya gráfica pasa por el punto (1,0). (1,5 puntos)

(Solución: b)

F ( x )= 3 x

3

lnx−x

3

+ 1

9

)

98. E3.- Consideremos la función definida a trozos

f ( x )= { a x

2

+ bx+c si x ≤2

ln ( x−1) si x>2

Hallar los valores de a, b y c para que sea continua en toda la recta real y tenga un extremo relativo en el punto (1,-1). (2,5 puntos)

(Solución: a = 1 , b = -2, c = 0)

99. E4.- a) Calcular

lim

x→ 0

( cosx )

1

x2 . (1 punto)

b) Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones cos x y senx y las rectas x= 0 y x = π/2(1,5 puntos)

(Solución: a) -1/2 , b)

A=22−2 u

2 )

JUNIO 2016

100.

a) Calcular a, b y c para que la función f ( x )=x

3

+ a x

2

+ bx+c tenga pendiente nula en el punto (1,1) de su gráfica y, sin embargo, no tenga un extremo relativo en dicho punto.

(1,25 puntos)

b) Probar que la ecuación x

5

+ x −1=0 tiene una única solución real positiva.

(1,25 puntos)

(16)

(Solución: a) a = -3 , b = 3, c = 0; b) Teoremas de Bolzano y Rolle)

101.

a) Calcular x → 0

+¿

( 1 x e

x

1 −1 )

lim

¿

¿

(1 punto)

b) Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función f ( x )=1−x

2

y las rectas tangentes a dicha gráfica en los puntos de abscisa x=1 y x =−1

(1,5 puntos)

(Solución: a) ½ ; b) A=2/3u2)

102.

Tenemos un cartón cuadrado de 6 cm de lado y queremos construir con él una caja sin tapa. Para ello recortamos un cuadrado de x cm de lado en cada vértice del cartón. Calcular x para que el volumen de la caja sea máximo.

(2,5 puntos)

(Solución: x=1)

103.

a) Calcular x → 0

+¿

( 1+x

2

)

1/ x

lim

¿ ¿

.

(1 punto)

b) Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función f ( x )=lnx , el eje OX y la recta

x=3

.

(1,5 puntos)

(Solución: a) 1 , b) A= 3 ln3 - 2 u2)

SEPTIEMBRE 2016

104.

Dada la función f ( x)=2e

−2|x|

, estudiar: derivabilidad, crecimiento y

decrecimiento, extremos relativos y asíntotas.

(2,5 puntos)(Solución: No es derivable en x

=0, Creciente

(

−∞ , 0

)

, decreciente

(

0 ,+∞

)

, Máximo relativo en x =0,

, A . H y=0

)

105.

a) Calcular

e

1 x

x (¿−1) x → 0+¿¿ lim¿ ¿

.

(1 punto) (Solución:

+

)

b) Consideremos la función f ( x )=x

3

+m x

2

+1 con

m≥ 0

. Calcular el valor de mpara que el área del recinto limitado por la gráfica de la función

f

(

x

) , el eje OX y las rectas x=0 y x=2 sea 10.

(1,5 puntos) (Solución:

m=3 /2

)

106.

E3.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,1) y forma con los ejes coordenados un

triángulo de área mínima en el primer cuadrante.

(2,5 puntos) (Solución:

x+ y−2=0

)

(17)

107.

E4.- Se considera la parábola y=−x

2

+ 2 x .

a)Calcular las rectas tangentes a dicha parábola en sus puntos de intersección con el eje OX.

(0,75 puntos) (Solución: 2 x − y=0 , 2 x + y −4=0 )

b)Calcular el área delimitada por la gráfica de dicha parábola y las rectas tangentes obtenidas en el apartado a).

(1,75 puntos)(Solución:

2

3 u

2 )

JUNIO 2017

108. a)

Enunciar el teorema de Bolzano e interpretarlo geométricamente.

(1 punto)

b)Encontrar un intervalo en el que P (x )=x

6

+ x

4

−1 tenga al menos una raíz.

(1,25 puntos)(Solución:

Intervalo [0, 1])

109.

a)Calcular la recta tangente a la curva f ( x )=4 e

x−1

en el punto (1 , f (1)) .

(1 punto)(Solución: �

= 4x)

b)Calcular el área de la región delimitada en el primer cuadrante por la gráfica de la función f ( x )=x

3

y la recta

y=4 x

.

(1,25 puntos)(Solución: � = 4 u2)

110.

E3.- a)Dado el polinomio P (x )= x

3

3 − 3 x

2

2 +2 x +C , hallar C para que el valor de P(x) en su mínimo relativo sea 1.

(1,25 puntos)(Solución: � = 1/ 3)

b)Calcular

x → 0

+¿x lnx lim

¿

¿

.

(1 punto)(Solución: 0)

111.

E4.- Sea f ( x )= { ( a+lnx si x >1 x −1)

2

si x ≤ 1

a)Encontrar

a

para que la función sea continua.

(1 punto)(Solución: � = 0)

b)Hallar el área de la región delimitada por la gráfica de f(x) y las rectas x=1 , y=1.

(1,25 puntos)

(Solución: � = 2 /3 u2)

SEPTIEMBRE 2017

112.

E3.- a) Dada la función f ( x )= { x si x <0

x

2

+ ax si x ≥ 0 , calcular � para que 𝑓 sea derivable en 𝑥

= 0.

(1 punto) (Solución: � = 1)

b) Hallar �, 𝑏 y 𝑐 para que la función f ( x )=a x

2

+ bsenx+c verifique (0) = 0,

𝑓′(0) = 1 y 𝑓′′(0) = 2.

(1,25 puntos)(Solución: a) a = 1 , b = 1, c = 0 )

(18)

113.

E4.- a) Calcular lim

x→ 0

e

x

−e

(x2)

x

. (1 punto)(Solución: 1)

b) Hallar el área de la región del plano comprendida entre las gráficas de las funciones f ( x )=−x

2

, g ( x )=x

2

−2 .

(1,25 puntos)(Solución: � = 8 /3 u2)

114.

Consideremos la función f ( x )= x

2

+1

x

2

+2 . Calcular el dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos. Esbozar su gráfica.

(2,25 puntos)

(Solución: Dominio

R

,asíntota horizontal y = 1, creciente en (

0 ,+∞

) , mínimo (0 , 1/2) )

115.

E4.- a)Calcular lim

x→ 0

xe

x

senx

x

2 (1,25 puntos) (Solución: 1)

b)Calcular ∫ lnx dx .

(1 punto)(Solución: F(x)= x (lnx -1) +k)

JUNIO 2018

116.

Dada la función f ( x )=3 x

4

+ x

3

−1 determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos y el número total de puntos en los que f ( x ) se anula.

(Solución: Dominio R , decreciente en ( −∞ ,− 1 4 ) , creciente en ( −1 4 ,+∞ ) , mínimo

(0 , 1/2) , mínimo relativo ( −1 4 ,− 257

256 ) , se anula en dos puntos )

117.

E3.- Dada la función (𝑥) = 𝑥�

−𝑥

, determínense su dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. Esbócese también su gráfica

.

(Solución: Dominio

R

,no asíntotas verticales, asíntota horizontal y = 0 cuando

x →+∞

, no asíntota horizontal por la izda ni asíntotas oblicuas, decreciente en (1 ,+ ∞ ) , mínimo (1 , 1/e) , cóncava,

∪,

en (2 ,+∞) , punto de inflexión(2 ,2 /e

2

) )

118.

E4.- a)Calcular lim

x→ 0

e

x

cos x

ln ⁡(1+x)

(Solución: 1)

(19)

JULIO 2018

119.

E3.- Sea la función f ( x )= 1

x + ax +b

a) Encontrar � y 𝑏 para que la función tenga un mínimo relativo en el punto ( 1 2 , 6 ) .

b) Suponiendo que � = 4 y 𝑏 = 2, estudia su continuidad y, en el caso de tenerlas, sus asíntotas.

(Solución: a) a =4 , b = 2 b) asíntota vertical x = 0 , asíntota oblicua y = 4x + 2)

120.

E4.- Sea la función 𝑓(𝑥) = sen𝑥

a) Encontrar las rectas tangentes a la gráfica de la función (𝑥) en los puntos 𝑥 = 0 y 𝑥 = �. Encontrar el punto en que se cortan ambas rectas tangentes. (1 punto)

b) Hallar el área comprendida entre la gráfica de (𝑥) y las rectas de ecuaciones: = 𝑥e � = −𝑥 + �.

(1 punto)

(Solución: a) � = 𝑥 e � = −𝑥 + � b) π

2

4 −2 u

2

)

121.

E3.- De todos los rectángulos cuyo perímetro es 40 cm, encontrar el que tiene la diagonal de menor longitud.(Solución: base = 10 cm , altura = 10 cm)

122.

E4.- a)Calcular lim

x → ∞

3 e

x

−sen x

e

x

+ x (Solución: 3)

JUNIO 2019

123.

Dada la función f ( x )=2 x

3

+ 3 x

2

−12 x

a. Calcular sus máximos y mínimos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b. Calcular sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [ −2,2 ] (Solución: a) decreciente en 1,+∞

(−2,−1) , creciente en (−∞,−2)

¿

, máximo relativo (1,-7) , mínimo relativo (

−2,20

) b) Los extremos absolutos en el intervaloson los ismos que los relativos anteriores porque −7 ≤ f (−2)≤ 20 y−7 ≤ f (2) ≤ 20 )

124.a) Calcular lim

x→ 0

cos ( x )−1 x sen(x )

b)

Calcular el área encerrada por las gráficas de la funciones

f

(

x

)

=4 x

y de g ( x)=x

3

en el

intervalo [ 0,2 ] , probando anteriormente que en dicho intervalo

f ≥ g

(20)

(Solución: a) - 1/2 b) 4 u

2

)

125.

Sea el polinomio f ( x )=a x

3

+b x

2

+cx +d del cual sabemos que f (0)=1, f (1)=0 y que tiene extremos relativos en 𝑥=0 �𝑥=1. Calcular �, 𝑏, 𝑐��.

(Solución: f ( x )=2 x

3

−3 x

2

+1

126.

a) Sea f (x) = 2 x +3

x

2

+3 x+1 . Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de (𝑥), el eje 𝑂X y las rectas 𝑥=0 � 𝑥=2 .

b) Calcular lim

x→ 0

x sen(x) 3 cos( x)−3

(Solución: a) ln 11u

2

, b) - 2/3)

JULIO 2019

127.

Dada la función f(𝑥)= {

x2−2 x , si x< 0 x24 x , si x ≥ 0

.

a) Probar que posee un máximo relativo en -1 y un mínimo relativo en 2. (1,4 puntos) b) Probar que no posee extremo relativo en 0. (0,6 puntos)

(Solución: b)en x = 0 la función es continua pero no derivable,

−¿ 0

¿

¿

+¿ 0

¿

f

¿¿

por tanto 𝑓(𝑥) es estrictamente

decreciente)

128.

a) Calcular lim

x→ 0

sen x

e

x

cos ⁡x (1 punto)

b) Calcular �, siendo �>1, para que el área de la región del plano comprendida entre las gráficas de las funciones (𝑥)=, (𝑥)=�xy 𝑥=1 sea 1.

(Solución: a) 1 b)

a=3

)

129.

a) Enunciar el teorema de Rolle. (1 punto)

b) Indicar un punto en el que la función f (𝑥)=2𝑥−sen𝑥 tome el valor 0, y demostrar (o bien

usando el teorema del apartado previo o bien con algún otro razonamiento) que esta función

sólo se anula en ese punto. (1 punto)

(21)

(Solución: b) Se anula en x =0 y como la función es estrictamente creciente no se anula en más puntos )

130.

Determínense los valores de � y de 𝑏 para los cuales la función definida por:

f(𝑥)= { a+cosx si x ≤ 0

x

2

−2bx si x>0 , es continua y verifica que ∫

0 1

f (x ) dx= 1

3 (2 puntos)

(Solución: a=0 , b = 1)

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