Universidad de Antofagasta
Facultad de Ciencias Básicas Departamento de Matemáticas MATEMÁTICA BÁSICA II PMMT 021 PEDAG. EN MATEMÁTICA
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CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ
Sea A M K
n( ). Si la matriz
Aes invertible, entonces
A
1talque I
n A A
1. Considerando
P A1, resulta I
n PA y tenemos por lo tanto que
Aes equivalente por filas con I
nTeorema: A M K
n( ) ,
Aes no singular si y sólo si
Aes equivalente por filas I
n.
Ejemplo: Calcular por T.E. la inversa de la matriz
11 23 300 0 4 A
.
SISTEMAS DE ECUACIONES
Definición: Llamaremos sistema de m ecuaciones con n incógnitas, a un conjunto de ecuaciones de la forma:
11 1 12 2 1 1
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
m m
a x a x a x b
a x a x
...a xmn nbm
(S)
Donde:
Los elementos
aijson los coeficientes del sistema.
Los elementos x
ison las incógnitas del sistema.
Los elementos b
jserán los términos independientes.
21 12
23 3
13
1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 0 9 3 2 0
1 3 0 0 1 0 ( 1) 1 1 3 1 1 0 ( 2) 0 1 3 1 1 0
0 0 4 0 0 1 0 0 4 0 0 1 0 0 4 0 0 1
3 2 9
1 0 9 3 2 0 1 0 0 4
1 (3) 3
0 1 3 1 1 0 0 1 0 1 1
4 ( 9) 4
0 0 1 0 0 1 0 0 1 1
0 0
4 4
A F F
F F
F
1
3 2 9
4 Así, 1 1 3
4 0 0 1
4 A
Ejemplos:
4 2
3
y xy
x
es un sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas.
4 2
9
2
22
y x
y xy
x no es un sistema lineal.
Definición: Llamaremos solución del sistema anterior (S), a todo vector o n-upla (s
1, s
2,…..,s
n) que verifique todas las igualdades del sistema.
Definición: Discutir un sistema consiste en decir si tiene o no solución.
Definición: Resolver un sistema será hallar el conjunto de sus soluciones.
Atendiendo al número de soluciones, podemos clasificar los sistemas de la siguiente forma:
Incompatibles (sin solución)
Clasificación de los S.E.L. Determinados (una solución) Compatibles
Indeterminados (infinitas soluciones)
Definición: Llamamos sistemas homogéneos a los que tienen todos los términos independientes nulos.
Ejemplo:
2 0
2 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
Estos sistemas siempre admiten la solución (0, 0, 0,...,0) que recibe el nombre de solución trivial, por tanto, los sistemas homogéneos son siempre compatibles.
Sistemas de ecuaciones equivalentes.
Definición: Dos sistemas de ecuaciones lineales diremos que son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto de soluciones.
Ejemplo
Los sistemas
9 4
5 2 3
0 2
z y x
z y x
z y x
y
2 4 2 5
0 2
z z y
z y x
son equivalentes ya que tienen las mismas soluciones
x1,
y0,
z2
Sin embargo, puestos a elegir, preferimos el segundo ya que se resuelve mejor.
Expresión matricial y vectorial de un sistema.
Vamos a ver que todo sistema se puede expresar en términos de matrices. Es lo que se conoce como expresión matricial de un sistema.
Sea un sistema de m ecuaciones con n incógnitas cualesquiera:
11 1 12 2 1 1
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
m m
a x a x a x b
a x a x
...a xmn n bm
Podemos considerar entonces las siguientes matrices:
11 12 1
1 2
...
... ... ... ...
... ... ... ...
... ... ... ...
...
n
m m mn
a a a
A
a a a
1
2
....
n
x X x
x
1
2
...
...
m
b b B
b
La matriz A recibe el nombre de matriz de coeficientes, la matriz X es la matriz de incógnitas y la matriz B es la matriz de los términos independientes.
En tal caso nuestro sistema se podrá expresar como: A·X=B.
Sistemas homogéneos
Definición: Llamamos sistemas homogéneos a los que tienen todos los términos independientes nulos.
Ejemplo:
2 0
2 0
2 3 0
x y z x y z x y z
Estos sistemas siempre admiten la solución (0, 0, 0,...,0) que recibe el nombre de solución trivial, por tanto, los sistemas homogéneos son siempre compatibles, sólo hay que decidir si son determinados o indeterminados Método de Gauss.
El método de Gauss es otro de los métodos que se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Consiste en sustituir el sistema por otro equivalente, llegando, después de sucesivas transformaciones, a un
sistema escalonado, es decir, que tiene nulos todos los coeficientes debajo de la diagonal del sistema.
Para conseguir esta transformación, podemos realizar tres operaciones fundamentales:
1. Intercambio de ecuaciones (el primer coeficiente de la primera ecuación ha de ser distinto de cero y, a ser posible, que valga 1).
2. Multiplicación de una ecuación por un número distinto de cero.
3. Sumar a una ecuación otra multiplicada por un número.
Para iniciar el proceso, se empieza por colocar todos los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes en una tabla, formando la matriz asociada al sistema de ecuaciones. Una vez conseguida una matriz escalonada, se vuelve otra vez a expresar en forma de sistema.
Discusión del método.
Aplicado el método de Gauss, en el sistema escalonado resultante puede ocurrir:
1º Que haya alguna ecuación de la forma 0 = c; c≠0. Sistema incompatible.
2º Que el nº de ecuaciones sea igual al número de incógnitas. Sistema compatible determinado.
3º Que el nº de ecuaciones sea menor que el nº de incógnitas. Sistema compatible indeterminado.
Ejemplos
Consideremos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
16 3 5
4 4 3 2
1 2
z y x
z y x
z y x
Escribiendo la matriz asociada y realizando transformaciones resulta:
12 32
13
1 1 2 1 1 1 2 1
( 2) (4)
~ 0 1 8 6 ~ 0 1 8 6
( 5) 0 4 13 21 0 0
1 1 2 1
2 3 4
45 45 4
5 1 3 16
F F
F
~
21 13 4 0
6 8 1 - 0
1 2 - 1 - 1
~
45 45 0 0
6 8 1 - 0
1 - 2 - 1 - 1
Se ha obtenido un sistema escalonado, que es:
2 1 3
8 6 2
45 45 45 45 1
x y z x
y z y
z z z
Veamos ahora el caso de un sistema incompatible:
2 3 6
4 2 6 9
3
x y z
x y z
x y z
A fin de tener un 1 en la parte superior izquierda de la matriz podemos intercambiar ecuaciones y resulta:
12
13 32
1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3
2 1 3 6 ~ ( 2) 0 1 1 0 0 1 1 0
( 4) ( 2)
4 2 6 9 0 2 2 3 0 0 0 3
F
F F
De la 3ª fila de la matriz resulta 0 z 3 , es decir, 0 3 lo que es absurdo. Por tanto, el sistema no tiene solución.
Veamos finalmente un sistema con infinitas soluciones:
3 4
2 6
3 2 2 10
x y z x y z
x y z
12
13 32
