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SISTEMAS DE ECUACIONES DE ENUNCIADO VERBAL CON 3 INCÓGNITAS

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Academic year: 2022

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(1)

SISTEMAS DE ECUACIONES DE ENUNCIADO VERBAL CON 3 INCÓGNITAS

PAU – Universidad de Oviedo – junio 1994

03. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres. Plantea un sistema de ecuaciones y averigua cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión.

DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS

x ≡ "Número de hombres"

y ≡ "Número de mujeres"

z ≡ "Número de niños"

PLANTEAMIENTO:

x + y + z = 20 x + y = 3z

y + 1 = x

Ecuaciones simplificadas

x + y + z = 20 x + y – 3z = 0 – x + y = – 1

RESOLUCIÓN CON CALCULADORA

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS

El grupo que ha ido de excursión estaba formado por 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños

RESOLUCIÓN CON LÁPIZ Y PAPEL

Resolvemos el sistema por el método de Gauss )

( ) (

1

−1





− 1 0 1 1

0 3 1 1

20 1 1 1

) (

) (

1

−1

Fijamos la primera fila y modificamos la segunda con las operaciones indicadas a la izquierda y la tercera con las operaciones indicadas a la derecha.





19 1 2 0

20 4 0 0

20 1 1 1

(2)

En estos momentos ya tenemos el sistema de ecuaciones presentado en forma escalonada, por lo que podemos operar cómodamente:

– 4z = – 20

z = 5 – 2y – z = – 19

– 2y – 5 = – 19 → – 2y = – 19 + 5 – 2y = – 14

y = 7 x + y + z = 20

x = 20 – y – z x = 20 – 7 – 5

x = 8

SOLUCIÓN:

Si atendemos a las soluciones, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO x = 8 ; y = 7 ; z = 5

PAU – Universidad de Oviedo – Junio 1994

08 Una autoescuela tiene abiertas 3 sucursales en la ciudad. El número total de matriculados es 352, pero los matriculados en la tercera son tan solo una cuarta parte de los matriculados en la primera. Además, la diferencia entre los matriculados en la primera y los matriculados en la segunda es superior en 2 unidades al doble de los matriculados en la tercera.

Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar el número de alumnos matriculados en cada sucursal. Analiza y comenta los resultados.

DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS

x ≡ "Número de matriculados en la primera sucursal"

y ≡ "Número de matriculados en la 2ª sucursal"

z ≡ "Número de matriculados en la 3ª sucursal"

PLANTEAMIENTO:

x + y + z = 352 z = 4

x

4z = x (x – y) – 2z = 2

Ecuaciones simplificadas

x + y + z = 352 x – 4z = 0 x – y – 2z = – 2

RESOLUCIÓN CON CALCULADORA

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS

La primera sucursal de la autoescuela tiene 200 alumnos, la segunda 102 y la tercera 50 alumnos.

(3)

RESOLUCIÓN CON LÁPIZ Y PAPEL

Resolvemos el sistema por el método de Gauss

) (

) (

1

−1





− 2 2 1 1

0 4 0 1

352 1 1 1

) (

) (

1

−1

Fijamos la 1ª fila y modificamos la 2ª con las operaciones indicadas a la izquierda y la 3ª con las operaciones indicadas a la derecha.

) (

) (

1

−2





354 3

2 0

352 5

1 0

352 1

1 1

Fijamos la primera y segunda filas y modificamos la tercera con las operaciones indicadas a la izquierda.





350 7

0 0

352 5

1 0

352 1

1 1

En estos momentos ya tenemos el sistema de ecuaciones presentado en forma escalonada, por lo que podemos operar cómodamente:

7z = 350 z = 7

350

z = 50 – y – 5z = – 352

– y – 5·50 = – 352 – y = – 352 + 250

– y = – 102

y = 102 x + y + z = 352

x = 352 – y – z x = 352 – 102 – 50

x = 200

SOLUCIÓN:

Si atendemos a las soluciones, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO x = 200 ; y = 102 ; z = 50

PAU – Andalucía – Junio 2002

15 Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 euros por 24 litros de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 litros de aceite de oliva. Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones para calcular el precio unitario de cada artículo, sabiendo que un litro de aceite cuesta el triple que un litro de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 litros de aceite más 4 litros de leche.

DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS

x ≡ "Precio de un litro de leche, en euros".

y ≡ "Precio de un kg de jamón serrano, en euros".

z ≡ "Precio de un litro de aceite de oliva, en euros ".

PLANTEAMIENTO:

24x + 6y + 12z = 156 z = 3x

y = 4z + 4x

Ecuaciones simplificadas

24x + 6y + 12z = 156

(4)

– 3x + z = 0 – 4x + y – 4z = 0

RESOLUCIÓN CON CALCULADORA

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS

Los precios unitarios, en euros, de la leche, el jamón y el aceite son, respectivamente, 1, 16 y 3 euros.

31 Un estado compra 758 000 barriles de petróleo a tres suministradores diferentes que lo venden a 30, 28 y 25 dólares el barril, respectivamente. La factura total asciende a 17 millones de dólares. Si del primer suministrador recibe el 24% del total del petróleo comprado, plantea un sistema de ecuaciones que te permita determinar cuál es la cantidad comprada a cada suministrador y resuelve el problema.

DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS:

x ≡ "Número de barriles comprados al suministrador A"

y ≡ "Número de barriles comprados al suministrador B"

z ≡ "Número de barriles comprados suministrador C"

PLANTEAMIENTO:

x + y + z = 758 000 30x + 28y + 25z = 17000000

x = 100

24 ·758000

Ecuaciones simplificadas

x + y + z = 758 000 30x + 28y + 25z = 17 000 000

x = 181 920

RESOLUCIÓN CON CALCULADORA

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS

En el contexto del problema jamás se podrían dar SIMULTÁNEAMENTE los datos del enunciado, excepto si considerásemos (cuestión nada probable) que el suministrador B devuelve el dinero correspondiente a 953 200 barriles.

RESOLUCIÓN CON LÁPIZ Y PAPEL

Resolvemos el sistema por el método de Gauss

(5)

) (

) (

1

−30





181920 0

0 1

17000000 25

28 30

758000 1

1 1

) (

) (

2

−1

Fijamos la 1ª fila y modificamos la 2ª con las operaciones indicadas a la izquierda y la tercera con las indicadas a la derecha.

) (

) (

2

−1





576080 1

1 0

5740000 5

2 0

758000 1

1 1

Fijamos la primera y segunda filas y modificamos la tercera con las operaciones indicadas a la izquierda.





4587840 3

0 0

5740000 5

2 0

758000 1

1 1

3z = 4587840  z = 1 529 280

–2y – 5 (1529280) = 5740000 y = – 953 200

x + y + z = 758000 x = 181 920

SOLUCIÓN:

Si atendemos a las soluciones el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO:

x = 181 920 ; y = – 953 200 ; z = 1 529 280

35 Cierto supermercado hace el mismo pedido a tres proveedores diferentes A, B y C.

Dicho pedido contiene ciertas cantidades de arroz, lentejas y garbanzos (expresadas en Tm).

Cada uno de los proveedores marca para los distintos productos los precios recogidos en la tabla siguiente (expresados en miles de euros/Tm):

ARROZ LENTEJAS GARBANZOS

Proveedor A 1.5 3 4

Proveedor B 2 3 3.5

Proveedor C 2 3 4

El pedido que recibe del proveedor A le cuesta 16000 euros, el que recibe del B le cuesta 500 euros más que el anterior y el que recibe del C le cuesta 500 euros más que este último.

Plantea un sistema para determinar la composición del pedido y resuelve el problema.

DETERMINACIÓN DE INCÓGNITA

x ≡ "Número de Tm de arroz del pedido"

y ≡ "Número de Tm de lentejas del pedido"

z ≡ "Número de Tm de garbanzos del pedido"

PLANTEAMIENTO:

¡OJO al ajuste de unidades!

16000 = 16 miles 16500 = 16.5 miles

17000 = 17 miles Proveedor A → 1.5x + 3y + 4z = 16 Proveedor B → 2x + 3y + 3.5z = 16.5

Proveedor C → 2x + 3y + 4z = 17

RESOLUCIÓN CON CALCULADORA

(6)

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS

El pedido se componía de 2 Tm de arroz, 3 Tm de lentejas y 1 Tm de garbanzos.

RESOLUCIÓN CON LÁPIZ Y PAPEL

Resolvemos el sistema por el método de Gauss

) . (

) (

5 1

−2





17 4 3 2

5 16 5 3 3 2

16 4 3 5 1

. . .

) . (

) (

5 1

−2

Fijamos la 1ª fila y modificamos la 2ª con las operaciones indicadas a la izquierda y la tercera con las indicadas a la derecha.

) (

) (

1

−1





5 6 2

5 1 0

25 7 75 2 5 1 0

16 4

3 5 1

. .

. .

. .

Fijamos la primera y segunda filas y modificamos la 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda.





75 0 75 0 0 0

25 7 75 2 5 1 0

16 4

3 5 1

. .

. .

. .

0.75z = 0.75 z = 1

– 1.5y – 2.75z = – 7.25 – 1.5y = – 7.25 + 2.75

1.5y = 4.5 y = 3 1.5x + 3y + 4z = 16

1.5x + 9 + 4 = 16 1.5x = 3

x = 2

SOLUCIÓN:

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO x = 2 ; y = 3 ; z = 1

Referencias

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