PARAMÉTRICAS CURVAS

(1)

C

^ÁLCULO ^DE ^VARIAS ^VARIABLES

F

^ORMACIÓN ^POR

C

OMPETENCIAS

CURVAS

PARAMÉTRICAS

(2)

Logros esperados

 Elabora representaciones gráficas y simbólicas de curvas paramétricas en el plano y en el

espacio.

 Resuelve problemas de contexto intra-extra matemático en variadas situaciones que

involucran el uso de curvas paramétricas.

 Resuelve problemas intra-extra matemáticos que involucran el concepto de recta tangente a una curva paramétrica haciendo uso de la

primera derivada.

(3)

Curvas paramétricas

Las curvas de skates deben tener el menor tiempo de descenso, lo que permite al deportista tener más tiempo para realizar más

maniobras durante la competición.

La curva con esta propiedad es la ciclodie. Con información sobre las dimensiones de una rampa de

skate, ¿puedes determinar la

ecuación que permita construir la curva de la rampa?

GENERACIÓN DE LA CILOCIDE

(4)

(5)

Curvas paramétricas

Un subconjunto 𝐶 ⊂ ℝ

^𝑛

es una curva, cuando existe una función 𝛼: 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ

^𝑛

continua en el intervalo 𝐼 y tal que 𝐶 = 𝛼(𝐼).

A la función 𝛼 se le llama parametrización de la curva 𝐶 y a la ecuación vectorial

𝒙 = 𝜶(𝒕)

Se le llama ecuación paramétrica

𝛼

𝐼 ⊂ ℝ 𝑡

𝜶 𝒕 = 𝒙 𝒕 ; 𝒚 𝒕 ; 𝒛(𝒕)

𝒙 𝒚

𝒛

(6)

Curvas paramétricas

Cuando 𝐼 = 𝑎; 𝑏 , la curva es llamada un arco.

El arco 𝐶 con parametrización 𝛼 es un arco cerrado cuando 𝛼 𝑎 = 𝛼 𝑏 y es un arco simple cuando 𝛼 es inyectiva en ]𝑎; 𝑏[

Arco simple Arco cerrado Arco cerrado simple Arco

(7)

Ejemplo

Curvas paramétricas

1

Grafique las siguientes curvas paramétricas e indique su orientación.

a.- 𝛼 𝑡 = 𝑡; 𝑡² ; 𝑡 ∈ −1; 1

b.- 𝛼 𝑡 = cos 𝑡 ; cos² 𝑡 ; 𝑡 ∈ [0; 2𝜋]

c.- 𝛼 𝑡 = 𝑡²; 𝑡⁴ ; 𝑡 ∈ [−1; 1]

d.- 𝒞: 𝑥 = 𝑒𝑦 = 𝑒^2𝑡^𝑡 ; 𝑡 ∈ ℝ e.- 𝒞: 𝑥 = ln 𝑡

𝑦 = ln² 𝑡 ; 𝑡 ∈]0; +∞[

Solución

(8)

Ejemplo

Curvas paramétricas

2

Encuentre dos parametrizaciones, con las orientaciones

mostradas, de la curva de ecuación cartesiana: 𝑥² + 𝑦² = 9

Solución

𝒙 𝒚

(9)

Ejemplo 3

Parametrice las siguientes curvas:

a.- 𝑥² + 𝑦² = 𝑅² donde 𝑅 > 0 b.- 2𝑥² + 3𝑦² = 6

c.- 𝑥²³ + 𝑦²³ = 𝑎²³ donde 𝑎 > 0 d.- 𝑦 = 4 − 𝑥²

Solución

(10)

Derivada de una curva. Vector tangente

Si 𝛼 es una función diferenciable en 𝑡

₀

y la derivada 𝛼

^′

𝑡

₀

= lim

ℎ→0

𝛼 𝑡

₀

+ ℎ − 𝛼 𝑡

₀

ℎ

es un vector

no nulo, entonces este vector se llama

vector tangente a 𝐶 en el punto 𝛼 𝑡

₀

∈ 𝐶

𝒙

𝒚 𝒛

𝜶′ 𝒕_𝟎 = 𝒙′ 𝒕_𝟎 ; 𝒚′ 𝒕_𝟎 ; 𝒛′(𝒕_𝟎)

El vector tangente sigue la dirección de la orientación

de la curva

𝜶 𝒕_𝟎

(11)

Recta tangente a una curva

La recta tangente a una curva 𝒞 ⊂ ℝ^𝑛 con parametrización 𝛼: 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ^𝑛, en un punto 𝛼(𝑡₀) en el cual exista un vector tangente, es el conjunto:

𝑳_𝑻 = 𝜶 𝒕_𝟎 + 𝝀𝜶^′ 𝒕_𝟎 𝝀 ∈ ℝ Se suele escribir: 𝐿_𝑇: 𝛼 𝑡₀ + 𝜆𝛼^′ 𝑡₀ ; 𝜆 ∈ ℝ

OBSERVACIÓN:

A partir de la expresión para la recta tangente hallada

anteriormente, podemos hallar varias formas de ecuaciones de esta recta tangente:

Ecuación vectorial: 𝑷 = 𝜶 𝒕_𝟎 + 𝝀𝜶^′ 𝒕_𝟎 donde 𝝀 ∈ ℝ

(12)

Recta tangente a una curva

Si 𝛼 𝑡₀ = 𝛼₁⁰ ; 𝛼₂⁰ ; 𝛼₃⁰ y 𝛼^′ 𝑡₀ = 𝛼₁^′ ; 𝛼₂^′; 𝛼₃^′ (para curvas en ℝ³), entonces:

Ecuaciones paramétricas:

𝒙 = 𝜶_𝟏^𝟎 + 𝝀 𝜶_𝟏^′ 𝒚 = 𝜶_𝟐^𝟎 + 𝝀 𝜶_𝟐^′

𝒛 = 𝜶_𝟑^𝟎 + 𝝀 𝜶_𝟑^′

; 𝝀 ∈ 𝑰

Ecuaciones cartesianas:

𝒙 − 𝜶_𝟏^𝟎

𝜶_𝟏^′ = 𝒙 − 𝜶_𝟐^𝟎

𝜶_𝟐^′ = 𝒙 − 𝜶_𝟑^𝟎 𝜶_𝟑^′

(13)

Ejemplo

Vector tangente

1

En cada caso grafique la curva 𝐶 y calcule el vector tangente en el punto ¹

2 ; ¹₄

a.- 𝛼 𝑡 = 𝑡; 𝑡 − 𝑡² ; 𝑡 ∈ −1; 1 b.- 𝛼 𝑡 = 𝑡²; 𝑡² − 𝑡⁴ ; 𝑡 ∈ −1; 1

Solución

(14)

Ejemplo

Recta tangente

2

Sea la curva 𝒞 parametrizada por 𝛼 𝑡 = 𝑡²; 𝑡² − 𝑡⁴ ; 𝑡 ∈ −1; 1 . Determine la forma vectorial, paramétrica y cartesiana de la recta tangente a 𝒞 en el punto ¹₂; ¹₄

Solución

(15)

Ejemplo

Recta tangente

3

Dada la curva paramétrica con ecuaciones 𝐶:

𝑥 = sen 𝑡 𝑦 = 𝑡³ − 2 𝑧 = 𝑒^4𝑡 − 1

; 𝑡 ∈ − 𝜋

4 ; 𝜋

Determine la ecuación vectorial y cartesiana de la recta tangente a la curva cuando 𝑡 = 0

Solución

(16)

Curva regular (suave)

Una curva 𝐶 con parametrización 𝛼: 𝐼 → ℝ

^𝑛

es llamada regular (o suave) cuando:

• 𝛼 es diferenciable en 𝐼

• La función derivada 𝛼

^′

: 𝐼 → ℝ

^𝑛

es continua en 𝐼

• 𝛼

^′

𝑡 ≠ 0; ∀ 𝑡 ∈ 𝐼

𝜶 𝒕 = 𝒕^𝟑; 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒕

𝒙 𝒚

𝒙 𝒚 𝜶 𝒕 = 𝒕; 𝒕^𝟑

Curvas NO REGULARES

(17)

Ejemplo

Curva regular

1

Grafique la curva 𝛼 𝑡 = 𝑡³; 𝑡 𝑡 ∈ −1; 1 y determine si es regular o no

Solución

𝒙 𝒚

(18)

(19)

Curvas en ℝ

^𝟑

Las curvas en ℝ³ se suelen describir como intersecciones de superficies. Un procedimiento para hallar una

parametrización de este tipo de curvas es:

1.- Proyecte la curva sobre uno de los planos cartesianos.

2-. Parametrice la curva proyectada

3.- Exprese la tercera variable en términos del parámetro de la parametrización de la curva anterior.

La orientación de la curva proyectada induce una orientación en la curva en ℝ^𝟑

(20)

Ejemplo

Curvas paramétricas en ℝ

^𝟑

1

Parametrice las curvas que se obtienen como intersección de las superficies dadas:

a.- 𝑥² + 𝑦² = 1 y 𝑦 + 𝑧 = 2 b.- 𝑥 = 𝑧 y 𝑦² + 𝑥 = 4

c.- 4𝑧 = 𝑥² + 𝑦² y 𝑦 + 𝑧 = 3

Solución

(21)

Ejemplo

Curvas paramétricas en ℝ

^𝟑

2

Parametrice la curva definida por las ecuaciones:

𝑦 = 𝑥 𝑧 = 𝑥²

2

desde el punto (0; 0; 0) hasta el punto (1;1; ²

2 ).

Solución

(22)

Caso para que analice el estudiante: 1

La curva 𝒞 es la intersección de las superficies 𝑥² + 𝑦² = 𝑧² y 𝑦 = 𝑧²,

como se muestra en la figura adjunta.

Sea 𝒞₀ el tramo superior de 𝒞 a.- Parametrice la curva 𝒞₀.

b.- Determine la ecuación vectorial de la recta tangente a 𝒞₀ en el punto

2

4 ; ^{2+ 2}₄ ; ^{2+ 2}₂

PASO 1: Elegimos el plano cartesiano 𝑋𝑌 para proyectar la curva 𝐶₀. Para determinar la ecuación de ésta proyección tenemos el sistema:

𝑥² + 𝑦² = 𝑧²

𝑦 = 𝑧² ⇒ 𝑥² + 𝑦² = 𝑦 ⇒ 𝑥² + 𝑦 − ¹

2

2 = ¹

4

Solución

𝒙

𝒚

𝒛

a)

(23)

Caso para que analice el estudiante: 1

PASO 2: Parametrizamos la curva proyectada 𝐶_𝑋𝑌. Una forma de hacer esto es con

coordenadas polares. La ecuación de 𝐶_𝑋𝑌 en polares es: 𝑟 = sin 𝜃 donde 𝜃 ∈ [0; 𝜋]

Luego una parametrización es:

𝑥 = sen 𝜃 cos 𝜃

𝑦 = sen² 𝜃 ; 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋

𝒙 𝒚

PASO 3: La curva 𝐶₀ queda parametrizada por:

𝑥 = sen 𝜃 cos 𝜃 𝑦 = sen² 𝜃

𝑧 = sen 𝜃

; 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋

PASO 1: Para hallar la ecuación de la recta tangente necesitamos:

1.- El punto de paso.

2.- El vector dirección

a)

(24)

Caso para que analice el estudiante: 1

Punto de paso:

Este punto es un dato del ejercicio: 𝑃 = ₄²;^{2+ 2}₄ ; ^{2+ 2}₂ Dirección

Hallamos la derivada de la parametrización:

𝑥^′ = ¹

4cos 2𝜃 ; 𝑦^′ = sin 2𝜃; 𝑧^′ = cos 𝜃

Pero tenemos que saber que valor de 𝜃 debemos reemplazar en estas derivadas. Para esto planteamos y resolvemos la ecuación:

sin 𝜃 cos 𝜃 = 2 4 Obtenemos así: 𝜃 = ^𝜋₈ ∨ 𝜃 = ^3𝜋₈ .

Cuando 𝜃 = ^𝜋

8, tenemos: 𝛼 ^𝜋

8 = ²

4 ;^{2− 2}

4 ; ^{2− 2}

2 (descartado) Cuando 𝜃 = ^3𝜋

8 , tenemos: 𝛼 ^3𝜋

8 = ²

4 ;^{2+ 2}

4 ; ^{2+ 2}

2 (ok)

(25)

Caso para que analice el estudiante: 1

Finalmente el vector dirección es:

𝛼′ 3𝜋

8 = 2

2 − 1

4; 1; −1

PASO 2: Finalmente la ecuación vectorial de la recta tangente es:

𝑃 = 2

4 ;2 + 2

4 ; 2 + 2

2 + 𝜆 −1

4; 1; −1 ; 𝜆 ∈ ℝ

(26)

Lo que no debes olvidar

• Dos curvas paramétricas pueden tener la misma ecuación cartesiana, pero pueden ser diferentes (en la forma como es descrita en términos del parámetro).

𝒙 𝒚

𝑪_𝟏: 𝜶 𝒕 = 𝒕; 𝒕 , −𝟏 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏 𝑪_𝟐: 𝜷 𝒕 = 𝒔𝒊𝒏(𝝅𝒕); 𝒔𝒊𝒏(𝝅𝒕) , −𝟏 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏

Ecuación cartesiana: 𝒚 = 𝒙 Ecuación cartesiana: 𝒚 = 𝒙

𝒙 𝒚

(27)

Responde las siguientes interrogantes:

Para reflexionar

 ¿Las curvas paramétricas son importantes para los temas posteriores en mi carrera?

 ¿Qué dificultades encontré al trazar la gráfica de algunas curvas paramétricas?

 ¿Cómo resolví las dificultades que se me presentaron en la resolución de problemas relacionados a curvas?

 ¿Tuve más dificultades en el trazado de la

grafica de curvas en el espacio que en el plano?

(28)

Actividades autónomas

El diseño de una rampa de skate se muestra en la figura inferior. La sección transversal de la superficie de la rampa (curva de color rojo) es una cicloide invertida. Determine las ecuaciones paramétricas de esta cicloide; para esto considere un sistema de coordenadas como el mostrado en la figura

adjunta y la porción de cicloide mostrada (curva de azul). Lea por ejemplo el artículo

http://casanchi.com/mat/03_cicloide01.pdf para mas información sobre la generación de la cicloide.

𝑥 𝑦

(29)

BIBLIOGRAFÍA

• [1] Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards,B. (2010)

Cálculo Esencial 1ª ed. México: Cengage Learning

• [2] Stewart, J. (2010) Cálculo de varias variables conceptos y contextos. 4ª ed. México. Cengage Learning

• [3] Anton, H. (2009) Cálculo Multivariable. 2ª ed. México:

Limusa Wiley.

• [4] Edwards, H. y Penney, D. (2008) Cálculo con trascendentes tempranas. 7ª ed. México: Pearson Educación.

• [5] Thomas, G. (2006) Cálculo varias variables. 11ª ed.

México: Pearson