Derivada Direccional

(1)

Derivada Direccional

Operador NABLA

Gradiente

Dado

Divergencia

Dado

Rotacional

Dado

Laplaciano

Dado

(2)

Ecuación de Laplace

Derivada Direccional

 Si es una función diferenciable de , la derivada direccional de en la dirección de es:

Es la derivada en la dirección de un vector específico que nos pidan encontrar.

 Si es una función diferenciable de , la derivada direccional de en la dirección de es:

Observación:

Sea el ángulo entre y el vector unitario en la dirección en la que queremos sacar ():

Así, la derivada direccional tiene su máximo valor cuando , es decir, cuando el gradiente de () y el vector están en la misma dirección.

Si , es decir si tiene dirección opuesta a pero en la misma recta de acción, la derivada direccional tendrá su mínimo valor.

Ejercicios

Sea u2x²y y² xzz² Determinar:

a) ^gra^d u

(3)

b) Ecuación de Laplace

a) d gra u

² ² ² ²

,

, x y y xz z

z y

u x    

 







 



 d

gra u

     _



 



   



 



 

 



 

  2 ² ² ² ; 2 ² ² ² ; 2x²y y² xz z²

z z xz y y y x z xz y y x x d

gra u

=⁽⁴^xy^^z, 2x² 2y, ^^x^^2z⁾ d

gra u

= ⁽⁴^xy^^z⁾ⁱ^ˆ + ⁽²^x² ^²^y⁾^ˆ^j + (2zx)kˆ

b) ² ²₂ ^, ²₂ ^, ²₂ ²^x²^y ^y² ^xz ^z²

z y

u x    



 







 



 ² ² ² ²₂  ² ² ² ²₂ ² ² ²

2

2 2 2 , 2 , 2x y y xz z

z z xz y y y x

z xz y y x x

u   



 



 

 



 

 



y u (4

2 

 , ², ²⁾ 4y+2+2=0

Sea ^A^^x³^yziˆ y²z³ jˆ 2xyz kˆ Determinar:

a) div A b) rot _A

a)

div _A Ax Ay Az

z y

A x, ,  , ,



 







 







div _A      xyz

z z y y yz

x x³ ² ³ 2



 



 



 

div _A3x²yz2yz³ 2xy

b) rot _A

yz x

x i A

3

ˆ



 







² ³ ˆ

z y y j





^xyz z k

2 ˆ



rot _A

           ^x ^yz

z y x y x xyz

yz z x z z y y xyz

3 3

2 3

3

2 , 2 ,

2 

 



 



 



 



 

rot _A(2xz3y²z²,x³y2yz,x³z) rot _A

= ⁽²^xz^³^y²^z²⁾ⁱ^ˆ + ⁽^x³^y^²^yz⁾^ˆ^j - ⁽^x³^z⁾^k^ˆ Ejercicio propuesto:

Si   x²y²  y²z² z²x², V = ⁽^{xy ˆ}⁾ⁱ + ⁽^{yz ˆ}⁾^j + ⁽^{xz ˆ}⁾^k, calcular:

(4)

a) rotgrad

b) ^div ^rot^V

a) d

gra  ^, ^, ^x²^y² ^y²^z² ^z²^x²

z y

x   

 







 



  d

gra   ² ² ² ² ² ² ^, ² ² ² ² ² ² ^, ^x²^y² ^y²^z² ^z²^x²

x z z z y y y x x z z y y

x x  



 

 

 

 

  d

gra  =(2xy² 2xz², 2yx² 2yz², 2zy² 2zx²)

grad

rot

2

2 2

2 ˆ

xz xy

x i grad





 





 

² ² ² ² ˆ

yz yx

y j





² ² ² ² ˆ

zx zy

z k





^grad^

rot

² ² ² ² ² ² ² ² ^, ² ² ² ² ² ² ² ² ^, ² ² ² ² ²^xy² ²^xz²

yz y x yx

zx x zy

xz z xy

yz z yx

zx

y zy 



 

 

 



 

 

 



 

 

 

^grad^

rot =⁽⁴^zy^⁴^zy^,⁴^xz^⁴^xz^,⁴^yx^⁴^yx⁾

^grad^^⁰

rot

b) V rot

xy x i

V 

 







ˆ

yz y j



 ˆ

^xz z k



 ˆ

V

rot            ^xy

yz y xz x xy x

yz z xz z

y 

 



 



 



  , ,

V

rot ⁽^^y^,^^z^,^^x⁾

 ^rot^V

div    y z x

z y V x

rot    



 







 





 , , , ,

 ^rot^V

div      x

z z y y

x 



 

 

 

 

 

 ^rot^V

div = 0

Ejercicios

Hallar la derivada direccional de la función f(x,y)(x1)y²e^xyen (0,1) en la dirección hacia (-1,3)

(5)

 x y u f

y x f

D_u ( , ) , 

 

 

  ^xy   ^xy   ^xy

xy

xe y x ye x e y x e y y x f

e y y x

y x x f

2 3

2

1 1

2 , 1 )

, (

1 ,

) , (













 



 







 



) 2 , 0 ( ) 1 , 0 (

) 1 , 0

1 (





 f P

) 2 , 1 (

) 3 , 1 (

2 1 2







 P P P

 









 



 5

5 ,2 5

5 5

2 , 1

2 1

P P

P u P

 x y u f

y x f

D_u ( , ) , 













 5

5 ,2 5 ) 5 2 , 0 ( ) 1 , 0 ( f D_u

5 5 ) 4

, (x y  f

D_u

Hallar la derivada direccional de la función ^f⁽^x^,^y^,^z⁾^ ^xy^^yz^^xz en el punto (1,1,1) y en la dirección del vector ^a ^⁽²^,¹^,^¹⁾

x y z u f

z y x f

D_u ( , , ) , , 

 

x y z x z y z y x f

xz yz z xy

y z x

y x f









 



 







 



, , )

, , (

, , )

, , (

) 2 , 2 , 2 ( ) 1 , 1 , 1 (

) 1 , 1 , 1

1 (





 f P

6 1 1 4

) 1 , 1 , 2 (









 a a

6 , 6 6 , 6 3

6 



 a u a

(6)

x y z u f

z y x f

D_u ( , , ) , , 







 



 6

, 6 6 , 6 3 ) 6 2 , 2 , 2 ( ) 1 , 1 , 1 ( f D_u

3 6 ) 2 , , (x y z  f

D_u

Sea x y

y x x

f( , ) 

en el punto (3,2). Hallar la derivada direccional mínima y el u en esa dirección

 x y u f

y x f

D_u ( , ) , 

 ² ^,  ²

) , (

, )

, (

y x

x y

x y y x f

y x

x y y x

x f

 

 





 





 



 







 





 



 







25 , 3 25 ) 2 2 , 3 (

) 2 , 3

1 ( f P

Si    D_u f( yx, ) es mínima

25 13 25

9 25 ) 4

2 , 3

(  ₂  ₂ 

f



25 ) 13

,

(x y _min  f

D_u

13 13 , 3 13

13 2 25

13 25 , 3 25

2 )

, (

) ,

(   



 

 f x y

y x u f

El cambio de temperaturas correspondientes a los diversos puntos (x, y) de una placa está dado por ⁽ ^, ⁾ ^x² ^y²

y x x

T  

. Hallar la dirección del máximo aumento de temperatura en el punto (3,4)

 x y u f

y x f

D_u ( , ) , 

(7)

 ² ² ² ² ²²

2 2

, 2 )

, (

, )

, (

y x

xy y

x x y y

x f

y x

x y

y x x f

 



 





 





 



 







 





 



 







625 , 24 625 ) 7

4 , 3 (

) 4 , 3

1 ( f P

Si  0 ^ _D_u _f_{( y}_x_, ₎_{es máxima}

25 1 625

576 625

) 49 4 , 3

(  ₂  ₂ 

f



25 ) 1

,

(x y _min  f

D_u

7, 24

25 1 25

1 625 , 24 625

7 ) , (

) ,

(   

 

 

 f x y

y x u f