1. Funciones cuya gráfica es una recta
1.1. Función constante
Se llama función constante a la que tiene una expresión de la forma = siendo k un número cualquiera. Su gráfica es una recta horizontal que pasa por el punto (0,k).
1.2. Función lineal
Se llama función lineal a la que tiene una expresión de la forma =
La función lineal expresa la relación entre dos magnitudes directamente proporcionales. El coeficiente a se denomina constante de proporcionalidad.
Su representación gráfica es una recta que pasa por el punto (0,0) (origen de coordenadas) y por el punto (1,a). El valor a representa la pendiente de la recta, si es positivo la función será
creciente, si es negativo será decreciente.
1.3. Función afín
Se llama función afín a la que tiene una expresión de la forma = +
La función afín se puede interpretar como la suma de una función constante con una función lineal. Expresa la relación entre dos magnitudes cuando una magnitud se compone de una parte fija y una parte proporcional a la otra magnitud.
Ejemplo:
En una factura mensual de gas correspondiente a un consumo de 80 m3 nos han cobrado 190 euros. Otro mes hemos consumido 20 m3 y hemos pagado 70 euros.
a) ¿Hay una relación de proporcionalidad entre el consumo y el coste?
Recordemos que hay una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando su cociente es constante. (Y hay una relación de proporcionalidad inversa cuando se mantiene constante el producto).
En este ejemplo concreto no se cumple la condición, porque
20 70 80 190 ≠ Función constante. Gráfica y=3
Función lineal. Gráfica: y=2x Función afín. Gráfica: y=3+2x
2
Deducimos que el precio de la factura no se compone sólo del precio del gas, en cuyo caso sería proporcional al consumo, sino que contiene además una parte de la factura total que es fija, con independencia del gas consumido. (Asumiendo que todos los metros cuadrados nos cuestan igual, por lo que la gráfica debe ser una recta. En algunos casos no es así, pero deberían darnos más información para conocer cómo está definida la función)
b) Halla la expresión que relaciona ambas magnitudes.
Estamos ante un ejemplo de función afín, de la forma = + . Que se compone de una parte fija, , y una parte proporcional, .
Para hallar los coeficientes se plantea un sistema de ecuaciones:
=
⇒
−
=
=
⇒
⇒ =
=
− +
−
⇒ =
= +
⇒
=
= +
⇒
=
30 20
70
2 120
6 190 20
70 80
20 70 190
80 190 ) 80 (
70 20
70 ) 20 (
b a b
a a
a a
a b
b a f
b a f
La expresión del coste en función del consumo será: = 2 + 30 c) ¿Cuál es el precio del metro cúbico de gas?
El precio de un metro cúbico de gas corresponde al coeficiente de la parte de la factura que es proporcional al consumo, a, o sea 2 euros.
d) Si no gastamos nada de gas, ¿cuánto tenemos que pagar?
Si no gastamos gas la parte proporcional al consumo vale cero, por lo que sólo pagamos la cuota fija, es decir b, 30 euros.
e) ¿Por un consumo de 50 , cuánto nos cobran?
El coste de la factura es lo que nos da la función, f(50)= 2·50+ 30= 130 euros.
f) Si nos han cobrado 150 euros, ¿cuánto gas hemos consumido?
Para resolverlo tenemos que plantear la ecuación despejando el consumo (x) a partir del coste (y).
150 = 2 + 30 ⇒ = 60 Ejercicios:
1. Una compañía de taxis cobra por cada viaje 20 euros más 20 céntimos por kilómetro recorrido y otra cobra 10 euros por viaje más 30 céntimos por kilómetro.
a. ¿Por un recorrido de 80 km, cuanto pagamos con cada compañía?
b. Si un viaje con la primera nos ha costado 50 euros, ¿cuánto habríamos pagado con la segunda?
c. ¿Cuál es la compañía más barata según sea el recorrido previsto?
d. Representar gráficamente.
2. Un vendedor de máquinas recibe un sueldo mensual fijo de 1000 euros más una parte proporcional de 30 euros por cada máquina vendida.
a. ¿Cuánto gana si vende 40 máquinas?
b. ¿Cuántas máquinas vendió si ganó 2800 euros?
3. Un depósito contiene 5000 litros de gasóleo que se van consumiendo a razón de 20 litros por hora. Representa gráficamente la evolución del contenido con el tiempo. ¿Cuánto tiempo tarda en reducirse el contenido a la mitad?
Observación: hay muchos otros ejemplos que pueden ser interpretados
erróneamente como función afín, en los cuales no se mantiene la proporcionalidad, pueden ser funciones cuadráticas, exponenciales, etc. Para que la gráfica sea una recta es imprescindible que el crecimiento sea constante.
Comparación entre crecimiento
lineal, crecimiento cuadrático y crecimiento exponencial
2. Función cuadrática
Se llama función cuadrática a la que tiene expresión algebraica f(x)=ax2+bx+c Su representación gráfica es una parábola de ecuación y=ax2+bx+c
Simetría: La parábola presenta un eje de simetría vertical en la recta de ecuación
a x b
2
= −
Vértice: Punto en el que el eje corta a la parábola, cuyas coordenadas son , ,siendo = − ; =
O sea
− −
a b ac a V b
4 ,4 2
2
Curvatura: Será cóncava cuando el parámetro a sea positivo y convexa cuando el parámetro a sea negativo. Cuanto mayor sea el valor absoluto del parámetro a, más cerrada será la curva. (ver gráfico adjunto)
Crecimiento y decrecimiento: Cuando el coeficiente a es negativo, la función presenta un máximo en el vértice. Cuando el coeficiente es positivo, la función presenta un mínimo en el vértice.
Dominio de definición: La ecuación cuadrática está definida en todo el dominio real, ya que para cualquier valor de x se puede calcular f(x). En muchos problemas el dominio viene restringido por el significado atribuido a la variable x o a la variable y, que pueden ser siempre positivas, o acotadas por un determinado valor.
Eje de simetría
Vértice
Puntos de corte con el eje X
Punto de corte con el eje Y
cóncavas
convexas
4
Recorrido: Cuando a es negativo el recorrido de la función es −∞, ] . Cuando a es positivo el recorrido de la función es [,+ ∞
Puntos de corte con los ejes:
Con el eje Y: La parábola siempre corta al eje Y en el punto (0, c)
Con el eje X: en los puntos (x1,0) y (x2,0), siendo x1 y x2 las soluciones de la ecuación
2 +bx+c=0
ax , que, como bien sabemos, se calculan con la fórmula
a ac b
b 2
2 −4
±
− y
dependen del número que va dentro de la raíz cuadrada, llamado discriminante, d =b2 −4ac, cuando el discriminante es negativo, la ecuación no tiene soluciones, lo que significa que la parábola queda enteramente por encima o por debajo del eje. Si el discriminante es 0 la ecuación tiene solución única, lo que significa que la parábola es tangente al eje X en un punto que coincide con el vértice. Y si el discriminante es positivo la ecuación tiene dos soluciones, lo que significa que la parábola corta al eje en dos puntos (simétricos con respecto al eje).
Discriminante negativo (no hay puntos de corte)
Discriminante cero (hay un punto de tangencia)
Discriminante positivo (Hay dos puntos de corte)
Ejemplos:
1. Representar gráficamente la función "# =#$%$#& − Hallando su vértice y sus puntos de corte con los ejes de coordenadas.
Se trata de una función cuadrática pero debemos pasarla previamente a su forma general para poder hallar lo que nos piden.
2
2
2
2 1 2
( ) 3 3
5 5 5
( ) 0 ' 2 0 ' 4 3
x x
f x x x
f x x x
= − − = − −
= − −
Vértice: El vértice tiene su abscisa en el valor ( 0 ' 4) 2 2·0 ' 2 1
v
x b a
− − −
= = =
Para su representación tenemos que hallar puntos de la gráfica a la derecha y a la izquierda del vértice
( 2) 0 ' 2·( 2)2 0 ' 4·( 2) 3 1' 4
f − = − − − − = − ⇒ − −( 2, 1, 4) ( 1) 0 ' 2·( 1)2 0 ' 4·( 1) 3 2 ' 4
f − = − − − − = − ⇒ − −( 1, 2, 4) (0) 0 ' 2·(0)2 0 ' 4·(0) 3 3
f = − − = − ⇒(0, 3)−
(1) 0' 2·(1)2 0 ' 4·(1) 3 3' 2
f = − − = − ⇒ − −( 1, 3' 2)
Los puntos a la derecha del vértice los obtenemos por simetría:
(2) 3
f = − ⇒(2, 3)−
; f(3)= −2 ' 4⇒(2, 2 ' 4)−
; f(4)= −1' 4⇒(2, 1' 4)−
Finalmente representamos los puntos en los ejes y los unimos para obtener la parábola:
x y -2 -1’4 -1 -2’4 0 -3 1 -3’2 2 -3 3 -2’4 4 -1’4
El vértice es el punto (1,-3’2), y los puntos de corte con los ejes se obtienen sustituyendo x e y por 0
Corte con el eje Y: (0,f(0)) es decir (0,-3) Corte(s) con el eje X:
=− ± √ − 4*
2 =0+4 ± √0+16 + 2+4
0+4 =0+4 ± 1+6
0+4 = ,- = −3 ⇒ .-−3,0
= 5 ⇒ . 5,0 / 2. Una empresa fabrica máquinas que se venden con unos ingresos de 700 € por unidad. El coste
de producción según el número de unidades fabricadas (x), es 011111 + #$
a. Hallar la expresión de la función que calcula los beneficios de la empresa (ingresos menos gastos) a partir del número de unidades fabricadas.
= 700 − 100000 + b. ¿Cuántos son los beneficios si se producen 300 unidades?
300 = 700 · 300 − 300 + 100000 = 20000 euros c. Representa gráficamente la función de los beneficios.
Se trata de una función cuadrática cuya gráfica es la siguiente parábola:
d. ¿Cuántas máquinas debe fabricar para que el beneficio sea máximo y qué beneficio se obtiene en ese caso?
La función cuadrática alcanza su máximo en el vértice, cuya abscisa se obtiene con la fórmula 2 350
700
max −2 = =
= a
x b unidades
Corresponde al valor 350 = 700 − 100000 − = 22500 euros
e. ¿Cuántas máquinas debe fabricar como mínimo y como máximo si quiere obtener beneficios?
6
Los puntos en que los beneficios pasan de ser negativos a positivos o de positivos a negativos son los puntos de corte con el eje X, los cuales se calculan con la ecuación
700 − 100000 − = 0
=
−
±
=−
−
−
±
= −
−
−
−
−
±
−
500 200 2
300 700 2
400000 490000
700 )
1
·(
2
) 100000 )·(
1
·(
4 700
700 2
Si producen por debajo de 200 unidades o por encima de 500 tendrán pérdidas.
f. Si los beneficios son de 12500 euros, ¿cuántas unidades se han producido?
= 12500 ⇒ 700 − 100000 − = 12500 ⇒ − 700 + 112500 = 0
=455±√4556%7·-·-- 855
·- =455±√75555
=455± 55
=9
855
= 250
:55
= 450/
Esos beneficios se alcanzan cuando se producen 250 o 450 unidades.
2.1. Intersección de una recta con una parábola
Para hallar la intersección de una recta y una parábola, se resuelve por sustitución el sistema formado por las dos ecuaciones y se obtiene una ecuación de segundo grado. Según sea el número de soluciones de esta ecuación se tienen tres posibles posiciones relativas: La recta no corta a la parábola. La recta es tangente a la parábola (se cortan en un punto de tangencia) y la recta es secante a la parábola, es decir, la corta en dos puntos.
Ejemplo: Hallar la intersección de la recta ;: 2 + − 5 = 0 y la parábola = 2 − 8 + 5 Resolvemos el sistema: > = 2 − 8 + 5
2 + − 5 = 0 / por sustitución 2 + 2 − 8 + 5 − 5 = 0
2 − 6 = 0
2 − 6 = 0 ⇒ , - = 0 ⇒ - = 5
= 3 ⇒ = −1/
La recta y la parábola se cortan en los puntos ?- 0,5 y ? 3, −1
Tal como se refleja en la representación gráfica:
Ejercicio: Resolver gráfica y analíticamente el siguiente sistema:
>@ = #$+ A# + 01
@ = −# + /
3. Función exponencial
Se llama función exponencial a la que tiene expresión algebraica
= B
CD, siendo a un valor positivo.Suele aparecer en relación con procesos que evolucionan en el tiempo en que el valor en un instante es proporcional al valor en el instante anterior.
C es el valor en el instante inicial, a es el factor de proporcionalidad., k es el lapso de tiempo que tiene que transcurrir para que la cantidad se multiplique por el factor a.
Cuando a es un valor mayor que 1 la función es creciente y cuando a es menor que 1 decreciente.
La gráfica es una curva que se acerca asintóticamente al eje X en un sentido, mientras que en el otro tiende a infinito, con un crecimiento más rápido que cualquier función polinómica. (El crecimiento exponencial se asocia en todo tipo de aplicaciones prácticas a una complejidad que llega a hacerse inabordable).
Ejemplo:
Una sustancia radiactiva se desintegra perdiendo un 50 % cada 700 años. (Periodo de semidesintegración). En un laboratorio se tienen 25 kg de dicha sustancia.
a. Expresa algebraicamente la cantidad que queda en función del tiempo transcurrido (en años)
= 25 · 0+5455E b. Qué cantidad quedará de los 25 kilos al cabo de 2000 años?
2000 = 25 · 0+5 555455 = 3+45 Kg.
c. ¿Cuánto tiempo tarda esa sustancia en perder el 10%?
0+5455E = 0+9
d. Recordemos que se trata de una ecuación exponencial y tendremos que resolverla tomando logaritmos en ambos miembros
log L0+5455E M = log 0+9
700 log 0′5 = log 0+9
=455·OPQ R5OPQ5+8S:T=106’4 años
e. ¿Cuánto tiempo tarda en desintegrarse esa sustancia en un 99 %?
0+5455E = 0+01 log L0+5455E M = log 0+01
Gráfica de la función y = 5·2x Gráfica de la función y = 3·0 ' 7x
8
700 log 0′5 = log 0+01
=455·OPQ R5OPQ5+8S5-T=4650 años f. ¿Puede llegar a desaparecer por completo?
Teóricamente no, puesto que la función exponencial nunca llega a tomar el valor 0, aunque en la práctica cuando se aproxima mucho, se puede considerar igual a cero.
g. ¿Cuánto tardan 25 kg en convertirse en 24?
25 · 0+5455E = 24 log L25 · 0+5455E M = log 24
log25 +
700 log 0′5 = log 24
=455OPQ 7%OPQ 8
OPQ5+8 41’22 años
En general el tiempo que pasa la función exponencial en pasar de C a B, es:
B · EU = V ⇔ =klog B − logB
log
EJERCICIOS
1. Un tronco de madera de 1000 kg puesto a secar pierde un 14% de su peso cada 6 meses.
a. ¿Cuánto pesará después de 2 años?
b. ¿Cuántos años tarda en reducir su peso a la mitad?
c. ¿Cuándo pesará 600 kg?
2. Un capital de 1300 euros se coloca en un depósito bancario que ofrece una rentabilidad del 4% nominal que abona intereses trimestralmente.
d. ¿Qué interés genera al cabo de un año (TAE) e. ¿A cuánto asciende el capital al cabo de 10 años?
f. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse?
4. Función de proporcionalidad inversa
Se llama función de proporcionalidad inversa a la que tiene expresión algebraica
x x k
f( )= . Siendo k la constante de proporcionalidad. Dos magnitudes están en proporción inversa cuando su
producto es constante.
Su gráfica es una hipérbola, curva simétrica con respecto al origen de coordenadas, no definida para x=0 que se aproxima asintóticamente al eje X y al eje Y
Ejemplo:
Para completar una determinada obra se necesitan 20000 horas de trabajo. Sabiendo que cada obrero realiza 8 horas de trabajo diarias.
a. Hallar la expresión que relaciona el número de obreros contratados con el número de días necesarios para completar la obra.
En este ejemplo concreto la función continua es una aproximación ya que la aplicación es discontinua porque el número de obreros contratados no es una variable real.
Cada obrero contratado aporta 8 horas de trabajo por día, luego si x es el número de obreros e y es el número de días,
y x x
y 2500
200000 8
· = ⇒ =
x x
f 2500
) ( = b. Con 12 obreros, ¿cuántos días se necesitan para terminar?
=
= 12 ) 2500 12 (
f 208’3 días
c. Para tardar 20 días, ¿cuántos obreros tenemos que contratar?
20 125 2500 20= 2500 ⇒x= =
x obreros.
d. Si se duplica el número de obreros, cómo afecta al número de días necesario?
Si se duplica el número de obreros el tiempo necesario es la mitad.
Ejercicio:
Un grifo con 11 Z por hora de caudal llena una piscina en 6400 horas.
a. Hallar la expresión que relaciona el caudal del grifo con el tiempo necesario para llenar la piscina.
b. Si se aumenta a &11 Z por hora el caudal, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse la piscina?
c. Si hemos llenado la piscina en 3000 horas, ¿cuál ha sido el caudal aportado por el grifo?
d. Si se reduce el caudal en un 20%, ¿cómo aumenta el tiempo necesario para llenar la piscina?
10
5. Funciones definidas a intervalos
Son funciones cuya expresión algebraica no es única sino que, según en qué intervalo se encuentren tienen una expresión diferente.
Ejemplo:
Representar gráficamente la función = 9
E
[\ < 0
− [\ 0 < ≤ 2 4 − [\ > 2
/
Para representar esta función hay que representar los tres trozos de que se compone. El primero es una semirrecta, el segundo es un arco de parábola y el tercero es una semirrecta.
Cuando los tres trozos están unidos, la función es continua; cuando no lo están se dice que la función presenta una discontinuidad en salto en los puntos en que se cambia de intervalo.
En este caso la función presenta una discontinuidad en x=0, esta discontinuidad se denomina evitable, ya que no hay ningún salto entre el lado izquierdo y el derecho, el problema está en que no se ha definido la función cuando x=0. El dominio de esta función es |R − b0c El
recorrido es −∞, 2]
6. Interpolación lineal
Consiste en estimar el valor de una función en un determinado punto, desconocido, a partir de valores próximos que son conocidos.
La interpolación puede hacerse mediante polinomios de diversos grados, siendo la
interpolación lineal la que se hace mediante una recta. Para que el valor estimado sea válido, la gráfica de la función debe comportarse de manera similar a una recta en el tramo en que se va a estimar.
Ejemplo:
En esta gráfica podemos apreciar que entre los puntos A y B la gráfica presenta demasiada curvatura como para que la aproximación por una recta sea aceptable. El valor estimado por interpolación lineal será el correspondiente al punto, siendo El valor real el del punto D.
En cambio entre los puntos B y C la curvatura de la gráfica es mucho menor, por lo que la aproximación mediante una recta nos permite obtener valores de interpolación más correctos.
En el primer caso se requiere hallar valores de la función más aproximados para realizar la estimación, o bien interpolar mediante polinomios de grado 2 o superior, que al no dar una gráfica recta, se pueden aproximar mejor a la gráfica de la función.
Formula de la interpolación:
Si x ,1 x y2 x3 son los tres valores consecutivos, y los correspondientes valores de la función son )
(x1
f f(x2) f(x3) . Asumiendo que la función puede ser como una recta, por semejanza de triángulos, tenemos la fórmula:
2 3
2 3
1 3
1
3) ( ) ( ) ( )
(
x x
x f x f x
x
x f x f
−
= −
−
− ,
que nos permite estimar un valor desconocido despejando a partir de los otros que son conocidos.
Ejemplos:
1. (Asturias 2003) La producción de largometrajes en España durante el período 1.950 – 1.960 se indica en la tabla, donde X es el año e Y, el número de largometrajes producidos.
X 1950 1952 1954 1956 1958 1960
Y 49 41 69 75 75 73
a. ¿Qué producción de largometrajes cabe esperar que hubiese en 1.957? ¿Y en 1.966?
Para estimar el valor de la función en 1957, utilizamos como valores conocidos los valores en 1956 y en 1957, interpolando el valor en 1957
1957 1958
) 1957 ( ) 1958 ( 1956
1958
) 1956 ( ) 1958 (
−
= −
−
− f f f
f
1 ) 1957 ( 75 2
75
75 − f
− =
) 1957 ( 75 0= − f
75 ) 1957
( =
f
b. para estimar el valor de la función en 1966, utilizamos como valores conocidos los valores en 1958 y en 1959, extrapolando el valor en 1966
1958 1960
) 1958 ( ) 1960 ( 1958
1966
) 1958 ( ) 1966 (
−
= −
−
− f f f
f
2 75 73 8
75 ) 1966
( −
− = f
2 2 8
75 ) 1966
( −
− = f
67 8 75 ) 1966
( = − =
f
c. Sabiendo que en el año 1.957 se produjeron realmente 72 largometrajes y que en 1.966 fueron 160, interpreta los resultados del apartado anterior.
En la siguiente gráfica representamos los datos conocidos de la función:
12
Donde se refleja que entre el año 54 y el 60 se estanca la producción, con un ligero descenso, de ahí que el valor estimado de 75 para 1957 se aproxime al valor real de 72. Sin embargo el valor estimado de 67 para 1966 se aleja mucho del valor real de 160. Ello se debe a que la gráfica no tiene el comportamiento esperado (similar a una recta) en el intervalo de tiempo fijado. No es válida la estimación para un período tan amplio. Deberían conocerse valores más próximos a 1966 para poder realizar una estimación más fiable.
2. (Valencia 2001) La siguiente tabla muestra datos de varios países de la evolución del número de trasplantes de hígado:
Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Nº 5.040 5.326 6.042 6.649 7.616 7.900
Representa en una gráfica los valores del número de trasplantes en función del año. Calcula el valor de interpolación del año 1993 a partir de los datos de 1992 y 1994. ¿Se parece el dato obtenido al real? Interpreta tu respuesta.
Aplicamos la fórmula a los valores de 1992, 1993 (desconocido) y 1994 1993 1994
) 1993 ( ) 1994 ( 1992
1994
) 1992 ( ) 1994 (
−
= −
−
− f f f
f
1993 1994
) 1993 ( 7616 1992
1994
6042 7616
−
= −
−
− f
1
) 1993 ( 7616 2
1574 − f
=
1
) 1993 ( 7616 2
1574 − f
=
=
−
=7616 787 )
1993 (
f 6829
El valor estimado es 6829, que con respecto al valor real de 6649 presenta un exceso del 2’7%. Ello se debe a que la gráfica no es recta, sino que en el 1993 presenta una pequeña disminución.
0 10 20 30 40 50 60 70 80
1948 1950 1952 1954 1956 1958 1960 1962
0 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 9.000
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996
Ejercicios
(Madrid 2009) Dada la ecuación de la parábola y = x2 + 2x + 1. Hallar, a. El vértice
b. Los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
c. Su representación aproximada.
(País Vasco 2006) Representa la función @ = −#$+ d# +
(Extremadura 2008) La temperatura T, en grados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la expresión ef = gf − f$, siendo 1 ≤ h ≤ g.
a. Representar gráficamente la función.
b. Determinar cuando alcanza la temperatura máxima la pieza y el valor de ésta.
c. ¿Qué temperatura tendrá la pieza al cabo de una hora?
d. ¿Cuándo alcanzará la pieza una temperatura de 0&i ?
(Extremadura 2005) Considera la curva representativa de la función @ = # − 0 − #
a. ¿En qué puntos corta la curva al eje de las x?
b. ¿Para qué valor de x alcanza su máximo la función?
c. Hacer un dibujo aproximado de la misma.
(Aragón 2003) Resolver gráfica y analíticamente el siguiente sistema: >@ = #$− d# + &
@ = −# + 0 /
(Castilla La Mancha 2006) Se desea instalar en un edificio en construcción ventanas iguales de 8 m de perímetro, ¿qué dimensiones debe tener la ventana para dejar pasar la máxima luz posible?
(Castilla La Mancha 2005) El índice de inflación de un determinado país fue variando con el paso de los meses un cierto año según la función:jf = +f$k1%gf Donde t=1 corresponde a enero, t=2 a febrero, ... t=12 a diciembre.
a. Durante qué meses el índice de inflación fue subiendo y durante cuáles bajó?
b. ¿Cuáles fueron los valores máximo y mínimo del índice de inflación de ese año y en qué meses se alcanzaron?
(Extremadura 2003) La demanda de un cierto producto fabricado por una empresa es función de su precio de venta. A un precio de x euros la empresa vende &1. 111 – &# unidades del producto al año. Se pide:
a. La función "# que da el ingreso anual producido por la venta de ese artículo.
b. Precio al que ha de venderse el producto para maximizar el ingreso anual e importe de ese ingreso.
(Aragón 2008) Se tiene la función "# = m−# − no # ≤ 1−#$+ k# − no # > 0/ a. Representa gráficamente la función
b. Calcula la intersección de la función "# con la función p# = #– A
(Castilla La Mancha2007) Una determinada población de bacterias crece siguiendo una ley de crecimiento exponencial. Se sabe que la población se triplica cada 4 horas. Determine el tiempo necesario para que la población pase a ser 10 veces la población inicial.
14
(Murcia 2008) El número de personas atacadas por una determinada enfermedad viene dado por la función "# = −#$+ k1# + gk donde # representa el número de días transcurridos desde que se descubrió la enfermedad. Responda razonadamente:
a. Cuantas personas enfermas había a los tres días desde que se descubrió la enfermedad?
b. ¿Cuántos días deben transcurrir para que desaparezca la enfermedad?
c. ¿Cuál es la tasa de propagación de la enfermedad el quinto día desde su aparición?
d. ¿Qué día se alcanza el número máximo de personas enfermas y cuál es ese número?
e. Represente gráficamente la función.
(Castilla La Mancha 2006) La bacteria escherichia coli tiene un crecimiento muy rápido en sus poblaciones puesto que puede duplicar su población cada 15 minutos. Se hace un cultivo en laboratorio introduciendo inicialmente 5000 bacterias de este tipo.
a. Determine la cantidad de bacterias que habrá en el cultivo al cabo de 4 horas y 45 minutos.
b. ¿Cuánto tiempo habrá transcurrido para que el cultivo tenga 20480000 bacterias?
(Extremadura 2007) En el contrato de trabajo de un empleado figura que su sueldo subirá un 10 % anual. Si empieza ganando 10.000 euros anuales:
a. ¿cuánto ganará durante los dos años siguientes?
b. Expresa la función que relaciona el sueldo del empleado con el número de años trabajados y aplícala para calcular su sueldo al cabo de 10 años trabajados.
(Valencia septiembre 2012) Una empresa de alquiler de coches tiene dos tipos de oferta. En la primera cobran 120 € diarios más 0.20 € por kilómetro recorrido, en la segunda cobran 112 € diarios más 0’30 € por kilómetro recorrido. Se pide:
a. La función que relaciona el coste diario con el número de kilómetros en cada una de las dos ofertas.
b. Si pretendemos gastarnos 184 €, ¿cuántos km podemos recorrer en cada una de las dos ofertas?
c. ¿Cuántos km tenemos que recorrer para pagar lo mismo en ambas ofertas?
(Valencia mayo 2003) A lo largo del tiempo, el número de habitantes de un municipio da la siguiente tabla de resultados:
AÑO 1970 1980 1990 2000 HABITANTES 956 1210 1462 1730
a. Mediante interpolación, calcule la población en los años 1975, 1985 y 1995.
b. ¿Cuál es el número de habitantes que posiblemente tendrá el municipio en el año 2010?
c. ¿En qué año, aproximadamente, tendrá 2500 habitantes este municipio?
En el instante inicial se dispone de 100 gr. de una substancia radiactiva. Sabiendo que la masa sigue una función exponencial, q = · rst, donde u es el tiempo en años; y que la vida media de esa substancia, tiempo en que M tarda en reducirse a la mitad, es de 3 años, se pide:
a. Calcular los valores de k y 8.
b. Representar gráficamente la función M para los valores de k y 8 hallados.
c. ¿Cuánto tiempo tardará en reducirse M a 2 gr.?
(Valencia Junio 2005) Resolver gráficamente el sistema: > = + 6
= /
(Madrid 2010) Considere la función "# = #$− $# − a. Determine su dominio.
b. Encuentre los puntos de corte de la gráfica con los ejes coordenados.
c. Localice su vértice.
d. Represente la gráfica de la función.
(Valencia septiembre 2011) Un servicio de asistencia técnica de electrodomésticos tiene estipulada la siguiente tarifa: cobran 30 € por el desplazamiento al domicilio y 42 € por hora de trabajo.
a. ¿Cuánto habrá que pagar por una reparación en la que se han empleado 2 horas y 30 minutos?
b. Si una reparación ha costado 166’5 €, ¿cuál ha sido el tiempo empleado en la misma?
c. Averigua la función que determina el coste de la reparación en relación al tiempo empleado (incluyendo el desplazamiento).
(Valencia septiembre 2010) Una compañía de telefonía móvil cobra a sus clientes las siguientes tarifas: 15 céntimos de euro por establecimiento de llamada. 30 céntimos de euro por minuto, pero la facturación es por los segundos hablados. Calcula:
a. Lo que pagaríamos por una conversación de 5 minutos y 30 segundos hablados.
b. La función que nos da el dinero a pagar, en euros, en función de los segundos hablados.
c. Cuántos minutos hemos hablado si el importe pagado asciende a 2,55 euros?
(Valencia junio 2012) Una compañía de suministro de gas natural cobra a sus clientes una cantidad fija de 4 € mensuales por dar servicio y 1’20 €, también mensuales, por el alquiler del contador. A estas cantidades hay que añadir, como es lógico, el coste del gas consumido que asciende a 0’64 € por cada metro cúbico. A todo este importe hay que aplicarle el recargo por IVA que es del 18%.
a. Calcula cuánto pagará un cliente que en un mes ha consumido 14’25 m3 de gas.
b. Si un cliente ha pagado en un recibo un total de 21’24 €, ¿cuántos m3 de gas consumió en ese mes?
c. Averigua la función que representa el coste mensual del suministro en relación a los metros cúbicos consumidos de gas.
(Valencia junio 2011) Una compañía de coches de alquiler tiene dos tipos de ofertas:
Tipo A: un fijo de 60 € al día, más 0,50 euros por km recorrido.
Tipo B: 0,65 € por km recorrido.
a. Si queremos recorrer, en un día, 420 km, ¿cuál es el coste en cada oferta?
b. Si para hacer un recorrido, en un día, hemos elegido la primera oferta y nos hemos gastado 218 €, ¿cuántos km hemos recorrido?
c. ¿Cuántos km tenemos que recorrer para gastarnos, en un solo día, lo mismo en las dos ofertas?
(Navarra 2010) Un alumno quiere montar en un mercadillo, un puesto de venta de palomitas de maíz. La empresa que le suministra el grano le ofrece contratar una cantidad fija de 3.000 euros anuales más 2 euros por cada bolsa, o bien pagar 12 euros por cada bolsa sin desembolso inicial. ¿A partir de cuántas bolsas por año, la primera opción es más ventajosa que la segunda?
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(Valencia mayo 2003) Una empresa se dedica a la fabricación de calculadoras de bolsillo, y en un día de producción realiza cierto número de unidades de un modelo, con un coste de 1 euro la unidad. Los costes fijos de producción, independientes de la fabricación, son de 3.200 euros, y cada calculadora se vende por 6 euros.
a. ¿Cuál debe ser la producción de ese día para que la empresa cubra gastos?
b. ¿Cuál debe ser la producción, si se han obtenido 3.000 euros de beneficio y se ha vendido toda la producción?
c. ¿Cuál debe ser la producción si se han obtenido 3.000 euros de beneficio y no se ha vendido toda la producción?
(Valencia Junio 2002) Una empresa de alquiler de automóviles, nos cobra por alquiler un turismo una cantidad fija de 120 € más una cuota de 60 € por cada día alquilado. Otra empresa B nos cobra únicamente una cuota de 72 €/día.
a. Si alquilamos un coche para tres días. ¿Qué empresa sería más rentable?
b. ¿ Cuántos días serían necesarios para que las dos empresas nos cobraran lo mismo ? c. Realiza una gráfica situando en el eje de abcisas (x) los días y el en de ordenadas (y) el coste
de cada empresa, donde se vea que se juntan en el día calculado en el apartado b. (Ayuda:
Las funciones son rectas)
(Navarra 2010) Halle los puntos de corte de la recta = 3 + 3 y la parábola = + 2– 3 Analice la función: = m2 − 8 [\ < 6 − 16 + 63 [\ ≥ 6/
a. Estudie su continuidad.
b. Represéntela.
c. Indique el Dominio y el Recorrido
d. Analice el Crecimiento y/o Decrecimiento
Desde lo alto de un edificio se lanza, verticalmente hacia arriba una pelota. Su altura ℎ sobre el suelo viene dada por la ecuación ℎ = −13u + 39u + 42, siendo u el tiempo, en segundos, transcurrido desde que se lanzó la pelota. Dibuje esta función y deduzca de la gráfica:
a. La altura del edificio
b. La altura máxima que alcanza la pelota desde el nivel del suelo.
c. El tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo.
(Extremadura septiembre 2010) El rendimiento de una máquina a las 10 horas de funcionamiento ha sido r=0’81 mientras que a las 14 horas ha sido r=0’49.
a. Calcular mediante interpolación lineal el rendimiento de la máquina a las 13 horas.
b. Calcular mediante extrapolación lineal el rendimiento de la máquina a las 16 horas.
(Murcia 2004) Las ganancias anuales de una compañía vienen dadas por la expresión:
x u = −u + 8u + 16 (millones de euros) siendo u el tiempo transcurrido desde el año 2000.
a. ¿Cuántos millones ganó la empresa el año 2000?
b. ¿En qué años ganará la empresa 31 millones de euros?
c. Represente la función G (t)
d. ¿En qué año tuvo la empresa una ganancia máxima?
e. ¿Qué le ocurrirá a la empresa en el año 2010?
(Cantabria Junio 2011) Estudia la continuidad de la función y represéntala:
f. = m + 2 [\ ≥ 1 + 2 [\ < 1/
Una colonia de microorganismo crece de manera que se duplica la población cada 60 minutos.
Inicialmente la colonia tenía 10.000 microorganismos.
a. Complete la siguiente tabla:
nº de
microorganismos:
despues de: 1 hora 2 horas 3 horas 4 horas
b. ¿Cuál es la función que da el número de microorganismos dependiendo del tiempo?
c. ¿Cuántos microorganismos habrá al cabo de 100 horas?
(Extremadura septiembre 2010) En un ecosistema el número de individuos en función del tiempo viene dado por la función: yu = 1000 · 1’2t donde yu es el número de individuos y u el tiempo en meses. Calcular:
a. Número de individuos inicialmente en el ecosistema.
b. Número de individuos a los 2 meses.
c. ¿Cuándo alcanzará el ecosistema 1728 individuos?
d. Realizar la representación gráfica para valores comprendidos entre 0 y 6 meses
(Castilla león junio 2010) En un restaurante se incrementa el precio de los productos en un 5%
anual. Actualmente un menú cuesta 18€. Encuentre la función que dé el precio del producto en función de los años transcurridos y conteste:
a. ¿Cuánto costará ese menú dentro de tres años?
b. ¿Cuántos años pasarán hasta que el precio se duplique?
(Castilla León septiembre 2009) El precio de un viaje en tren es función de los kilómetros recorridos. Recorrer 57 Km cuestan 28,5 € y 68 Km 34 €. Se pide:
a. Calcular la función = + que expresa el coste del billete en función de los kilómetros recorridos.
b. Calcule el precio del billete si se recorren 80 Km y también la distancia que puede recorrer con 40 €.
(Castilla la Mancha junio 2012) La rentabilidad z (euros) de un plan de inversión es función de la cantidad de euros que se invierten según la expresión: z = −0,0001 + 0’6
a. Averigua qué cantidad hay que invertir para obtener la rentabilidad máxima.
b. Halla gráfica y numéricamente cuál es la rentabilidad máxima.
(Castilla la Mancha junio 2012) El crecimiento de una colonia de abejas está determinado por la siguiente ecuación, ?u = 1500r t, donde u es el tiempo transcurrido en meses.
a. ¿Cuántas abejas había inicialmente?
b. ¿Cuánto tiempo tardarán las abejas en tener una población de 8000 individuos?
(Cantabria Junio 2011) Encontrar para qué valor de a es continua la función:
= m + 4 [\ ≤ 2 − [\ > 2/
(Baleares mayo 2011) El rendimiento r en porcentaje de un alumno en un examen de una hra viene dado por la expresión: ;u = 300u − u , donde t es el tiempo en horas.
a. ¿En qué intervalos aumenta y en cuales disminuye el rendimiento?
b. ¿Cuándo obtiene el rendimiento máximo?
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(Canarias 2011) En un colegio hay un puesto de golosinas. En esta gráfica se ve la cantidad de dinero que hay en su caja a lo largo de un día.
a. ¿A qué hora abre el colegio?
b. ¿A qué hora empiezan las clases de la mañana?
c. ¿A qué hora es el recreo?
d. ¿Cuánto dura el recreo?
e. El puesto cierra al mediodía, ¿a qué hora?, ¿durante cuánto tiempo?
f. El dueño deja las ganancias de la mañana en casa, ¿cuánto fueron éstas?
g. ¿Cuál es el horario de las clases de tarde?
h. Al acabar las clases de la tarde, ¿Cuánto tiempo continúa abierto el puesto?
i. ¿A qué hora se cierra el puesto?
j. ¿Cuánto dinero se ganó ese día?
(Canarias 2011) Calcula el dominio, recorrido y extremos de la función cuya gráfica es:
(Canarias 2011) En una ciudad, la tarifa de los taxis es 2’50 euros por la bajada de bandera (coste fijo) y 73 céntimos por cada kilómetro recorrido.
a. Calcula el coste de una carrera de 3 km y 600 metros.
b. Si una carrera ha costado 5 euros, ¿cuál fue la distancia del recorrido?
(Canarias 2010) Durante el tiempo en que ha estado en marcha una empresa, los beneficios obtenidos (expresados en euros) a lo largo del tiempo t (indicados en años) vienen dados por la función: Vu = 100012u − u
a. ¿Cuántos años ha estado la empresa en funcionamiento?
b. ¿Cuándo obtuvo el mayor beneficio?
c. ¿En qué intervalo de tiempo los beneficios han superado los 32 000 euros?
(Cantabria Junio 2011) El perímetro de un rectángulo mide 12 cm. ¿Qué dimensiones ha de tener para qué su área sea mínima?
(Canarias 2010) A Susana le sobra una barra de pan y la guarda en el congelador. Su
temperatura sigue la función } u =t~- 5 − 2 donde u son los minutos transcurridos desde que se guardó y } la temperatura de la barra de pan medida en grados centígrados.
a. ¿Qué temperatura tenía la barra de pan en el momento en que la puso en el congelador?
b. ¿Cuántos minutos deben pasar para que la barra de pan alcance una temperatura de 2 grados?
c. ¿Cuántos minutos deben pasar para que alcance los ceros grados?
d. Calcula la temperatura del congelador, es decir la temperatura de la que no bajará la barra de pan.
e. Halla el Dominio y el Recorrido de la función en el entorno del problema.
(Canarias 2009) Obtén el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:
(Canarias 2009) Las siguientes gráficas representan la distancia a casa en función del tiempo.
¿Cuál de ellas refleja mejor las siguientes situaciones? (Una situación carece de gráfica)
a. A como se me iba a hacer tarde, cada vez iba más deprisa.
b. De camino a clase me encontré con un amigo y estuve hablando un rato con él.
c. De mi casa al trabajo tengo que subir, luego llanear y por último volver a subir.
d. Salí de casa y cúando me dí cuenta de que había olvidado los apuntes volví a casa a por ellos.
(Canarias 2009) Se lanza una piedra hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. La altura, medida en metros, a la que se encuentra del suelo trascurridos t segundos desde su lanzamiento viene dada por la función = 20u − 5u Responde a las siguientes cuestiones: (Si representas la función, te será más fácil contestar)
a. ¿A qué altura se encuentra la piedra a los 3 segundos del lanzamiento?
b. ¿Cuántos segundos deben pasar para que la piedra se encuentra a 15 metros del suelo?
c. ¿Cuál es el dominio de la función en el contexto del problema?
d. ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en volver al suelo?
(Baleares mayo 2011) Sea la función = m + 1 [\ ≤ 0 − 1 [\ < 0/ a. Estudia su continuidad en el punto x=0
b. Represéntala gráficamente.
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(Canarias 2008) Al hacer un estudio de robots de última generación, una compañía japonesa obtuvo las siguientes funciones de oferta y demanda de dicho producto en función de su precio:
Demanda: = −-8 + 7000000 Oferta: = 8
siendo el precio de un robot e la cantidad de robots que se demandan o se ofrecen en un año. ¿A qué precio se deberían vender los robots para que la demanda iguale a la oferta?
(Baleares septiembre 2010) Para celebrar la fiesta de fin de curso, un grupo de amigos quiere alquilar un local, tienen que elegir entre dos ofertas: El local A cobra 1000 euros y 5 euros más por cada asistente. El local B cobra 200 euros y 10 euros más por cada asistente. La capacidad máxima de ambos locales es de 300 personas.
a. Construye una tabla de valores para cada una de las dos ofertas.
b. Represéntalas gráficamente en un mismo sistema de coordenadas.
(Baleares septiembre 2019) Una empresa de servicios informáticos ofrece a sus vendedores dos opciones de contrato:
- Opción A: Un sueldo fijo de 1.700 € mensuales
- Opción B: Un sueldo fijo de 490 € mensuales, más una comisión de 55 € por cada ordenador vendido
a. Encuentra la expresión de la función que expresa el sueldo mensual según el número de ordenadores vendidos, para cada una de las dos opciones.
b. Si se venden 18 ordenadores en un mes, ¿qué opción interesa más al vendedor?
c. ¿Cuánto ha de vender para que le salga más rentable la opción B? Justifica la respuesta.
Asturias 2011 Una empresa fabrica dos clases de piezas: A y B. El coste de producción viene dado por las siguientes funciones.
Para las piezas tipo A: B = − + 4, donde son los miles de piezas fabricadas, siempre que no superen las 3 500.
Para las piezas tipo B: B = − 3 + 5, donde son los miles de piezas fabricadas.
a. ¿Para qué número de piezas es mayor el coste de las piezas de tipo A que las de tipo B?
b. ¿Cuántas piezas de tipo B debemos fabricar para que el coste sea mínimo?
(Andalucía junio 2010) De la comparación de recorridos en distintos intervalos de tiempos de una sonda espacial se ha deducido la siguiente inecuación, donde x representa la velocidad en
. Averigua la velocidad a partir de la cual la sonda comienza a ahorrar combustible, resolviendo la desigualdad: E~
−
E~ 7≤
EAsturias junio 2003 Supóngase que durante los últimos 4 años las ventas, en miles de unidades, de los productos A y B, vienen dadas por las funciones:
.u = u − 4u + 6 Vu = −u + 4u
a. ¿En qué períodos se vendió más cantidad del producto A que del B?
b. Halla el período de tiempo durante el que las ventas de B superaron las 3.000 unidades.
(Aragón junio 2011) En un laboratorio agrario se investiga la relación entre la dosis de un tipo de abono y el rendimiento obtenido de maíz. Se sabe que la función que relaciona la cantidad de abono y el incremento de la producción es = 2– 0+2 si ≤ 10siendo la cantidad abono en
6 y el incremento de producción en
a. Representa la función
b. Si se suministran 4 mg de abono por cada metro cuadrado de terreno, ¿qué incremento de producción se obtendría?
c. ¿Cuál será la cantidad de abono necesaria para obtener el máximo incremento en la producción?
d. ¿Cuántos kg de abono se necesitan para obtener el máximo incremento de la producción en un terreno de 4 hectáreas?
(Andalucía septiembre 2011) Para transportar una mercancía de 6’4 toneladas, disponemos de camiones de 800 Kg. de capacidad.
a. Rellena la siguiente tabla con el número de viajes necesarios para trasladar toda la carga si contamos con una flota de:
Nº de camiones Nº viajes necesarios
b. (Recuerda incluir también los cálculos y razonamientos, no sólo las soluciones)
c. Expresa la relación anterior mediante una función. Detalla cuál es la variable independiente y por qué.
d. Identifica la función obtenida y esboza su gráfica.
(Murcia 2008) Una empresa dedicada al montaje de dispositivos para aviones ha calculado que la media de dispositivos que prepara cada trabajador viene dada por la siguiente función:
=E~85E , siendo el tiempo en días que el trabajador ha acudido al centro de trabajo.
a. ¿Cuántos dispositivos prepara un trabajador el primer día?
b. ¿Cuántos prepara el quinto día?
c. ¿Y el trigésimo día?
d. ¿Al cabo de cuantos días prepara 50 dispositivos?
e. Discute qué ocurre cuando el número de días es muy grande y explica su significado.
(Baleares septiembre 2019)
a. Resolver gráficamente el sistema: > = = + 6 /
b. Resuelve el sistema por el método de igualación para comprobar el resultado.
(Madrid junio 2013) Se ha invertido un capital de 5.000 € en unos bonos que producen un interés compuesto anual del 4%. Por tanto, el capital que se tiene al cabo de un periodo de t años viene dado por la función u = 5000 · 1,04t
a. Calcule el capital que se obtiene para los siguientes periodos t =2, t = 3, t =5.
Exprese el resultado redondeando a los céntimos de euro.
b. Determine cuántos años deben estar invertidos los 5.000 € para obtener un capital final de 5.200 €.
