TRIÁNGULOS I
DEFINICIONEs la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos.
Elementos : Notación :
Vértices : A, B y C Triángulo : Lados : AB,BCyAC ABC ; ∆ABC REGIONES DETERMINADAS RESPECTO AL
TRIÁNGULO.
En la figura se indican las regiones que se han determinado respecto al triángulo ABC. ÁNGULO DETERMINADO RESPECTO AL
TRIÁNGULO.
- Medida de los ángulos internos : , , . - Medida de los ángulos externos : x, y, z.
- Perímetro de la región triangular ABC (2p∆ABC)
- Semiperímetro de la región triangular ABC(P∆ABC)
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL TRIÁNGULO.
TEOREMA 1
En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual a 180º.
En el ∆ABC, se cumple : + + = 180º TEOREMA 2
En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos interiores no adyacentes a él. En el ∆ABC, se cumple : x = + A B C A C B Región Interior Región exterior relativa a BC Región exterior relativa a AC B Y A C z c a b 2p∆ABC= a + b + c (P∆ABC)= 2 c b a A C C A C x º º B Región exterior relativa a AB
TEOREMA 3
En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos exteriores tomados uno por vértice es igual a 360º.
En el ∆ABD, se cumple : x + y + z = 360º TEOREMA 4
En todo triángulo de un lado es mayor que la longitud se le opone al ángulo de mayor medida y viceversa (propiedad correspondencia).
En el ∆ABC, si : a > b Entonces : > TEOREMA 5
En todo triángulo de un lado es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos y menor que la suma de las mismas (propiedad de existencia). En el ∆ABC : a > b > c Se cumple : b – c < a < b + c PROPIEDADES ADICIONALES En la figura se cumple:
En la figura ∆AOB y ∆COD presentan un ángulo interior opuesto por el vértice.
Se cumple :
En la figura se cumple :
En la figura, P es un punto inferior al ∆ABC, se cumple :
p : perímetro de la región ABC B y x A z C B A C c a b B A C c a b B D A C x x B C A D y O B x C A D y P A B C x = + + + = x + y x + y = + p < PA + PB + PC < 2p
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
(Propiedades Básicas y Clasificación) NIVEL 1 1. Calcular “x”, si : AD = BD BE = EC a) 30º b) 10º c) 18º d) 72º e) 36º 2. Calcular “x” a) 110º b) 130 c) 100 d) 120 e) 150 3. Calcular “x” a) 15º b) 20º c) 30º d) 45º e) 60º
4. Calcular el menos valor entero de “x” Si : el ∢ABC el agudo : Además : 2 1 L L a) 46º b) 47º c) 44º d) 98º e) 89º
5. Determinar el menor ángulo interno de un triángulo, sabiendo que las medidas de los ángulos externos forman una progresión aritmética de razón 30º.
a) 15º b) 30º c) 60º
d) 90º e) 120º
NIVEL 2
6. En un triángulo ABC, isósceles que se muestra (AB = BC) y se sabe que el triángulo PQR es equilátero. Calcular “x”. a) 50º b) 55º c) 60º d) 65º e) 70º 7. En la figura : L1 L2 Si : AB = BC, Calcular “” a) 100º b) 140º c) 130º d) 120º e) 150º 8. Calcular “x” Si : AD = AR ; AP = DR a) 15º b) 30º c) 45º d) 75º e) 60º
9. Si la diferencia de las medidas de 2 ángulos exteriores de un triángulo es igual al complemento de la medida del ángulo interior ubicado en el tercer vértice. Hallar la medida de un ángulo interno del triángulo.
a) 30º b) 45º c) 60º d) 75º e) 90º 10. De la figura, calcule “x + z” a) 110º b) 280º c) 220º d) 240º e) 320º 2xº xº A D E C B 120º x +20º xº xº 2º º A C B xº L2 L1 E º º 50º 70º R A C P Q B 80º º O L1 L2 Q P A C B D P R A zº xº º º º º 40º º º xº
NIVEL 3
11. Del gráfico, calcular ”x” a) 40º b) 70º c) 60º d) 50º e) 55º 12. En la figura : AP = PS y BM = BN Calcular “x” a) 10º b) 15º c) 30º d) 35º e) 37º
13. Del gráfico, calcular “x” a) 10º
b) 20º c) 40º d) 45º e) 50º
14. En la figura, el ∆ABC, gira mantenido un lado en la recta “L”, si A’ y A’’, son las posiciones de A. Calcule la medida del ángulo que determinan AA ' y la bisectriz interior del ángulo de vértice A’’.
a) 45º + º b) 90º + º c) 90º + 2 º d) 90º + 2º e) 90º + 2 º 3
15. En un triángulo equilátero ABC. Se ubica “M” en AC , desde el cual se traza MN perpendicular a AB . (“N” es AB ). Luego se ubica en “P” en la región exterior y relativa a BC , tal que :
BC NP =
S y m∢BNS = m∢NMP. Calcular la m∢NPM: a) 30º b) 60º c) 45º d) 75º e) 90ºTAREA DOMICILIARIA Nº4
NIVEL 1 1. Calcular “x” a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 60º 2. Calcular “x” a) 90º b) 60º c) 45º d) 20º e) 10º 3. Calcular “x” a) 170º b) 150º c) 115º d) 120º e) 100º 4. Calcular “x”. a) 85º b) 65º c) 55º d) 45º e) 35º 5. Calcular “xº + yº + zº” a) 120º b) 135º c) 270º d) 90º e) 180º 40º º º º º º º xº A P B N M S C Q xº 45º 60º 100º º º xº º º º º A C A’ B A’’ L’ º º 40º xº º º 20º xº xº xº xº 70º º º º º xº º º 170º xº 60º º º º º º xº yº zº º º ºNIVEL 2
6. En un triángulo ABC, AC = 10. Calcule el mínimo valor entero del perímetro de la región triangular ABC.
a) 5 b) 10 c) 20
d) 21 e) 11
7. En la figura. Calcule (xº - yº) a) 28º
b) 30º c) 32º d) 34º e) 36º
8. El perímetro de un triángulo rectángulo es 36. Calcular el mínimo valor entero de la hipotenusa.
a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
c) 14
9. En un ∆ABC, AB = 9, BC = 12 y m∢BAC + m∢BCA < 90º. Calcular la diferencia de los valores enteros máximo y mínimo que puede tomar AC .
a) 7 d) 4 b) 6 e) 3 c) 5 10. En el gráfico, AB = BC = CD Calcule “x” a) 50º b) 70º c) 110º d) 130º e) 140º NIVEL 3 11. En el gráfico calcule “x” a) 10º b) 15º c) 20º d) 25º e) 35º 12. En el gráfico, calcule “ º º ” a) 3 b) 1 c) 1/2 d) 1/3 e) 2 13. Calcular “x” , si : AM = MC a) 145º b) 120º c) 115º d) 110º e) 130º
14. Dado el triángulo ABC. Calcular “x”; si : AD = 4, BD = 3 a) 14 b) 10 c) 7 d) 4 e) 3
15. Del gráfico, calcule “x + y”. Si la región sombreada tiene perímetro mínimo.
a) º + º d) 360º-(º + º) b) 3 2(º + º) e) 180º - 2 º º c) 2 3(º + º) 58º º º º xº º º yº 40º C E B A xº D 2º º º 20º º xº º º º º A M H N C º º º 2º º º º º C A M B D A C B 2º º B P A R O Q yº xº º