4. La difracción escalar y soluciones de propagación

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4. La difracción escalar y soluciones de propagación

Tal vez la tarea más fundamental asociado con óptica de Fourier es describir la evolución de un campo óptico que se propaga desde una ubicación a otra.

El fenómeno de difracción subyace en el comportamiento de las ondas que se propagan. Extensa teoría desarrollada para la difracción proporciona la base para el modelado de propagación óptica computacional. Este capítulo es esencialmente un resumen de la teoría de difracción escalar con una lista de las expresiones utilizadas comúnmente en la actualidad para describir la difracción óptica de luz monocromática. La presentación sigue de cerca el desarrollo de difracción por Goodman. Más detalles se pueden encontrar en esa referencia, así como en otras. En este capítulo se establece el escenario para los métodos informáticos de simulación de propagación óptica que se describe en el capítulo 5.

4.1 La difracción escalar

La difracción se refiere al comportamiento de una onda óptica cuando se limita su extensión lateral; por ejemplo, por una abertura. Se explica el hecho de que los rayos de luz no siguen trayectorias rectilíneas estrictamente cuando la onda es distribuida en sus fronteras. En nuestra experiencia cotidiana rara vez notamos los efectos de difracción de la luz. Los efectos de reflexión (de un espejo), o refracción (debido a una lente) son mucho más evidente. De hecho, los efectos de difracción se vuelven más evidentes cuando el tamaño de confinamiento es del orden de la longitud de onda de la radiación. Sin embargo, la difracción juega un papel en muchas aplicaciones ópticas y es una consideración crítica para aplicaciones que implican alta resolución, tales como imágenes astronómicas, o en grandes distancias de propagación tales como el radar láser, y en aplicaciones que involucran estructuras pequeñas tales como en los procesos de fotolitografía.

El comportamiento de la propagación de una onda óptica se rige fundamentalmente por las ecuaciones de Maxwell. En general, existe

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acoplamiento entre las componentes (Ex, Ey, Ez) del campo eléctrico E y las del campo magnético H con componentes (Hx, Hy, Hz) de la onda . También hay acoplamiento entre los componentes individuales del campo eléctrico, así como entre las componentes magnéticas. Sin embargo, considerando una onda que se propaga en un medio dieléctrico que es lineal (pueden resumirse como magnitudes de campo desde fuentes separadas), isotrópico (independiente de la polarización de la onda, es decir, las direcciones de E y H), homogénea (la permitividad del medio es independiente de la posición), no dispersivo (la permitividad es independiente de la longitud de onda), y no magnético (la permeabilidad magnética es igual a la permeabilidad de vacío).

En este caso, las expresiones de vectores de Maxwell desacoplado, y el comportamiento de cada componente de los campos eléctricos o magnéticos pueden ser expresadas de forma independiente de los otros componentes.

La difracción escalar se refiere al comportamiento de la propagación de la luz en esta situación ideal.

La larga lista de supuestos para el medio sugiere un régimen de aplicación bastante limitado para la teoría de difracción escalar. Sin embargo, la difracción escalar claramente se puede utilizar para describir la propagación en el espacio libre óptico (FOE), que se refiere a la transmisión a través del espacio o de la atmósfera y abarca un gran número de aplicaciones interesantes como lidar, proyección de imagen, y las comunicaciones por láser. Además, para muchos problemas que afectan a los medios de propagación menos benigno, las soluciones escalares pueden proporcionar una aproximación razonable de los principales efectos de la propagación y establecer una base para la comparación con los resultados completos del vector. Todos los desarrollos y aplicaciones de este documento presuponen difracción escalar.

4.2 Campos monocromáticos e irradiación

Algunos de los términos y definiciones relacionados con campos ópticos son necesarios en este momento. Un monocromático (de una sola frecuencia)

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campo escalar de propagación en medio anisotrópico se puede expresar como

 ,  cos 2   (4.1)

u P t A P vt P

donde A (P) es la amplitud y ϕ (P) es la fase en una posición P en el espacio (x, y, z de coordenadas) y v es la frecuencia temporal. Esta expresión modela la propagación de un campo óptico (eléctrico) transversal de una sola polarización.

Luz monocromática proporciona la base para nuestros enfoques analíticos y de simulación computacional aproximado por la teoría de la difracción. Una verdadera fuente de luz monocromática es también coherente. La coherencia se refiere a la correlación de la fase del campo óptico en dos puntos diferentes en el campo separados por el tiempo y / o espacio y que permite la formación de interferencia en un sentido promediada en el tiempo. Aunque algunos láseres pueden producir radiación casi monocromática, luz monocromática se puede lograr verdaderamente. Pero, como se analiza en los Capítulos 7 y 9, la extensión de los resultados monocromáticos a la radiación policromática, así como la radiación parcialmente coherente e incoherente, puede ser sencillo en muchos casos útiles (... afortunadamente!).

Para dar un ejemplo, una forma específica de la ecuación. (4.1) correspondiente a una onda plana que se propaga en la dirección z sería

 z, cos 2 , (4.2)

u t A vtkz

donde el número de onda k se define como

2 / (4.3)

k  

y donde λ es la longitud de onda en vacío. Además, v = c / λ, donde c es la velocidad de la luz en el vacío. Esta onda no tiene dependencia de x e y y, por lo tanto, se interpreta como que se extiende infinitamente en estas direcciones.

(4)

Si el campo de la ecuación. (4.1) se propaga en un medio lineal (que se supone para la difracción escalar), la frecuencia temporal del campo resultante se mantendrá sin cambios; Por lo tanto, no es necesario llevar explícitamente el término temporal. Además, la sustitución de una forma fasorial compleja para la función coseno proporciona un resultado válido de propagación y ayuda en la manipulación matemática. Estos cambios conducen a una función que describe simplemente la distribución espacial del campo asi:

   exp   (4.4)

U P A P i P

Esta forma de fasor complejo del campo óptico se utiliza extensamente en nuestros desarrollos analíticos y de simulación. A modo de ejemplo, la forma fasorial de la ecuación (4.2) es

  exp

 

(4.5)

U z A ikz

Las descripciones de las ecuaciones. (4.1) y (4.4) están relacionados por

 , Re

 exp2

, (4.6)

u P t U P i vt

donde Re indica la parte real y el fasor complejo exp (- j2πv t) se introduce para el componente temporal del campo. Para perfeccionar la ecuación.

(4.4), la dependencia explícita de la posición z se puede quitar, donde se supone que z es la dirección fundamental de propagación. Así,

     

1 . 1 , exp 1 , , (4.7)

U x y A x y i x y

Indica el campo en el plano x-y localizado en alguna posición "1" en el eje z.

Actualmente no existen detectores que pueden seguir las extremadamente oscilaciones de alta frecuencia (> 1014 Hz) del campo eléctrico óptico. En lugar de ello, los detectores ópticos responden a la magnitud al cuadrado promediado en el tiempo del campo. Por lo tanto, una cantidad considerable de interés es la irradiancia, que se define aquí como

 , 1   . 1 . 1 . 2 (4.8) I x y U x y U x y U x y

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Irradiancia es un término radiométrico para el flujo (vatios) por unidad de área que cae en el plano de observación. Es una cantidad de densidad de potencia que en otras referencias deóptica de Fourier y láser se denomina

"intensidad". La expresión (4.8) representa en realidad un acceso directo para la determinación de la magnitud al cuadrado promediada en el tiempo del campo y es válido cuando el campo está modelado por una fasor complejo.

En una nota teneduría de libros, dado que A1(x, y) es la amplitud del campo eléctrico, con unidades típicas de voltios / m, a continuación, para obtener el valor de la irradiación correspondiente con las unidades de vatios / m2 el lado derecho de la ecuación. (4.8) tiene que ser multiplicada por la constante 1 / (2η) donde η es la impedancia característica del medio (η = 377Ω, para el vacío). Puesto que somos los más interesados en la forma espacial relativa del campo, esta constante se suele caer en nuestras discusiones.

4.3 Longitud del camino óptica y la Representación de la fase del campo El índice de refracción n de un medio es la relación de la velocidad de la luz en el vacío a la velocidad en el medio. Por ejemplo, un vidrio típico utilizado para la luz visible puede tener un índice de aproximadamente 1,6. Para luz que se propaga una distancia d en un medio de índice n, la longitud del camino óptico (OPL) se define como

(4.9)

OPLnd

La OPL multiplicada por el número de onda k se muestra en la fase de la exponencial compleja utilizada para modelar el campo óptico. Piense en k como el "conversor" entre la distancia abarcada por una longitud de onda y 2π rad de la fase. Por ejemplo, en la expresión de onda plana de la ecuación.

(4.2), z es la OPL, donde se supone que la propagación se da en el vacío; Por lo tanto, n = 1. El término kz da el número de radianes en la fase sinusoidales que el campo ha progresado a lo largo de esta distancia. Exponenciales complejas y Sinusoidales son entidades que tienen módulo 2π; Por lo tanto,

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sólo la fase relativa entre 0 y 2π tiene significado. Si la onda plana se propaga a una distancia d a través de una pieza de vidrio con el índice n, entonces la OPL es como se indica en la ecuación. (4.9), y la representación del campo fasorial es

  exp  (4.10)

U d A iknd

En efecto, la longitud de onda se acorta a λ / n en el vidrio. Hay otras variaciones de este tema; por ejemplo, exp ikr  , donde r es una distancia radial en el vacío.

Formas de fasores asociados con el campo óptico también puede ser una función de las posiciones transversales x e y; por ejemplo,

2 2

exp (4.11)

2

i k x y z

Esto se conoce como un término "chirp" (ver Apéndice A) e indica un cambio de fase del campo con el cuadrado de la posición transversal. Este tipo de término aparece en una variedad de situaciones de modelamiento, contrayendo o expandiendouncampo óptico. Un ejemplo del perfil 1D de la fase de la ecuación. (4.11) se representa en la Fig. 4.1.

Figura 4.1 : Perfil de fase en el eje x de la función chirp de la ecuación. (4.11).

Un concepto importante es la salida y el retraso de fase. El fasor temporal

 

exp i2vt definido en la ecuación. (4,6) indica que la fase del campo óptico se hace más negativa cuando el tiempo avanza. Por lo tanto, decimos que la

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fase en el centro del perfil en la Fig. 4.1 lleva el resto de la función ya que tiene el valor "más negativo". Cuanto más lejos del centro, más la fase se retrasa. Interpretamos la fase como una representación de un frente de onda óptica, el centro de la cresta de la onda en la Fig. 4.1 lleva los bordes, y la onda se puede imaginar "propagándose hacia baja" en la Fig. 4.1. Además interpretación física de la fase óptica se discute en la Sección 5.3.

4.4 Soluciones Analítica de difracción 4.4.1 I Solución: Rayleigh-Sommerfeld

Consideremos la propagación de la luz monocromática de un plano 2D (plano fuente) indicado por las variables de las coordenadas y (Fig. 4.2). En el plano fuente, un área define la extensión de una fuente o una abertura iluminada. La distribución de campo en el plano fuente está dada por U1 ,  , y el campo U2 x y, en un plano de observación distante puede predecirse utilizando la primera solución de difracción de Rayleigh-Sommerfeld

     12

2 1 2

12

, z , exp ikr (4.12)

U x y U d d

i   r  



Aquí, λ es la longitud de onda óptica; k es el número de onda, que es igual a 2π / λ para el espacio libre; z es la distancia entre los centros de la fuente y la observación en los sistemas de coordenadas; y r12 es la distancia entre una posición en el plano fuente y una posición en el plano de observación. y son las variables de integración ,y los límites integrales corresponden al área de la fuente . Con la fuente y la posición de observación definidos en planos paralelos, la distancia r12 es,

  22

2

12 (4.13)

r z x y

La expresión (4.12) es una afirmación del principio de Huygens-Fresnel. Este principio supone que la fuente actúa como una colección infinita de fuentes puntuales ficticias, cada una produce una onda esférica asociado con el

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actual campo de fuente en cualquier posición   , . Las contribuciones de estas ondas esféricas se suman en la posición de observación (x, y), lo que permite la interferencia. La extensión de las ecuaciones. (4.12) y (4.13) en las geometrías no plana es directa; por ejemplo, que implica una función más complicada para r, pero la geometría plana es más comúnmente encontrada, y este es nuestro enfoque aquí.

Figura 4.2 .Geometría de la propagación entre los planos paralelos de la fuente y la observación

La expresión (4.12) es, en general, una superposición integral, pero con las áreas de la fuente y observación definidas en planos paralelos, se convierte en una integral de convolución, que puede ser escrito como

     

2 , 1 , , (4.14)

U x y



U   h x y  d d

donde la forma general de la respuesta de impulso de Rayleigh-Sommerfeld es

   

2

, z exp ikr (4.15)

h x y

i r

y

2 2 2

(4.16) r z x y

Aplicando el teorema de convolución de Fourier, la ec(4.14) la podemos escribir como

  1

 

 

 

 

 

2 , 1 , , (4.17)

U x y    U x y h x y

(9)

Por esta convolución interpretamos que las variables de la fuente y del plano de observación están simplemente re-etiquetadas como x e y. Una expresión equivalente a la ecuación. (4.17) es

  1

 

 

   

2 , 1 , x, y (4.18)

U x y    U x y H f f

donde H es la función de transferencia de Rayleigh-Sommerfeld dado por

f , fx y

exp 1 x2

 

y 2 (4.19)

H ikz f f

Estrictamente hablando, fx2 fy2 1/ debe ser satisfecha para la propagación de las componentes del campo. Un análisis de espectro angular se utiliza a menudo para derivar la ecuación. (4,19).

La expresión de Rayleigh-Sommerfeld es la solución más precisa de difracción considerada en este libro. Aparte de la suposición de difracción escalar, esta solución sólo requiere que r >>λ , la distancia entre la fuente y la posición de observación, sea mucho mayor que una longitud de onda.

4.4.2 La aproximación de Fresnel

En la raíz cuadrada de la relación de distancia de la ecuación. (4.13) o (4.16) se puede realizar difícil manipulaciones analíticas en la solución de Rayleigh- Sommerfeld y añadir el tiempo de ejecución para una simulación computacional. Mediante la introducción de aproximaciones para estos términos, se desarrolló una forma de difracción escalar más conveniente.

Considere la expansión binomial

2 1 1 2

1 1 ... (4.20)

2 8

b b b

 

donde b es un número menor que 1, entonces expandiendo la Eq. (4.13) y manteniendo a los dos primeros términos obtenemos

2 2

12

1 1

1 (4.21)

2 2

x y

r z

z z

(10)

Esta aproximación se aplica al término de distancia en la fase de la exponencial de la ecuación. (4.12), que equivale a suponer una onda de radiación parabólica en lugar de una onda esférica para las fuentes de puntos ficticios. Por otra parte, usando la aproximación r12 z en el denominador de la ecuación. (4.12) llegamos a la expresión de difracción de Fresnel:

      22

2 , 1 , exp (4.22)

2

eikz k

U x y U i x y d d

i z   z  



Esta expresión es también una convolución de la forma de la ecuación. (4.14), donde la respuesta de impulso es

,exp

2 2

(4.23)

2 eikz ik

h x y x y

i z z

y la función de transferencia es

x, y

ikzexp

x2 y2

(4.24)

H f f e iz f f

Las expresiones en las ecuaciones. (4.17) y (4.18) son más aplicables en este caso, para el cálculo de los resultados de difracción.

Otra forma útil de la expresión de difracción de Fresnel se obtiene moviendo el término de fase cuadrática que es una función de x e y fuera de las integrales:

   

 

 

 

2 2

2

2 2

1

, exp exp

2

, exp exp 2 (4.25)

2

ikz k

U x y i x y

i z z

U i k i x y d d

z z

   



Junto con la amplitud y la chirp factores multiplicativos de en frente, esta expresión es nuevamente una transformada de Fourier del campo fuente en función de la chirp, donde se utilizan las siguientes sustituciones de variables de frecuencia para la transformación:

, . (4.26)

x y

f f

z z

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La precisión de la expresión de Fresnel en el modelado de difracción escalar a cortas distancias, padece como consecuencia de las aproximaciones involucradas. Al permitir un cambio de fase máximo de 1 rad [debido a la caída de los términos b2 / 8 y por encima de la serie de la ecuación. (4.20)], derivamos la siguiente condición:

  22 2

3

max

, (4.27)

z 4 x y



donde la notación "max" indica el valor máximo que es de interés para una geometría plana entre la fuente y la observación dada.

El criterio de la ecuación. (4.27) proporciona una condición bien definida, donde la aproximación de Fresnel se puede aplicar con poca pérdida de exactitud. Sin embargo, para los campos en el plano Fuente con poca variación espacial, tales como una simple abertura retro- iluminada por una onda plana, la aproximación de Fresnel puede proporcionar una alta precisión incluso cuando la ecuación. (4.27) se viola. Un criterio más flexible es el número de Fresnel, que se utiliza comúnmente para determinar cuando la expresión de Fresnel se puede aplicar. El número de Fresnel está dada por

2

, (4.28)

F

N w

z

donde w es la anchura media de una abertura cuadrada en el plano Fuente, o el radio de la abertura circular, y z es la distancia al plano de observación. Si NF es menor que ≈ 1 para un escenario dado, entonces, se acepta comúnmente que el plano de observación está en la región de Fresnel, donde las aproximaciones de Fresnel, por lo general, conducen a resultados útiles.

Sin embargo, para los campos "relativamente suaves" sobre la abertura de Fuente, la expresión de Fresnel puede ser aplicado hasta incluso el número de Fresnel de 20 o 30. En un contexto de la óptica geométrica, la expresión de Fresnel describe la difracción bajo el supuesto paraxial, donde sólo los rayos que hacen un ángulo pequeño (< ~ 0,1 rad) con relación al eje óptico se consideran.

(12)

4.4.3 La aproximación de Fraunhofer

La difracción de Fraunhofer, que se refiere a los patrones de difracción en un régimen que se conoce comúnmente como el "campo lejano", se llega matemáticamente multiplicando el campo inicial dentro de la integral de la ecuación. (4.25) mediante la aproximación del término chirpcomo unidad. El supuesto involucrado es

2 2

, (4.29)

2 z k



y resulta en la expresión de difracción de Fraunhofer:

   

 

   

2 2

2

1

, exp exp

2

, exp 2 (4.30)

ikz k

U x y i x y

i z z

U i x y d d

z

   



La condición de la ecuación. (4.29), típicamente, requiere distancias de propagación muy grandes en relación con el tamaño de la fuente de apoyo.

Sin embargo, una forma del patrón de Fraunhofer también aparece en el análisis de propagación con la participación de lentes. La expresión de difracción de Fraunhofer es una herramienta poderosa y encuentra uso en muchas aplicaciones, tales como propagación del haz láser, análisis de imágenes, y la espectroscopia.

Junto con los factores multiplicativos del frente, la expresión de Fraunhofer puede ser reconocida simplemente como una transformada de Fourier del campo de origen con las sustituciones de variables

, . (4.31)

x y

f f

z z

La expresión de Fraunhofer no puede ser escrita como una integral de convolución, así que no hay función de respuesta o de transferencia de impulso. Pero, ya que es una versión a escala de la transformada de Fourier del campo inicial, puede ser relativamente fácil de calcular, y como con la

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expresión de Fresnel, la aproximación de Fraunhofer se utiliza a menudo con éxito en situaciones donde la Eq. (4.29) no se cumple. Para las estructuras de fuentes simples como una abertura iluminada por una onda plana, el resultado de Fraunhofer puede ser útil incluso cuando la Ec. (4.29) se viola por más de un factor de 10, particularmente si la cantidad principal de interés es el patrón de radiación en el plano receptor. Utilizando el número de Fresnel NF, el requisito comúnmente aceptado para la región de Fraunhofer es NF << 1.

4.5 Ejemplo de difracción de Fraunhofer

Es extremadamente difícil (o “imposible”) encontrar soluciones de difracción de forma cerrada utilizando la expresión de Rayleigh-Sommerfeld para la mayoría de las aberturas. La expresión de Fresnel es más manejable, pero las soluciones siguen siendo complicada incluso para los casos simples, tales como una abertura rectangular iluminada por un plano wave. Así, cálculos con Fresnel o Rayleigh -Sommerfeld se dejan para la computadora en el siguiente capítulo. Analíticamente es más fácil el análisis de difracción de Fraunhofer y, para nuestros propósitos, sirve como un control sobre algunos de los resultados de la computadora.

Considere una abertura circular iluminada por una onda plano de amplitud unitaria. El campo complejo inmediatamente más allá del plano de apertura es

  2 2

1 , . (4.32)

U cir

w

 

Para encontrar el campo de la difracción de Fraunhofer, la transformada de Fourier se toma como

  2 1

2 2

1 2 2

2

, . (4.33)

J w f f

U w

w f f

 

(14)

Luego, con las sustituciones en la ecuación. (4.31), y la aplicación de los términos principales de amplitud y fase de la ecuación. (4.30), el campo se encuentra con

   

 

2 2

1

2 2 2

2

2 2

exp 2

, exp (4.34)

2 2

J w x y

ikz k z

U x y i x y w

i z z w x y

z

La irradiancia, usando la Ec. (4.8), es

 

2

2 2

2 2 1

2

2 2

2

, (4.35)

2

J w x y

w z

I x y

z w

x y z

 

Algunos de los términos w / λz podría ser cancelados, pero la simetría de esta forma es útil para la programación.

Vamos a ejercer MATLAB para visualizar este patrón de irradiancia.

Supongamos que w = 1 mm y λ = 0,633 μm (longitud de onda láser de He- Ne). La restricción del número de Fresnel requiere w2 / λz <0,1 ó z> 10w2 / λ, lo que conduce a la z> 15,8 m. Vamos a utilizar z = 50 m.

Ahora bien, para elegir algunos parámetros de malla. Un buen tamaño de visualización de la función es que la longitud del lado de la matriz sea quizá cinco veces más ancho que el lóbulo central del patrón. La función de Bessel J1 tiene un primer cero cuando el argumento es igual a 1.22π. Si y = 0, entonces el primer cero en el patrón se produce cuando

2 w 1, 22 . (4.36)

zx

Resolviendo para x obtenemos la mitad de la anchura central del lóbulo y con el doble de este resultado obtenemos el ancho total del lóbulo central

(15)

1, 22 . (4.37)

lobo

D z

w

Vamos a elegir L = 5 x 1.22λz / w ≈ 0,2 m.

Ahora un poco de código. Es útil hacer una primera función que se encarga de la relación de la función de Bessel. En un nuevo archivo-M (llamado "mal de ojo") entre lo siguiente:

1 function[out]=jinc(x);

2 %

3 % jinc function 4 %

5 % J1(2*pi*x)/x 6 % divide by zero fix 7 %

8 % locate non-zero elements of x 9 mask=(x~=0);

10 % initialize output with pi (value for x=0) 11 out=pi*ones(size(x));

12 % compute output values for all other x

13 out(mask)=besselj(1,2*pi*x(mask))./(x(mask));

14 end

Esta función evalúa J1(2πx) / x. Un condición de enfoque de enmascaramiento se utiliza para evitar la división por cero cuando x = 0. El código de enmascaramiento puede parecer una manera indirecta de hacer las cosas, sino que permite la entrada x como un vector o una matriz. En la

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línea 9, la máscara matriz recoge la dimensión de X y toma un valor de 1 para cualquier elemento donde x es distinto de cero (~ = significa ≠). En la línea 11, la salida(out) se inicializa con la dimensión de x, ones llena la matriz con 1s, y π es el valor de la función para x = 0. A continuación, se aplica la indexación lógica de salida (mask) y x (mask) para evaluar la función de todos los elementos en los que la máscara es 1. Esto deja el valor de π para x = 0. La bessellJ (1, ...) es la función de Bessel de primera especie , el orden 1 llamada por MATLAB .

Al igual que con las funciones sinc, hay varias definiciones en la literatura para funciones "Jinc", y este libro pueden ser el único que utiliza esta variación particular. Así que ten cuidado, no todas las funciones Jinc son las mismas. Ahora, para el patrón de Fraunhofer. Nombre este archivo

"fraun_circ":

1 %fraun_circ - Fraunhofer irradiance plot 2

3 L=0.2; %side length (m) 4 M=250; %# samples

5 dx=L/M; %sample interval 6 x=-L/2:dx:L/2-dx; y=x; %coords 7 [X,Y]=meshgrid(x,y);

8

9 w=1e-3; %x half-width

10 lambda=0.633e-6;%wavelength 11 z=50; %prop distance

12 k=2*pi/lambda; %wavenumber 13 lz=lambda*z;

(17)

14

15 %irradiance

16 I2=(w^2/lz)^2.*(jinc(w/lz*sqrt(X.^2+Y.^2))).^2;

17

18 figure(1) %irradiance image 19 imagesc(x,y,nthroot(I2,3));

20 xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');

21 colormap('gray');

22 axis square;

23 axis xy;

24

25 figure(2) %x-axis profile 26 plot(x,I2(M/2+1,:));

27 xlabel('x(m)'); ylabel('Irradiance');

Figura 4.3 irradiancia de Fraunhofer (a) patrón de imagen y (b) el perfil en el eje x para una abertura circular. Esto se conoce como el patrón de Airy.

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Aquí hay algunos comentarios en esta rutina con los números de línea asociados:

(a) Línea 6: El subíndice 2 se deja fuera en los nombres de las coordenadas por simplicidad.

(b) Línea 9: La notación científica se puede hacer de varias maneras: e-3 y 10

^ - 3 que significan lo mismo. No utilice el símbolo ^ en la e notación exponencial!

(c) Línea 16: se llama la función Jinc.

(d) Línea 19: 3ª raíz se utiliza para llevar a cabo los "anillos" en la pantalla de imagen.

La ejecución del script produce los resultados en la Fig. 4.3. El patrón de Fraunhofer de una abertura circular se conoce comúnmente como el patrón de Airy. El núcleo central de este modelo, cuya anchura es dada en la ecuación. (4.37), es conocido como el disco de Airy.

Figure

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