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INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICA INDUSTRIAL SAN ANTONIO DE PADUA GUÍA DE APRENDIZAJE AUTÓNOMO

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Academic year: 2022

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(1)

Aprobación de estudios Nivel Pre -Escolar, Nivel Básica y Media Académica según Acuerdo 0046 de Julio 14 de 2006 Resolución 0580 de diciembre 07 de 2009 Otorgada por el Ministerio de Educación Nacional.

Resolución 0580 de diciembre 07 de 2009 Otorgada por el Ministerio de Educación Nacional.

CONCEPTUALIZACIÓN (Lo que debes saber sobre el tema)

Parábola

La Parábola es una curva abierta formada por dos líneas simétricas respecto de un eje y en que todos sus puntos están a la misma distancia del foco (punto fijo) y de la directriz (recta perpendicular al eje).

La parábola es una curva que tiene una gran importancia en Física y que se ajusta a la descripción o a la representación matemática de muchos fenómenos, también tiene importancia en nuestra vida cotidiana y, aunque muchas veces no nos fijemos o no seamos conscientes de ello, tenemos muchas parábolas a nuestro alrededor.

Por ejemplo:

Cualquier cuerpo lanzado al aire de forma oblicua u horizontal describe un movimiento parabólico bajo la acción de la gravedad. Por ejemplo es el caso de una pelota que se desplaza botando.

ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA Foco: Es el punto fijo.

Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.

Eje de simetría (focal): Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

Directriz: Es la recta fija perpendicular al eje de simetría (focal).

Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz.

Eje de simetría (focal): Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

GUÍA DE APRENDIZAJE AUTÓNOMO

Asignatura: Geometría Grado: 10°

Ciclo 1

Fecha

Inicio: 17/08/2021 Fecha

Fin: 03/092021 Aprendizaje

(Tema) Parábola

Objetivo de Aprendizaje

Reconocer, resolver y asumir las propiedades de figuras geométricas que se involucran en los procesos de medición.

DBA Explora y describe las propiedades de los lugares geométricos y de sus transformaciones a partir de diferentes representaciones.

(2)

Aprobación de estudios Nivel Pre -Escolar, Nivel Básica y Media Académica según Acuerdo 0046 de Julio 14 de 2006 Resolución 0580 de diciembre 07 de 2009 Otorgada por el Ministerio de Educación Nacional.

Lada recto: Es el segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz.

Ecuación reducida de la parábola

Cuando la parábola tiene como vértice el origen , ocurre lo siguiente con su ecuación:

1. y

2

= 4px V= (0,0)

Abre hacia la derecha Foco F(p,0)

Directriz x= -p

2. y

2

=- 4px

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Resolución 0580 de diciembre 07 de 2009 Otorgada por el Ministerio de Educación Nacional.

V= (0,0)

Abre hacia la izquierda Foco F(-p,0)

Directriz x= p 3. x

2

= 4py V=(0,0)

Abre hacia arriba Foco F(0,P) Directriz x= -p

4. x

2

=- 4py V= (0,0)

Abre hacia abajo Foco F(0,-P) Directriz x= p

Representa la medida del lado recto o LR. Es la distancia que hay del vértice al foco y del vértice a la directriz.

Encuentra elementos de la parábola

1 En base a la ecuación de las siguientes parábolas determina las coordenadas de sus focos, ecuaciones de sus directrices, distancia de sus lados rectos y la gráfica.

Ejemplo 1. y

2

= 2x

Identificamos el valor de p 4p = 2 p = 2/4 , p = 1/2 V= (0,0)

Abre hacia la derecha

Foco F(1/2 , 0)

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Aprobación de estudios Nivel Pre -Escolar, Nivel Básica y Media Académica según Acuerdo 0046 de Julio 14 de 2006 Resolución 0580 de diciembre 07 de 2009 Otorgada por el Ministerio de Educación Nacional.

Directriz x= -1/2

LR= │4P│→ LR= │4(1/2)│→ LR = 2 Finalmente graficamos

ACTIVIDAD De acuerdo al información responder las preguntas 1 a la 3 Dada la siguiente parábola

x

2

= -8y

1. El foco de la parábola está determinado por:

a.

Foco F(0,-2)

b.

Foco F(0,-4)

c.

Foco F(0,4)

d.

Foco F(0,2)

2.

La directriz que satisface la parábola es a. y=3

b. y=-3

c. y=-4

d. y=2

(5)

Resolución 0580 de diciembre 07 de 2009 Otorgada por el Ministerio de Educación Nacional.

3. El parámetro de la parábola corresponde a a. 4

b. 5 c. 2 d. -2

4. Si la ecuación de una parábola es x2 = 8y. calcular las coordenadas del vértice, foco, LR y la directriz.

7. Dada la parábola y2 = -8x, calcular su vértice, foco eje de simetría y directriz.

AMPLIA TUS CONOCIMIENTOS https://www.youtube.com/watch?v=VI5pgAzVJLI

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Aprobación de estudios Nivel Pre -Escolar, Nivel Básica y Media Académica según Acuerdo 0046 de Julio 14 de 2006 Resolución 0580 de diciembre 07 de 2009 Otorgada por el Ministerio de Educación Nacional.

CONCEPTUALIZACIÓN (Lo que debes saber sobre el tema) ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN

Siempre que se trate de deducir la ecuación de una curva es necesario observar cuidadosamente las propiedades que cumplen sus puntos. Para deducir la ecuación de la parábola tendremos en cuenta lo siguiente:

Dado el foco y su directriz, elegimos un sistema de coordenadas de tal manera que la directriz sea horizontal, el eje de simetría coincida con uno de los ejes coordinados (en este caso hemos escogido el eje y) y el origen esté a la mitad de la distancia entre el foco y la directriz. Llamamos p a la distancia entre el foco y el origen (p > 0), de modo que la distancia entre el origen y la directriz también es P.

Ejemplo

1. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, cuyo foco es el punto F (O,3) y la directriz es paralela al eje x. Grafiquemos la parábola.

Como el foco está sobre el eje y (F(0,3)), y el vértice está en el origen, entonces:

La parábola correspondiente tiene la forma de la ecuación x2=4py con p=3, se tiene:

X2=4(3) y X2=12y

Para graficar esta parábola, primero marcamos el vértice V(0,0) y luego colocamos otro par de puntos sobre está:

GUÍA DE APRENDIZAJE AUTÓNOMO

Asignatura: Geometría Grado: 10°

Ciclo 2

Fecha

Inicio: 06/09/2021 Fecha

Fin: 24/09/2021 Aprendizaje

(Tema) Ecuación de la Parábola

Objetivo de Aprendizaje

Reconocer, resolver y asumir las propiedades de figuras geométricas que se involucran en los procesos de medición.

DBA Explora y describe las propiedades de los lugares geométricos y de sus transformaciones a partir de diferentes representaciones.

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Resolución 0580 de diciembre 07 de 2009 Otorgada por el Ministerio de Educación Nacional.

Si y=3, entonces:

X2=12(3) X2=36 X=±6

Así los puntos (6,3) y (-6,3) están situados sobre la parábola.

2. Determinar el foco y la directriz de la parábola:

2

3 1

x y

Para una parábola dada de la forma x2=4py sabemos que la ecuación de la directriz es y=-p y el foca es (0, p), por lo que necesitamos identificar p.

Podemos escribir la ecuación

2

3 1

x y

en la forma x2=4py despejando x2:

y x

x y

x y

3 1 3

3 1

2

2 2

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Aprobación de estudios Nivel Pre -Escolar, Nivel Básica y Media Académica según Acuerdo 0046 de Julio 14 de 2006 Resolución 0580 de diciembre 07 de 2009 Otorgada por el Ministerio de Educación Nacional.

Comparamos esto con la ecuación x2=4py para identificar p x2=4py

x2=-3y

vemos que 4p=-3

p= 4

 3

por lo tanto el foco es F



 

  4 , 3 0

y la directriz es y=

4 3

, la gráfica queda de la siguiente manera.

3. Determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, simétrica con respecto al eje x, si su foco es F(3,0).

Dado que la parábola tiene su vértice en el origen y es simétrica con respecto al eje x, su ecuación será de la forma y2 4px.

Como tenemos que el foco es F(3,0), entonces p=3. Por lo tanto la ecuación pedida es:

Y2=4(3)

Y2=12x

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Resolución 0580 de diciembre 07 de 2009 Otorgada por el Ministerio de Educación Nacional.

4. Una parábola tiene su vértice en el origen, su eje focal es el eje x y pasa por el punto (-3,6) hallemos su ecuación y dibujemos su gráfica.

Como el vértice es (0,0) y el eje focal es el eje x, entonces la ecuación de la parábola es de la forma Y2=4px donde desconocemos el valor de p.

Puesto que la parábola pasa por el punto (-3,6), entonces sus coordenadas deben satisfacer la ecuación, por lo tanto:

62=4p(-3) 36= -12p

P=

12

36

P= -3 Luego, la ecuación de la parábola es:

Y2= - 12 x

Como p es negativo, entonces la parábola abre hacia la izquierda como lo muestra la figura.

ACTIVIDAD

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Aprobación de estudios Nivel Pre -Escolar, Nivel Básica y Media Académica según Acuerdo 0046 de Julio 14 de 2006 Resolución 0580 de diciembre 07 de 2009 Otorgada por el Ministerio de Educación Nacional.

AMPLIA TUS CONOCIMIENTOS

https://www.youtube.com/watch?v=4aUT3veUj4g

(11)

Resolución 0580 de diciembre 07 de 2009 Otorgada por el Ministerio de Educación Nacional.

CONCEPTUALIZACIÓN (Lo que debes saber sobre el tema)

Elipse.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cartesiano, cuya suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamaos focos, es constante y mayor que la distancia entre los focos.

Dados dos puntos F1 y F2 llamados focos, se denomina elipse al conjunto de puntos del plano tales que la suma de sus distancias a ambos focos es constante: A esa constante la llamamos 2a.

Consideremos que los focos son los puntos de coordenadas F1 (–c,0) yF2(c,0) con c>0, y el punto medio entre los focos, se denomina centro C(0,0). En el siguiente esquema se pueden visualizar estos elementos:

GUÍA DE APRENDIZAJE AUTÓNOMO

Asignatura: Geometría Grado: 10°

Ciclo 3

Fecha

Inicio: 27/09/2021 Fecha

Fin: 15/10/2021 Aprendizaje

(Tema)

Elipse.

Objetivo de Aprendizaje

Reconocer, resolver y asumir las propiedades de figuras geométricas que se involucran en los procesos de medición.

DBA Explora y describe las propiedades de los lugares geométricos y de sus transformaciones a partir de diferentes representaciones.

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Aprobación de estudios Nivel Pre -Escolar, Nivel Básica y Media Académica según Acuerdo 0046 de Julio 14 de 2006 Resolución 0580 de diciembre 07 de 2009 Otorgada por el Ministerio de Educación Nacional.

Si la distancia entre los focos es d(F1,F2)=2c, la condición para que sea una elipse es:

a >c >0

si elevamos al cuadrado a2 > c2

a la diferencia se le llama b2

a2 - c2 = b2

entonces a2 = c2 + b2

haciendo una deducción se llega a : x2 /a2 + y2 / b2 =1 ,a>b>0

Es la ecuación canónica de la elipse con centro (0,0) y eje focal y=0(eje x).

Si y=0: x2=a2 ⇒x = ±a ⇒V1,2=(±a,0) Si x=0: y2=b2⇒y=±b⇒V3,4 =(0,±b)

Estos cuatro puntos se denominan vértices de la elipse o a se denomina semieje mayor

o b es el semieje menor

o c es la semidistancia focal: (distancia del centro a un foco) o 2c es la distancia entre los focos

o Eje focal: es la recta que pasa por los focos, en este caso el eje x La gráfica representando todos estos elementos es la siguiente:

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Resolución 0580 de diciembre 07 de 2009 Otorgada por el Ministerio de Educación Nacional.

Ejemplo

Hallar vértices, focos, eje focal, graficar y calcular excentricidad de la siguiente elipse:

x2/4 + y2/10 = 1 Resolución

Calculemos los valores de a y b:

a2=10⇒a=√10 b2=4⇒b=2

Entonces podemos dar las coordenadas de los vértices:

V1(0,√10) ; V2 (0,–√10) ; V3 (2,0) ;V4 (–2,0)

Eje focal: es el eje y, porque el denominador de y2 es mayor que el denominador de x2. Para hallar las coordenadas de los focos necesitamos calcular c:

c2=a2–b2=10–4=,√6 F1(0,–√6) y F2(0,√6) Excentricidad de la elipse:

e=c /a=√6 /√10=√35 La gráfica es

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Aprobación de estudios Nivel Pre -Escolar, Nivel Básica y Media Académica según Acuerdo 0046 de Julio 14 de 2006 Resolución 0580 de diciembre 07 de 2009 Otorgada por el Ministerio de Educación Nacional.

ACTIVIDAD

1. ¿Cuál es la parte de la elipse que contiene al centro pero no a los focos ? a. Eje focal

b. Semieje c. Eje mayor d. Lado recto

2. Los vértices de la elipse equidistan de el a. El Centro

b. El semieje focal c. El eje menor d. Los vértices

3. La elipse es el lugar geométrico de puntos

a. Cuyo cociente de longitudes a dos puntos fijo es constante b. Cuya suma de longitudes a dos puntos fijos es constante c. Cuya diferencia de longitudes a dos puntos fijo es constante d. Cuyo producto de longitudes a dos puntos fijos es constante 4.

AMPLIA TUS CONOCIMIENTOS https://youtu.be/P-PhOy9F7S

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Resolución 0580 de diciembre 07 de 2009 Otorgada por el Ministerio de Educación Nacional.

CONCEPTUALIZACIÓN (Lo que debes saber sobre el tema)

Grafica de la Elipse.

La elipse la podemos encontrar de forma horizontal y de manera vertical, con pequeños cambios en sus ecuaciones finales. Comencemos con la elipse horizontal.

Elipse Horizontal

En una parábola horizontal el eje mayor coincide con el eje “X”.

Ecuación Canónica

GUÍA DE APRENDIZAJE AUTÓNOMO

Asignatura: Geometría Grado: 10°

Ciclo 4

Fecha

Inicio: 19/10/2021 Fecha

Fin: 05/11/2021 Aprendizaje

(Tema)

Grafica de la Elipse.

Objetivo de Aprendizaje

Reconocer, resolver y asumir las propiedades de figuras geométricas que se involucran en los procesos de medición.

DBA Explora y describe las propiedades de los lugares geométricos y de sus transformaciones a partir de diferentes representaciones.

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Aprobación de estudios Nivel Pre -Escolar, Nivel Básica y Media Académica según Acuerdo 0046 de Julio 14 de 2006 Resolución 0580 de diciembre 07 de 2009 Otorgada por el Ministerio de Educación Nacional.

Elipse Vertical

Ecuación Canónica

Ejemplo

canónica de la elipse:

En el denominador mayor “25” se encuentra justo debajo de la variable “x”, esta ecuación corresponde a una elipse horizontal.

Al tratarse de una elipse horizontal, podemos asumir que:

Obteniendo la raíz cuadrada de “a” y “b”, obtenemos:

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Resolución 0580 de diciembre 07 de 2009 Otorgada por el Ministerio de Educación Nacional.

Para obtener el valor de “c” , basta con realizar el siguiente cálculo:

Por lo que c = 3

Teniendo en cuenta estos puntos, es muy fácil obtener los elementos de la Elipse.

Obteniendo los Vértices V1 (5, 0) y V2 (-5, 0)

Obteniendo los Focos F1 (3, 0) y F2 (-3, 0)

Extremos del eje menor B1 (0, 4) y B2 (0, -4)

Obteniendo el Lado Recto

Excentricidad

Gráfica de la Elipse Horizontal

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Aprobación de estudios Nivel Pre -Escolar, Nivel Básica y Media Académica según Acuerdo 0046 de Julio 14 de 2006 Resolución 0580 de diciembre 07 de 2009 Otorgada por el Ministerio de Educación Nacional.

ACTIVIDAD

1. De acuerdo a la siguiente elipse

a. Hallar los elementos de la elipse b. Realizar su grafica

2. Dada la ecuación reducida de la elipse a. Hallar las coordenadas de los vértices

b. Determinar la coordenada de los focos c. Hallar la excentricidad

3.

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Resolución 0580 de diciembre 07 de 2009 Otorgada por el Ministerio de Educación Nacional.

AMPLIA TUS CONOCIMIENTOS https://youtu.be/P-PhOy9F7S

Referencias

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