NOTA: En todos los ejercicios se deberá justificar la respuesta explicando el procedimiento seguido en la resolución del ejercicio.

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(1)

NOTA:  En  todos  los  ejercicios  se  deberá  justificar  la  respuesta  explicando  el  procedimiento seguido en la resolución del ejercicio. 

CURSO 10 - 11

JUNIO – CURSO 10‐11 

1

    Aplicando  transformadas  de  Laplace,  hallar  la  función  y t( )  que  cumple  la  ecuación diferencial siguiente 

''( ) 5 '( ) 6 ( ) 3 ( ) y ty ty tsen t   con las condiciones iniciales:  y(0)0, y'(0)2.   

SEPTIEMBRE – CURSO 10‐11 

2

    Utilizando  razonadamente  las  propiedades  de  la  transformada  de  Laplace  y  la  tabla de transformadas, hallar la transformada de Laplace de la función  definida  así  f t

 

e2t 1

t

 , comprobando previamente que existe. 

 

3

    Aplicando  transformadas  de  Laplace,  hallar  la  función  y t( )  que  cumple  la  ecuación diferencial siguiente: 

 

'''( ) 3 '' 4 '( ) 2 ( ) 0 y ty ty ty t    con las condiciones iniciales:  y(0)1, y'(0)0, y''(0)4.   

CURSO 11 - 12 JUNIO – CURSO 11‐12 

(2)

3

    La solución general de la e.d.o.   '' 2 'yy   es de la forma, y 0

__  A) 

 

1 2 2

x x x

y xC eC x e e  

__  B) 

 

1 2

x x

y xC eC x e  

__  C) 

 

1 2

x x

y xC eC e  

__  D)  Ninguna de las anteriores.       

 

4

    a)  Hallar  la  transformada  de  Laplace  de  la  función    definida  así   

2

0

1

t e tt dt  , 

comprobando previamente que existe.         

b)  Sabiendo  que 

3

23

9 ( )

L sen t F s s

  ,  convergente  para  s  >  0.  Aplicar  las  propiedades de la transformada de Laplace para calcular  L t sen t

3

 

5

    Resolver  la  ecuación  diferencial  x''( )t  4 x t'( ) 3 x t( )cost,  utilizando  transformadas de Laplace y teniendo en cuenta las condiciones iniciales:   x(0)  =  1,  x’(0) = 0. 

 

6

    Resolver  la  ecuación  diferencial  lineal  siguiente:  x y ' 2y2x,  utilizando  el  método de variación de la constante.

 

SEPTIEMBRE – CURSO 11‐12 

7

    Hallar  la  ecuación  de  la  curva  que  pasa  por  el  punto  (0,1)  y  cumple  que  la  pendiente de la recta tangente en cualquier punto es el triple que la abscisa del  punto de contacto.   

(3)

8

    Hallar  la  transformada  de  Laplace  de  la  función

0 0

( ) 2 0 5

6 5

si t

f t si t

si t

 

,

utilizando  las  funciones  de  Heaviside  para  definir  f t( ) y,  posteriormente,  la  tabla de transformadas.       

 

9

    Resolver la ecuación diferencial x t''( )x t'( )2sen t, utilizando transformadas de  Laplace y teniendo en cuenta las condiciones iniciales:   x(0)0 , x'(0)1.   

10

    Resolver la ecuación diferencial siguiente   ' 2

1

3

1

y y x

x 

 

CURSO 12 - 13

JUNIO – CURSO 12‐13 

11

    Utilizando  la  tabla  de  transformadas  de  Laplace  y  las  propiedades  de  las  transformadas, calculamos la transformada de Laplace de la función 

    f t( ) 1 e 4t

t

   

e indicamos los valores de  s  para los cuales dicha transformada es convergente,  resultando: 

__ A)

 

F s 4

s

 , convergente  s 4.

__ B) F s

 

s

, convergente  s 4.

__ C)

 

F s 4

s

 , convergente   s 4.

(4)

__ D) Ninguna de las anteriores. 

 

12

    Utilizar transformadas de Laplace para resolver la ecuación diferencial lineal de  orden 2 y coeficientes constantes, 

' '( ) 2 '( ) 5 ( ) 2t

x tx tx te  

teniendo en cuenta que cumple las condiciones iniciales siguientes:   x(0) = 0,  x’ 

(0) = 1. 

 

13

    Hallar la solución general de la ecuación diferencial siguiente: 

4 6 x

x dy y x e

dx   

 

13

    Obtener la solución general de la siguiente ecuación diferencial lineal: 

1 2

'( ) 2 2

1 x y x x y x

   x

  

Solución: 2

2

2

1 1

( ) log 1

1 2 1

y x C x

x x

   

 

 

SEPTIEMBRE – CURSO 12‐13 

14

    Hallar las funciones x(t) e y(t) que resuelven el siguiente sistema de ecuaciones  diferenciales, utilizando obligatoriamente transformadas de Laplace 

   

' 1

'( ) 4 0 x t y t

y t x

      con las siguientes condiciones iniciales:   x(0) = y(0) = 0   

(5)

15

    Comprobar que la siguiente ecuación diferencial es homogénea y resolverla: 

dy y x

dx x y 

 

16

    Sabiendo  que  la  transformada  de  Laplace  de  la  función  f t

 

 t sen t  es 

2

2

( ) 2

1 F s s

s

,  señalar  cuál  de  las  siguientes  funciones  es  la  transformada  de  Laplace de la función g t

 

 t2 sen t

__  A) 

 

622 32

( 1) G s s

s

 

__  B) 

 

622 23

( 1) G s s

s

 

__  C) 

 

622 24

( 1) G s s

s

 

__ D) Ninguna de las anteriores. 

 

17

    Resolver  la  ecuación  diferencial  siguiente,  aplicando  el  método  general  de  resolución  de  ecuaciones  diferenciales  de  orden  n,  lineales  y  de  coeficientes  constantes: 

' '' 2 '' 3 ' 6 4 y y y y x   

CURSO 13 - 14 JUNIO – CURSO 13‐14 

(6)

18

    Dada la función    

 

0 0

2 1 0 1

1 1

si t

f t t si t

si t

 

, se pide: 

a) Demostrar  que  cumple  las  condiciones  suficientes  para  que  exista  su  transformada de Laplace. 

b) Hallar la abscisa de convergencia de  f t( )

c) Expresar  f t( )  utilizando  las  funciones  salto  o  funciones  de  Heaviside 

( )

U tc

d) Hallar la transformada de Laplace de  f t( ) utilizando las propiedades de  la transformada de Laplace y la tabla de transformadas.      

 

19

    Resolver  el  siguiente  sistema  de  ecuaciones  diferenciales,  aplicando  transformadas de Laplace   

         

       

' ' 3 1

2

' 2 ' 2 2

x t y t x t y t t

x t y t x t y t t

      

 

 

     

 

  ,  con  las  condiciones  iniciales:   

 

0 0,

 

0 0

xy   

Nota:  Se  recomienda  simplificar  al  máximo  los  resultados  antes  de  hallar  las  transformadas inversas de Laplace.         

 

20

    a) Hallar la solución general de la ecuación diferencial siguiente:    

2 3 3

3 dy

x y x y

dx  

b) Obtener  la  solución  particular  de  la  ecuación  diferencial  anterior  que  verifica la condición inicial:  y

 

1 2

 

(7)

21

    Sea la función f(t) cuya gráfica se muestra en la figura. Se pide:    

 

a) Expresar la función f(t) utilizando la función de Heaviside o función salto y hallar su transformada de Laplace.

b) Aplicando transformadas de Laplace en ambos miembros de la ecuación siguiente, donde la función f(t) que aparece en el miembro de la derecha es la función cuya transformada hemos calculado en el apartado a),

c)

0

'( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )

t

y t  y t  

y x dx  f t

hallar la función y(t) que cumple dicha ecuación, teniendo en cuenta la condición inicial y(0) = 1.

 

SEPTIEMBRE – CURSO 13‐14 

22

    Dada la función:    

0 0

( ) 0 2

2 2

si t

f t t si t

si t

 

. Se pide:       

a) Dibújala. 

b) Comprueba si  f(t) verifica las condiciones suficientes para que exista su  transformada de Laplace. 

c) c)  Expresa  f(t)  en  términos  de  las  funciones  salto  o  funciones  de  Heaviside U(t‐c) y halla su transformada de Laplace utilizando la tabla de  transformadas.       

 

(8)

23

    Utilizando  transformadas  de  Laplace,  resuelve  la  siguiente  ecuación  diferencial  lineal de orden 2 y coeficientes constantes: 

''( ) 2 '( ) 5 ( ) t x tx tx te

teniendo en cuenta que cumple las condiciones iniciales:   x

 

0 0, x'(0) 1 .       

24

    Obtén la solución general de la siguiente e.d.o. lineal de orden 2 y coeficientes  constantes: 

''(x) 3 '(x) 2 (x) x

yyye  

 

25

    A  partir  de  las  transformadas  de  Laplace  de  las  funciones  f t( )sen

 

t

 

( ) 2tsen

g t e t ,  que  se  recogen  en  la  tabla  de  transformadas,  aplicando  las  propiedades  adecuadas,  obtén  la  transformada  de  Laplace  de  las  siguientes  funciones: 

   

( ) sen

h t  U t  t ;      v t( )t e2tsen

 

t ,   

26

    Utilizando  transformadas  de  Laplace,  resuelve  la  siguiente  ecuación  diferencial  lineal de orden 3 y coeficientes constantes: 

'''( ) ( ) 5 x tx t  , 

teniendo  en  cuenta  que  cumple  las  condiciones  iniciales:   

 

0 0, '(0) 0, ''(0) 0

xxx  .       

 

27

    Obtén la solución general de la siguiente e.d.o. lineal de orden 2 y coeficientes  constantes: 

''(x) 4 '(x) 4 (x) 2

yyy   x

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