Función Inyectiva. Definición Sea f : A B función. Se dice que f es una función inyectiva si. Para todo x 1, x 2 A : f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2

Texto completo

(1)

Funciones

(2)

Función Inyectiva

Definición

Sea f : A → B función. Se dice que f es una función inyectiva si Para todo x1, x2∈ A : f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2 Equivalentemente,

si para todo x1, x2 ∈ A : x1 6= x2⇒ f (x1) 6= f (x2)

(3)

Función Inyectiva

Ejemplo

Sea f (x ) = ax + b con a, b ∈ R y a 6= 0 la función lineal.

Solución: Notemos que f es una función inyectiva pues para todo x1, x2 ∈ R : f (x1) = f (x2). P.d:

x1 = x2.

f (x1) = f (x2) ⇔ ax1+ b = ax2+ b

⇔ ax1 = ax2

⇔ x1= x2.

(4)

Función Inyectiva

Ejemplo

La función f (x ) = x2− 1 con dom(f )=R no es una función inyectiva pues existen x1= 1 y x2= −1 elementos distintos del dominio de f tal que f (−1) = 0 = f (1).

Ejemplo

Sea f : R → R+ definida por f (x ) = x2

(5)

Función Inyectiva

Solución: f no es una función inyectiva pues Para todo x1, x2∈ R : f (x1) = f (x2)

x12 = x22 x12− x22 = 0 (x1− x2)(x1+ x2) = 0

x1 = x2x1= −x2 Por lo tanto f no es una fucnión inyectiva, pues existen x1, x2 ∈ R distintos entre sí, pero dan la misma imagen.

(6)

Función Inyectiva

Ejercicio

Sea f una función definida por f : [1, +∞[ → R

x 7→ f (x ) = x2+ 2x − 2 Prueba que f es una función inyectiva.

(7)

Funciones

Solución: Sean x1, x2 ∈ [1, +∞[ tal que f (x1) = f (x2). Se tiene

f (x1) = f (x2) ⇔ x12+ 2x1− 2 = x22+ 2x2− 2

⇔ x12+ 2x1= x22+ 2x2

⇔ x12− x22+ 2x1− 2x2= 0

⇔ (x1− x2)(x1+ x2) + 2(x1− x2) = 0

⇔ (x1− x2)(x1+ x2+ 2) = 0

⇔ x1 = x2 ∨ x1+ x2+ 2 = 0 Como x1, x2 ∈ [1, +∞[: x1+ x2+ 2 6= 0.

Por lo tanto, x1= x2, lo que se concluye que f es una función inyectiva.

(8)

Funciones

Ejercicio (Propuesto)

Sea f : R − {−1} → R − {2} definida por f (x) = 2x −1x +1 . Pruebe que f es una función inyectiva.

(9)

Función sobreyectiva

Definición

Sea f : A ⊂ R → B una función. Se dice que f es una función sobreyectiva si

(∀ y ∈ B)(∃ x ∈ A)(y = f (x )) Equivalentemente, Rec(f ) = B

Ejemplo

Sea f : R+0 → [1, +∞[ definida por f (x ) = x2+ 1.

(10)

Función sobreyectiva

Solución: Vamos a verificar si f es una función sobreyectiva.

Sea y ∈ Rec(f ) tal que y = x2+ 1 con x ∈ R+0. y = x2+ 1 ⇔ x2= y − 1 Como x2≥ 0 se tiene y − 1 ≥ 0

y ≥ 1 y ∈ [1, ∞[

Se tiene que Rec(f ) = [1, +∞[. Por lo tanto, f es una función sobreyectiva.

(11)

Función biyectiva

Definición

Sea f : A ⊂ R → B función. Se dice que f es una función biyectiva si f es una función inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo

Sea f : [1, +∞[→ [2, +∞[ función definida por f (x ) =

x − 1 + 2.

Verificar si f es una función biyectiva.

(12)

Función biyectiva

Solución:

1. Verifiar si f es inyectiva.

Sean x1, x2 ∈ [1, +∞[ tal que f (x1) = f (x2) ⇔ √

x1− 1 + 2 =√

x2− 1 + 2

⇔ √

x1− 1 =√ x2− 1

⇔ x1− 1 = x2− 1

⇔ x1 = x2

Por lo tanto, f es una función inyectiva.

(13)

Función biyectiva

2. Verificar si f es sobreyectiva, es decir, Rec(f )=[2, +∞[.

Sea y ∈ Rec(f ) tal que y =

x − 1 + 2 con x ≥ 1. se tiene

y =

x − 1 + 2 ⇔ y − 2 =

x − 1 ≥ 0

⇔ y − 2 ≥ 0

⇔ y ≥ 2

⇔ Rec(f ) = [2, +∞[

Por lo tanto, f es una función sobreyectiva.

Así, concluimos que f es una función biyectiva.

(14)

Función Biyectiva

Ejercicio Sea la función

f : R − {0} → R − {1}

x 7→ f (x ) = x − 1 x

a) Determine si f es una función inyectiva b) Determine si f es una función sobreyectiva.

c) ¿f es una función biyectiva?

(15)

Función Biyectiva

Solución:

a) Sean x1, x2 ∈ R − {0} tal que f (x1) = f (x2). P.d:

x1= x2.

f (x1) = f (x2) ⇔ x1− 1

x1 = x2− 1 x2

⇔ 1 − 1 x1

= 1 − 1 x2

⇔ 1

x1 = 1 x2

⇔ x1 = x2 Por lo tanto, f es inyectiva.

(16)

Función Biyectiva

b) Sea y ∈ Rec(f ) tal que y = x −1x con x 6= 0.

y = x − 1

x = 1 − 1

x ⇔ 1

x = 1 − y

⇔ x = 1

1 − y como x 6= 0

⇔ 1

1 − y 6= 0

⇔ 1 − y 6= 0

⇔ y 6= 1

⇔ y ∈ R − {1}

Por lo tanto, f es una función sobreyectiva.

(17)

Función Biyectiva

c) Como f es una función inyectiva y sobreyectiva, entonces f es biyectiva.

Definición

Si f : A → B es una función biyectiva existe su inversa, el cual es g : B → A tal que

(∀x ∈ A)(∀ y ∈ B)(f (x ) = y ⇔ g (y ) = x ) Notación: La función inversa de f la denotaremos por f−1.

(18)

Función Biyectiva

Ejemplo

Sea f : R − {1} → R − {2} definida por f (x) =2x −1x −1 una función biyectiva. Determine f−1.

Solución: Sea y ∈ R − {2} tal que y = 2x −1x −1 con x ∈ R − {1}, se tiene

y = 2x − 1

x − 1 ⇔ x = y − 1 y − 2 f−1 : R − {2} → R − {1}

y 7→ f−1(y ) = y − 1 y − 2

(19)

Función Biyectiva

Por comodidad, la función inversa de f se puede escribir como f−1(x ) = x −1x −2

Ejercicio (Propuesto)

Sea f : R − {−1} → R − {1} definida por f (x) = x +1x . a) Determine si f es una función biyectiva

b) Determine (si es posible) explícitamente f−1.

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