Función Inyectiva. Definición Sea f : A B función. Se dice que f es una función inyectiva si. Para todo x 1, x 2 A : f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2

Funciones

Función Inyectiva

Definición

Sea f : A → B función. Se dice que f es una función inyectiva si Para todo x₁, x₂∈ A : f (x₁) = f (x₂) ⇒ x₁ = x₂ Equivalentemente,

si para todo x₁, x₂ ∈ A : x₁ 6= x₂⇒ f (x₁) 6= f (x₂)

Función Inyectiva

Ejemplo

Sea f (x ) = ax + b con a, b ∈ R y a 6= 0 la función lineal.

Solución: Notemos que f es una función inyectiva pues para todo x1, x2 ∈ R : f (x1) = f (x2). P.d:

x1 = x2.

f (x1) = f (x2) ⇔ ax₁+ b = ax2+ b

⇔ ax₁ = ax₂

⇔ x₁= x₂.

Función Inyectiva

Ejemplo

La función f (x ) = x²− 1 con dom(f )=R no es una función inyectiva pues existen x₁= 1 y x₂= −1 elementos distintos del dominio de f tal que f (−1) = 0 = f (1).

Ejemplo

Sea f : R → R⁺ definida por f (x ) = x²

Función Inyectiva

Solución: f no es una función inyectiva pues Para todo x₁, x₂∈ R : f (x1) = f (x₂)

x₁² = x₂² x₁²− x₂² = 0 (x1− x₂)(x1+ x2) = 0

x₁ = x₂ ∨ x₁= −x₂ Por lo tanto f no es una fucnión inyectiva, pues existen x1, x2 ∈ R distintos entre sí, pero dan la misma imagen.

Función Inyectiva

Ejercicio

Sea f una función definida por f : [1, +∞[ → R

x 7→ f (x ) = x²+ 2x − 2 Prueba que f es una función inyectiva.

Funciones

Solución: Sean x₁, x₂ ∈ [1, +∞[ tal que f (x1) = f (x2). Se tiene

f (x₁) = f (x₂) ⇔ x₁²+ 2x₁− 2 = x₂²+ 2x₂− 2

⇔ x₁²+ 2x₁= x₂²+ 2x₂

⇔ x₁²− x₂²+ 2x₁− 2x₂= 0

⇔ (x₁− x₂)(x1+ x2) + 2(x1− x₂) = 0

⇔ (x₁− x₂)(x1+ x2+ 2) = 0

⇔ x₁ = x₂ ∨ x₁+ x₂+ 2 = 0 Como x₁, x₂ ∈ [1, +∞[: x₁+ x₂+ 2 6= 0.

Por lo tanto, x1= x2, lo que se concluye que f es una función inyectiva.

Funciones

Ejercicio (Propuesto)

Sea f : R − {−1} → R − {2} definida por f (x) = ^{2x −1}_{x +1} . Pruebe que f es una función inyectiva.

Función sobreyectiva

Definición

Sea f : A ⊂ R → B una función. Se dice que f es una función sobreyectiva si

(∀ y ∈ B)(∃ x ∈ A)(y = f (x )) Equivalentemente, Rec(f ) = B

Ejemplo

Sea f : R⁺0 → [1, +∞[ definida por f (x ) = x²+ 1.

Función sobreyectiva

Solución: Vamos a verificar si f es una función sobreyectiva.

Sea y ∈ Rec(f ) tal que y = x²+ 1 con x ∈ R⁺₀. y = x²+ 1 ⇔ x²= y − 1 Como x²≥ 0 se tiene y − 1 ≥ 0

y ≥ 1 y ∈ [1, ∞[

Se tiene que Rec(f ) = [1, +∞[. Por lo tanto, f es una función sobreyectiva.

Función biyectiva

Definición

Sea f : A ⊂ R → B función. Se dice que f es una función biyectiva si f es una función inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo

Sea f : [1, +∞[→ [2, +∞[ función definida por f (x ) =√

x − 1 + 2.

Verificar si f es una función biyectiva.

Función biyectiva

Solución:

1. Verifiar si f es inyectiva.

Sean x₁, x₂ ∈ [1, +∞[ tal que f (x1) = f (x2) ⇔ √

x1− 1 + 2 =√

x2− 1 + 2

⇔ √

x1− 1 =√ x2− 1

⇔ x₁− 1 = x₂− 1

⇔ x₁ = x₂

Por lo tanto, f es una función inyectiva.

Función biyectiva

2. Verificar si f es sobreyectiva, es decir, Rec(f )=[2, +∞[.

Sea y ∈ Rec(f ) tal que y =√

x − 1 + 2 con x ≥ 1. se tiene

y =√

x − 1 + 2 ⇔ y − 2 =√

x − 1 ≥ 0

⇔ y − 2 ≥ 0

⇔ y ≥ 2

⇔ Rec(f ) = [2, +∞[

Por lo tanto, f es una función sobreyectiva.

Así, concluimos que f es una función biyectiva.

Función Biyectiva

Ejercicio Sea la función

f : R − {0} → R − {1}

x 7→ f (x ) = x − 1 x

a) Determine si f es una función inyectiva b) Determine si f es una función sobreyectiva.

c) ¿f es una función biyectiva?

Función Biyectiva

Solución:

a) Sean x1, x2 ∈ R − {0} tal que f (x1) = f (x2). P.d:

x₁= x₂.

f (x₁) = f (x₂) ⇔ x₁− 1

x₁ = x₂− 1 x₂

⇔ 1 − 1 x1

= 1 − 1 x2

⇔ 1

x₁ = 1 x₂

⇔ x₁ = x₂ Por lo tanto, f es inyectiva.

Función Biyectiva

b) Sea y ∈ Rec(f ) tal que y = ^{x −1}_x con x 6= 0.

y = x − 1

x = 1 − 1

x ⇔ 1

x = 1 − y

⇔ x = 1

1 − y como x 6= 0

⇔ 1

1 − y 6= 0

⇔ 1 − y 6= 0

⇔ y 6= 1

⇔ y ∈ R − {1}

Por lo tanto, f es una función sobreyectiva.

Función Biyectiva

c) Como f es una función inyectiva y sobreyectiva, entonces f es biyectiva.

Definición

Si f : A → B es una función biyectiva existe su inversa, el cual es g : B → A tal que

(∀x ∈ A)(∀ y ∈ B)(f (x ) = y ⇔ g (y ) = x ) Notación: La función inversa de f la denotaremos por f⁻¹.

Función Biyectiva

Ejemplo

Sea f : R − {1} → R − {2} definida por f (x) =^{2x −1}_{x −1} una función biyectiva. Determine f⁻¹.

Solución: Sea y ∈ R − {2} tal que y = ^{2x −1}_{x −1} con x ∈ R − {1}, se tiene

y = 2x − 1

x − 1 ⇔ x = y − 1 y − 2 f⁻¹ : R − {2} → R − {1}

y 7→ f⁻¹(y ) = y − 1 y − 2

Función Biyectiva

Por comodidad, la función inversa de f se puede escribir como f⁻¹(x ) = ^{x −1}_{x −2}

Ejercicio (Propuesto)

Sea f : R − {−1} → R − {1} definida por f (x) = _{x +1}^x . a) Determine si f es una función biyectiva

b) Determine (si es posible) explícitamente f⁻¹.