Ángulos Y Arcos

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Objetivos Matemáticos

 Los estudiantes identificarán el ángulo central, los arcos mayores y menores, arcos intersecados y los ángulos inscritos de un círculo.

 Los estudiantes definirán y aplicarán las siguientes relaciones:

1. Dos ángulos inscritos que intersecan el mismo arco tienen igual medida.

2. Un ángulo inscrito, que forma un arco con los extremos de un diámetro del círculo, mide 90°.

3. La medida de un ángulo inscrito en un círculo es la mitad de la medida del ángulo central que interseca al mismo arco.

Expectativas e indicadores para Puerto Rico Noveno Grado

Expectativa 8: Justifica y aplica las fórmulas de medidas asociadas a figuras geométricas de dos y tres dimensiones para

perímetro/circunferencia, área, volumen y aplica estas fórmulas y otras propiedades geométricas relacionadas con ángulos y medidas de arco para resolver problemas que involucran medidas de figuras bidimensionales y tridimensionales.

M.TM.9.8.8 Justifica y aplica enunciados sobre ángulos formados por cuerdas, tangentes y secantes en círculos y las medidas de los arcos que interceptan.

Vocabulario

ángulo central, ángulo inscrito, arco mayor, arco menor, arco intersecado

Acerca de la Lección

Esta actividad consiste en manipular los extremos de un arco, un ángulo inscrito, y el vértice de un ángulo que interseca un arco. Se espera que los estudiantes:

 Comprendan las definiciones de ángulo central, arco intersecado, arco mayor y arco menor, visualizando estos conceptos.

 Infieran que la suma de las medidas de los arcos mayor y menor es 360°.

 Infieran que dos ángulos inscritos que intersecan el mismo arco tienen la misma medida.

 Observen que un ángulo inscrito, que forma un arco con los extremos de un diámetro del círculo, mide 90°.

Habilidades en el uso de la Tecnología TI-Nspire™:

 Descargar documento TI- Nspire

 Abrir un documento

 Desplazarse entre páginas

 Vincular segmentos a un ángulo y un ángulo a un segmento

Consejo de Enseñanza:

 Estar seguro que el tamaño de la fuente en tu

calculadora TI-Nspire es seleccionado a Medio.

Materiales para la actividad:

Actividad del Estudiante:

Ángulos_y_Arcos_Estudian te.PDF

Ángulos_y_Arcos_Estudiant e.DOC

Documento TI-Nspire:

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Puntos de Discusión y Posibles Respuestas:

TI-N s pire P á gina 1.2

Consejo de Enseñanza: Si los estudiantes tienen dificultades al arrastrar un punto, asegúrate de que han movido la flecha hasta que se convierta en una mano (

÷

) que está a punto de agarrar el punto. Además, asegúrate de que la palabra punto aparece. Luego oprime

/x

para agarrar el punto y cerrar la mano (

{

).

1. Arrastra el punto A o el punto C.

Describe los cambios que se producen en la figura cuando se arrastra el punto.

2. El ∡AOC es llamado un ángulo central. ¿Por qué crees que esto es así?

La medición angular cambia, pero nunca es mayor de 180°. La parte sólida del círculo está siempre en el interior del ángulo.

El vértice esta en el centro del circulo.

Un ángulo interseca un arco de un círculo si cada extremo del arco está en un rayo diferente del ángulo y los otros puntos del arco están en el interior del ángulo.

A medida que mueves el punto A o el punto C, el ángulo central ∡ AOC interseca un arco menor AC. La medida del arco menor es igual a la medida del ángulo central. El arco restante, el más grande, ABC, es llamado arco mayor..

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3. a. Mueve el punto A o el punto C para completar la siguiente tabla.

b. ¿Qué es verdadero en:

 

mAC mABC , la suma de las medidas de los arcos menor y mayor?

4. En un círculo, la medida de un ángulo central ∡^AOC^es^n°.

a. ¿Cuál es la medida del arco menor que es interceptada por el ángulo central? - ¿Cómo puedes saberlo?

b. ¿Cuál es la medida del arco mayor? - ¿Cómo puedes saberlo?

 

mAC mABC siempre es igual a 360°

n°; Un arco interceptado tiene la misma medida que su ángulo central.

360 - n °; La suma de las medidas de los arcos mayor y menor es de 360 °.

AOC mAC mABC mAC mABC  

50. 50. 310° 360°

100 100 260° 360°

110 110 250 360°

(Elige un ángulo.)

Lasrespuestas puedenvariar

Lasrespuestas

puedenvariar 360°

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5. El ángulo ∡ABCse llama un ángulo inscrito porque BA y BCson cuerdas del círculo y el vértice B esta en la circunferencia. Arrastra el punto B alrededor de la circunferencia.

a. Cuando el punto B se mueve alrededor dela circunferencia, ¿qué observas acerca de la medida de

∡ABC?

b. ¿Por qué m ∡ABC cambia cuando el puntoBse mueve de un arco al otro? Explica tu razonamiento.

c. Mueve el punto A o el punto C hasta que ∡ABC sea un ángulo recto. ¿Qué tienen de especial el arco y el AC^AC?

6. Coloca el punto D en la circunferencia de modo que

∡ADCintercepta el mismo arco que ∡ABC.

a. ¿Qué observas en las medidas de ∡^ABC^y∡ADC?

El ángulo ∡ABC intercepta al AC . Arrastra el punto D a diversos lugares fuera del círculo, en la circunferencia, en el interior del círculo, y en el centro O.

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El ángulo ABC tiene la misma medida hasta que se interseca con el otro arco. Mientras que el punto B se mueva alrededor de ese arco, ∡ABC seguirá siendo el mismo.

Consejo de Enseñanza: Algunos estudiantes pueden reconocer que las dos medidas de los ángulos suman 180 °.

La medida del ángulo cambia porque el arco intersecado cambia. El arco intersecado está siempre en el interior del ángulo inscrito.

La medida del arco es de 180° y el arco es un semicírculo. AC es un diámetro.

Consejo de Enseñanza: Cuando los estudiantes consiguen el ángulo recto, el diámetro debe aparecer como un segmento de puntos. Si no es así, tenga en cuenta el redondeo.

Las medidas de los ángulos son iguales. Los ángulos son congruentes. La razón entre la medida de los ángulos es 1.

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debe "ajustarse" al círculo cuando se acerca.

b. ¿Qué ocurre con los ángulos si mueves el punto A o el punto C?

7. Coloca el punto D en el centro del círculo. Mueve el punto A y el punto C de manera que ∡ADC interseque el mismo arco que

∡ABC.

a. ¿Cuál es la relación entre las medidas del ángulo inscrito

∡ABC y del ángulo central

∡ADC?

b. ¿Qué le ocurre a los ángulos si mueves el punto A o el punto C?

Las medidas de los ángulos cambian. Los ángulos son congruentes y la razón de la medida de ∡ADC a la medida del ∡ABC es 1, si los ángulos interceptan el mismo arco.

Los ángulos no son congruentes y la proporción no es 1, si los ángulos no interceptan el mismo arco.

Consejo de Enseñanza: Algunos estudiantes pueden observar que la medida de los ángulos es la misma cada vez que se cruzan AD y BC o "se entrecruzan" y no es lo mismo cuando no lo hacen. Esta observación es importante, pero debe estar relacionada con arcos intersecados. Algunos estudiantes pueden observar que los ángulos son complementarios en caso de no interceptar el mismo arco. Esta propiedad se aborda en el problema 9. Si m ∡ABC es igual a 90°, entonces m ∡ADC es igual a 90° o no comparten el mismo arco interceptado.

La medida del ángulo central es el doble de la medida del ángulo inscrito. La medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central. La razón de la medida del

∡ADC a la medida del ∡ABC es 2.

La medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central (la razón entre la medida del ∡ADC a la medida del ∡ABC es 2), siempre y cuando ambos ángulos intersequen el mismo arco.

Extensión: Conforme el punto D se mueve en el interior del círculo, fuera del círculo, y en la circunferencia, el valor de la razón cambia. ¿Cuál es el valor más grande y cuando ocurre esto? ¿Por qué?

Consejo de Enseñanza: Para una demostración del Teorema del Angulo Inscrito: En el caso más simple, un cateto del ángulo inscrito es un diámetro del círculo de modo que pasa por el centro del círculo. Dado que el cateto es una línea recta, el suplemento del ángulo central es igual a 180° - 2θ. Dibujando un segmento desde el centro del círculo al otro punto de intersección del ángulo inscrito produce un triángulo isósceles, hecho de dos radios del círculo y el otro cateto del ángulo inscrito. Ya que dos ángulos en un triángulo isósceles son

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sea un cuadrilátero.

a. ¿Qué observas en la suma de las medidas de ∡ABC y ∡ADC?

Compara tu respuesta con un(a) compañero(a) de la clase.

b. ¿Qué observas en la suma de las medidas de los ángulos si mueves el punto A o el punto C?

c. ¿Qué observas en el _ABC y el

ADC ?

d. ¿Cómo la relación entre el _ABC y el _ADC explica la suma de las medidas de ∡ABC y ∡ADC, ángulos inscritos?

intersecar un arco mayor.

La suma de las medidas de ∡ABC y ∡ADC es 180 °.

Mientras ABCD sigue siendo un cuadrilátero, la suma de las medidas de ∡ABC y ∡ADC sigue siendo 180 °.

Una de ellas es un arco mayor y una un arco menor.

Juntos, los arcos forman un círculo. Las medidas de los arcos suman 360°.

La suma de las medidas del arco mayor y menor es 360 °.

Dado que las medidas de los ángulos inscritos son la mitad de las medidas de sus arcos interceptados, los ángulos son suplementarios.

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Resumiendo:

Al término del debate, el profesor debe garantizar que los estudiantes sean capaces de entender:

 Dos ángulos inscritos intersecando el mismo arco tienen la misma medida.

 Un ángulo inscrito de medida 90 ° resulta de los extremos del arco que se extiende en un diámetro.

 La medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central que intercepta el mismo arco.