Emulación del modelo de Anderson periódico en redes ópticas

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Emulaci´ on del modelo de Anderson peri´ odico en redes ´ opticas

Rodrigo Castellanos Caro

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias, Departamento de F´ısica

Bogot´a, Colombia 2020

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Emulaci´ on del modelo de Anderson peri´ odico en redes ´ opticas

Rodrigo Castellanos Caro

Tesis presentada como requisito parcial para optar al t´ıtulo de:

Doctor en Ciencias F´ısica

Director:

Ph.D Jereson Silva Valencia

L´ınea de Investigaci´on:

F´ısica de la Materia Condensada Grupo de Investigaci´on:

Grupo de Sistemas Fuertemente Correlacionados (SISCO)

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias, Departamento de F´ısica

Bogot´a, Colombia 2020

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Dedicado a mi Madre y a Ver´onica, quienes siempre han iluminado mi camino...

”Despu´es de escalar una monta˜na muy alta, descubrimos que hay muchas otras por escalar.”

Nelson Mandela

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Agradecimientos

Todo este trabajo no hubiese sido posible sin el Profesor Jereson Silva Valencia. Él es a quien quiero expresar en primer lugar mi gratitud, pues fue quien siempre me ayudó, apoyó y orientó para completar este proyecto de investigación. Ha sido un ejemplo tanto profesio- nal como personal, pues su conocimiento, constancia y determinación son dignos de admirar.

Agradezco tambi´en a los profesores Roberto Emilio Franco, Marco Sergio Figueira y Rai- mundo Rocha dos Santos pues siempre me brindaron su apoyo, sugerencias y conocimientos.

Quiero agradecer a todos mis compa˜neros del Grupo de Sistemas Correlacionados por su ayuda, su amistad, sus sugerencias y enriquecedoras discusiones.

Agradezco infinitamente a mi familia y amigos por el apoyo incondicional que me brindaron a lo largo de todos estos a˜nos.

Agradezco a mi madre, al igual que a mi esposa, por su infinito amor y paciencia. Sin ellas no hubiese sido posible llegar a este punto.

Por último agradezco a Colciencias por el financiamiento para realizar mis estudios de doc- torado a través de la convocatoria 727 de 2015 y a la Universidad Nacional de Colombia por el apoyo económico por medio de los proyectos de investigación DIB(15309) Códi- go 201010013385, DIB(20112) Código 201010021572, DIB(40173) Código 201010027602 y DIB(40879) Código 201010028243.

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Publicaciones y Participaciones en eventos

Durante el desarrollo de esta investigaci´on se realizaron las siguientes publicaciones:

R. C. Caro, R. Franco y J. Silva-Valencia, Journal of Physics: Conference Series 687, 012063, (2016), ”Spiral to ferromagnetic transition in a Kondo lattice model with a double-well potential”.

R. C. Caro, R. Franco y J. Silva-Valencia, Phys. Rev. A 97, 023630, (2018),”Spin- liquid state in an inhomogeneous periodic Anderson model”.

R. C. Caro, R. Franco, M. S. Figueira, J. Silva-Valencia y M. Avignon, Journal of Magnetism and Magnetic Materials 497, 165936, (2020), ”Weak coupling magnetism of the ionic Kondo lattice model”.

Parte del trabajo fue presentado en los siguientes eventos:

R. Castellanos, R. Franco y J. Silva-Valencia, COMPARISON OF FERRO TO PA- RAMAGNETIC TRANSITIONS OF FERMIONIC ATOMS CONFINED IN DIFFE- RENT 1D OPTICAL LATTICES, 21th Latin American Symposium On Solid State Physics (SLAFES XXI) - 2013 - Villa de Leyva, Colombia.

R. Castellanos, R. Franco y J. Silva-Valencia, EXTENDED PERIODIC ANDERSON MODEL APPLIED IN OPTICAL LATTICES, XL Encontro Nacional de F´ısica da Materia Condensada (XL ENFMC) - 2017 - Buzios - Rio de Janeiro, Brasil.

R. Castellanos, R. Franco y J. Silva-Valencia, SPIN-LIQUID STATE IN AN INHO- MOGENEOUS PERIODIC ANDERSON MODEL, 1st Colombian Meeting on Ul- tracold Matter in Optical Lattices - 2018 - Cali, Colombia.

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Resumen

En los últimos años, las investigaciones experimentales correspondientes a las transiciones de fase cuánticas, se han enfocado en el estudio de átomos ultrafr´ıos alcalinotérreos con- fiados en redes ópticas. Estos sistemas abren las posibilidades de estudiar un conjunto de modelos de la materia condensada en los cuales se puedan manipular los parámetros que los describen, conduciendo a comportamientos similares a los establecidos por la teor´ıa, como por ejemplo el modelo de red de Kondo o el modelo de Anderson. Usando los importantes resultados encontrados en los experimentos, en la ultima década se han desarrollado estudios teóricos [1] que buscan establecer las condiciones ideales de dichos parámetros para conseguir emular las propiedades f´ısicas que presentan los materiales. Modelos como los mencionados inicialmente se encuentran caracterizados por ser sistemas de dos orbitales, en donde tenemos átomos deslocalizados que se encuentran en una red óptica con un estado determinado (³P₀) interactuando con otro conjunto de átomos localizados que se encuentran en otra red

´

optica con un estado (¹S₀) independiente de la primera pero en fase. Ambas se encuentran interactuando a trav´es de un termino de hibridizaci´on.

Cuando queremos abordar el análisis de materiales reales, se debe trabajar con modelos tridimensionales pero esto último es dif´ıcil por lo complejo del sistema y los parámetros intr´ınsecos en el mismo. Aún as´ı ha sido posible, usando sistemas unidimensionales [2], estudiar caracter´ısticas en materiales que se comportan como sistemas de fermiones pesados teniendo un resultado acorde a los presentados de forma experimental, como por ejemplo con el CeCu₂Si₂ o el F eSi [3–5]. De igual forma los átomos fermiónicos alcalino-térreos, en general, tienen propiedades únicas que los han colocado como posibles candidatos para fabri- car relojes atómicos y gases cuánticos degenerados. En el campo teórico llaman la atención por su posible uso en procesamiento cuántico de información.

En este trabajo se estudia la competencia entre grados de libertad de carga y esp´ın en sistemas de átomos confinados en redes ópticas a bajas temperaturas. Espec´ıficamente se analizan algunos modelos que resultan al emular el modelo de Anderson periódico (PAM) en sistemas de átomos ultrafr´ıos, todo bajo el método del Grupo de Renormalización de la Matriz Densidad DMRG (Anexo A).

Se abordaron diversos modelos de dos orbitales, tales como el modelo de red de Kondo, el modelo peri´odico de Anderson y el modelo denominado g − e. En todo ellos usamos

´

atomos de ¹⁷¹Y b usando y los confinamos en una red óptica. En general observamos que mediante la modulación de diversos parámetros (densidad global, hibridización, interacción de intercambio, repulsión local, potencial de confinamiento, etc) en la red es posible obtener coexistencia de de diversas fases tanto aislantes como metálicas e incluso obtener fases nunca antes encontradas en dichos modelos de esta forma.

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Palabras clave: Redes Ópticas, Átomos ultrafr´ıos, Modelo de Anderson Periódico, DMRG, Modelo de red de Kondo, Modelo g-e, Fermiones pesados, Sistemas Fuerte- mente Correlacionados..

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Abstract

In recent years, experimental investigations corresponding to quantum phase transitions have focused on the study of ultracold alkaline earth atoms into optical lattices. These systems open up the possibilities of studying a great amount of models related to condensed matter in which the parameters can be manipulated, leading to behaviors similar to those established by theory such as the Kondo lattice model or the Anderson model. Using the most relevant results found in the experiments, in the last decade theoretical studies have been developed [1] seeking to establish the ideal conditions of these parameters in order to emulate the phy- sical properties of materials. These models are characterized by being two-orbital systems with delocalized atoms that are in an optical lattice with a certain state (³P₀) interacting with another set of localized atoms that are in another optical lattice with a state (¹S₀).

These two optical lattices are independent between them. Both are interacting through a hybridization term.

When an approach for real materials analysis is needed we must work with three-dimensional models, but this is highly difficult due to the complex nature of the system and its intrinsic parameters. Even so, it has been possible using one-dimensional systems [2] to study cha- racteristics in materials that behave like heavy fermion systems showing results consistent with those presented in related experiments, as for example with the CeCu₂Si₂ or the F eSi [3–5]. Alkaline earth fermionic atoms in general have unique properties that have placed them as possible candidates to make atomic clocks and degenerate quantum gases. In theoretical research they draw attention for their possible use in quantum information processing.

In this work the competition between charge and spin degrees of freedom was studied in systems of atoms confined in optical lattices at very low temperatures. Specifically, some models that result from emulating the periodic Anderson model (PAM) in systems of ultracold atoms are analyzed, all under the method of the DMRG Density Matrix Renormalization Group (Annex A).

Various two-orbital models were addressed, such as the Kondo lattice model, the periodic Anderson model and the g − e model. In all these models we use atoms of ¹⁷¹Y b that where confined in an optical lattice. In general, we observe that by modulating various parameters in the optical lattice, like global density, hybridization, exchange interaction, local repulsion, confinement potential, etc., it is possible to obtain coexistence of various insulating and metallic phases and even obtain phases never before found in such models in this way.

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Keywords: Optical lattices, Ultracold atoms, Periodic Anderson model, DMRG, Kon- do lattice model, g-e model, Heavy Fermions, Strong Correlated systems.

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Contenido

Agradecimientos VII

Publicaciones y Participaciones en eventos IX

Resumen XI

Abstract XIII

Lista de figuras XV

1. Introducci´on 2

2. Metales y sistemas de fermiones pesados 6

2.1. Metales y Teor´ıa de l´ıquido de Fermi . . . 6

2.1.1. No-l´ıquido de Fermi . . . 13

2.2. Sistemas de Fermiones Pesados (Heavy Fermions) . . . 14

2.2.1. Efecto Kondo e Interacci´on RKKY . . . 18

2.2.2. El modelo de Anderson peri´odico y modelo de red de Kondo . . . 21

3. Redes ópticas y el confinamiento de átomos 26 3.1. Confinamiento de átomos . . . 26

3.2. Condensados de Bose-Einstein . . . 31

3.3. Modelo de Bose-Hubbard y modelo de Fermi-Hubbard . . . 34

3.4. Redes ´opticas como simuladores cu´anticos . . . 39

3.5. Estudio de modelos de la materia condensada . . . 43

3.6. Modelo de Red de Kondo en redes ´opticas . . . 46

3.6.1. Magnetismo de bajo acople en el modelo de red de Kondo ionico . . . 48

3.6.2. Transiciones en el modelo de red de Kondo para un potencial de doble pozo . . . 56

4. Modelo de Anderson periódico en redes ópticas 62 4.1. Modelo de Anderson periódico inhomogéneo . . . 63

5. Confinamiento de átomos fermiónicos ultrafr´ıos bajo el modelo g-e 78 5.1. Modelo g-e homogéneo . . . 81

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5.2. Modelo g-e inhomog´eneo . . . 84

6. Conclusiones 92

A. Grupo de Renormalización de la Matriz Densidad (DMRG) 95 A.0.1. Método de sistema infinito . . . 96 A.0.2. Método de sistema finito . . . 97

Bibliograf´ıa 98

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Lista de Figuras

2-1. Superficie de Fermi. En el espacio de momento p, todos los estados de m´as baja energ´ıa ocupados se encuentran para todos los valores de p < p_F [6]. . . 9 2-2. Diagrama de Kmetko-Smith. Este diagrama muestra una nueva organi-

zación de elementos de la tabla periódica basada en la distribución electrónica para elementos con sus últimos electrones en los niveles d y f. Este diagrama permite establecer los elementos que poseen una fuerte localización (zona roja) y los que son más deslocalizados (zona azul) [7]. . . 16 2-3. Propiedades f´ısicas de CeAl₃ (fermión pesado) comparadas con el

LaAl₃.(a) Calor especifico, (b) Susceptibilidad magnética, (c) y (d) Resistivi- dad eléctrica. [8] . . . 17 2-4. Diagrama de fases. Temperatura versus campo magnético . . . 19 2-5. Resultado experimental que muestra el m´ınimo en la resistencia eléctrica . . 20 2-6. Modelo de Anderson periódico . . . 21 2-7. Diagrama de fases PAM . . . 23 2-8. Modelo de Red de Kondo . . . 24 3-1. Los átomos en una red óptica pueden, por ejemplo, simular fenóme-

nos de materia condensada que generalmente ocurren solo en el gas de electrones del cristal en estado sólido. En una red óptica ((a)) los átomos quedan atrapados en un pozo de potencial sinusoidal (gris) creado por un rayo láser. En el cristal real ((b)) el potencial periódico es causado por la fuerza electrostática atractiva entre los electrones y los iones. [9] . . . 27 3-2. Ejemplo básico de potenciales generando redes que son creadas me-

diante la interferencia de varios rayos láser en diferentes dimensiones. En (a) un único rayo láser crea un potencial que es proporcional a la intensidad de un rayo; en (b) dos rayos láser que interfie- ren crean ondas estacionarias sinusoidales en una dimensión, donde los átomos ultrafr´ıos pueden quedar atrapados en los m´ınimos del potencial; en (c) cuatro láseres en configuración ortogonal en dos dimensiones crean una red 2D; por último, en (d) implementando láseres adicionales también se pueden crear redes 3D.[9] . . . 29

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3-3. (a) Montaje esquemático de imagen por absorción después de un pe- riodo de tiempo de vuelo. (b) Imagen por absorción para un condensado de Bose-Einstein liberado de una trampa armónica. (c) Imagen por absorción para un condensado de Bose-Einstein liberado de una red óptica poco profunda. El pico de interferencia ocurre cuando todas las part´ıculas están en el estado con ~k = 0 [10] . . . 30 3-4. Observación de BEC por imágenes de absorción (Izq) En la fila supe-

rior se muestran unas imágenes en escala de grises, las cuales son renderizadas en una imagen 3D en la parte inferior. El pico pronunciado es el BEC, ca- racterizado por su lenta expansión observada después de 6ms de tiempo de vuelo. El numero total de átomos en la transición de fase es al rededor de 7 × 10⁵ y la temperatura de transición es 2µK. (Der) La figura muestra como se va encogiendo la nube atómica en la trampa magnética a medida que la temperatura se reduce por enfriamiento por evaporación. Se hace una compa- ración entre⁷Li (bosón) y ⁶Li (fermión) mostrando caracter´ısticas propias de la estad´ıstica cuántica. La nube fermiónica no se puede encoger más allá de determinado tamaño definido por el principio de exclusión de Pauli. [11] . . . 33 3-5. En un modelo de Bose-Hubbard en 2D se pueden observar dos es-

tados fundamentales distintivos. (a) muestra un superfluido en el estado fundamental debido a interacciones débiles. Ah´ı, los átomos tienen una fun- ción de onda macroscópica común en relación con las part´ıculas totalmente deslocalizadas a través de todo el espacio disponible en la red. Luego que los

´

atomos son repentinamente liberados del confinamiento el estado se caracteriza por un patrón de interferencia medido en la densidad de part´ıculas. En (b) la interacción se vuelve fuerte, haciendo que el sistema pase a un estado aislante de Mott, en el cual cada part´ıcula queda localizada en un sitio espec´ıfico de la red. El patrón de interferencia en la densidad de part´ıculas desaparece.

[11] . . . 36 3-6. Superficie de Fermi para ´atomos fermi´onicos de ⁴⁰K en una red

´

optica 3D. Esta es medida mediante la disminución adiabatica del potencial óptico. La densidad de átomos en la red óptica se incrementa hasta que la banda más baja de Bloch es completamente llena y as´ı la superficie de Fermi es revelada. El numero de átomos en la trampa es de al rededor de 10⁵ y la temperatura de 52nK, que se encuentra por debajo de la temperatura de Fermi del gas fermiónico. [12] . . . 37 3-7. Parámetros de interacción entre los átomos g y e dentro del estado

vibracional m´as bajo de una red ´optica [1] . . . 41

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Lista de Figuras xix

3-8. Modelo de red de Kondo para el caso N = 2. (a) Diagrama esquema- tico para el KLM en una red optica. Los atomos verdes estan el estado g y los amarillos en el estado e. La base del espin es {↑, ↓}. (b) Representación esquematica de la competencia entre la interacción RKKY (magnetismo) y la formacion de singletes Kondo (no magneticos) en el KLM antiferromagnetico en SU (2) [1] . . . 41 3-9. Diagrama esquemático del modelo. Los c´ırculos rojos representan los

´

atomos de ¹⁷¹Y b en el estado ¹S₀, los cuales son itinerantes y est´an bajo un potencial alternante de una part´ıcula. Los c´ırculos azules representan los

´

atomos de ¹⁷¹Y b en el estado ³P₀. De este tipo solo encontramos un ´atomo por sitio y son fuertemente localizados. El grado de libertad de esp´ın de los

´

atomos los representamos con las flechas. . . 48 3-10.Factor de estructura de esp´ın S(q) (fila superior) y correlaciones

locales de esp´ın (fila inferior) para ρ = 1/3. Se considero J/t = 0,3 y dos potenciales de confinamiento V /t = 1 y V /t = 8. Las gráficas a la izquierda muestran una fase tipo isla mientras que los de la derecha un fase ferromagnética. 51 3-11.Diagrama de fase magnético en función de la fuerza del potencial

de confinamiento para ρ = 1/3. Aqu´ı se muestra los bordes entre las fases ferromagn´etica, tipo isla y tipo espiral. Los puntos cr´ıticos son estimados para redes de tama˜no L = 48. . . 52 3-12.Factor de estructura de esp´ın S(q) (fila superior) y correlaciones

locales de esp´ın (fila inferior) para ρ = 1/2. Se consider´o J/t = 0,7 y dos potenciales de confinamiento V /t = 0,3 y V /t = 5. . . 53 3-13.Factor de estructura de esp´ın S(q) (fila superior) y correlaciones

locales de esp´ın (fila inferior) para ρ = 2/3. Se consideró J/t = 0,5 y dos potenciales de confinamiento V /t = 1 y V /t = 8. Las gráficas de la izquierda muestran resultados caracter´ısticos de una fase tipo isla, mientras que los de la derecha muestran la formación de un región antiferromagnética. . . 54 3-14.Diagrama de fase magnético en función del potencial de confina-

miento para ρ = 2/3. Aqu´ı se muestran las fronteras entre las fases antiferromagn´etica, isla y espiral. Los puntos cr´ıticos fueron estimados para una red de tama˜no L = 48. . . 55 3-15.Factor de estructura de esp´ın para dos densidades. (a) ρ = 1/3 y (b)

ρ = 2/3 con par´ametros fijos J/t = 0,6 y V /t = 6. El tama˜no de la red es de L = 120. . . 55

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3-16.Diagrama esquem´atico del modelo. Los c´ırculos rojos representan los

´

atomos de ¹⁷¹Y b en el estado (g), los cuales son itinerantes y están bajo un potencial tipo doble pozo. Los c´ırculos negros representan los átomos de¹⁷¹Y b en el estado (e) los cuales se encuentran fijos en cada sitio. El grado de libertad de esp´ın de los átomos los representamos con las flechas y el parámetro t representa el tunelamiento entre pozos. . . 57 3-17.Factor de estructura de esp´ın para diversos parámetros J y V . La

densidad global se dejo fija en ρ = 0,25, t = 0,6 y L = 80. . . 58 5-1. Diagrama esquem´atico para el modelo g − e. . . 79 5-2. Los ´atomos azules se encuentran en el estado g y los amarillos en el

estado e. a) Fase SP, b) Fase CDW y c) Fase ODW. [13] . . . 80 5-3. Los ´atomos azules se encuentran en el estado g y los amarillos en el

estado e. a) Fase RT, b) Fase RS, c) Fase HC y d) HO. [13] . . . 80 5-4. Diagrama de fase num´erico para el modelo g-e en medio llenado

para V_ex = −t (izq) y V_ex = t (der). Donde se ha fijado el valor t = 1 como unidad de energ´ıa. [13] . . . 81 5-5. Diagrama de fases para el modelo “g-e” cuando se toman dos ter-

minos de tunelamiento diferentes para cada uno de los dos estados (tc=3 y tf=1) para V_ex = −t. . . 82 5-6. Diagrama de fases para el modelo “g-e” cuando se toman dos ter-

minos de tunelamiento diferentes para cada uno de los dos estados (tc=3 y tf=1) para V_ex = t . . . 83 5-7. Diagrama esquemático para el modelo g − e inhomogéneo. Los áto-

mos de ¹⁷¹Y b pueden ser confinados en dos redes independientes. Los

´

atomos g(e) son itinerantes (localizados) y la hibridizaci´on entre las redes puede ser mediada mediante un l´aser externo. Debido a la red

´

optica los átomos son confinados por un potencial armónico, cuya fuerza es la misma para ambos tipos de átomos W_e = W_g = W , V representa la hibridización efectiva entre los átomos, U_f es la repulsión entre los átomos localizados y t es el parámetro de tunelamiento. . 85 5-8. Perfil de densidad local y la varianza por sitio para una red ópti-

ca con L = 60, una densidad global de ρ =0.8 (a) y ρ =1.0 (b). El potencial de confinamiento es W/t =0.01 (a) y W/t =0.005 (b). Los c´ırculos negros corresponden al número total de átomos por sitio (N_i), los cuadrados rojos corresponden al número de átomos localizados por sitio (D

N_i^fE

) y los tri´angulos azules muestran la varianza de la densidad local (∆N_i) a lo largo de la red. Las l´ıneas son gu´ıas visuales. . . 86

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Lista de Figuras 1

5-9. Perfil de densidad local y la varianza por sitio para una red óptica con L = 60 y una densidad global de ρ =0.8. El potencial de confinamiento es W/t =0.001 (a) y W/t =0.005 (b). Los c´ırculos negros corresponden al número total de átomos por sitio (Ni), los cuadrados rojos corresponden al número de átomos localizados por sitio (D

N_i^fE

) y los tri´angulos azules muestran la varianza de la densidad local (∆Ni) a lo largo de la red. Las l´ıneas son gu´ıas visuales. . . 88 5-10.Perfil de densidad local y la varianza por sitio para una red ´optica

con L = 60 y una densidad global de ρ =0.8. El potencial de confinamiento es W/t =0.01 (a) y W/t =0.09 (b). Los c´ırculos negros corresponden al número total de átomos por sitio (N_i) y los cuadrados rojos corresponden al número de átomos localizados por sitio (D

N_i^fE

). Las l´ıneas son gu´ıas visuales. . . 91

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Cuando se estudian sistemas de fermiones pesados a muy bajas temperaturas se ha evi- denciado la existencia de muchos fenómenos interesantes, tales como superconductividad, coexistencia de regiones metal-aislante y en general la presencia de una variedad de estados exóticos interesantes (aparición de fases magnéticas y no magnéticas) [14–17]. Todos estos fenómenos son el resultado de las fuertes interacciones entre part´ıculas, y es esto lo que hace extremadamente desafiante tratar sistemas fuertemente correlacionados de forma teórica.

Como consecuencia a´un existen muchos fen´omenos que no se han podido explicar en esta rama.

Los sistemas de fermiones pesados son materiales que contienen elementos de tierras raras y metálicos, tales como el Iterbio (Yb) o el Cerio (Ce), en el inicio y en el fin de la serie de las tierras raras, o el Uranio (U) en la serie de los Act´ınidos. Ellos presentan generalmente su nivel f incompleto y los electrones de sus niveles más externos (s y d ) forman una banda de conducción. Como ejemplo de este tipo de materiales tenemos los compuestos CeAl₃, Y bCu₂Si₂ ó CeCu₆. Lo que hace especial a este tipo de materiales es que la inestabilidad de los electrones f, pues eso hace que ellos puedan adoptar un comportamiento que modu- la entre ser electrones localizados o electrones itinerantes dependiendo de las condiciones y parámetros en los que se encuentre el sistema [5, 18–20].

Para describir el comportamiento experimental de este tipo de compuestos se han considera- do modelos de dos orbitales, tales como el modelo periódico de Anderson (PAM) y el modelo de red de Kondo (KLM), donde el primero es un caso más general ya que incluye un término de hibridización entre los orbitales. El problema con esto radica en que el explorar la relevancia de los procesos descritos por estos modelos en materiales reales es muy complicado dado el hecho que controlar los diversos parámetros es remotamente posible debido a impurezas, defectos y otras dificultades.

En algunos de los enfoques que se han abordado para solucionar estos complejos sistemas se ha propuesto que una computadora cuántica podr´ıa ser programada para simular cualquier sistema cuántico de forma muy eficiente, esto debido a que una computadora clásica no puede simularlos sin tener que recurrir a un gran numero de aproximaciones y simplificaciones.

La propuesta más interesante a explorar es la creación de un simulador cuántico analógico, el cual es un sistema que obedece al mismo Hamiltoniano del sistema que nos interesa simular,

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pero se puede manipular y monitorear m´as f´acilmente.

El uso de sistemas de átomos ultrafr´ıos se ha convertido en una herramienta fundamental para completar ese objetivo, pues básicamente es un laboratorio perfecto para el campo de la materia condensada. Estos sistemas ofrecen la posibilidad de probar y extender muchos conceptos e ideas, ya que proporciona un entorno libre de impurezas, defectos y en donde existe un control total sobre los parámetros tales como el tunelamiento, la densidad de carga y las interacciones entre los átomos. Modelos básicos tales como el de Bose-Hubbard y Fermi- Hubbard ya han sido emulados con éxito confinando átomos en redes ópticas, corroborando resultados descritos por la teor´ıa y también presentando la aparición de nuevos fenómenos al explorar detalladamente los modelos.

Aunque el estudio de sistemas con átomos ultrafr´ıos es un campo relativamente reciente, el cual comenzó con la primera realización experimental de un condensado de Bose Einstein en 1995 [21], ya se ha diversificado en muchas ramas que estudian diferentes temas como por ejemplo: los efectos del desorden en sistemas no interactuantes sobre excitaciones colectivas, la superfluidez en sistemas con interacción débil para el estudio de estados fuertemente correlacionados, f´ısica molecular e información cuántica. El progreso reciente en el enfriamiento por láser de átomos neutros ha llevado a que estos sistemas sean candidatos ideales para la simulación de la f´ısica de la materia condensada.

En la última década se comenzó a explorar la posibilidad de estudiar la competencia entre los grados de libertad de esp´ın y de carga con átomos alcalinotérreos confinados en redes

´

opticas [1], lo cual abrió la puerta al estudio de modelos de dos orbitales. Varias propuestas teóricas han aparecido posteriormente estableciendo formas de estudiar fenómenos como el efecto Kondo en redes ópticas, permitiendo pensar en la posibilidad de emular modelos como el de red de Kondo en una red óptica totalmente controlable. Partiendo de all´ı, podemos pensar en la emulación del modelo periódico de Anderson, ya que es un caso más general para la descripción del comportamiento de compuestos de fermiones pesados. De igual forma, la obtención experimental de un gas degenerado de átomos de ¹⁷¹Y b ha aumentado las posibilidades de estudiar la competencia entre carga y esp´ın en arreglos de redes ópticas, dado que estos átomos tienen un esp´ın nuclear de 1/2 permitiendo la emulación de los electrones de un material. Para este tipo de átomos tenemos presente la existencia de un estado excitado meta estable ³P0 (e) acoplado al estado base ¹S0 (g) mediante una transición ultra delgada doblemente prohibida lo cual permite el estudio de la f´ısica de materiales de dos orbitales, pues debido a esto, es posible confinarlos en redes ópticas independientes con la misma periodicidad.

Teniendo estos hallazgos como motivación se decidió explorar la f´ısica de una red óptica unidimensional bajo el modelo de Anderson periódico general y otros modelos extendidos.

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Pues, aunque existe una gran cantidad de maquinaria teórica desarrollada para perseguir la descripción de sistemas f´ısicos bajo el PAM, la estructura del diagrama de fase del estado fundamental aún no se comprende bien. Otros modelos más simples han mostrado que el sistema tendrá un orden magnético que depende de la estructura de red y la densidad de electrones en el sistema [22, 23]. A partir de all´ı surgen algunas preguntas: ¿Cómo cambia el estado fundamental del PAM cuando se considera la interacción inter e intra banda entre portadores y la deslocalización de los electrones en los orbitales f ?, ¿Cuál es el efecto del potencial de confinamiento cuando se emula el PAM en redes ópticas?, ¿Qué efectos tiene los parámetros de los modelos sobre el estado fundamental del sistema y las transiciones de fase?.

Para responder a estas preguntas se implementó el método del Grupo de Renormalización de la Matriz Densidad (DMRG) para una cadena unidimensional. Inicialmente se estudió el estado fundamental del modelo de red de Kondo con un potencial de confinamiento, deter- minando y analizando las diferentes transiciones de fase presentes en este modelo en función de diversas cantidades f´ısicas tales como el acoplamiento local, la densidad y el parámetro de tunelamiento. Es fundamental recordar que el modelo de red de Kondo (KLM) es un caso l´ımite del modelo periódico de Anderson (PAM). Posteriormente se analizó el estado fundamental del modelo de Anderson periódico con potencial de confinamiento armónico, en donde se determinaron y caracterizaron las diferentes fases de este modelo en función de diversos parámetros locales. Es importante resaltar que el potencial armónico es el más usa- do cuando se confinan átomos, por tanto al emular el PAM en redes ópticas, lo primero que debemos considerar es el confinamiento armónico de los átomos en las dos redes. Finalmente se analizó el denominado modelo g-e tanto en el caso homogéneo como en el inhomogéneo (red óptica). En este modelo es importante resaltar que todos los portadores tiene mayor dinámica y pueden interactuar entre s´ı, a diferencia de algunas restricciones que se presentan en el PAM. All´ı se analizó el estado fundamental donde se estableció un diagrama de fase para el sistema homogéneo en función de los diversos parámetros presentes en el Hamilto- niano y de igual forma se estudió el comportamiento en el caso confinado, considerando el efecto de términos de interacción adicionales.

La presente tesis se encuentra organizada de la siguiente manera: en el cap´ıtulo 2 se muestran los conceptos f´ısicos necesarios para la descripción teórica del modelo de Anderson periódico y el modelo de red de Kondo. En el cap´ıtulo 3 se describen los sistemas de átomos ultrafr´ıos, el concepto de red óptica junto con algunos experimentos relevantes y finalmente, resultados obtenidos para las transiciones de fase observadas en un caso especial del modelo de Red de Kondo usando DMRG. En el cap´ıtulo 4 se discute la emulación del modelo de Anderson periódico utilizando redes ópticas mediante DMRG, observando su comportamiento en fun- ción de diversos parámetros locales. En el cap´ıtulo 5 se explican las propiedades del modelo g-e, el cual sirve para modelar átomos alcalino-térreos en un red óptica unidimensional, bajo una aproximación de baja energ´ıa. De igual forma all´ı se discuten resultados encontrados en

(25)

5

función de diversos parámetros y la riqueza de fases que aparecen debido a la modulación de los mismos.

(26)

pesados

Los materiales que exhiben comportamiento fuertemente correlacionado, especialmente los denominados fermiones pesados, es una de las áreas de la materia condensada que más a crecido en las ultimas décadas debido a que este tipo de compuestos poseen un comportamiento f´ısico bastante inusual a bajas temperaturas, mostrando propiedades tales como la superconducción, ordenamiento tipo liquido de esp´ın o inclusive la coexistencia de regiones metálicas y aislantes. En el presente cap´ıtulo mostraremos conceptos fundamentales para entender los modelos que permiten describir de este tipo de comportamientos f´ısicos en dichos materiales. Inicialmente discutiremos lo que caracteriza un metal, para luego definir la teor´ıa de l´ıquido de Fermi. Posteriormente definiremos las caracter´ısticas de los sistemas de fermiones pesados y luego cuales son los modelos fundamentales que permiten describir la f´ısica de dichos sistemas.

2.1. Metales y Teor´ıa de l´ıquido de Fermi

Los compuestos metálicos pueden ser pensados como materiales formados por iones positivos y electrones de conducción, estos últimos realizan un movimiento itinerante por todo el cristal. Un ión positivo está compuesto por el núcleo y los electrones de “core” que lo rodean.

Para un metal simple, el Hamiltoniano que lo describe esta dado por

H =

Hi

z }| {

X

i

P~_i² 2M +1

2 X

i6=j

V ( ~R_i− ~R_j) +X

i

~ p_i² 2m + 1

2 X

i6=j

e²

|~r_i− ~r_j|

| {z }

He

+

He−i

z }| {

X

ij

v(~r_i− ~R_j) , (2.1)

donde Hi representa el Hamiltoniano del sistema formado por los iones positivos de masa M , momento ~P y V ( ~R_i− ~R_j) es el potencial entre los iones, el cual depende de la separación entre ellos. H_e es el Hamiltoniano para el sistema de electrones itinerantes con masa m, momento ~p. Su primer término denota la energ´ıa cinética y el segundo la interacción Cou- lombiana entre los electrones. Finalmente H_e−i representa el potencial entre los electrones de conducción y los iones. El Hamiltoniano global que incluye estos tres términos puede

(27)

2.1 Metales y Teor´ıa de l´ıquido de Fermi 7

entonces, en principio, describir varias propiedades en los materiales incluyendo magnetismo y superconductividad. El segundo término (H_e) de este Hamiltoniano general ha probado ser muy importante para la descripción de muchas de las interesantes propiedades en sistemas metálicos debido a la interacción electrónica, la cual da origen a lo que llamamos correlación electrónica. Dicha correlación es generada por la repulsión Coulombiana que experimentan los electrones entre si al moverse.[24, 25]

Los metales en general pueden ser modelados como un gas de fermiones (electrones) libres. En la mayor´ıa de este tipo de materiales la densidad electrónica es aproximadamente de 10²²− 10²³ electrones de conducción por cm³. Entonces inicialmente para calcular propiedades, como por ejemplo el calor espec´ıfico electrónico, se puede aplicar el principio de equipartición sobre el sistema de un gas de electrones libres obteniendo una energ´ıa interna E dada por

E = 3

2N k_BT , (2.2)

con k_B la constante de Boltzmann, N el n´umero de electrones y T la temperatura [26]. De all´ı podemos calcular el calor espec´ıfico C_V mediante la ley de Dulong-Petit,

C_V = dE dT = 3

2N k_B, (2.3)

El valor que se obtiene de la ecuación 2.3, en principio, se esperar´ıa que fuese del mismo orden que el calor espec´ıfico de la red alrededor de la temperatura ambiente. Sin embargo, en metales reales no se observa un valor de ese orden para el calor espec´ıfico electrónico en ese rango de temperatura. Esto es debido a que la temperatura ambiente es demasiado baja cuando se compara con la temperatura asociada a los electrones que ocupan el último nivel electrónico en el estado fundamental y por tanto no se puede aplicar el principio de equipartición. Solo los electrones que se encuentran en un rango de temperatura muy cercano a la energ´ıa de Fermi contribuyen al calor especifico y de hecho a todas las propiedades electrónicas. En este caso para tener el calor espec´ıfico correcto debido al aporte electrónico usamos el potencial qu´ımico µ y la distribución de Fermi-Dirac para los electrones f (_k). Con ello definimos las energ´ıa del sistema electrónico como E = 2P

kkf (k), donde el factor 2 emerge debido a la degeneración del esp´ın. Al utilizar la densidad de estados g(_k) es posible obtener el calor espec´ıfico electrónico que está definido por la expresión

C_V = π²

3 k²_Bg(_F)T = γT , (2.4)

As´ı pues, el calor espec´ıfico electr´onico a bajas temperaturas es proporcional a la densidad de estados g(_F) = _π^mp₂_¯_h^f3 en la superficie de Fermi y es lineal a la temperatura. El coeficiente

(28)

del calor espec´ıfico γ es llamado la constante de Sommerfeld.

Si ahora al sistema de electrones libres le aplicamos un campo magnético débil H a bajas temperaturas, podremos obtener una expresión para la susceptibilidad magnética de Pauli.

Usando un valor de el factor de esp´ın electrónico g = 2 y el magnetón de Borh µ_B, la energ´ıa Zeeman con esp´ın σ esta dada por gσµ_BH/2 = σµ_BH. La energ´ıa Zeeman induce la magnetización dada por ∆M = µ²_Bg(_F)H. Asi pues, la susceptibilidad magnética χ es dada por

χ = ∆M/H = µ²_Bg(_F) . (2.5)

Vemos que, la susceptibilidad magn´etica de Pauli es proporcional a la densidad de estados g(_F) en la superficie de Fermi, al igual que en el caso del calor espec´ıfico.

Los efectos de la interacci´on Coulombiana en el gas electr´onico fue trabajado a lo largo del

´

ultimo siglo y su naturaleza fue desvelada alrededor de la década de 1950 mediante el esfuerzo de muchos cient´ıficos, tales como Pines, Bohm, Nozieres, Gell-Mann y Sawada. Inicialmente, las partes esenciales de este problema lograron ser resultas mediante el uso de cálculos con métodos perturbativos. Luego las coyunturas más complejas del problema fueron resueltas usando algunas consideraciones f´ısicas, las cuales a su vez generaron nuevos conceptos y desa- rrollaron los métodos actuales que conocemos para lidiar con el problema de muchos cuerpos.

Uno de los principales problemas en la f´ısica es determinar como los cuerpos interactúan entre ellos, ya que a partir de all´ı es posible en cierta medida describir caracter´ısticas espec´ıficas de los sistemas. Cuando nos remontamos a los cursos más básicos de la mecánica clásica y la mecánica cuántica, vemos que este tipo de problema solo es abordado para los casos más simples, el de una y dos part´ıculas. Cuando se considera un número mayor de cuerpos en el problema este se dificulta considerablemente. En el área de la materia condensada se trabajan con un número macroscópico de N ≈ 10²³ part´ıculas aproximadamente, y normalmente centenas de ellas interactúan entre si.

Para el problema de muchos cuerpos, no existe una solución general, a pesar de ello existen una gran cantidad de aproximaciones que permiten de forma satisfactoria explicar diferentes casos l´ımites del modelo. Una de esas aproximaciones es la denominada Teor´ıa de l´ıquido de Fermi, la cual fue propuesta por el f´ısico ruso Lev Landau en el año 1957 como respuesta al problema de muchos cuerpos para sistemas fermiónicos. Inicialmente esta teor´ıa fue diseñada para explicar el comportamiento del ³He l´ıquido a muy bajas temperaturas, pero años más tarde se consideró que esta teor´ıa podr´ıa ser extendida para otros sistemas fer- miónicos, especialmente para explicar el comportamiento de los electrones de conducción en los metales, dando paso a describir as´ı muchas de sus propiedades caracter´ısticas. Antes de

(29)

entrar a explicar la Teor´ıa de L´ıquido de Fermi primero estableceremos algunos conceptos y generalidades sobre el problema que se deber´a abordar [6].

Como fue mencionado antes, el problema de muchos cuerpos no tiene una solución general, por lo cual lo único que podemos hacer es analizar algunos casos l´ımites. Uno de estos casos particulares es el gas ideal, en donde se asume que no existe interacción entre las part´ıculas.

Junto con esto tambi´en asumiremos que el gas es compuesto por electrones (s = 1/2).

En el caso de un sistema de N part´ıculas, tenemos que el estado fundamental del sistema tiene N estados de una part´ıcula siguiendo el principio de exclusion de Pauli al tratarse de fermiones. En este caso el máximo de la energ´ıa cinética de un estado ocupado del sistema es llamado energ´ıa de Fermi _F. De esta forma es posible definir también el vector de onda de Fermi kF y el momento de Fermi pF = ¯hkf, donde

_F = p²_F

2m = ¯h²k_F²

2m . (2.6)

Cuando se observa este resultado en el espacio de momentos, se define la superficie de Fermi cuando p = p_F (Fig. 2-1). Todos los estados al interior de esa superficie están ocupados y los que están afuera se encuentran desocupados. El conjunto de todos los estados ocupados dentro de esta superficie constituyen lo que se denomina como esfera de Fermi. A partir de esta construcción, es posible calcular el número de part´ıculas en el sistema y con ello obtener la relación entre el vector de onda de Fermi y la densidad de part´ıculas.

Figura 2-1.: Superficie de Fermi. En el espacio de momento p, todos los estados de m´as baja energ´ıa ocupados se encuentran para todos los valores de p < pF [6].

(30)

Al resolver el problema del gas de Fermi podemos observar que para altas temperaturas (T >> T_F) el sistema se comporta como una gas clásico, donde el promedio de energ´ıa por part´ıcula es igual a 3k_BT /2, dando como resultado un valor de calor espec´ıfico de 3k_B/2 por part´ıcula. En al caso de bajas temperaturas (T < TF) el calor espec´ıfico se reduce. Esto puede ser interpretado como que solo las part´ıculas con energ´ıa cercana a la superficie de Fermi pueden ser excitadas. Aquellas con energ´ıa más allá de k_BT de la superficie de Fer- mi no puede ser excitada y por tanto no contribuyen al calor espec´ıfico. Para muy bajas temperaturas (T << T_F) el calor se comporta de forma lineal con la temperatura como se observó en la ecuación 2.4, donde es claro que este término lineal es determinado por la densidad de estados en la superficie de Fermi.

Landau, inspirado por los extraños resultados experimentales del³He l´ıquido (superfluido) tuvo una gran incógnita que buscó responder: ¿Es posible que a bajas temperaturas el ³He l´ıquido se comporte efectivamente como un gas ideal? El problema es que para resolver esta pregunta, deb´ıa responder antes otras aún más espec´ıficas. ¿Como es posible que un sistema compuesto por una alta densidad de átomos de Helio se comporte como un gas ideal?

Si esta primera incógnita se resuelve, ¿como se podr´ıa entender la diferencia de 2,7 en la densidad de estados que existe entre el gas de Fermi y el³He l´ıquido? Pero lo más importante es, ¿qué modificaciones deben ser realizadas para describirlo bajo la teor´ıa de un gas ideal?

Al reflexionar sobre esto, es posible ver que la función de onda usada en el gas de Fermi ideal presenta muy poca correlación entre las posiciones de las part´ıculas. Para poder dar una respuesta a todas estas preguntas, Landau considero inicialmente que el sistema de³He l´ıquido era compuesto por part´ıculas puntuales en vez de átomos reales. En el caso de un gas ideal convencional las part´ıculas viajan en trayectorias lineales sin colisionar entre si, pero si consideramos que las part´ıculas ahora poseen un pequeño tamaño ellas comenzarán a colisionar. Para entender un poco más lo que sucede, podemos suponer que tenemos el caso de la esfera de Fermi totalmente llena más una part´ıcula con energ´ıa ₁ > _F. El objetivo es determinar cuales son los estados finales posibles cuando la part´ıcula 1 choca con una part´ıcula que está dentro de la esfera de Fermi (₂ < _F). De acuerdo a lo que establecimos inicialmente, el estado final debe tener dos part´ıculas fuera de la esfera de Fermi pues el principio de exclusión de Pauli proh´ıbe que dos part´ıculas queden en el mismo estado dentro (⁰₁ > ⁰_F,⁰₂ < ⁰_F). Para este caso es posible observar que el número de estados finales es muy reducido cuando la part´ıcula está cerca al nivel de Fermi. Con esto se tiene que las energ´ıas

2 y 1 deben ser escogidas en un cascaron de grosor ∝ 1− F, significando que los estados finales est´an limitados en un factor de ∝ (₁− _F)² [6].

El problema es que los ´atomos de ³He no se pueden considerar como part´ıculas puntuales, pues ellos est´an en constante contacto entre si. Aunque este es uno de los problemas mas dif´ıciles en la teor´ıa de muchos cuerpos, uno puede hacerse una idea de lo que esta suce-

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diendo en el sistema usando algunas aproximaciones. Lo primero es asumir un potencial de interacción débil en vez de un potencial real de interacción entre los átomos de Helio. El efecto de este potencial débil puede ser calculado usando la teor´ıa de perturbaciones de la mecánica cuántica. El resultado de esto muestra que el espectro de excitación permanece cualitativamente parecido al de un gas de Fermi, pero con evidentes cambios en las energ´ıas.

Retomando el caso planteado anteriormente, de la esfera de Fermi llena con una part´ıcu- la adicional con momento p donde p > p_F, el efecto de la interacción débil es que ahora la energ´ıa de excitación es lineal con p − p_F. La forma más común para escribir la nueva energ´ıa de excitación es

_p− _F = p_F

m^∗(p − p_F) , (2.7)

en donde se ha definido a m^∗ como la masa efectiva. Con esta nueva relaci´on de dispersi´on obtenemos la nueva densidad de estados

g(_F) = m^∗p_F

π²¯h³ . (2.8)

Como se puede observar, esta nueva densidad de estados es definida por la masa efectiva m^∗ y no la simple masa m de las part´ıculas como en el gas ideal. Con esto se puede apreciar que las interacciones débiles pueden explicar la diferencia en el coeficiente del calor especifico al compararlo con el del gas ideal. Aún as´ı, esta teor´ıa es solo válida para pequeñas perturbaciones y es insuficiente para explicar la diferencia de 2.7 comentada inicialmente. A partir de estos resultados, Landau realizó varias suposiciones. Primero él estableció que aún para interacciones fuertes, el espectro de excitación deber´ıa permanecer como en la relación de dispersión de la Ec. 2.7. Ese tipo de excitación las denominó cuasi-part´ıculas, las cuales se van desarrollando continuamente desde las excitaciones de una sola part´ıcula cuando la interacciones comienzan a considerarse. La segunda suposición es que las cuasi-part´ıculas tienen un tiempo de vida largo a bajas energ´ıas, como en el caso de la aproximación de dispersión que se hizo con anterioridad.

Es interesante notar que la teor´ıa de Landau es enteramente fenomenológica, en donde existe un parámetro m^∗ del cual se desconoce su valor teórico, pero que puede ser obtenido a través de los experimentos. En este caso aunque no existe una estructura detallada para lo que son las cuasi-part´ıculas, es posible desarrollar una imagen cualitativa de este modelo. Podemos considerar un objeto esférico moviéndose en un l´ıquido estacionario. En este caso lo que encontramos es que al movimiento del objeto encontraremos asociado un momento del fluido de part´ıculas que lo rodean el cual va en la misma dirección, esto se conoce normalmente como flujo de retorno. Este efecto se debe a que el objeto en movimiento arrastra consigo parte del fluido que lo rodea. Si consideramos que el momento total de la cuasi-part´ıcula es

(32)

constante, esto implica que cuando se empiezan a activar las interacciones resultará en que el fermión original se mueva más lento, ya que parte de su momento fue transferido al fluido que lo rodea. Una imagen similar puede ser deducida utilizando mecánica cuántica, all´ı para obtener la velocidad de una cuasi-part´ıcula se debe formar un paquete de ondas localizado el cual viaja con la velocidad de grupo.

La teor´ıa del l´ıquido de Fermi puede ser aplicada para calcular una variedad de cantidades f´ısica medibles en sistemas fermi´onicos. Aqu´ı veremos algunas de las principales de ellas.

Calor espec´ıfico. Tenemos que el calor espec´ıfico puede ser calculado como

C = π²

3 g(_F)k_B²T + O(T²) . (2.9)

En donde el efecto de las interacciones es dado por el hecho que la densidad de estados depende de la masa efectiva m^∗. Para el r´egimen de bajas temperaturas, el comportamiento lineal del calor espec´ıfico es una firma caracter´ıstica del comportamiento de un l´ıquido de Fermi.

Susceptibilidad magnética . En un campo magnético el l´ıquido de Fermi sufre polarización de esp´ın. As´ı pues la susceptibilidad magnética esta dada por

χ = µ²_B g(_F)

1 + F₀^a (2.10)

en donde nuevamente las interacciones de los electrones esta contenida en la densidad de estados. Este resultado difiere con respecto al del gas de Fermi por la aparición de la función F₀â, la cual es un parámetro de Landau, definido para este caso en términos de la función de interacción anti-simétrica y la densidad de estados.

Resistividad eléctrica. Cuando se estudian metales en el régimen de bajas temperaturas (bajas energ´ıas), la resistividad del material es determinada por dos efectos: la dispersión electrón-electrón y la dispersión Umklapp (electrón-fonón). En este caso, para un l´ıquido de Fermi, la resistividad eléctrica tiene un comportamiento proporcional a T². Esto es una de las señales caracter´ısticas del comportamiento tipo l´ıquido de Fermi y que puede ser observada de forma experimental. En general la resistividad esta dada por:

ρ = ρ0+ AT². (2.11)

Donde ρ₀ es la resistividad intr´ınseca del material y A es un parámetro que depende de la naturaleza del material, as´ı como de su densidad de estados g(). Esta expresión solo es vali- dad para el régimen de bajas temperaturas, T << T_F. Cuando tenemos altas temperaturas,

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la población de fonones es mayor y por tanto la dispersión cuasipart´ıculas-fonón comienza a ser relevante dominando sobre la contribución electrónica. [27–29].

Compresibilidad. La compresibilidad isot´ermica esta definida por

κ = −1 V

∂V

∂P T ,N

= 1 n²

∂n

∂µ T

, (2.12)

entonces se requiere calcular ^∂n_∂µ. Cuando se observa la densidad n = k_F³/3π², se puede establecer que una variación en dicha cantidad será equivalente a una variación del momento de Fermi kF, ∂kF/∂n = π²/k_F². As´ı pues, cuando kF varia, la distribución de cuasi-part´ıculas también varia, entonces el cambio en el potencial qu´ımico esta dado por

∂µ

∂n = 1 + F₀^s

g(_F) , (2.13)

n²κ = g(_F)

1 + F₀^s, (2.14)

Las interacciones entre las cuasi-part´ıculas llevan a una renormalizaci´on de un factor 1/(1 + F₀^s) del resultado g(_F) obtenido para la compresibilidad de un gas de Fermi ideal solamente por el reemplazo de la masa por la masa efectiva.

2.1.1. No-l´ıquido de Fermi

En general, nuestro entendimiento acerca de como las interacciones entre electrones afectan el estado met´alico han estado basadas en la teor´ıa de l´ıquido de Fermi formulada por Landau.

Esta teor´ıa nos provee una base para entender el comportamiento metálico (y por ende el aislante también) en términos de una interacción débil entre part´ıculas similares al electrón (cuasi-part´ıculas). Aún as´ı, en las últimas décadas se han descubierto materiales metálicos que simplemente no pueden ser descritos por dicha teor´ıa, como por ejemplo el estado normal de los cupratos superconductores de alta temperatura.

Estos fallos en la teor´ıa han generado inter´es en estudiar los casos donde los metales dejan de comportarse como un l´ıquido de Fermi, denominando as´ı esta ´area como sistemas de tipo No-l´ıquido de Fermi.

Desde una perspectiva teórica, podemos enmarcar este comportamiento en sistemas donde simplemente las propiedades f´ısicas no pueden ser entendidas en términos de interacciones débiles entre cuasipart´ıculas [24, 28, 29]. Algunos casos donde encontramos este tipo de comportamiento son:

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Metales cerca a un punto cr´ıtico cuántico: Cuando una transición de fase ocurre a una temperatura cercana al cero absoluto, la dispersión de las cuasi-part´ıculas es tan fuerte que ellas dejan de comportarse en la forma que la teor´ıa de l´ıquidos de Fermi predice.

Metales en una dimensión (l´ıquido de Luttinger): En metales unidimensionales, los electrones son inestables y decaen en dos excitaciones separadas (espinones y holones) que llevan el esp´ın y la carga del electrón respectivamente. En este tipo de sistemas el movimiento de los electrones está confinado en una dirección, teniendo muy bajas probabilidades de saltar en alguna de las otras dos direcciones espaciales.

Modelos de Kondo de dos canales: Cuando dos electrones independientes pueden dis- persarse de una impureza magnética eso deja atrás((la mitad de un electrón)).

Modelos de Kondo desordenados: En estos casos la dispersi´on debida a impurezas magn´eticas desordenadas es extremadamente fuerte para permitir que se formen las cuasipart´ıculas de Fermi.

Al igual que en el caso de l´ıquido de Fermi, las propiedades f´ısicas tales como la resistividad, el calor espec´ıfico y la susceptibilidad magnética pueden servir como criterio para identificar cuando estamos tratando con un no-l´ıquido de Fermi. En particular, cuando tratamos con estos sistemas se observa que a baja temperatura la interacción entre los electrones es demasiado fuerte, en donde encontraremos comportamientos caracterizados por ejemplo por: El calor espec´ıfico será proporcional a T ln T , la susceptibilidad magnética a ln T y la resistividad eléctrica proporcional a T^5/3.

2.2. Sistemas de Fermiones Pesados (Heavy Fermions)

En el área de la materia condensada uno de los temas más importantes y que ha tomado bastante relevancia en las últimas décadas (especialmente por sus potenciales aplicaciones) es el estudio de los sistemas fuertemente correlacionados. Esta clase de sistemas se caracterizan porque en ellos las interacciones de muchos cuerpos son fuertes y dominan a la energ´ıa cinética del sistema, siendo lo suficientemente relevantes para cambiar las propiedades f´ısi- cas del material. Dentro de los sistemas fuertemente correlacionados encontramos algunos tales como los cupratos superconductores, los sistemas con efecto Hall cuántico fracciona- rio, los puntos cuánticos, los gases con átomos ultrafr´ıos y especialmente los compuestos de fermiones pesados (Heavy Fermions). En el caso de estos últimos, ellos se caracterizan por ser metales que tienen inmersos momentos magnéticos fuertemente localizados, los cuales generan un aumento en la masa efectiva de las cuasi-part´ıculas electrónicas en ordenes entre 10² y 10³ veces la masa del electrón, de all´ı su nombre caracter´ıstico [30].

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2.2 Sistemas de Fermiones Pesados (Heavy Fermions) 15

Todos estos sistemas mencionados comparten una caracter´ıstica en común, y es que ya sea mediante el uso de agentes externos como el dopaje, campos magnéticos o inclusive presión mecánica, es posible obtener estados cuánticos con propiedades f´ısicas exóticas e interesantes, donde la energ´ıa de las interacciones entre las part´ıculas es comparable o inclusive mayor que la energ´ıa cinética del mismo. Otra caracter´ıstica que comparten muchos de estos sistemas, y es de hecho la razón por la cual surgen sus propiedades singulares, es que los sistemas fuertemente correlacionados tienen átomos con orbitales d o f parcialmente ocupados. La interacción entre estos momentos y el mar de electrones es lo que crea una dinámica en la f´ısica de sistemas correlacionados.

Dentro de todos los elementos presentes en la tabla periódica, algunos presentan ciertas caracter´ısticas que permiten ser explicadas por medio de la fuerte correlación electrónica.

En particular, los electrones que interactúan con mayor fuerza tienen una tendencia a estar ubicados en orbitales atómicos parcialmente llenos que están fuertemente localizados cerca al núcleo (4f ,5f y 3d). Aqu´ı tenemos dos tipos de electrones, unos que están ubicados en el mar electrónico (denominados electrones de conducción) que tienen una alta movilidad, y unos electrones fuertemente localizados cuya interacción también es grande entre ellos. Kmet- ko y Smith realizaron un diagrama reorganizando la tabla periódica (Fig 2-2) en términos de la localización electrónica de los últimos niveles de cada compuesto. Ellos tomaron los grados de localización de los orbitales atómicos parcialmente llenos de la siguiente forma:

5d < 4d < 3d < 5f < 4f . Este orden tiene dos normas, primero los orbitales con mayor número cuántico principal tiene más nodos radiales y por tanto son más deslocalizados. Y segundo, a medida que uno se mueve de los orbitales d a los f en filas por la tabla periódica, hay un aumento en la carga nuclear que hace que los orbitales queden más cerca del núcleo, aumentando as´ı la localización de dichos momentos magnéticos.

En la figura 2-2 vemos que si uno se mueve de izquierda a derecha o de arriba abajo, la organización permite ver que los compuestos van aumentando su localización en los últimos orbitales parcialmente llenos. As´ı pues, los elementos metálicos ubicados en la parte inferior izquierda tienen electrones mucho más itinerantes, por lo cual pueden aportar propiedades de tipo superconductor a compuestos que los contengan a muy bajas temperaturas. Ahora, los elementos en la parte superior derecha son elementos de tierras raras o act´ınidos con iones fuertemente localizados, formando momentos magnéticos, espec´ıficamente con ordenamiento de tipo antiferromagnético. Lo más interesante del diagrama realmente son los elementos que están en el medio de las dos regiones, espec´ıficamente lo ubicados en la esquina superior izquierda, pues estos materiales se encuentran al borde del magnetismo y en algunos casos de la superconductividad.

Elementos tales como el Cerio, el Uranio y el Iterbio son esenciales en los compuestos de fermiones pesados. Estos compuestos tienen varias caracter´ısticas que permiten identificar-

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Figura 2-2.: Diagrama de Kmetko-Smith. Este diagrama muestra una nueva organización de elementos de la tabla periódica basada en la distribución electrónica para elementos con sus últimos electrones en los niveles d y f. Este diagrama permite establecer los elementos que poseen una fuerte localización (zona roja) y los que son más deslocalizados (zona azul) [7].

los de forma experimental, pues a bajas temperaturas, sus propiedades f´ısicas como el calor espec´ıfico electrónico, la resistividad eléctrica y la susceptibilidad magnética tienen un incremento enorme cuando es comparado con un metal ordinario (Fig 2-3). Esto, según se pudo observar en la teor´ıa de l´ıquido de Fermi, es debido al incremento de la masa efectiva de las cuasi-part´ıculas en cientos o miles de veces la masa del electrón.

En la figura 2-3 podemos observar la comparación de diversos resultados experimentales entre dos compuestos diferentes: el LaAl₃ y el CeAl₃. El primero lo podr´ıamos catalogar como un metal común, mientras que el segundo es un compuesto de fermiones pesados. Cuando se comparan las estructuras electrónicas del Ce y el La, se puede observar que la única diferencia radica en el hecho de que el Cerio posee un único electrón en el nivel 4f , esto genera la renormalización de la masa efectiva, incrementándola con respecto a la masa del electrón. Según la teor´ıa de l´ıquido de Fermi el comportamiento del calor especifico obedece a C = γT + AT³, as´ı pues en la figura 2-3a, se observa que para los dos compuestos temperaturas superiores a los 10K, el comportamiento predominante es proporcional a T³, en cambio para bajas temperaturas (T < 5K) el comportamiento del calor espec´ıfico es lineal con la temperatura. De igual forma vemos claramente el incremento en el calor espec´ıfico del compuesto de fermiones pesados comparado con el metal convencional, esto debido a la masa efectiva de las cuasi-part´ıculas. Como vimos la constante de Sommerfeld (γ) es directamente proporcional a la densidad de estados y por tanto también lo es a la masa efectiva. En la figura 2-3b encontramos el comportamiento de la susceptibilidad magnética del CeAl₃. El

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2.2 Sistemas de Fermiones Pesados (Heavy Fermions) 17

Figura 2-3.: Propiedades f´ısicas de CeAl3 (fermión pesado) comparadas con el LaAl3.(a) Calor especifico, (b) Susceptibilidad magnética, (c) y (d) Resistividad eléctrica. [8]

LaAl₃ es un metal común no magnético y por tanto su susceptibilidad es despreciable. Al sustituir el La con Ce observamos que la susceptibilidad se incrementa considerablemente, nuevamente debido a la renormalización de la masa efectiva. Finalmente en las figuras 2-3c,d encontramos los resultados experimentales para la resistividad eléctrica en estos dos compuestos. Para el LaAl₃ su resistividad se comporta como es común en metales ordinarios, donde a partir de una temperatura cr´ıtica su comportamiento es lineal con la temperatura.

Ahora, el CeAl₃ demuestra a bajas temperaturas un comportamiento dependiente de T² (esto es corroborado por la linealizaci´on en 2-3d), lo cual es un resultado esperado por la teor´ıa de l´ıquido de Fermi, pero ademas su valor se incrementa sustancialmente debido a su proporcionalidad con la masa efectiva.

Gran cantidad de sistemas de fermiones pesados se distinguen por presentar una susceptibilidad de Pauli aumentada en relación con metales normales a muy bajas temperaturas como mostramos en el ejemplo anterior. Según la teor´ıa de Landau, la susceptibilidad magnética χ(T ) y el calor espec´ıfico dividido por la temperatura C(T )/T , tienden a una constante en

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el l´ımite que T → 0. Otra comportamiento que los caracteriza es el transporte electrónico, pues para esté tipo de compuesto, el comportamiento de la resistividad en función de la temperatura es de la forma ρ(T ) = ρ_o+ AT², donde ρ_o es la resistencia residual intr´ınseca y A > 0, con A dependiendo directamente de la masa efectiva del sistema.

De igual forma, algunos compuestos espec´ıficos presentan, sobre diversos agentes externos, un comportamiento muy diferente al descrito por la teor´ıa de Landau. ´Este se denomina un comportamiento de no l´ıquido de Fermi. Aqu´ı, χ(T ) y C(T )/T divergen de forma logar´ıtmi- ca o como una ley de potencias cuando T → 0 y ρ(T ) var´ıa con una ley de potencia T^β con 1 < β < 2 [18]. Dentro de estas caracter´ısticas, la m´as importante es la divergencia de C(T )/T cuando T tiende a 0, ya que esto implica que la densidad de estados en la superficie de Fermi diverge, por lo cual no se puede estudiar la f´ısica de estos materiales bajo la teor´ıa de Landau.

En general los sistemas de fermiones pesados pueden ser hallados en diversos tipos de estados fundamentales como: antiferromagnético [31], l´ıquido de Fermi, aislante Kondo o superconductor en coexistencia con la fase antiferromagnética [5,32]. Algunos de estos comportamientos pueden ser observados en la Fig.2-4, donde encontramos el diagrama de fases de diversos materiales en términos de la Temperatura (T) y otros parámetros como el campo magnético, la sustitución qu´ımica y presión mecánica. Es interesante notar que en compuestos como los mostrados en la figura 2-4c (fermión pesado no magnético), puede inducirse antiferromag- netismo en el sistema.

2.2.1. Efecto Kondo e Interacci´ on RKKY

Las propiedades f´ısicas que presentan los sistema de fermiones pesados pueden ser descritas por la competencia entre dos interacciones fundamentales: El efecto Kondo, o el apantalla- miento parcial de los momentos magnéticos por los electrones de conducción , y la Interacción Ruderman-Kittel-Kosiya-Yosida (RKKY), o la interacción magnética de largo alcance entre los momentos localizados, las cuales tienen dos escalas de energ´ıa diferentes, T_K para el efec- to Kondo y TRKKY para la RKKY. Siempre el estado magnético de los fermiones pesados es determinado cuando la interacción RKKY tiene un mayor valor que el efecto Kondo y el estado no magnético sucede en el caso contrario. Aunque un comportamiento f´ısico bastante interesante sucede cuando la competencia entre estas dos interacción se balancea. A conti- nuación haremos una breve descripción de estos dos fenómenos.