Treballarem amb PC i Geogebra en aquesta unitat.

- Funcions lineals 3

- Funcions quadràtiques 7

- Funcions racionals 11

- Funcions exponencials 15

- Funcions logarítmiques 19

- Equacions exponencials 24

- Equacions logarítmiques 27

2

Treballarem amb PC i Geogebra en aquesta unitat.

Una funció lineal és una funció polinòmica de primer grau que té com a expressió:

y = mx + n on m és la pendent de la recta

Com podem determinar l’equació de la recta??

4

Si coneixem dos punts de la recta podem determinar la seva pendent (m):

𝑚 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑡𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 = b

a = 𝑦_𝑃 − 𝑦_𝐴 𝑥_𝑃 − 𝑥_𝐴

Si considerem un punt genèric P(x,y) de la recta, podem determinar l’equació de la recta mitjançant:

𝑚 = ^{𝑦−𝑦𝐴}

𝑥−𝑥_𝐴 → 𝑦 = (𝑥 − 𝑥_𝐴)m +𝑦_𝐴

Com que el gràfic corresponent a una funció lineal és una recta, podem representar una funció lineal calculant prèviament dos punts de la funció i unint-los amb una recta.

Exemple: y = -2x +1

- Si x=0  y=1 - Si y=0  x=1/2

Que passa si variem el valor de la pendent m?

6

Si m>0  la funció sempre creix.

Si m<0  la funció sempre decreix.

Si m=0  la funció és constant.

Si m és més gran  la pendent és més gran.

Que passa si variem el valor de la constant n?

La funció es mou amunt i avall perquè desplacem el punt d’intersecció amb l’eix y.

Una funció quadràtica és una funció polinòmica de segon grau que té com a expressió:

y = ax² + bx + c on a≠0

https://www.youtube.com/watch?v=He42k1xRpbQ

Symmetry axis El gràfic d’una funció quadràtica és una paràbola. Per representar una paràbola cal

seguir el següent procediment:

1) Dibuixem el vèrtex de la paràbola (màxim o mínim de la funció): a la posició x tal que:

x_v= - b/2a  Vèrtex (− ^𝑏

2𝑎 , 𝑓 − ^𝑏

2𝑎 ) 2) Trobem els punts d’intersecció amb els eixos.

3) Calculem alguns valors de la funció al voltant del x_v. 4) Unim tots els punts amb una línia corba.

8

Exemple: y = 𝑥² − 2𝑥 − 3

1) Vèrtex: x= -b/2a = 1  y = -4 2) x = 0  y = -3

y = 0 = 𝑥² − 2𝑥 − 3  x₁= -1 ; x₂= 3 3) x = 2  y = -3

x = -2  y = 5 x = 4  y = 5

Que representen els paràmetres a, b i c en una funció quadràtica?

https://www.youtube.com/watch?v=E_0AHIaK48A

1. Domini: ℝ / continuïtat: tot el seu domini

2. Simètrica respecte de l’eix d’ordenades → només si tots els coeficients de grau imparell son 0.

3. Simètrica respecte de l’origen de coordenades→ només si tots els coeficients de grau parell son 0.

4. Periodicitat: ∅

5. Punts de tall amb els eixos

• eix d'abscisses 𝑓(𝑥) = 0 ARRELS DEL POLINOMI

• eix d’ordenades 𝑓(0)

• signe de la funció canvia a les arrels de multiplicitat imparell 6. Asímptotes

• Horitzontals: només les de grau zero (funcions constants, l’asímptota coincideix amb la pròpia funció)

• Verticals: No perquè són contínues en tot ℝ

• Obliqües: només les de grau 1 (l’asímptota coincideix amb la pròpia funció)

Funcions polinòmiques 𝑓 𝑥 = 𝑎

𝑥

+ ⋯ + 𝑎

𝑥 + 𝑎

10

Llei de Boyle:

P1·V1 = P2·V2 = k



𝑃 =

𝑉

Una funció racional és una funció que té com a expressió:

y = ^𝑘

𝑥−𝑎 + 𝑏 on x≠a

Si a=0 i b=0 llavors obtenim la funció de proporcionalitat inversa:

La gràfica d’una funció racional f(x) = ^𝑘

𝑥−𝑎 + 𝑏 és una hipèrbola. Per representar-la cal seguir el següent procediment:

1) Troba el domini: f(x) no està definida per x=a  Per x=a la funció presenta una discontinuïtat de salt infinit. lim

𝒙→𝒂⁻ 𝒇 𝒙 = −∞ i lim

𝒙→𝒂⁺ 𝒇 𝒙 = +∞ , i per tant trobem una asímptota vertical en x=a.

2) lim

𝒙→±∞ 𝒇 𝒙 = 𝒃 i per tant trobem una asímptota horitzontal en y=b.

3) Generem una tabla de valors al voltant de x=a i unim tots els punts mitjançant dues línies corbes.

12

Exemple: 𝑦 = ²

𝑥−1 + 3 1) Dom = ℝ – {1}

2) Asímptota horitzontal a y=3

3) x=2  y=5 x=0  y=1 x=3  y=4 x=-1  y=2 x=4  y=11/3 x=-2  y=7/3

Què representen els paràmetres k, a i b en una funció racional?

Cal assegurar-se que el numerador i el denominador no tenen arrels comunes simplificar el màxim possible la fracció algebraica ^{𝑃 𝑥}

𝑄 𝑥

1. Domini: ℝ − {Q x = 0}/ continuïtat: tot el seu domini 2. Simetria: ∅

3. Periodicitat: ∅

4. Punts de tall amb els eixos

• eix d'abscisses 𝑓(𝑥) = 0 ARRELS DEL POLINOMI NUMERADOR QUE NO SÓN ARRELS DEL DENOMINADOR

• eix d’ordenades 𝑓(0)

• signe de la funció canvia a les arrels de multiplicitat total, sumant les multiplicitats de l’arrel en el numerador i en el denominador, sigui imparell

5. Asímptotes

• Horitzontals: grau numerador ≤ grau denominador (rectes: 𝑦 = 0 𝑜 𝑦 =quocient coeficients principals numerador i denominador)

• Verticals: punts que anul·len el denominador

• Obliqües: (grau numerador −1) ≥ grau den.

Si una funció racional té AH o AO a +∞, també té la mateixa asímptota a −∞.

Funcions racionals 𝑓 𝑥 =

𝑄 𝑥

La mateixa reacció es produeix en la reproducció de bacteris o en les reaccions nuclears.

Una funció exponencial és una funció que té com a expressió:

f(x) = 𝑎^𝑥 on a>0 i a ≠1

https://www.youtube.com/watch?v=DjlEJNfsOKc

La gràfica d’una funció exponencial f(x) =𝑎^𝑥 es pot representar construint una taula de valors on:

1) Per x=0  f(x)=1 2) Per x=1  f(x)=a

16

Exemple: y = 3^𝑥 1) x=0  f(x)=1 2) x=1  f(x)=3

3) x = -1  f(x) = 1/3 x = -2  f(x) = 1/9 x= 2  f(x) = 9

1. Domini: ℝ / recorregut: (0, +∞) 2. Simetria: ∅

3. Periodicitat: ∅

4. Punts de tall amb els eixos

• eix d'abscisses: 𝑛𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑙𝑙𝑎

• eix d’ordenades: (0,1)

• signe de la funció: sempre positiu 5. Asímptotes

Per a>0 trobem:

- lim

𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 = 0  asímptota horitzontal a f(x)=0.

- lim

𝑥→+∞ 𝑓 𝑥  asímptota obliqua.

Per a<0 trobem:

- lim

𝑥→−∞ 𝑓 𝑥  asímptota obliqua.

- lim

𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = 0  asímptota horitzontal a f(x)=0.

Funcions exponencials 𝑓 𝑥 = 𝑎

18

En general:

Recordem que son els logaritmes:

20

Una funció logarítmica és una funció que té com a expressió:

f(x) = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑥 on a>0 i a ≠1

https://www.youtube.com/watch?v=1dUSNdZspQc&list=PLmdFyQY ShrjcWl13fndjdWRBTF0C-tHG3&index=2

La gràfica d’una funció logarítmica f(x) =𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑥 es pot representar construint una taula de valors on:

1) Per x=1  f(x)=0 2) Per x=a  f(x)=1

Exemple: f(x) =𝑙𝑜𝑔₂𝑥 1) x=1  f(x)=0

2) x=2  f(x)=1

3) x = 1/2  f(x) = -1 x = 4  f(x) = 2 x= 8  f(x) = 3

Quin és el domini de f(x) =𝑙𝑜𝑔 𝑥 ? (0,+∞)

1. Domini: ℝ

𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑎𝑚𝑛𝑒𝑡 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑢 = (0, +∞) / continuïtat: tot el seu domini

2. Simetria: ∅

3. Periodicitat: ∅

4. Punts de tall amb els eixos

• eix d'abscisses:(1,0)

• eix d’ordenades: 𝑛𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑙𝑙𝑎

• signe de la funció:

o 𝑎 < 1 → 𝑓 < 0 𝑠𝑖 𝑥 > 1 o 𝑎 < 1 → 𝑓 > 0 𝑠𝑖 𝑥 < 1 o 𝑎 > 1 → 𝑓 < 0 𝑠𝑖 𝑥 < 1 o 𝑎 > 1 → 𝑓 > 0 𝑠𝑖 𝑥 > 1

5. Asímptota vertical: en el límit esquerre del domini:

si 𝑎 > 1 → lim

𝑥→0⁺ log_𝑎 𝑥 = −∞

si 𝑎 < 1 → lim

𝑥→0⁺ log_𝑎 𝑥 = +∞

Funcions logarítmiques 𝑓 𝑥 = log

𝑥

Si tenim una funció exponencial del tipus f(x) =𝑎^𝑥, com podem trobar el valor de x per a que la funció f(x) tingui un valor determinat?

Per a trobar la solució necessitem establir el procediment per resoldre equacions exponencials (on la incògnita es troba a l’exponent). Vegem alguns exemples:

1) 5^𝑥 = 625

5^𝑥 = 5⁴  x = 4 2) 8^2𝑥+3 = 4^𝑥3

Expressem les bases com a potències d’un mateix nombre:

2^{3 2𝑥+3} = 2^{2 x3} 2^6𝑥+9 = 2^2𝑥3

6x+9 = 2x/3  x = -27/16

24

3) 3^𝑥−1 + 3^𝑥 + 3^𝑥+1 = 39

3^𝑥

3 + 3^𝑥 + 3 · 3^𝑥 = 39 3^𝑥 + 3 · 3^𝑥 + 9 · 3^𝑥 = 3 · 39

1 + 3 + 9 · 3^𝑥 = 117 3^𝑥 = 9 = 3² → x = 2

4) 4^𝑥 − 6 · 2^𝑥+1 + 32 = 0

2^{𝑥 2} − 12 · 2^𝑥 + 32 = 0

Fem un canvi de variable: t = 2^𝑥  𝑡² − 12𝑡 + 32 = 0 t1 = 8 = 2³  x1= 3

t2 = 4 = 2²  x2= 2

5) 2^𝑥 = 23

No podem expressar 23 com una potència de base 2 i per tant haurem de realitzar un càlcul aproximat mitjançant aproximacions successives:

2⁴ = 16 ; 2⁵ = 32 → 4 < 𝑥 < 5

2^4,5 = 22,627 𝑥 = 4,5 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó 𝑝𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑒 2^4,6 = 24,251 (x = 4,6 aproximació per excés)

26

Recordem que:

log_𝑏 𝑎 = 𝑐 ⇔ 𝑏^𝑐 = 𝑎 Propietats dels logaritmes:

- Per definició:

log_𝑏 𝑎 = 𝑐 ⇔ 𝑏^𝑐 = 𝑎

 𝑏^{log𝑏 𝑎} = 𝑎 - Logaritme del producte:

log_𝑏(𝑎𝑐) = 𝑥 → 𝑏^𝑥 = 𝑎𝑐 → 𝑏^𝑥 = 𝑏^{log𝑏 𝑎} 𝑏^{log𝑏 𝑐} = 𝑏^{log𝑏 𝑎+log𝑏 𝑐}

 log_𝑏(𝑎𝑐)=log_𝑏 𝑎 + log_𝑏 𝑐 - Logaritme del quocient:

 log_𝑏(^𝑎

𝑐)=log_𝑏 𝑎 − log_𝑏 𝑐 - Logaritme de la potència:

 log_𝑏 𝑎^𝑐= c·log_𝑏 𝑎

Propietats dels logaritmes:

- Canvi de base:

log_𝑏 𝑎 = 𝑥 ⇔ 𝑏^𝑥 = 𝑎 → log_𝑐 𝑏^𝑥 = log_𝑐 𝑎 → 𝑥 log_𝑐 𝑏 = log_𝑐 𝑎 → 𝑥 = ^{log𝑐 𝑎}

log_𝑐 𝑏

 log_𝑏 𝑎 = ^{log𝑐 𝑎}

log_𝑐 𝑏

- Invers del logaritme:

log_𝑏 𝑎 = ^{log𝑎 𝑎}

log_𝑎 𝑏

 log_𝑏 𝑎 = ¹

log_𝑎 𝑏

28

Si tenim una funció logarítmica del tipus f(x) = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑥, com podem trobar el valor de x per a que la funció f(x) tingui un valor determinat?

Per a trobar la solució necessitem establir el procediment per resoldre equacions logarítmiques. Vegem alguns exemples:

1) 2 log 𝑥 − log 𝑥 − 16 = 2 log ^𝑥2

𝑥−16 = log 10²

𝑥²

𝑥−16 = 10² → 𝑥² − 100𝑥 + 1600 = 0 → 𝑥₁ = 20 𝑖 𝑥₂ = 80 2) log₂ 𝑥 + log₂ 𝑥 − 2 = 3

log₂ 𝑥 𝑥 − 2 = log₂ 2³

𝑥 𝑥 − 2 = 2³ → 𝑥₁ = −2 𝑖 𝑥₂ = 4

!! Cal verificar que els resultats siguin vàlids a l’equació inicial.

3) log 𝑥 + 2 log 𝑦 = 4 log 𝑥 − log 𝑦 = 1 log 𝑥 · 𝑦² = log 10⁴

log ^𝑥

𝑦 = log 10 → 𝑥 · 𝑦² = 10

𝑥

𝑦 = 10 → 𝑥 = 100 𝑖 𝑦 = 10 4) 𝑥 + 𝑦 = 65

log 𝑥 + log 𝑦 = 3 𝑥 + 𝑦 = 65

log(𝑥 · 𝑦) = log 10³ → 𝑥 + 𝑦 = 65

𝑥 · 𝑦 = 1000 → 𝑥₁ = 40 ; 𝑦₁ = 25 𝑥₂ = 25 ; 𝑦₂ = 40

30

- Funcions lineals

- Funcions quadràtiques - Funcions racionals

- Funcions exponencials - Funcions logarítmiques - Equacions exponencials - Equacions logarítmiques