FACULTAD DE EDUCACIÓN MATEMATICA,FISICA e INFORMÁTICA J.MORENO IX CICLO 1 Introducción
Los tres problemas que más preocuparon a los griegos desde que aquella ciencia empezó a Construirse racionalmente; son: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo, que los griegos no supieron resolver. - ni nosotros tampoco. La única ventaja que tenemos sobre ellos es la de saber por qué son irresolubles.
Los problemas de duplicar el cubo y trisecar el ángulo, son problemas irracionales, es decir problemas cuyas soluciones son irracionales, y como dependen de ecuaciones de tercer grado no se pueden resolver con la regla y el compás por exigir construcciones en el espacio.
Dibujo de ángulos Con regla y compás
Ahora vamos a ver como se divide un ángulo recto en tres partes iguales. Esto se llama trisección del ángulo recto. No hay construcción gráfica para hacer la trisección de ningún otro ángulo.
TRISECCIÓN DEL ÁNGULO RECTO
Una vez construido un ángulo recto, trazamos un arco de radio arbitrario y centro en su vértice que corta a los lados del ángulo en los puntos M y N.
Dibujamos otro arco de igual radio con centro en N. El ángulo PAN mide 60º, pues los tres puntos definen un triángulo equilátero. Lo que indica que el ángulo MAP es su complementario y mide 30º.
Si dibujamos un tercer arco con el mismo radio y centro en M, obtenemos el punto Q.
Comprobamos que PAQ y QAN son ángulos de 30º. Así está hecha la trisección del ángulo recto.
Vamos a aprovechar esta construcción para dibujar el ángulo de 45º. Si prolongamos los arcos AP y AQ vemos que se cortan en el punto B que pertenece a la bisectriz del ángulo de partida.
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Vamos a dibujar directamente 60º y 30º, trazando un triángulo equilátero PAN y su bisectriz. También vemos cómo usar la trisección del ángulo recto para dibujar 60º, 30º, 75º y 15º.
¿Cómo se copia un ángulo con regla y compás?
Dado el ángulo (1) dibuje una semirrecta o segmento donde quiera copiar el ángulo (2). Trace ahora una circunferencia de radio cualquiera centrada en el vértice (3) y, con el mismo radio, es decir, sin abrir ni cerrar el compás otra en el punto que desea que sea el vértice del nuevo ángulo (4). Ahora mida con el compás el arco que determina la circunferencia auxiliar con los lados del ángulo (en rojo en la figura:
se trata de fijar un extremo del compás en A y otro en B) (5). Con esa medida AB y centro en C trace un arco
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que corte a la circunferencia anterior en D. Trace la recta MD y ya tiene el ángulo (6) Bisectriz de un ángulo
Para esta construcción utilizaremos tres puntos no alineados {p0,p1,p2}:
Trazamos las rectas por las que pasan p0 y p1 (recta r) y p0 y p2 (recta s). Con centro en p0 y radio la distancia entre p0 y p1 trazamos un arco de circunferencia que corte a la recta s, obteniendo el punto q. Ahora trazamos un arco de circunferencia con centro q y radio la distancia entre q y p1 y otro arco con centro en p1 y radio la misma distancia. Esos dos arcos se cortan en un punto. Trazamos la recta que une ese punto con p0 y obtenemos la bisectriz del ángulo formado por p0, p1 y p2.
Un problema famoso: LA TRISECCION DEL ÁNGULO TRISECAR CON REGLA Y COMPÁS CUALQUIER ÁNGULO Sabemos que bisecar cualquier ángulo es fácil
Es natural pensar que mediante un procedimiento semejante podríamos trisecarlo; sin embargo puede demostrarse matemáticamente que tal procedimiento no existe. Esto no quiere decir que ningún ángulo es trisecable, existen ángulos que sí lo son, como por ejemplo el ángulo de 90º.
También son trisecables los de la forma 90º /2k con k=1,2,3,…
EL MÉTODO DE HIPÓCRATES
Hipócrates, quien hizo la primera aportación importante a los problemas de cuadrar un círculo y duplicar un ángulo, también estudió el problema de trisecar un ángulo. Hay un método muy directo para trisecar un ángulo que ya conocía Hipócrates.
Funciona de la siguiente manera. Dado un ángulo CAB dibujamos CD perpendicular a AB que corta este segmento en D. Completamos el rectángulo CDAF. Prolongamos FC hasta E y dibujamos la línea AE que corta CD en H. Determinaremos el punto E de manera que se cumpla que HE = 2AC. De esta forma el ángulo EAB es 1/3 del ángulo CAB.
Veamos que G es el punto medio de HE de manera que HG = GE = AC. Ya que ECH es un ángulo recto, CG = HG = GE. Así, el ángulo EAB = ángulo CEA = ángulo ECG. También como AC = CG tenemos el ángulo CAG = ángulo CGA. Pero el ángulo CGA = ángulo GEC + ángulo ECG = 2 × CEG = 2 × EAB como se solicitaba.
Una de las razones por las que el problema de trisecar un ángulo parece haber sido menos atrayente para los matemáticos griegos a la hora de publicar sus soluciones es que la construcción vista anteriormente, a pesar de no ser posible con un objeto recto sin marcar y un compás es, sin embargo, fácil de realizar en la práctica. Una solución de tipo
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mecánico es muy sencilla de encontrar. Marcamos una longitud de 2 × AC en el extremo derecho de la regla y la deslizamos con una marca en CD y la otra en FC prolongándola hasta que la regla define una recta que pase por A. Encontramos la trisectriz de esta manera mediante un proceso mecánico muy sencillo. Así que el problema, en la práctica, era sobradamente posible de resolver. Como los griegos no estaban en general satisfechos con las soluciones prácticas debido a un punto de vista puramente matemático, no fueron capaces de encontrarlas. Como dijo Platón:
Al proceder de un modo [mecánico], ¿no se pierde uno irremediablemente lo mejor de la geometría?…
EL MÉTODO DE ARQUIMEDES
Hay otra solución de tipo mecánico facilitada por Arquímedes. La construcción se realizaría de la siguiente manera:
Dado un ángulo CAB dibujamos un círculo con el centro en A de manera que AC y AB son radios del círculo. Desde C dibujamos una línea que corta la extensión de AB en E. Vemos que esta línea corta el círculo en F y tiene la propiedad que EF es igual al radio del círculo.
De nuevo esto puede hacerse de forma mecánica marcando una longitud igual al radio del círculo en la regla y moviéndola teniendo una marca en la extensión de BA y la segunda marca en el círculo. Movemos la regla manteniendo una marca en la línea y otra en el círculo hasta que la línea pase por C. Entonces la línea EC ya está construida. Finalmente dibujamos desde A el radio AX del círculo con AX paralelo a EC. Así AX triseca el ángulo CAB.
Es bastante sencillo de ver. El ángulo XAC = ángulo ACF = ángulo CF = ángulo FEA + ángulo FAE = 2 × ángulo FEA = 2 × ángulo XAB.
Así como existen métodos para trisecar ciertos ángulos con regla y compás, existen métodos muy ingeniosos con otros instrumentos para trisecar cualquier ángulo. Un método muy sencillo que se le atribuye a Arquímedes es el siguiente:
Sea el ángulo dado, formado por las rectas
l
y m ; sea C su vértice (figura 5)FIGURA 5
FACULTAD DE EDUCACIÓN MATEMATICA,FISICA e INFORMÁTICA J.MORENO IX CICLO 5 Construcción:
1) Trazamos un semicírculo S con centro en C y radio arbitrario. Sean B y D las intersecciones de S con
l
y sea A la intersección de S con m.2) En una regla, marcamos la distancia igual al radio CB del semicírculo. Sean 1 y 2 estas marcas.
3) Colocamos la regla de tal modo que 2 coinciden con algún punto del semicírculo S, 1 con algún punto de la recta
l
y que, al mismo tiempo, la regla pase por A. Sean E y F los puntos del
y S que acabamos de localizar con las marcas 1 y 2 respectivamente.El ángulo AEB es un tercio del ángulo
Para demostrar que es verdadera la afirmación que acabamos de hacer; hagamos las siguientes consideraciones:
El triángulo EFC es isósceles porque EF=FC y por lo tanto:
Ángulo CEF = ángulo FCE =
Como D,C,B están alineados:
+ ángulo FCA +
= 180°Por (1) tenemos que : ángulo FCA + 4
= ángulo FCA +
Y esto implica que:
4
3
Concluimos que:
Con este método, hemos construido un ángulo que es un tercio del ángulo dado y transportándolo con compás, trisecamos el ángulo
Sin embargo hemos localizado ciertos puntos en nuestra construcción de manera indebida según las normas establecidas para el uso de la regla y compás.
Las normas de cómo pueden utilizarse la regla y compás las estableció Platón (430-349 a.C.)
¿Cómo pueden utilizarse la regla y el compás?
La regla puede utilizarse para trazar la recta que pasa por dos puntos y para prolongar indefinidamente cualquier segmento de recta.
El compás puede utilizarse para trazar la circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio y para transportar distancias.
Un problema de construcción con regla y compás podemos decir que está resuelto si su solución consiste en un número finito de aplicaciones de la regla y el compás, respetando las normas de uso que acabamos de establecer.
La demostración de que es imposible trisecar cualquier ángulo, consiste en demostrar que existe un ángulo que no es trisecable: el ángulo de 60°.
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Esto se hace mostrando que el equivalente matemático del problema de la trisección, consiste en encontrar las soluciones de una ecuación que no puede reducirse a una ecuación de grado 2k, con coeficientes racionales.
La trisección del ángulo
El problema de la trisección del ángulo consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales. En general este problema tampoco esa resoluble con regla y compás. En este caso vamos a verlo con un ejemplo: vamos a ver que no se puede trisecar un ángulo de 60º.
A partir de dos puntos {p0,p1} es muy sencillo construir un ángulo de 60º . Nos colocamos en p0 y trazamos arco de radio la distancia entre p0 y p1 y después pinchamos en p1 y trazamos arco del mismo radio. Esos dos arcos se cortan en un punto p2. Trazamos después semirrecta que une p0 y p2 y tenemos un ángulo de 60º.
Trisecar ese ángulo supondría poder construir un punto p tal que la recta que uno p0 con p formara con el eje X un ángulo de 20º. Ese punto p tendría de coordenadas (cos(20º),sen(20º)). Por tanto, en particular, cos(20º) debería ser construible si lo fuera p, ya que si un ángulo es construible su seno y su coseno son fácilmente construibles haciendo proyecciones sobre los ejes. Veamos que cos(20º) no es construible con regla y compás
:
) º 20 ( sen ) º 20 cos(
3 ) º 20 ( cos
)) º 20 cos(
) º 20 ( sen 2 )(
º 20 ( sen )) º 20 ( sen ) º 20 ( )(cos cos(20º
) º 40 ( sen ) º 20 ( sen ) º 40 cos(
) º 20 cos(
) º 40 º 20 cos(
) º 60 2 cos(
1
2 3
2 2
Por tanto:
) º 20 cos(
3 ) º 20 ( 2 4cos 1
)) º 20 ( cos 1 )(
º 20 cos(
3 ) º 20 ( 2 cos 1
3
2 3
Simplificando:
cos3(20º) 43cos(20º) 81 0Entonces cos(20º) es raíz del polinomio
x3 34x 81. Este polinomio es irreducible en Q ya que las únicas raíces racionales que podría tener son
8 , 1 4 , 1 2 , 1
1
y
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ninguna lo es. Por tanto es el polinomio mínimo irreducible de cos(20º). Pero su grado no es una potencia de 2. Por tanto no es construible con regla y compás y concluimos entonces que no podemos, en general, trisecar un ángulo .
Pero hay ángulos que sí se pueden trisecar. Por ejemplo el ángulo de 90º puede trisecarse.
Sobre trisecciones podemos dar el siguiente teorema:
Teorema
