Los mapas topográficos utilizan el sistema de representación de planos acotados, mostrando la elevación del terreno utilizando líneas que conectan los puntos con la misma cota respecto de un plano de referencia, denominadas curvas de nivel, en cuyo caso se dice que el mapa es hipsográfico. Dicho plano de referencia puede ser el nivel del mar, y en caso de serlo se hablará de altitudes en lugar de cotas
ESCALA
La escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo que representa la realidad sobre un plano o un mapa. Es la relación de proporción que existe entre las medidas de un mapa con las originales.
Existen tres tipos de escalas llamadas:
• Escala natural: Es cuando el tamaño físico del objeto representado en el plano coincide con la realidad. Existen varios formatos normalizados de planos para procurar que la mayoría de piezas que se mecanizan estén dibujadas a escala natural; es decir, escala 1:1.
• Escala de reducción: Se utiliza cuando el tamaño físico del plano es menor que la realidad. Esta escala se utiliza para representar piezas (E.1:2 o E.1:5), planos
deviviendas (E:1:50), mapas físicos de territorios donde la reducción es mucho mayor y pueden ser escalas del orden de E.1:50.000 o E.1:100.000. Para conocer el valor real de una dimensión hay que multiplicar la medida del plano por el valor del denominador.
• Escala de ampliación: Se utiliza cuando hay que hacer el plano de piezas muy pequeñas o de detalles de un plano. En este caso el valor del numerador es más alto que el valor del denominador o sea que se deberá dividir por el numerador para conocer el valor real de la pieza. Ejemplos de escalas de ampliación son: E.2:1 o E.10:1.
Norma [editar]
Según la norma UNE EN ISO 5455:1996. "Dibujos técnicos. Escalas" se recomienda utilizar las siguientes escalas normalizadas:
Escalas de ampliación: 100:1, 50:1, 20:1, 10:1, 5:1, 2:1
Escala gráfica, numérica y unidad por unidad [editar]
• La escala numérica representa la relación entre el valor de la representación (el número a la izquierda del símbolo ":") y el valor de la realidad (el número a la derecha del símbolo ":") y un ejemplo de ello sería 1:100.000, lo que indica que una unidad cualquiera en el plano representa 100 000 de esas mismas unidades en la realidad, dicho de otro modo, dos puntos que en el plano se encuentren a
1 cm estarán en la realidad a 100 000 cm, si están en el plano a 1 metro en la realidad estarán a 100 000 metros, y así con cualquier unidad que tomemos.
• La escala unidad por unidad es la igualdad expresa de dos longitudes: la del mapa (a la izquierda del signo "=") y la de la realidad (a la derecha del signo "=").
Un ejemplo de ello sería 1 cm = 4 km; 2 cm = 500 m, etc.
• La escala gráfica es la representación dibujada de la escala unidad por unidad, donde cada segmento muestra la relación entre la longitud de la representación y el de la realidad. Un ejemplo de ello sería: 0_________10 km
Clases y Unidades de las Mediciones en Topografía
Las distancias horizontales o inclinadas se miden de manera directa con cintas de acero, o de manera indirecta con medidores electrónicos de distancias o EDM, (Electronic Distance Meter).
Debido al uso generalizado de éstos últimos equipos, en virtud de su precisión y rapidez, las cintas se usan cada vez menos y solo para distancias muy cortas. También hay métodos indirectos y rápidos para la medición de estas distancias, conocidos como taquimétricos o estadimétrico.
La medición de ángulos horizontales y verticales se mide con teodolitos mecánicos, electrónicos o estación total, que posibilitan la lectura de ángulos con altas precisiones y fracciones muy pequeñas de grado.
Unidades Lineales
Las unidades lineales se utilizan para la medición de longitudes y elevaciones (distancias horizontales o inclinadas y distancias verticales) utilizan el sistema métrico conocido como el sistema internacional de unidades o simplemente SI, el cual se basa en el sistema decimal (múltiplos de 10) y la unidad base es el metro.
Unidades de Área
Las unidades de área se usan para medir superficies y se expresan en metros cuadrados (m2). Sin embargo, en nuestro medio, en las medidas de agrimensura para las áreas de lotes y parcelas, normalmente se emplea la hectárea (ha) y la fanegada (fan). Para grandes extensiones se usa el kilómetro cuadrado (Km2).
Unidades de Volumen
La unidad de volumen es el metro cúbico (m3). Los volúmenes se utilizan para la cuantificación de los movimientos de tierra en las explanaciones que se requieren hacer para la construcción de proyectos u obras de ingeniería.
Unidades Angulares
Las unidades para las mediciones angulares, tanto horizontales como verticales se basan en los sistemas sexagesimales o centesimales. Las medidas angulares en el sistema sexagesimal corresponden a las divisiones de un círculo de 360 grados y un cuarto de círculo o cuadrante equivale a 90 grados. Estas unidades se llaman grados sexagesimales. A su vez cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos, es decir, que un grado tiene 3600 segundos, por ejemplo un ángulo de 65° 45’ 36’’. El sistema sexagesimal utiliza las mismas unidades que se emplean para expresar el tiempo en función de horas, minutos y segundos.
CONVERSIONES Una pulgada = 0,0254 metros
Un pie = 0,3048 metros Milla náutica = 1852 metros Milla estática = 1609,344 metros Un acre = 43560 pie cuadrado
Un pie cubico = 28,316846592 decímetros cúbicos Una pulgada cuadrada = 0,00064516 metros cuadrados
SISTEMAS DE COORDENADAS
COORDENADAS POLARES
Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de
coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo, ampliamente utilizados en física y trigonometría.
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar
(equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este
sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigidaOP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».
En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversa
Las coordenadas rectangulares (x, y) de cualquier punto de un plano implican solamente dos variables, x e y. Por tanto, la ecuación de cualquier lugar geométrico en un sistema de coordenadas rectangulares en un plano , contiene una o ambas de estas variables, pero no otras. Por esto es apropiado llamar a una ecuación de esta clase la ecuación
rectangular del lugar geométrico.
Las coordenadas polares (r , ) de cualquier punto de un plano implican solamente dos Ѳ variables, r y , de manera que la ecuación de cualquier lugar geométrico en el plano Ѳ coordenado polar contiene una o ambas variables, pero no otras. Tal ecuación se llama, de acuerdo con esto , la ecuación polar del lugar geométrico. Así, la ecuación = -π/4 y r = Ѳ cos son las ecuaciones polares de dos lugares geométricos planos .Ѳ
Para un lugar geométrico determinado , conviene , frecuentemente , saber transformar la ecuación polar en la ecuación rectangular, y recíprocamente . Para efectuar tal Y
transformación debemos conocer las relaciones que existen entre las coordenadas rectangulares y las coordenadas polares de cualquier punto ,X,A del lugar geométrico. Se obtienen Y relaciones particularmente simples cuando el polo y el eje polar del sistema polar se hacen coincidir , respectivamente , con el origen y la parte positiva del eje X del sistema rectangular. Sea P un punto cualquiera que tenga por coordenadas rectangulares (x, y) y por coordenadas polares (r, ) Entonces se deducen inmediatamente las relacionesѲ
Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y lascoordenadas cartesianas.
En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo del vector de posición sobre el eje x.
Conversión de coordenadas polares a rectangulares[editar]
Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:
Conversión de coordenadas rectangulares a polares[editar]
Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es:
(aplicando el Teorema de Pitágoras)
Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
• Para = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.
• Para ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π.
Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].
COORDENADAS CARTESIANAS
Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un tipo
de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una función, en geometría analítica , o del movimiento o posición en física,
caracterizadas porque usa como referencia ejes ortogonales entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen así como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La
denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René Descartes, quien lo utilizó de manera formal por primera vez.
Si el sistema en si es un sistema bidimensional, se denomina plano cartesiano. El punto de corte de las rectas se hace coincidir con el punto cero de las rectas y se conoce como origen del sistema. Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los números enteros de las equis ("x"); y al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los números enteros de las yes ("y"). Al cortarse las dos rectas dividen al plano en cuatro regiones, estas zonas se conocen como cuadrantes:
• Primer cuadrante "I": Región superior derecha
• Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda
• Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda
• Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha
El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el plano.
En la gráfica se indica el punto +2 en las abscisas y +3 en las ordenadas. El conjunto (2 , 3) se denomina "par ordenado" y del mismo modo se pueden ubicar otros puntos.
Las coordenadas cartesianas se usaron un ejemplo para definir un sistema
cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y se representa habitualmente por la letra x, mientras que la ordenada es la coordenada vertical y se representa por la y.
