Ondas electromagnéticas guiadas

Ondas electromagnéticas guiadas

1. Introducción

En este capítulo vamos a estudiar el comportamiento de las ondas electromagnéticas que se propagan por el interior o exterior de estructuras cilíndricas con sección arbitraria, pero uniforme a lo largo de su eje, y que de forma genérica denominaremos guías de onda. Los cables coaxiales, las guías de onda rectangulares o las circulares, corresponderían a la primera categoría y las líneas bifilares a la segunda. Todas estas estructuras tienen en común el poseer una dirección privilegiada que determina la dirección principal de propagación de la energía.

Aunque en ocasiones se reserva el término guía de onda para referirse a dispositivos de guiado que constan de un sólo conductor y líneas de transmisión para los que tienen más de uno, en lo que sigue entenderemos que el término guía de ondas incluye a ambas estructuras.

Cuando sea necesario discernir entre ellas hablaremos de guías de onda huecas para las primeras y líneas de transmisión para las segundas.

Dada la arbitrariedad de la sección transversal de estas estructuras adoptaremos un sistema de coordenadas ortogonales con simetría de traslación aún por especificar.

Consideremos un sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales ξ, η y ζ caracterizado por la relación rr =rr

(

ξ,η,ζ

)

, o lo que es lo mismo

( )

( )

( )

^_





=

=

=

ζ η ξ

ζ η ξ

ζ η ξ

, ,

, ,

, ,

z z

y y

x x

(1.1) Dado que los vectores ∂rr ∂ξ, ∂rr ∂η, ∂rr ∂

ζ

de un sistema de coordenadas curvilíneas son tangentes a las curvas coordenadas y ortogonales entre sí, la base ortonormal correspondiente

ur , ξ ur y _η ur estará dada por las expresiones _ζ

( )

( )

( )

_ζ

ζ

η η

ξ ξ

ζ η ζ ξ

ζ η η ξ

ζ η ξ ξ

u r h

u r h

u r h

r r r r r r

, ,

, ,

, ,

∂ =

∂

∂ =

∂

∂ =

∂

(1.2) en donde h , _ξ h y _η h son los factores de escala que hacen que los vectores _ζ ur , _ξ ur y _η ur _ζ tengan norma unitaria. La condición para que este sistema tenga simetría de traslación respecto a una de sus coordenadas, digamos ζ , es que las superficies definidas por ζ =cte. sean planos paralelos entre sí y que la intersección entre estos planos y las superficies ξ =cte. y η =cte. sean independientes del plano elegido. Ejemplos típicos de este tipo de coordenadas son las coordenadas cartesianas y las cilíndricas. Por ejemplo, en el caso de las coordenadas cilíndricas, la intersección de las superficies z=cte. son planos paralelos entre

sí cuya intersección con las superficies ρ=cte. y φ =cte., son círculos y semirrectas independientes del plano z=cte. escogido, tal como puede apreciarse en la figura 1.

Figura 1

La caracterización matemática de los sistemas con simetría de traslación está dada por las relaciones

( )

0 1 , ,

∂ =

= ∂

∂

∂

=

ζ ζ

ζ η ξ

η ξ ζ

h h h

(1.3) La primera condición (1.3) se traduce en que ur_ζ es un vector constante y la segunda es equivalente a considerar que h_ξ y h_ζ, así como los vectores unitarios ur_ξ y ur_η, son independientes de ζ .

A la dirección privilegiada ζ se la denominará de ahora en adelante z. De la misma manera que cualquier vector Ar

se puede descomponer en la suma de su componente transversal Ar_t

y su componente axial Ar_z

, el operador ∇ se puede descomponer de la forma

z t +∇

∇

=

∇ (1.4)

donde la componente transversal del operador está dada por

η η ξ

ξ ξu h η^u

t h r r

∂ + ∂

∂

= ∂

∇ 1 1

(1.5) y la axial, por

z

z u

u z h

r r

∂

= ∂

∂

= ∂

∇ _ζ

ζ ζ

1

(1.6) y

x

z Plano .φ =cte

Superficie ρ =cte.

Planos .z=cte

2. Componentes longitudinales del campo

Las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia en un medio homogéneo, caracterizado por las constantes ε y µ, en el que no existen fuentes, son:

0 0

=

⋅

∇

=

⋅

∇

=

×

∇

−

=

×

∇

D E

E j H

H j E

r r

r r

r r

ωε

ωµ

(2.1) Tomando el rotacional de la primera ecuación obtenemos

H j

Er =− ∇× r

×

∇

×

∇ ωµ _(2.2)

Teniendo en cuenta la identidad vectorial ^{∇×∇×Ar =∇}

( )

^{∇⋅Ar −∇2Ar} y la segunda y tercera ecuaciones (2.1), se llega a la ecuación de onda homogénea para el campo eléctrico

2 0

0

2r− r=r

∇ E γ E _(2.3)

en donde

µε ω

γ₀² =− ² (2.4)

es el cuadrado de la constante de propagación.

De manera similar, tomando el rotacional de la segunda ecuación y sustituyendo la primera y cuarta ecuaciones, obtenemos la ecuación de onda para el campo magnético

2 0

0

2 r r r

=

−

∇ H γ H (2.5)

Podemos escribir el campo eléctrico de la forma

(

z

)

E

(

z

)

E

E^r = ^r_t ξ,η, + ^r_z ξ,η, (2.6) donde Er_t

es la componente transversal y Er_z

la axial. Introduciendo esta expresión en (2.3) se obtiene

2 0

0 2 0 2

2 r r r r r

=

−

−

∇ +

∇ E_t E_z γ E_t γ E_z (2.7)

Como el vector ₂Er_t

∇ es un vector transversal y ∇₂Er_z es axial, la ecuación (2.7) se separa en las dos ecuaciones

2 0

0

2 r r r

=

−

∇ E_t γ E_t

2 0

0

2r r r

=

−

∇ E_z γ E_z

(2.8)

Introduciendo en la segunda ecuación (2.8) la descomposición del operador laplaciano en su parte transversal y axial y escribiendo Er_z E_zur_z

= , se llega a la expresión

2 0

2 0 2

2 − =

∂ +∂

∇_{t z} ^z E_z

z

E E γ

(2.9) Podemos hallar la dependencia que tiene la componente E_z del campo eléctrico con z empleando el método de separación de variables en (2.9). Para ello, consideremos que

(

z

)

e

( ) ( )

Z z

E_z ξ,η, = _z ξ,η (2.10)

y sustituyamos esta expresión en (2.9).

( )

²

( )

,

( )

, ²

( )

₂ − ₀²

( ) ( )

, =0

∂ + ∂

∇ e Z z

z z e Z

e z

Z _{t z} ξ η _z ξ η γ _z ξ η

(2.11) Dividiendo a esta igualdad por e_z

( ) ( )

ξ,η Z z se obtiene

( ) ( )

1

( ) ( )

₀

,

, ₂

2 0 2

2 − =

∂ + ∂

∇ γ

η ξ

η ξ

z z Z z Z e

e

z z t

(2.12) El primer término de (2.12) no depende de z, por tanto, debe ser igual a una constante que denominaremos γ_c².

( ) ( )

²

2

, ,

c z

z t

e

e γ

η ξ

η

ξ ₌

∇

(2.13) También podemos escribir (2.13) de la forma

( )

ξ,η γ²

( )

ξ,η

2

z c z

te = e

∇ (2.14)

Ésta es una ecuación de autovalores, denominada ecuación de Helmholtz, cuyas incógnitas son las autofunciones e_z y los autovalores γ_c². Sus soluciones (hay un número indefinido de ellas) dependen de las condiciones de contorno laterales en el contorno de la guía de ondas.

Por otra parte, la ecuación que se obtiene para el segundo término de (2.12) es

( ) ( )

2 2

2 0

1 2

z c

z Z z

Z −γ =−γ

∂

∂

(2.15) Escribiendo γ² =γ₀²−γ_c² la ecuación anterior queda de la forma

( )

²

( )

0

2

2 − =

∂

∂ Z z

z z

Z γ

(2.16)

Las dos soluciones linealmente independientes de (2.14) son

( )

z e ^z

Z = ^±γ (2.17)

Según la expresión (2.10) la componente longitudinal del campo eléctrico estará dada por

( )

_z

( )

^z

z z e e

E ξ,η, = ξ,η ^±γ (2.18)

La exponencial e^+γz está asociada a una onda que avanza hacia las z negativas y la exponencial e^−γz a una onda que avanza hacia las z positivas. Más adelante trataremos la cuestión de la propagación con más detalle.

De la misma manera se puede deducir que la componente longitudinal del campo magnético es

( )

_z

( )

^z

z z h e

H ξ,η, = ξ,η ^±γ (2.19)

donde ^h_z

( )

^ξ,η es una solución de la ecuación de Helmholtz

( )

ξ,η γ²

( )

ξ,η

2

z c z

th = h

∇ (2.20)

Aunque la forma de (2.20) es idéntica a la de (2.14), las condiciones de contorno son diferentes y, por tanto, también lo son sus soluciones. En particular, la constante de propagación γ de (2.18) no tiene por qué ser la misma que la de (2.19).

3. Clasificación de las soluciones

Las condiciones de contorno de una gran variedad de dispositivos guiaondas con interés práctico pueden ser satisfechas por campos en los que no están presentes todas las componentes. En concreto, en guías de onda huecas son posibles soluciones con E_z =0 o

=0

Hz , pero no ambas nulas a la vez, cosa que sí es posible en las líneas de transmisión. Esto hace que consideremos tres familias fundamentales de soluciones o modos: modos transversales electromagnéticos (TEM), caracterizados por tener E_z =H_z =0, modos transversales eléctricos (TE), en los que E_z =0 y, por último, modos transversales magnéticos (TM), caracterizados por tener H_z =0. A pesar de la conveniencia de la clasificación anterior hay que señalar que no es la única posible y en algunos casos es más conveniente elegir un conjunto diferente de modos. No obstante, cualquier distribución general de campo excitada en la guía puede descomponerse en una suma (en general infinita) de ondas de los tipos anteriores con unas amplitudes adecuadas.

a) Modos TEM

Los modos TEM están caracterizados por tener E_z =H_z =0 que corresponde a las soluciones de (2.14) y (2.20), e_z =0 y h_z =0, con γ_c =0. Los únicos campos existentes, Er_t y Hr_t

, son perpendiculares a la dirección z. Las ecuaciones que satisfacen se pueden escribir de la forma

(

_{t z}

)

Er_t j Hr_t ωµ

−

=

×

∇ +

∇ (3.1)

(

_{t z}

)

Hr_t j Er_t εω

=

×

∇ +

∇ (3.2)

(

∇_t+∇_z

)

⋅Er_t =∇_t⋅Er_t =0

(3.3)

(

∇_t+∇_z

)

⋅Hr_t =∇_t⋅Hr_t =0

(3.4) En primer lugar vamos a estudiar el comportamiento de estos campos con z. Para ello escribiremos por separado las componentes transversales y axiales de las ecuaciones (3.1) y (3.2). Para las componentes axiales tenemos

0r r =

×

∇_t E_t

(3.5) 0r

r =

×

∇_t H_t

(3.6) y para las transversales

t t

z Er j Hr

ωµ

−

=

×

∇ (3.7)

t t

z Hr j Er

ωε

=

×

∇ (3.8)

Tomando el rotacional axial de (3.7) y sustituyendo (3.8) se obtiene

t t

z

z Er ₂Er

γ0

−

=

×

∇

×

∇ (3.9)

Si tenemos en cuenta que

0 0

1 0

η η ξ ξ

η η ξ ξ

η

ξ h E h E z

u h u h u h

h h E h

z z

z t

z r r

r r r

r

∂

= ∂

×

∇

(3.10) se puede deducir que ∇_z×∇_z×=−∂² ∂z² y, por tanto, podemos escribir (3.9) como

2 0

2 0

2 − =

∂

∂

t

t E

z

Er r γ

(3.11) Integrando esta ecuación respecto a z se deduce que las dos soluciones linealmente independientes son

( ) ( )

^z

t z e e

Er ξ,η, = rξ,η ^±γ0

(3.12)

en donde er

( )

ξ,η es una función aún sin determinar, dependiente de las coordenadas transversales, que satisface las ecuaciones

0r r =

×

∇ e_t (3.13)

=0

⋅

∇ e_t r

(3.14) La ecuación (3.13) indica que er deriva de una función potencial Φ

( )

ξ,η a través de la expresión

Φ

−∇

= _t

er (3.15)

Teniendo en cuenta la ecuación (3.13) se deduce que Φ

( )

ξ,η satisface la ecuación de Laplace para las coordenadas transversales, esto es,

2Φ=0

∇_t (3.16)

La solución de esta ecuación está determinada por las condiciones de contorno en las paredes laterales de la estructura. Si bien el campo magnético verifica análogas ecuaciones que el campo eléctrico y, por tanto, podríamos calcularlo siguiendo el mismo procedimiento que hemos empleado para hallar er, resulta más conveniente para este fin utilizar (3.7) para encontrar una relación sencilla entre ambos.

Desarrollando (3.10) teniendo en cuenta las restricciones (1.3), se obtiene

( ) ( )

η ξ ξ η η

ξ ξ ξ ξ η η η

z u u E z u E

z E h u h

z E h E_t h

z r r r r r

∂ +∂

∂

−∂

∂ = + ∂

∂

− ∂

=

×

∇ 1 1

(3.17) pero

( )

η η γ

η γ E

z e e z

E ^z

0

0

±

∂ =

= ∂

∂

∂ ^±

(3.18)

( )

ξ ξ γ

ξ γ E

z e e z

E ^z

0

0

±

∂ =

= ∂

∂

∂ ^±

(3.19) de donde se deduce finalmente que

t z t

z Er ur Er

×

±

=

×

∇ γ₀ (3.20)

Por tanto, la ecuación (3.7) se puede escribir de la forma

t t

z E j H

ur r ωµr

γ × =−

± ₀ (3.21)

y de ahí se obtiene el campo magnético en función del campo eléctrico

z z t

z t z

t e

Z e u Z

E E u

j u

H ⁰

0 0

0 γ

ωµ

γ × _±

× =

=

×

= r r

m r r

r m r r m

(3.22) donde Z₀ = µ ε es la impedancia del modo TEM que, como vemos, coincide con la impedancia intrínseca del medio. El signo negativo en (3.22) corresponde a una onda propagándose en dirección de las z negativas (e^+γ0z en (3.12)) y el signo positivo a la solución propagándose hacia las z positivas (e^−γ0z en (3.12)).

Dado que la expresión Z₀⁻¹ur ×_z er en (3.22) no depende z, podemos definir, por similitud con (3.11), la parte de Hr_t

que sólo depende de las coordenadas transversales como e

u Z

hr m r_z r

×

= ₀⁻¹ (3.23)

En resumen, el campo eléctrico y magnético del modo TEM están contenidos en los planos perpendiculares a z y están dados por

z

t ee

Er = r ^±γ0

(3.24)

(

_z

)

^z

z

t he Z u e e

Hr = r ^±γ0 =m ₀⁻¹ r ×r ^±γ0

(3.25) donde er se deduce de (3.14) a partir de un potencial Φ que obedece a la ecuación de Laplace (3.15). La relación (3.25) se puede expresar también de cualquiera de las formas siguientes

(

z t

)

t

(

z t

)

t Y u E E Z u H

H r r r r r

r m

×

±

=

⇔

×

= _{0 0} (3.26)

donde Y₀ = Z₀⁻¹ es la admitancia del modo TEM.

b) Modos TM

Estos modos están caracterizados por la condición H_z =0. La dependencia de E_z con z viene dada por la ecuación (2.18)

( )

_z

( )

^z

z z e e

E ξ,η, = ξ,η ^±γ (2.18)

donde e_z

( )

ξ,η es una autofunción de la ecuación de Helmholtz

( )

ξ,η γ²

( )

ξ,η

2

z c z

te = e

∇ (2.14)

y γ² =γ₀² −γ_c² es la constante de propagación que viene determinada por el autovalor γ_c² de (2.14). Como se verá a continuación, las demás componentes del campo se pueden calcular a partir de E_z. Sustituyendo Er =Er_t +Er_z y Hr Hr_t

= en las dos primeras ecuaciones de Maxwell de (2.1) se obtiene

(

∇t +∇z

)

×

(

Ert +Erz

)

=−jωµHrt (3.26)

(

∇_t +∇_z

)

×Hr_t = jεωEr_t (3.27)

e igualando las componentes transversales entre sí para ambas ecuaciones, escribimos

t t

z z

t×Er +∇ ×Er =−jωµHr

∇

t t

z×Hr = jωεEr

∇ (3.28)

Haciendo actuar el operador ∇_z× sobre la segunda de las ecuaciones (3.28) y sustituyendo en la primera llegamos a la ecuación

(

z t

)

t t z

z× ∇ ×Hr + Hr =−j ∇ ×Er

∇ γ₀² ωε (3.29)

Pero como

( )

² ₂

z

H_t H^t

z

z ∂

−∂

=

×

∇

×

∇

r r

(3.30) nos queda finalmente la ecuación que determina Hr_t

supuesto conocido Er_z .

z t t

t H j E

z

Hr r r

×

∇

=

∂ −

∂² ₂ γ₀² ωε

(3.31) Podemos reescribir esta ecuación sustituyendo E^r_z

(

ξ,η,z

)

por e_z

( )

ξ,η e^±γzur_z =er_z

( )

ξ,η e^±γz; así se pone de manifiesto su dependencia con z.

z z t t

t H j e e

z

H −γ = ωε∇ × ^±_γ

∂

∂ r r r

2 2 0

2

(3.32) La solución general de esta ecuación es la suma de una solución general de la ecuación homogénea mas una solución particular de la no homogénea. No obstante, la ecuación homogénea es de la misma forma que la que describe la variación con z para los campos del modo TEM (véase (3.11)) y, por tanto, sus soluciones corresponderán a este modo y no hay que tenerlas en cuenta de nuevo. A la vista de la dependencia con z del segundo miembro, la solución particular que debemos ensayar es de la forma C∇ r_t×e_ze^±γz, donde C es una constante a determinar. Sustituyendo esta expresión en (3.32), se obtiene

z t z

t z

t e C e j e

C∇ ×r − ₀² ∇ ×r = ∇ ×r

2 γ ωε

γ _(3.33)

y despejando C, tenemos

2 0

2 γ

γ ωε

= j− C

(3.34) Por tanto, la solución particular de (3.32) es

(

_{t z z}

)

^{z z}

c z z t

t j e u e he

e j e

H ^{γ γ γ}

γ ωε γ

γ

ωε _{± ± ±}

=

×

− ∇

=

×

− ∇

= r r r

r

2 2

0

2 (3.35)

donde se ha definido hr

como la parte de Hr_t

no dependiente de z.

z z t c

u j e

hr r

×

− ∇

= ₂

γ ωε

(3.36) Para hallar la componente transversal del campo eléctrico hacemos actuar el operador

×

∇_z sobre la primera de las ecuaciones (3.28) y sustituimos en la segunda, obteniéndose

( )

2 0²

2 2

0 t t z t z

z t z t t

z

z E E

z E E

E

Er r r r r r

×

∇

×

∇

=

∂ −

⇔ ∂

×

∇

×

−∇

= +

×

∇

×

∇ γ γ

(3.37) Tras algunas operaciones, teniendo en cuenta que Er_z

(

ξ,η,z

)

=er_z

( )

ξ,η e^±γz

, se demuestra que el segundo miembro de (3.37) se puede escribir de la forma

( ) ( ) _{( )}

z

z t z

z z t

z t

z e e

z e e e

e ^{±γ ±γ} =±γ ∇ ^±γ

∂

∇

= ∂

×

∇

×

∇ r

(3.38) y, por tanto, la ecuación (3.37) se transforma en

(

_{t z}

)

^z

t

t E e e

z

E −γ =±γ ∇ ^±_γ

∂

∂ r r

2 2 0 2

(3.39) Una solución particular de esta ecuación es

(

_{t z}

)

^{z z}

c

t e e ee

E ^{γ γ}

γ

γ ∇ ± = ±

= m r

r

2

(3.40) donde se ha definido el campo eléctrico er como la parte de Er_t

no dependiente de z.

z t c

e e = ₂ ∇

γ m γ

r

(3.41)

Comparando (3.35) con (3.40) se deduce la relación existente entre las componentes transversales del modo TM

t z TM t

t z TM t

z

TMu e H Y u E E Z u H

Y

h r r r r r

r m r

m r

r= × ⇔ = × ⇔ =± × (3.42)

en donde Y_TM es la admitancia del modo TM, definida por

1 0 0

1 −

− = =

= j Z

Z Y_{TM TM}

γ γ γ

ωε

(3.43) El signo superior en (3.42) corresponde a una propagación hacia las z negativas (e^+γz) y el signo inferior hacia las positivas (e^−γz).

En resumen, el modo TM está caracterizado por no tener componente axial del campo magnético. Los campos de este modo son:

(

e e_z

)

e ^z

Er = r+r ^±γ

(2.44)

(

_z

)

^z

TM

z Y u e e

e h

H = ^±γ = r ×r ^±γ r m

r (2.45)

en donde

z t c

e e = ₂ ∇

γ m γ

r

(3.41) y e_z se obtiene a partir de la ecuación de Helmholtz (2.14). El signo superior en estas expresiones corresponde a una propagación en sentido negativo y el inferior a una propagación en sentido positivo.

c) Modos TE

En este caso se tieneE_z =0. La dependencia de H_z con z viene dada por la ecuación (2.19)

( )

_z

( )

^z

z z h e

H ξ,η, = ξ,η ^±γ

(2.19) donde h_z

( )

ξ,η es una autofunción de la ecuación de Helmholtz (2.20)

( )

^ξ,^{η γ2}

( )

^ξ,^η

2

z c z

th = h

∇ (2.20)

y γ² =γ₀² −γ_c² es la constante de propagación.

Siguiendo un proceso similar al empleado para los modos TM se llega a las ecuaciones que determinan las componentes transversales del campo eléctrico y magnético

z t t

t E j H

z

Er r r

×

∇

−

=

∂ −

∂² ₂ γ₀² ωµ

(3.46) y

(

_{t z}

)

^z

t Ht h e

z

H −γ = γ ∇ ^±_γ

∂

∂ r r m

2 2 0

2

(3.47) La solución de (3.46) es

(

_{t z z}

)

^{z z}

c z z t

t j h u e ee

e j h

E ^{γ γ γ}

γ ωµ γ

γ

ωµ _{± ± ±}

=

×

∇

=

×

− ∇

= − r r r

r

2 2

0

2 (3.48)

donde se ha definido er como la parte de Er_t

no dependiente de z.

z z t c

u j h

er= ₂ ∇ ×r γ

ωµ

(3.49) La solución de (3.47) es

(

_{t z}

)

^{z z}

c

t h e he

H ^{γ γ}

γ

γ _{± ±}

=

∇

=m r

r

2

(3.50) siendo hr

la parte de Hr_t

no dependiente de z, definida por

z t c

h h= ₂∇

γ m γ

r

(3.51) Comparando (3.49) con (3.51) se obtiene la relación

t z TE t

t z TE t

z

TEu h E Z u H H Y u E

Z

e r r

r m r r

r r r

r=± × ⇔ =± × ⇔ = × (3.52)

en donde

0

1 j 0 Z

Y Z_{TE TE}

γ γ γ ωµ ₌

=

= ⁻

(3.53) es la impedancia del modo TE.

En resumen, el modo TE está caracterizado por no tener componente axial del campo eléctrico. Los campos de este modo son:

(

z

)

^z

TE

z Z u h e

e e

Er =r ^±γ =± r ×r ^±γ

(2.54)

(

h hz

)

e ^z

Hr = r+ r ^±γ

(2.55) en donde

z t c

h h= ₂∇

γ m γ

r

(3.51)

y h_z se obtiene a partir de la ecuación de Helmholtz (2.20). El signo superior corresponde a una propagación en sentido negativo y el inferior a una propagación en sentido positivo.

4. Análisis de la variación con z

La dependencia de los diferentes modos con z determina la propagación de los campos en esta dirección. Hemos visto que ésta era de la forma e^±γz, en donde γ es la constante de propagación. En el caso de los modos TEM la constante de propagación, γ =γ₀ = jω µε , depende exclusivamente de las características del medio, mientras que para los modos TE y TM γ = γ₀² −γ_c² depende además del autovalor γ_c². La constante de propagación es, en general, una cantidad compleja que varía con la frecuencia y que escribiremos como

( ) ( )

f α f jβ

( )

f

γ = + (4.1)

donde α =Re

[ ]

γ se denomina constante de atenuación y β =Im

[ ]

γ es la constante de fase.

Más adelante veremos que para medios pasivos (ε′′>0) se cumple que signoα =signoβ y, por tanto, escogiendo la determinación principal de la raíz que define γ , se tiene α >0 y

>0

β . Como estamos suponiendo una dependencia armónica con el tiempo de la forma e^jωt, una dependencia con z de la forma e^−γz da lugar a una onda que se propaga en la dirección positiva del eje z según e^j(ωt−βz) y sufre una atenuación dada por e^−az. Cuando la dependencia con z es la contraria, e^+γz, la onda se propaga en la dirección negativa.

La longitud de onda del modo se define como la distancia mínima entre dos planos de igual fase y, por tanto, está dada por

β λ=²π

(4.2) La velocidad de fase es la velocidad con que se trasladan los planos de fase constante en la dirección z. Si planteamos ωt−βz=cte y derivamos respecto al tiempo, obtenemos

β

=ω vf

(4.3) La velocidad de grupo es la velocidad con la que se propaga una señal cuyo espectro está comprendido en una banda muy estrecha. Bajo esta hipótesis se demuestra que

−1



 



= ω β d v_g d

(4.4) Según sea el valor de β mayor o menor que el de α lo que predominará en la onda será la propagación o la atenuación. Podemos distinguir dos situaciones:

a) β > el modo se propaga α

b) β < el modo no se propaga, se dice que está al corte. α

Dado que α y β dependen de la frecuencia, un modo que se propaga a una frecuencia puede no propagarse a otra.

Consideremos que el medio que llena la guía es un dieléctrico perfecto y que las paredes de ésta son perfectamente conductoras. En estas condiciones, como se demostrará en la sección 5.2, los autovalores de la ecuación de Helmholtz son siempre números reales negativos, esto es, γ_c² <0. De aquí se desprende que la constante de propagación

(

ω²εµ γc²

)

γ = − + sea un número real, si ω²εµ <−γ_c², o imaginario puro, si ω²εµ >−γ_c². En este último caso la onda se propagará con una constante de propagación

(

^{2 2}

)

²

2 2

c

c j v

j

jβ ω εµ γ ω γ

γ = = + = + , donde v es la velocidad de la luz en el medio.

Un hecho que puede ser sorprendente a primera vista es que la velocidad de fase para una onda que se propaga es superior a la de la luz en ese medio. Siguiendo la definición de velocidad de fase, tendremos

2 2 2 2

2 2

1 ω

γ γ ω

ω

v v

v v

c c f

+

= +

=

(4.5) Como γ_c²v² ω² <0, el radicando de (4.5) es menor que la unidad y, por tanto, v es mayor _f que v. En realidad, la velocidad de fase no define la velocidad a la que se propaga un frente de onda, que es lo que verdaderamente entendemos como velocidad de propagación de una señal. La velocidad a la que se propaga el frente de onda está dada por la velocidad de grupo, cuyo valor en el caso de una guía de ondas es

f c c

g v

v v c d

d v

v ²

2 2 2 2 1 2 2

2

= +

=



















 +

=

−

ω ω γ ω

ω γ

(4.6) que es inferior a v ya que v_f > . Además, de (4.6) se desprende la relación v v_gv_f =v².

La dependencia que tiene la velocidad de grupo con la frecuencia para los modos TE o TM, hace que las distintas componentes en frecuencia de una señal con un ancho de banda finito se propaguen con velocidades diferentes, esto provoca una dispersión en el espacio y en el tiempo de la señal que se está propagando.

5. Condiciones de contorno laterales

Se entiende por condiciones de contorno laterales aquellas que se establecen sobre el contorno de la guía de ondas. Éstas determinan las características de cada modo, en particular el valor de la constante de propagación γ a través del autovalor γ_c² y la forma de los campos a través de las funciones Φ , e_z o h_z. Existe un número infinito de autovalores y, de ahí, un número infinito de constantes de propagación. Sin embargo, sólo para un número finito de constantes de propagación predomina la parte imaginaria sobre la parte real y, por tanto, sólo un número finito de modos se propagarán en la guía a una frecuencia dada.

Como ya apuntamos en la introducción las guías de ondas que estamos estudiando deben tener una sección arbitraria pero uniforme; de no ser así las condiciones de contorno

laterales dependerían de la coordenada z y, en consecuencia, también lo harían Φ , e_z o h_z, en contra de la hipótesis asumida por el método de separación de variables.

En general, las soluciones de las ecuaciones de Laplace o de Helmholtz son difíciles de obtener salvo que éstas sean separables, es decir, que se puedan encontrar soluciones de la forma U_ξ

( ) ( )

ξ U_η η . Incluso si tales soluciones existen, todavía puede resultar complicado satisfacer las condiciones de contorno salvo que la superficie delimitadora de la guía coincida con las superficies coordenadas ξ =cte y η=cte.

Las características de las secciones transversales de las guías y las condiciones de contorno que se dan en ellas pueden ser muy diversas. Por ejemplo, la guía puede estar delimitada por una superficie conductora cerrada con una conductividad finita o infinita. Éste sería el caso de las guías de ondas rectangulares y circulares o de los cables coaxiales. Pueden presentare también regiones abiertas que contienen varios conductores con un medio dieléctrico circundante que puede o no ser discontinuo. La línea bifilar y la microstrip estarían dentro de esta categoría. Puede incluso darse el caso en que no haya conductores presentes como sucede en las guías dieléctricas (fibra óptica). En la mayoría de los casos no existe solución exacta a la ecuación de Helmholtz, teniéndose que recurrir a soluciones aproximadas.

El caso de la guía cerrada por conductor perfecto tiene especial interés teórico ya que las soluciones que calculemos bajo estas condiciones sirven de base para calcular soluciones en el caso más realista en que la conductividad de las paredes sea finita. Además, como apuntamos anteriormente, tres de los sistemas más comunes de guiado de ondas, a saber, la guía rectangular, la circular y el cable coaxial están dentro de este grupo.

5.1 Condiciones de contorno laterales sobre un conductor perfecto

Un campo eléctrico o magnético con una dependencia armónica con el tiempo decae exponencialmente según la ley e^{−ζ δ} al penetrar en un conductor. Donde ζ es la coordenada según la dirección normal a la superficie del conductor y δ = 2 µσω es la "profundidad de penetración". Es evidente que a medida que la conductividad se va incrementando la profundidad de penetración se va haciendo más pequeña y, en el límite cuando σ →∞, los campos no penetrarán en absoluto en el conductor.

Consideremos que C es la intersección de un plano z=cte con la superficie lateral de una guía de ondas, tal como se muestra en la figura 2. Suponiendo que el medio que llena la guía es lineal las condiciones de contorno para el campo eléctrico y magnético en C, son:

0r r× Er =

n y nr⋅ Hr =0 (5.1.1)

donde nr es el vector unitario, normal a la superficie del conductor dirigido hacia el interior.

Figura 2 urz

nr τ^r C

S

Si descomponemos Er y Hr

en sus componentes transversales y axiales las condiciones de contorno (5.1.1) quedan de la forma

0r r×Er_t =

n , E_z =0 y nr⋅Hr_t =0 sobre C

(5.1.2) Ahora debemos encontrar las condiciones de contorno para Φ , e_z y h_z que se derivan de (5.1.2).

a) Condiciones de conductor perfecto para los modos TEM

De la condición nr×Er_t =0r se deduce que nr× er =0r y, por tanto, nr×∇_tΦ=0r sobre cualquier punto de C. Como veremos a continuación, esta última condición equivale a afirmar que el potencial debe ser constante en todo este contorno. Dado que nr×∇_tΦ=0r sobre C, el vector ∇_tΦ tendrá la dirección de nr en la vecindad de C y, por tanto, ∇_tΦ⋅τ^r =0. Integrando ∇_tΦ entre dos puntos cualesquiera de C a través de un camino de integración totalmente contenido en C, se deduce

p q q

p t

q

p t

p

q −Φ = ∇Φ⋅dl = ∇Φ⋅ dl= ⇒ Φ =Φ

Φ

∫

^r

∫

^{τr 0}

(5.1.3) Por tanto, la condición de contorno de conductor perfecto para los modos TEM es

=cte

Φ sobre C (5.1.4)

Una primera consecuencia que se obtiene de este resultado es que si la región de interés es simplemente conexa, en virtud del teorema de unicidad para la ecuación de Laplace, la solución a esta ecuación es Φ=cte y, en consecuencia, los campos son nulos. Es decir, una guía de ondas delimitada por un único conductor no admite la propagación de modos TEM.

Si la región es múltiplemente conexa, como la de la figura 3, podemos definir un potencial diferente en cada uno de los conductores de manera que la solución no sea constante. En este caso sí se podrían propagar modos TEM. De hecho, se puede demostrar que el número de modos TEM independientes es igual al número de conductores aislados eléctricamente menos uno.

Figura 3

Todos los posibles modos TEM existentes tienen la misma constante de propagación, γ0, por lo que cualquier combinación lineal de ellos se puede considerar como un nuevo modo TEM.

C2

C3

C1

Φ1

Φ2

Φ3

b) Condiciones de conductor perfecto para los modos TE Teniendo en cuenta la ecuación (3.50)

(

_{t z}

)

^{z z}

c

t h e he

H ^{γ γ}

γ

γ _{± ±}

=

∇

=m r

r

2

(3.50) y la condición de contorno nr⋅Hr_t =0, deducimos que

=0

∂

=∂

∇

⋅ n

h h

nr _{t z} ^z sobre C

(5.1.5) c) Condiciones de conductor perfecto para los modos TM

La componente E_z del campo eléctrico está definida por E_z

(

ξ,η,z

)

=e_z

( )

ξ,η e^±γz, por tanto, la condición E_z =0 se traduce en la condición de contorno para los modos TM.

=0

ez sobre C (3.1.6)

6. Características de los modos para conductor perfecto

Sea f una función que obedece a la ecuación de Helmholtz y que representa a e_z o a h_z, según se trate de un modo TM o TE. Aplicando el teorema de Green en dos dimensiones a f, siendo S la región delimitada por la curva C (ver figura 2), se obtiene

( )

^dl

n f f dS f f f

f C

S t t t

∫

∫

^{∗∇2 +∇ ∗∇ = ∗}_∂^∂

(6.1) Tanto si se trata de un modo TE como de un modo TM, las condiciones de contorno estudiadas en el apartado anterior hacen que se anule la integral de línea del segundo miembro. Además, dado que ∇_t²f =γ_c²f , la relación (6.1) queda de la forma

∫

∫

S ^∇t f ²dS ⁼⁻γc² S f ²dS

(6.2) y como ambas integrales son positivas se deberá cumplir que el autovalor es un número real negativo.

2 <0

γc _(6.3)

Consideremos inicialmente que el medio no tiene pérdidas. En ese caso, como ya apuntamos en el apartado 4, la constante de propagación o es real o bien es imaginaria pura.

(

ω²εµ γc²

)

γ = − +

(6.4)

a) Si ¹ γ_c²

ω> εµ − el radicando de (6.4) es negativo y el modo correspondiente se propagará con una constante de fase β = ω²εµ+γ_c² .

b) Si ¹ γ_c²

ω< εµ − el radicando de (6.4) es positivo y el modo correspondiente se atenuará con una constante de atenuación α = −

(

ω²εµ+γc²

)

.

La frecuencia que establece el límite entre la propagación y la no propagación recibe el nombre de frecuencia de corte.

2 1

1 _{2 2}

c c

c

c f γ

εµ γ π

ω = εµ − ⇔ = −

(6.5) El modo TEM no posee frecuencia de corte, si existe se propaga a cualquier frecuencia. La constante de propagación y las impedancias de los modos se pueden escribir en función de la frecuencia de corte, quedando

2

0 1 

 



−

±

= f

f_c γ

γ ,

2 0

1 



 



−

±

=

f f Z Z

c

TE ,

2

0 1 

 



−

±

= f

Z f

Z_TM ^c

(6.6) donde el signo superior corresponde a f > f_c y el inferior a f < f_c.

Normalmente se representa el valor de la parte real e imaginaria de γ en función de ω en una gráfica conocida como diagrama de dispersión.

En la figura 4 se representan los diagramas de dispersión de un modo TEM (línea recta que pasa por el origen) y de un modo TE o TM con una frecuencia de corte ω_c. También es

TE o TM

TE o TM

ω

β α,

εµ ω α ω = _c² − ²

εµ β ω = ¹ ωc

β

α β

εµ ω β ω = _c²+ ²

TEM

Figura 4

frecuente otro diagrama equivalente al anterior en el que se representa las constantes α y β en el eje de abcisas y ω en el de ordenadas.

Consideremos un punto cualquiera,

(

β₀,ω₀

)

, de la curva representativa de β del diagrama de dispersión, entonces, la velocidad de grupo a la frecuencia ω₀ es igual a la pendiente de la recta tangente en

(

β₀,ω₀

)

mientras que la velocidad de fase es ω₀ β₀.

La ecuación de Helmholtz tiene un número infinito pero discreto de autovalores γ_c² a cada uno de los cuales le corresponde una frecuencia de corte y una o varias autofunciones, según se trate o no de un autovalor degenerado. En la figura 4 se ha representado un único modo TE o TM, sin embargo, lo usual es que en el diagrama de dispersión aparezcan las curvas correspondientes a los n primeros modos, es decir, los n modos con frecuencia de corte más baja. Además, se puede demostrar que el primer autovalor corresponde siempre a un modo TE. Este primer modo, denominado modo dominante, tiene especial importancia ya que muchos dispositivos de microondas están diseñados para trabajar a frecuencias en las que sólo se propaga el modo dominante. El resto de los modos se denominan modos superiores.

En general, dada una frecuencia, sólo habrá un número finito de modos cuyas frecuencias de corte estén por debajo de ella; estos serán los únicos que puedan propagarse.

En ausencia de modos TEM la frecuencia del modo dominante marcará el límite por debajo del cual no se propague ningún modo, esta será, por tanto, la frecuencia de corte absoluta de la estructura.

Consideremos ahora que el medio tiene pérdidas eléctricas. En ese caso la permitividad será de la forma ε =ε′− j y la constante de propagación será ε′′

( )

² ₀^{2 2 2}

( )

²

2

c

c j

jβ γ γ ω µ ε ε γ

α

γ = + = − =− ′− ′′ − (6.7)

Desarrollando esta ecuación llegamos al sistema de ecuaciones reales

2 2

2 2

2 2

γc

ε µ ω β α

ε µ ω αβ

′−

−

=

−

= ′′

(6.8) La primera de las ecuaciones demuestra que, para medios pasivos (ε′′>0), α y β tienen el mismo signo, tal como se adelantó en el apartado 4.

Se define frecuencia de corte como aquella para la cual α = . De la segunda de las β ecuaciones (6.8) deducimos que la frecuencia de corte está dada por

1 2

c

c γ

µ

ω ε −

= ′

(6.9) Vemos que la frecuencia de corte para un medio con pérdidas es la misma que la obtenida para un medio sin ellas siempre y cuando se sustituya ε por ε′. Al resolver el sistema de ecuaciones (6.8) se llega a una ecuación bicuadrática de la que resulta

( ) ( ) ( )

_^

− + ′ ± + ′ + ′′

= ^{2 2 2 2 2 2 2}

2

2

1 γ ω µε γ ω µε ω µε

α _{c c}