Cap´ıtulo 1
Elementos
Euclides en el libro I de los Elementos comienza dando definiciones. Aqu´ı recogemos algunas de ellas
Definiciones
1. Un punto es lo que no tiene partes.
2. Una l´ınea es una longitud sin anchura.
3. Los extremos de una l´ınea son puntos.
4. Una l´ınea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que est´an en ella.
5. Un ´angulo plano es la inclinaci´on mutua de dos l´ıneas que se encuentran una a otra en un plano y no est´an en l´ınea recta.
6. Cuando las l´ıneas que comprenden el ´angulo son l´ıneas rectas, el ´angulo se llama rec- til´ıneo.
7. Cuando una recta levantada sobre otra recta forma ´angulos adyacentes iguales entre s´ı, cada uno de los ´angulos iguales es recto y la levantada se llama perpendicular a aquella sobre la que est´a.
8. ´Angulo obtuso es el mayor que un recto.
9. ´Angulo agudo es el menor que un recto.
10. Un c´ırculo es una figura plana comprendida por una l´ınea (llamada circunferencia) tal que todas las rectas caen sobre ella desde un punto de los que est´an dentro de la figura son iguales entre s´ı. El punto se llama el centro del c´ırculo.
11. Un di´ametro del c´ırculo es una recta cualquiera trazada a trav´es del centro y limitado en ambos sentidos por la circunferencia del c´ırculo, recta que tambi´en divide el c´ırculo en dos partes iguales.
1
12. Figuras rectil´ıneas son las comprendidas por l´ıneas rectas, tril´ateras las comprendidas por 3, cuadril´ateras las comprendidas por 4, multil´ateras las comprendidas por m´as de 4 l´ıneas rectas.
13. Entre las figuras tril´ateras, el tri´angulo equil´atero es la que tiene los tres lados iguales, tri´angulo is´osceles la que tiene dos lados iguales, y el tri´angulo escaleno la que tiene los tres lados desiguales.
14. Entre las figuras tril´ateras, tri´angulo rect´angulo es la que tiene un ´angulo recto, obtus´angu- lo la que tiene un ´angulo obtuso, acut´angulo la que tiene los tres ´angulos agudos.
15. De entre las figuras cuadril´ateras, cuadrado es la que es equil´atera y rectangular, rect´angu- lo la que es rectangular pero no equil´atera, rombo la que es equil´atera pero no rectangular, romboide la que tiene los ´angulos y los lados opuestos iguales entre s´ı, pero no es equil´atera ni rectangular; y trapecios las dem´as figuras cuadril´ateras.
16. Son l´ıneas rectas paralelas las que estando en el mismo plano y siendo prolongado inde- finidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.
Despu´es de las definiciones aparecen los postulados, aquello que se acepta sin justificaci´on.
Postulados Lo siguiente se postula
1. Trazar una l´ınea recta desde cualquier punto hasta cualquier punto.
2. Prolongar continuamente una l´ınea recta finita en una l´ınea recta.
3. Describir un c´ırculo con cualquier centro y distancia.
4. Todos los ´angulo rectos son iguales entre s´ı.
5. Si una l´ınea recta que cae sobre 2 l´ıneas rectas forma ´angulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrar´an en el lado en que est´an los ´angulos menores que dos rectos.
Las nociones comunes son afirmaciones generales que son naturalmente aceptadas.
Nociones comunes
1. Cosas que son iguales a una misma cosa son tambi´en iguales entre s´ı.
2. Si cosas iguales se agregan a cosa iguales, los totales son iguales.
3. Si cosas iguales se restas de cosas iguales los residuos son iguales.
4. Cosas que coinciden entre s´ı son iguales entre s´ı.
3 5. El todo es mayor que la parte.
Luego de las Nociones Comunes Euclides enuncia 48 proposiciones. Aqui mencionaremos la Proposici´on I y la Proposici´on 2.
Proposici´on 1. Sobre una l´ınea recta finita construir un tri´angulo equil´atero.
Demostraci´on. Sea AB la l´ınea recta finita. Con cen- tro A y distancia AB trazar el c´ırculo (Post 3). Con centro B y distancia AB trazar el c´ırculo (Post 3).
Sea C un punto de encuentro de los c´ırculos. Trazar las l´ıneas rectas CA y CB (Post 1). Entonces AC es igual a AB (Def. 10) y CB es igual a AB (Def 10).
Luego AC es igual a CB (Noc. com´un 1) y AC, BC y AB son todos iguales entre s´ı.
En esta demostraci´on falta justificar que los c´ırculos se cortan.
Proposici´on 2. Desde un punto dado trazar una l´ınea recta igual a una l´ınea recta dada.
Demostraci´on. Construir tri´angulo equil´atero ABD (Prop 1). Prolongar DB m´as all´a de B (Post 2). Pro- longar DA m´as all´a de A (Post 2). Trazar c´ırculo de centro B y distancia BC (Post 3). Este c´ırculo en- cuentra DF en G (sin justificaci´on). Trazar c´ırculo con centtro D y distancia DG (Post 3). Este c´ırculo encuentra DE en L (sin justificaci´on). Entonces DL es igual a DG (Def 10) y DA es igual a DB (Prop 1). POr las Nociones comunes: AL = DL − DA = DG − DB = BG y BG = BC
El postulado 5 de Euclides tiene una versi´on equivalente que dice: “Dada una l´ınea recta ` y un punto P no en `, existe una, y solamente una, l´ınea recta que pasa por P y es paralela con la recta `. Los postulados de Euclides, excluyendo el 5, permiten probar que exist una paralela. El problema por varios siglos fue probar, sin usar el postulado 5, que la l´ınea recta paralela es ´unica. Lo siguiente es un intento de prueba de la unicidad de la paralela propuesto por Legendre.
Algunas construcciones que aqu´ı se mencionan aparecen en las “Proposiciones” de Euclides.
Unicidad de la paralela. Legendre
Dada la l´ınea recta l y un punto P no en ella, desde P se traza la perpendicular P Q a la l´ınea l. Sea m la l´ınea recta perpendicular con la recta P Q en el punto P . Entonces m es paralela con l. Sea n cualquier l´ınea recta por P distinta de m y P Q. Se quiere probar que n corta a l. Sea R un punto en n tal que el rayo de origen P que pasa por R est´e entre la recta P Q y m. Sea R0un punto tal que R y R0 est´en a distinto lado de la recta P Q y de modo que los
´
angulos QP R y QP R0 sean iguales. Entonces el punto Q est´a en el interior del ´angulo R0P R.
Como l pasa por Q, entonces l corta el rayo P R0 o el rayo P R. Si l corta el rayp P , entonces l corta a n y n no es paralela con l. Si l no corta el rayo P R, entonces corta el rayo P R0 en un punto A. La circunferencia con centro P y distancia P A corta el rayo P R en un punto B, luego P A es igual a P B. Entonces los tri´angulos P BQ y P AG son iguales. De aqu´ı que el ´angulo AQP y ´angulo P QB son iguales y como el ´angulo AQO es recto, entonces el ´angulo P QB es recto y por lo tanto los puntos A, Q y B son colineales y entonces B est´a en la l´ınea l. As´ı n no es paralela con l y hay s’olo una paralela a l que pasa por P .
Cap´ıtulo 2
Axiomas de Hilbert
En este cap´ıtulo presentamos los axiomas de Hilbert, que es un sistema completo y no redundante para la geometr´ıa de Euclides. Estos axiomas se agrupan en 5 ´areas:
I. Axiomas de Incidencia.
II. Axiomas de Interposici´on.
III. Axiomas de Congruencia.
IV. Axioma de Paralelas.
V. Axioma de Continuidad.
A medida que enunciemos axiomas aparecer´an propiedades (teoremas) que conocemos sobre la geometr´ıa Euclideana. En estos axiomas hay varios t´erminos no definidos como: punto, l´ınea, incidente, congruente.
Todos los puntos y l´ıneas est´an contenidos en un mismo plano.
2.1. Axiomas de Incidencia.
Axioma I-1 Por dos puntos distintos existe una ´unica l´ınea incidente con ambos.
Axioma I-2 Cada l´ınea es incidente con al menos dos puntos.
Axioma I-3 Existen al menos 3 puntos distintos.
Axioma I-4 No todos los puntos son incidentes con una misma l´ınea.
NOTA. Si un punto P es incidente con una l´ınea `, escri- biremos P ∈ ` y diremos que P est´a en ` o que ` pasa por P .
Denotamos por
←→
AB a la ´unica l´ınea que pasa por los puntos
distintos A y B. Representaci´on de←→AB
Definici´on 2.1. Tres o m´as puntos son colineales si todos ellos est´an en una misma l´ınea.
5
?? Ejemplo 2.1. El siguientes objetos satisfacen los axiomas anteriores: Puntos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. L´ıneas : L1 = {1, 2, 3}, L2 = {1, 7, 4}, L3 = {1, 6, 5}, L4 = {3, 4, 5}, L5 = {3, 7, 6}, L6= {2, 7, 5}, L7= {2, 4, 6}. Un punto P es incidente con una l´ınea L si P pertenece a L.
?? Ejemplo 2.2. Algunas consecuencias de los axiomas de incidencia son:
1. Todo punto es incidente con al menos dos l´ıneas.
2. Existen al menos 3 l´ıneas distintas.
3. No todas las l´ıneas son incidentes con un mismo puntos.
2.2. Axiomas de Interposici´ on (de orden).
Axioma II-1 Si B es un punto entre los puntos A y C, denotado A − B − C, entonces A, B y C son puntos distintos y colineales y C − B − A.
Axioma II-2 Por dos puntos distintos cualesquiera A y C existe al menos un punto B en la l´ınea por A y C tal que A − C − B.
Axioma II-3 Si A, B y C son puntos distintos y colineales, entonces exactamente uno de ellos est´a entre los otros dos.
Definici´on 2.2. Dados dos puntos distintos A y B, el segmento AB es el conjunto formados por A, B y todo punto C entre A y B.
Axioma II-4 Sea m una l´ınea que no pasa por A, ni por B ni por C. Entonces si m contiene un punto en AB , tambi´en contiene un punto en AC o contiene un punto en BC
m interseca AC o interseca BC
2.3. Consecuencias de los axiomas de interposici´ on
Lo que sigue prueba que si m interseca uno de los tres segmentos, entonces interseca a otro pero no a los tres segmentos.
Corolario 1. Sean A, B y C puntos distintos y no colineales y sea m una l´ınea que no pasa por A, ni por B ni por C. Entonces si m contiene un punto en AB , tambi´en contiene un punto en AC o contiene un punto en BC pero no en ambos.
2.3. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE INTERPOSICI ´ON 7
Demostraci´on. Si m contiene un punto D en AB, un punto E en AC y un F en BC, entonces D − E − F y los puntos D, F y B no son colineales. Como
←→
AC interseca DF en E, entonces por Ax II-4
←→
AC interseca DB o BF, pero
←→
AC interseca
←→
DB en A y A no est´a entre D y B, tambi´en
←→
AC interseca
←→
BF en C pero C no est´a en BF. Luego m interseca AC o BC pero no ambos.
Corolario 2. Dados dos puntos distintos A y B existe un punto C tal que A − C − B.
Demostraci´on. Sea D un punto no en
←→
AB (Ax I-4). Sea E un punto tal que A − D − E (Ax II-2). Por Ax I-1 existe
←→
EB y por Ax II-2 existe un punto F tal que E − B − F . Dado que
←→
DF interseca a
←→
EB en F y F no est´a en EB, entonces por Ax II-4
←→
DF interseca a AB en un punto, que llamamos C, luego A − C − B.
Definici´on 2.3. Sean A y B puntos distintos y sea m una l´ınea que no pasa por A ni por B.
Los puntos A y B est´an a un mismo lado de m si m no interseca AB. Los puntos A y B est´an a distinto lado de m si m interseca AB.
Teorema 1. Sea A, B y C puntos distintos y no colineales y sea m una l´ınea que no pasa por A, ni B ni C.
1. Si A y B est´an al mismo lado de m y si A y C est´an al mismo lado de m, entonces B y C est´an al mismo lado de m.
2. Si A y B est´an al mismo lado de m y si A y C est´an a distinto lado de m, entonces B y C
est´an a distinto lado de m. 2
Demostraci´on. 1. Por hip´otesis m no interseca AB ni a AC . Para no contradecir Ax II-4 la l´ınea m no puede intersecar BC, luego B y C est´an al mismo lado de m.
2. Por hip´otesis m no interseca AB y m interseca AC, luego por Ax II-4 m interseca AB o BC y por lo tanto m interseca BC as´ı B y C est´an a distinto lado de m.
El teorema es tambi´en cierto cuando A, B y C son colineales.
Corolario 3. Sea A, B y C puntos distintos y colineales y sea m una l´ınea que no pasa por A, ni B ni C.
1. Si A y B est´an al mismo lado de m y si A y C est´an al mismo lado de m, entonces B y C est´an al mismo lado de m.
2. Si A y B est´an al mismo lado de m y si A y C est´an a distinto lado de m, entonces B y C est´an a distinto lado de m.
Demostraci´on. Sea D un punto que no est´a en
←→
AB ni en m. Suponemos que A y D est´an a un mismo lado de m.
Caso 1. Considerando la posici´on de A y D respecto a m y las hip´otesis sobre A, B y C en el caso 1, por el Teorema 1 se obtiene informaci´on sobre las posiciones de B y D, C y D y por el mismo teorema se concluye que B y C est´an al mismo lado de m.
Caso 2. Las hip´otesis y el Teorema 1 implican que D y C est´an a distintos lado de m y D y B est´an al mismo lado de m. Luego por Teorema 1 B y C est´an a distinto lado de m.
El Corolario 3 permite probar los siguientes.
Corolario 4. Si A − B − C y A − C − D, entonces B − C − D y A − B − D.
Corolario 5. Si A − B − C y B − C − D, entonces A − B − D y A − C − D.
Definici´on 2.4. Dados dos puntos distintos A y B el rayo de origen A que pasa por B, denotado
−→
AB , es el conjunto formado por los puntos de AB y por todo punto C tal que A − B − C.
Definici´on 2.5. Dos rayos
−→
AB y
−→
AC son opuestos si B − A − C y A es el ´unico punto com´un de
−→
AB y
−→
AC.
Teorema 2. Sean C − A − B y sea ` la l´ınea que pasa por A, C y B. Si P es un punto en `,
entonces P est´a en AC o P est´−→ a en AB.−→ 2
Demostraci´on. Si P no est´a en
−→
AB , entonces P − A − B. Por Ax II-3 ocurre una y s´olo una de P − C − A, C − P − A o C − A − P . Si ocurre una de las dos primeras, entonces P est´a en
−→
AC.
Si C − A − P , sea m una l´ınea por A distinta de `. Entonces P y B est´an a distinto lado de m y C y P est´an a distinto lado de m, luego C y B est´a al mismo lado de m por Corolario 3 pero m interseca BC en A as´ı que B y C est´an a distinto lado de m, lo cual es una contradicci´on.
2.4. AXIOMAS DE CONGRUENCIAS 9 Definici´on 2.6. Dados tres puntos no colineales A, B y C, el ´angulo de v´ertice A es el punto A y los rayos
−→
AB y
−→
AC . Estos rayos se llaman lados del ´angulo. El ´angulo se denota ∠A ´o
∠CAB ´o ∠BAC.
Definici´on 2.7. Dos ´angulos son suplementarios si tiene un lado com´un y los otros dos lados son rayos opuestos.
∠ABC y ∠CBD son suplementarios
2.4. Axiomas de Congruencias
Otro concepto no definido es el de congruencia. El s´ımbolo de congruencia es ∼=.
Este grupo de axiomas se refiere a segmentos, ´angulos y tri´angulos.
Definici´on 2.8. Dados tres puntos no colineales A, B y C, el tri´angulo 4ABC est´a formado por los puntos A, B, C y los segmentos AB, BC y CA. Los punto A, B y C se llaman v´ertices, los segmentos AB, BC y CA se llaman lados. Los ´angulos ∠ABC , ∠CBA y
∠CAB se llaman ´angulos (interiores) del tri´angulo.
Los axiomas de congruencia son
Axioma III-1 Si A y B son puntos distintos y si A0 es cualquier punto, entonces en cada rayo de v´ertice A0 existe un ´unico punto B0 tal que B06= A0 y AB ∼= A0B0.
Axioma III-2 Si A0B0 ∼= AB y A00B00 ∼= AB , entonces A0B0 ∼= A00B00 . Adem´as cada segmento es congruente con si mismo.
Axioma III-3 Si A − B − C, A0−B0−C0, AB ∼= A0B0 y BC ∼= B0C0, entonces AC ∼= A0C0 .
Axioma III-4 Dado cualquier ´angulo ∠ABC y cualquier rayo
−→
B0C0, existe un ´unico rayo
−→
B0A0 en cada lado de
←→
B0C0 tal que ∠A0B0C0∼=∠ABC.
Axioma III-5 Si ∠A ∼=∠B y ∠A ∼=∠C, entonces ∠B ∼=∠C. Adem´as cada ´angulo es congruente con si mismo.
Axioma III-6 Si los tri´angulos 4ABC y 4A0B0C0 son tales que AB ∼= A0B0, AC ∼= A0C0 y ∠BAC ∼=∠B0A0C0 entonces ∠ABC ∼=∠A0B0C0.
2.5. Congruencia de tri´ angulos
Aplicaremos los axiomas enunciados hasta ahora a la congruencia de tri´angulos.
Definici´on 2.9. Dos tri´agulos 4ABC y 4A0B0C0 son congruentes si hay una corresponden- cia uno a uno entre sus v´ertices, A ↔ A0, B ↔ B0y C ↔ C0, tal que AB ∼= A0B0, BC ∼= B0C0, CA ∼= C0A0 y ∠A ∼=∠A0, ∠B ∼=∠B0, ∠C ∼=∠C0.
El Ax III-6 implica la congruencia Lado- ´Angulo-Lado de tri´angulos.
Teorema 3 (LAL). Si los tri´angulos 4ABC y 4A0B0C0 son tales que AB ∼= A0B0 , AC ∼= A0C0 y ∠BAC ∼=∠B0A0C0 entonces 4ABC ∼= 4A0B0C0. 2
Demostraci´on. Al cambiar B por C y C por B, B0 por C0y C0por B0 en Ax III-6 las hip´otesis del axioma contin´uan v´alidas pero ahora la conclusi´on es ∠ACB ∼=∠A0C0B0. Falta probar que BC ∼= B0C0 .
Por Ax III-1 existe un punto C00 en
−→
B0C0 tal que BC ∼= B0C00 . Si C00 6= C0, entonces
∠BAC ∼= ∠B0A0C00 por Ax III-6 (pues AB ∼= A0B0, BC ∼= B0C0, ∠B ∼=∠B0 ). Pero por hip´otesis ∠BAC ∼=∠B0A0C0 , lo cual contradice la unicidad en Ax III-4.
Teorema 4 (Tri´angulo is´osceles). Si en 4ABC se cumple AB ∼= AC entonces ∠ABC ∼=
∠CAB. 2
Demostraci´on. Por Ax III-5 ∠BAC ∼=∠CAB y por hip´otesis AB ∼= AC y AC ∼= AB luego
∠ABC ∼=∠ACB por Ax III-6.
Teorema 5 (ALA). Si los tri´angulos 4ABC y 4A0B0C0 son tales que ∠B ∼=∠B0, ∠C ∼=
∠C0 y BC ∼= B0C0 entonces 4ABC ∼= 4A0B0C0. 2 Demostraci´on. Sea A00en
−→
B0A0 tal que BA ∼= B0A00 Como BC ∼= B0C0 y ∠ABC ∼=∠A00B”C0 entonces ∠BCA ∼=∠B0C0A00 por Ax III-6. Si A06= A00 se contradice Ax III-4.
Una consecuencia del Teorema ALA es
2.5. CONGRUENCIA DE TRI ´ANGULOS 11 Corolario 6. [Rec´ıproco del tri´angulo is´osceles] Si en 4ABC se cumple ∠ABC ∼=∠ACB entonces AB ∼= AC .
Para probar otros teoremas sobre congruencia de tri´angulos necesitamos algunos teoremas sobre
´ angulos.
Teorema 6. Los suplementos de ´angulos congruentes son congruentes. 2
En la figura A − B − D y A0− B0− D0, y
∠ABC ∼=∠A0B0C0
Demostraci´on. Sean ∠ABC y ∠A0B0C0 dos ´angulos congruentes. Sean D y D0 puntos tales que A − B − D y A0− B0− D0. Suponemos CB ∼= C0B0, AB ∼= A0B0 y BD ∼= B0D0. Entonces 4ABC ∼= 4A0B0C0 por LAL y como consecuencia AC ∼= A0C0 y ∠CAB ∼=∠C0A0B0. Dado que AB ∼= A0B0 y BD ∼= B0D0 entonces AD ∼= A0D0 por Ax III-3. Luego 4CAD ∼= 4C0A0D0 por LAL de donde CD ∼= C0D0 y ∠CDB ∼=∠C0D0B0 lo cual implica que 4CDB ∼= 4C0D0B0 por LAL luego ∠ABD ∼=∠A0B0D0.
Definici´on 2.10. Dos ´angulos son opuestos por el v´ertice si tiene el mismo v´ertice y los lados de uno son rayos opuestos de los lados del otro.
En la figura ∠CBD y ∠ABG son opuestos por el v´ertice. Tambi´en
∠ABC y ∠DBG son opuestos por el v´ertice.
Teorema 7. Si dos ´angulos son opuestos por el v´ertice, ellos son congruentes. 2 Demostraci´on. Los ´angulos tiene un suplemento com´un, luego son congruentes por Teorema 6.
Definici´on 2.11. Un punto D est´a en el interior de un ´angulo ∠CAB , D 6= A, si B y D est´an al mismo lado de
←→
AC y C y D est´an al mismo lado de
←→
AB.
En la figura el punto D est´a en el interior de ∠CAB.
Lema 1. Si D est´a en el interior de ∠CAB y X es un punto en AD , X 6= A, entonces X−→
est´a en el interior de ∠CAB.
Demostraci´on. X y D est´an al mismo lado de
←→
AB (pues
←→
AB no interseca XD.) Tambi´en C y D est´an al mismo lado de
←→
AB, luego X y C est´an al mismo lado de
←→
AB por Teorema 1.
An´alogamente X y B est´an al mismo lado de
←→
AC.
Lema 2. Si C − A − E y B − A − D y P es un punto en el interior de ∠CAB, entonces P no est´a en el interior de ∠CAD, ni de ∠DAE ni de ∠BAE .
En la figura C − A − E, D − A − B.
P est´a en el interior de ∠CAB.
Demostraci´on. Si P est´a en el interior de ∠CAD, entonces P y D est´an al mismo lado deCA.←→
Tambi´en P y B est´an al mismo lado de
←→
CA, luego B y D est´an al mismo lado de
←→
AC por Teorema 1, pero D − A − B as´ı que est´an a distinto lado deAC.←→ Si P est´a en el interior de
∠DAE, P y D est´an al mismo lado de
←→
AE =
←→
CA, pero otra vez B y D est´an al mismo lado deAC. Si P est´←→ a en el interior de ∠EAB, P y E est´an al mismo lado deAB,←→ tambi´en P y C est´an al mismo lado de
←→
AB, luego C y E est´an al mismo lado de
←→
AB por Teorema 1, pero C y E est´an a distinto lado deAB.←→
Lema 3. Sean C − A − E, B − A − D y sea P un punto en el interior de ∠CAB. Si X es un punto en
←→
AP , X 6= A, entonces X est´a en el interior de ∠CAB o est´a en el interior de
∠DAE.
Demostraci´on. Si X ∈
−→
AP entonces X est´a en el interior de ∠CAB por 1. Si X no est´a en
−→
AP entonces X − A − P . Ahora P y B est´an al mismo lado de
←→
AC. B y D est´an a distinto lado de
←→
AC , luego P y D est´an a distinto lado de
←→
AC por Teorema 1. Tambi´en X y P est´an a distinto lado de
←→
AC y por Teorema 1 X y D est´an al mismo lado de
←→
AC. An´alogamente se prueba que X y E est´an al mismo lado de
←→
DA
Teorema 8 (Crossbar). Si D es un punto en el interior de ∠CAB, entonces el rayo
−→
AD
interseca CB. 2
Demostraci´on. Sea E tal que E − A − B. Por Ax II-4, AD←→ interseca EC o CB. Si AD←→
interseca EC en un punto G, entonces es f´acil comprobar que G est´a en el interior de ∠EAC, pero G est´a en AD lo que contradice el lema anterior.←→
2.5. CONGRUENCIA DE TRI ´ANGULOS 13 Definici´on 2.12. Dados los ´angulos ∠ABC y ∠A0B0C0 , el ´angulo ∠ABC es menor que
∠A0B0C0 si existe un punto E en el interior de ∠A0B0C0 tal que ∠ABC ∼= ∠A0B0E o
∠ABC ∼=∠C0B0E. Notaci´on: ∠ABC < ∠A0B0C0.
Lema 4. Si ∠ABC < ∠A0B0C0 entonces existe un punto A00tal que A est´a en el interior de
∠A00BC y ∠A00BC ∼=∠A0B0C0
Demostraci´on. Sea D0 un punto en el interior de ∠A0B0C0 tal que ∠D0B0C0 ∼=∠ABC. Sea H0 el punto donde
−→
B0D0 interseca A0C0. Sea H un punto en
−→
BA tal que BH ∼= B0H0 Suponemos BC ∼= B0C0 Entonces 4HBC ∼= 4H0B0C0por LAL, luego HC ∼= H0C0 y ∠BCH ∼=∠B0C0H0. Sea A00tal que C − H − A00y HA00∼= H0A0 Entonces CA00∼= C0A0 y 4BCA00∼= 4B0C0A0por LAL. Luego ∠A00BC ∼=∠A0B0C0. Es claro que A est´a en el interior de ∠A00BC pues A est´a enBH−→
Definici´on 2.13. Un ´angulo recto es un ´angulo que es congruente con su suplemento.
Teorema 9. Si ∠ABC y ∠A0B0C0 son rectos, entonces ellos son congruentes. 2 Demostraci´on. Si no son congruentes, suponemos que ∠ABC es menor ∠A0B0C0. Sea D un punto tal que C − B − D y sea E un punto en el interior de ∠ABD tal que ∠EBC ∼=∠A0B0C0. Notar que ∠ABD es mayor que ∠EBD. Como los suplementos de ´angulos congruentes son con- gruentes, ∠EBD es congruente con el suplemento de ∠A0B0C0 que es congruente con ∠A0B0C0, luego y ∠EBD ∼= ∠A0B0C0 , pero ∠EBD <∠ABD y ∠ABD ∼= ∠ABC luego ∠A0B0C0 es menor que ∠ABC lo que contradice la hip´otesis ∠ABC menor que ∠A0B0C0.
Lema 5 (resta de segmentos). Si A − B − C, A0− B0− C0. AB ∼= A0B0 y AC ∼= A0C0 entonces BC ∼= B0C0 .
Lema 6 (Resta de ´angulos). Sea D un punto en el interior de ∠CAB y sea D0 un punto en el interior de ∠C0A0B0, Si ∠CAB ∼= ∠C0A0B0 y ∠DAB ∼= ∠D0A0B0 entonces ∠CAD ∼=
∠C0A0D0
Lema 7 (Suma de ´angulos). Sea D un punto en el interior de ∠CAB y sea D0 un punto en el interior de ∠C0A0B0. Si ∠CAD ∼= ∠C0A0D0 y ∠DAB ∼= ∠D0A0B0 entonces ∠CAB ∼=
∠C0A0B0.
Demostraci´on. Si ∠CAB no es congruente con ∠C0A0B0, suponemos ∠C0A0B0 menor que
∠CAB. Sea C00 un punto tal que C0 est´a en el interior de ∠C00A0B0 y ∠C00A0B0 ∼=∠CAB.
Dado que ∠DAB ∼=∠D0A0B0 y ∠CAB ∼=∠C00A0B0 entonces por Lema 6 ∠CAD ∼=∠C00A0D0 pero tambi´en ∠CAD ∼=∠C0A0D0, luego ∠C00A0D0∼=∠C0A0D” de donde
−→
A0C0 =
−→
A0C00pero C0 est´a en el interior de ∠C00A0B0.
Definici´on 2.14. El punto medio de un segmento AB es un punto E tal que A − E − B y AE ∼= EB.
Teorema 10. Dado AB existe un ´unico punto E que es el punto medio de AB. 2
Demostraci´on. Sean D y D0 puntos a distinto lado de
←→
AB tales que ∠DAB ∼= ∠D0BA y DA ∼= D0B Entonces 4DAB ∼= 4D0BA por LAL. De aqu´ı que DB ∼= D0A y ∠DBA ∼=∠D0AB . Sea E el punto donde
←→
DD0 interseca a AB. Como ∠DAB ∼=∠D0BA y ∠BAD0 ∼=∠ABD, entonces ∠DAB ∼= ∠D0BD y 4DAD0 ∼= 4D0BD por LAL. Luego ∠AD0D ∼= ∠BDD0 y 4AD0E ∼= 4BDE por ALA. De aqui AE ∼= BE. No es dif´ıcil comprobar que el punto medio es ´unico.
(Notar que B est´a en el interior de ∠DAD0, luego AB interseca DD−→ 0 en un punto que llamamos E. Tambi´en A est´a en el interior de ∠DBD0, luego
−→
BA interseca a DD0en un punto que debe ser E. Como E est´a en AB y en−→ BA, entonces E est´−→ a en AB. )
Definici´on 2.15. Un ´angulo es un ´angulo externo a un tri´angulo si ´el es el suplemento de un ´angulo del tri´angulo.
Teorema 11 (Teorema del ´angulo externo). Dado 4CAB sea D un punto tal que A − B − D.
Entonces ∠DBC es mayor que ∠ACB y mayor que ∠CAB. 2
Demostraci´on. Sea E el punto medio de CB, y sea F un punto tal que A − E − F y AE ∼= EF.
Notar que F est´a en el interior de ∠CBD. Como ∠AEC ∼=∠F EB pues son opuestos por el v´ertice entonces 4CEA ∼= 4BEF por LAL luego ∠ACB ∼= ∠EBF y ∠ACB es menor que
∠CBD. En forma an´aloga se prueba que ∠CBD es mayor que ∠CAB.
2.6. DESIGUALDADES 15 Teorema 12 (LLL). Si los tri´angulos 4ABC y 4A0B0C0 son tales que AB ∼= A0B0, BC ∼= B0C0 y CA ∼= C0A0 entonces 4ABC ∼= 4A0B0C0. 2 Demostraci´on. Sea C00un punto tal que C0 y C00est´an a distinto lado de
←→
A0B0, A0C00∼= AC y
∠C00A0B0 ∼=∠CAB . Entonces 4ABC ∼= 4A0B0C00 por LAL luego CA ∼= C00A0 y CB ∼= C00B0 En 4C00A0C0 se tiene que C”A0∼= C0A0 luego ∠A0C00C0∼=∠A0C0C00Tambi´en en 4C0C00B0 se tiene ∠B0C00C0 ∼=∠B0C0C00 luego ∠B0C00A0 ∼=∠B0C0A0 y por ALA 4A0C00B0 ∼= 4A0C0B0 y ya que 4ABC ∼= 4A0B0C00 entonces 4ABC ∼= 4A0B, C0
Teorema 13 (AAL). Si los tri´angulos 4ABC y 4A0B0C0son tales que ∠B ∼=∠B0, ∠A ∼=∠A0
y BC ∼= B0C0 , entonces 4ABC ∼= 4A0B0C0. 2
Demostraci´on. Si AB no es congruente con A0B0, suponemos que existe A00tal que B0−A0−A00 y BA ∼= B0A00 (o existe A00 tal que B − A − A00, B0A0∼= BA00 ). Entonces 4ABC ∼= 4A00B0C0 por LAL, luego ∠BAC ∼=∠B0A00C0 pero tambi´en ∠BAC ∼=∠B0A0C0 El ´angulo ∠B0A0C0 es un ´angulo externo al tri´angulo 4A0A00C0 y por teorema del ´angulo externo, ∠B0A0C0 es mayor que ∠A0A00C0, pero ambos ´angulos son congruentes con ∠BAC.
2.6. Desigualdades
Teorema 14. Dado un ´angulo ∠BAC, existe un ´unico rayo
−→
AD tal que D est´a en el interior
de ∠BAC y ∠BAD ∼=∠CAD. 2
Demostraci´on. Suponemos BA ∼= AC. Sea D el punto medio de BC. Entonces BD ∼= CD y
∠ABD ∼=∠ACD por el teorema del tri´angulo is´osceles. Luego 4BAD ∼= 4CAD por LAL, de donde ∠BAD ∼=∠CAD.
Definici´on 2.16. La bisectriz de un ∠BAC es el ´unico rayo
−→
AE tal que ∠BAE ∼=∠CAE y E est´a en el interior de ∠BAC.
Teorema 15. Si en 4ABC se verifica que ∠B es mayor que ∠A, entonces AC es mayor que
BC. 2
Demostraci´on. Si BC es mayor que AC, sea A0000tal que C − A00− B00 y Ac ∼= CA00. Entonces
∠CAA00∼=∠CA00A. dado que A00 est´a en el interior de∠CAB, entonces ∠CAB es mayor que
∠CAA00Tambi´en por el teorema del ´angulo externo ∠CA00A es mayor que ∠CBA pero entonces
∠CAB es mayor que ∠CBA, que contradice la hip´otesis
Teorema 16 (Desigualdad tri´angular). Dado 4ABC, sea D un punto tal que A − B − D y BD ∼= BC. Entonces AD es mayor que AC . Esto es, AB +BC > AC. 2
Demostraci´on. El tri´angulo 4CBD es is´osceles , luego ∠BCD ∼= ∠BDC. tambi´en B es un punto en el interior de ∠ACD, luego ∠ACB es mayor que ∠BCD y ∠ACD es mayor que
∠ADC, luego AD es mayor que AC
Teorema 17. Si los tri´angulos 4ABC y 4DEF son tales que CA ∼= DF , AB ∼= DE y∠A
es mayor que ∠D, entonces CB es mayor que EF. 2
Demostraci´on. Como ∠A es mayor que ∠D, existe un punto F0 en el interior de ∠A tal que
∠F0AB ∼=∠F DE . Suponemos que AF0 ∼= DF. Luego 4F0AB ∼= 4F DE y F0B ∼= F E. Sea G el punto en CB donde la bisectriz de ∠CAF0 interseca CB. Entonces 4CAG ∼= 4F0AG por LAL luego CG ∼= GF0 Por la desigualdad triangular, F0B es menor que BG m´as Gf, y ya que CG ∼= GF0, y CG m´as BG es congruente con CB, entonces CB es mayor que F0B que es congruente con F E.
Teorema 18. Si los tri´angulos 4ABC y 4DEF son tales que CA ∼= DF, AB ∼= DE y CB
es mayor que F E entonces ∠A es mayor que ∠D. 2
2.7. L´ıneas perpendiculares, paralelas
Definici´on 2.17. Dos l´ıneas s y m son perpendiculares, denotado s ⊥ m, si ellas se intersecan formando un ´angulo recto.
Teorema 19. Dada una l´ınea m y un punto P que no est´a en m, existe un ´unico punto Q en
m tal que la l´ınea ←→P Q es perpendicular con m. 2
Teorema 20. Dada una l´ınea m y un punto P en m, existe una ´unica l´ınea que interseca a m
en P y que es perpendicular con m. 2
Definici´on 2.18. Dado un segmento AB , la mediatriz de AB es la ´unica l´ınea perpendicular con AB que pasa por el punto medio de AB.←→
Lema 8. Un punto P est´a en la mediatriz de AB si, y s´olo si, P A ∼= P B.
2.8. CUADRIL ´ATEROS DE SACCHERI 17 Definici´on 2.19. Dos l´ıneas s y t son paralelas, denotado s k t, si ellas no se intersecan. Toda l´ınea es paralela con ella misma.
Teorema 21. Sean s, t y m l´ıneas distintas. Si m ⊥ t y s ⊥ t, entonces m k s. 2
2.8. Cuadril´ ateros de Saccheri
Definici´on 2.20. Sean A, B, C, D puntos distintos tales que A y B est´an al mismo lado de
←→
CD, B y C est´an al mismo lado deAD, C y D est´←→ an al mismo lado de←→AB y D y A est´an al mismo lado de
←→
BC. El conjunto uni´on de los segmentos AB, BC, CD y DA se llama cuadr´ılatero y se denota2ABCD. Los ´angulos ∠A, ∠B, ∠C y ∠D son los ´angulos del cuadril´atero.
Definici´on 2.21. Un cuadril´atero2ABCD es un cuadril´atero de Saccheri si ∠A y ∠D son rectos y AB ∼= CD. El segmento AD se llama base y BC se llama lado superior. Los ´angulos
∠B y ∠C se llaman ´angulos superiores.
Teorema 22. Sea2ABCD un cuadril´atero de Saccheri de base AD y sea E un punto tal que A − D − E y AD ∼= DE. Sea F un punto tal que F y C est´an al mismo lado de
←→
AE,
←→
F E perpendicular con
←→
AE y F E ∼= CD. Entonces BC ∼= CF. 2
Demostraci´on. 4BAD ∼= 4CDE por LAL luego BD ∼= CE y∠ADB ∼=∠DEC y como ∠ADC y ∠DEF son rectos, entonces ∠BDC ∼=∠CEF. Ahora 4BDC ∼= 4CEF por LAL y de ah´ı BC ∼= CF.
Teorema 23. Sean P1, P2, . . . , Pn puntos distintos. Entonces
P1Pn ≤ P1P2 +P2P3 +· · · +Pn−1Pn. 2 Demostraci´on. Por inducci´on. Si P1, P2, P3 son colineales, entonces P1P3 ≤ P1P2 +P2P3 , y si no son colineales entonces es cierto por la desigualdad triangular. Si es cierto para n puntos, entonces P1Pn+1≤ P1Pn +PnPn+1y por inducci´on el enunciado es cierto.
Teorema 24. Sea 2ABCD un cuadril´atero de Saccheri de base AD y lado superior BC.
Entonces AD ≤ BC. 2
Demostraci´on. Sean A1 = A, B1 = B, B2 = C, A2 = D. Sean A1, A2, . . . , An, An+1 puntos colineales tales que AiAi+1 ∼= Ai+1Ai+2 para 1 ≤ i < n − 1. Sean B1, B2, . . . , Bn+1 puntos, todos al mismo lado de
←→
A1A2, y tales que BiAi ∼= B1A1 y
←→
BiAi perpendicular con
←→
A1A2. Entonces BiBi+1 ∼= Bi+1Bi+2 para 1 ≤ i ≤ n − 1 por el teorema anterior. Por teorema 23 A1An+1 ≤ A1B1 +B1B2 + . . . + BnBn+1 +Bn+1An+1 , luego nA1A2 ≤ 2A1B1 +nB1B2 . Dividiendo por n y tomado el l´ımite para n, se tiene A1A2 ≤B1B2.
Teorema 25. Sea 2ABCD un cuadril´atero de Saccheri de base AD. Entonces 1. AC ∼= BD
2. ∠B ∼=∠C
3. ∠BDC ≥ ∠ABD. 2
Demostraci´on. 4BAD ∼= 4CDA por LAL luego BD ∼= AC. Tambi´en 4BCA ∼= 4CBD por LLL, luego ∠ABC ∼=∠DCB. En los tri´angulos 4ABD y 4BDC se tiene que AD es menor o igual que BC, luego ∠BDC es mayor o igual que ∠ABD.
Lema 9. Si un ´angulo de un tri´angulo es recto, los otros ´angulos son agudos.
Teorema 26. Sea 4BAD un tri´angulo rect´angulo con ∠A recto. Entonces ∠ABD +∠ADB
es menor o igual que un ´angulo recto. 2
Demostraci´on. Sea C un punto tal queCD ⊥←→ AD, C y B al mismo lado de←→ AD y CD ∼←→ = AB.
Entonces2ABCD es un cuadril´atero de Saccheri luego ∠ABD ≤∠BDC y ∠ADB +∠ABD ≤
∠ADB + ∠BDC ∼=∠ADC que es un ´angulo recto.
Teorema 27. Sea 4ABC tal que AB es mayor o igual que BC y que CA. Sea D en ←→AB tal que
←→
CD es perpendicular con
←→
AB Entonces A − D − B. 2
Demostraci´on. Si D = A entonces BC es mayor que los otros dos lados, lo cual es falso. Si D − A − B, entonces en 4CDB el ´angulo ∠CDB es recto, luego BC es mayor que DB y este es mayor que AB, lo que es falso. An´alogamente se prueba que D 6= B y que A − B − D no es posible.
Teorema 28. La suma de los ´angulos de un tri´angulo es menor o igual que dos rectos. 2 Demostraci´on. Sea 4ABC cualquier tri´angulo. Suponemos que AC es mayor o igual que lso otros lados. por el teorema anterior, sea D tal que A − D − C y
←→
BD perpendicular con
←→
AC.
entonces ∠A +∠ABD ≤ un recto y ∠C +∠DBC ≤ un recto. Como ∠ABC =∠ABD +∠DBC entonces ∠A +∠ABC +∠C es menor o igual que dos rectos.
Teorema 29. Sea 2ABCD un cuadril´atero de Saccheri de base AD. Entonces (i) los ´angulos ∠B y ∠C son ambos agudos o ambos rectos.
(ii) Las l´ıneas
←→
AD y
←→
BC son paralelas. 2
Nota. Escribiremos Hip´otesis H en el enunciado de un lema o teorema para indicar que en
´
el suponemos que la suma de los ´angulos de un tri´angulo cualquiera es 2 rectos. Es claro que bajo esta hip´otesis,
a) Todo cuadril´atero de Sccheri es un rect´angulo.
b) Si tres ´angulos de un cuadril´atero son rectos, entonces el cuarto tambi´en lo es.
2.8. CUADRIL ´ATEROS DE SACCHERI 19 Teorema 30. Suponemos “Hip´otesis H”. Sea 4BED con ∠E recto. Sea A un punto tal que D−A−B y BA ∼= DA, y sea C un punto en BE tal que
←→
AC es perpendicular con
←→
BE. Entonces
C es el punto medio de BE. 2
Demostraci´on. Sea F en DE tal que AF←→ es perpendicular con DE.←→ Entonces 2CEF A tiene tres ´angulo rectos, de modo que por la nota anterior ∠CAF es recto y AF = CE. Por la “hip´otesis H”, ∠F AD + ∠D es un recto, tambi´en ∠DBE +∠D es recto, luego ∠DAF ∼=
∠DBE. Tambi´en ∠BAC ∼=∠ADF y como BA ∼= AD, entonces 4ADF ∼= 4BAC por ALA luego AF ∼= BC y como AT ∼= CE, entonces BC ∼= CE.
Teorema 31. Suponemos “Hip´otesis H”. Sean B, A, D puntos a un mismo lado de una l´ınea
` y tales que B − A − D y BA ∼= AD. Sean B0, A0, D0 en ` tales que las l´ıneas
←→
BB0 ,
←→
AA0 , y
←→
DD0 sean perpendiculares con `. Entonces A0 es el punto medio de B0D0. 2 Demostraci´on. Sea C en
←→
AA0 tal que BC es perpendicular con←→
←→
AA0 . Entonces 2B0A0CB es un rect´angulo y por lo tanto BC ∼= B0A0. Sea E en
←→
DD0 tal que
←→
CE es perpendicular con
←→
DD0 . Entonces2A0D0EC es un rect´angulo y CE ∼= A0D0. Como ∠BCA0 y ∠ECA0 son rectos, entonces los puntos B, C y E son colineales, luego C es el punto medio de BE , por el teorema anterior y en consecuencia A0 es el punto medio de B0D0.
En la demostraci´on del siguiente teorema haremos uso de un axioma de continuidad que enunciaremos m´as adelante.
Teorema 32. Suponemos “Hip´otesis H”. Dado un tri´angulo 4ABC con ∠C recto, y dado un segmento ST, hay puntos X en BA y Y en−→ BC tales que−→ XY←→ es perpendicular conBC y←→
XY es mayor que ST. 2
Demostraci´on. Sea m la l´ınea perpendicular a
←→
BC en B. Sea E en m tal que
←→
AE sea per- pendicular con m en E.Por un axioma de continuidad (que se enunciar´a m´as adelante) existe un n´umero natural n tal que nBE sea mayor que ST. Sean D1, D2, . . . , Dn en
−→
BA tales que B − A − D1− D2− · · · − Dn y BA ∼= AD1, AD1 ∼= D1D2, . . . , Dn−2Dn−1∼= Dn−1Dn. Sean E1, E2, . . . En puntos en
−→
BE tales que
←→
DiEi sea perpendicular con m en Ei. Entonces por el teorema anterior BE ∼= EE1, EiEi+1 ∼= Ei+1Ei+2 . Luego BEn es congruente con nBE as´ı que BEn es mayor que ST. Sea X = Dn y sea Y en
−→
BC tal que
←→
XY sea perpendicular con
←→
BC en Y . entonces2XY BEn es un rect´angulo y XY ∼= BEn
Teorema 33. Suponemos “Hip´otesis H”. Dada una l´ınea ` y un punto P 6∈ `, hay una ´unica
l´ınea paralela con ` que pasa por P . 2
Demostraci´on. Sea Q en ` tal que
←→
P Q sea perpendicular con ` en Q. Sea m la l´ınea perpendicular con
←→
P Q en P . Sea n una l´ınea por P distinta de m. Sea V un punto en n tal que ∠V P Q sea
agudo. Sea C en m tal queV C sea perpendicular con m en C. Por el torema anterior existen←→
puntos X en
−→
P V y un punto Y en
−→
P C tales que
←→
XY es perpendicular con m en Y y XY es mayor que P Q. Sea Z en XY tal que Y Z ∼= P Q. Entonces2ZQP Y es un cuadri´atero de Saccheri y por lo tanto un rect´angulo as´ı que
←→
ZQ es perpendicular con
←→
P Q en Q, y como tambi´en ` es perpendicular conP Q en Q entonces←→ ZQ =` Luego la l´ınea ` interseca el lado←→
XY del tri´angulo 4XP Y y por lo tanto interseca P Y o P X, pero como ` es paralela con m entonces ` interseca P X , luego ` y n no son paralelas.
2.9. Axioma de paralelas
Axioma IV-1 Dada una l´ınea m y un punto P no en m, existe una ´unica l´ınea que pasa por P y es paralela con m
Definici´on 2.22. Sean m y n l´ıneas distintas. Una l´ınea t es una transversal a m y n si t interseca a m y n en puntos distintos.
Una transversal a dos l´ıneas m y n define ´angulos, como los n´umerados en la figura.
Se llaman ´angulos alternos internos a los ´angulos ∠4 y ∠6, tambi´en ∠3 y ∠5 son alternos internos. Los ´angulos ∠4 y ∠5 se llaman internos del mismo lado, tambi´en ∠3 y ∠6 son internos del mismo lado.
El postulado 5 de Euclides dice
Sea t una transversal a dos l´ıneas m y n. Si la suma de los ´angulos internos de un mismo lado de t es menor que 2 rectos, entonces m y n se intersecan en ese lado de t.
Veremos que este enunciado y el Axioma IV-1 son equivalentes.
El Axioma IV-1 implica
Teorema 34. Si t es una transversal a dos l´ıneas paralelas m y n, entonces los ´angulos alterno
internos son congruentes. 2
Sabemos que si la suma de los ´angulos de un tri´angulo es 2 rectos, entonces el Axioma IV-1 es cierto (teorema 33)
El siguiente teorema es rec´ıproco del teorema anterior.
Teorema 35. Sea t una transversal a dos l´ıneas paralelas m y n. Si los ´angulos anternos internos son congruentes, entonces a suma de los ´angulos de un tri´angulo es 2 rectos. 2
2.10. AXIOMAS DE CONTINUIDAD 21
2.10. Axiomas de continuidad
El siguiente axioma se utiliz´o en la demostraci´on del Teorema 32.
Axioma V-1 Dados segmentos AB y CD, existe un n´umero natural n tal que nAB > CD.
Definici´on 2.23. Dado un segmento AB y un punto E, el c´ırculo de centro E y radio AB es el conjunto de puntos P tales que EP ∼= AB. Lo denotamos C(E,AB ).
Un punto Q est´a en el interior de C(E,AB ) si EQ es menor que AB.
Un punto R est´a en el exterior de C(E,AB ) si ER es mayor que AB.
Axioma V-2 Si un c´ırculo tiene un punto en el interior de otro c´ırculo y un punto en el exterior del mismo c´ırculo, entonces los dos c´ırculos se intersecan en dos puntos.
2.11. Existencia de rect´ angulo y Axioma IV-1
Comenzamos con un teorema sobre rect´angulos de Saccheri
Teorema 36. Sean2ABCD y 2A0B0C0D0 dos cuadril´ateros de Saccheri con bases inferiores AD y A0D0. Si A0D0∼= AD y A0B0∼= AB, entonces BD ∼= B0D0, BC ∼= B0C0, ∠B0∼=∠B
y ∠C0∼=∠C. 2
Demostraci´on. 4BAD ∼= 4B0A0D0 por LAL, luego ∠ABD ∼= ∠A0B0D0, BD ∼= B0D0 y
∠ADB ∼= ∠A0D0B0 . Como ∠ADC y ∠A0D0C0 son rectos, entonces ∠BDC ∼= ∠B0C0D0 . Ahora, 4BDC ∼= 4B0D0C0 por LAL.
Lema 10. Sea2ABCD un rect´angulo. Sean D1y C1 puntos tales que A − D − D1, B − C − C1
y AD ∼= DD1 y BC ∼= CC1. Entonces2DCC1D1 es un rect´angulo.
Teorema 37. Si existe un rect´angulo, entonces existe un rect´angulo de lado arbitrariamente
grande. 2
Demostraci´on. Sea XY un segmento. Sean 2ABCD un rect´angulo. . Sean D1 y C1 puntos tales que A − D − D1, B − C − C1 y AD ∼= DD1 y BC ∼= CC1. . Entonces 2DCC1D1 es un rect´angulo, y 2ABC1D1 es un rect´angulo. Sea n un natural tal que nAD sea mayor que XY. Sean D2− D3− · · · − Dn−1 y C2− C3− · · · − Cn−1 puntos tales que AD ∼= DiDi+1 y BC ∼= CiCi+1. Entonces 2ABCn−1Dn−1 es un rect´angulo y ADn−1 es congruente con nAD que es mayor que XY.
Teorema 38. Si existe un rect´angulo, entonces existe un rect´angulo con dos lados adyacentes
congruentes con segmentos dados P Q y XY. 2
Demostraci´on. Sea2ABCD un rect´angulo. Por el teorema anterior existen puntos D0 y B0 y un punto C0 tal que 2AB0C”D” es un rect´angulo con A − D − D0, AD0 es mayor que XY y A − B − B0, AB0 mayor que P Q. Sea R un punto tal que A − R − B0 y AR ∼= P Q. Sea S un punto tal que D0− S − C0 y AR ∼= D0S. Entonces 2ARSD0 es un cuadril´atero de Saccheri de base AD0. Tambi´en2B0C0SR es un cuadril´atero de Saccheri de base B0C0. Los ´angulos ∠ARS y ∠B0RS son ´angulos superiores de cuadril´ateros de Saccheri, luego son agudos o rectos, pero como son suplementarios, deben ser ambos rectos. Luego2ARSD0 es un rect´angulo. Sea T un punto tal que A − T − D0 y ∠AT ∼=∠XY. sea U un puntos tal que R − U − S y RU ∼= AT.
Entonces, como se hizo antes,2ARUT es un rect´angulo.
Teorema 39. Si existe un rect´angulo, entonces en todo tri´angulo la suma de los ´angulos es 2
rectos. 2
Demostraci´on. Sea 4BAD con ∠A recto.Por el teorema anterior existe un rect´angulo 2A0B0C0D0 tal que AD ∼= A0D0 y AB ∼= A0B0. Como los lados opuestos de un rect´angulo son congruentes, entonces 4B0A0D0 ∼= 4D0C0B0 por LAL de donde ∠A”B0D0 ∼=∠C0D0B0 y como la suma de los ´angulos ∠A0D0B0 y ∠C0D0B0 es 1 recto, entonces la suma de ∠A0B0D0 y ∠A0D0B0 es 1 recto. Dado ahora cualquier tri´angulo, siguiendo la demostraci´on de Teorema 28 se completa la demostraci´on del teorema.
Teorema 40. Si existe un tri´angulo en el cual la suma de los ´angulos es 2 rectos, entonces
existe un rect´angulo. 2
Demostraci´on. Sea 4ABC con AB mayor o igual que los otros dos lados. Por Teorema 27 existe D tal que A − D − B y
←→
CD es perpendicular con
←→
AB. Sea m la l´ınea perpendicular con
←→
AB en A. Sea E en m tal que E y C est´an al mismo lado de
←→
AD y AE ∼= CD. Por Teorema 28, la suma de ∠1 +∠2 es menor o igual que 1 recto, tambi´en ∠3 + ∠4 ≤ 1 recto y como en 4ABC la suma es 2 rectos, entonces ∠1 + ∠2 es 1 recto. Tambi´en ∠EAC es recto, luego ∠2 ∼=∠EAC. Ahora 4EAC ∼= 4DCA de donde∠AEC ∼=∠CDA y por lo tanto ∠E es recto y ya que ∠E ∼=∠C entonces todos los ´angulos del cuadril´tero son recto y el cuadr´ılatero es un rect´angulo.
Cap´ıtulo 3
Modelos
Definici´on 3.1. Dados los pares ordenados de n´umeros reales (a, b) y (c, d), definimos 1. < (a, b), (c, d) >= ac + bd,
2. ||(a, b)|| =√
a2+ b2, y 3. (a, b) − (c, d) = (a − c, b − d)
1. Plano Cartesiano.
Puntos. El conjunto de puntos es R2= {(x, y) | x, y ∈ R}
L´ıneas. Las l´ıneas son de dos tipos:
Verticales: La= {(x, y) ∈ R2 | x = a}, (a ∈ R.) No verticales: La,b= {(x, y) ∈ R2 | y = ax + b}, (a, b ∈ R.)
Distancia. Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), entonces P Q =p(x1− x2)2+ (y1− y2)2 Medici´on de ´angulos Sean A, B y C puntos.
La medida del ´angulo ∠ABC, denotada m(∠ABC), es m(∠ABC )= cos−1
< A − B,C − B >
||A − B|| · ||C − B||.
2. Plano de Moulton.
Puntos. El conjunto de puntos es R2. L´ıneas. Las l´ıneas son de tres tipos:
Tipo 1. La= {(x, y) ∈ R2 | x = a}, ( a ∈ R.)
Tipo 2. La,b= {(x, y) ∈ R2 | y = ax + b}, (a, b ∈ R, con a ≤ 0.) Tipo 3. Ma,b=
(x, y) ∈ R2
y = ax + b, si x ≤ 0;
y = 12ax + b, si x > 0.
(a, b ∈ R, con a > 0.) Distancia. Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), entonces
P Q =
px21+ (y1− b)2+px22+ (y2− b)2, si P, Q ∈ Ma,b y x1x2< 0;
p(x1− x2)2+ (y1− y2)2, en caso contrario.
23
Medici´on de ´angulos en el plano de Moulton Dado un ´angulo ∠ABC , con B = (α, β),
Si α 6= 0, entonces hay puntos A0 ∈ BA y C−→ 0∈BC tales que A−→ 0, B y C0 est´an todos a un mismo lado del eje Y . En este caso la medida de ∠ABC se define como la medida en el plano Cartesiano del ´angulo ∠A0BC0.
Si α = 0, sean sAy sClas l´ıneas del plano Cartesiano que contienen los puntos en las l´ıneas de Moulton
←→
BA y
←→
BC , respectivamente, cuyas primeras componentes son negativas.
Sean A0un punto en sAy C0un punto en sCtales que A y A0, y C y C0, est´en a un mismo lado del eje Y . Se define la medida de ∠ABC como la medida en el plano Cartesiano de
∠A0BC0 .
3. Plano de Poincar´e.
Puntos. El conjunto de puntos es bH = {(x, y) ∈ R2| y > 0}.
L´ıneas. Las l´ıneas son de dos tipos:
Tipo I. Ha= {(x, y) ∈ bH | x = a}, (a ∈ R.)
Tipo II. Hc,r= {(x, y) ∈ bH | (x − c)2+ y2= r2}, (c, r ∈ R, r > 0.) Distancia. Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), entonces
P Q = | lny2
y1|, si x1= x2
P Q = ln
x1− c + r y1
x2− c + r y2 .
, si P y Q est´an en Hc,r.
Medici´on de ´angulos en el plano de Poincar´e Dado un rayo
−→
AB en el plano de Poincar´e, con B = (xB, yB) y A = (xA, yA), definimos
TBA=
(0, yA− yB), si
←→
AB es del tipo I;
(yB, c − xB), si
←→
AB es del tipo II con xB< xA; (−yB, −c + xB), si
←→
AB es del tipo II con xB> xA.
Dado un ´angulo ∠ABC , definimos m(∠ABC )= cos−1
< TBA,TBC >
||TBA|| · ||TBC||.
Cap´ıtulo 4
Elementos de un tri´ angulo.
En esta parte la geometr´ıa es euclidiana, es decir por un punto dado fuera de una l´ınea dada hay una ´unica l´ınea que pasa por el punto y es paralela con la l´ınea dada.
Teorema 41. Las mediatrices de los lados de un tri´angulo son concurrentes. 2 Teorema 42. Las bisectrices de un tri´angulo son concurrentes. 2 Definici´on 4.1. Dado un tri´angulo, llamaremos altura de un v´ertice a la l ´ınea que pasa por el v´ertice y que es perpendicular al lado opuesto al v´ertice.
Teorema 43. Las alturas de un tri´angulo son concurrentes. 2 Definici´on 4.2. Llamaremos mediana (correspondiente a un lado) de un tri´angulo al segmento que tiene por extremos al punto medio del lado y al v´ertice opuesto al lado.
Definici´on 4.3. Las medianas de un tri´angulo son concurrentes. Adem´as, la distancia del punto de concurrencia a un v´ertice es igual a 2/3 de la longitud de la mediana correspondiente al v´ertice.
Teorema 44. Sea D el punto en que la bisectriz del ´angulo ∠C interseca al lado AB de un
tri´angulo ABC. Entonces AD : BD = AC : BC 2
Teoremas de Menelao y de Ceva
En los teoremas de Menelao, en su rec ´ıproco y en el teorema de Ceva, si tres puntos A, P y B son colineales y si P no est´a en el segmento AB , consideraremos la raz´on AP : BP como un n´umero negativo.
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Teorema 45 (Menelao). Dado un tri´angulo, si una l´ınea interseca a ←→AC en D, a CB←→ en E y a
←→
BA en F , entonces
CD DA· AF
F B ·BE EC = −1
2
Teorema 46 (Rec´ıproco del teo. de Menelao). Dado un tri´agulo ABC, sean D un punto en
←→
AC , E un punto en CB←→ y F un punto en←→AB . Si CD
DA· AF F B· BE
EC = −1,
entonces D, E y F son colineales. 2
Teorema 47 (Ceva). Dado un tri´angulo 4ABC, sean D un punto en CB, E un punto en AC, y F un punto en BA. Las l´ıneas
←→
DA,
←→
EB, y
←→
F C son concurrentes si, y s´olo si, CD
DB ·AE EC ·BF
F A = 1
2
Teorema 48 (Teorema de Her´on). Sean A y B dos puntos a un mismo lado de una l´ınea L.
Sea E el pie de la perpendicular de B a L y sea B0 un punto tal que B − E − B0 y BE = B0E.
Si C es el punto de intersecci´on de
←→
AB y L, entonces AC + CB < AX + XB
para todo punto X en L, X 6= C. 2