ÁLGEBRA Algunas soluciones a la Práctica 1

ALGEBRA ´

Correspondencias y aplicaciones (Curso 2006–2007)

1.– Dadas las siguientes correspondencias, determinar sus conjuntos origen, imagen, decidir si no son aplicaciones y, en caso de que lo sean, si son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. Calcular tambi´en las aplicaciones inversas de las que resulten ser biyectivas

(c) f₃ : IR −→ IR, x 7→ tg(x).

Conjunto inicial=IR. Conjunto origen=IR \ {π

2 + kπ, k ∈ ZZ}, ya que la tangente est´a definida como sin(x)

cos(x). Este cociente tiene sentido cuando el denominador es distinto 0, es decir en los puntos donde el coseno se anula. Esto ocurre cuando x = π

2 + kπ con k ∈ ZZ.

Conjunto final=IR. Conjunto imagen=IR, ya que la tangente puede tomar cualquier n´umero real.

f₃ NO es una aplicaci´on, porque el conjunto inicial y el conjunto origen NO coinciden.

(d) f₄ : IR −→ IR, x 7→ x⁷.

Conjunto inicial=IR. Conjunto origen=IR, ya que existe la s´eptima potencia de culaquier n´umero real.

Conjunto final=IR. Conjunto imagen=IR, ya que todo n´umero real se puede expresar como s´eptima potencia de otro. En concreto, dado y ∈ IR, tomando x = y^1/7, se verifica que x⁷ = y y por tanto f₄(x) = y.

f₄ es una aplicaci´on, ya que el conjunto inicial y el conjunto origen coinciden, y adem´as para cada valor de x, la s´eptima potencia est´a definida de manera ´unica.

f₄ es inyectiva, ya que si x⁷₁ = x⁷₂ entonces x₁ = x₂ (OJO: esto no ser´ıa cierto si el exponente fuese par ya que x y −x elevados a exponente par dan el mismo resultado).

f₄ es sobreyectiva, ya que coinciden el conjunto final y el imagen.

f₄ es biyectiva, porque es inyectiva y sobreyectiva. La aplicaci´on inversa es:

f₄⁻¹ : IR −→ IR, x 7→ x^1/7

(f) f₆ : IR \ {3} −→ IR \ {2}, x 7→ 2x − 4 x − 3 .

Conjunto inicial=IR \ {3}. Conjunto origen=IR \ {3}, ya que la fracci´on est´a bien definida cuando el denominador no se anula. Pero x − 3 = 0 ⇐⇒ x = 3.

Conjunto final=IR \ {2}. Para calcular el conjunto imagen hacemos lo siguiente.

Dado y ∈ IR, vemos cuando existe un x tal que f₆(x) = y, es decir, cuando tiene soluci´on la ecuaci´on:

y = 2x − 4 x − 3

Despejando x obtenemos x = 3y − 4

y − 2 . Vemos que esta expresi´on tiene sentido excepto cuando el denominador se anula, es decir, cuando y = 2. Por tanto: Conjunto imagen=IR \ {2}.

f₆ es una aplicaci´on, ya que el conjunto inicial y el conjunto origen coinciden y adem´as para cada valor de x, la expresi´on de f₆(x) est´a definida de manera ´unica.

f₆ es inyectiva, ya que si f₆(x₁) = f₆(x₂), o equivalentemente, 2x₁ − 4

x₁− 3 = 2x₂− 4 x₂− 3 ; operando obtenemos que x₁ = x₂. (OJO: hay que suponer x₁, x₂ 6= 3 para que las expresiones tengan sentido).

f₆ es sobreyectiva, ya que coinciden el conjunto final y el imagen.

f₆ es biyectiva, porque es inyectiva y sobreyectiva. La aplicaci´on inversa la hemos obtenido antes, cuando calcul´abamos el conjunto imagen:

f₆⁻¹ : IR \ {2} −→ IR \ {5}, x 7→ 3x − 4 x − 2

(g) f₇ : IR² −→ IR, (x, y) 7→ xy.

Conjunto inicial=IR². Conjunto origen=IR², ya que el producto de dos n´umeros reales est´a siempre definido.

Conjunto final=IR. Conjunto imagen=IR, ya que cualquier n´umero real puede expresarse como producto de dos n´umeros. En concreto, dado cualquie x ∈ IR, se tiene x = x · 10, luego x = f₇(x, 1).

f₇ SI es una aplicaci´on, ya que conjunto inicial y el conjunto origen coinciden, y adem´as para cada par de n´umeros reales su producto est´a definido de manera ´unica.

f₇ NO es inyectiva, ya que hay parejas de n´umeros distintos que tienen el mismo producto. Por ejemplo 2 · 2 = 1 · 4 = 4 y as´ı f₇(2, 2) = f₇(1, 4).

f₇ SI es sobreyectiva, ya que coinciden el conjunto final y el imagen.

f₇ NO es biyectiva porque no es inyectiva.

(h) f₈ : IR² −→ IR², (x, y) 7→ (x − y, x + y).

Conjunto inicial=IR². Conjunto origen=IR², ya que la resta y la suma de dos n´umeros reales est´a siempre definida.

Conjunto final=IR. Conjunto imagen=IR². Para comprobar esto, hay que ver si cualquier par de n´umeros reales (d, s) son diferencia y suma respectivamente de otros dos. Planteamos el sistema de ecuaciones:

x − y = d x + y = s

Resolvi´endolo vemos que x = d + s

2 e y = s − d

2 . Y por tanto siempre existen (x, y) con f₈(x, y) = (d, s). Vemos adem´as que el para (d, s) es imagen de un ´unico elemento.

f₈ es una aplicaci´on, ya que el conjunto inicial y el conjunto origen coinciden, y adem´as para cada par de n´umeros reales la resta y la suma est´a definida de manera

´ unica.

f₈ es inyectiva. Ve´amoslo. Supongamos f₈(x₁, y₁) = f₈(x₂, y₂); queremos que ver entonces (x₁, y₁) = (x₂, y₂). Llamamos (d, s) a la imagen. Antes vimos que fijado (d, s) obten´ıamos de manera ´unica el elemento del cual es imagen, es decir: x₁ = d + s

2 = x₂ e y₁ = s − d

2 = y₂. Por tanto tenemos la inyectividad.

f₈ es sobreyectiva, ya que coinciden el conjunto final y el imagen.

f₈ es biyectiva porque es inyectiva y sobreyectiva. La aplicaci´on inversa la hemos calculado antes:

f₈⁻¹: IR² −→ IR², (x, y) 7→ (x + y

2 ,y − x 2 )

2.– Sean A, B, C, D conjuntos, f una aplicaci´on de A en B, g una aplicaci´on de B en C, h una aplicaci´on de C en D. Probar que si g ◦ f y h ◦ g son biyectivas, entonces de hecho f , g y h son biyectivas.

Tenemos las aplicaciones:

f : A −→ B g : B −→ C h : C −→ D

Y consideramos las composiciones:

g ◦ f : A−→ B^f −→ C^g h ◦ g : B −→ C^g −→ D^h

Supongamos que son biyectivas, es decir, inyectivas y sobreyectivas.

Por las propiedades de la composici´on con respecto a la sobreyectivdad e inyectividad, sabemos que:

g ◦ f inyectiva ⇒ f inyectiva h ◦ g inyectiva ⇒ g inyectiva y tambi´en:

g ◦ f sobreyectiva ⇒ g sobreyectiva h ◦ g sobreyectiva ⇒ h sobreyectiva

Vemos que g es inyectiva y sobreyectiva, y por tanto es biyectiva.

Ahora recordemos que si g es biyectiva, g⁻¹ es biyectiva y adem´as:

g⁻¹◦ g = id_B g ◦ g⁻¹ = id_C

Como la composici´on de aplicaciones biyectivas es biyectiva, obtenemos la biyectividad de f y de h:

g⁻¹◦ (g ◦ f ) = (g⁻¹◦ g) ◦ f = id_B◦ f = f (h ◦ g) ◦ g⁻¹ = h ◦ (g ◦ g⁻¹) = h ◦ id_C = h

4.– Sea f : IR → IR⁺ definida por f (x) = x² y g : IR⁺ → IR definida por g(x) = +√ x.

¿Es una aplicaci´on inversa de la otra? Razonar la respuesta.

Para que f y g sean una inversa de la otra, ha de cumplirse:

f ◦ g = idIR⁺; g ◦ f = idIR;

Primero sea x ∈ IR⁺. Tenemos:

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (+√

x) = (√

x)² = x luego se cumple g ◦ f = idIR⁺.

Sea ahora x ∈ IR. Se tiene:

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x²) = +p

x² = |x|

Por tanto si x es negativo no se cumple que (g ◦ f )(x) = x y vemos que las aplicaciones no son inversas la una de la otra.

En realidad ya sab´ıamos que esto ten´ıa que ser as´ı: f no es inyectiva y g no es sobreyectiva, luego nunca pueden tener inversa.

Intuitivamente la ra´ız cuadrada es la inversa de la funci´on elevar al cuadrado, pero para que las cosas funcionen bien, hemos de restringirnos ´unicamente a los n´umeros no negativos.

6.– Sea f : X → Y una aplicaci´on, y sean A, B dos subconjuntos de X. Decidir razonadamente si las siguientes afirmaciones son ciertas en general y para las que resulten no serlo, si son verdaderas bajo la hip´otesis suplementaria de que f sea inyectiva o sobreyectiva.

(c) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)

y ∈ f (A ∩ B) ⇒ y = f (x), x ∈ A ∩ B ⇒ y = f (x), x ∈ A y x ∈ B ⇒

⇒ y = f (x), x ∈ A e y = f (x), x ∈ B ⇒ y ∈ f (A) e y ∈ f (B) ⇒

⇒ y ∈ f (A) ∩ f (B)

Vemos que es CIERTO SIEMPRE.

(d) f (A) ∩ f (B) ⊂ f (A ∩ B) (¡OJO!)

y ∈ f (A) ∩ f (B) ⇒ y ∈ f (A) e y ∈ f (B) ⇒ y = f (x), x ∈ A e y = f (x⁰), x⁰ ∈ B Cuidado! Ahora no podemos deducir que y = f (x) con x ∈ A ∩ B. Porque x pudiera ser distinto que x⁰, y por tanto pudiera ocurrir que x ∈ A, pero x 6∈ B.

Sin embargo si suponemos f INYECTIVA, sabemos que dos elementos que tienen la misma imagen son el mismo, luego x = x⁰, y entonces la propiedad si que es cierta.

Un ejemplo donde f NO es inyectiva y no se cumple la propiedad es:

X = n´umeros naturales Y = IR

f : X → Y, f (n) = 0, para cualquier n en X A = n´umeros pares

B = n´umeros impares En este caso:

f (A) = {0}

f (B) = {0}

f (A) ∩ f (B) = {0}

A ∩ B = ∅ f (A ∩ B) = ∅

luego vemos aqu´ı que f (A) ∩ f (B) 6⊂ f (A ∩ B).

(e) f (X \ A) ⊂ Y \ f (A) (¡OJO!)

y ∈ f (X \ A) ⇒ y = f (x), x ∈ X, x 6∈ A

Vemos que y es imagen de un elemento x que no est´a en A. Pero ?podemos asegurar entonces que y no est´a en f (A)?. En general NO podemos asegurarlo. De nuevo si f no es inyectiva, pudiera haber otro elemento x⁰ ∈ A, x 6= x, tal que f (x⁰) = f (x) = y.

As´ı la propiedad es cierta si f es INYECTIVA.

En el ejemplo del apartado anterior.

f (X \ A) = {0}

f (A) = {0}

Y \ f (A) = IR \ {0}

y por tanto f (X \ A) 6⊂ Y \ f (A).

(f) Y \ f (A) ⊂ f (X \ A) (¡OJO!)

y ∈ Y \ f (A) ⇒ y ∈ Y, y 6∈ f (A) ⇒ y 6= f (x) para todo x ∈ A ⇒

Sabemos que y no es imagen de ning´un elemento de A. Sin embargo, si f NO es SOBREYECTIVA pudiera ocurrir que y no fuese imagen de ning´un elemento de X y por tanto y 6∈ f (X \ A).

As´ı la propiedad NO es cierta en general. Si es cierta si f es sobreyectiva.

En el ejemplo anterior tampoco se cumple Y \ f (A) ⊂ f (X \ A).

7.– Sean X e Y conjuntos y f : X → Y una aplciaci´on. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) f es inyectiva.

(b) Para cualesquiera subconjuntos A, B de X tales que A ∩ B = ∅, se cumple f (A) ∩ f (B) = ∅.

- Supongamos primero que f es inyectiva. Veamos que se cumple la condici´on (b). Sean A, B subconjuntos de X tales que A ∩ B = ∅. Si la condici´on no fuese cierta, entonces f (A) ∩ f (B) 6= ∅, es decir, existir´ıa y ∈ f (A) ∩ f (B). Por tanto y = f (a) = f (b) para alg´un a ∈ A y b ∈ B. Pero por ser inyectiva si f (a) = f (B) entonces a = b y A ∩ B 6= ∅, con lo cual llegar´ıamos a una contradicci´on.

- Supongamos ahora que cumple la condici´on (b). Veamos que f es inyectiva. Sean a, b ∈ B; queremos ver que si a 6= b entonces f (a) 6= f (b). Pero si a 6= b entonces tomamos los subconjuntos de X, A = {a} y B = {b} y se verifica que A ∩ B = ∅.

Entonces por la condici´on (b), f (A)∩f (B) = ∅ lo que significa que a y b tienen distinta imagen por f .

(Primer parcial, febrero 2003)

8.– Dadas las siguientes relaciones, decidir si son reflexivas, sim´etricas, antisim´etricas y/o transitivas; como consecuencia, si son de orden o de equivalencia. De las que resulten ser de orden, indicar las que son de orden total, y para las de equivalencia, determinar su conjunto cociente:

(b) en Z, mRn ⇔ m − n es m´ultiplo de 3

Propiedad reflexiva: ¿nRn, ∀n ∈ Z?. Se tiene que |n − n| = 0, que es m´ultiplo de 3, luego SE CUMPLE.

Propiedad sim´etrica: ¿mRn ⇒ nRm? . Si mRn entonces m − n es m´ultiplo de 3 y por tanto su opuesto n − m es tambi´en m´ultiplo de 3. SE CUMPLE la propiedad.

Propiedad antisim´etrica: ¿mRn, nRm ⇒ n = m?. NO SE CUMPLE. Por ejemplo 3R0 y 0R3, pero 0 6= 3.

Propiedad transitiva:¿mRn, nRk ⇒ mRk?. Tenemos:

m − k = (m − n) + (n − k)

Si mRn, nRk entonces m−n y n−k son m´ultiplos de 3. Pero la diferencia de m´ultiplos de 3 sigue siendo m´ultiplo de 3, luego mRk. Vemos que SE CUMPLE la propiedad.

Es una RELACION DE EQUIVALENCIA porque cumple las propiedades reflexiva, sim´etrica y tansitiva. Veamos cual es el conjunto cociente. Se trata de dar un representante de cada clase. Dado m ∈ Z, dividiendo por 3 sabemos que puede expresarse como:

m = 3c + r, con c, r ∈ Z

donde c es el cociente y r es el resto de la divisi´on. Sabemos que r est´a comprendido entre entre 0 y 2. Como m − r = 3c, entonces mRr. Deducimos que la clase de cualquier elemento m tiene un representante comprendido entre 0 y 2. El conjunto cociente es:

Z/R = {c(0), c(1), c(2)}

Por ´ultimo, NO es una RELACION DE ORDEN, porque no cumple la propiedad antisim´etrica.

(c) en IR², (a, b)R(c, d) ⇔ a ≤ c y b ≤ d

Propiedad reflexiva: ¿(a, b)R(a, b), ∀(a, b) ∈ IR²?. Se tiene que a ≤ a y b ≤ b, luego SE CUMPLE.

Propiedad sim´etrica: ¿(a, b)R(c, d) ⇒ (c, d)R(a, b)? . NO SE CUMPLE. Por ejemplo, (0, 0)R(1, 1) pero sin embargo no es cierto que (1, 1)R(0, 0).

Propiedad antisim´etrica: ¿(a, b)R(c, d), (c, d)R(a, b) ⇒ (a, b) = (c, d)?. Tenemos:

(a, b)R(c, d) ⇒ a ≤ c y b ≤ d (c, d)R(a, b) ⇒ c ≤ a y d ≤ b

Pero si a ≤ c y c ≤ a, entonces a = c y si b ≤ d y d ≤ b, entonces b = d. Por tanto la propiedad antisim´etrica SE CUMPLE.

Propiedad transitiva:¿(a, b)R(c, d), (c, d)R(e, f ) ⇒ (a, b)R(e, f )?. Tenemos:

(a, b)R(c, d) ⇒ a ≤ c y b ≤ d (c, d)R(e, f ) ⇒ c ≤ e y d ≤ f

Pero si a ≤ c y c ≤ e, entonces a ≤ e y si b ≤ d y d ≤ f , entonces b ≤ f . Luego (a, b)R(e, f ) y vemos que SE CUMPLE la propiedad.

NO es una RELACION DE EQUIVALENCIA, porque no cumple la propiedad sim´etrica.

ES una RELACION DE ORDEN, porque cumple las propiedades reflexiva, antisim´etrica y transitiva. Sin embargo NO es de ORDEN TOTAL, porque hay elementos que no est´an relacionados entre s´ı. Por ejemplo ni (0, 1)R(1, 0) ni (1, 0)R(0, 1).

(d) en IR, xRy ⇔ x 6= y

Propiedad reflexiva: ¿xRx, ∀x ∈ IR?. Obviamente NO SE CUMPLE.

Propiedad sim´etrica: ¿xRy ⇒ yRx? . Obviamente SE CUMPLE. (Si x es distinto de y, y es distino de x).

Propiedad antisim´etrica: ¿xRy, yRx ⇒ x = y?. NO SE CUMPLE. Porque, de hecho, si xRy, x 6= y.

Propiedad transitiva:¿xRy, yRz ⇒ xRz?. NO SE CUMPLE. Por ejemplo, 1R2, 2R1, pero no es cierto que 1R1.

NO es una RELACION DE EQUIVALENCIA, porque no cumple la propiedad reflexiva (ni la transitiva). NO es una RELACION DE ORDEN, porque no cumple ninguna de las propiedades requeridas.

9.– Sea P(IR) la familia de todos los subconjuntos de IR. Definimos la siguiente relaci´on.

Dados A, B ∈ P(IR):

ARB ⇐⇒ existe una aplicaci´on biyectiva f : A −→ B Probar que es una relaci´on de equivalencia.

Tenemos que comprobar que cumple las propiedades reflexiva, sim´etrica y transitiva:

- REFLEXIVA: Hay que probar que para cualquier subconjunto A ⊂ IR existe una aplicaci´on biyectiva f : A −→ A. Pero basta considerar la aplicaci´on identidad en A que sabemos que es biyectiva.

- SIMETRICA: Sean A, B ⊂ IR. Supongamos que ARB. Entonces existe una aplicaci´on biyectiva f : A −→ B. Por ser biyectiva tiene inversa y esta es tambi´en biyectiva, f⁻¹ : B −→ A. Deducimos que BRA y por tanto se cumple la propiedad sim´etrica.

- TRANSITIVA. Sean A, B, C ⊂ IR. Supongamos que ARB y BRC, queremos ver que entonces ARC. Pero:

ARB ⇒ ∃f : A −→ B biyectiva BRC ⇒ ∃g : B −→ C biyectiva Pero entonces la aplicaci´on:

g ◦ f : A −→ B −→ C

es biyectiva por ser composici´on de biyectivas y por tanto ARC.

(Examen final, junio 2004)

10.– Se considera V el conjunto de funciones f : IR → IR derivables. Sea S el subconjunto de V formado por las funciones que coinciden con su derivada, es decir,

S = {f ∈ V : f (x) = f⁰(x) ∀x ∈ IR}

Se define en V la relaci´on R de la siguiente forma: dadas g, h ∈ V , gRh cuando g − h ∈ S

Probar que R es una relaci´on de equivalencia.

Comprobemos las tres propiedades de las relaciones de equivlencia:

- REFLEXIVA. Sea f ∈ V . Se tiene que f − f = 0. Pero la funci´on 0 coincide con su derivada y por tanto est´a en S.

- SIMETRICA. Sean f, g ∈ V . Supongamos que f Rg. Entonces f − g es una funci´on de S, es decir que coincide con su derivada:

(f − g)⁰ = (f − g) Pero entonces

(g − f )⁰ = (g⁰− f⁰) = −(f⁰− g⁰) = −(f − g)⁰ = −(f − g) = (g − f ) es decir g − f tambi´en coincide con su derivada y por tanto g − f ∈ S y gRf . - TRANSITIVA. Supongamos f, g, h ∈ V y f Rg y gRh. Esto significa:

f Rg ⇒ f − g ∈ S ⇒ (f − g)⁰ = f − g gRh ⇒ g − h ∈ S ⇒ (g − h)⁰= g − h Ahora veamos que f Rh:

(f − h)⁰= (f − g + g − h)⁰ = (f − g)⁰+ (g − h)⁰ = (f − g) + (g − h) = f − h Luego f − h coincide con su derivada y por tanto f Rh.

(Primer parcial, febrero 2003)

11.– Encontrar la (´unica) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones:

(b) En el conjunto de n´umeros naturales, la relaci´on dada por: aRb ⇔ b es m´ultiplo de a.

- Todo numero natural es m´ultiplo de si mismo y por tanto se cumple la propiedad reflexiva.

- 2 es m´ultiplo de 1 pero 1 no es m´ultiplo de 2 por tanto no se cumple la sim´etrica.

- Si b es m´ultiplo de a y a es m´ultipo de b, entonces b = ka y a = k⁰b, con k y k⁰ n´umeros enteros positivos. Por tanto b = kk⁰b y kk⁰ = 1. Por ser n´umeros enteros positivos necesariamente k = k⁰= 1 y a = b. Vemos que se cumple la antisim´etrica.

- Si b es m´ultiplo de a y c es m´ultiplo de b existen n´umero enteros positivos k, k⁰ tales que b = ak y c = bk⁰. Entonces c = akk⁰ y vemos que c es m´ultiplo de a. Se cumple la propiedad transitiva.

° No es reflexiva.

FALSO.

° Es de orden.

VERDADERO. Ya que se cumplen las propiedades reflexiva, antisim´etrica y transitiva.

° Es de equivalencia.

FALSO. Ya que no se cumple la propiedad sim´etrica.

° No es transitiva.

FALSO.

(Primer parcial, enero 2005)

(d) En IR definimos definimos la siguiente relaci´on. Dados x, y ∈ IR:

xRy ⇐⇒ sin(x − y) = 0.

Veamos las distintas propiedades:

- REFLEXIVA. SE CUMPLE, ya que para cualquier x ∈ IR:

sin(x − x) = sin(0) = 0 ⇒ xRx.

- SIM´ETRICA. SE CUMPLE, ya que dados x, y ∈ IR:

xRy ⇒ sin(x − y) = 0 ⇒ sin(y − x) = −sin(x − y) = 0 ⇒ yR0.

- ANTISIM´ETRICA. NO SE CUMPLE. Por ejemplo si x = 0, y = π, se tiene:

sin(x − y) = sin(−π) = 0 ⇒ xRy

sin(y − x) = sin( π) = 0 ⇒ yRx pero x 6= y.

- TRANSITIVA. SE CUMPLE. Dados x, y, z ∈ IR se tiene:

xRy ⇒ sin(x − y) = 0 ⇒ x − y = mπ, n ∈ Z.

yRz ⇒ sin(y − z) = 0 ⇒ y − z = nπ, m ∈ Z.

Por tanto:

x − z = (x − y) + (y − z) = (m + n)π ⇒ sin(x − z) = sin((m + n)π) = 0 ⇒ xRz.

Otra forma de comprobar los mismo puede ser:

sin(x − z) = sin((x − y) + (y − z)) = sin(x − y)cos(y − z) + sin(y − z)cos(x − y) =

= 0 · cos(y − z) + 0 · cos(x − y) = 0 ⇒ xRz.

° Es una relaci´on de orden.

FALSO. No cumple la propiedad antisim´etrica.

° Cumple las propiedades reflexiva y transitiva, pero no la sim´etrica.

FALSO.

° Cumple las propiedades reflexiva y sim´etrica, pero no la transitiva.

FALSO.

° Es una relaci´on de equivalencia.

VERDADERO. Cumple las propiedades reflexiva, sim´etrica y transitiva.

(Primer parcial, enero 2006)