FÍSICA III
Sistemas de Cuerpos Rígidos - Fluidos
J. Osorio • A. García-Cole
Física III
(SISTEMAS DE CUERPOS RÍGIDOS Y FLUIDOS)
Dr. Jaime Osorio Rosales
Universidad Nacional Autónoma de México
Fís. Arturo García Cole
Universidad Nacional Autónoma de México
Universidad Nacional Autónoma de México México, 2021
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL SUR
FÍSICA III
SISTEMAS DE CUERPOS RÍGIDOS Y FLUIDOS
(Basado en el nuevo programa de estudio de Física III)
J. Osorio & A. García-Cole
202 1
CONTENIDO
Unidad 1. Sistemas de Cuerpos Rígidos
Introducción: Sistemas de cuerpos rígidos 5
CAPÍTULO I
1. Movimiento Circular
1.1 Movimiento Circular 8
1.2 Aceleración Centrípeta 15
CAPÍTULO II
2. Gravitación Universal y Leyes de Kepler
2.1 Gravitación Universal 39
2.2 Leyes de Kepler 48
2.3 Satélites 54
CAPÍTULO III
3. Centro de Masa
3.1 Centro de Masa 69
3.2 Movimiento del Centro de Masa 76
CAPÍTULO IV
4. Ecuación Vectorial de Movimiento
4.1 Ecuación Vectorial de Movimiento 94
CAPÍTULO V 5. Torca
5.1 Torca 115
CAPÍTULO VI
6. Momento de Inercia
6.1 Momento de Inercia 133
6.2 Teorema de los ejes paralelos 137
6.3 Momento de Inercia de cuerpos sólidos 138
CAPÍTULO VII
7. Momento Angular
7.1 Momento Angular 153
7.2 Naturaleza Vectorial de la Rotación 158
7.3 Trabajo y Energía Cinética Rotacional 161
7.4 Segunda Ley de Newton (forma angular) 165
7.5 Cantidad de Movimiento Angular 166
7.6 Conservación de la Cantidad de Movimiento Angular 167 7.7 Problemáticas Especificas del Momento Angular 168 7.7.1 El Gato y la Conservación del Momento Angular 171
7.8 Momento Angular Cuantizado 172
7.9 Momento Angular Orbital 174
7.10 Momento Angular Total 175
Unidad 2. Sistemas de Fluidos
Introducción: Sistemas de fluidos 191
CAPÍTULO VIII 8. Fluidos
8.1 Fluidos 193
8.2 Densidad 195
8.3 Presión 198
8.4 Presión del fluido 199
8.5 Medición de la presión de un fluido 201
8.6 Prensa Hidráulica (Principio de Pascal) 206
8.7 Principio de Arquímedes 209
CAPÍTULO IX
9. Dinámica de Fluidos
9.1 Dinámica de fluidos 226
9.2 Tipos de flujo 229
9.3 Ecuación de continuidad 230
9.4 Gasto 231
9.5 Ecuación de Bernoulli 234
APÉNDICE A Unidades SI: Básicas y Suplementarias 251
APÉNDICE B Datos Físicos 251
APÉNDICE C Unidades SI Derivadas 252
APÉNDICE D Unidades SI Compuestas 253
APÉNDICE E Unidades SI Autorizadas 254
APÉNDICE F Múltiplos y Submúltiplos Decimales 254
APÉNDICE G Alfabeto Griego 255
APÉNDICE H Constantes Físicas Fundamentales 256
APÉNDICE I Datos Planetarios 257
APÉNDICE J Unidades Sistema Ingles 258
SOBRE LOS AUTORES
Dr. Jaime Arturo Osorio Rosales
El doctor Jaime Arturo Osorio Rosales es físico por la Facultad de Ciencias de la UNAM, obtuvo su maestría y doctorado en el Programa de Posgrado en Ciencias de la Tierra de la UNAM en el área de Física Espacial. Ha sido conferencista invitado en congresos nacionales e internacionales. Sus líneas de investigación giran en torno a la física espacial, clima terrestre y relaciones Sol-Tierra. Actualmente es académico en el Colegio de Ciencias y Humanidades Plantel Sur de la UNAM donde imparte la materia de Física, trabaja en diferentes proyectos de ciencia con alumnos y es coordinador de la Estación Meteorológica de la misma institución.
Ha publicado dos libros, numerosos artículos de investigación y divulgación.
Imparte frecuentemente conferencias científicas en escuelas de educación media superior, superior y al público en general.
Fis. Arturo García Cole
El físico Arturo García Cole estudio en la Facultad de Ciencias de la UNAM, es pasante de la maestría en el Programa de Posgrado en Ciencias de la Tierra de la UNAM en el área de Física Espacial. Desde hace 31 años es académico en el Colegio de Ciencias y Humanidades Plantel Sur, donde imparte la materia de Física y donde además ha sido consejero académico y consejero interno. Es responsable de diferentes proyectos con alumnos y profesores, imparte cursos y conferencias sobre física, y actualmente es coordinador de la Estación Meteorológica del plantel y de la Red Mexicana de Radiotelescopios.
1 PRESENTACIÓN
El presente libro está diseñado para cubrir los aprendizajes señalados en el Programa de Física III del Plan de Estudios del Colegio de Ciencias y Humanidades, correspondiente al quinto semestre. Queremos que este libro sea de ayuda para los alumnos, para que valoren lo maravillosa que es esta ciencia. La naturaleza se manifiesta en ciertos fenómenos que siguen determinadas pautas que revelan una estructura de relación entre sus partes. Estas pautas o leyes, que el científico intenta descubrir, no son modificables por la voluntad humana pero su conocimiento puede servir para eliminar, alterar o producir determinados acontecimientos.
En este libro estudiamos la mecánica de un sólido rígido, que es aquella donde se estudia el movimiento y equilibrio de sólidos materiales ignorando sus deformaciones. Se trata, por tanto, de un modelo matemático útil para estudiar una parte de la mecánica de sólidos, ya que todos los sólidos reales son deformables.
En todos los capítulos se tratan temas de la mecánica clásica o newtoniana que pretenden, a partir de expresiones y razonamientos matemáticos acordes con los postulados físicos de la teoría, explicar y predecir el comportamiento de los cuerpos sometidos a interacciones con otros cuerpos. En el estudio de la mecánica clásica se busca conocer no solo el estado del sistema considerado, sino también el del entorno físico que lo rodea.
La finalidad de todo este material es la de promover en los estudiantes aprendizajes significativos, que amplíen sus conocimientos, así como de profundizar la comprensión de los fenómenos físicos que les permita tener explicaciones fundamentadas de eventos que acontecen en su entorno.
El libro contiene una explicación teórica de los fenómenos físicos en sistemas de cuerpos rígidos, donde se conceptualizan y se da un modelo matemático de los mismos.
También contiene una serie de problemas resueltos de diferentes niveles de dificultad para que el profesor los tome como problemas-ejemplo en la clase, también problemas para que los alumnos los resuelvan en clase y extra clase.
A los profesores que imparten el curso de Física III en el Colegio este libro les puede ser útil en la planeación y desarrollo en su quehacer frente a sus grupos, como una guía en el desarrollo de sus temas y ejercicios en clase. Les agradeceríamos todas las observaciones que puedan hacerle a nuestro trabajo que permita enriquecerlo o mejorarlo en una edición posterior.
Los autores de este libro somos profesores del Colegio de Ciencias y Humanidades Plantel Sur que hemos dedicado tiempo y esfuerzo en realizar este material. Esperamos sea un apoyo para los alumnos en su aprendizaje de la física y a los profesores les facilite su labor docente.
2
UNIDAD I
SISTEMAS DE CUERPOS RÍGIDOS
3 PROGRAMA DE FÍSICA III
Unidad 1. Sistemas de Cuerpos Rígidos PRESENTACIÓN
En otros cursos de física se ha visto principalmente el movimiento rectilíneo de una partícula.
Esto bastaría para describir la mayor parte de sus aplicaciones. Sin embargo, por lo general, los cuerpos en la naturaleza se mueven en trayectorias curvas. Los proyectiles de artillería se desplazan siguiendo trayectorias parabólicas debido a la influencia del campo gravitacional terrestre. Los planetas giran alrededor del Sol en trayectorias casi circulares.
En el nivel atómico, los electrones giran alrededor del núcleo de los átomos. En realidad, es difícil imaginar un fenómeno físico que no suponga el movimiento al menos en dos dimensiones.
En Física, se entiende por sistema, una entidad material formada por componentes organizados que interactúan de forma tal, que las propiedades del conjunto no pueden deducirse por completo de las propiedades de las partes.
En esta unidad se estudian los fundamentos de la mecánica rotacional de cuerpos rígidos, mediante el empleo de conceptos como centro de masa, fuerza, momento de torsión, energía de traslación y de rotación, cantidad de movimiento lineal y angular; haciendo énfasis en su carácter vectorial.
El estudio y análisis de las leyes de la dinámica y de la conservación de la energía, ayudan a explicar el funcionamiento de dispositivos mecánicos como giróscopos, máquinas y herramientas en la industria, en la salud, en los deportes, los movimientos planetarios y en cuerpos celestes.
PROPÓSITOS
Al finalizar la Unidad el alumno:
• Describirá el movimiento de un cuerpo rígido.
• Comprenderá el comportamiento mecánico de los cuerpos rígidos con base en las leyes de la dinámica y los principios de conservación.
• Resolverá situaciones y problemas referentes al movimiento de cuerpos rígidos mediante el empleo de las leyes de la mecánica y la aplicación de la herramienta vectorial necesaria, que le ayuden a comprender el funcionamiento de dispositivos mecánicos de uso común.
4 Los cursos de Física III y IV coadyuvan a que el alumno mejore intelectual y personalmente a través de la apropiación consciente de conocimientos, habilidades y actitudes que le permitan resolver sus problemas de estudio y de situaciones cotidianas.
En cada unidad de aprendizaje existe una inducción propedéutica que favorece en el alumno el conocimiento de la lógica de la disciplina y su interrelación con otras; que mejora y profundiza a través de los proyectos de investigación escolar en los conocimientos, habilidades, actitudes y valores cercanos a la carrera de su preferencia mediante el ejercicio y aplicación del aprendizaje en situaciones reales.
Se pretende también que cuente con la preparación necesaria para cursar sus estudios
profesionales en cualquier área del conocimiento. Por su carácter propedéutico, estas asignaturas: a) Consideran aprendizajes, habilidades y actitudes propias de la ciencia,
particularmente los relativos a la física en el nivel medio superior. b) Propician aprendizajes con mayor formalidad que permitan obtener una mejor descripción de los fenómenos físicos.
5 INTRODUCCIÓN
Sistemas de Cuerpos Rígidos
En cursos anteriores de física, se ha considerado principalmente el movimiento rectilíneo de una partícula. Esto bastaría para describir la mayor parte de sus aplicaciones. Sin embargo, por lo general, los cuerpos en la naturaleza se mueven en trayectorias curvas. Algunos ejemplos de esto serían los proyectiles de artillería, el lanzamiento de una pelota de beisbol o la trayectoria de un avión comercial que se desplazan siguiendo trayectorias parabólicas debido a la influencia del campo gravitacional terrestre,
En realidad, es difícil imaginar un fenómeno físico que no suponga el movimiento al menos en dos dimensiones. En Física, se entiende por sistema a una entidad material formada por componentes organizados que interactúan de forma tal, que las propiedades del conjunto no pueden deducirse por completo de las propiedades de las partes. En esta unidad se estudian los fundamentos de la mecánica rotacional de cuerpos rígidos, mediante el empleo de conceptos como centro de masa, fuerza, momento de torsión, energía de traslación y de rotación, cantidad de movimiento lineal y angular; haciendo énfasis en su carácter vectorial.
El estudio y análisis de las leyes de la dinámica y de la conservación de la energía, ayudan
a explicar el funcionamiento de dispositivos mecánicos como giróscopos, máquinas y herramientas en la industria, en la salud, en los deportes, los movimientos planetarios y en
otros cuerpos celestes.
Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian y representa cualquier cuerpo que no se deforma. Un cuerpo rígido es una idealización que se emplea en la física para efectos de estudio y es una combinación de un gran número de partículas que tiene posiciones fijas entre sí. Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido se pueden clasificar en fuerzas externas y fuerzas internas. Las fuerzas externas representan la acción de otros cuerpos o sistemas al cuerpo rígido. Mientras que las fuerzas internas mantienen unidas las diferentes partículas que cumplen ciertas condiciones para reemplazar el cuerpo rígido. Si el cuerpo está compuesto de varias partes las fuerzas de enlace son definidas por fuerzas internas.
6 El movimiento de un cuerpo rígido se analiza considerando que la Tierra se encuentra en reposo total, es decir no tiene movimiento de rotación ni de traslación. Para desplazamientos de un cuerpo rígido en un plano el análisis es más simple, ya que es bastante evidente que un cambio de posición de un cuerpo rígido en un plano, puede ser logrado de modo equivalente mediante una traslación paralela seguida de una rotación en torno a un punto fijo, o bien la rotación seguida de la traslación.
En el movimiento plano de cuerpos rígidos, siempre existe un punto o una extensión rígida del cuerpo que tiene velocidad instantánea nula, y en consecuencia tendrá un movimiento equivalente a una pura rotación instantánea del cuerpo en torno de ese punto (centro instantáneo de rotación). En todo instante, estos cuerpos al tener una velocidad instantánea nula o de cero en un punto, rotan respecto a ese punto; pero ese punto en general se mueve, de manera que el centro instantáneo de rotación describe un cuerpo. El movimiento de ese punto puede ser observado desde un sistema de referencia fijo y desde un sistema de referencia fijo al cuerpo.
La mecánica clásica o newtoniana pretende, a partir de expresiones y razonamientos
matemáticos acordes con los postulados físicos de la teoría, explicar y predecir el comportamiento de los cuerpos sometidos a interacciones con otros cuerpos, excluyendo los
fenómenos de tipo eléctrico o magnético, así como las consideraciones sobre la estructura atómica o las nociones relacionadas con la teoría cuántica. En el estudio de la mecánica clásica se busca conocer no solo el estado del sistema considerado, sino también el del entorno físico que lo rodea.
7 Un avión de la fuerza aerea realiza maniobras de aterrizaje.
¿Por qué un avión se inclina en forma lateral cuando hace un viraje en el aire?
Un avión no tiene un camino por dónde caminar, de modo que la fuerza necesaria para hacerlo girar en círculo no puede provenir de la fricción con la superficie del camino. En lugar de esto, la orientación angulada de las alas divide en componentes la fuerza normal que soporta al avión.
Una componente sigue soportando al avión contra la gravedad, mientras que la otra actúa horizontalmente y hace dar vuelta al avión en círculo, como el avión que se muestra en la figura.
La misma física se aplica al diseñar caminos con peralte para los automóviles u otros vehículos.
En este capítulo estudiaremos el movimiento circular y cómo participa la fuerza en el viraje.
La explicación se basa en los conceptos de fuerza, velocidad y aceleración. Mucho de lo que aprenderemos en este capítulo sobre el movimiento circular es similar a los conceptos sobre movimiento lineal, fuerza y energía. Como la mayoría de los objetos no viajan en líneas perfectamente rectas, los conceptos de movimiento circular se aplicarán en diferentes ocasiones en capítulos posteriores.
8 CAPÍTULO I MOVIMIENTO CIRCULAR
LO QUE APRENDEREMOS
▪ El movimiento de objetos que se mueven en círculo en vez de en línea recta se puede describir usando coordenadas basadas en radio y ángulo, en vez de coordenadas cartesianas.
▪ Hay una relación entre movimiento lineal y movimiento circular.
▪ El movimiento circular se puede describir en términos de la coordenada angular, la frecuencia angular y el periodo.
▪ Un objeto sujeto a movimiento circular puede tener velocidad angular y aceleración angular.
1.1 MOVIMIENTO CIRCULAR
La primera ley de Newton nos dice que todos los cuerpos que se mueven en línea recta, con velocidad constante, mantendrán inalterada su velocidad a menos que actúe sobre ellos una fuerza externa. La velocidad de un cuerpo es una cantidad vectorial definida por su rapidez y dirección. Igual que se requiere una fuerza resultante para cambiar su rapidez, se tiene que aplicar una fuerza resultante para cambiar su dirección. Siempre que esa fuerza actúa en una dirección diferente de la dirección original del movimiento, provoca un cambio en la trayectoria de la partícula en movimiento.
El movimiento más sencillo en dos dimensiones se produce cuando una fuerza externa constante actúa siempre formando ángulos rectos con respecto a la trayectoria del cuerpo o la partícula en movimiento. En este caso la fuerza resultante producirá una aceleración que altera tan sólo la dirección del movimiento, manteniéndose la rapidez constante.
Este tipo de movimiento sencillo se conoce como movimiento circular.
Fig. 1.1 Un movimiento circular es aquel donde la unión de las sucesivas posiciones de un cuerpo a lo largo del tiempo genera una curva en la que todos sus puntos se encuentran a la misma distancia de un mismo punto llamado centro.
9 El movimiento circular, también llamado circunferencial, es el que se basa en un eje de
giro y radio constante, por lo cual la trayectoria es una circunferencia. Un cuerpo describe un movimiento circular cuando gira alrededor de un punto fijo central llamado eje de rotación.
Este movimiento se efectúa en un mismo plano y es el movimiento más simple en dos dimensiones, se define como aquel que efectúa un cuerpo que recorre arcos de circunferencia iguales en tiempos iguales. Esto es la magnitud de la velocidad permanece constante.
En el movimiento circular el origen del sistema de referencia se encuentra en el centro de la trayectoria circular. Es conveniente resaltar que las trayectorias de éstas son circunferencias concéntricas de longitud diferente y de radio igual a la distancia entre la partícula considerada y el eje de rotación.
Podemos describir el movimiento circular como la tasa de cambio de posición con el tiempo. Entonces, la rapidez y velocidad angular también implican una tasa de cambio de posición con el tiempo, que se expresa con un cambio angular.
Podemos definir un ángulo como la abertura comprendida entre dos radios, que limitan un arco de circunferencia. El ángulo 𝜃 comúnmente se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj, a partir del eje 𝑥 positivo.
Fig. 1.2 Un ángulo es una porción indefinida de plano limitada por dos líneas o lados que parten de un mismo punto y cuya abertura puede medirse en grados.
Algo similar al desplazamiento lineal es el desplazamiento angular, cuya magnitud es,
∆𝜃 = 𝜃 − 𝜃𝑜
Una unidad que se usa comúnmente para expresar el desplazamiento angular es el grado (º).
Hay 360º en un círculo completo o revolución. Es importante relacionar la descripción angular del movimiento circular con la descripción orbital o tangencial, es decir, relacionar el desplazamiento angular con la longitud de arco (𝑠).
La longitud de arco es la distancia recorrida a lo largo de la trayectoria circular, y se dice que el ángulo 𝜽 subtiende o define la longitud de arco. Una unidad muy conveniente para relacionar el ángulo con la longitud de arco es el radián (ver figura 1.3).
10 Un radián representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio, su símbolo o unidad en el Sistema Internacional de
Unidades es el radian rad. Un ángulo en radianes es el cociente de dos longitudes.
Esto significa que una medida en radianes es un número adimensional y no tiene unidades.
El ángulo (𝜃) en radianes está dado por la razón de la longitud de arco (𝑠) y el radio (𝑟), es decir,
𝜃 =𝑠
𝑟 (1.1) Cuando 𝑠 = 𝑟, el ángulo (𝜃) es igual a un radián. Despejando la longitud de arco y el radio de la ecuación 1.1 tenemos,
𝑠 = 𝑟 𝜃 (1.2) Despejando el radio (𝑟),
𝑟 = 𝑠
𝜃 (1.3) Para obtener una relación entre radianes y grados, consideramos la distancia total en torno a un círculo completo (360°). En este caso, 𝑠 = 2𝜋𝑟 (la circunferencia), y hay un total de,
𝜃 = 𝑠
𝑟= 2𝜋 𝑟
𝑟 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑒𝑛 360𝑜 Es decir, una revolución o vuelta completa sería,
2𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 360𝑜= 1 𝑟𝑒𝑣
Por lo cual, un objeto o partícula que da una revolución completa 1 rev ha girado 360º o 2𝜋 radianes. Esta relación nos sirve para convertir fácilmente ángulos comunes. Así, al dividir
ambos lados de esta relación entre 2𝜋, tenemos, 1 𝑟𝑎𝑑 =360𝑜
2𝜋 =180𝑜
𝜋 = 57.3𝑜
Un grado puede dividirse en unidades más pequeñas, los minutos (1 grado = 60 minutos) y los segundos (1 minuto = 60 segundos). Tales divisiones no tienen nada que ver con unidades
de tiempo.
Fig. 1.3 Un ángulo (𝜃) subtiende una longitud de arco (𝑠). Cuando 𝑠 = 𝑟, el ángulo que subtiende a la longitud de arco se define como [1 𝑟𝑎𝑑].
11 1.1 Ejercicio en Clase
Define los siguientes conceptos:
Aceleración
Ángulo
Circunferencial
Fuerza
Frecuencia
Longitud de Arco
Movimiento
Periodo
Trayectoria
Radian
Radio
Velocidad
12 1.2 Ejercicio en Clase
Una espectadora parada en el centro de una pista circular de atletismo observa a un corredor que inicia una carrera de práctica 256 m al este de su propia posición. El atleta corre por el mismo carril hasta la meta, la cual está situada directamente al norte de la posición de la observadora. ¿Qué distancia correrá?
El desplazamiento angular es el arco de la circunferencia recorrido por la masa puntual en su trayectoria circular, medido en radianes (ver figura 4).
Fig. 1.4 El desplazamiento angular 𝜃 se indica mediante la parte sombreada del disco.
El desplazamiento angular es el mismo de C-D que de A-B en un cuerpo rígido.
La porción entre la distancia de arco (𝑠) y el radio (𝑟) es una unidad de longitud dividida por una unidad de longitud (ver figura 1.5), como se mencionó anteriormente, las unidades se cancelan y el radian es una cantidad adimensional.
Fig. 1.5 Medida del desplazamiento angular y una comparación de unidades.
13 En la Tabla 1 se muestran los ángulos en radianes en términos de 𝜋 por conveniencia.
Tabla 1. Valor de grados en radianes.
Grados Radianes
360° 2𝜋
180° 𝜋
90° 𝜋/2
60° 𝜋/3
57.3° 1
45° 𝜋/4
30° 𝜋/6
El movimiento circular uniforme se produce cuando un cuerpo o partícula con velocidad angular constante describe ángulos iguales en tiempos iguales.
El origen de este movimiento se debe a una fuerza constante, cuya dirección es perpendicular a la trayectoria de la partícula y produce una aceleración que afectara sólo a la dirección del movimiento sin modificar la magnitud de la velocidad, es decir, la rapidez que lleva el cuerpo.
Por lo tanto, en un movimiento circular uniforme el vector velocidad mantiene constante su magnitud, pero no su dirección, toda vez que ésta siempre se conserva tangente a la trayectoria del cuerpo. El movimiento circular uniforme es un movimiento en el cual la velocidad no cambia, únicamente hay un cambio en la dirección.
Un ejemplo del movimiento circular uniforme consiste en dar vueltas en una trayectoria circular a una piedra atada a un cordel. Mientras la piedra gira con velocidad constante, la fuerza hacia el centro que se origina por la tensión en el cordel cambia constantemente la dirección de la piedra, haciendo que ésta se mueva en una trayectoria circular. Si el cordel se rompiera, la piedra saldría disparada en una dirección tangencial, o sea perpendicular al radio de su trayectoria circular.
Cuando la velocidad angular (𝝎) de un cuerpo no es constante, podemos determinar la velocidad angular media (𝝎𝒎) conociendo su velocidad angular inicial (𝝎𝒐) y su velocidad angular final (𝝎𝒇). Donde 𝜔𝑚 tiene unidades de rad/s.
𝜔𝑚= 𝜔𝑓− 𝜔𝑜
2 (1.4) La velocidad angular promedio representa el cociente entre la magnitud del desplazamiento angular de un cuerpo y el tiempo total que tarda en efectuarlo,
𝜔 =∆𝜃
∆𝑡 =𝜃𝑓− 𝜃𝑜
𝑡𝑓− 𝑡𝑜 = [𝑟𝑎𝑑
𝑠 ] (1.5) La velocidad angular instantánea se obtiene considerando un intervalo de tiempo muy pequeño, es decir cuando ∆𝒕 se aproxima a cero. Como en el caso lineal, la velocidad angular es constante, si tomamos 𝜃𝑜 y 𝑡𝑜 como cero,
𝜔 =𝜃
𝑡 = [𝑟𝑎𝑑
𝑠 ] (1.6)
14 Despejando 𝜃,
𝜃 = 𝜔 𝑡 =𝜔𝑓+ 𝜔0
2 𝑡 (1.7) Esta ecuación también es similar a una ecuación deducida para el movimiento lineal.
1.3 Ejercicio en Clase
Las ruedas de una bicicleta tienen un radio de 𝟑𝟑. 𝟎 𝒄𝒎. La bicicleta viaja con una velocidad de 𝟔. 𝟓 𝒎/𝒔. ¿Cuál es la velocidad angular del neumático delantero?
La velocidad angular (𝝎) también se puede determinar si sabemos el tiempo que tarda en dar una vuelta completa, es decir, la velocidad angular en términos del periodo y la frecuencia,
𝜔 =2𝜋
𝑇 (1.8) El periodo (𝑻) se define como el tiempo que tarda un cuerpo en dar una vuelta completa o en completar un ciclo, sus unidades pueden ser [𝑠] o [ 𝑠
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜].
La frecuencia (𝒇) es el número de vueltas, revoluciones o ciclos que efectúa un cuerpo en un segundo, sus unidades son [𝐻𝑧] o [𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
𝑠 ] .
Si un cuerpo gira a una frecuencia de tres revoluciones por segundo, entonces el periodo de cada revolución es 1
3𝑠. El periodo equivale al inverso de la frecuencia y la frecuencia al inverso del periodo,
𝑇 =
1𝑓 =
[
𝑠𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
]
(
1.9)
𝑓 =
1𝑇 =
[
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠
]
(
1.10)
Así, en general, la frecuencia 𝑓 está relacionada con la velocidad angular mediante,𝑓 = 𝜔
2𝜋 (1.11) Despejando la velocidad angular obtenemos,
𝜔 = 2𝜋 𝑓 (1.12)
15 Otra unidad que con frecuencia se utiliza para describir velocidad angular son las revoluciones por minuto rpm; Un ejemplo serían los discos compactos (CD) que giran a una velocidad de 200-500 rpm (la velocidad varía dependiendo la ubicación de la pista). Esta unidad no estándar de revoluciones por minuto se puede convertir fácilmente en radianes por segundo,
1 𝑟𝑝𝑚 =2𝜋 60 [𝑟𝑎𝑑
𝑠 ] = 0.104𝑟𝑎𝑑 𝑠
Es decir, para convertir de rpm a rad/s hay que multiplicar las rpm por 0.104.
Por ejemplo, un CD gira a 200 rpm que equivalen a 20.94 rad/s, y 500 rpm a 52.35 rad/s.
El rango de velocidad del CD es de 20.94-52.35 rad/s.
El movimiento circular uniformemente acelerado se presenta cuando un objeto o partícula con trayectoria circular aumenta o disminuye su velocidad angular en forma constante (cambio de velocidad) en cada unidad de tiempo; por lo que su aceleración angular permanece constante.
Cuando en el movimiento circular la velocidad no permanece constante, decimos que sufre una aceleración angular. Cuando la velocidad angular varía es conveniente determinar cuál es su aceleración angular media (𝛼𝑚), la cual se define como,
𝛼𝑚= 𝜔𝑓− 𝜔𝑜 𝑡𝑓− 𝑡𝑜 =∆𝜔
∆𝑡 = [𝑟𝑎𝑑
𝑠2 ] (1.13) Cuando los intervalos de tiempo en el movimiento acelerado de un cuerpo que sigue una trayectoria circular son cada vez más pequeños, la aceleración angular media se aproxima a una aceleración angular instantánea. Cuando el intervalo de tiempo es tan pequeño que tiende a cero, la aceleración angular del cuerpo será la instantánea.
Podemos observar que la aceleración media depende de un cambio en el vector velocidad.
Debido a que la velocidad es un vector, hay dos formas en las que puede producirse una aceleración, por un cambio en la magnitud de la velocidad y por un cambio en su dirección.
1.2 ACELERACIÓN CENTRÍPETA
La aceleración es perpendicular a la trayectoria y siempre apunta hacia el centro del círculo, una aceleración de esta naturaleza es la centrípeta,
𝑎𝑐 =𝑣2
𝑟 (1.14) La aceleración centrípeta o aceleración normal tiene como unidades [𝒎
𝒔𝟐] y es una magnitud relacionada con el cambio de dirección de la velocidad de una partícula en movimiento cuando recorre una trayectoria curvilínea. Dada una trayectoria curvilínea la aceleración centrípeta va dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria. El término centrípeta significa que la aceleración siempre se dirige hacia el centro.
16 Como la velocidad tangencial (𝑣𝑇) está relacionada con la velocidad angular (𝜔) por medio de 𝑣𝑇 = 𝑟 𝜔 (1.15) Podemos escribir la aceleración centrípeta en términos de la velocidad angular,
𝑎𝑐 =𝑟2𝜔2
𝑟 = 𝑟𝜔2 (1.16) Donde 𝑟 es el radio y 𝜔 la velocidad angular. Cuando una partícula se mueve en una trayectoria curvilínea, aunque se mueva con velocidad constante su velocidad cambia de dirección, ya que esta es un vector tangente a la trayectoria y en las curvas, dicha tangente no es constante.
1.4 Ejercicio en Clase
Completa las siguientes tablas:
[𝐫𝐩𝐦] [𝐫𝐚𝐝/𝐬]
10 20 30 40 50 100 150 200 300 400 500 800 1000 2000 5000
[𝐫𝐚𝐝/𝐬] [𝐫𝐩𝐦]
0.104 5.7 10.4 28.7 56.3 100.2 178.6 194.1 260.3 416.9 689.1 700.6 819.7 905.6 1000
La aceleración centrípeta, a diferencia de la aceleración centrífuga, está provocada por una fuerza real requerida para que cualquier observador inercial pueda dar cuenta de cómo se curva la trayectoria de una partícula que no realiza un movimiento rectilíneo. La aceleración centrípeta también es llamada aceleración radial y se define como,
𝑎𝑟 = 𝜔2 𝑟 (1.17) Las unidades de la aceleración radial son [𝑚
𝑠2]. La aceleración centrípeta es la componente del vector aceleración en la dirección centrípeta. Habitualmente, se describe el movimiento de un cuerpo o partícula en un círculo con velocidad constante a partir del tiempo requerido para realizar una vuelta completa, esta magnitud se denomina periodo de rotación (𝑻).
17 1.5 Ejercicio en Clase
Calcula la aceleración centrípeta debida a la rotación de la Tierra.
Durante un periodo de rotación, el cuerpo o partícula se mueve una distancia 2𝜋𝑟, por lo que su velocidad está relacionada con 𝑟 y con 𝑇 mediante,
𝑣 =2𝜋𝑟
𝑇 (1.18) Despejando 𝑇,
𝑇 =2𝜋𝑟
𝑣 (1.19) La aceleración tangencial es el producto de la aceleración angular y el radio del círculo.
Es decir, la aceleración tangencial es un vector que está sobre la tangente del punto de la circunferencia, y cuyo sentido es igual al de giro, se define como,
𝑎𝑇 = 𝛼 𝑟 (1.20) Las unidades de la aceleración tangencial son [𝑚/𝑠2]. Podemos concluir que en el movimiento circular la aceleración centrípeta está dirigida hacia el centro del círculo, tiene una magnitud (𝑣2/𝑟) o (𝑟𝜔2); y es mayor cuanto más nos alejemos del eje de rotación.
1.6 Ejercicio en Clase
En el parque de diversiones un carrusel a su velocidad de operación constante efectúa una rotación completa en 𝟒𝟓 𝒔. Dos niños están montados en caballos, uno a 𝟑. 𝟎 𝒎 del centro del carrusel, y el otro, a 𝟔. 𝟎 𝒎. Calcule a) la velocidad angular y b) la velocidad tangencial de cada niño.
18 Para que haya una aceleración, debe de haber una fuerza neta. Por lo tanto, para que haya una aceleración centrípeta (hacia adentro), debe haber una fuerza centrípeta (fuerza neta hacia adentro) que sería la fuerza dirigida hacia el centro necesaria para mantener el movimiento circular.
De acuerdo con la segunda ley de Newton del movimiento (𝐹 = 𝑚𝑎̅), la magnitud de esta fuerza debe ser igual al producto de la masa por la aceleración centrípeta,
𝐹𝑐 = 𝑚𝑎𝑐 (1.21) Sustituyendo la aceleración centrípeta en 𝑎𝑐,
𝐹𝑐 = 𝑚𝑣2
𝑟 (1.22) Donde 𝑚 es la masa del cuerpo u objeto que se mueve con una velocidad 𝑣, en una trayectoria circular de radio 𝑟. La fuerza hacia el centro 𝐹𝑐 es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad del objeto en movimiento. Esto significa que, para incrementar la velocidad lineal al doble de su valor original se requiere una fuerza cuatro veces mayor que la original.
Razonando de igual forma se demuestra que, si se duplica la masa del objeto o se reduce a la mitad el radio de giro, será necesaria una fuerza centrípeta dos veces mayor que la original.
Para problemas en los que la velocidad rotacional se expresa en términos de la frecuencia, la fuerza centrípeta se puede determinar expresando la velocidad lineal en términos de la
frecuencia de rotación,
𝐹𝑐 = 𝑚𝑣2
𝑟 = 4𝜋2𝑓2𝑚 𝑟 (1.23) Una fuerza neta que se aplica con un ángulo respecto a la dirección del movimiento de un cuerpo produce cambios en la magnitud y la dirección de la velocidad.
Sin embargo, cuando una fuerza neta de magnitud constante se aplica continuamente con un ángulo de 90º respecto a la dirección del movimiento (como la fuerza centrípeta), sólo cambia la dirección de la velocidad.
Esto ocurre porque no hay componente de fuerza paralelo a la velocidad. Además, dado que la fuerza centrípeta siempre es perpendicular a la dirección del movimiento, esta fuerza no efectúa trabajo. Por lo tanto, por el teorema Trabajo-Energía, una fuerza centrípeta no modifica la energía cinética, ni la velocidad del objeto o cuerpo.
La fuerza centrípeta en la forma de la ecuación (1.23) no es una nueva fuerza individual, sino más bien la causa de la aceleración centrípeta producida por una fuerza real o por la suma vectorial de varias fuerzas. La fuerza que produce la aceleración centrípeta para los satélites es la gravedad.
Otra fuerza que a menudo produce aceleración centrípeta es la fricción. Suponga que un automóvil viaja por una curva circular horizontal. Para dar vuelta, el vehículo debe tener una
aceleración centrípeta, la cual es producto de la fuerza de fricción entre los neumáticos y la carretera. Sin embargo, esta fricción tiene un valor límite máximo (ver figura 1.6).
19 Fig. 1.6 El peralte de las curvas también ayuda a los automóviles a dar vueltas sin derraparse.
Si la velocidad del automóvil es lo bastante alta o la curva es muy cerrada, la fricción no bastará para proporcionar la aceleración centrípeta necesaria y el automóvil derrapará hacia afuera desde el centro de la curva. Si el automóvil pasa por un área mojada o cubierta de hielo, podría reducirse la fricción entre los neumáticos y la carretera, y el automóvil derraparía aún si viaja con menor velocidad. El peralte de las curvas ayuda a los automóviles a tomar las curvas en la carretera sin derraparse de manera que la parte externa de la carretera (la que está más alejada del centro de curvatura) es más alta que la parte interna.
Mientras las llantas del automóvil giren sin derrapar, no habrá movimiento relativo entre la parte inferior de las llantas y el camino, por lo cual la fuerza que actúa es la fricción estática. Si el automóvil patina, entonces la fuerza más pequeña de fricción cinética es la que actúa mientras la parte inferior del neumático resbala sobre el pavimento.
El peralte modifica el ángulo y magnitud de la fuerza normal (𝑭⃗⃗ 𝑵) por lo que ésta tiene una componente horizontal (𝑭⃗⃗ 𝒙) dirigida hacia el centro de curvatura (en la dirección radial). Entonces, no depende solamente de la fricción para mantener el automóvil en una trayectoria circular cuando entra a la curvatura; esta componente de la fuerza normal ayuda a que el automóvil no se salga de la trayectoria curva (ver figura 1.7). Cuando un automóvil toma una curva con velocidad constante en una carretera sin peralte, la aceleración del automóvil se dirige hacia el centro de la trayectoria circular. En la figura 1.7 observamos las componentes de un automóvil tomando una curva con peralte.
Fig. 1.7 Diagrama de fuerzas de un automóvil tomando una curva a velocidad constante.
20 Lectura
LA CENTRÍFUGA: SEPARACIÓN DE COMPONENTES DE LA SANGRE
La centrífuga es una máquina giratoria que sirve para separar partículas de diferente tamaño y densidad suspendidas en un líquido (o un gas). Por ejemplo, la crema se separa de la leche por centrifugado, y los componentes de la sangre se separan con centrífugas en los laboratorios clínicos. Hay un proceso mucho más lento para separar los componentes de la sangre, los cuales al final quedan asentados en capas en el fondo de un tubo vertical, un proceso llamado sedimentación, bajo la sola influencia de la gravedad normal. La resistencia viscosa que el plasma ejerce sobre las partículas es similar (aunque mucho mayor) a la resistencia del aire que determina la velocidad terminal de los objetos que caen. Los glóbulos rojos se asientan en la capa inferior del tubo, pues alcanzan una mayor velocidad terminal que los glóbulos blancos y las plaquetas, así que llegan al fondo antes. Los glóbulos blancos asentados en la siguiente capa y las plaquetas en la superior. Sin embargo, la sedimentación gravitacional por lo general es un proceso muy lento. La tasa de sedimentación de eritrocitos (TSE) tiene utilidad en el diagnóstico; sin embargo, el personal clínico no desea esperar mucho tiempo para determinar el volumen fraccionario de glóbulos rojos (eritrocitos) en la sangre o para separarlo del plasma. Los tubos de centrífuga se ponen a girar horizontalmente.
La resistencia del fluido medio sobre las partículas suministra la aceleración centrípeta que las mantiene moviéndose lentamente en círculos que se amplían conforme se mueven hacia el fondo del tubo. El fondo mismo debe ejercer una fuerza considerable sobre el contenido en general, y ser lo bastante resistente como para no romperse. Las centrífugas de laboratorio normalmente operan a rapideces suficientes como para producir aceleraciones centrípetas miles de veces mayores que g. Puesto que el principio de la centrífuga se basa en la aceleración centrípeta, tal vez “centrípuga” sería un nombre más descriptivo.
1. ¿Cuál es el principio físico de la centrífuga?
2. ¿Qué es la sedimentación gravitacional?
3. ¿Cómo influye la gravedad en el proceso de centrifugado?
4. ¿ Sería correcto llamar centrípugas a las centrífugas?
5. ¿En tu vida cotidiana donde más se usa el centrifugado?
21 En la figura 1.8 observamos: a) Un automóvil que toma una curva con velocidad constante en una carretera con peralte. La aceleración del automóvil es hacia el centro de la trayectoria circular (izquierda). 𝑁⃗⃗ es la fuerza normal total que actúa sobre las cuatro ruedas. El automóvil circula justo a la velocidad correcta para que la fuerza de fricción sea cero. b) Resolución de la fuerza normal en sus componentes (x, y). c) Diagrama de cuerpo libre del automóvil con la fuerza normal representada por sus componentes; la componente radial de la fuerza normal Nx.
Fig. 1.8 Diagrama de fuerzas de un automóvil que toma una curva con velocidad constante en una carretera con peralte.
Las ecuaciones empleadas para el movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA) son las mismas que se utilizan para el rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) con las siguientes variantes:
1. En lugar de desplazamiento en metros hablaremos de desplazamiento angular en radianes ( en lugar de d).
2. La velocidad en m/s se dará como velocidad angular en rad/s (𝜔 en lugar de v).
3. La aceleración en 𝑚
𝑠2 se dará como aceleración angular en rad/s2 (α en lugar de 𝑎̅).
Las ecuaciones serán:
a) Para calcular los desplazamientos angulares:
𝜃 = 𝜔𝑜𝑡 +𝛼𝑡2
2 (1.24) 𝜃 =𝜔𝑓2− 𝜔𝑜2
2𝛼 (1.25) 𝜃 =𝜔𝑓− 𝜔𝑜
2 𝑡 (1.26) Si el cuerpo parte del reposo su velocidad angular inicial es cero, y las tres ecuaciones anteriores se reducen a,
𝜃 =𝛼𝑡2
2 (1.27)
22 𝜃 = 𝜔𝑓2
2 𝛼 (1.28) 𝜃 =𝜔𝑓
2 𝑡 (1.29) b) Para calcular las velocidades angulares finales:
𝜔𝑓 = 𝜔𝑜+ 𝛼𝑡 (1.30) 𝜔𝑓2 = 𝜔𝑜2+ 2 𝛼 𝜃 (1.31)
Si el cuerpo parte del reposo su velocidad inicial es cero, y las dos ecuaciones anteriores se reducen a,
𝜔𝑓= 𝛼𝑡 (1.32) 𝜔𝑓2= 2 𝛼 𝜃 (1.33)
A pesar de las diferencias evidentes en su trayectoria, hay ciertas similitudes entre el movimiento rectilíneo y el circular que deben mencionarse: resaltan las similitudes y equivalencias de conceptos, así como un paralelismo en las magnitudes utilizadas para
describirlos. Existe otro tipo de movimiento cuando un cuerpo gira alrededor de un eje.
Por ejemplo, las ruedas, los ejes motrices y los volantes utilizan los efectos rotacionales para
efectuar su trabajo. En tales casos, a menudo es necesario medir la cantidad de rotación, la cual, como ya mencionamos, se denomina desplazamiento angular.
Un satélite terrestre no es sino un proyectil que cae alrededor de Tierra. En un experimento
ficticio, suponemos a una persona que está sobre la Tierra y lanza pelotas de béisbol a velocidades cada vez mayores (ver figura 1.9). Cuanta más velocidad se le imparte a la pelota,
la trayectoria curva es más larga hasta el suelo. Como la superficie de la Tierra es curva, podemos imaginar que si la velocidad fuera lo suficientemente grande al caer la pelota simplemente seguiría la superficie curva alrededor de la Tierra.
Es evidente que este ejemplo tendría dos problemas; primero, que la superficie de la Tierra no es uniforme y que definitivamente habría obstrucciones; segundo, que debido a la gran aceleración que habría cerca de la superficie terrestre, la velocidad tendría que ser excepcionalmente grande (≈ 29000 𝑘𝑚/ℎ) y por lo cual la pelota se quemaría quedando reducida a cenizas debido a la fricción atmosférica. Actualmente hay un gran número de satélites colocados en órbita alrededor de la Tierra en altitudes donde la resistencia y la velocidad excesiva no constituyen un problema, algunos se mueven en órbitas que son casi circulares.
23 Fig. 1.9 Una bola de béisbol lanzada horizontalmente con velocidad cada vez más grande tarde o temprano se convertiría en un satélite al caer alrededor de la Tierra.
Un satélite es cualquier objeto que orbita o gira alrededor de otro objeto. Por ejemplo, la Luna es un satélite de Tierra, y la Tierra es un satélite del Sol. Si se colocara una estación espacial en una órbita circular alrededor de la Tierra, ni el vehículo espacial, ni los pasajeros quedarían ingrávidos, por el contrario, la fuerza gravitacional (peso) es la que proporciona la fuerza centrípeta necesaria para el movimiento circular.
Consideramos un satélite de masa 𝑚 que se mueve alrededor de la Tierra en una órbita circular de radio 𝑟 (ver figura 10), la fuerza centrípeta se determina a partir de la ley de gravitación de Newton,
𝑚𝑣2
𝑟 = 𝐺𝑚𝑚𝑇
𝑟2 (1.34) Simplificando y resolviendo para la velocidad (𝑣) tenemos,
𝑣 = √𝐺𝑚𝑇
𝑟 (1.35) Un satélite solo puede tener una velocidad 𝑣 para permanecer en una órbita de radio fijo 𝑟.
Si cambia la velocidad, lo hace también el radio de la órbita. Para un gran número de satélites, el periodo 𝑇, o sea el tiempo que le lleva al satélite dar una revolución completa en su órbita, es muy importante.
24 Fig. 1.10 La fuerza centrípeta necesaria para el movimiento circular se origina por la fuerza gravitacional de atracción. Por lo tanto, un satélite sólo puede tener una velocidad (𝑣) que le permita permanecer en una órbita de radio fijo.
Por ejemplo, los satélites de comunicaciones actúan como estaciones retransmisoras en el espacio. La gente los usa para enviar mensajes desde una parte del mundo a otra. Estos mensajes pueden ser llamadas telefónicas, imágenes de TV o aún conexiones de Internet. Estos satélites de comunicación deben rodear la Tierra en un periodo igual al que emplea el planeta en dar un giro, es decir, un día.
Como se observa en la figura 1.11, estos satélites permanecen en un punto accesible en una latitud constante, lo que permite una comunicación directa entre dos puntos de la Tierra.
Fig. 1.11 Los satélites geocéntricos están ubicados de modo que puedan moverse alrededor de la Tierra en órbitas ecuatoriales con un periodo igual al de la Tierra (un día).
Son necesarios tres satélites de éstos para permitir la comunicación por línea directa entre todos los puntos de la Tierra. La relación entre el periodo (𝑇) de un satélite y el radio (𝑟) de su órbita se obtiene si suponemos una órbita circular y la velocidad del satélite,
𝑣 =2𝜋𝑟
𝑇 = √𝐺𝑚𝑇
𝑟 (1.36)
25 Al resolver para 𝑇 obtenemos,
𝑇2 = (4𝜋2
𝐺𝑚𝑇) 𝑟3 (1.37) El cuadrado del periodo de una revolución es proporcional al cubo del radio de la órbita.
Cuando la inclinación del plano de la órbita del satélite es ecuatorial (inclinación ≠ 0), el satélite parece oscilar del norte al sur, por encima del ecuador del planeta. Cuando la órbita del satélite es elíptica (excentricidad ≠ 0), el satélite parece oscilar de Este a Oeste. Cuando la inclinación de la órbita del satélite y la excentricidad son diferentes de 0, el satélite se mueve a través del cielo produciendo una figura en forma de ocho, llamada analema.
La velocidad orbital es la velocidad que debe tener un planeta, satélite (natural o artificial) o similar para que su órbita sea estable. Por ejemplo, la velocidad orbital de los satélites geoestacionarios (órbita circular) que circundan la Tierra es de aproximadamente 10900 𝑘𝑚/ℎ.
Si el objeto en órbita circular incrementara su velocidad, pasaría a una órbita elíptica, con una velocidad que estaría determinada en cada punto por las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. Si se moviera aún más rápido, podría alcanzar la velocidad de escape y describiría una órbita parabólica; por encima de dicha velocidad, la trayectoria u órbita sería hiperbólica.
Solo en el caso de la órbita circular, la velocidad orbital no es constante, sino que varía a lo largo de la órbita, siendo tanto menor cuanto más alejado está el cuerpo que orbita del astro que le atrae. En el caso del movimiento de los planetas cabe destacar tres valores significativos:
• Velocidad orbital mínima, es la que corresponde al afelio.
• Velocidad orbital máxima, es la que corresponde al perihelio.
• Velocidad orbital media, durante un recorrido completo de la órbita.
Las velocidades orbitales se expresan en [𝑘𝑚/𝑠] o [𝑘𝑚/ℎ], suele emplearse el valor de velocidad orbital media. Así, el planeta Tierra tiene una velocidad orbital media de 29.78 𝑘𝑚/𝑠.
Los satélites de comunicaciones se encuentran en órbitas geoestacionarias o geosíncronas (de geo = Tierra + síncrono = que se mueve a la misma velocidad). Eso significa que el satélite
permanece siempre sobre un punto de la Tierra. El área sobre la Tierra que el satélite puede ver, es llamada "footprint" (huella) del satélite.
Fig. 1.12 Satélite de detección u observación remota.
26 Los satélites de detección remota, estudian la superficie terrestre. Desde una altura de hasta 480 𝑘𝑚, estos satélites utilizan potentes cámaras para explorar el planeta. El satélite entonces reenvía datos medibles acerca del ambiente global. Los instrumentos de dichos satélites de detección remota estudian la cubierta vegetal, la composición química y la superficie del agua terrestre, entre otras muchas características.
Las personas que trabajan en la agricultura, pesca, minería y muchas otras industrias encuentran muy útil esta información. También podemos usar los satélites de detección remota para estudiar cambios en la superficie terrestre causados por el hombre. Ejemplos de este tipo incluye todas las zonas de la Tierra (bosques, desiertos, tundras, lagos, ríos, etc.).
Fig. 1.13 Imágenes tomadas por satélites de detección remota. a) Incendio forestal en Borneo, b) Bahía de Pomeranian, c)Vista nocturna de Australia, d) Nevada en Reino Unido y e) Inundación en Ayutthaya Tailandia.
Un satélite meteorológico es un tipo de satélite artificial que se utiliza principalmente para supervisar el tiempo atmosférico y el clima de la Tierra. Los satélites pueden seguir una órbita polar, cubriendo la Tierra entera asincrónicamente, o geoestacionaria, permaneciendo sobre un mismo punto en el ecuador del planeta.
Los satélites meteorológicos pueden captar más fenómenos que tan solo las nubes; pueden
recoger información sobre el medio ambiente como las luces de las ciudades, incendios, la contaminación, auroras, tormentas de arena y polvo, corrientes del océano, etc.
Las imágenes obtenidas por los satélites meteorológicos han ayudado a observar la nube de cenizas del Monte Saint Helens y la actividad de otros volcanes como el Monte Etna. El humo de los incendios del oeste de Estados Unidos como Colorado y Utah también ha sido observado.
Fig. 1.14 Satélite Meteorológico.
a) b) c) d) e)
27 Otros satélites pueden detectar cambios en la vegetación de la Tierra, el estado del mar, el color del océano y las zonas nevadas. El fenómeno de El Niño y sus efectos también son registrados diariamente en imágenes de satélite. El agujero de ozono de la Antártida es dibujado a partir de los datos obtenidos por los satélites meteorológicos. De forma agrupada, los satélites meteorológicos de China, Estados Unidos, Europa, India, Japón y Rusia proporcionan una observación casi continua del estado global de la atmósfera.
El Sistema de Posicionamiento Global, más conocido por sus siglas en inglés, GPS (Global Positioning System), es un sistema que permite determinar en toda la Tierra la posición de un objeto con una precisión de hasta centímetros, aunque lo habitual son unos pocos metros de precisión.
El sistema fue desarrollado, instalado y empleado por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos (ver figura 1.15). Para determinar las posiciones en el globo, el sistema GPS ocupa 24 satélites y utiliza la trilateración (método matemático para determinar las posiciones relativas de objetos usando la geometría de triángulos de forma análoga a la triangulación).
Fig. 1.15 Sistema de posicionamiento global GPS (Global Positioning System).
El GPS funciona mediante una red de 𝟐𝟒 satélites en órbita sobre el planeta Tierra a 20200 𝑘𝑚 de altura, con trayectorias sincronizadas para cubrir toda la superficie de la Tierra.
Para determinar la posición, el receptor localiza automáticamente como mínimo tres satélites de la red, de los que recibe unas señales indicando la identificación y la hora del reloj de cada uno de ellos.
Con base en estas señales, el aparato sincroniza el reloj del GPS y calcula el tiempo que tardan en llegar las señales al equipo, y de tal modo mide la distancia al satélite mediante el método de trilateración inversa, el cual se basa en determinar la distancia de cada satélite al punto de medición. Conocidas las distancias, se determina fácilmente la propia posición relativa respecto a los satélites. Conociendo además las coordenadas o posición de cada uno de ellos por la señal que emiten, se obtiene la posición absoluta o coordenadas reales del punto de medición.
También se consigue una exactitud extrema en el reloj del GPS, similar a la de los relojes atómicos que lleva a bordo cada uno de los satélites. La antigua Unión Soviética construyó un sistema similar llamado GLONASS, ahora gestionado por la Federación Rusa.
28 La Unión Europea desarrolló el sistema de navegación Galileo. En diciembre de 2016 la Comisión Europea, propietaria del sistema, informó que el sistema de navegación Galileo comenzó sus operaciones y que los satélites ya enviaban información de posicionamiento, navegación y determinación de la hora a usuarios de todo el mundo. La República Popular China implementó su propio sistema de navegación, el denominado BeiDou, que cuenta con 14 satélites en la actualidad. Para 2020, ya plenamente operativo deberá contar con 30 satélites.
Los satélites destinados a investigaciones científicas constituyen la familia más numerosa, si se exceptúa la de los utilizados con fines militares. Esto sucede así por varias razones: en primer lugar, el espacio que circunda la Tierra es poco conocido; desde muchos puntos de vista interesa conocer la distribución de las radiaciones que abarcan toda la gama del espectro, desde los rayos X a las ondas de radio, meteoritos, capas ionizadas, campos magnéticos de origen no sólo terrestre, sino también solar e interplanetario, etc.
Fig. 1.16 Satélites de investigación científica.
Muchas de estas investigaciones se realizan en apoyo a determinadas aplicaciones prácticas.
Tal es el caso del estudio de los factores que pueden afectar al hombre en el espacio, cuyo conocimiento es imprescindible para el establecimiento de estaciones orbitales tripuladas.
La denominación de científicas dadas a muchas misiones, es simplemente una cobertura de programas cuyos objetivos son militares.
Los satélites comerciales funcionan en tres bandas de frecuencias, llamadas C, Ku y Ka.
La gran mayoría de emisiones de televisión por satélite se realizan en la banda Ku. Cada una de las bandas utilizadas en los satélites se divide en canales. Para cada canal suele haber en el satélite un repetidor, llamado transponder o transpondedor, que se ocupa de capturar la señal ascendente y retransmitirla de nuevo hacia la Tierra en la frecuencia que le corresponde.
Tabla 2. Frecuencias utilizadas por satélites.
29 1.7 Ejercicio en Clase
Define los siguientes conceptos:
Detección remota
GPS
Imagen Satelital
Órbita
Órbita Geosíncrona
Planeta
Satélite
Satélite Geoestacionario
Satélite Meteorológico
Velocidad Orbital
BeiDou
30 LO QUE HEMOS APRENDIDO
• El movimiento más sencillo en dos dimensiones se produce cuando una fuerza externa constante actúa siempre formando ángulos rectos con respecto a la trayectoria del cuerpo o la partícula en movimiento.
• El movimiento circular, también llamado
circunferencial, es el que se basa en un eje de giro y radio constante, por lo cual la trayectoria es una circunferencia.
• Podemos describir el movimiento circular como la tasa de cambio de posición con el tiempo.
• Podemos definir un ángulo como la abertura
comprendida entre dos radios, que limitan un arco de circunferencia.
• Una unidad que se usa comúnmente para expresar el desplazamiento angular es el grado (º).
• La longitud de arco es la distancia recorrida a lo largo de la trayectoria circular, y se dice que el ángulo 𝜃 subtiende o define la longitud de arco.
• Un radián representa el ángulo central en una
circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio, su símbolo o unidad en el Sistema Internacional de Unidades es el radian rad.
𝜃 =𝑠
𝑟 (1.1)
• Cuando la velocidad angular (𝜔) de un cuerpo no es constante, podemos determinar la velocidad angular media (𝜔𝑚) conociendo su velocidad angular inicial (𝜔𝑜) y su velocidad angular final (𝜔𝑓).
𝜔𝑚=𝜔𝑓− 𝜔𝑜
2 (1.4)
• La velocidad angular promedio representa el cociente entre la magnitud del desplazamiento angular de un cuerpo y el tiempo total que tarda en efectuarlo.
𝜔 =∆𝜃
∆𝑡=𝜃𝑓− 𝜃𝑜
𝑡𝑓− 𝑡𝑜 = [𝑟𝑎𝑑
𝑠 ] (1.5)
• La velocidad angular (𝜔) también se puede determinar si sabemos el tiempo que tarda en dar una vuelta completa.
𝜔 =2𝜋
𝑇 (1.8)
• Para convertir de rpm a rad/s hay que multiplicar las
rpm por 0.104. 1 𝑟𝑝𝑚 =2𝜋
60 [𝑟𝑎𝑑
𝑠 ] = 0.104𝑟𝑎𝑑 𝑠
• Cuando en el movimiento circular la velocidad no permanece constante, decimos que sufre una aceleración angular.
𝛼𝑚=𝜔𝑓− 𝜔𝑜 𝑡𝑓− 𝑡𝑜 =∆𝜔
∆𝑡 = [𝑟𝑎𝑑
𝑠2 ] (1.13)
• La aceleración es perpendicular a la trayectoria y
siempre apunta hacia el centro del círculo. 𝑎𝑐 =𝑣2
𝑟 (1.14)
• La aceleración centrípeta también es llamada
aceleración radial. 𝑎𝑟= 𝜔2 𝑟 (1.17)
• El periodo rotación (𝑇) es el movimiento de un cuerpo o partícula en un círculo con velocidad constante a partir del tiempo requerido para realizar una vuelta completa.
𝑇 =2𝜋𝑟
𝑣 (1.19)
• La aceleración tangencial es el producto de la
aceleración angular y el radio del círculo. 𝑎𝑇 = 𝛼 𝑟 (1.20)
• El peralte de las curvas ayuda a los automóviles a tomar las curvas en la carretera sin derraparse.
31 Problema 1.1
El rotor de un helicóptero gira a una velocidad angular de 320 rpm. Exprese esta cantidad en radianes por segundo.
𝑅 = 33.5 𝑟𝑎𝑑/𝑠 Problema 1.2
La Tierra gira sobre su eje. ¿Cuál es su velocidad angular en rad/s?
𝑅 = 7.3 × 10−5 𝑟𝑎𝑑/𝑠 Problema 1.3
Una centrifuga gira a 5400 rpm. a) Encuentre el periodo y la frecuencia del movimiento, b) Si el radio de la centrífuga es de 14 cm, ¿Qué tan rápidamente se mueve un objeto que
está colocado en su borde externo?
a) 𝑅 = 90 𝑟𝑒𝑣/𝑠; 0.011 𝑠 b) 𝑅 = 79 𝑚/𝑠 Problema 1.4
Un niño viaja en su motocicleta con una velocidad de 13 m/s. Si el diámetro de la llanta trasera es de 65 cm. ¿Cuál es la velocidad angular de la rueda trasera?
𝑅 = 40 𝑟𝑎𝑑/𝑠 Problema 1.5
Una centrifuga de laboratorio opera con una velocidad rotacional de 12000 rpm.
a) ¿Qué magnitud tiene la aceleración centrípeta de un glóbulo rojo que está a una distancia radial de 8 cm del eje de rotación de la centrifuga? b) Compara esa aceleración con g.
a) 𝑅 = 1.24 × 105𝑚/𝑠2 b) 𝑅 = 1.26 × 104 𝑔 (12600 𝑔) Problema 1.6
Un DVD acelera uniformemente desde el reposo hasta una velocidad de 500 rpm en 3.5 s.
Calcule la aceleración angular del DVD a) durante este lapso, b) al término de este lapso, y c) si el DVD se detiene uniformemente en 4.5 s, ¿Cuál será el valor de su aceleración angular?
a) 𝑅 = 14.85 𝑟𝑎𝑑/𝑠2 b) 𝑅 = 0 c) 𝑅 = −11.6 𝑟𝑎𝑑/𝑠2