geometría analítica

(1)

Dayner Manuel Sánchez García (CÓNICAS)

 CIRCUNFERENCIA

(2)

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Dayner Manuel Sánchez García

 PARÁBOLA

(3)

 ELIPSE

(4)

 HIPÉRBOLA

(5)

Dayner Manuel Sánchez García (TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS)

(6)

(7)

Dayner Manuel Sánchez García (ALGEBRA VECTORIAL)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

Dayner Manuel Sánchez García (PLANO Y RECTA)

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(15)

(16)

“Algebra Vectorial”

5. Introducción a las transformaciones geométricas.

Desde las culturas más antiguas hasta la actualidad se ha utilizado las transformaciones geométricas como aplicación de expresiones culturales de la humanidad. El estudio de las transformaciones geométricas, favorece el desarrollo de nuestra imaginación y creatividad, pues visualizaremos traslaciones, homotecias, rotaciones y simetrías de cuerpos geométricos.

Una transformación geométrica, o simplemente una transformación, es una aplicación que hace corresponder a cada punto del plano otro punto del plano.

Como consecuencia, las figuras se transforman en otras figuras. Las transformaciones más usuales son las traslaciones, rotaciones, simetrías y homotecias.

Todas ellas mantienen la forma de las figuras, excepto los escalados no uniformes; pero pueden disminuir el tamaño y cambiar la figura de posición.

Una transformación geométrica, o simplemente una transformación, es una aplicación que hace corresponderá cada punto del plano otro punto del plano. Como consecuencia, las figuras se transforman en otras figuras.

Las transformaciones más usuales son las traslaciones, rotaciones, simetrías y las homotecias. Todas ellas mantienen la forma de las figuras, pero pueden disminuir el tamaño y cambiar la figura de posición

5.1. La ecuación cuadrática en dos y tres variables.

La forma general de una ecuación cuadrática en dos variables es:

ax² + bxy + cy²+ dx + ey + f = 0 donde a, b, c, d, e, f son constantes y a, b, c distintos de 0.

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Dayner Manuel Sánchez García Algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas en dos variables son:

3x²+ 5xy = 2

X²– xy + y2 + 2x + 3y = 0 y²= 4x

xy = 4 x²+ y²= 9

1) Representa gráficamente estas ecuaciones en un sistema de coordenadas.

2) Determina para cada una de ellas el valor de b2 - 4ac

3) Relaciona el valor obtenido de b2 - 4ac en cada ecuación con su correspondiente gráfica.

De considerable importancia para el desarrollo del siguiente tema es la ecuación general de segundo grado con tres variables

En donde uno, por lo mendo es de los seis primeros coeficientes es diferente de cero. A este tipo de ecuaciones se le llaman superficie cuadrática.

Se demuestra en tratados avanzados que mediante una transformación apropiada de coordenadas, se puede trasformar la ecuación de manera que tome una de las dos formas tipo:

Las superficies como la primera ecuación tienen un centro de simetría, el origen y por esto se llaman cuádrica con centro. Las superficies de la otra forma no tienen centro de simetría y se llaman por lo tanto, cuádrica sin centro.

Clasificación de las cuádrica:

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5.2. Traslaciones y rotaciones de R

²

y R

³

.

Translaciones en

R

²

y R

³

La traslación en Geometría Euclidiana se define como el movimiento de todos los puntos que conforman un elemento geométrico a una distancia constante en una dirección específica. Es uno de los movimientos rígidos. Otra forma de interpretar la traslación es la suma de un vector constante a todos los puntos o como el desplazamiento del origen de un sistema coordenado.

Un operador de traslación es un operador tal que:

Sea v un vector fijo, entonces la traslación Tvactúa de la siguiente manera: Tv(x)=

x + v

Si T es una traslación, entonces la imagen del subconjunto A bajo la función T es la traslación de A por T. La traslación de A por T se escribe comúnmente de la siguiente manera: A+v.

En el espacio de Euclides, una traslación es una isometría.

Ejemplo:

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Dayner Manuel Sánchez García Este ejemplo ilustra el hecho de que la ecuación de una gráfica puede, a menudo, simplificarse mediante la traslación de ejes.

Rotación en R²

Dando un punto C del plano y un ángulo α ∈ R, se llama giro de centro C y amplitud α, y se denota por G (c,α) a la transformación que asocia a cada punto P del plano a otro punto P’ = G(c,α)(P) de forma que se verifiquen las dos condiciones siguientes:

d(c,p) = d(c,p’) PCP’ = α

La ecuación matricial del giro de centro C y amplitud α es:

(I) = (I 0 0) (I) (x’) = (M cosα –senα) (x)

(y’) = (N senα cosα) (y)

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Dayner Manuel Sánchez García Donde los parámetros M y N se obtienen imponiendo que el centro C (c1,c2) del giro sea un punto doble:

(I) = (I 0 0) (I) (c1) = (N cosα –senα) (c1)

(c2) = (N senα cosα) (c2) Rotación en R³

Se llama giro o rotación de eje la recta e y el ángulo α y se denota por G (e,α) a la transformación geométrica que asocia a cada punto P del espacio otro punto P’ = G (e,α)(P) de forma que se verifiquen las condiciones siguientes:

-P’ pertenece al plano π perpendicular al eje e trazado por el punto p.

-El ángulo CPC es α, donde C es el punto de corte del plano π con el eje e.

-d(P,e)=d(P’,e)

La ecuación matricial de un giro de eje ox y ángulo α, cuando tomamos el sentido creciente dicho eje, es:

(I) = (1 0 0 0) (I) (x’) = (0 1 0 0) (x) (y’) = (0 0 cosα –senα) (y)

(z’) = (0 0 senα cosα) (z)

La ecuación matricial de un giro de eje y, y ángulo α, cuando tomamos el sentido creciente de dicho eje es:

(I) = (1 0 0 0) (I) (x’) = (0 cosα 0 senα) (x)

(y’) = (0 0 1 0) (y) (z’) = (0 –senα 0 cosα) (z)

La ecuación matricial de un giro de eje oz y ángulo α, cuando tomamos el sentido creciente de dicho eje es:

(21)

Dayner Manuel Sánchez García (I)= (1 0 0 0) (I)

(x’) = (0 cosα –senα 0) (x) (y’) = (0 senα cosα 0) (y)

(z’) = (0 0 0 1) (z)